探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
安徽省舒城中学 束观元
引入课题：
在小学，我们是如何推出圆锥体积
公式的？棱柱、棱锥？球体？
如
何
好大的西瓜，能不
计
能填饱我的肚子！
算
球
的
体
积
？
探究活动一：祖暅原理
取一堆书放在桌面上，然后让它如图改变一下 形状，请问：它的体积变了吗？
还有哪些量没有改变？
是不是等底等高的两个几何体体积就一定相等 呢?
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
这个原理叫祖 理
探究活动二：柱体的体积公式
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
V柱 Sh
探究活动三：锥体的体积公式
等底面积等高的两个锥体的体积相等
A1
C1
B1
A
C
B
1 V锥 3 Sh
探究活动四：球体体积
半径为R的半球 底面半径和高都为R的圆柱 挖 去 一 个 圆 锥
S圆= r 2 R2 l 2
S圆环= (R 2 l 2 )
S圆 S圆环
1 2 V球
R2
R
1 R2
3
R
2 R3
3
V球
4 R3
3
例1. 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后， 得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积 的几分之几？
例2 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 表面积．
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_0
球体的体积公式
思考1：如何得到球的体积公式？ (先求半球的体积公式)
思考2：利用祖暅原理求解半球体积的思路是什么呢？
利用祖暅定理求解半球的体积，就先要找出满足 这样条件的一个简单几何体：把该几何体与半球夹在 两个平行平面之间，用平行于这两个平面的任意平面 去截该几何体和半球，使得截得的两个截面的面积总 相等，那么半球的体积就可以转化为该简单几何体的 体积，从而也可以求出球的体积。
夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平 行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果 截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等。
思考：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
3
V球
4 R3
3
课堂小结
知识：祖暅原理，柱体、球体体积公式推导 思想方法：转化与化归
祖暅原理，在西方直到17世纪，才由意大利数 学家卡瓦列里发现提出，比祖暅足足晚了一千多年!
课后练习
类比柱体、球体的体积公式推导，试试推导锥体的 体积公式。
小结：我们可以发现，祖暅原理含有三个条件， ①两个几何体夹在两个平行平面之间， ②用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个 平面， ③两个截面的面积总相等 这三个条件缺一不可，否则结论不成立。
柱体的体积公式
如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱， 圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式 吗？
用平行于半球底面的平面去截半球所得的截面面积， 都会和一个环形的面积相等。
而这些环形堆叠起来所形成的几何体，恰好就是一个 圆柱体挖掉一个底面相同且等高的圆锥体之后所得的简 单几何体。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹（Awe M. C. J. Gase）在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况，包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是，根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理，可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体，它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说，柱体的体积公式为：V=πr²h，其中r为底面半径，h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积，再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为：
V=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为锥体的高度。
最后，球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径，再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说，球体的体积公式为：V=(4/3)πr³，其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积，需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性，确保结果的准确性。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教学内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
［教学编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力.教学目标的确定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育，3、教学的重点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究（2）学生探究能力的培养二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。
教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教学过程1、教学思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：2、案例设计Ⅰ导入课题回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ探究新知1、祖暅原理的引入通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础课件名称：祖暅原理．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教学，说明几何体等体积变换的依据．课件制作过程：（1）新建画板窗口．如图1，按住Shift键，用【画直线】画4条直线AB，CD，EF，GH （分别是直线j ，k ，l ，m ）．图 1（2）在直线j 上画两点I ，J ．（3）在直线上画一点K ，在直线l 上画两点L ，M ，在直线m 上画两点N ，O ．（4）画线段KL ，LN ，NO ，OM ，MK ．（5）在直线k ，l 之间画一条直线PQ （直线r ）．在直线l ，m 之间画直线RS （直线s ）．（6）作出线段KL 与直线r 的交点T ．同样作出线段KM 与直线r 的交点U ，线段LN 与直线s 的交点V ，线段OM 与直线s 的交点W ．（7）在直线k ，r ，l ，s ，m 上分别画一点X ，Y ，Z ，A 1，B 1．（8）标记向量TU ．依向量TU 平移点Y 得到Y '．同样，标记向量LM ，依向量LM 平移点Z 得到Z '；标记向量VW ，依向量VW 平移点1A 得到1A '；标记向量NO ，依向量VW 平移点1B 得到1B '．（9）依次选择点K ，L ，N ，O ，M ，按Ctrl+P ，填充五边形KLNOM ，及时单击【Measure 】（度量）菜单中的【Area 】，度量出它的面积，如“面积21 3.93p cm =”．（10）类似于上一步，用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，按Ctrl+L ，得到一个凹九边形．（11）用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填充，及时单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出凹九边形的面积，如“面积22 3.93p cm =”．（12）如图2，用【画点】工具在直线j 上画一点1C （位于点J 的左边）．过点1C 作出直线j 的垂线（直线a ）．用【选择】工具作出直线a 与直线k 的交点1D ．图2（13）双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1：3，单击【Dilate 】，得到一个小的五边形K L N O M '''''．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积210.44p cm '=”． （14）用【选择】工具双击点J ，把点J 标记为缩放中心．选中凹九边形（边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】．同样，以1：3缩放得到一个小的凹九边形，度量出它的面积“面积220.44p cm '=”． （15）画直线K X ''，得到直线b ，作出直线b 与直线a 的交点1E ．（16）用【画线段】工具把点1E 和1D 用线段连结起来．（17）在线段1E 1D 上画点1F ，用【画线段】工具作出线段1F 1C （线段c ），1C 1E （线段d ）．（18）先后选择线段c ，d ，并单击【Transform 】菜单中的【Mark Segment Ratio 】（标记线段比）标记为c/d ．（19）用【选择】工具双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，得到一个小的五边形K L N O M '''''．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积21 1.70p cm ''=”．图3（20）类似地，也把凹九边形及其内部按同样的缩放比关于中心点J 缩放，度量缩放后的对象的面积“面积22 1.70p cm ''=”．（21）画线段,,,,KK LL NN OO MM '''''，作出一个五棱台．（22）画线段,,...XX YY ''，作出右边的凹九棱台．2．探究柱体的体积公式III.拓展爱国主义情感教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
为什么能用祖暅原理
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_5
1 3
S底h
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 l
那么 r R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
圆环面积 S圆环 = R2 l 2
S圆 = S圆环
L
O2
P
r
K
O1
l
BN
l
R
o
o
根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即
还有很多以姓名命名的公式或定理，比如呢？
用秦九韶算法求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
欧拉定理:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝?
A1
C1 把三棱锥以
△ABC为底面、
B1
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
探究锥体的体积公式 问：一个（斜或正）三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
关系 V+F-E=2
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
从而我们可以得到所有
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课公开课教案教师资格证面
试试讲教案
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_4
柱体、椎体、台体、球体的体积1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。
3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式之间的关系.教学过程与教学内容一、新课导入：提问：对几何体的体积你有哪些认识？①几何体占有空间部分的大小，就是几何体的体积②完全相同的几何体的体积相等③体积相等的几何体叫等积体，等积体不一定形状相同二、讲授新课：小实验：“幂势既同，则积不容异“祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
1、柱体体积公式①等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？→给出柱体体积计算公式：V=Sh（ S为底面面积，h为柱体的高）2、锥体体积公式③等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？④根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？锥体的体积计算公式：V= Sh （S 为底面面积，h 为高） 3、台体体积公式⑤台体的上底 面积S’，下底面积S ，高h ，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？⑥给出台体的体积公式：''1()3V S S S S h =++台 （S ，'S 分别上、下底面积，h 为高）→ ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 （r 、R 分别为圆台上底、下底半径）例3. 一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长 12mm ，内空直径10mm ，高10mm ，估算这堆螺帽多少个？（ 铁的密度7.8g/cm3）4、球体体积公式设球的半径为R,则球的体积公式为：V=πR 3 例4、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.例5、已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm ，求球的体积、表面积．课时小结1.柱体体积公式；2.锥体体积公式；3.台体体积公式；4.球体体积公式。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是物理学中的一个基本原理，用于描述柱体、锥体和球体的体积关系。
根据祖暅原理，柱体和圆锥的底面积相等时，它们的体积与高度的比相等。
类似地，球体与柱体的底面积相等时，它们的体积与高度的比也相等。
首先，让我们研究一下柱体和锥体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体，底面积为A。
根据祖暅原理，柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个相似的高度为h的圆锥，底面积为A。
根据祖暅原理，圆锥的体积可以用公式V2=(1/3)*A*h表示。
通过比较V1和V2，可以发现V2=(1/3)*V1、也就是说，圆锥的体积是柱体体积的三分之一、这个结论可以很容易地通过几何推导得出。
因此，我们可以得出结论：柱体和圆锥的体积比为3:1现在让我们来探究柱体和球体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体，底面积为A。
根据祖暅原理，柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个半径为r的球体，底面积为A。
根据祖暅原理，球体的体积可以用公式V3=(4/3)*π*r^3表示。
通过比较V1和V3，可以发现V3=(4/3)*π*(r^3)=(π/3)*A*h。
也就是说，球体的体积是柱体体积的π/3倍。
这个结论可以通过解析几何方法或积分计算得出。
因此，我们可以得出结论：柱体和球体的体积比为π/3:1最后-柱体和圆锥的体积比为3:1；-柱体和球体的体积比为π/3:1在实际应用中，这些体积关系可以帮助我们计算各种形状的物体的体积。
例如，如果我们知道柱体的底面积和高度，我们可以用公式V=A*h计算其体积。
同样地，如果我们知道球体的半径，我们可以用公式V=(4/3)*π*r^3计算其体积。
这些公式都是根据祖暅原理得出的。
探究和发现祖暅原理与柱体、锥体和球体的体积关系是一个有趣的数学和几何问题。
通过对这些几何形状的体积进行研究，我们可以更好地理解它们之间的关系，并应用于实际问题中。
数学人教版高中一年级必修2 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
教学的重点和难点
重点：引导学生运用祖暅原理推出柱体、 锥体、球体的体积公式。
难点：运用祖暅原理探究球体体积公式 时，构造“等积体”。理解数学中割补 思维方法 。
教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
二、学情分析
我校是省级重点中学，学生思维活跃， 知识面广，好奇心和求知欲强，乐于接受 挑战，但部分学生缺乏探究意识和钻研精 神。为适应学生这一特点，调动学生的学 习积极性，满足其学习愿望，本节课采用 以教师为引导，学生为主体的探究学习形 式。
1 2
V球
= R2
R
1
3
R2 R
=
2 3
R3
R 所以
V球 = 34
3
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
回顾小结
说说这节课你有什么收获 和体会？
设计意图
通过学生自 己谈体会谈 收获，发挥 了学生主体 作用。学生 对本节课思 路重新梳理， 进一步巩固
了知识
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
七、教学评价
2. 以感性、直观、突出重点为主，分层设置 问题，突破难点。
3.鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合 作交流。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、创设情境 引入新课
1、把一叠摆放不整齐的作业本放在讲台上。
设计意图
设置问题
提问：你能求出这叠作业本的体积吗？ 情 境 ， 激 发
提问：能不能把这叠作业本摆放整齐 后再求其体积呢？
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
三、教材处理
根据新课程标准精神，教师可以 对教材进行恰当处理。依照认识规律， 我把本节探究内容调整至体积公式运 用之前，以帮助学生重建先探究再应 用的认知结构。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
探究与发现：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积 一、教学目标1、知识与技能：理解祖暅原理的含义，了解用祖暅原理推导柱体、锥体、球体等几何体体积的方法；2、过程与方法：通过对祖暅原理的探究学习，体会由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法思想；利用模型演示，推导柱体、锥体、球体等几何体体积计算公式；3、情感态度与价值观：通过对祖暅以及祖暅原理的介绍，激发学生的民族自豪感，同时渗透数学文化，提高学生对数学的学习兴趣。
二、学情分析1、认知基础：学生前面已经认识了柱体、锥体、球体等简单几何体，并初步学习了体积公式；大部分学生对于公式仅停留在记忆的层面上，对公式的推导产生疑问和兴趣。
2、认知障碍：高一的学生刚刚接触立体几何，空间想象能力还较弱，不太善于利用空间图形的几何性质推导公式，尤其是球体的体积公式推导。
祖暅介绍三、教学重难点1、重点：祖暅原理以及柱体、球体体积公式的推导2、难点：球体体积公式的推导四、教学过程（一）复习回顾体积公式33431r V Sh V ShV π===球锥柱 提问：这些公式是怎么来的？【设计意图】回顾旧知，通过提问引起学生主动思考，带着疑问进入探究学习。
（二）探究新知活动1：学生自行阅读教材30-32页，初步了解祖暅原理以及公式的推导。
活动2：祖暅原理“幂势既同，则积不容异”①祖暅：祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家，在数学和天文学上都有杰出的贡献，提出祖暅原理，巧妙地解决了柱体、锥体、球体的体积计算。
②原理的含义：“幂”是面积，“势”即是高。
如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
师：祖暅原理告诉我们什么呢？有没有同学用自己的话来说说看？（教师提问，学生代表说说自己对祖暅原理的理解）师：这几位同学都说得很好，没错，祖暅原理告诉我们，夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习，学生将会： - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。
- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式，并能够在实际问题中进行运用。
2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
•柱体和椎体的三视图的绘制。
•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。
3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。
•柱体和椎体三视图的绘制方法。
4.教学方法•综合授课法；•讲解与练习相结合；•学生合作探究；•图像识别和计算机模拟。
5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片，如水瓶、柱形饮料广告牌等，引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。
5.2学生合作探究将学生分成小组，分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。
5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上，全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。
5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后，学生将进行答疑解惑，讨论疑难问题，并针对性地进行深入讲解。
5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况，布置相关的作业。
学生可以在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。
二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式，对本课程进行了评估。
调查结果表明，学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。
此外，学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。
2.优点本节课的优点： - 突出了学生的主体地位，采用学生合作探究和练习训练的教学方法，营造了积极向上的教学氛围。
- 尝试了不同的教学形式，通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容，激发了学生的兴趣和主动性。
高中数学人教A版《 祖暅原理与柱体椎体、球体的体积》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》省级名师优质课教案比赛获奖教
案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理的证明
• 祖暅原理的证明需要用到积分和微积分的基本定理，通过 构造一个适当的密度函数，并利用微积分的基本定理进行 推导，最终得出结论。
祖暅原理的应用
• 祖暅原理在数学、物理和工程等 领域有广泛的应用，例如在计算 几何、流体动力学、材料科学等 领域中，可以利用祖暅原理来求 解一些复杂的问题。
锥体体积公式的推导
推导过程
首先，利用祖暅原理将锥体分割成无 数个小的三棱锥。然后，利用三棱锥 的体积公式计算每个三棱锥的体积。 最后，将这些三棱锥的体积相加，得 到锥体的总体积。
注意事项
在推导过程中，需要注意每个三棱锥 的高和底面半径的取值范围，以及在 求和时对每个三棱锥的高和底面半径 进行积分。
方法：通过祖暅原理（也称为积分原理 ）将柱体分割成无数个小的长方体，然 后求和它们的体积。
3. 将所有小长方体的体积相加得到柱体 的总体积。
2. 计算每个小长方体的体积。
步骤 1. 将柱体分割成无数个小的长方体。
03 锥体的体积
锥体的定义与性质
锥体的定义
锥体是一个三维几何体，由一个顶点 与一个封闭的曲面组成，其中顶点与 曲面上任意一点连线的长度都相等。
祖暅原理与柱体、锥 体、球体的体积
目录
CONTENTS
• 祖暅原理介绍 • 柱体的体积 • 锥体的体积 • 球体的体积 • 祖暅原理与柱体、锥体、球体体积的关
系
01 祖暅原理介绍
祖暅原理的内容
• 祖暅原理是数学中的一个重要定理，它指出对于一 个非退化的线段，如果线段上任意点的密度与该点 到线段垂直投影的距离成反比，则线段上各点的密 度之和等于该线段上任意两点的距离与它们到线段 垂直投影的距离乘积之和。
详细描述
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祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学对数学具有 浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还 与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才 由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的
这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异” “幂”是面积，“势”即是高。 意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的 截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
领悟数学和数学家的神奇,美妙,毫不犹豫的选择 数学文化,好好的感受数学,享受数学带给我们的 每(美)一天……
作业布置
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的 高度、长度、宽度及墙壁的厚度、窗户的大小 等数据。体会几何学在现实生活中的应用。
谢谢！
思考1：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1B1 C1B1源自A1A1C
BC
B
A
A
思考2:每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
课堂小结：
知识方面： 本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球 体的体积公式。
谈谈你对数学的历史了解吗?你对数学文化有哪 些感悟?
汉克尔曾说数学科学的特点是:高度的抽象性,体 系的严谨性,应用的广泛性,发展的延续性.
祖暅(gèng)原理
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
探究一:柱体的体积
如图，下面是底面积都等于S,高都等于h的任意 棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体 的体积公式吗？
探究锥体的体积公式