浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十一)(含答案详析)
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十四)(含答案详析)
专题限时集训(十四)[第14讲 空间角](时间：45分钟)1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 11所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．如图X14－1所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.32 B.155 C.12 D.633．如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．大小不确定4．如图X14－2所示的是某个正方体的展开图，l 1，l 2是两条面对角线，则在正方体中，l 1与l 2的关系为( )图X14－2A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为π3D ．相交且夹角为π5．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°图X14－36．如图X14－3所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.12B.22C.35D.458．夹在两平行平面间的线段AB ，CD 的长分别为2和2，若AB 与这两个平行平面所成的角为30°，则CD 与这两个平行平面所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．如图X14－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面C 1D 1AB 与底面ABCD 所成二面角C 1－AB －C 的大小为________．10．等边△ABC 与正方形ABDE 有一公共边，二面角C －AB －D 为直二面角，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则异面直线EM 与AN 所成角的余弦值为________．11．如图X14－5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小为________．12．如图X14－6所示，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1的长为a ，底面ABCD 是边长AB ＝2a ，BC ＝a 的矩形，E 为C 1D 1的中点．(1)求证：DE ⊥平面EBC ；(2)求异面直线AD 与EB13．如图X14－7所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)求证：EF∥平面A1CD；(2)求证：平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD14．如图X14－8所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC ＝2，D为AC的中点．(1)若AA1＝2，求证：BC1⊥平面AB1C；(2)若AA1＝3，求二面角C1－BD－C的余弦值．专题限时集训(十四)1．D [解析] AA 1⊥平面AC ，故所成的角为90°.2．C [解析] 当A 1D 与BC 1所成的角为π2时，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，联结A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，联结OB ，易证A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ，则BC 1与平面BB 1D 1D所成的角为∠OBC 1.又BC 1＝2 2，OC 1＝2，所以sin ∠OBC 1＝OC 1BC 1＝12.3．D [解析]4．D [解析] l 1，l 2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为π3.5．C [解析] 如图所示，取BC 的中点E ，联结DE ，AE ，由题意知此三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12，tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3，故∠ADE ＝60°.6．D [解析] ∵AD 与PB 在平面不垂直，∴选项A 不正确． ∵平面PAB ⊥平面PAE ，∴平面PAB ⊥平面PBC 不成立，故选项B 不正确．∵BC ∥AD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 不成立，故选项C 不正确． 在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴选项D 正确．7．C [解析] 联结DF ，则由DF ∥AE 可知∠DFD 1或其补角为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体的棱长为2，则DF ＝D 1F ＝5，DD 1＝2.由余弦定理可得cos ∠DFD 1＝D 1F 2＋DF 2－D 1D 22D 1F ·DF ＝5＋5－42×5＝35.8．B [解析] 过A 作另一平面的垂线段AO ，垂足为O ，联结BO ，可知∠ABO ＝30°，由AB ＝2得AO ＝1.又因为两平面平行，所以点C 到另一平面的垂线段的长等于AO 的长．故CD 与两个平行平面所成的角的正弦值为AO CD ＝22，所以CD 与这两个平行平面所成的角为45°.9．45° [解析] AB ⊥BC ，AB ⊥BC 1，则∠C 1BC 为二面角C 1－AB －C 的平面角，其大小为45°.10.1510[解析] 如图所示，设G 为DE 的中点，联结NG ，则NG ∥EM ，∠ANG 即为异面直线EM 与AN 所成的角．设正方形的边长为2，则AN ＝3，AG ＝5，NG ＝EM ＝5，所以cos ∠ANG ＝（3）2＋（5）2－（5）22×3×5＝1510.11．90° [解析] 联结D 1M 11D 1M ，所以DN ⊥平面A 1MD 1. 又因为A 1M ⊂平面A 1MD 1，所以DN ⊥A 1M ，故直线A 1M 与直线DN 所成的角为90°. 12．解：(1)证明：由题意EC ＝ED ＝2a ，又CD ＝2a ，可知△DEC 中，EC 2＋ED 2＝CD 2，故EC ⊥ED.由BC ⊥平面CC 1D 1D ，得BC ⊥DE. 又EC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面EBC.(2)由AD ∥BC ，得∠EBC 即为异面直线AD 与EB 所成的角(或其补角)． 由BC ⊥平面DCC 1D 1，可知BC ⊥EC ， 即△EBC 为直角三角形，则tan ∠EBC ＝EC BC ＝2aa＝ 2.故异面直线AD 与EB 13．解：(1)111中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1.联结ED.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC.又因为F 为A 1C 1的中点，所以A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，所以四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD.(2)证明：由题意，△ABC 是正三角形，因为D 为AB 的中点，故CD ⊥AB.又侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD.因为A 1A ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG .因为平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CD ∩平面A 1ABB 1＝A 1D ，所以BG ⊥平面A 1CD ，所以∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a5.在Rt △BCG 中，sin∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.14．解：(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有AA 1綊BB 1綊CC 1，又AA 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥平面ABC 且CC 1＝BC ， 故可知平行四边形C 1CBB 1为正方形，故有BC 1⊥B 1C.由于CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，而AC ⊥BC ， CC 1∩BC ＝C ，故AC ⊥平面C 1CBB 1. 因为BC 1⊂平面C 1CBB 1，所以AC ⊥BC 1. 又AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面AB 1C.(2)过点C 作CE ⊥BD 于点E ，联结C 1E.因为CC 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BD.又CE ⊥BD ，CC 1∩EC ＝C ，所以BD ⊥平面CC 1E ，故BD ⊥C 1E.故∠C 1EC 为二面角C 1－BD －C 的平面角．由BC ＝AC ＝2，CC 1＝3，得BD ＝5，CE ＝BC ·CD BD ＝25.在Rt △CC 1E 中，CC 1＝3，C 1E ＝CC 21＋CE 2＝7 55，cos ∠C 1EC ＝CE C 1E ＝27.。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二十一)A(含答案详析)
专题限时集训(二十一)A
[第21讲 坐标系与参数方程]
(时间：30分钟)
1．已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)，定点A (0，－3)，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程；
(2)在(1)的条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于E ，F 两点，求弦EF 的长．
2．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，
－5)，点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 是以M 点为圆心，4为半径的圆．
(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
(2)判定直线l 与圆C 的位置关系．
3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． (1)将C 1的参数方程化为普通方程；
(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3
(ρ∈R )，求曲线C 1与C 2交点的极坐标．
4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程．
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3
(ρ>0)与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |的长．。
浙江专用2021届高考数学二轮复习预测提升仿真模拟卷十一含解析
高考仿真模拟卷（十一）（时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x｜｜x＋2|≤2｝，B＝[0，4］,则∁R(A∩B)＝() A．R B．｛0}C．｛x｜x∈R，x≠0} D．∅2．已知复数z＝1＋i（i是虚数单位),则错误!＝()A．i B．－iC．1＋i D．1－i3．“x〉4”是“x2－2x－3>0"的（)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．某四棱锥的三视图如图所示（单位:cm），则该四棱锥的体积(单位：cm3)是()A.错误!B．错误!5．函数y＝(x－1)2（x－2)e x(其中e为自然对数的底数)的图象可能是（)6．设不等式组错误!所表示的区域面积为S（m∈R)．若S≤1，则()A．m≤－2 B．－2≤m≤0C．0＜m≤2 D．m≥27。
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°，D，E 分别是BC，AB的中点，AB≠AC,且AC＞AD。
设PC与DE所成角为α,PD与平面ABC所成角为β，二面角P。
BC.A为γ，则（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．γ＜β＜α8．已知抛物线C：y2＝－8x的焦点为F，直线l:x＝1，点A 是l上一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若错误!＝－3错误!，则｜AB|＝（)A．20 B．169．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若错误!－7·错误!－8＝0，且正整数m,n满足a1a m a2n＝2a错误!，则错误!＋错误!的最小值是（）A.错误!B．错误!C。
错误!D．错误!10．设函数f（x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M为函数y＝｜f （x)｜在［－1，1]上的最大值,N为｜a｜＋|b|的最大值() A．若M＝错误!，则N＝3 B．若M＝错误!,则N＝3C．若M＝2，则N＝3 D．若M＝3，则N＝3第Ⅱ卷(非选择题,共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．在（x＋a－错误!）(1＋x）3的展开式中,若a＝2，则x项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a的值为________．12．在一次随机试验中，事件A发生的概率为P，则事件A 发生的次数ξ的期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．13．在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a,b，c。
新课标新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二)A(含答案详析)
专题限时集训(二)A[第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4b 的夹角的余弦值为( )A.310 10 B ．－310 10C.22 D ．－222．已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)，a ∥(a ＋b )，则m ＝( )A ．2B ．－2C ．－3D ．33．已知点A(－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7，4)B ．(7，14)C ．(5，4)D ．(5，14)4．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n ＝________．5．阅读如图X2－1________．X2－1X2－26．在如图X2－2所示的数阵中，第________．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，且(b ＋λa )⊥c ，则λ＝() A ．－311 B ．－113 C.12 D.358．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y)相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．4B ．6C ．9D ．12图X2－39．阅读如图X2－3所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是( )A ．2B ．6C ．24D ．4810．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →11．观察下列不等式：1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52，…，照此规律，第6个不等式为________________________________________________________________________．12．用火柴棒摆“金鱼”，如图X2－4所示，按照规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________(用n 表示)．－4 13．根据下面一组等式：S 1＝1；S 2＝2＋3＝5；S 3＝4＋5＋6＝15；S 4＝7＋8＋9＋10＝34；S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65；S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111；S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175；……可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________．14．我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5－6世纪)提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设：由曲线x 2＝4y 和直线x ＝4，y ＝0所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1；由同时满足x≥0，x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点(x，y)构成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2.根据祖暅原理等知识，通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为________．专题限时集训(二)A1．C [解析] 由已知条件求得b ＝(2，0)，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝1×2＋1×02×2＝22. 2．C [解析] a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )得－(m ＋1)－2＝0，解得m ＝－3.3．D [解析] 设B(x ，y)，由AB →＝3a 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14，所以选D.4．45 [解析] 观察所给算式的规律，我们发现：第一个式子的最后一个数为12＋0，第二个式子的最后一个数为22＋1，第三个式子的最后一个数为32＋2，…，所以第n 个式子的最后一个数为n 2＋n －1，而2013介于442＋43和452＋44之间，所以m ＝45.5．50 [解析] S ＝－1＋2－3＋4－…－99＋100＝50.6．66 [解析] 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ， 所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 9＝92－2×9＋3＝66.7．A [解析] 由(b ＋λa )⊥c 得b ·c ＋λa ·c ＝0，代入坐标得3＋11λ＝0，λ＝－311. 8．B [解析] 由a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y)垂直得2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝2×3＝6.9．B10．B [解析] 由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即OB →＋OC →＝2OD →＝2AO →，所以OD →＝AO →，即O 为AD 的中点．11．1＋12＋13＋…＋1127>72[解析] 观察不等式： 1＋12＋122－1>1＝22； 1＋12＋13＋…＋123－1>32； 1＋12＋13＋…＋124－1>42； 1＋12＋13＋…＋125－1>52； ……所以由此猜测第6个不等式为1＋12＋13＋…＋1127>72. 12．6n ＋2 [解析] 根据图形可知，当n ＝1时，S 1＝6＋2；当n ＝2时，S 2＝6×2＋2；当n ＝3时，S 3＝6×3＋2，…，依此推断，S n ＝6n ＋2.13．n 4 [解析] S 1＝1；S 1＋S 3＝1＋15＝16；S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81，由归纳推理可知S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.14．32π。
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十三)(含答案详析)
专题限时集训(十三)[第13讲 直线与圆](时间：45分钟)1．过点A(1，2)且垂直于直线2x ＋( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝02．经过圆x 2－2x ＋y 2＝0的圆心且与直线x ＋2y ＝0平行的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．x －2y －2＝0 C ．x －2y ＋1＝0 D ．x ＋2y ＋2＝03．若直线(1＋a)x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值是( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1 D ．－1 4．已知圆C ：x 2＋y 2＝2与直线l ：x ＋y ＋2＝0，则圆C 被直线l 所截得的弦长为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 35．设过点(0，b)且斜率为1的直线与圆x 2＋y 2＋2x ＝0相切，则b 的值为( ) A ．2± 2 B ．2±2 2 C ．1± 2 D.2±16．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．7．已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝02＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．圆C 1：x 2＋y 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －5＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离9．若直线ax －by ＋1＝0过圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 10．若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．1 B ．5C ．3＋4 2D ．3＋2 211．直线x －3y ＋2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的劣弧长为________．12．若直线l 与圆x 2＋(y ＋1)2＝4相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1，－2)，则直线l 的方程为________．13．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝8(ab>0)过坐标原点，则圆心C 到直线l ：x b ＋ya＝1的距离的最小值等于________．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q(2a ，a －3)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为________．15．求圆心在抛物线x 2＝4y 上，且与直线x ＋2y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．16．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A(3，0)且与圆C 相切． (1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆C 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P′，直线QM 交直线l 2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′过定点，并求出定点坐标．专题限时集训(十三)1．C [解析] 直线2x ＋y －5＝0的斜率为－2，因此所求直线的斜率为12，方程为y －2＝12(x －1)，化为一般式为x －2y ＋3＝0. 2．A [解析] 圆x 2－2x ＋y 2＝0的圆心为(1，0)，所求直线方程为y －0＝－12(x －1)，即x ＋2y －1＝0.3．D [解析] x 2＋y 2－2x ＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，由|1＋a ＋1|（1＋a ）2＋12＝1得a ＝－1.4．C [解析] 因为d ＝|2|2＝1，所以弦长为2 （2）2－12＝2.5．C [解析] 设直线的方程为y ＝x ＋b ，圆心(－1，0)到直线的距离等于半径1，即|－1＋b|2＝1，解得b ＝1±2. 6．1 [解析] x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则有3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.7．A [解析] 由1×(a －2)＋(a －2)a ＝0得a ＝－1或a ＝2，因此“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．8．C [解析] 两圆标准方程分别为x 2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝9，（0－2）2＋（0－0）2＝2＝3－1，所以两圆位置关系为内切．9．B [解析] 因为直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1，2)，所以a ＋2b ＝1.由（a ＋2b ）28≥ab ab ≤18. 10．D [解析] 圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的圆心为(2，1)，由题知直线过圆心，所以2a ＋2b －2＝0，即a ＋b ＝1.故1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2（a ＋b ）b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.11.4π3[解析] 圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2|12＋（3）2＝1，直线l 与圆C 相交所得的弦长为2 22－12＝2 3，该弦所对的圆心角为π3×2＝2π3，所以劣弧长为2π3×2＝4π3.12．x －y －3＝0 [解析] 圆心坐标为(0，－1)，则直线l 的斜率为k ＝－1－2－（－1）1－0＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.13.2 [解析] 由题意得a 2＋b 2＝8，x b ＋ya＝1可化为ax ＋by －ab ＝0，所以d ＝|a 2＋b 2－ab|a 2＋b 2＝|8－ab|8≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－a 2＋b 228＝|8－4|8＝ 2.14.5－2 [解析] 点Q 在直线x －2y －6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d ＝|1－2×0－6|12＋22＝5，因此线段PQ 长度的最小值为5－2.15．解：设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24，半径为r. 根据已知得r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋12t 2＋15＝510(t 2＋2t ＋2)＝510[(t ＋1)2＋1]≥510，当t ＝－1时取等号，此时r 最小为510，圆心坐标为(－1，14)，故所求的圆的方程是(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝120.16．解：(1)∵直线l 1过点A(3，0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切， 设直线l 1的方程为y ＝k(x －3)，即kx －y －3k ＝0.则圆心C(0，0)到直线l 1的距离为d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)，即2x ±4y －3 2＝0.(2)证明：对于圆方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，得x ＝±1，即P(－1，0)，Q(1，0)． ∵直线l 2过点A 且与x 轴垂直， ∴直线l 2的方程为x ＝3.设M(s ，t)，则直线PM 方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎨⎧x ＝3，y ＝t s ＋1（x ＋1），得P′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，4t s ＋1.同理可得，Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2t s －1. ∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x －3)(x －3)＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －2t s －1＝0. 又∵s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±2 2. ∴圆C′过定点，且定点坐标为(3±2 2，0)．。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二十)(含答案详析)
专题限时集训(二十)[第20讲 分类与整合思想、化归与转化思想](时间：45分钟)1.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.322．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g （x ），x <0为奇函数，则f [g (－1)]＝( )A ．－20B ．－18C ．－15D ．173．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋b tan ⎝⎛⎭⎫π5x (a ，b 为常数)，若f (1)＝1，则不等式f (31)>log 2x的解集为________．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x )内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )；②对于任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)；③y ＝f (x ＋2)的图像关于y 轴对称．下列结论中，正确的是( )A ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)B ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)C ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)D ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)7．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)8．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，且△ABC ，△ACD ，△ADB的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．2πB ．6πC ．4 6πD ．24π9．已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一个确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意β，m －n 的最小值是( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2 10．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设 H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．1611．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x .若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .14．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（0<x ≤1），ax －1（－1≤x ≤0），且g (x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax(0<a <1)，讨论f (x )的单调性．专题限时集训(二十)1．C [解析] sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.2．C [解析] 由于函数f (x )是奇函数，所以g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x ，g (－1)＝－3.故f (－3)＝g (－3)＝－15.3．{x |0<x <2} [解析] 函数f (x )为奇函数且周期为10，f (31)＝f (1)＝1>log 2x ，得0<x <2.4．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在R 上是增函数，当x <1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)．故函数f (x )的值域为(－∞，2)．5．C [解析] 由题意，得f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |.若a ＝0，则f (x )＝|x |，此时f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a<0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y <0恒成立，故f (x )＝|ax 2－x |在区间(0，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的．反之若a >0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a上y <0，此时f (x )＝|ax 2－x |在区间0，12a 上单调递增，在区间12a ，1a上单调递减．故函数f (x )不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．6．B [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的最小正周期为4；根据②知函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增；根据③知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，所以f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)．故f (4.5)<f (7)<f (6.5)．7．C [解析] 由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a ，6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a 2<5，（a －1）2（a ＋2）≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－5<a <5，a ≥－2，故实数a 的取值范围是[－2，1)．8．B [解析] 设侧棱AB ，AC ，AD 的长度分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π.9．A [解析] 方法一，设α＝(1，0)，β＝⎝⎛⎭⎫12，t ，γ＝(x ，y )，由(α－γ)·(β－γ)＝0，得(x －1，y )·⎝⎛⎭⎫x －12，y －t ＝0，即x 2－32x ＋12＋y 2－ty ＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x －342＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝116＋t 24.|γ|的几何意义是圆上的点到坐标原点的距离，其最大值为圆心到坐标原点的距离加圆的半径，最小值为圆心到坐标原点的距离减去圆的半径，最大值与最小值之差为圆的直径，故m －n ＝2116＋t 24≥12，当且仅当t ＝0时等号成立，此时β＝⎝⎛⎭⎫12，0.方法二，将向量α，β，γ的起点放在点O ，终点分别记作A ，B ，C .由|α－β|＝|β|可知点B 在OA 的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C 在以AB 为直径的圆上，则m －n 为圆的直径．又因为OB ＝AB ，故只要OB 最小即得，结合图形，在点B 为OA 的中点时取得，即m －n 的最小值为12.10．C [解析] 不等式f (x )≥g (x )，即x －2(a ＋2)x ＋a 2≥－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4≥0，解得x ≤a －2或x ≥a ＋2.根据定义，H 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）≤g （x ），H 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）≥g （x ）.当x ≤a －2或x ≥a ＋2时，H 1(x )＝f (x )，此时H 1(x )min ＝f (a＋2)＝－4a －4；当a －2≤x ≤a ＋2时，H 1(x )＝g (x )，此时H 1(x )min ＝g (a ＋2)＝－4a －4，即函数H 1(x )min ＝－4a －4.当x ≤a －2或x ≥a ＋2时，H 2(x )＝g (x )，此时H 2(x )max ＝g (a －2)＝－4a ＋12；当a －2≤x ≤a ＋2时，H 2(x )＝f (x )，此时H 2(x )max ＝f (a －2)＝－4a ＋12.综上所述，A ＝－4a －4，B ＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16.11.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [解析] 由f (x )＝x －1x ，f (2mx )＋2mf (x )<0，可得4mx 2<1＋4m 22m.若m >0，则x 2<1＋4m 28m 2不恒成立；若m <0，则x 2>1＋4m 28m 2，当x ∈[1，＋∞)时，若要使不等式恒成立，则1＋4m 28m 2<1，即m 2>14，所以m <－12.综上可知m <－12. 12.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 [解析] 根据题意知函数f (x )＝2|x |，若f (x ＋a )≥f 2(x )，则2|x ＋a |≥(2|x |)2＝22|x |，所以|x ＋a |≥2|x |，即3x 2－2ax －a 2≤0对任意的x ∈[a ，a ＋2]恒成立．令g (x )＝3x 2－2ax－a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g （a ）≤0，g （a ＋2）≤0，解得a ≤－32，即a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 13．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，此时，T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1.当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，（2n －1）b n －1，n ≥2， 此时，T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －1，①两端同时乘以b ，得bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n .②①－②，得(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n ＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…b n －1)－(2n －1)·b n－b ＝2（1－b n ）1－b－(2n －1)b n －b ，所以T n ＝2（1－b n ）（1－b ）2－（2n －1）b n 1－b －b1－b.综上所述，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，2（1－b n ）（1－b ）2－（2n －1）b n 1－b －b1－b ，b ≠1. 14．解：(1)f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若f ′(x )>0，则0<x <1a ，若f ′(x )<0，则x >1a ，故此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)令h (x )＝ax －1(－1≤x ≤0)，当a ＝0时，h (x )＝－1，g (x )max ＝f (1)＝0≤1，符合题意． 当a <0时，h (x )max ＝h (－1)＝－a －1，f (x )max ＝f (1)＝－a ， ∴g (x )max ＝－a ≤1，结合a <0，可得－1≤a <0. 当a >0时，h (x )max ＝h (0)＝－1. 若1a≥1，即0<a ≤1，f (x )max ＝f (1)＝－a ≥－1， ∴g (x )max ＝－a ≤1，结合0<a ≤1，可得0<a ≤1.若1a <1，即a >1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1<－1， ∴g (x )max ＝－1≤1，符合题意．综上所述，当g (x )≤1恒成立时，a ≥－1.15．解：由已知可得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＝0，得ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.(1)若0<a <12，则x 2>x 1.当0<x <1或x >1a －1时f ′(x )<0；当1<x <1a－1时，f ′(x )>0.故函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1a －1. (2)若a ＝12时，x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，当且仅当在x ＝12处f (x )的值等于零，故此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1.当0<x <1a －1或x >1时，f ′(x )<0；当1a－1<x <1时，f ′(x )>0.故此时函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1a －1，1. 综上所述，当0<a <12时，函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1a －1；当a ＝12时，函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当12<a <1，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1a －1，1.。
湖北高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十一)(含答案详析)
专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．1002．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －23．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．214．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－4005．已知等差数列{a n }，a 1＝3，d ＝2，前n 项和为S n ，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，则T n ＝________．6．数列{2n·3n }的前n 项和T n ＝________．7．设两数列{a n }和{b n }，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1），则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为( )A.1－（4n －1）（－3）n 16B.1＋3n （4n ＋1）16C.1－3n （4n ＋1）16D.1－（4n ＋1）（－3）n168．已知数列{a n }，a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1837，则n ＝________．9．若数列{c n }的通项c n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫13n，则数列{c n }的前n 项和R n ＝________． 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 9＝99，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫4a 2n －1的前n 项和T n ＝________．11．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．12．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＋2a n a n －1＝0(n ∈N *，n>1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <12.14．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝2，S n 为其前n 项和，若5S 1，S 3，3S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和T n .若对 n ∈N *，T n ≤k(n ＋4)恒成立，求实数k 的取值范围．15．设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈[1，3]，求实数m 的取值范围．专题限时集训(十一)1．C [解析] ∵S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2．C [解析] S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3．C [解析] 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号．因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10>0，S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 10＋a 11)<0.故n ＝19为所求，选C.4．B [解析] S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n n ＋1＋n （n ＋2） [解析] ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋2)， ∴1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(11＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12[n n ＋1＋n2（n ＋2）]． 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·3n ＋1＋32 [解析] T n ＝2·31＋4·32＋6·33＋…＋2n·3n ，①3T n ＝2·32＋4·33＋6·34＋…＋2n·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝2·31＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －2n·3n ＋1，则T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·3n ＋1＋32.7．D[解析] b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1]＝n. 记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n ＝1－（－3）n4－n ×(－3)n ，故S n ＝1－（4n ＋1）（－3）n16.8．18 [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1.又因为1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以S n＝12(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝1837，解得n ＝18. 9．1－n ＋13n [解析] R n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋3×⎝⎛⎭⎫132＋5×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ，①13R n＝1×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋5×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，②①－②，得23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，化简得23R n ＝13＋2×⎝⎛⎭⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝23－2（n ＋1）3×⎝⎛⎭⎫13n ，所以R n ＝1－n ＋13n .10.n n ＋1 [解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 2＝5，S 9＝99，∴a 1＋d ＝5，9（2a 1＋8d ）2＝99，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝2n ＋1.设b n ＝4a 2n －1(n ∈N ＋)．∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n(n ＋1)，∴b n ＝44n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n－1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n－1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 11．765 [解析] 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21.∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝（－60＋90－63）×302－(－60＋60－63)×20＝765.12．10 [解析] 设最佳使用年限为x 年，年平均费用为y 万元，则y ＝15＋1.5x ＋x （x ＋1）2×0.3x ＝15x＋0.15x ＋1.65≥4.65，此时x ＝10.13．证明：(1)已知a n －a n －1＋2a n a n －1＝0，两边同除以a n a n －1得1a n－1a n －1＝2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，于是1a n＝2n －1，a n ＝12n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1），则b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)<12. 14．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，∵5S 1，S 3，3S 2成等差数列， ∴2S 3＝5S 1＋3S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝5a 1＋3(a 1＋a 1q)， 化简得2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32.因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝－32不合题意，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n ＝n ，则c n ＝1b n b n －1＝1n （n ＋1）＝1n－1n ＋1，T n ＝1－12＋12－13＋ (1)－1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.∵nn ＋1≤k(n ＋4)，∴k ≥n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n ＋5.∵n ＋4n＋5≥2n·4n ＋5＝9，当且仅当n ＝4n，即n ＝2时等号成立，∴1n ＋4n＋5≤19，因此k ≥19， 故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞. 15．解：(1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1.② ②－①，得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n －13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， b n ＝2n 3＋29－29⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝6n ＋2＋（－2）1－n9.(3)S n ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2m 3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n>0，所以由S n ∈[1，3]得， 11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， 注意到，当n 为奇数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，故1≤2m 3≤2，解得32≤m ≤3；当n 为偶数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1， 故43≤2m3≤3，解得2≤m ≤6. 由于对于任意的正整数n 都有11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， 所以2≤m ≤3.。
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十四)(含答案详析)
专题限时集训(十四)[第14讲 圆锥曲线的方程与性质](时间：45分钟)1．已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的左焦点为F 1，右顶点为A ，上顶点为B.若∠F 1BA ＝90°，则椭圆的离心率是( )A.5－12B.3－12C.32D.122．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4 10x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 29＝1B ．x 2－y 2＝15 C.x 29－y 2＝1 D.x 29－y 29＝1 3．已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．54．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)右支上的一点P(x 0，y 0)到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为2 2，且到两条渐近线的距离之积为23，则双曲线的离心率为( )A.52B.62C. 5D. 65．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为2 5，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62C.3 55D. 56．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的14，则双曲线的离心率是( )A ．2B ．4 C.4 1515 D.2 337．抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 212－y4＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A.4 33B.2 33C.33D ．2 3 8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 55B.62C.32D.5511．已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为________．12．设F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2＝1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0.若此双曲线的离心率等于52，则点P 到x 轴的距离等于________．13．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积的最大值为12，则椭圆方程为________．14．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝36，则抛物线的方程为________．15．已知椭圆与双曲线x 2－y 2＝0有相同的焦点，且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，长轴的左、右端点分别为A 1，A 2，且FA 1→·FA 2→＝－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过焦点F 斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D.试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．专题限时集训(十四)1．A [解析] 根据已知得－b c ×b a ＝－1，即b 2＝ac ，由此得c 2＋ac －a 2＝0，即⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(舍去负值)．2．C [解析] 抛物线y 2＝4 10x 的焦点为(10，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝10，e ＝10a ＝103.∴a ＝3，b ＝1，∴该双曲线的方程为x 29－y 2＝1.3．A [解析] 抛物线x 2＝－4y 的准线为l ：y ＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e ＝ 2.4．B [解析] 由题意知a ＝2，|bx 0－ay 0|a 2＋b 2·|bx 0＋ay 0|a 2＋b2＝23，所以b 2x 20－a 2y 20a 2＋b 2＝23，因此a 2b 2a 2＋b 2＝23，因此b ＝1，e ＝1＋12＝62. 5．C [解析] 圆心(3，0)到渐近线的距离为32－⎝⎛⎭⎫2 522＝2，所以|3b|a 2＋b2＝2，b 2a 2＝45，e ＝1＋b 2a 2＝3 55.6．D [解析] 由题意可知c2＝|bc|a 2＋b2，所以a 2＝3b 2，e ＝1＋b 2a 2＝2 33.7．A [解析] y 2＝8x 的准线为x ＝－2，双曲线x 212－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以S ＝2 33×2×2×12＝4 33.8．D [解析] 即a 2＋b 2a ·m 2－b 2m>1，即(a 2＋b 2)(m 2－b 2)>a 2m 2，即－a 2b 2＋b 2(m 2－b 2)>0，即a 2＋b 2<m 2，故以a ，b ，m 为边长的三角形一定是钝角三角形．9．B [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB|，显然，AB 最短即为通径，|AB|min ＝2·b 2a ＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min ＝11.10．A [解析] 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为(3，0)，半径r ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.圆心到直线bx －ay ＝0的距离d ＝|3b|a 2＋b 2＝r ＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，即b 2＝45a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋45a 2＝95a 2，所以e 2＝95，即e ＝3 55.11．3 [解析] 由GA →＝λPF 1→可知GA ∥PF 1，因为G 是△PF 1F 2的重心，所以|PO||GO|＝3＝|OF 1||OA|＝ca，所以e ＝3. 12.55 [解析] ∵x 2a 2－y 2＝1的离心率等于52，∴a 2＋1a 2＝54，∴a 2＝4.∵点P 在双曲线x 24－y 2＝1上，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝16.又∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF ⊥PF 2， ∴|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|＝16，解得|PF 1||PF 2|＝2.设P 点到x 轴的距离等于d ，则12|F 1F 2|·d ＝12|PF 1||PF 2|.解得d ＝55.13.x 225＋y29＝1 [解析] 当点P 为椭圆的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大，此时△PF 1F 2的面积为S ＝12×8×b ＝12，解得b ＝3.又a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆方程为x 225＋y 29＝1.14．y 2＝2 3x [解析] 设A(x 0，y 0)，则点A 关于点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的对称点B 的坐标为(p－x 0，－y 0)，该点在抛物线的准线x ＝－p 2上，所以p －x 0＝－p 2，即x 0＝3p2，此时B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－y 0.点C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0.所以BA →＝(2p ，2y 0)，BC →＝(0，2y 0)，因为BA →·BC →＝36，所以4y 20＝36，解得y 0＝3(舍去负值)，此时点A ⎝⎛⎭⎫32p ，3，代入抛物线方程，得9＝3p 2，解得p ＝3，所以所求的抛物线方程为y 2＝2 3x.15．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a>b>0，由c ＝2，c a ＝22，可得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），可得x 1＝－2x 2.①设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程，整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，则x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1，② x 1x 2＝－22k 2＋1，③ 由①②得x 2＝4k 2k 2＋1，将x 1＝－2x 2代入③得x 22＝12k 2＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋12＝12k 2＋1，解得k 2＝114.又△AOB 的面积S ＝12|OP|·|x 1－x 2|＝12·|12k|2k 2＋1＝3 148.所以△AOB 的面积是3 148.16．解：(1)依题设A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，则FA 1→＝(－a －1，0)，FA 2→＝(a －1，0)． 由FA →1·FA →2＝－1，得1－a 2＝－1，解得a 2＝2，又c ＝1， 所以b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意直线l 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，弦AB 的中点为M(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 0＝2k 22k 2＋1，y 0＝－k2k 2＋1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.直线MD 的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 22k 2＋1，令y ＝0，得x D ＝k 22k 2＋1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22k 2＋1，0. 若四边形ADBE 为菱形，则x E ＋x D ＝2x 0，y E ＋y D ＝2y 0.所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 22k 2＋1，－2k 2k 2＋1. 若点E 在椭圆C 上，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 22k 2＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 2＋12＝2.整理得k 4＝2，解得k 2＝ 2.所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．此时点E 到y 的轴距离为|x E |＝12－3 27.。
高考数学二轮复习(浙江专用)小题综合限时练(十)Word版含解析
(限时： 40 分钟 )一、选择题 (本大题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋5i，2＋4i(i 为虚数单位 )对应的点分别为A、C.若 C 为线段 AB 的中点，则点 B 对应的复数是 ()A. －2＋3iB.4＋iC.－4＋iD.2－3i分析∵两个复数对应的点分别为A(6， 5)、C(2，4)， C 为线段 AB 的中点，∴ B(－2，3)，即其对应的复数是－ 2＋3i. 应选 A.答案A2.如图，设全集U 为整数集，会合A＝{ x∈N|1≤ x≤ 8} ，B＝{0 ，1，2} ，则图中暗影部分表示的会合的真子集的个数为()A.3.4C.7.8分析依题意， A∩ B＝{1 ，2} ，该会合的真子集个数是22－＝应选1 3.A.答案Ax＋y≤ 3，3.已知实数 x、y 知足不等式组x＋y≥ 2，若 z＝x－y，则 z 的最大值为 ()x≥0， y≥ 0，A.3B.4C.5D.6x＋y≤3，分析作出不等式组x＋y≥2，x≥0，y≥0所对应的可行域 (如下图 )，变形目标函数为 y＝x－z，平移直线 y＝ x－ z 可知，当直线经过点 (3，0)时， z 取最大值，代值计算可得z＝x－ y 的最大值为 3.应选 A.答案A已知、F为双曲线 C：x2－ y2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF＝，4.F1 21|2|PF2|则 cos∠F1PF2＝ ()13A. 4B.434C.5D.5分析由双曲线的定义知， |PF1－2＝＝，||PF |2a 2又 |PF1|＝ 2|PF2 |，∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，又 |F1F2|＝2c＝2 2，∴cos ∠F1PF2＝|PF1|2＋ |PF2|2－|F1F2|232|PF1| ·|PF2|＝4.应选 B.答案 B5.已知定义在R上的函数 f(x)知足条件：①对随意的 x∈R，都有 f(x＋4)＝f(x)；②对随意的 x1、 x2∈[0，2]且 x1＜x2，都有 f(x1)＜2；f(x )③函数 f(x＋2)的图象对于 y 轴对称 .则以下结论正确的选项是 ()A.f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)B.f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)C.f(4.5)＜ f(6.5)＜f(7)D.f(4.5)＜f(7)＜ f(6.5)分析由函数 f(x＋2)的图象对于 y 轴对称，得 f(2＋x)＝f(2－x)，又 f(x＋ 4)＝f(x)，∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝ f(2＋1)＝ f(2－ 1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝ f(1.5)，由题意知， f(x)在 [0， 2] 上是增函数，∴f(4.5)＜ f(7)＜ f(6.5).应选 D.答案D6.已知在锐角△ ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，△A.[2 ，6)ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为B.[ 2，6)()C.[2 ，6)D.[4， 6)分析∵ A、B、C 成等差数列，∴2B＝A＋C，又 A＋ B＋ C＝180°，∴ 3B＝180°，即 B＝60°.∵ S＝1132acsin B＝2acsin 60＝°4 ac＝3，∴ac＝4.法一由余弦定理，得b2＝ a2＋c2－2accos B＝ a2＋c2－ 2accos 60°＝a2＋c2－ac，又△ ABC 为锐角三角形，∴ a2＋ b2＞c2，且 b2＋ c2＞a2，∵ b2＝a2＋c2－ ac，∴b2＋c2＜ (a2＋c2－ ac)＋ (a2＋b2 )，整理得 2a＞c，且 b2＋ a2＜(a2＋c2－ac)＋(b2 2c ac222＋ c )，整理得2c＞ a，∴2＜a＜2c，2＜a＜2ac，又 ac＝4，∴2＜a ＜ 8， b 2221622216＝ a＋c－ ac＝a＋a2－4，2＜a＜8，∴令 a ＝t∈(2，8)，则 b ＝f(t)＝t＋t－4，2＜t＜8，∵函数 f(t)在(2， 4)上单一递减，在 (4，8)上单一递加，∴f(t)∈ [4，6)，即 4≤b2＜6，∴ 2≤ b＜ 6.应选 A.a bc b2法二由正弦定理sin A＝sin B＝sin C，得ac＝sin2B·42sin Asin C? 4＝3b sin Asin(120 －°A)，3＝3即 b2＝31sin Asin（120°－A）sin A2 cos A＋2sin A336＝3 1 2＝31＝sin（2A－30°）＋1，2 sin Acos A＋2sin A4 sin 2A＋4（1－cos 2A）21366∵ 30°＜A＜90°，∴30°＜2A－30°＜150°，1＜ sin(2A－30°)＋2≤2，∴3≤b2＜1， 2即 4≤b2＜6，∴ 2≤ b＜ 6.应选 A.答案A7.点 P 是底边长为 2 3，高为 2 的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切→ →的取值范围是 ()球的一条直径，则 PM·PNA.[0 ，2]B.[0， 3]C.[0 ，4]D.[ －2，2]分析→ →如下图，设正三棱柱的内切球球心为 O，则PM·＝PN→→→→→→→→→2→ 2，(PO＋OM) ·(PO＋ON)＝(PO＋OM) ·(PO－OM)＝PO－OM由正三棱柱底边长为 2 3，高为 2，可得该棱柱的内切球半径为 OM＝ON＝ 1，外接球半径为 OA＝OA1＝5，对三棱柱上任一点 P 到球心 O→ →→ 2→ 2→ 2的距离的范围为 [1 ， 5]，∴ PM·PN＝PO－OM ＝OP －1∈[0，4].应选 C.答案 C在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为2＋y2－8x＋15＝ 0，若直线 y＝ kx8.x＋ 2 上起码存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是 ()45A. －3B.－435C.－5D.－3分析∵圆 C 的方程可化为 (x－ 4)2＋2＝，∴圆C 的圆心为，，半径为，y 1(4 0)1由题意设直线 y＝ kx＋2 上起码存在一点 A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，∴存在 x0∈R，使得 |AC|≤1＋1 成立，即 |AC|min≤2，∵ |AC|min即为点C 到直线＝kx＋2的距离 |4k＋2|≤ 2，解得－4≤k≤0，即 k y23k ＋ 14的最小值是－3.应选 A.答案A二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.)曲线＝－2在点 (－1，－ 1)处的切线方程为 ________.9.y 1x＋2分析法一∵y＝1－2＝x，∴y′＝x＋2－x2＝，x＋2x＋2（ x＋ 2）2（ x＋ 2）2∴ y′|x＝－1＝ 2，∴曲线在点 (－ 1，－ 1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.法二由题意得 y＝ 1－2 ＝1－2(x＋2)－1，x＋2∴y′＝ 2(x＋ 2)－2，∴y′|x＝－1＝2，所求切线方程为y＋ 1＝ 2(x＋ 1)，即 y＝2x＋1.答案y＝2x＋ 110.在等比数列 { a n} 中，若 a5＋ a6＋ a7＋a8＝15，a6a7＝9，则1 ＋ 1 ＋1 ＋ 1 ＝48a5a6a7a8________.分析由等比数列的性质知 a58＝ 6 7，∴1＋1＋1＋15867＝ a ＋a＋ a ＋a＝a a a a5 a6a7 a8a5a8a6a7a ＋ a ＋a ＋a815810567＝4×9＝3.a6a7答案10 311.已知空间几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是 ________.分析由三视图知该几何体为两个半径为 1 的半球与一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱的组合体，因此几何体的表面积为4π×12＋ 2π× 1× 2＝8π，体43210π积为3π×1 ＋π× 1 ×2＝3 .10π答案8π3π12.若 x＝6是函数 f(x)＝sin2x＋ acos2x 的一条对称轴，则函数f(x)的最小正周期是 ________；函数 f(x)的最大值是 ________.解析因为f(x)＝ sin2x ＋ acos2x ＝1＋a2 sin(2x ＋π2ππφ)此中 tan φ＝a，0<|φ|< 2，因此f(x)的最小正周期T＝2＝π；由于x＝6是πππ函数 f(x)的一条对称轴，因此2×6＋φ＝kπ＋2，即φ＝kπ＋6 (k∈Z )，因此φπ32 2 3＝6，因此 a＝ tan φ＝3，因此函数 f(x)的最大值为1＋a ＝ 3 .2 3答案π 31 x13.已知正数 x， y 知足 x＋y＝1，则 x－y 的取值范围为 ________，x＋y的最小值为 ________.分析设 y＝ 1－ x，则 x－y＝x－ (1－x)＝2x－1，0<x<1，因此 x－y∈(－1，1)；1 x x ＋y x y x y x 1 x ＋y ＝x ＋y ＝ x ＋ y ＋ 1≥3，当且仅当 x ＝ y ，即 x ＝y ＝2时获得等号 . 答案 (－1，1) 314.如图，等腰△ OAB 中，∠OAB ＝∠ OBA ＝ 30°，E ，→→ →＝λOA ，OF ＝F 分别是直线 OA ，OB 上的动点，OE → → 若 → →μOB ，|OA ＝AF · AB ＝ 9，则 μ＝________；若| 2.→ →λ＋2μ＝ 2，则 AF ·BE 的最小值是 ________.分析以 AB 为 x 轴，AB 的垂直均分线为 y 轴成立平面直角坐标系， 由 |OA|＝2，∠OAB ＝ ∠OBA ＝30°得A(－ 3，0)，B(→ →3，0)，O(0，1)，AB ＝(2 3，0)，由OF→→→ →3( 3μ＋ 3)＝ μOB 得 F( 3μ，1－μ)，因此 AF ＝ ( 3μ＋ 3，1－μ)，由AF ·AB ＝21→ →→＝ 9 得 μ＝2，由 OE ＝ λOA 得 E(－ 3λ， 1－ λ)， BE ＝(－ 3λ－ 3，1－λ)，由 λ→ → → 2＋ 2μ＝2 得 BE ＝(－3 3＋ 2 3μ，2μ－ 1)，因此 AF ·BE ＝ 4μ－ 10，当 μ＝0 时，→ →AF ·BE 获得最小值－ 10.1 答案－102π15.对于函数 f(x)＝ 2sin 2x － 6 (x ∈ R )，有以下命题：π① y ＝f(x)的图象对于直线 x ＝－ 6对称；π② y ＝f(x)的图象对于点 6 ，0对称；③若 f(x 1)＝ f(x 2 )＝0，可得 x 1－ x 2 必为 π 的整数倍；π π④ y ＝f(x)在 － 6 ， 6 上单一递加；π⑤ y ＝f(x)的图象可由 y ＝2sin 2x 的图象向右平移6 个单位获得 .此中正确命题的序号有 ________.分析ππ∈，即＝kπ π对于①，y＝f(x)的对称轴是 2x－＝π＋，(k Z )x＋，当6k223ππk＝－ 1 时， x＝－6，即①正确；对于②， y＝f(x)的对称点的横坐标知足2x－6kππ＝ kπ，(k∈Z)，即 x＝2＋12.即②不可立；对于③，函数 y＝f(x)的周期为π，π若 f(x1)＝f(x2)＝0，可得 x1－x2必为半个周期2的整数倍，即③不正确；对于④，y＝f(x)的增区间知足－πππππ2 ＋2kπ≤2x－ 6≤ 2＋2kπ，k∈Z，∴－6 ＋kπ≤x≤ 3 ＋kπππ，k∈Z，即④成立；对于⑤，y＝2sin 2 x－ 6 ＝2sin 2x－ 3 ≠f(x)，即⑤不正确 .答案①④。
(浙江专版)高考数学分项版解析专题11排列组合、二项式定理理【含答案】.docx
【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理一．基础题组1. 【2014 年. 浙江卷. 理5】在(1 x) y 的展开式中，记6 (1 )46 (1 )4x 项的系数为 f (m, n) ，则m y nm y nf (3,0 ) f ( 2,1) f (1,2） f ( 0,3) （）A.45 B.60 C.120 D. 210答案：C解析：由题意可得3 2 1 1 2 3f 3,0 f 2,1 f 1, 2 f 0,3 C C C C C C 20 60 36 4 120，故选6 6 4 6 4 4C考点：二项式系数.2. 【2014 年. 浙江卷. 理14】在8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖. 将这8张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.513. 【2013 年. 浙江卷. 理11】设二项式x的展开式中常数项为A，则A＝__________.3x【答案】：－10【解析】：T r＋1＝r r r51r x 5 r r x 2 r x 3C ( ) C ( 1)5 3 5x5 r r 15 5r ＝r r x r r x .2 3 6( 1) C ( 1) C5 5令15－5r ＝0，得r ＝3，所以A＝( －1) 3 3C ＝52C ＝－10.54. 【2013 年. 浙江卷. 理14】将A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有__________种( 用数字作答) ．【答案】：480- 1 -【解析】：如图六个位置. 若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A55种情况；若C放在第 2 个位置，则从3,4,5,6 共4 个位置中选 2 个位置排A，B，再在余下的3 个位置排D，E，F，共2A ·43A 种排法；若C放在第 3 个位置，则可在1,2 两个位置排A，B，3其余位置排D，E，F，则共有2A ·23A 种排法或在4,5,6 共3 个位置中选 2 个位置排A，B，3再在其余 3 个位置排D，E，F，共有2A ·33A种排法；若C在第4 个位置，则有3A223A ＋3A23A33种排法；若C在第5 个位置，则有A243A 种排法；若C在第 6 个位置，则有35A 种排法．5综上，共有2(5A ＋5A243A＋3A233A＋3A223A ) ＝480( 种) 排法．35. 【2012 年. 浙江卷. 理6】若从1,2,3 ，⋯，9 这9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60 种 B ．63 种 C ．65 种 D ．66 种【答案】D【解析】1，2，3，⋯，9 这9 个整数中有 5 个奇数， 4 个偶数．要想同时取 4 个不同的数其和为偶数，则取法有：4 个都是偶数： 1 种；2 个偶数，2 个奇数： 2 2C5 C4 60 种；4 个都是奇数：4C5 5 种．∴不同的取法共有66 种，故选D．56. 【2012 年. 浙江卷. 理14】若将函数 f ( x)＝x 表示为 f ( x) ＝a0＋a1 (1 ＋x) ＋a2(1 ＋x)2＋⋯＋a5(1 ＋x)5，其中a0，a1，a2，⋯，a5 为实数，则a3＝__________．6a7. 【2011 年. 浙江卷. 理13】若二项式x ( 0) 的展开式中xax 3的系数为A，常数项为B，若B 4A，则a的值是.【答案】2【解析】：a 6r r n r r r r rT 1 ( 1) C6 x( ) ( 1) a C6 xrx32r令36 r 32- 2 -得r2则A 2 2 2a C6 15a 令36 r 0得r 42则B 4 4 4 4( 1) a C 15a ，由又B=4A得64 215a 4 15a 则a 28. 【2009 年. 浙江卷. 理4】在二项式 2 1 5(x )x的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A．10 B ．10C． 5 D ． 5答案：B【解析】对于1rr 2 5 r r r 10 3rT C ( x ) ( ) 1 C xr 1 5 5x，对于10 3r 4, r 2，则4x 的项的系数是 2 2C5 ( 1) 109. 【2009 年. 浙江卷. 理16】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336【解析】对于7 个台阶上每一个只站一人，则有3A 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，7则共有 1 2C A 种，因此共有不同的站法种数是336 种．3 710. 【2008 年. 浙江卷. 理4】在(x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 的展开式中，含4x 的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27411. 【2006 年. 浙江卷. 理8】若多项式2 10 9 10x x a0 a1(x1) a9(x1) a10 (x1) ,则a9(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10【答案】D【解析】因为2 102 10 1 1 1 1x x x x ，所以1a9 C10 1 10 , 故选 D.12. 【2005 年. 浙江卷. 理5】在(1 －x)5＋(1 －x)6＋(1 －x)7＋(1 －x)83的展开式中，含x的项- 3 -的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121【答案】D【解析】：(1 －x)5＋(1 －x)6＋(1 －x)7＋(1 －x)8=5 4 5 9(1 x) [1 (1 x) ] (1 x) (1 x)1 (1 x) x,(1-x) 5 4中x的系数为4C5 5 ,-(1-x)9 4中x的系数为- 4C9 126 ,-126+5=-121, 故选(D)二．能力题组1. 【2008 年. 浙江卷. 理16】用1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和2 相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答) 。
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(七)(含答案详析)
专题限时集训 (七 )[第 7 讲三角函数的图像与性质 ](时间： 45 分钟 )1．已知 sin 10°＝ k ，则 sin 70°＝ ( )A ． 1－ k 2B ． 1＋k 2C ． 2k 2－ 1D ． 1－ 2k 23，且 α是第三象限角，则sin 2α－ tan α ＝ ()2．已知 sin α ＝－ 32 222 A. 3B. 4C. 6D. 83．设 sinπ＝ 1，则 sin 2θ ＝()4＋ θ37 1 1 7A ．－ 9B ．－ 9 C. 9 D. 94．函数 f(x) ＝sin x －cos x － π的值域为 ()6A ． [－2，2]B ．[－ 3， 3]33C ．[ －1，1]D. －，π5．将函数π的图像上各点向右平移个单位，则获得新函数的分析式为y ＝sin6x ＋ 4 8()ππ A ． y ＝ sin 6x － B ． y ＝ sin 6x ＋42 C ． y ＝ sin 6x ＋ 5ππD ． y ＝sin 6x ＋886．为获得函数 y ＝ cos2x ＋π 的图像，只需要将函数y ＝ sin 2x 的图像 ()35π5πA ．向左平移 12 个单位B ．向右平移个单位125π5π C ．向左平移 6 个单位D ．向右平移 6 个单位7．要获得函数 y ＝ cos(2x ＋ 1)的图像，只需将函数 y ＝ cos 2x 的图像 ()A ．向左平移 1 个单位B ．向右平移 1 个单位1 D ．向右平移1C ．向左平移 2个单位 2个单位π5π和 x ＝是函数 f(x) ＝ sin( ωx＋ φ)图像的两条相邻的8．已知 ω >0，0<φ<π ，直线 x ＝ 44对称轴，则 φ＝ ()πππ 3πA. 4B. 3C. 2D. 49．对于函数 f(x) ＝ sin 2x ＋ π与函数 g(x) ＝ cos2x －3π，以下说法正确的选项是 ()44A ．函数 f(x) 和 g(x) 的图像有一个交点在 y 轴上B ．函数 f(x) 和 g(x) 的图像在区间 (0， π) 内有 3 个交点π C ．函数 f(x) 和 g(x) 的图像对于直线 x ＝ 2 对称D ．函数 f(x) 和 g(x) 的图像对于原点 (0， 0)对称10．若函数 f(x) ＝ sin ω x ＋ 3cosω x(x ∈ R ， ω >0) 知足 f( α)＝－ 2， f( β)＝ 0，且 | α－ β|π的最小值为，则函数 f(x) 的单一递加区间为________．2图 X7－1π11．如图 X7 － 1 所示的是函数 f(x) ＝2sin(ωx＋ φ)( ω >0，0≤ φ≤ 2 )的部分图像， 此中 A ，B 两点之间的距离为 5，那么 f( － 1)＝ ________．12．图 X7 －2 表示的是函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)( ω >0，－ π<φ <π )的图像的一段， O 是坐→ → → 标原点， P 是图像的最高点， M 点的坐标为 (5，0)，若 |OP|＝ 10，OP ·OM ＝15，则此函数 的分析式为 ________．图 X7－21－ 2sin 2x － π413．已知函数 f(x) ＝cos x.(1)求函数 f(x) 的定义域；4，求 f( α)的值．(2)设 α是第四象限的角，且tan α ＝－ 314．已知函数 f(x) ＝ sin(ωx＋φ)(ω >0， |φ |<π)的部分图像如图 X7－3 所示， (1) 求 ω， φ 的值；(2) 设 g(x) ＝ 2 2fx fxπ π2－ 1，当 x ∈ [0，] 时，求函数 g(x) 的值域．2－82图 X7－3π215．已知函数f(x) ＝ cos 2x－＋2sin x，x∈R.(1)求函数 f(x) 的最小正周期及对称轴方程；π(2)当 x∈0，时，求函数f(x) 的最大值和最小值及相应的x 值．专题限时集训 (七 )1．D[ 分析 ] sin 10 °＝ k ， sin 70°＝ cos 20°＝ 1－ 2sin 2 10°＝ 1－ 2k 2.362．C[分析 ] 由 sin α ＝－ 3 ，α 为第三象限角， 得 cos α ＝－ 3 ，由 sin 2α ＝ 2sin2 2 22α cos α ＝3 ， tan α ＝ 2 ，得 sin 2α －tan α ＝6.3．A[分析 ] 由于 sinπ12 sin θ ＋21，所以 sin θ ＋ cos θ ＝24 ＋θ ＝ ，即 2 2cos θ＝，33 3两边平方得 1＋ 2sin θ cos θ ＝ 2，所以 sin 2θ ＝－ 7 .9 94． C[ 分析 ] f(x) ＝ sin x －π，该函数的值域为[－1，1]．3ππy ＝ sin π π5． A [ 分析 ] y ＝ sin 6x ＋ 4 的图像向右平移 8 个单位后变成 6x － 8 ＋ 4 ＝π .sin 6x －26．A π ＝ cos π ＝ cos 2 π ，y ＝ cosπ [分析 ] 由于 y ＝sin 2x ＝ cos 2x 2x － 2 x － 4 2x ＋ 3 2－π5π＝ cos 2x ＋ 6 ，所以应向左平移 12 个单位．7． C [ 分析 ] 把函数 y ＝cos 2x 的图像向左平移1个单位，得 y ＝ cos 21的图像，2x ＋2即 y ＝ cos(2x ＋ 1)的图像，所以选 C.8．A[分析]π 5π π π π由题设知， ＝ － ，则 ω＝ 1，由 ＋ φ＝ k π ＋ (k ∈ Z )，得 φ＝ k π ＋ω 4 4 4 2ππ4 (k ∈ Z )，由于 0<φ<π，所以 φ＝ 4 .3ππ ππππ 9． D[分析 ] g(x) ＝cos2x － 4＝ cos 2x － 4 － 2 ＝ cos 2 － 2x － 4 ＝ sin2x － 4 与πf(x) ＝ sin(2x ＋ 4 )对于原点对称，应选 D.5π ππ10.2k π－ 6 ， 2k π＋6 (k ∈ Z ) [分析 ] f(x) ＝ sin ω x ＋ 3cos ω x ＝ 2sin ωx＋ 3.由于π π＝ ，所以 T＝ ，得 T ＝ 2π (T 为函数 f(x) 的最小正周期 )，f( α)＝－ 2， f( β)＝ 0，且 | α－ β|min24 22ππ.由 2k π － π ππ5π 故 ω ＝ ＝ 1，所以 f(x) ＝ 2sinx ＋ 3 ≤ x ＋ ≤ 2k π ＋ ，解得 2k π －≤ x ≤T23 2 6π5ππ2k π ＋ 6(k ∈ Z ) ．所以函数 f(x) 的单一递加区间为 2k π－ 6 ， 2k π＋6 (k ∈ Z )．2π π π11．－ 1 [分析 ] 由题意知 T ＝ 6，则 ω＝ 6 ＝ ，再由 2sin φ ＝ 1 得 φ＝ ，故 f(x) ＝3 6 π π2sin ，所以 f( － 1)＝－ 1.3x ＋ 6π π设 P 点坐标为 (m ，n)，由于 →→ →12．y ＝ sin[分析] |OP|＝10，OP ·OM ＝ 15，所4 x － 4m 2＋ n 2＝ 10，m ＝ 3，2π 2π以解得所以 P 点的坐标为 (3，1)，从而得 A ＝ 1，ω ＝ T ＝ 8 ＝5m ＋ 0＝ 15， n ＝ 1，ππ，得 1＝ sin( π，把点 P 的坐标 (3，1) 代入函数 y ＝ sin × 3＋ φ)．由于－ π <φ <π ，44 x ＋φ4πy ＝ sin ππ.所以 φ＝－ ，则函数的分析式为444 x －π13． 解： (1)函数 f(x) 要存心义需知足cos x ≠ 0，解得 x ≠ ＋ k π (k ∈ Z )，2即 f(x) 的定义域为xx ≠ π2＋ k π，k ∈ Z.1－ 2sin 2x －π4(2)f(x) ＝＝cos x2 21－ 2 2 sin 2x － 2 cos 2x 1＋ cos 2x － sin 2xcos x＝ cos x＝2cos 2x － 2sin xcos x＝2(cos x － sin x) ，cos x由 tan α＝－ 4，得 sin α＝－ 4cos α，又∵ sin 2α ＋ cos 2α ＝ 1，33∴ cos 2α ＝ 9.25∵ α 是第四象限的角，∴ cos α ＝ 35， sin α ＝－ 45，∴ f(α)＝ 2(cos α － sin α )＝14. 5π π＝ π ，则 ω＝2π 14． 解： (1)由图像知 T ＝ 4－ 4 ＝ 2.2Tπ由 f(0) ＝－ 1 得 sin φ＝－ 1，即 φ＝ 2k π－ 2 (k ∈ Z )．π∵ |φ |<π ，∴ φ ＝－ 2 . π(2)由 (1)知 f(x) ＝ sin 2x －＝－ cos 2x.∵ g(x) ＝ 22fx fxππ 2cos x[2 2－ 1＝2 2(－cos x) [·－ cos(x －)] －1＝ 22(cos x ＋2－84πsin x)] － 1＝ 2cos 2 x ＋2sin xcos x － 1＝ cos 2x ＋ sin 2x ＝ 2sin(2x ＋ 4 )，当 x ∈ π π 5π π 2，1]，π时， 2x ＋ ∈ ，则 sin(2x ＋ )∈ [－0， 2 4 4 ，4 4 2∴ g(x) 的值域为 [ － 1， 2]．15．解：(1)f(x) ＝ cosπ＋ 2sin21cos 2x ＋ 3 3 1 2x － 3 x ＝ 2sin 2x ＋ 1－ cos 2x ＝2sin 2x － cos 2x22＋ 1＝ sin 2x －π ＋ 1.6则 f(x) 的最小正周期为T ＝2π＝ π .2ππk π π由 2x － 6 ＝k π ＋ 2 ，得对称轴方程为 x ＝ 2 ＋ 3， k ∈ Z .π π 5π (2)当 x ∈π时，－ ≤ 2x － ≤ ， 0， 2 6 66π ππ则当 2x － 6＝ 2，即 x ＝ 3 时， f(x) max ＝ 2；π π1 当 2x － ＝－ ，即 x ＝ 0 时， f(x) min ＝ .6 62。
高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十一)A(浙江省专用)
专题限时集训<二十一>A
[第21讲坐标系与参数方程]
<时间：30分钟>
1．在极坐标系中,曲线L：ρsin2θ＝2cosθ,过点A<5,α>错误!作平行于θ＝错误!<ρ∈R>的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点．
<1>以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的普通方程；
<2>求|BC|的长．
2．在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为错误!<θ为参数>,直线l经过点P<2,2>,倾斜角α＝错误!.
<1>写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
<2>设l与圆C相交于A,B两点,求|P A|·|PB|的值．
3．在极坐标系Ox中,已知曲线C1：ρ＝2错误!,C2：ρ＝－4cosθ错误!≤θ≤错误!或错误!≤θ≤错误!.
<1>求由曲线C1,C2围成区域的面积；
<2>设直线θ＝α<ρ∈R,0≤α<π>与曲线C1交于M,N两点,与曲线C2的另一交点为A<A在O,M之间>,若MA,AO,ON成等比数列,求cosα的值．
4．在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A,B的极坐标分别为错误!,错误!,曲线C的参数方程为错误!<α为参数>．
<1>求直线AB的直角坐标方程；
<2>若直线AB和曲线C只有一个交点,求r的值．
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浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十七)(含答案详析)
专题限时集训(十七)[第17讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟)1．已知椭圆C ：x 24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上3．已知两定点A (1，1)，B (－1，－1)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线4．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C ．(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，12 5．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4)6．过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23C ．1 D.437．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫14，18．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A点在x 轴上方，则|F A |的取值范围是________．9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．10．已知E (2，2)是抛物线C ：y 2＝2px 上一点，经过点(2，0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(不同于点E )，直线EA ，EB 分别交直线x ＝－2于点M ，N ，则∠MON 的大小为________．11．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，过点M (2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．在x 轴上若存在定点P ，使PM 平分∠APB ，则P 的坐标为________．12．已知点A (m ，4)(m >0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为点B 和点C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值；(2)图X17－113．如图X17－2所示，已知圆C 1：x 2＋(y －1)2＝4和抛物线C 2：y ＝x 2－1，过坐标原点O 的直线与C 2相交于点A ，B ，定点M 的坐标为(0，－1)，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1＝λ，求λ的取值范围．图X17－214．已知直线l ：y ＝2x －2与抛物线M ：y ＝x 2的切线m 平行． (1)求切线m 的方程和切点A 的坐标；(2)若点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作抛物线M 的两条切线，切点分别为B ，C并且分别与切线m 交于E ，F 两点，试问S △ABC|EF |是否为定值？若是，求出其值；若不是，则说明理由．专题限时集训(十七)1．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去它到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．3．B [解析] 由题知PA →＝(1－x ，1－y)，PB →＝(－1－x ，－1－y)，所以PA →·PB →＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，得x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆．4．A [解析] 根据已知得m>0，n>0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，解得n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2，由于m>0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e<1.5．B [解析] x ＋2＝0为抛物线的准线．根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)．6．B [解析] 设M(x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.因为点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时等号成立．7．D [解析] 抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x ＝－1，过点P 作准线的垂线交准线于B ，则|PF|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，所以当A ，P ，B 三点共线时，|PA|＋|PF|最小，此时y P ＝y A ＝1，所以x P ＝14y 2A ＝14，即P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1. 8.⎝⎛⎦⎤14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，但取不到．右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x ＝32＋⎝⎛⎭⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.9.3 [解析] 由y 2＝4x 可求得焦点F 的坐标为(1，0)．因为l 的倾斜角为60°，所以斜率为k ＝tan 60°＝ 3.利用点斜式求得直线l 的方程为y ＝3x － 3.将直线和抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x ，可解得A ，B 两点的坐标分别为(3，2 3)，⎝⎛⎭⎫13，－2 33，因此S △OAF ＝12·|OF|·y A＝12×1×2 3＝ 3. 10.π2[解析] 将E(2，2)的坐标代入y 2＝2px ，得p ＝1， 所以抛物线方程为y 2＝2x.设A ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，M(x M ，x N )， 直线l 方程为x ＝my ＋2，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2my －4＝0，则由韦达定理得y 1y 2＝－4，y 1＋y 2＝2m.直线AE 的方程为y －2＝y 1－2y 212－2(x －2)，即y ＝2y 1＋2(x －2)＋2， 令x ＝－2，得y M ＝2y 1－4y 1＋2.同理可得y N ＝2y 2－4y 2＋2.又OM →＝(－2，y M )，ON →＝(－2，y N )，OM →·ON →＝4＋y M y N ＝4＋4（y 1－2）（y 2－2）（y 1＋2）（y 2＋2）＝4＋4[y 1y 2－2（y 1＋y 2）＋4][y 1y 2＋2（y 1＋y 2）＋4]＝4＋4（－4－4m ＋4）－4＋4m ＋4＝0.所以OM →⊥ON →，即∠MON 为定值π2.11.⎝⎛⎭⎫92，0 [解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋2.将直线AB的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得(4m 2＋9)y 2＋16my －20＝0，所以y 1＋y 2＝－16m4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9.若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA ＋k PB ＝0.设P(a ，0)，则有y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0，将x 1＝my 1＋2，x 2＝my 2＋2代入上式，整理得2my 1y 2＋（2－a ）（y 1＋y 2）（my 1＋2－a ）（my 2＋2－a ）＝0，所以2my 1y 2＋(2－a)(y 1＋y 2)＝0.将y 1＋y 2＝－16m 4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9代入上式，整理得(－2a ＋9)·m ＝0.由于上式对任意实数m 都成立，所以a ＝92.综上，x 轴上存在定点P ⎝⎛⎭⎫92，0，使PM 平分∠APB.12．解：(1)证明：设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)．由已知可得A(4，4)．由题意知k AB ＋k AC ＝4－y 14－x 1＋4－y 24－x 2＝4－x 2144－x 1＋4－x 2244－x 2＝x 1＋44＋x 2＋44＝0，得x 1＋x 2＝－8.所以k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 21－x 224（x 1－x 2）＝x 1＋x 24＝－2.(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，存在点P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M(x 0，y 0)，则k PQ ＝x 3＋x 44＝2x 04＝x 02＝12，∴x 0＝1，∴M(1，－2＋b)．∵M 在抛物线内部，∴y 0>x 204，即－2＋b>14，b>94.将y ＝－2x ＋b 代入x 2＝4y 得x 2＋8x －4b ＝0， ∴|BC|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·64＋16b>10 5， 即|BC|∈(10 5，＋∞)．13．解：(1)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又MA →·MB →＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝－k 2－1＋k 2＋1＝0， ∴MA ⊥MB.(2)设直线MA 的方程为y ＝k 1x －1，MB 的方程为y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1， ∴A(k 1，k 21－1)，同理可得B(k 2，k 22－1)，∴S 1＝12|MA||MB|＝121＋k 211＋k 22|k 1k 2|. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 2＋（y －1）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 11＋k 21，y ＝3k 21－11＋k 21，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 11＋k 21，3k 21－11＋k 21，同理可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋k 22，3k 22－11＋k 22.∴S 2＝12|MD||ME|＝121＋k 211＋k 22|16k 1k 2|（1＋k 21）（1＋k 22）. S 1S 2＝λ＝（1＋k 21）（1＋k 22）16＝2＋1k 21＋k 2116≥14. 故λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.14．解：(1)设A(x 0，x 20)，则切线斜率k ＝2x 0. 依题意有2x 0＝2，x 0＝1，所以切点A 的坐标为(1，1)，切线m 的方程为y ＝2x －1.(2)设P(s ，t)，切点B(x 1，x 21)，C(x 2，x 22)． ∵y ′＝2x ，∴切线PB ，PC 的方程分别是y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22，得交点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧s ＝x 1＋x 22，t ＝x 1x 2.∵点P 在直线l ：y ＝2x －2上，∴t ＝2s －2.又∵直线BC 的方程为y ＝(x 1＋x 2)x －x 1x 2＝2sx －t ，∴点A(1，1)到直线BC 的距离d ＝|2s －1－t|1＋4s 2＝11＋4s2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sx －t ，y ＝x 2，化简得x 2－2sx ＋t ＝0， |BC|＝1＋4s 2|x 1－x 2|.∴S △ABC ＝12|BC|d ＝12|x 1－x 2|，又由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x －1，解得交点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋12，x 1，同理可得交点F ⎝⎛⎭⎫x 2＋12，x 2， ∴|EF|＝52|x 1－x 2|，∴S △ABC |EF|＝55.。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(九)(含答案详析)
专题限时集训(九)[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间：45分钟)1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan 2α＝( )A.247B.2425 C ．－2425 D ．－247 2.3cos 10°－1sin 170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－43．已知sin α＝－13，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin 2α＝( )A.2 23 B ．－2 23 C.4 29 D ．－4 294．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶7，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝3a ，则( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝5，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．10B ．10 3C ．20D ．20 37．在△ABC 中，内角A ，B ，C b ，c ，若a ＝6，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则△ABC 的BC 边上的高等于( )A. 2B.62C.6＋22D.3＋128．已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－349．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________．11．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )·cos B ＋b ·cos C ＝0，则B 的值为________．12．在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝2 3.设内角B ＝x ，周长为y ，则y ＝f (x )的最大值是________．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin C2sin A －sin C ＝b 2－a 2－c 2c 2－a 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)设T ＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ，求T 的取值范围．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝2cos A2sin ⎝⎛⎭⎫π－A 2＋sin 2A 2－cos 2A 2.(1)求函数f (A )的最大值；(2)若f (A )＝0，C ＝5π12，a ＝6，求b 的值．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并满足a ＋c b ＝sin A －sin Bsin A －sin C.(1)求角C ；(2)求a ＋b c 的取值范围．专题限时集训(九)1．D [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝－34.所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 2．D [解析] 3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）sin 10°cos 10°＝2sin （－20°）sin 10°cos 10°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D.3．D [解析] ∵α∈－π2，0，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝2 23，sin 2α＝2sin αcos α＝－4 29.4．C [解析] 由正弦定理可设a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝7k ，则cos C ＝16k 2＋25k 2－49k 22·4k ·5k ＝－15<0，因此三角形为钝角三角形． 5．C [解析] 因为sin 120°＝3sin A ，所以sin A ＝12，则A ＝30°＝B ，因此a ＝b .6．B [解析] 因为cos C ＝49＋25－642×7×5＝17，sin C ＝4849＝4 37，所以S ＝12×7×5×4 37＝10 3. 7．C [解析] 由1＋2cos(B ＋C )＝0得cos A ＝12，则sin A ＝32，A ＝π3，由正弦定理得632＝2sin B，sin B ＝22，B ＝π4，C ＝5π12，因此BC 边上的高为2×sin C ＝2×sin ⎝⎛⎫π4＋π6＝222×32＋22×12＝6＋22. 8．C [解析] 由2S ＝(a ＋b )2－c 2得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，即2×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋2ab－c 2，则ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2，又因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab sin C －2ab 2ab ＝sin C2－1，所以cos C ＋1＝sin C 2，即2cos 2C 2＝sin C 2cos C 2，所以tan C2＝2，即tan C ＝2tanC 21－tan2C 2＝2×21－22＝－43. 9.34 [解析] 因为b <c ，所以B <C ，由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin2π3，即1sin B ＝2，由B 是三角形的内角知，B ＝π6，于是A ＝π－π6－2π3＝π6，则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 10.145 [解析] 因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 45＝31213，所以a ＝135.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝16925＋c 2－2c ，解得c ＝145(负值舍去)．11.2π3[解析] 由正弦定理可将(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0转化为2sin A ·cos B ＋sinC ·cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，得2sin A cos B ＋sin A ＝0，又由A为△ABC 内角，可知sin A ≠0，则cos B ＝－12，则B ＝2π3.12．6 3 [解析] △ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0得0<B <2π3.应用正弦定理知AC ＝BC sin A sin B ＝2 3sinπ3·sin x ＝4sin x ，AB ＝BCsin A sin C ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x .因为y ＝AB ＋BC ＋AC ，所以y ＝4sin x ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＋2 3⎝⎛⎭⎫0<x <2π3，即y ＝4 3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2 3⎝⎛⎭⎫π6<x ＋π6<5π6，所以当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值6 3.13．解：(1)在△ABC 中，sin C2sin A －sin C ＝b 2－a 2－c 2c 2－a 2－b 2＝－2ac cos B －2ab cos C ＝c cos B b cos C ＝sin C cos B sin B cos C ，因为sin C ≠0，所以sin B cos C ＝2sin A cos B －sin C cos B ， 所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A .因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)T ＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12(1－cos 2A )＋34＋12(1－cos 2C ) ＝74－12(cos 2A ＋cos 2C ) ＝74－12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫4π3－2A ＝74－12⎝⎛⎭⎫12cos 2A －32sin 2A ＝74－12cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3， 因为0<A <2π3，所以0<2A <4π3，故π3<2A ＋π3<5π3，因此－1≤cos ⎝⎛⎫2A ＋π3<12， 所以32<T ≤94.14．解：(1)f (A )＝2cos A 2sin A 2＋sin 2A 2－cos 2A2＝sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4.当A －π4＝π2，即A ＝3π4时，f (A )取得最大值，且最大值为 2.(2)由题意知f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝0.又知－π4<A －π4<3π4，则A －π4＝0，所以A ＝π4.因为C ＝5π12，所以A ＋B ＝7π12，则B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝6·sinπ3sin A＝3. 15．解：(1)由正弦定理，得a ＋c b ＝sin A －sin B sin A －sin C ＝a －ba －c，化简得a 2＋b 2－ab ＝c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，而C 为△ABC 的内角，则C ＝π3.(2)a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故a ＋b c 的取值范围是(1，2]．。
高中新课标总复习总结(第二轮)文数-限时训练-参考答案
学海导航·高中新课标总复习(第二轮)·文科数学参考答案限 时 训 练专题一 集合、函数与导数第1讲 集合与常用逻辑用语1．C 解析：B ＝{1,4，14}，故A ∩B ＝{1}，选C.2．B 解析：|a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍去)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个，选B.3．B 解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n ＞0，且1n＜0，即m ＞0，且n ＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn ＜0，故选B.4．(1,4) 解析：由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，解得1＜m ＜4，即实数m 的取值范围是(1,4)．5．1 解析：因为命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，所以其否定为真命题，即对于任意x ∈R ，e |x －1|－m ＞0成立，即m ＜e |x －1|恒成立，即m 小于函数y ＝e |x －1|的最小值即可．e |x －1|≥1，所以m ＜1，结合已知条件可得a ＝1.6．② 解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1、n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1、k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③令A 1＝{－4,0,4}，A 2＝{－2,0,2}，则A 1、A 2为闭集合，A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．7．解析：(1)A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2)方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3，①当a ＝－32时，a ＝－a －3，B ＝(－∞，－32)∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ；②当a <－32时，a <－a －3，B ＝(－∞，a )∪(－a －3，＋∞)，则a >－4或－a －3<－8，得－4<a <－32；③当a >－32时，a >－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a <－8或－a －3>－4，得－32<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4,1)．8．解析：(1)由(x －a )(x －3a )<0，a >0得a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3. 由x －3x －2≤0，得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p .设A ＝{x |綈p }，B ＝{x |綈q }，则A B ， 又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x >3}，则0<a ≤2，且3a >3，所以1<a ≤2， 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.第2讲 函数的图象与性质1．C 解析：四个函数中，是偶函数的有A ，C ，又y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，排除A ，故选C.2．B 解析：根据题意可知只须作出函数y ＝(12)x (x >0)的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y ＝－x 2－4x (x ≤0)交点个数即可，由图象可知，只有一个交点．选B.3．A 解析：函数f (x )＝(e x ＋e －x )sin x 是奇函数，排除B 、D ；当0<x <π时，f (x )>0，排除C ，故选A.4．5 解析：因为f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x＝2，且f (0)＝1，所以f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.5．(－1,0) 解析：由题意可知，函数f (x )为奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增， 从而由f (a 2)＋f (a )<0， 得f (a 2)<－f (a )＝f (－a )，所以得a 2<－a ，解得－1<a <0.6．(1)2x －2－x 2 (2)[－1712，＋∞)解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )＋h (x )f (－x )＝g (－x )＋h (－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋h (x )＝2x－g (x )＋h (x )＝2－x ， 所以g (x )＝2x －2－x 2.(2)若不等式2a ·g (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，即a (2x －2－x )＋22x＋2－2x 2≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，令2x －2－x ＝t ∈[32，154]，则22x ＋2－2x ＝(2x－2－x )2＋2＝t 2＋2，所以2at ＋t 2＋2≥0对任意t ∈[32，154]恒成立，即a ≥－12(t ＋2t )对任意t ∈[32，154]恒成立，得实数a 的取值范围为[－1712，＋∞)．7．解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，所以1－(k －1)＝0，所以k ＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)，由于f (1)<0，所以a －1a<0，所以0<a <1.所以f (x )在R 上是减函数．所以不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0等价于f (x 2＋tx )<f (x －4)． 所以x 2＋tx >x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立． 所以Δ＝(t －1)2－16<0， 解得－3<t <5.8．解析：(1)f (x )＝a (x ＋1)＋(1－a )x ＋1＝a ＋1－ax ＋1.因为a >1，所以f (x )在[1,3]上是增函数，所以函数f (x )的值域为[12(a ＋1)，14(3a ＋1)]．g (x )＝(x ＋1)＋9x ＋1＋3≥2(x ＋1)·9x ＋1＋3＝9，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2∈[0,3]时，取等号，所以g (x )的最小值为9.又g (0)＝13，g (3)＝374，所以g (x )的最大值为13.所以函数g (x )的值域为[9,13]．(2)由题意知，[12(a ＋1)，14(3a ＋1)]⊆[9,13]，即⎩⎨⎧12(a ＋1)≥914(3a ＋1)≤13，解得a ＝17.因为a >1，所以a ＝17符合．第3讲 导数及其应用1．A 解析：因为f ′(x )＝cos x －k ＝0， 所以k ＝cos x ∈[－1,1]，因为k ＝1⇒f ′(x )≤0；k ＝－1，f ′(x )≥0，故选A.2．A 解析：构造函数g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x>0，所以函数g (x )单调递增，因为x 1＜x 2，所以g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)，选A.3．B 解析：因为f ′(x )＝x cos x ＋sin x －sin x ＝x cos x ，所以g (t )＝t cos t ，g (t )为奇函数，排除A ，C ，因为g (π2)＝0，g (π3)>0，排除D ，故选B.4．2e 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2e x 0.因为y ′＝(2e x )′＝2e x ，所以切线斜率k ＝2e x 0.又点(x 0，y 0)在直线y ＝kx 上，代入方程得y 0＝kx 0，即2e x 0＝2e x 0x 0，解得x 0＝1，所以k ＝2e.5．[1，32) 解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x －1x，由f ′(x )＝0，得x＝12. 依题意⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k <32.6．解析：(1)令h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2＋2x －x e x ， 则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x )，当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下：所以h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1，所以h (x )极大值＝h (ln2)＝ln 22.(2)由已知，当x ∈(－2,0)时，x 2＋2x ＋1≥ax e x 恒成立，即a ≥x 2＋2x ＋1x e x ＝x ＋2＋x －1e x恒成立．令t (x )＝x ＋2＋x －1e x ，则t ′(x )＝－(x 2＋1)(x ＋1)x 2e x，所以当x ∈(－2，－1)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增； 当x ∈(－1,0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减． 故当x ∈(－2,0)时，t (x )max ＝t (－1)＝0， 所以a ≥0.7．解析：(1)f ′(x )＝ax，由题设f ′(1)＝1，所以a ＝1，又切点为(1,0)在切线y ＝x ＋b 上，所以b ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝ln x ，因为A ⊆B ，所以∀x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1x)，即ln x ≤m (x －1x)．设g (x )＝ln x －m (x －1x)，即∀x ∈[1，＋∞)，g (x )≤0，g ′(x )＝1x －m (1＋1x 2)＝－mx 2＋x －mx 2，①若m ≤0，g ′(x )>0，g (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以g (x )≥g (1)＝0， 这与题设g (x )≤0矛盾；②若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2，当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≤0.所以g (x )在[1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (1)＝0，即不等式成立．当0<m <12时，方程－mx 2＋x －m ＝0，设两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m ∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈(1，x 2)，g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )>g (1)＝0，与题设矛盾，综上所述，m ≥12.8．解析：(1)f ′(x )＝1－a x 2＋1x ＝x 2＋x －ax 2，x ∈(0，＋∞)，由Δ＝1＋4a 知，①当a ≤－14时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上递增，无最值；②当－14<a <0时，x 2＋x －a ＝0的两根均非正，因此，f (x )在(0，＋∞)上递增，无最值；③当a >0时，x 2＋x －a ＝0有一正根x ＝－1＋1＋4a 2，f (x )在(0，－1＋1＋4a2)上递减，在(－1＋1＋4a 2，＋∞)上递增，此时，f (x )有最小值；所以，实数a 的取值范围为a >0. (2)证明：依题意：1－a x 21＋1x 1＝1－a x 22＋1x 2⇒a (1x 1＋1x 2)＝1. 由于x 1>0，x 2>0，且x 1≠x 2，则有a ＝x 1·x 2x 1＋x 2≥2⇒2(x 1＋x 2)≤x 1·x 2<(x 1＋x 22)2，所以2(x 1＋x 2)<(x 1＋x 22)2，故x 1＋x 2>8.第4讲 函数与方程、函数模型及其实际应用1．D 解析：f (x )在区间(－2，＋∞)上单调递增，且f (1)<0，f (2)>0， 所以函数f (x )在区间(1,2)上有零点，根据函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，知函数f (x )在区间(－6，－5)上有零点，故选D.2．B 解析：由题易知f (x )－log 2x 为常数， 令f (x )－log 2x ＝k (常数)，则f (x )＝log 2x ＋k ，由f [f (x )－log 2x ]＝3得f (k )＝3. 又f (k )＝log 2k ＋k ＝3，所以k ＝2. 所以f (x )＝log 2x ＋2.令F (x )＝f (x )－f ′(x )－2＝log 2x －1x ln2，F (1)<0，F (2)>0，故选B.3．D 解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)， 即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数．根据题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象恰有1个交点，则有0<a <1或{ a a (2＋2)>1，解得0<a <1或1<a <4，即a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)，选D.4．16000 解析：设截去的小正方形边长为x (0<x <30)， 则V ＝(60－2x )2x ，V ′＝12(x －10)(x －30)，所以当x ＝10 cm 时，V (x )max ＝V (10)＝(60－20)2×10＝16000(cm 3)．5．m >1 解析：函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．因为1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作出函数y ＝|x |·(x ＋2)的图象，如图所示．由图象可知m 应满足：0<1m<1，故m >1.6．3 解析：函数f (x )与g (x )的图象，如图：由图可以看出，函数y ＝f (x )－g (x )的零点有3个． 7．解析：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝{ －0.5x 2＋6x －13.5 (0≤x ≤7)10.5－x (x >7). (1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0， 因为f (x )＞0⇔{ 0≤x ≤－0.5x 2＋6x －13.5>0或{ x－x >0 ⇒{ 0≤x ≤x 2－12x ＋27<0或{ x－x >0 ⇒{ 0≤x ≤x <9或7<x <10.5 ⇒3<x ≤7或7<x <10.5，即3<x <10.5.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x ＞7时，f (x )<10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．8．解析：(1)因为x ＝2时，y ＝700；x ＝3时，y ＝150，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝b 2＝150，解得{ a ＝b ＝300， 故每日的销售量y ＝⎩⎨⎧400(x －3)2＋300x －1 (1<x ≤3)－70x ＋490 (3<x ≤5).(2)由(1)知，当1<x ≤3时：日销售利润f (x )＝[400(x －3)2＋300x －1](x －1)＝400(x －3)2(x －1)＋300＝400(x 3－7x 2＋15x －9)＋300， f ′(x )＝400(3x 2－14x ＋15)，当x ＝53或x ＝3时，f ′(x )＝0，当x ∈(1，53)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(53，3]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以x ＝53是函数f (x )在(1,3]上的唯一极大值点，f (53)＝400×3227＋300>700；当3<x ≤5时，每日销售利润f (x )＝(－70x ＋490)(x －1)＝－70(x 2－8x ＋7)，f (x )在x ＝4有最大值，且f (4)＝630<f (53)．综上，销售价格x ＝53≈1.67元/千克时，每日利润最大．专题二 三角变换与平面向量、复数第5讲 三角变换1．B 解析：因为sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1， 又tan α＝2，所以sin2α＝2×222＋1＝45.2．D 解析：因为0<α<π2，所以π6<α＋π6<2π3，又cos(α＋π6)＝23，所以sin(α＋π6)＝1－49＝53，所以sin α＝sin(α＋π6－π6)＝53×32－23×12＝15－26.3．A 解析：因为f (－1)＝cos(π4－1)＝cos(1－π4)>cos(π2－π4)＝f (0)>0， 而π2<1＋π4<π， 故f (1)＝cos(1＋π4)<0，所以选A.4.310 解析：因为sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，所以tan θ＋1tan θ－1＝2，故tan θ＝3. 所以原式＝(－sin θ)·(－cos θ)＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 5．－34 解析：sin(π＋x )＋sin(3π2＋x )＝－sin x －cos x ＝12，所以sin x ＋cos x ＝－12，平方得：1＋sin2x ＝14，所以sin2x ＝－34.6.55 解析：因为tan α＝sin αcos α， 所以sin αcos α＝－2，则sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α＝1，故cos 2α＝15.又π2<α<π，所以cos α＝－55.于是sin α＝255，所以cos α＋sin α＝55. 7．解析：(1)f (x )＝sin2x ＋cos2x＝2(22sin2x ＋22cos2x )＝2(cos π4sin2x ＋sin π4cos2x )＝2sin(2x ＋π4)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由已知得f (α2＋π8)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝325，则cos α＝35，所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(35)2－1＝－725.8．解析：(1)由f (π4)＝－32，可得sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝－32，所以cos φ＝－32.又因为0<φ<π，所以φ＝5π6.所以f (x )＝sin2x cos 5π6＋cos2x sin 5π6＝sin(2x ＋5π6)．(2)由f (α2－π3)＝513可得sin[2(α2－π3)＋5π6]＝513，化简得sin(α＋π6)＝513.因为α∈(π2，π)，所以α＋π6∈(2π3，7π6)，所以cos(α＋π6)＝－1213，所以cos α＝cos[(α＋π6)－π6]＝cos(α＋π6)cos π6＋sin(α＋π6)sin π6＝5－12326.第6讲 三角函数的图象与性质1．A 解析：当a ＝1时，函数可化为y ＝cos2x ，故最小正周期为π；反之，函数可化为y ＝cos2ax ，若最小正周期为π，则a ＝±1.选A.2．D 解析：当θ∈[0，π2)时，d ＝2cos θ；当θ∈(π2，π)时，d ＝－2cos θ，结合余弦函数图象知选D.3．A 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin(2x ＋π3＋φ)，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，所以f (x )＝sin(2x －π3)．又因为x ∈[0，π2]，所以2x －π3∈[－π3，2π3]，所以sin(2x －π3)∈[－32，1]，即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.4．－22 解析：由题意得g (x )＝sin[3(x －π3)＋π4]＝sin(3x －3π4)，又π3≤x ≤2π3， 所以π4≤3x －3π4≤5π4，所以x ＝2π3时g (x )取最小值sin 5π4＝－22.5．2＋3 解析：令t ＝πx 6－π3，x ∈[0,9]，则t ∈[－π3，7π6]，所以y ＝2sin t ，t ∈[－π3，7π6]，由正弦函数的图象可知y ∈[－3，2]， 故y max －y min ＝2＋ 3.6．2 解析：因为f (1)＝a sin1＋1＝0，所以a ＝－1sin1，f (－1)－a sin1＋1＝－1sin1×(－sin1)＋1＝2.7．解析：(1)当ω＝1时， f (π3)＝sin π3＋cos π2＝32－0＝32. (2)f (x )＝sin ωx ＋cos(ωx ＋π6)＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin(ωx ＋π3)．因为2π|ω|＝π且ω>0得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)．由x ∈[0，π4]得2x ＋π3∈[π3，5π6]．所以当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时，f (x )max ＝1.8．解析：(1)f (x )＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin x ， g (x )＝1－cos x .由f (α)＝335，得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0，从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin(x ＋π6)≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用1．D 解析：由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3.2．A 解析：不妨设三边长为a ，b ，c 且a >b >c >0，公差d ＝2，三个内角为A ，B ，C ， 则a －b ＝b －c ＝2⇒a ＝c ＋4，b ＝c ＋2.因为sin A ＝32，所以A ＝120°或60°(舍去)．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c －62c ＝－12，解得c ＝3，b ＝5，a ＝7. 所以周长为3＋5＋7＝15.3．A 解析：由b a ＋c ＋ca ＋b≥1得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )， 化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，两边同除以2bc 得，b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0<A <π)，所以0<A ≤π3，故选A.4.π6解析：由正弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝3ac ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即cos B ＝32，所以B ＝π6.5．33 解析：S △ABC ＝12bc sin π3＝34bc ，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3≥2bc －bc ，即bc ≤12，故S △ABC ≤3 3.6．507 解析：连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC ＝507(m)．7．解析：(1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝3.所以c ＝ 3.(2)因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以a sin A ＝3sin60°＝2，则a ＝2sin A ，b sin B ＝3sin60°＝2，则b ＝2sin B . 所以a ＋b ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )]＝2(32sin A ＋32cos A )＝23sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°， 所以A ＋30°∈(30°，150°)，所以sin(A ＋30°)∈(12，1]，所以a ＋b ∈(3，23]．8．解析：(1)如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO . 在直角三角形ABC 中，AB ＝100，∠BAC ＝θ， 所以AC ＝100cos θ.由于∠BOC ＝2∠BAC ＝2θ， 所以弧BC 的长为50×2θ＝100θ. 所以s (θ)＝2×100cos θ＋100θ，＝200cos θ＋100θ，θ∈(0，π2)．(2)s ′(θ)＝100(－2sin θ＋1)，令s ′(θ)＝0，则θ＝π6，列表如下：所以，当θ＝π6时，s (θ)取得极大值，即为最大值．答：当θ＝π6时，绿化带总长度最大．第8讲 复数、平面向量的基本运算与综合应用 1．A 解析：z ＝2i －1i ＝2＋i ，z 对应的点在第一象限，选A.2．A 解析：a |a|表示与a 同向的单位向量，b |b|表示与b 同向的单位向量，由a |a|＋b|b|＝0知a |a|＝－b|b|，即a 与b 反向，结合四个选项知答案为A. 3．B 解析：设BC 的中点为D ，AP →，AD →的夹角为θ，则有AP →·(AB →＋AC →)＝2AP →·AD →＝2|AD →|·(|AP →|cos θ)＝2|AD →|2＝6.4．4 解析：原式＝(a －2i )(1－2i )5＝a －4－2(a ＋1)i5，故a －4＝0，且a ＋1≠0，所以a＝4.5．(－∞，－2)∪(－2，12) 解析：因为cos θ＝1＋(－2)·λ5·1＋λ2＝1－2λ5(1＋λ2)，又θ为锐角，0<1－2λ5(1＋λ2)<1， 解得λ<12且λ≠－2，所以λ∈(－∞，－2)∪(－2，12)．6．[32，2] 解析：以C 为原点，CA 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，则x ＋y ＝2，则y ＝2－x ， 即M (x,2－x )． 又MN ＝2，所以点N 的坐标为(x ＋1,2－x －1)， 即N (x ＋1,1－x )．于是CM →·CN →＝x (x ＋1)＋(2－x )(1－x )＝2x 2－2x ＋2＝2(x －12)2＋32(0≤x ≤1)，所以x ＝12时，CM →·CN →取最小值32，x ＝0或1时，CM →·CN →取最大值2，因此CM →·CN →的取值范围为[32，2]．7．解析：(1)由题意知m·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos(5π6－A )＝0，即sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin(A －π6)＝0.又0<A <5π6，所以A －π6∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2×3x ×x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×3×3×sin 2π3＝934.8．解析：(1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝(1＋32，－62)．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ ＝1－sin2θ＋1－cos2θ＝2－2sin(2θ＋π4)．因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4.所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值|AB →|2＝2－2×(－22)＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.专题三 不等式、数列、推理与证明 第9讲 不等式、推理与证明1．B 解析：因为1－x2＋x ≥0⇔{ (x －1)(2＋x )≤＋x ≠0得－2<x ≤1.选B. 2．C 解析：因为x ＞0，y ＞0，所以t ＝x ＋yx ＋y＞0，所以t 2＝x ＋y x ＋y ＋2xy ≥x ＋y x ＋y ＋x ＋y ＝12，所以t 2≥12，则t ≥22，当且仅当x ＝y 时取等号．所以x ＋y x ＋y的最小值为22，故选C.3．B 解析：画出可行域，如图．直线ax ＋y ＝2恒过定点(0,2)，则可行域恒在直线ax ＋y ＝2的下方，显然当a ≤0时成立；当a >0时，直线即为x 2a ＋y2＝1，其在x 轴的截距2a≥2⇒0<a ≤1，综上，可得a ≤1. 4.5π6 解析：由题意有a ＋b ＝43cos2θ，ab ＝2， 1a ＋1b＝－2sin2θ， 因为1a ＋1b ＝a ＋b ab ，所以43cos2θ2＝－2sin2θ得tan2θ＝－3，所以2θ＝k π＋23π(k ∈Z )，所以θ＝12k π＋π3(k ∈Z )，因为θ∈(π2，π)，所以θ＝56π.5．6 解析：先画出可行域(如图)，yx是可行域内的点M (x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率， 当直线OM 过点(1,6)时，yx取得最大值6.6.127解析：内切球半径与外接球半径之比为1∶3，所以体积之比为1∶27. 7．解析：(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000－3x 4元，利润为200＋3x4元，年销售量为1－2x万件，纯利润为f (x )＝(200＋3x 4)(1－2x)－x＝198.5－400x －x4(万元)．(2)f (x )＝198.5－400x －x4≤198.5－2×400x ×x4＝178.5，当且仅当400x ＝x4取等号，即x ＝40(万元)．答：f (x )的最大值为178.5万元，此时x ＝40万元． 8．解析：(1)由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以⎩⎨⎧9A a ＋b ＝A 9A a ＋14b＝3A，解得{ a ＝b ＝8. 所以f (n )＝9A 1＋8×tn ，其中t ＝2－23. 令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×tn ＝8A ，解得t n＝164， 即2－2n 3＝164，所以n ＝9.所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．(2)由(1)知f (n )＝9A1＋8×t n.第n 年的增长高度为Δy ＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A1＋8×t n －1. 所以Δy ＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1＝72A (1－t )1t n －1＋64t n＋8(t ＋1) ≤72A (1－t )264t n×1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t )8(1＋t )2＝9A (1－t )1＋t.当且仅当64t n ＝1tn －1，即2－2(2n －1)3＝164时取等号，此时n ＝5.所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．第10讲 等差、等比数列及特殊数列求和1．C 解析：因为{ a 1＋d ＝a 1＋5d ＝12，所以{ a 1＝d ＝2，则a 8＝1＋7×2＝15，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝45，故选C.2．B 解析：由题意知{a n }为等差数列，且a 1＝5，S 30＝390，所以30×5＋30×292×d＝390，解得d ＝1629.选B.3．A 解析：由已知得a n ≥0，即33＋(n －1)×(－4)≥0，得n ≤374，n 为正整数，n ＝9，选A.4．2 解析：因为(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，即a 1(a 1＋6d )＝a 21＋4a 1d ＋4d 2，整理得a 1＝2d ，故a 1d＝2. 5．{1,2,4} 解析：由题意知d ＝6，q ＝－2，a n ＝－2＋6(n －1)＝6n －8，b n ＝(－2)n ，若6n －8＝(－2)n ，当n ＝1,2,4时，符合题意，n ＝3,5时不符合题意，当n ≥6时，|6n －8|<|(－2)n |，不符合题意，所以n ＝1,2,4.6．16 解析：设对应的数列为{a n }，公差为d (d >0)． 由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n . 由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114， 解得a n －1＝38.由a 26＝a 1a n 得(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )， 即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2， 所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38， 即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16. 7．解析：(1)n ≥2时，S n ＝2a n ＝2(S n －S n －1)，即S n ＝2S n －1，S 1＝2，所以S n ＝2n ，故a n ＝{ 2 (n ＝1)2n －1(n ≥2).(2)b n ＝2n ＋1(2n ＋n )(2n ＋1＋n ＋1)＝12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12＋1－122＋2＋122＋2－123＋3＋…＋12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1 ＝13－12n ＋1＋n ＋1. 8．解析：(1)当n ＝1，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n . 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上， 所以b n ＋1＝b n ＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)a n ·b n ＝(2n －1)×2n .所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，② ①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝2n ＋1(3－2n )－6.所以D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝{ 2n(n 为奇数)－(2n －1) (n 为偶数)， T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .第11讲 数列模型、数列与不等式综合问题1．D 解析：因为a 1＝S 1＝2(a 1－1)，得a 1＝2，所以由a 1＋a 2＝S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4. 2．C 解析：因为a n ＝f (n )是递增数列，所以{ 3－aa a 7<a 8，即{ a a (3－a )－3<a 2，解得2<a <3. 3．B 解析：因为3S n ＝a n a n ＋1,3S n －1＝a n －1a n ， 所以3S n －3S n －1＝3a n ＝a n a n ＋1－a n －1a n ， 得3＝a n ＋1－a n －1.在3S n ＝a n a n ＋1中令n ＝1得a 2＝3，所以{a 2n }是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以∑k ＝1na 2k ＝3n ＋3n (n －1)2＝3n (n ＋1)2.4.n3n －1 解析：因为a n －1－a n ＝a n －1a n n (n －1)， 所以1a n －1a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n ，即1a 2－1a 1＝1－12，1a 3－1a 2＝12－13，…，1a n －1a n －1＝1n －1－1n ， 所以1a n －1a 1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ，即1a n ＝3－1n ，即a n ＝n 3n －1. 5．91 解析：因为S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2， 所以当n ≥2时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， 即a n ＝a n －1＋2.当n ≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，所以S 10＝1＋2×9＋9×82×2＝91.6.5972 解析：由题意知S n ＝43[1－(－13)n ]1＋13＝1－(－13)n ， 设t ＝(－13)n ，则－13≤t ≤19，S n ＝1－t ，则89≤S n ≤43. 又因为y ＝S n －1S n为增函数，所以(S n －1S n )min ＝－1772，(S n －1S n )max ＝712，所以B ≥712，A ≤－1772，故B －A 的最小值为712＋1772＝5972.7．解析：(1)设第n 年底该县农村医保基金为a n 万元， 则a 1＝1000，a n ＝(1－10%)a n －1＋m (n ≥2)，即a n ＝910a n －1＋m (n ≥2)．于是a n －10m ＝910(a n －1－10m ) (n ≥2)．所以a n －10m ＝(a 1－10m )(910)n －1，即a n ＝10m ＋(1000－10m )(910)n －1.故第n 年底该县农村医保基金有10m ＋(1000－10m )(910)n －1万元．(2)若每年年底的医保基金逐年增加， 则数列{a n }单调递增．因为y ＝(910)n －1是减函数，则1000－10m ＜0，即m ＞100.又a n ＝10m ＋(1000－10m )(910)n －1≤1500恒成立，则lim n→∞a n ≤1500， 即10m ≤1500，所以m ≤150.故每年新增医保基金m 的控制范围是(100,150]．8．解析：(1)当n ≥2时，2a n ＝a n －1－1⇒2(a n ＋1)＝a n －1＋1，所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝12为首项，公比为12的等比数列．则a n ＋1＝12n ，故a n ＝12n －1.(2)证明：b n ＝12n (12n －1)(12n ＋1－1)＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1－1) ＝2(12n －1－12n ＋1－1)，S n ＝2(121－1－122－1)＋2(122－1－123－1)＋…＋2(12n －1－12n ＋1－1) ＝2(1－12n ＋1－1)<2.专题四 立体几何第12讲 空间几何体的视图、表面积与体积 1．A 解析：V ＝12(1＋2)×1×2＝3，故选A.2．D 解析：将展开图还原得多面体ABCDE 为四棱锥(如图所示)，利用割补法可得其体积V ＝23－12×2×2×2－13×12×2×2×2＝4－43＝83，选D.3．C 解析：由题意可知，该空间几何体为一正三棱柱． 如图所示，记外接球的球心为O ，则球半径R ＝A ′M ′2＋OM ′2＝(23×3)2＋12＝73， 则球的表面积S ＝4πR 2＝28π3，选C.4.43解析：由侧视图为直三角形，知四棱锥的高为1， 则V ＝13×22×1＝43.5．16＋π 解析：由三视图可知，该几何体是一个边长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以该几何体的表面积为16＋2π－π＝16＋π.6．3π 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面， 得△ABC 及其内切圆⊙O 1和外切圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形． 由题意⊙O 1的半径为r ＝1， 所以△ABC 的边长为23，所以圆锥的底面半径为3，高为3，所以V ＝13×π×3×3＝3π.7．解析：(1)证明：因为△P AB 是等边三角形，所以P A ＝PB ， 又∠P AC ＝∠PBC ＝90°，PC ＝PC ，所以Rt △PBC ≌Rt △P AC ，可得AC ＝BC .(2)证明：如图，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，所以AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PC .(3)过点B 作BE ⊥PC ，垂足为E ，连接AE . 因为PB ＝AB ，BE ＝BE ，∠PEB ＝∠AEB ＝90°， 所以Rt △PBC ≌Rt △P AC ， 所以AE ⊥PC ，AE ＝BE .由已知，平面P AC ⊥平面PBC ，故∠AEB ＝90°. 因为Rt △AEB ≌Rt △PEB ，所以△AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形． 由已知PC ＝4，得AE ＝BE ＝2，△AEB 的面积为S ＝2. 因为PC ⊥平面AEB ，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13×S ×PC ＝83.8．解析：(1)梯形ABCD 的面积S 梯形ABCD ＝2cos θ＋22·sin θ＝sin θcos θ＋sin θ，θ∈(0，π2)．体积V (θ)＝10(sin θcos θ＋sin θ)，θ∈(0，π2)．(2)V ′(θ)＝10(2cos 2θ＋cos θ－1)＝10(2cos θ－1)(cos θ＋1)，令V ′(θ)＝0，得cos θ＝12，或cos θ＝－1(舍去)．因为θ∈(0，π2)，所以θ＝π3.当θ∈(0，π3)时，12<cos θ<1，V ′(θ)>0，V (θ)为增函数；当θ∈(π3，π2)时，0<cos θ<12，V ′(θ)<0，V (θ)为减函数．所以当θ＝π3时，体积V 最大．(3)木梁的侧面积S 侧＝(AB ＋2BC ＋CD )·10＝20(cos θ＋2sin θ2＋1)，θ∈(0，π2)，S ＝2S 梯形ABCD ＋S 侧＝2(sin θcos θ＋sin θ)＋20(cos θ＋2sin θ2＋1)，θ∈(0，π2)．设g (θ)＝cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈(0，π2)，因为g (θ)＝－2sin 2θ2＋2sin θ2＋2，所以当sin θ2＝12，即θ＝π3时，g (θ)最大．又由(2)知θ＝π3时，sin θcos θ＋sin θ取得最大值，所以θ＝π3时，木梁的表面积S 最大．综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．第13讲 空间点、线、面之间的位置关系1．B 解析：A 项中α，β还可能相交、垂直；C 项中还可能l ∥β或l ⊂β；D 项中还可能l ⊂β或l 与β相交或平行；B 项中由l ∥α，l ⊥β，知存在m ，m ⊂α，m ⊥β，所以α⊥β，选B.2．C 解析：DC 1⊥平面A 1BCD 1，所以A 正确；D 1A 1⊥平面ABB 1A 1，所以B 正确；当0<A 1P <22时，∠APD 1为钝角，所以C 错；将平面AA 1B 与平面BCD 1A 1沿A 1B 展成平面图形，线段A 1D 即为AP ＋PD 1的最小值，解三角形易得A 1D ＝2＋2，所以D 正确．故选C.3．C 解析：当θ∈(0，π4]时，V (θ)＝12tan θ，图象关于点(π4，12)对称，所以选C.4．② 解析：α⊥β，m ⊥α时，直线m 也可能在β内，所以①是假命题；m ∥α，m ⊥n 时，n ⊂α或n ∥α或n 与α相交，所以③是假命题；m ∥α，m ⊂β时，α与β也可能相交，所以④是假命题，因此答案是②.5．②④ 解析：①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a ，b 互相垂直时可以作出满足要求的平面．6．解析：(1)证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF .(2)证明：在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF .设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH, 所以平面BDGH ∥平面AEF . (3)由(1)得AC ⊥平面BDEF ， 又因为AO ＝2，矩形BDEF 的面积S BDEF ＝3×22＝62，所以四棱锥A -BDEF 的体积V 1＝13×AO ×S BDEF ＝4.同理，四棱锥C -BDEF 的体积V 2＝4.所以多面体ABCDEF 的体积V ＝V 1＋V 2＝8. 7．解析：(1)证明：因为AA 1⊥底面ABC ， 所以A 1A ⊥AB ，因为AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面AA 1C 1C .(2)因为平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC ∩平面DEF ＝DE ，平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， 所以AB ∥DE ，因为△ABC 中E 是BC 的中点， 所以D 是线段AC 的中点． (3)证明：因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ＝AC ，所以侧面A 1ACC 1是菱形，所以A 1C ⊥AC 1，由(1)可得AB ⊥A 1C ， 因为AB ∩AC 1＝A ， 所以A 1C ⊥平面ABC 1， 所以A 1C ⊥BC 1.又因为E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点， 所以EF ∥BC 1，所以EF ⊥A 1C .8．解析：(1)证明：在△AOD 中，因为∠OAD ＝π3，OA ＝OD ，所以△AOD 为正三角形．又因为E 为OA 的中点，所以DE ⊥AO ，因为两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直， 且其交线为AB ， 所以DE ⊥平面ABC .又CB ⊂平面ABC ，所以CB ⊥DE . (2)由(1)知DE ⊥平面ABC ， 所以DE 为三棱锥D -BOC 的高．因为D 为圆周上一点，且AB 为直径，所以∠ADB ＝π2.在△ABD 中，由AD ⊥BD ，∠BAD ＝π3， AB ＝2，得AD ＝1，所以DE ＝32. 因为S △BOC ＝12S △ABC ＝12×12×1×3＝34，所以V C -BOD ＝V D -BOC ＝13S △BOC ·DE ＝13×34×32＝18. (3)存在满足题意的点G ，G 为劣弧BD 的中点．证明如下：连接OG ，OF ，FG ，易知OG ⊥BD ，又AD ⊥BD ， 所以OG ∥AD ，因为OG ⊄平面ACD ，所以OG ∥平面ACD . 在△ABC 中，O ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以OF ∥AC ，OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以OF ∥平面ACD ， 因为OG ∩OF ＝O ，所以平面OFG ∥平面ACD .又FG ⊂平面OFG ，所以FG ∥平面ACD .第14讲 空间角和距离的计算与应用1．B 解析：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，由于E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱BB 1，AD 的中点，连接BD ，AE ，过F 作BD 的垂线交BD 于H ， 则FH ⊥平面BDD 1B 1，则∠FEH 为EF 和平面BDD 1B 1所成的角．易知FH ＝22，EF ＝BF 2＋BE 2＝6，则sin ∠FEH ＝FH EF ＝36，故直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是36，选B.2．C 解析：设BC ＝CA ＝CC 1＝22，则AB ＝4， 延长B 1A 1到H 使得A 1H ＝2，连接AH ，HN ， 则AH ∥BM .在△AHN 中，AH ＝23，AN ＝10，HN ＝10， 由余弦定理得cos ∠HAN ＝(23)2＋(10)2－(10)22×10×23＝3010，故选C.3．A 解析：取B 1C 1的中点D ，连接AD ，A 1D . 因为侧棱垂直于底面，底面是正三角形， 所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以BB 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是BB 1与平面AB 1C 1所成的角． 因为B 1C 1⊥AD ，B 1C 1⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， 所以B 1C 1⊥平面AA 1D ， 又B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以平面AB 1C 1⊥平面AA 1D ，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD . 因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，即BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.4．60° 解析：取BC 的中点E ，连接AE ，DE ， 则AE ⊥平面BB 1C 1C ，所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a2，tan ∠ADE ＝DEAE＝3，所以∠ADE ＝60°.5.13解析：如图为圆锥的轴截面， 设圆锥母线与底面角为θ，母线长为l ，底面圆的半径为r . 因为圆锥的侧面积是底面积的3倍，所以πrl πr 2＝lr＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，则cos θ＝r l ＝13.6．23 解析：如图，作OD ⊥AC ，垂足是O ， 则O 是AC 的中点，连接OB ， 易证∠BOD ＝90°.作OE ⊥CD 于E ，则E 是CD 的中点，连接BE . 又BO ⊥平面ACD ，所以BO ⊥CD ，又BO ∩OE ＝O ，所以CD ⊥平面BOE ，所以BE ⊥CD ， 故BE 是点B 到直线CD 的距离． 在Rt △BOE 中，BO ＝22，OE ＝2，则BE ＝BO 2＋OE 2＝2 3.7．解析：(1)证明：因为∠DAB ＝90°，所以DA ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 所以DA ⊥平面ABEF ，又EF ⊂平面ABEF ， 所以DA ⊥EF .(2)设点B 到平面DCE 的距离为h ，直线BE 与平面DCE 所成角为α， DC ＝EC ＝5，DE ＝AD 2＋AE 2＝4＋8＝23， 所以S △EDC ＝6，S △BCD ＝1， 连接BD ，则V E -BCD ＝V B -EDC ，13S △EDC ×h ＝13S △BCD ×BE ，所以6h ＝2，得h ＝63， sin α＝h EB ＝632＝66，所以直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66.8．解析：(1)证明：因为△ABC 为等边三角形，M 为AC 的中点，所以BM ⊥AC . 又因为AC ⊥CD ，所以在平面ABCD 中，有BM ∥CD . 又因为CD ⊂平面PCD ，BM ⊄平面PCD ， 所以BM ∥平面PCD .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥CD ，又因为AC ⊥CD ，又P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ， 所以直线PD 与平面P AC 所成角为∠DPC .在Rt △PCD 中，tan ∠DPC ＝CD PC ＝62.设AP ＝AB ＝a ，则AC ＝a ，PC ＝2a ，所以CD ＝62PC ＝3a ，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2＋CD 2＝4a 2， 所以AD ＝2a .因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ， 所以平面P AD ⊥平面ABCD .在Rt △ACD 中，过M 作MN ⊥AD ，垂足为D .又因为平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，MN ⊂平面ABCD ， 所以MN ⊥平面P AD .在平面P AD 中，过N 作NH ⊥PD ，垂足为H ，连接MH ，则PD ⊥平面MNH .所以∠MHN 为二面角A -PD -M 的平面角． 在Rt △ACD 中，MN ＝34a ，AN ＝14a ，ND ＝74a ，因为Rt △DNH ∽Rt △DP A ，所以NH P A ＝DNPD，所以NH ＝P A ·DN PD ＝745a ，所以tan ∠MHN ＝MN NH ＝34a 745a ＝157，所以二面角A -PD -M 的正切值为157.专题五 算法、概率与统计第15讲 程序框图、程序与算法案例1．A 解析：由程序框图可知，第一次循环：i ＝1，s ＝0＋21－1×1＝0＋1＝1；第二次循环：i ＝2，s ＝1＋22－1×2＝1＋4＝5；第三次循环：i ＝3，s ＝5＋23－1×3＝5＋12＝17；第四次循环：i ＝4，s ＝17＋24－1×4＝17＋32＝49；第五次循环：i ＝5，s ＝49＋25－1×5＝49＋80＝129>100， 结束循环，所以输出的i 值为5.2．B 解析：依题意得，第一次循环，S ＝12，n ＝4，k ＝2；第二次循环，S ＝12＋14，n ＝6，k ＝3；……第九次循环，S ＝12＋14＋…＋118，n ＝20，k ＝10；第十次循环，S ＝12＋14＋…＋118＋120，n ＝22，k ＝11，此时，不满足条件，结束循环．故程序框图的功能是求数列{12n}的前10项和．3．B 解析：①的意图为表示各项的分母，而分母相差2，所以①处应填n ＝n ＋2. ②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到29共15项，所以②处应填i >15？，故选B.4．3 解析：当T ＝0，k ＝1时，sin k π2>sin (k －1)π2，所以a ＝1，T ＝1，k ＝2；当T ＝1，k ＝2时，sin k π2<sin (k －1)π2，所以a ＝0，T ＝1，k ＝3；当T ＝1，k ＝3时，sin k π2<sin (k －1)π2，所以a ＝0，T ＝1，k ＝4；当T ＝1，k ＝4时，sin k π2>sin (k －1)π2，所以a ＝1，T ＝2，k ＝5；当T ＝2，k ＝5时，sin k π2>sin (k －1)π2，所以a ＝1，T ＝3，k ＝6.此时k ≥6，跳出循环，所以输出的T ＝3.5．方案三 解析：方案一，所用时间为8＋5＋13＋7＋15＋6＝54分钟； 方案二，所用时间为8＋15＋7＝30分钟； 方案三，所用时间为8＋13＋7＝28分钟． 故答案为方案三．6．3 解析：由题意知y ＝{ x 2－1 (x ≤2)log 2x (x >2). 当x ≤2时，由x 2－1＝3，得x 2＝4，解得x ＝±2. 当x >2时，由log 2x ＝3，得x ＝8. 所以输入的实数x 值的个数为3. 7．解析：由题意可知，y ＝{ 1 (0<x ≤100)0.01x (100<x ≤5000)50 (5000<x ≤1000000)，。
江西新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(一)B(含答案详析)
专题限时集训(一 )B[ 第 1 讲会合与常用逻辑用语](时间： 30 分钟 )1．设会合 A ＝ {x| － 3<x<1} ， B＝ {x|log 2|x|<1} ，则 A ∩B 等于 ()A． (－ 3， 0)∪ (0，1) B ． (－ 1， 0)∪ (0， 1)C． ( －2， 1)D． (－ 2， 0)∪(0，1)2．已知会合 A ＝ {x|x 2－ 2x－ 3<0} ， B＝ {y|1 ≤ y≤ 4} ，则以下结论正确的选项是()A． A∩ B＝B． (?U A) ∪B ＝ (－ 1，＋∞ )C．A ∩B＝(1， 4]D． (?U A) ∩B＝ [3，4]2”的 ()3．“ a>1”是“a>1A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4．命题“存在 x∈R，使得 e x<x”的否认是 ()A．存在 x∈R，使得 e x>x B．随意 x∈R，都有 e x≥xC．存在 x∈R，使得 e x≥ x D．随意 x∈R，都有 e x>x5．设 a，b 是平面α内两条不一样的直线， l 是平面α外的一条直线，则“l ⊥ a，l ⊥ b”是“ l ⊥α”的 ()A．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件 D ．既不充足也不用要条件6．若会合 A ＝ {0 ， 1} ， B＝ { － 1，a2} ，则“ a＝1”是“ A ∩B ＝ {1} ”的 ()A．充足非必需条件 B ．必需非充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件7．已知会合 M ＝ {1 ， 2，3} ， N＝ {2 ， 3， 4} ，全集 I＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ，则图 X1－ 1所示的暗影部分表示的会合为()图 X1－1A． {1}B． {2 ，3}C． {4}D． {5}8．设 x， y∈R，则“ x≥ 1 且 y≥ 2”是“ x＋ y≥ 3”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件9．在△ ABC 中，“ A ＝ 30°”是“ sin A ＝1”的 () 2A．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件10．S n是数列 {a n} 的前 n 项和，则“ S n是对于 n 的二次函数”是“数列{a n} 为等差数列”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件11．若命题“存在实数x，使 x2＋ ax＋1<0 ”的否认是真命题，则实数 a 的取值范围为________ ．12．设有两个命题 p， q.此中 p：对于随意的 x∈R，不等式 ax2＋ 2x＋1>0 恒建立；命题q：f(x) ＝(4a－3)x在R上为减函数．假如两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数 a 的取值范围是 ________．A ，记 A *＝ {y| 随意 x∈ A ，都有 y≥x} ．设非空实数会合13．对于非空实数集M，P，知足 M P.给出以下结论：**①P M；②M *∩P＝；③M∩P*≠．此中正确的结论是 ________． (写出全部正确结论的序号 )x－ 2x－a2－ 2 14．已知全集 U＝R，非空会合 A ＝ x<0，B＝ x< 0.命题 p：x－（ 3a＋ 1）x－ ax∈ A ，命题 q： x∈ B.若 q 是 p 的必需条件，则实数 a 的取值范围是________．专题限时集训 (一 )B1．D [ 分析 ] B ＝ {x|log 2|x|<1} ＝ (－ 2， 0)∪ (0， 2)，所以 A ∩ B ＝ (－2， 0)∪ (0， 1)．2．D [ 分析 ] 由于 A ＝ {x|x 2－ 2x － 3<0} ＝ {x| －1<x<3} ，则 ?U A ＝ {x|x ≥ 3 或 x ≤－ 1} ，所以 A ∩ B ＝ {x|1 ≤x<3} ，( ?U A) ∪ B ＝ {x|x ≥1 或 x ≤－ 1} ， (?U A) ∩ B ＝ {x|3 ≤ x ≤4} ．应选 D.3．A [ 分析 ] a 2>1 a<－ 1 或 a>1，明显选 A. 4． B [ 分析 ] 特称命题的否认为全称命题，应选 B.5．C [分析 ] 当 a ，b 不订交时， 则“ l ⊥ α”不必定建立； 当“ l ⊥ α”时， 必定有“ l ⊥ a ，l ⊥ b ”．故“ l ⊥ a ， l ⊥ b ”是“ l ⊥ α”的必需不充足条件．应选 C.6．A [ 分析 ] a ＝1 A ∩ B ＝{1} ；A ∩B ＝{1} a ＝ ±1，故为充足不用要条件． 7． C [ 分析 ] M ∩ N ＝ {2 ， 3} ，则暗影部分表示的会合为 {4} ．8．A [ 分析 ] “x ≥ 1 且 y ≥ 2” “x ＋ y ≥3”，而“ x ＋y ≥ 3” / “ x ≥ 1 且 y ≥ 2”，故为充足不用要条件．9．A1，则 A ＝ 30°或 A ＝150°，所以“ A ＝ 30°”[ 分析 ] 由于在△ ABC 中，若 sin A ＝ 2是“ sin A ＝1”的充足不用要条件，应选A.2S n ＝ an 2＋ bn ＋ c(a ≠ 0)，则当 n ≥ 210．D[分析 ] 若 S n 是对于 n 的二次函数，则设为时，有 a n ＝ S n － S n － 1＝ 2an ＋ b － a ，当 n ＝ 1 时， S 1＝ a ＋ b ＋ c ，只有当 c ＝ 0 时，数列 {a n } 才是n （ n －1） d2d ＋ a 1－ dn ，当 d ≠ 0 时为等差数列；若数列 {a n } 为等差数列，则 S n ＝ na 1＋ ＝ n2 2 2 二次函数，当 d ＝ 0 时，为一次函数，所以“ S n 是对于 n 的二次函数”是“数列 {a n } 为等差 数列”的既不充足也不用要条件．2＋ ax ＋1≥ 0”，则 ＝ a 2－ 4≤ 0，11． [－ 2，2] [ 分析 ] 该命题的否认为“ x ∈ R ， x－ 2≤ a ≤ 2.312. 4， 1 ∪ (1，＋∞ ) [ 分析 ] 当 a ＝ 0 时，不等式为 2x ＋ 1>0，明显不可以恒建立，故 a＝ 0 不合适；当 a ≠0 时，不等式 ax2＋ 2x ＋1>0 恒建立的充要条件是a>0，解得 a>1.＝22－ 4a<0，3若命题 q 为真，则 0<4a －3<1 ，解得 4<a<1. 由题意，可知 p ， q 一真一假．当 p 真 q 假时， a 的取值范围是{a|a>1} ∩ a a ≤3或a ≥ 1＝ {a|a>1} ；4当 p 假 q 真时， a 的取值范围是3 3 {a|a ≤ 1} ∩ a 4<a<1＝ a 4< a<1.所以 a 的取值范围是 3， 1 ∪ (1，＋∞ )．4A ，记 A * ＝ {y|13．① [ 分析 ] 依据题意，对于非空实数集到会合 A * 中的元素大于或许等于会合 A 中的元素．所以可知① P * ＝ ， M * 和 P 中可能有同样的元素，所以错误．对于③M ∩ P *≠共元素，所以错误，故答案为① .x ∈ A ，y ≥ x} ，则能够得M *建立．对于② M *∩P ，M *与 P 中不行能有公14. － 1， 1 ∪ 13－ 5[ 分析 ] ∵ a 2＋ 2>a ，∴ B ＝ {x|a<x<a 2＋ 2} ．2 3 3，21①当 3a ＋ 1>2 ，即 a>3时， A ＝ {x|2<x<3a ＋ 1} ． ∵ p 是 q 的充足条件，∴ A B.a ≤2， 13－5 ∴3a ＋1≤ a 2＋2，即3<a ≤2.②当 3a ＋ 1＝ 2，即 a ＝13时， A ＝，不切合题意；1③当 3a ＋ 1<2 ，即 a< 时， A ＝ {x|3a ＋ 1<x<2} ，由 A B 得a ≤3a ＋ 1，∴－ 1≤ a<1.232a ＋ 2≥ 2，综上所述，实数 a 的取值范围是1 1 ∪ 1 3－ 5－ ，3.23， 2。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十)(含答案详析)
专题限时集训(十)[第10讲 等差数列、等比数列](时间：45分钟)12项和的5倍，则此数列的公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 4＝12，则S 12的值为( )A ．64B ．44C ．36D ．223．在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．84．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 11＝S 10，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．245．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 6．公差不为零的等差数列{a n }的第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知等差数列{a n }的前n 项和为n 1313＝13，则a 1＝( )A ．－14B ．13C ．－12D ．－118．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则数列{a n }的前5项和S 5＝( )A ．20B ．30C ．25D ．409．已知等比数列{a n }中，各项均为正数，前n 项和为S n ，且4a 3，a 5，2a 4成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．1610．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．11．已知等差数列{a n }的公差为－2，a 3是a 1与a 4的等比中项，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．12．已知{a n }为等比数列，a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2，则a 5＋a 6＋a 7＝________．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{b n }的前n 项和T n .14．数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1，2，3，…)，且a 1，a 2，a 3成公比不为1的等比数列．(1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式．15．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且－a 2，a 3，a 1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{nS n }的前n 项和T n .专题限时集训(十)1．B [解析] 设此数列的公比为q ，根据题意得q >0且q ≠1，由a 1（1－q 4）1－q＝5a 1（1－q 2）1－q，解得q ＝2. 2．C [解析] 由S 8－S 4＝12得a 5＋a 8＝a 6＋a 7＝a 1＋a 12＝6，则S 12＝122×(a 1＋a 12)＝36. 3．C [解析] 由a 3·a 5＝64可得a 1·a 7＝64，则a 1＋a 7≥2 a 1a 7＝16.4．B [解析] 由S 11＝S 10得，a 11＝0，即a 1＋(11－1)×(－2)＝0，得a 1＝20.5．B [解析] 由a 3·a 9＝2a 25，可得q 2＝2，所以q ＝2，则a 1＝a 2q ＝22. 6．C [解析] 由(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )得d ＝－2a 1，因此可罗列该数列的前6项为a 1，－a 1，－3a 1，－5a 1，－7a 1，－9a 1，则公比为3.7．D [解析] 在等差数列中，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13，得a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11，选D.8．C [解析] 由数列{a n }是公差为2的等差数列，得a n ＝a 1＋(n －1)·2，又因为a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1·a 5＝a 22，即a 1·(a 1＋8)＝(a 1＋2)2，解得a 1＝1，所以S 5＝5a 1＋5×（5－1）2·d ＝5×1＋20＝25. 9．C [解析] 由4a 3＋2a 4＝2a 5得q 2(q 2－q －2)＝0，由题意知q ＝2，则S 4＝1＋2＋4＋8＝15.10．2n －1 [解析] 由3（a 1＋a 3）2＝S 3，得a 3＝5，故d ＝2，a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 11．－n 2＋9n [解析] 由a 23＝a 1·a 4可得a 1＝－4d ＝8，故S n ＝8n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋9n .12．24 [解析] 由a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2得q ＝－2，由a 2＋a 2q ＝1，得a 2＝－1，因此a 5＋a 6＋a 7＝8－16＋32＝24.13．解：(1)由S 3＝9得3a 2＝9，a 2＝3，因为a 3＝5，所以d ＝2，从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由题意知b 2＝3，b 3＝9，q ＝3，故T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12. 14．解：(1)a 1＝3，a 2＝3＋c ，a 3＝3＋3c ，∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴(3＋c )2＝3(3＋3c )，解得c ＝0或c ＝3.当c ＝0时，a 1＝a 2＝a 3，不符合题意，舍去，故c ＝3.(2)当n ≥2时，由a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ，则a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n （n －1）2c . 又∵a 1＝3，c ＝3，∴a n ＝3＋32n (n －1)＝32(n 2－n ＋2)(n ＝2，3，…)． 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ＝32(n 2－n ＋2)． 15．解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意得a 1－a 2＝2a 3，且a 1＝12， 即a 1－a 1q ＝2a 1q 2，化简得2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝12.故a n ＝12n . (2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，故 S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，则nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋222＋…＋n 2n ，① T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.② 由①－②得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1 ＝n （n ＋1）4－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－1＋12n ＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4＋n ＋22n ＋1－1，所以T n ＝n （n ＋1）2＋n ＋22n －2.。
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十一)(含答案详析)
专题限时集训(十一)[第11讲 简单空间几何体](时间：45分钟)1视图的是( )－X11－2．已知某三棱锥的三视图如图X11－3所示，则该三棱锥的体积为( ) A.16 B.13 C.12D ．1图X11－3图X11－43．已知某几何体的三视图如图X11－4所示，则该几何体的表面积为( ) A ．24 B ．20＋4 2 C ．28 D ．24＋4 24．已知一个三棱锥的三视图如图X11－5所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )－5A ．1B ．2C ．3D ．45．某几何体的正视图与俯视图如图X11－6所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.203B.43C ．6D ．4图X11－6图X11－76．若正三棱柱的三视图如图X11－7所示，则该三棱柱的表面积是( )A ．6＋2 3 B.9 32C ．6＋3 D. 37．某四棱锥的底面为正方形，所示，则该四棱锥的体积等于( )A ．1B ．2C ．3 D.2图X11－8图X11－98．某几何体的三视图如图X11－9所示，该则几何体的表面积为()A．28＋6 5 B．30＋6 5C．56＋12 5 D．60＋12 59.X11－10已知四棱锥P－ABCD的三视图如图X11－10所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是()A．2B．3C.13D．3 210．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图X11－11所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________．图X11－11图X11－1211．某几何体的三视图如图X11－12所示，则它的体积为________．12．某正三棱柱的三视图如图X11－13所示，其中正视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是________．图X11－13图X11－1413．如图X11－14所示的是一几何体的三视图，则该几何体的体积是________．14．如图X11－15所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF15．如图X11－16所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，F为AB上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图X11－17所示，则四面体P－BFC 的体积是________．X11－16X11－1716．如图X11－8所示，在四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，PA⊥底面ABCD，其三视图如图X11－19所示，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCDX11－18图X11－19专题限时集训(十一)1．C [解析] 若俯视图为C ，则与侧视图矛盾，其他三者均有可能． 2.A [解析] 由题设条件，三棱锥P －ABC 的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，所以底面积为12×1×1＝12，所以三棱锥的体积为13×12×1＝16. 3．B [解析] 由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为S ＝5×22＋4×12×2×2＝20＋4 2.4．D [解析] 由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面都是直角三角形．5．A [解析] 由三视图知，该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方体的上底面，高为1，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－13×2×2×1＝203. 6．A [解析] 由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为3，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为2×3×1＝6，两底面积为2×12×2×3＝2 3，所以表面积为6＋2 3.7．D [解析] 由三视图可知该四棱锥有一侧棱与底面垂直，底面面积为2，高为1，所以V ＝13×2×1＝23.8．B [解析] 如图所示，该几何体的表面积为S ＝⎝⎛⎭⎫12×5×4×3＋12×2 5×（41）2－（5）2＝30＋6 5.9．D [解析] 由三视图可知该是四棱锥顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点，底面边长分别为3，2，后面是直角三角形，直角边分别为3，2，所以后面的三角形的面积为12×2×3＝3.左面三角形是直角三角形，直角边长分别为2，2，三角形的面积为12×2×2＝2.前面三角形是直角三角形，直角边长分别为3，2 2，其面积为12×3×2 2＝3 2.右面也是直角三角形，直角边长为2，13，三角形的面积为12×2×13＝13.所以四棱锥P －ABCD的四个侧面中面积最大的是前面的三角形，面积为3 2，选D.10．29π [解析] 借助长方体画出直观图，该三棱锥的外接球即是长方体的外接球，所以该球的半径为R ＝1222＋32＋42＝292，其表面积为29π.11．16 [解析] 由三视图可知该几何体的底面是下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，该几何体是高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为V ＝13×2＋42×4×4＝16.12．12＋2 3 [解析] 由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为2×12×22×32＝2 3，侧面积为3×2×2＝12，所以正三棱柱的表面积是12＋2 3.13.56[解析] 由三视图可知该几何体是一个正方体去掉一角，其直观图如图所示，其中正方体的棱长为1，所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16，所以该几何体的体积为1－16＝56.14.16 [解析] 因为E 点在线段AA 1上，所以S △DED 1＝12×1×1＝12，又因为F 点在线段B 1C 上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以VD 1－EDF ＝VF －DED 1＝13·S△DED 1·h ＝13×12×1＝16.15.23 [解析] 由侧视图可得F 为AB 的中点，所以△BFC 的面积为S ＝12×1×2＝1.因为PA ⊥平面ABCD ，所以四面体P －BFC 的体积为V 四面体P －BFC ＝13S △BFC ·PA ＝13×1×2＝23.16．解：(1)如图所示，过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，联结PE.根据三视图可知，E 是BC 的中点，且BE ＝CE ＝1，AE ＝CD ＝1， 又∵△PBC 为正三角形，∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC.∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵PA ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，∴PA ⊥AE ， ∴PA 2＝PE 2－AE 2＝2，即PA ＝2，∴正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2.(2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高PA ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32.∴四棱锥P －ABCD 的体积V 四棱锥P －ABCD ＝13S ·PA ＝13×32×2＝22.。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(一)B(含答案详析)
专题限时集训(一)B[第1讲集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．设集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x2∩B等于()A．(－3，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1)C．(－2，1) D．(－2，0)∪(0，1)2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－1<0}，B＝{y|y＝x}，则A∩(∁U B)＝()A．(－1，0) B．(－1，0]C．(0，1) D．[0，1)3．“a>1”是“a2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图X1－1A．{2} B．{4，6}C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}5．已知a>0且a≠1，则log a b>0是(a－1)(b－1)>0的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若集合A＝{0，1}，B＝{－1，a2}，则“a＝1”是“A∩B＝{1}”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D7．已知集合M＝{1，2，3}，N＝I＝{1，2，3，4，5}，则图X1－2所示的阴影部分表示的集合为()A．{1} B．{2，3}C．{4} D．{5}8．设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．下列判断中正确的是()A ．命题“若a －b ＝1，则a 2＋b 2>12”是真命题 B ．“1a ＋1b ＝4”的必要不充分条件是“a ＝b ＝12” C ．命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ＝1，则a ＋1a≠2” D ．“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件10．函数f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)的值域是( ) A ．R B ．(1，2)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1)(2，＋∞)11．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为________．13．若集合M ＝{x |x ＝2－t ，t ∈R }，N ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，则M ∩N ＝________．14．已知R 是实数集，M ＝x ⎪⎪2x <1，N ＝y |y ＝x －1＋1，则N ∩(∁R M )＝________．专题限时集训(一)B1．D [解析] B ＝{x |log 2|x |<1}＝(－2，0)∪(0，2)，所以A ∩B ＝(－2，0)∪(0，1)．2．A [解析] 由x 2－1<0得－1<x <1，所以A ＝{x |－1<x <1}，又B ＝{y |y ≥0}，所以∁U B ＝{y |y <0}，所以A ∩(∁U B )＝(－1，0)．3．A [解析] a 2>1⇒a <－1或a >1，显然选A.4．B [解析] 图中的阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝{4，6，7，8}∩{2，4，6}＝{4，6}．5．A [解析] log a b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<b <1，故(a －1)(b －1)>0成立，故充分条件成立．而(a －1)(b －1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，b <1.若b ≤0，则log a b 无意义．故选A. 6．A [解析] a ＝1⇒A ∩B ＝{1}；A ∩B ＝{1}⇒a ＝±1，故为充分不必要条件．7．C [解析] M ∩N ＝{2，3}，则阴影部分表示的集合为{4}．8．A [解析] “x ≥1且y ≥2”⇒“x ＋y ≥3”，而“x ＋y ≥3”⇒/ “x ≥1且y ≥2”，故为充分不必要条件．9．D [解析] 选项A 中，a ＝1＋b ，故a 2＋b 2＝(1＋b )2＋b 2＝2b 2＋2b ＋1＝2⎝⎛⎭⎫b ＋122＋12≥12，故选项A 中的命题是假命题；选项B 中，1a ＋1b ＝4推不出a ＝b ＝12，反之成立，故选项B 中的命题是假命题；选项C 中，“若a ＋1a＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ≠1，则a ＋1a ≠2”，故选项C 中的命题是假命题；选项D 中，f (x )＝cos 2ax ，其最小正周期为π时，2π2|a |＝π，即a ＝±1，故命题是真命题．10．A [解析] 由y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14知x 2－3x ＋2可以取到所有的正实数，所以函数f (x )的值域为R ，选A.11．D [解析] 若S n 是关于n 的二次函数，则设为S n ＝an 2＋bn ＋c (a ≠0)，则当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2an ＋b －a ，当n ＝1时，S 1＝a ＋b ＋c ，只有当c ＝0时，数列{a n }才是等差数列；若数列{a n }为等差数列，则S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n 22d ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时为二次函数，当d ＝0时，为一次函数，所以“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的既不充分也不必要条件．12．[－2，2] [解析] 该命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”，则Δ＝a 2－4≤0，－2≤a ≤2.13．(0，1] [解析] 由题意得M ＝(0，＋∞)，N ＝[－1，1]，故M ∩N ＝(0，1]．14．[1，2] [解析] 化简2x －1<0，可得2－x x<0，即x (x －2)>0，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∁R M ＝[0，2]，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，故N ∩(∁R M )＝[1，2]．。
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专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．若数列{a n }是等差数列，且a 3＋7a n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．722．已知数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列，则数列{nb n }的前n 项和T n ＝( )A ．2－⎝⎛⎭⎫12n －1B ．2－⎝⎛⎭⎫12nC ．2－n ＋22nD ．2－n ＋12n3．若数列{c n }的通项c n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫13n ，则数列{c n }的前n 项和R n ＝( )A ．1－n ＋13nB ．1－n3nC ．1＋n3n D ．1＋n ＋13n4．已知等差数列{a n }，a 1＝3，d ＝2，前n 项和为S n ，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，则T n ＝( )A.12⎣⎡⎦⎤n n ＋1－n 2（n ＋2）B.12⎣⎡⎦⎤1n ＋1－12（n ＋2） C.12⎣⎡⎦⎤1n ＋1＋12（n ＋2） D.12⎣⎡⎦⎤nn ＋1＋n 2（n ＋2） 5．数列{c n }的通项为c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1），则其前n 项和S n ＝________． 6．数列{2n ·3n }的前n 项和T n ＝7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n 用H n 来表示．对于a n ＝3n，其“和谐和”H n ＝( )A.3n ＋2－6n －94B.3n ＋1－6n －94C.3n ＋1＋6n －94 D.3n ＋6n －948．设两数列{a n }和{b n }，a n ＝⎝⎛⎭⎫－13n －1，b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1），则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为( )A.1－（4n －1）（－3）n 16B.1＋3n （4n ＋1）16C.1－3n （4n ＋1）16D.1－（4n ＋1）（－3）n 169．已知数列{a n }，a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1837，则n ＝________．10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 9＝99，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a 2n －1的前n 项和T n ＝________．11．已知数列{a n }是首项为1，公差为20的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n ·b n }的前n 项和为________．12．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 9成等比数列．(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2（n ＋1）b n(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＋2a n a n －1＝0(n ∈N *，n >1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <12.15．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 2，b 13＝a 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记c n ＝(－1)n b n ＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .专题限时集训(十一)1．B [解析] S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 3＋a 7）2＝18.2．C [解析] 因为b n ＝12n ，nb n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n2n ＝2－n ＋22n .故选C.3．A [解析] R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋3×⎝⎛⎭⎫132＋5×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ，① 13R n＝1×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋5×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，②①式减②式得23R n ＝13＋2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则23R n ＝13＋2×⎝⎛⎭⎫132⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝23－2（n ＋1）3×⎝⎛⎭⎫13n ，故R n ＝1－n ＋13n ，故选A.4．D [解析] ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，∴1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝1211－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1211＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12n n ＋1＋n 2（n ＋2）.故选D. 5.2n ＋1－22n ＋1－1 [解析] c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， 则S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n 1－1＝2n ＋1－22n 1－1. 6.⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋1＋32[解析] T n ＝2·31＋4·32＋6·33＋…＋2n ·3n ，① 3T n ＝2·32＋4·33＋6·34＋…＋2n ·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝2·31＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －2n ·3n ＋1，则T n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋1＋32. 7．A [解析] S n ＝32(3n －1)，H n ＝32(31＋32＋…＋3n －1×n )＝3n ＋2－6n －94.故选A.8．D [解析] b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)·⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝n . 记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n＝1－（－3）n 4－n ×(－3)n ，故S n ＝1－（4n ＋1）（－3）n16.9．18 [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1.又因为1a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，所以S n ＝121a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝1837，解得n ＝18. 10.n n ＋1[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 2＝5，S 9＝99，∴a 1＋d ＝5，9（2a 1＋8d ）2＝99，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝2n ＋1.设b n ＝4a 2n －1(n ∈N ＋)．∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n (n ＋1)，∴b n ＝44n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 11.（20n －29）·3n ＋292 [解析] a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，b n ＝3n －1，令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n ，②①－②得，－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n －19)·3n ＝(29－20n )·3n －29，所以S n ＝（20n －29）·3n ＋292.12．10 [解析] 设最佳使用年限为x 年，年平均费用为y 万元，则y ＝15＋1.5x ＋x （x ＋1）2×0.3x ＝15x＋0.15x ＋1.65≥4.65，此时x ＝10.13．解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ，因为a 1＝S 1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .b 1＝a 1＝2，则由b 1，b 3，b 9成等比数列，即b 23＝b 1b 9，得(2＋2d )2＝2×(2＋8d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)c n ＝2（n ＋1）b n ＝1n （n ＋1），数列{c n }的前n 项和T n ＝11×2＋12×3＋13×4…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．证明：(1)已知a n －a n －1＋2a n a n －1＝0，两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，于是1a n ＝2n －1，a n ＝12n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1），则b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝121－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝121－12n ＋1<12. 15．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d . 由已知得a 2＝3q ，a 3＝3q 2，b 1＝3，b 4＝3＋3d ，b 13＝3＋12d ， 故⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋3d ，3q 2＝3＋12d ，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1＋d ，q 2＝1＋4d ，解得d ＝2或d ＝0(舍去)， 所以q ＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝2n ＋1.(2)由题意得c n ＝(－1)n b n ＋a n ＝(－1)n (2n ＋1)＋3n ， S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝－3＋5－7＋9－…＋(－1)n －1(2n －1)＋(－1)n (2n ＋1)＋3＋32＋…＋3n .当n 为偶数时，S n ＝n ＋3n ＋12－32＝3n ＋12＋n －32；当n 为奇数时，S n ＝(n －1)－(2n ＋1)＋3n ＋12－32＝3n ＋12－n －72.所以S n ＝⎩⎨⎧3n ＋12＋n －32，n 为偶数，3n ＋12－n －72，n 为奇数.。