测量平差习题

四、问答题(每小题4分，共12分)1、对控制网进行间接平差，可否在观测前根据布设的网形的观测方案来估算网中待定点的精度？为什么？2、何所谓控制网的平差基准？根据平差基准数不同，可将控制网的平差分为哪几类？3、经典平差中,精度评定主要包括哪些计算内容? 四、问答题(每小题4分，共12分) 1、（1）可以；（2）对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，误差方程的个数是一定的，形式也是一定的；误差方程的系数阵B 是控制网网形决定的，观测值的权阵P 是由观测方案决定的，由此可以得到T bb N B PB =，进而可得到1XX bb Q N -=，根据先验方差20σ，便能估算网中待定点的精度。

2、（1）在控制网平差问题中，控制网的起算数据称其平差基准；（2）根据平差基准数不同，可将控制网的平差分为自由网平差与约束网平差两类。

3、测量成果精度包括两个方面：一是观测值实际的精度；二是由观测值经平差得到的观测值函数的精度。

而用来评定精度的方差可用单位权方差和协因数来计算，因而，精度评定主要包括的计算内容有： （1）单位权方差估值计算；（2）平差中基本向量的协因数阵的计算；（3）观测值平差值（参数平差值）函数的协因数计算。

（4）利用单位权方差估值与相应向量的协因数计算其方差（中误差）。

七 检验题（10分）在某地区进行三角观测，共25个三角形，其闭合差(以秒为单位)如下: +0.8 -0.5 +O.5 +0.8 -0.5 -0.8 -1.2 -1.0 -0.6 +0.3 +0.2+1.8 +0.6 -1.1 -1.5 -1.6 +1.2 -1.2 +0.6 +1.3 +0.4 -0.5 -0.6 +0.4 -2.0 现算出08.252w ，正误差平方和为9.07，负误差平方和为16.01，对该闭 合差进行偶然误差特性的检验。

五、综合题（36分） 1（6分）、在间接平差中0T 1T -1TBB ()ˆx (B PB)B Pl=N B Plˆv Bx-l ˆLL V l L f X -=-===+设Q Q LL =，证明ˆV X与统计不相关。

2（10分）、在如图所示的大地四边形中，A 、B 为已知点，C 、D 为未知点，1L ～8L 为角度观测值。

（1）、列出所有的条件方程，非线性的线性化。

（2）、若设未知点的坐标为参数，试写出求CD 边长平差值中误差的权函数式。

共 4 页第3 页3 (10分)、已求得某控制网中P 点误差椭圆参数031570'=E ϕ、dm E 57.1=和dm F 02.1=，已知PA 边坐标方位角032170'=PA α，km S PA 5=，A 为已知点，试求方L 5 L 6L 7 L 8 L 4L 3 L 1L 2B CD A位角中误差PA ασˆ和边长相对中误差PAS S PAσˆ。

4（10分）、如图闭合水准网中，A 为已知点，高程为10.000A H m =， P1，P2为高程未知点，观测高差及路线长度为：h 1=1.352m, S1=2 km ; h 2=-0.531m, S2=2 km ; h 3=-0.826m, S3=1 km ; 试用间接平差求P1，P2点高程的平差值。

五、综合题答案（36分） 1（6分）()()()T 1T -1TBB ll -1T -1T1ˆˆBB BB -1T 1ˆlx BB 11ˆˆˆˆlx ˆx (B PB)B Pl=N B Plˆv Bx-lQ N B P N B P Q N B P Q 0TBBXX BBBB BB VX XX QQ Q N Q BN Q BQ BN BN -----========-=-= 所以，ˆV X与统计不相关共 3页第 1 页2（10分） （1）、n=8,t=4,r=4)sin sin sin sin sin sin sin sin 1(0:1ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 0180ˆˆˆˆ0180ˆˆˆˆ0180ˆˆˆˆ86427531887766554433221175318642076540543208321L L L L L L L L W W V ctgL V ctgL V ctgL V ctgL V ctgL V ctgL V ctgL V ctgL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L -''==++-+-+-+-=-=-+++=-+++=-+++ρ线性化Ah3S2h2S1h1P2P1S3(2)()()D CDCD D CD CD C CD CD C CD CD s CDCDCDy S Y x S y S Y x S Y Y X XS CD ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ:ˆˆˆˆˆˆ22∆X ∆∆X ∆δ++--=-+-=权函数式为 3（10分）（1），先得求横向中误差μσ，横向中误差μσ的方向μϕ与PA α方向垂直：02222229015000cos sin 2.11()1.45 5.99PA E PAE F dm dm S μμμμμμμμαϕαψϕϕσψψσσσρ=+'=-==+==''''==（2）求纵向误差s σ：022********cos sin 1.397()1.1821:4230PA E s s s PAE F dm dmK S ψαϕσψψσσ'=-==+====边长相对中误差为4 (10分)、n=3,t=2,r=1,选取P1，P2点高程平差值为参数12ˆˆ,X X ，u=2,c=r+u=3。

00112311.352,10.826A b X H h m X H h m =+==-=（1） 列误差方程1121232ˆˆˆˆˆˆˆAAh X H hX X h X H =-=-+=-+1121232ˆˆˆ5ˆv xv xx v x==-++=- 11223100ˆ115ˆ010v x v x v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦共 3页第 2 页（2）组成法方程并解算 1231,2,1,1,2,12i iC P C km P P P P S ⎡⎤⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎣⎦则10215,1352ˆ()111.354ˆˆ10.825T TBB BB N B PB W B Pl x N W mm X X x m --⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦6、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。

1）试在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差，并说明；3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB 边的中误差。

解：1）在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差；连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后P A 边的中误差Pa PA =σˆ 2）在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差；作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，垂足为c 点，则Pc 长度为平差后P A 边的横向误差PA u σˆ 则平差后P A 方位角的中误差：A BPacbρρσσα''=''≈PAPAu S PcS PAPAˆˆ 3）因为︒=52F ϕ 则：︒=142E ϕ则：︒-=︒-︒=-=ψ40142102E ϕα 所以：323.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ˆˆ22222222=︒-+︒-=ψ+ψ==ψF E σσϕ 方位角为102º的PB 边的中误差：mm 04.4ˆˆ±==ψσσϕ证明题如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

h1h2SAB证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ； 设每公里中误差为单位权中误差，则h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)/(100/1T S T P平差值条件方程式为：HA+0ˆˆ21=-+HB h h 则 A=( 1 1 )S A AP N T ==-1由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1ˆˆ--=则高差平差值的协因数阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-1111)(1ˆˆS T S T AQ N A Q Q Q LL T LLLL L L则平差后P 点的高程为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=211ˆˆ01ˆh h H h H H A A P 则平差后P 点的权倒数（协因数）为ST S T f AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )(1-=-=- 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则 02=-STS T=S/2 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

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