【3份打包】鄂湘陕渝粤地区高三理科数学二轮复习专题整合选修部分

目录选修4-1 几何证明选讲 (1)选修4-4 坐标系与参数方程 (13)选修4-5 不等式选讲 (21)选修4-1 几何证明选讲A组(供高考题型为填空题的省份使用)1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.详细分析：∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8 2.又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝BECD，∴BE＝AB·CDAD＝6×8212＝4 2.答案4 22．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．详细分析：如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33，∴AF ＝AD －DF ＝233. 答案2333．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.详细分析：连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ， ∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案 a24.如图，已知P A ，PB 是圆O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为圆O 上不与A ，B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.详细分析：如图，连接OA ，OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°.又P ，A ，O ，B 四点共圆，故∠APB ＝60°. 答案 60°5．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.详细分析：由切割线定理知，C 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.连接OC ，又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 答案36．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，则线段AC 的长为________．详细分析：由切割线定理，得CD 2＝ BD ·AD .因为CD ＝6，AB ＝5，则36＝BD (BD ＋5)， 即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.因为∠A ＝∠BCD ，所以△ADC ∽△CDB ，于是AC CB ＝CDBD . 所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92. 答案 927．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______．详细分析：由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠ACB ＝∠D ＝90°， ∴△ABC ∽△CBD .∴AB CB ＝AC CD ，CD ＝CB ·AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又∵CD 与圆相切，∴CD 2＝DE ·DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60°＝5.答案 58．如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交P A 于点F ，且△COF ∽△PDF ，若PB ＝OA ＝2，则PF ＝________.详细分析：由相交弦定理可得BF ·AF ＝DF ·CF ，由△COF ∽△PDF 可得CF PF ＝OFDF ， 即得DF ·CF ＝PF ·OF .∴BF ·AF ＝PF ·OF ， 即(PF －2)·(6－PF )＝PF ·(4－PF )，解得PF ＝3. 答案 39．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．详细分析：∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ， ∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BCAD . ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 6610．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.详细分析：C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD ⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26， 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3. 答案 2 311．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝________cm.详细分析：如图，连接DC ，则CD ⊥AB ，Rt △ADC ∽Rt △ACB . 故AD AC ＝AC AB ，即AD 3＝35， AD ＝95(cm)， BD ＝5－95＝165(cm)． 答案 16512．如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.详细分析：∵直线PB 与圆相切于点B ，且∠PBA ＝∠DBA ，∴∠ACB ＝∠ABP ＝∠DBA ，由此可得直线AB 是△BCD 外接圆的切线且B 是切点，则由切割线定理得AB 2＝AD ·AC ＝mn ，即得AB ＝mn . 答案mn13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．详细分析：由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ， ∴FC ＝AF ·FBEF ＝2.由△AFC ∽△ABD ， 可知FC BD ＝AF AB ，∴BD ＝FC ·AB AF ＝83.由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649，∴DC ＝43.答案 4314．如图所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．详细分析：设AF ＝4k ，BF ＝2k ，BE ＝k ，由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.所以AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72.由切割线定理，得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案 7215．如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．详细分析：当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大． 答案 2B 组(供高考题型为解答题的省份使用)1．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC . (2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD AC ， 即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC ·sin ∠BAC ＝AD ·AE . 则sin ∠BAC ＝1， 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.2．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即ONOP＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．(1)证明如图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.(2)解设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，∴△ABC外接圆的面积为4π.5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴DCBC＝DEDC.∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝AB2BC＝629＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴PDPB＝DEBC＝49.又∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD·PB＝365·815＝54252.∴PC＝545.6．如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝3 2，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝3 2，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．∴△BCF的外接圆半径为3 2.选修4-4 坐标系与参数方程A组(供高考题型为填空题的省份使用)1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 详细分析：依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－5π62．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________． 详细分析：依题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0. 化简得ρ＝2sin θ. 答案 ρ＝2sin θ3．在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．详细分析：依题意知，点P (3，－1)，直线l 为：x －3y ＋2＝0，则点P 到直线l 的距离为3＋1. 答案3＋14．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．详细分析：由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝12×3×4×sin π6＝3. 答案 35．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________．详细分析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴所表示的图形为圆．由⎩⎨⎧ x ＝－1－t ，y ＝2＋3t 得⎩⎨⎧x ＋1＝－t ，y －2＝3t ， 消t 得3x ＋y ＋1＝0， ∴所表示的图形为直线． 答案 圆，直线6．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．详细分析：消去参数θ得曲线方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t 得曲线方程为y 2＝45x ，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255 7．直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________________.详细分析：直线y ＝x tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或5π6. 答案 π6或5π68．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．详细分析：将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝09．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.详细分析：消去参数t 得抛物线C 的标准方程为y 2＝8x ，其焦点为(2,0)，所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x －y －2＝0，由题意得r ＝|4－2|2＝ 2. 答案210．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1交点的极坐标为________．详细分析：∵ρ＝2sin θ，∴x 2＋y 2＝2y .∵ρcos θ＝－1，∴x ＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1,1)，∴交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2， 3π4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2， 3π411．已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 交点的直角坐标为____________．详细分析：圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 直线l 的直角坐标方程为y ＝1.⎩⎨⎧ x 2＋(y －1)2＝1，y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1. ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)． 答案 (－1,1)，(1,1)12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．详细分析：曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π213．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎨⎧ x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则|AB |＝________. 详细分析：极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )对应的平面直角坐标系中方程为y ＝x ，⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)⇒(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1,2) ，r ＝2.圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|2＝22，|AB |＝2r 2－d 2＝2 4－12＝14.答案1414．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．详细分析：极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 答案 115．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为________． 详细分析：如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6， 在Rt △OAP 中， |OP |＝|OA |×cos ∠POA ， ∴ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.答案 ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6B 组(供高考题型为解答题的省份使用)1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程．解 将圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程．2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．解 曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，化为普通方程为x －y －1＝0，曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，∴⎩⎨⎧5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5，∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎨⎧ (x －4)2＋(y －5)2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二 (1)同法一．(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧ x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)． 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.选修4-5 不等式选讲A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1．不等式x ＋|2x －1|<3的解集为________． 详细分析：原不等式可化为⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎨⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <432．不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的解集为________．详细分析：法一 当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5， 解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5， 因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1； 当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5， 解得1<x <2.综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．法二 不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3<x <2}． 答案 {x |－3<x <2}3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 详细分析：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案 94．(2014·广州模拟)不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________．详细分析：∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]5．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k <x 有解的实数k 的取值范围是________． 详细分析：|x ＋1|＋k <x ⇔k <x －|x ＋1|， 又x －|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <－1，－1，x ≥－1，∴x －|x ＋1|的最大值为－1. ∴k <－1.答案 (－∞，－1)6．(2014·湖南六校联考)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≥a 的解集是全体实数，则a 的取值范围是______． 详细分析：令f (x )＝|x －3|＋|x －4|， 则|x －3|＋|x －4|≥|x －3＋4－x |＝1， 则f (x )min ＝1，故a ≤1. 答案 (－∞，1]7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．详细分析：令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________． 详细分析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 9．(2014·江西重点盟校二次联考)若不等式||x ＋1＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．详细分析：∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， ∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立， 只需|m －1|≤4， 即－3≤m ≤5. 答案 [－3,5]10．(2014·临沂模拟)对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 满足______．详细分析：∵|2－x |＋|3＋x |≥5， ∴要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立， 即5≥a 2－4a ， 解得－1≤a ≤5. 答案 [－1,5]11．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是______． 详细分析：|3x －b |<4⇒b －43<x <b ＋43⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4⇒5<b <7，即b 的取值范围为(5,7)． 答案 (5,7)12．(2014·西安八校联考)已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．详细分析：|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7.答案 －713．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．详细分析：∵二次方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则由Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，由绝对值的几何意义知0≤a ≤14. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1414．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．详细分析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，所以|a －5|＋1<2， 即|a －5|<1，∴4<a <6. 答案 (4,6)15．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．详细分析：由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm ·bn )2＝mn (a ＋b )2＝2. 答案 2B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.当x <－12时，由f (x )＝－x －5>2得x <－7， ∴x <－7； 当－12≤x <4时， 由f (x )＝3x －3>2得x >53， ∴53<x <4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5>2， 得x >－3，∴x ≥4. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)画出f (x )的图象如图：∴f (x )min ＝－92.2．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc .所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.3．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明 法一 因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )， ① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )，②所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc ).故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )＋9(abc ).又3(abc )＋9(abc )≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )＝9(abc )时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝3时，原式等号成立． 法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . ① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝3时，原式等号成立． 4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥15.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明 由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.6．(2014·沈阳模拟)已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ∴x ≥52或x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥52.注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0.又a >0，∴a ≥4. ∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．。