(2)必修2 2.1点线面位置关系练习题
【名师点睛】2017-2018学年 高中数学必修二 2.1点、线、面之间的位置关系 练习题(含答案详解)
点、线、面之间的位置关系基础题一、选择题：1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).A.异面B.相交C.不相交D.不平行2.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( ).A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( ).A.2对B.3对C.6对D.12对4.如果直线a//平面α,那么直线a与平面α内的( ).A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交5.下列说法正确的是( ).①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④6.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有几对( ).A.2B.3C.4D.57.如图,在下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB//平面MNP的图形的序号是( ).A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题：8.下列语句是对平面的描述：①平面是绝对平的且是无限延展的；②一个平面将无限的空间分成两部分；③平面可以看作空间的点的集合,它当然是一个无限集；④四边形确定一个平面.其中正确的序号是________.9.设平面α与平面β相交于l,直线a ⊂α,直线b ⊂β,a ∩b=M,则M________l.10.已知直线m,n,平面βα,,给出下列命题：①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线m,n 互相垂直,则存在过m 的平面与n 垂直. 其中正确的命题的题号为：11.设l m n 、、是三条不同的直线,αβγ、、是三个不同的平面,下面有四个命题：①,l l βαβα若∥∥,则∥； ②,l n m n l m 若∥∥,则∥；③,l l αβαβ⊥⊥若∥,则； ④,,l m αβ⊥⊥若,.l m αβ⊥⊥则其中假命题的题号为：12.已知点S 是正三角形ABC 所在平面外一点,D,E,F 分别是SA,SB,SC 的中点,则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是________.13.已知a 和b 是异面直线,且a ⊂平面α,b ⊂平面β,a//β,b//α,则平面α与β的位置关系是________.14.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM//平面DE ； ②CN//平面AF ；③平面BDM//平面AFN ； ④平面BDE//平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是________.15.如图所示,a//α,A 是α的另一侧的点,B 、C 、D ∈a,线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=______.16.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 的长分别是8、12,过AB 的中点E 且平行于BD,AC 的截面四边形的周长为________.三、解答题：17.已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF//面AEC？证明你的结论,并说出点F的位置.18.已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE,求证：(1)MN//平面PAD；(2)MN//PE.提高题一、选择题：1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( ).A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面2.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β//α,这样的β有( ).A.只能作一个B.至少一个C.不存在D.至多一个3.设α//β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C( ).A.不共面B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A,B如何移动,都共面4.下列命题中正确的个数为( ).①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R则P、Q、R三点共线.②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点则这四条直线共面.③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面A.0B.1C.2D.35.过空间一点作与两条异面直线都平行的平面,这样的平面( ).A.不存在B.至多有一个C.有且只有一个D.有无数个6.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的 ( ).A.一个侧面平行B.底面平行C.仅一条棱平行D.某两条相对的棱都平行二、填空题：7.给出下列三个命题：①空间四点共面,则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线,则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面. 其中正确命题的序号是________.8.已知平面α∩平面β=l,点M ∈α,N ∈α,P ∈β,P ∉l 且MN ∩l=R,过M,N,P 三点所确定的平面记为γ,则β∩γ等于________.9.已知平面α//β//γ,两条直线l,m 分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C 和D,E,F,已知AB=6,DE DF =25,则AC=________.三、解答题：10.如图,已知ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH.求证：AP//GH.11.在空间四边形ABCD 中,H 、G 分别是AD 、CD 的中点,E,F 分别是边AB,BC 上的点,且31==EB AE FB CF . 求证：直线EH 、BD 、FG 相交于一点.12.如图所示的几何体中,△ABC 是任意三角形,AE//CD,且AE=AB=2a,CD=a,F 为BE 的中点.求证：DF//平面ABC.13.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3,侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点,且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.14.如图,已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD,E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA=4,AB=2,求点A 到平面SBD 的距离；(3)当ABSA 的值为多少时,二面角B －SC －D 的大小为120º.15.如图①,在直角梯形ABCP 中,AP//BC,AP ⊥AB,AB=BC=0.5AP,D 为AP 的中点,E 、F 、G 分别为PC 、PD 、CB 的中点,将△PCD 沿CD 折起,得到四棱锥PABCD,如图②.求证：在四棱锥PABCD 中,AP//平面EFG.参考答案基础题1.答案:D;解析:和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.2.答案:A;解析:据公理1可知：直线l 上两点M 、N 都在平面α内,所以l 在平面α内,故选A.3.答案:C;解析:如图所示,在长方体AC 1中,与对角线AC 1成异面直线位置关系的是：A 1D 1、BC 、BB 1、DD 1、A 1B 1、DC,所以组成6对异面直线.4.答案:D;解析:线面平行,则线面无公共点,所以选D,对于C,要注意“无数”并不代表所有.5.答案:D;解析 由两平面平行的判定定理知③④正确.6.答案:C;解析:当底面是正六边形时,共有4对面互相平行.7.答案:B;解析 ①中,取NP 中点O,连MO,则MO//AB,AB ⊄平面MNP.MO ⊂平面MNP ∴AB//平面MNP ； ②中,在平面MNP 内找不到与AB 平行的直线,故②不能得出；③中,AB 与平面MNP 相交； ④中,∵AB//NP,AB ⊄平面MNP.NP ⊂平面MNP.∴AB//平面MNP.8.答案:①②③;解析:根据平面的概念和特征,①②③都是从不同的角度对平面的描述,因此,都是正确的.④是错误的.如图所示的四边形ABCD 四个顶点是不在一个平面内的.9.答案:∈;解析 因为a ∩b=M,a ⊂α,b ⊂β,所以M ∈α,M ∈β.又因为α∩β=l,所以M ∈l.10.答案为：③④；11.答案为：①③；12.答案：平行；解析：由D,E,F 分别是SA,SB,SC 的中点知EF 是△SBC 的中位线,∴EF//BC.又∵BC ⊂平面ABC,EF ⊄平面ABC,∴EF//平面ABC.同理DE//平面ABC.∵EF ∩DE=E,∴平面DEF//平面ABC.13.答案：平行；解析：在b 上任取一点O,则直线a 与点O 确定一个平面γ,设γ∩β=l,则l ⊂β, ∵a//β,∴a 与l 无公共点,∴a//l,∴l//α.又b//α,根据面面平行的判定定理可得α//β.14.答案：①②③④;解析：以ABCD 为下底面还原正方体,如图：则易判定四个命题都是正确的.15.答案:20/9;解析：由已知EG//BD,∴EG BD =AF AC ,∴EG=209. 16.答案:20;解析:取BC 中点F,CD 中点G,AD 中点H,得▱EFGH,平面EFGH 就是过E 且与AC,BD 平行的平面,且EF=GH=12AC=4,EH=FG=12BD=6,所以▱EFGH 的周长为20. 17.解:如图,连接BD 交AC 于O 点,连接OE,过B 点作OE 的平行线交PD 于点G,过点G 作GF//CE,交PC 于点F,连接BF.∵BG//OE,BG ⊄平面AEC,OE ⊂平面AEC,∴BG//平面AEC.同理,GF//平面AEC,又BG ∩GF=G.∴平面BGF//平面AEC,∴BF//平面AEC.∵ BG//OE,O 是BD 中点,∴E 是GD 中点.又∵PE ∶ED=2∶1,∴G 是PE 中点.而GF//CE,∴F 为PC 中点.综上,当点F 是PC 中点时,BF//平面AEC.18.证明:(1)如图,取DC中点Q,连接MQ、NQ.∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ//PD.∵NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴NQ//平面PAD.∵M是AB中点,ABCD是平行四边形,∴MQ//AD,MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD.从而MQ//平面PAD.∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ//平面PAD.∵MN⊂平面MNQ,∴MN//平面PAD.(2)∵平面MNQ//平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE.∴MN//PE.提高题1.答案:D;解析:连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,∴选项A,B,C均正确,D不正确.2.答案:D;解析:∵a是平面α外的一条直线,∴a//α或a与α相交.当a//α时,β只有一个,当a与α相交时,β不存在.3.答案:D;解析:由面面平行的性质定理,点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内.故选D.4.答案:C;解析:在①中,∵P、Q、R三点现在平面ABC上,又在平面α上.∴这三点必在平面ABC与α的交线上,即P、Q、R三点共线,故①正确,在②中,∵a//b,∴a与b确定一个平面α,而l上有A、B两点在该平面上,∴l⊂α,即a,b,l三线共面于α；同理,a,c,e三线边共面,不妨设为β,而α,β有两条公共直线a,l,∴α与β重合,故这些直线共面,故②正确.在③中,不妨设其中四点共面,故它们最多能确定7个平面故③错.5.答案:B;解析:设a,b为两异面直线,当所取点在过b(或过a)与a(或与b)平行的平面α内时,此时过该点不能作出与a,b都平行的平面,除上述点之外符合要求的平面只有一个.6.答案:C;解析:当平面α//某一平面时,截面为三角形,故A、B错.当平面α//SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA⊂平面SAB,平面SAB∩α=DG,∴SA//DG,同理SA//EF,∴DG//EF,同理当α//BC时,GF//DE,∵截面是梯形,则四边形DEFG中仅有一组对边平行,故α仅与一条棱平行.故选C.7.答案:②;解析:对于命题①③,可用平行四边形的四个顶点来排除.8.答案:直线PR;解析:如图,MN⊂γ,R∈MN,∴R∈γ.又R∈l,∴R∈β.又P∈r,P∈β,∴β∩γ=PR.9.10.11.12.证明:如图所示,取AB 的中点G,连接FG,CG,∵F,G 分别是BE,AB 的中点,∴FG//AE,FG=12AE, 又AE=2a,CD=a,∴CD=12AE,而AE//CD,∴CD//FG,CD=FG ∴四边形CDFG 为平行四边形,∴DF//CG,又CG ⊂平面ABC,DF ⊄平面ABC,∴DF//平面ABC.13.14.15.证明在四棱锥PABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD. ∵AB//CD,∴EF//AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF//平面PAB. 同理EG//平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG//平面PAB.∵AP⊂平面PAB,AP⊄平面EFG,∴AP//平面EFG.。
(2)必修22.1点线面位置关系练习题
(2)必修22.1点线面位置关系练习题知识结构 姓名_______________1．点和直线旳位置关系是 ；2．点和平面旳位置关系是 ；3．直线和直线旳位置关系是 ；4．直线和平面旳位置关系是 ；5．平面和平面旳位置关系是 。
练习一、 选择题:1．下面推理过程，错误旳是（ ）（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,2．一条直线和这条直线之外不共线旳三点所能确定旳平面旳个数是（ ）（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个3．以下命题正确旳有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内旳所有直线；（3）若平面α内旳无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交旳两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个4．正方体旳一条体对角线与正方体旳棱可以组成异面直线旳对数是（ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 125．以下命题中为真命题旳个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内旳无数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内旳无数条直线。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个6．若三个平面两两相交，则它们旳交线条数是（ ）（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条二、 填空题：7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点旳位置关系是 。
高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系解答题专项练习附答案 教师版
∴PD∥平面 EAC．
【解析】【分析】1、由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，根据线线垂直的判定定理
可得证。
2、做辅助线连接 BD，交 AC 于点 M,连接 EM 由射影定理可得 AC⊥AD．在梯形 ABCD 中，由 AB⊥BC，
AB=BC，得 ∠ D C A = ∠ B A C = ，∵AC⊥AD，故△DAC 为等腰直角三角形． D C = A C =
（1）求证：平面 PAB⊥平面 PCB； （2）求证：PD∥平面 EAC． 【答案】 （1）解：∵PA⊥底面 ABCD，BC⊆底面 ABCD，∴PA⊥BC， 又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面 PAB． ∵BC⊂平面 PCB，∴平面 PAB⊥平面 PCB．
（2）∵PA⊥底面 ABCD，∴AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影．
F 分别为 AD ， PB 的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD；
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（Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD. 【答案】 证明：（Ⅰ）PA=PD,PA⊥PD， ∴PE 垂直 AD，又面 PAD⊥面 ABCD, ∴PE⊥面 ABCD 又 BC 面 ABCD ∴PE⊥BC （Ⅱ）因为 AB⊥AD，面 PAD⊥面 ABCD ∴AB⊥面 PAD， 又 PD 面 PAD ∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面 ABCD ∴PE⊥AB, ∴AB⊥面 PAD 又 AB∥DC,则面 PAB 面 PCD=l, ∴PD⊥l，又 PD⊥PA 且 PA l=p, ∴PD⊥面 PAB,又 PD 面 PCD， ∴面 PAB⊥面 PCD （Ⅲ）取 PC、PD 中点 M、N，链接 FM、DN、MN
高中数学必修二第一章点、直线、平面之间的位置关系解答题专项练习附答案
【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上， 由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的 交线． 8． 证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明 因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α， 由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13． 证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1， 又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； （2）三条两两相交的直线在同一平面内； （3）有三个不同公共点的两个平面重合； （4）两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（ ）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（ ）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（ ）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中 有 个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点， 则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为 。
必修二点、直线、平面位置关系基础练习题
点、直线、平面之间位置关系基础练习题一、单选题1.在四面体ABCD中，AD=BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βB. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//nC. 若m⊂α，n⊂β，α//β，且m，n共面，则m//nD. 若m//n，m//α，n//β，则α//β3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A. PA=PB=PCB. PA≠PB≠PCC. PA=PB>PCD. PA=PB<PC第II卷（非选择题）二、解答题（本大题共14小题，共168.0分）4.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．5.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB的中点，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．6.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN//平面PAD．7.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD//平面MAC．8.如图，P为▱ABCD所在平面外的一点，M，N分别为AB，PD的中点.求证：MN//平面PBC．9.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE//平面PAB．10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA//平面BDE时，求三棱锥E−BCD的体积．11.四棱锥P−ABCD中底面ABCD是矩形，M是PB的中点，PO⊥平面ABCD，AB=2,BC=1,PO=√3(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求三棱锥B−DMC的体积．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，且∠PAB=∠PDC=90°．(1)证明：PA//平面BDM；(2)证明：平面PAB⊥平面PAD．13.如图，在四棱锥P−ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．(1)求证：EF//AB；(2)求三棱锥P−AEF的体积．14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(1)证明：PA//平面MNC；(2)求三棱锥P−MNC的体积．15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面PCD．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD：(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q−PCD的体积．16.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，ΔVAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点。
必修二第二章点线面之间的位置关系练习题
一、选择题1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A. α内所有的直线都与a异面；B. α内不存在与a平行的直线；C. α内所有的直线都与a相交；D.直线a与平面α有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）A.3B.2C.1D.03.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD=====，则AC与BD所成角为（）A、030B、045C、060D、0904. 给出下列命题：（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a与b共面，直线b与c共面，则a与c共面其中错误命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）35．正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）条A 3B 4C 6D 86. 点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心7.如图长方体中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角C1—BD—C的大小为（）（A）300（B）450（C）600 （D）9008.直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）A、若a⊂α，b⊂α,c⊥a, c⊥b 则c⊥αB、若b⊂α, a//b 则a//αC、若a//α,α∩β=b 则a//bD、若a⊥α, b⊥α则a//b9.平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βA BCDA B1CD1第1 页C.直线aα⊂,直线bβ⊂,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行10、a, b是异面直线，下面四个命题：①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面与a，b都平行。
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； （2）三条两两相交的直线在同一平面内； （3）有三个不同公共点的两个平面重合； （4）两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（ ）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（ ）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（ ）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中 有 个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点， 则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为 。
高中数学必修二 点线面间的位置关系检测题及参考答案
高中数学必修二阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的位置关系(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】B。
【解析】因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．2．设BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A．0条B．4条C．6条D．12条【答案】C。
【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。
【解析】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直，而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。
【解析】A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故正确．5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D D．A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF ⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为()A．90°B．45°C．60°D．30°【答案】D【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角等于∠EFG，为30°.7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是() A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N-ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则V N-ADF＝V D-AFN，当N与C1重合时，V D-AFN取最小值为36，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM⊂平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.8．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为 2 ，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( ) A.12 B.13 C.33 D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32， ∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33. 9.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【解析】连接AB ′，BA ′，则∠BAB ′＝45°，∠ABA ′＝30°.在Rt △ABB ′中，AB ＝12，可得BB ′＝6 2.在Rt △ABA ′中，可得BA ′＝6 3.故在Rt △BA ′B ′中，可得A ′B ′＝6.10．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6. 11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC【答案】D【解析】易知△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.12．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EF⊂平面ECD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF且MG＝12EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝2235222⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴BM＝MG2＋BG2＝7，∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设正三角形ABC的边长为a，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则A到平面PBC的距离为________． 【答案】217a 【解析】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a . 14．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角．∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1，∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°.15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．【答案】 2【解析】连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2. 16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．【答案】 2【解析】如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19．(本小题满分12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E-BD-C的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥S C.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E-BD-C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC.在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝ 2.由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB.在Rt△SBC中，SB＝BC＝2，∠SBC＝90°，则SC＝2.在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.∴cos∠ASC＝SASC＝12.∴∠ASC＝60°，即二面角E-BD-C的大小为60°.21．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF ∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点O，连接EO，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝12AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD. 又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.22．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC ⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E-ABC的体积．解：(1)取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，EN，EM，则直线MN即为所求．取BC的中点H，连接AH，∵△ABC为腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH.∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC.∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC.又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，NG＝12DH，由(1)可知，EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等．又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC.又DH＝3，∴NG＝3 2.又AC＝AB＝3，BC＝2，∴AH＝22，∴S△ABC＝12·BC·AH＝22，∴V E-ABC＝V N-ABC＝13·S△ABC·NG＝63.。
新人教版高一数学必修第二册《点线面的位置关系》课堂精点练习及答案
高一数学《点、线、面的位置关系》课堂精点练习一、选择题1．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，若a α∥，a β∥，b αβ=，则α内与b 相交的直线与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面2．如果直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于a 的直线（ ） A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内3．下列说法中正确的是（ ） A ．平行于同一直线的两个平面平行 B ．垂直于同一直线的两个平面平行 C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一直线的两条直线平行 4．已知平面α，β，下列命题错误的是（ ） A ．若αβ⊥，则α内所有直线都垂直于βB ．如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于βC ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βD ．若αβ⊥，则经过α内一点与β垂直的直线在α内5．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或3条7．从空间一点P 向二面角l αβ--的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，E ，F 为垂足，若60EPF ∠=︒，则二面角l αβ--的平面角的大小是（ ） A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．不确定8．如图所示，在三棱锥S MNP -中，E 、F 、G 、H 分别是棱SN 、SP 、MN 、MP 的中点，则EF 与HG 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面9．下列说法中，正确的个数是（ ）①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交； ②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行； ③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行； ④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行． A ．0B ．1C ．2D ．310．在正方体1111ABCD A B C D -中，若经过1D B 的平面分别交1AA 和1CC 于点E ，F ，则四边形1D EBF 的形状是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．正方形11．正方体1111ABCD A B C D -中E 为棱1CC 的中点，求异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值（ ）A ．2B 2C ．2D 2 12．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AC =，则直线PC 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题13．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．14．如图所示，已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且3AB AC ==，2BC =，则二面角A BC D --的大小为________．15．在正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均相等，1BC 与1B C 的交点为D ，则AD 与平面11BB C C所成角的大小是________．16．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，且1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，E 分别是BC 的中点，1AA ABCD ⊥面，若1DE A E =，则异面直线AE 与1A D 所成角的余弦值为______．三、解答题17.四面体ABCD 如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面，分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H ．证明：四边形EFGH 是平行四边形．18．如图所示，在空间四边形各边AD ，AB ，BC ，CD 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，求证：点P 在直线BD 上．19．已知：正方体1111ABCD A B C D ，如图，（1）若E 、F 为1AA 、1CC 的中点，画出过1D 、E 、F 的截面；（2）若M 、N 、P 为11A B 、1BB 、11B C 上的点（均不与1B 重合），求证：MNP △是锐角三角形．参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．C 11．B 12．B 二、填空题 13．0或1 14．90︒ 15．60︒ 166三、解答题17.解：由题设知，BC ∥平面EFGH ，又平面EFGH 平面BDC FG =，平面EFGH 平面ABC EH =，BC FG ∴∥，BC EH ∥，FG EH ∴∥．同理EF AD ∥，HG AD ∥，EF HG ∴∥． 故四边形EFGH 是平行四边形． 18．解：∵EFGH P =，∴P EF ∈且P GH ∈．又∵EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面CBD ， 又P ∈平面ABD 平面CBD ，平面ABD 平面CBD BD =，由公理3可得P BD ∈． ∴点P 在直线BD 上． 19．解：（1）（2）证明：设1MB a =，1NB b =，1PB c =， 则222MN a b =+，222NP b c =+，222MP c a =+，则MNP △中，22222cos 022MP MN NP a M MP MN MP MN+-∠==>⋅⋅，同理可得cos 0N ∠>，cos 0P ∠>，则M ∠、N ∠、P ∠均为锐角，即MNP △是锐角三角形．。
高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）
高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）1．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.2．如图,四边形为矩形,且平面,,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.【答案】（1）见解析;（2）;（3）见解析.【解析】【分析】(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得.(3)在上存在中点,使得.取的中点,连结.易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.【详解】(1)连结,∵为的中点, ,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴,又,且,∴,?又∵,∴,又,∴.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,∴,而是三棱锥的高,∴.(3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结.∵是的中点,∴,且,?又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且由知．由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．4．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角；（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2)(3).【解析】【分析】（1）先证明平面平面，再证明平面；（2）分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线和所成角；（3）设，，利用向量法得到，解方程即得t的值和的长.【详解】（1）∵，，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）∵，，∴，，如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,∵，，，，∴，，∵，∴异面直线和所成角为.（3）设为平面的法向量，∵，，∴，即，设，，∴，设与平面所成角为，∵，∴，，，，（舍），，∴的长为.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的证明，考查异面直线所成的角和线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5．如图，在三棱锥中，，，为的中点．?（1）证明：平面；?（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析（2）．【解析】【详解】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM 的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM= ，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.6．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.【详解】（1）连接，，分别为，中点?为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.7．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点．（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．试题解析：（1）取中点，连结，．因为为的中点，所以,,由得，又所以．四边形为平行四边形，．又，，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，，，，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABC D的法向量，所以，即（x-1）2+y2-z2=0又M在棱PC上,设由①，②得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．8．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为，所以，所以，，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.10．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因为，所以，即．故四棱锥的体积．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法?由（2）知,所以．建立如图所示的平面直角坐标系，设．因为，所以，，，．从而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法?建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空间向量法?由，得．所以．即．又底面，在平面内，因此，所以．所以，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得，即．所以，即．下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.11．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN ，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1 AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.【详解】（1）分别为，的中点，，又，，在中，为中点，则，又侧面为矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：几何法如图，过O作的平行线分别交于点，联结，由于平面，平面，，平面，面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因为，，，所以面．又因，所以面，所以与平面所成的角为．令，则，由于O为的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直线与平面所成角的正弦值也为．[方法二]【最优解】：几何法因为平面，平面平面，所以．因为，所以四边形为平行四边形．由（Ⅰ）知平面，则为平面的垂线．所以在平面的射影为．从而与所成角的正弦值即为所求．在梯形中，设，过E 作，垂足为G，则．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，则为平面的法向量．因为平面，平面，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四边形为平行四边形，则．因为O为正的中心，故．由面面平行的性质得，所以四边形为等腰梯形．由P，N为等腰梯形两底的中点，得，则．设直线与平面所成角为，，则．所以直线与平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨设，则在直角中，．以向量为基底，从而，，．，，则，．所以．由（Ⅰ）知平面，所以向量为平面的法向量．设直线与平面所成角，则．故直线与平面所成角的正弦值为．【整体点评】(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量.12．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．【答案】（1）见详解；（2）18【解析】【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，平面；平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面；?（2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中点，连结，因为，则；所以平面，所以四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.13．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.［方法二］：空间向量共线定理以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．设，则．所以．故．所以，点在平面内．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以点在平面内．［方法四］：根据题意，如图3，设．在平面内，因为，所以．延长交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延长交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．连接，根据相似三角形知识可得．在中，．同理，在中，．如图4，在中，．所以，即G，，H三点共线．因为平面，所以平面，得证．［方法五］：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O 为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、、、，，，，，设平面的一个法向量为，由，得取，得，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，则，，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.［方法二］：定义法在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．?在中，．所以，则．［方法三］：向量法由题意得，由于，所以．如图7，在平面内作，垂足为G，则与的夹角即为二面角的大小．由，得．其中，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由题易得，．所以．．．设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得，所以．【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．14．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC =CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE =1．因此，三棱锥的体积为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面平面；（3）取中点，连接，证明，则平面.【详解】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.16．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P?ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.?【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.17．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明．（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D 的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．18．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.试题解析：（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积【详解】19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，。
2必修二点线面之间的位置关系测试题含答案1130
第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设，为两个不同的平面，I, m为两条不同的直线，且I ，m?，有如下的两个命题：①若// ，则I // m;②若I丄m，贝y 丄.那么（A. ①是真命题，②是假命题命题C.①②都是真命题2 .如图，ABCD- A i B i C i D i ）.B. ①是假命题，②是真D.①②都是假命题为正方体，下面结论错误的是( ).A. BD//平面CBiD iB. AC i± BDC. AC i丄平面CBD iD.异面直线AD与CB角为604．给出下列四个命题：① 垂直于同一直线的两条直线互相平行 ② 垂直于同一平面的两个平面互相平行③ 若直线 l 1，l 2 与同一平面所成的角相等，则 l 1，l 2 互相平行 ④ 若直线l i , 12是异面直线，则与11 , 12都相交的两条直线是 异面直线其中假．命题的个数是 ( ) ． A ． 1B ．2C ． 3D ． 45．下列命题中正确的个数是 ( ) ． ① 若直线1上有无数个点不在平面内，则I //② 若直线 1 与平面 平行，则 1 与平面 内的任意一条直线 都平行③ 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另 一条直线也与这个平面平行3 .关于直线m , n 与平面 ① m // , n // 且 // 丄，贝» m 丄n ; ③m 丄 ,n // 且 // 丄，贝 U m // n. 其中真命题的序号是（ A .①②B .③④D. ②③,，有下列四个命题：② m 丄 ,n 丄 且④m // , n 丄 且C.①④④若直线1 与平面平行，则1 与平面内的任意一条直线都没有公共点A . 0 个B . 1 个C. 2 个 D . 3 个6．两直线11与12异面，过11作平面与12平行，这样的平面()．A .不存在B .有唯一的一个C.有无数个D ．只有两个7.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A, B, C, D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( ) ．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正．确．的．．是( ) ．♦♦♦♦A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9. 给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( ) .A. 4B. 3D. 110. 异面直线a, b所成的角60°直线a丄c,则直线b与c 所成的角的范围为().A. [30° 90°B. [60° 90°C. [30° 60°D. [30° ° 120°二、填空题11. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA, PB, PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为§ , S2 , S3，则这个三棱锥的体积为12. P是厶ABC所在平面外一点，过P作PO丄平面，垂足是O,连PA PB, PC.(1) 若PA= PB= PC 贝》O ABC 的 ____________________ 心；(2) PA X PB , PA丄PC , PC 丄PB ,贝» O 是厶ABC 的心；(3) 若点P到三边AB , BC , CA的距离相等，贝》O是厶ABC 的 ___________ 心;（4）若PA = PB = PC , / C = 90o ,贝》O 是AB 边的占；八、、7(5) 若PA = PB= PC , AB= AC ,则点O 在厶ABC 的线上.13. 如图，在正三角形ABC中，D , E , F分别为各(3)设二面角A - BC - D 的大小为 时，四面体 A - BCD 的体积最大.，猜想为何值 (不要求证明)18. 如图，在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，边的中点，G , H , I , J 分别为AF , AD , BE , DE 的中点， 将厶ABC 沿DE , EF , DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成 角的度数为 ___________ . 14.直线I 与平面 所成角为30° l n = A ，直线m € ,则m 与I 所成角的取值范围 是 ________ .15 .棱长为1的正四面体内有一点 P ,由点P 向各面引垂线， 垂线段长度分别为 d i , d 2, d a , d 4,贝» d i + d 2+ d 3+ d q 的值 为 . 16 .直二面角 一I - 的棱上有一点 A ，在平面， 内各有一条射线 AB , AC 与I 成45° AB , AC ，贝U/ BAC三、解答题17.在四面体 ABCD 中，△ ABC 与厶DBC 都是边长为 4的 正三角形.(1) 求证：BC 丄AD ;BC - D 的正弦值;(2)若点D 到平面ABC 的距离等于 3,求二面角A -BB i = BC= 1, E 为D i C i 的中点，连结ED , EC, EB 和DB .(1) 求证：平面EDB丄平面EBC;(2) 求二面角E - DB - C的正切值.(第18题)19* .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S - ABCD中，AD II BC,Z ABC = 90°SA丄面ABCD , SA= AB = BC=1, AD = 1.2(1)求四棱锥S—ABCD的体积;(2) 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(提示：延长BA, CD相交于点E,则直线SE是所求二面角的棱.20* .斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示：在AA1上取一点P,过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)A答案：DDDDB BCDBA11. 1咎举. 12 .外，垂，内，中，BC边的垂直平3分.13. 60°14 . [30° 90°.15 .孕. 16 . 60°或120°三、解答题17 .证明：（1）取BC中点O,连结AO, DO.•••△ ABC,A BCD都是边长为4的正三角形,..°••• AO丄BC, DO丄BC,且AOn DO= O,••• BC丄平面AOD .又AD 平面AOD,• BC 丄AD . （第17题）解：（2）由（1）知/ AOD为二面角A- BC- D的平面角，设/AOD=，则过点D作DE丄AD,垂足为E .••• BC丄平面ADO,且BC 平面ABC,•••平面ADO丄平面ABC.又平面ADO n平面ABC= AO, •••DE丄平面ABC.•••线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE= 3. 又DO= £BD= 2 3 ,在Rt A DEO 中，sin =匹=-2 ,DO 2故二面角A- BC- D的正弦值为兰.2(3) 当 =90°寸，四面体ABCD的体积最大.18 .证明：(1)在长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB= 2 , BB i =BC= 1, E为D i C i的中点.•••△ DD i E为等腰直角三角形，/D i ED= 45° 同理/ C i EC= 45 ° • DEC 90，即DE丄EC. 在长方体ABCD—A i B i C i D i中，BC丄平面D i DcC i，又DE平面D i DCC i ,• BC丄DE.又EC BC C, • DE丄平面EBC〔•平面DEB过DE, •平面DEB丄平面EBC(2)解：如图，过E在平面D i DcC i中作EO丄DC于”O .在长方体ABCD- A i B i C i D i中，•••面ABCD丄面D i DCC i, • EO丄面ABCD.过O在平面DBC中作OF丄DB 于F,连结EF,「. EF± BD . / EFO为二面角E—DB- C的平面角.利用平面几何知识可得OF= i(第I8题)又OE= i，所以，tan EFO= 5 .i9* .解：⑴直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面=i BC + AD) ABi +13 2i =324 '四棱锥S —ABCD 的体积是 V = 1 • SA - M 底面=! xi x 2 = 1 .3344E ,连结SE ,则SE 是所求 二面角的棱.•/ AD II BC, BC = 2AD , EA = AB = SA ,「. SE X SB又BC 丄EB ,. BC 丄面SEB , 故 SB 是SC 在面SEB上的射影，••• CS X SE ,Z BSC 是所求二面角的平面角. SB =、SA 2+ AB 2 = 2 , BC = i , BC 丄 SB , ••• tan / BSC =匹=2 ,SB 2即所求二面角的正切值为丄.220* .解：如图，设斜三棱柱 ABC — A i B i C i 的侧面BB i C i C 的 面积为10, A i A 和面BB i C i C 的距离为6,在AA i 上取一点P 作截面 PQR ,使 AA I X 截面 PQR ? AA i II CC i ,.截面 PQR X 侧面BB i C i C ,过P 作PO 丄QR 于0,贝U PO 丄侧面BB i C i C , 且 P0 = 6. • V 斜=S A PQRPO AA i2=i PO QR BB i2(2)如图，延长BA , CD 相交于点 ••• SA X 面 ABCD ，得面 SEB 丄面 E BC , EB 是交线. B____(第19题)D=1 x 10X 62=30.（第20题）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 参考答案及解析 A 组 一、选择题1. D 解析：命题②有反例，如图中平面 I ? , m ?,且I // n , m 丄n ，贝U m 丄I ，显然平面（第1题）故②是假命题；命题①显然也是假命题， 2. D 解析：异面直线AD 与CB 角为45 3. D 解析：在①、④的条件下，m , n 的位置关系不确定.4. D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案 D .5. B解析：学会用长方体模型分析问题，.-1|D\Ci......A i A 有无数点C在平面ABCD 夕卜，但AA i 与平面ABCD 相交，①不 正确；A i B i //平面 ABCD ，显然 A i B i 不平行于 BD ，②不正 确；A i B i // AB , A i B i //平面 ABCD ，但 AB ?平面 ABCD 内，③不正确；I 与平面a 平行，则I 与 无公共点，I 与平面 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选Q 平面=直线不垂直平面6. B解析：设平面过l i,且b// ，贝U l i上一定点P与12确定一平面,与的交线13 // 12,且13过点P.又过点P与12平行的直线只有一条，即13有唯一性，所以经过l i和13的平面是唯一的，即过l i且平行于12的平面是唯一的.7. C解析：当三棱锥D—ABC体积最大时，平面DAC丄ABC, 取AC的中点0,则厶DBO是等腰直角三角形，即/ DBO= 45°& D解析：A.一组对边平行就决定了共面；B.同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.9. B解析：因为①②④正确，故选B.10. A解析：异面直线a , b所成的角为60 °直线C丄a，过空间任一点P,作直线a'/ a, b'/ b, c'/ c.若a' b' c' 共面则b与c‘成30。
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必修2 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
一、 选择题:
1．下面推理过程，错误的是（ ）
（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//
（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,
（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,
（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,
2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）
（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个
（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个
3．以下命题正确的有（ ）
（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；
（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；
（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；
（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）
（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12
5．以下命题中为真命题的个数是（ ）
（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；
（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；
（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；
（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条
二、 填空题：
7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的
位置关系是 。
8．在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。
② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上）
9．已知，a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是
① 两条平行直线
② 两条互相垂直的直线
③ 同一条直线
④ 一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号为 （写出所有正确结论的编号）。
三、 解答题：
10．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别
是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，
1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
参考答案：一、BDACAD 二、
7. 共线
8. 1
9. 1 2 4 三、
10.
55
2。