2017年高考数学全国Ⅱ卷理科试题与课程标准的一致性分析

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2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II 理科数学本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3i1i+=+A ．12i +B ．12i-C ．2i+D ．2i-【答案】D2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B = ，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B = 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C ．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．5．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种．故选D ．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D8．执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】阅读程序框图，初始化数值1,1,0a k S =-==．循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=；第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=；结束循环，输出3S =．故选B ．9．若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C的离心率为A ．2B ．3C 2D ．33【答案】A10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为21111,2,21221cos 603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒== 易得22211C D BD BC =+，学科@网因此111210cos 55BC BC D C D ∠===，故选C．11．若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A12．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =- ，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =-- ，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=--=+-233222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________．【答案】1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．14．函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是____________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos )12x --+，由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1．15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．【答案】21nn +16．已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =____________．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．20．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP = ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅= ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-= ．由2=NP 得002,2x x y y ==．因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=．因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+- ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==--- ．由1OP PQ ⋅= 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅= 0，即⊥OQ PF ．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．21．（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．所以()220e 2f x --<<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系学科*网，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a b a b ab a b ab a b =+-++=+-≥。

2017年高考数学(全国2卷)试题分析

在传统中考能力，于平凡中见新颖——2017年高考数学（全国Ⅱ卷）试题分析邬小军2017年高考已经结束，今年高考数学试题（全国Ⅱ卷）是继去年首次使用全国Ⅱ卷试题（11个省份使用：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、西藏、陕西、重庆）后第二年使用。

今年Ⅱ卷试题依然注重考查学生的数学基础知识，基本技能和基本数学思想方法。

较之去年Ⅱ卷试题选考模块三变二，增加数学文化的要求（选择题3），其中数列考查的要求低了，概率统计考查更深入了。

纵观文理试题，我认为，整体上来说选填难度适中，解答题较去年难度有所提高。

文理科试题仍以高度相似的形式出现，试过渡平稳。

试题直面考生的基础，体现考纲的基本要求，试题在“新”字上做文章，贴近于生活。

试题对数学思想方法的考查体现深刻，恰到好处。

试题更是很好地把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，并使二者有机衔接和融合。

纵观全卷，选择题简洁平稳，填空题难度适中，但都注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查,有利于稳定考生情绪,也有助于考生发挥出自己理想的水平。

平时训练过程中常见的复数集合与数列，三视图，线性规划被安排在选择题的前5个中；往年较难的排列组合问题也是出现在第6题中。

而后几道选择题也是传统题型较多，如圆锥曲线、立体几何、导数、向量类可以说是平时训练较为频繁的题型，平时多动手的学生还是较易得分。

同学们关注的“三角类问题”今年是以解答题的形式出现，模型常见，此题既突出了三角形及三角公式的基础知识应用，又在解三角形的考查上标新立异，只要理解解三角形中的方程思想，进行简单的分析即可列式求值。

此题学生的反映是考法传统，平时训练较多，只要运算过关很容易得全分。

学生最为头疼的概率问题在第二个解答题中出现，其难度适中，由于是统计部分的应用题，对学生来说比较常见也较易，此题运算的准确性是得分的关键。

立体几何考查的是与“ 型”相关的二面角问题，比较常见，也是最后串联知识和平时模考时多次训练过的，所以学生普遍反映很好。

2017年普通高等学校招生全国统一考试高考数学试题解析全国卷Ⅱ(理科)

全国卷Ⅱ(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.3＋i,1＋i＝()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析:3＋i,1＋i＝(3＋i)(1－i),(1＋i)(1－i)＝4－2i,2＝2－i,选择D.答案:D2.设集合A＝{1,2,4},B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1},则B＝()A.{1,－3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}解析:因为A∩B＝{1},所以1∈B,所以1是方程x2－4x＋m＝0的根,所以1－4＋m＝0,m ＝3,方程为x2－4x＋3＝0,解得x＝1或x＝3,所以B＝{1,3},选择C.答案:C3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析:每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7＝381,公比q ＝2,依题意,得a1(1－27),1－2＝381,解得a1＝3,选择B.答案:B4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π解析:法一:由题意知,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,故其体积V＝π×32×10－1,2×π×32×6＝63π.法二:依题意,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,其体积等价于底面半径为3,高为7的圆柱的体积,所以它的体积V＝π×32×7＝63π,选择B.5.设x,y满足约束条件2x＋3y－3≤0,2x－3y＋3≥0,y＋3≥0,则z＝2x＋y的最小值是()A.－15B.－9C.1D.9解析:法一:作出不等式组2x＋3y－3≤0,2x－3y＋3≥0,y＋3≥0对应的可行域,如图中阴影部分所示.易求得可行域的顶点A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3),当直线z＝2x＋y过点B(－6,－3)时,z取得最小值,z min＝2×(－6)－3＝－15,选择A.法二:易求可行域顶点A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3),分别代入目标函数,求出对应的z的值依次为1,－15,9,故最小值为－15.答案:A6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种解析:因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C24C12C11,A22＝6种,再分配给3个人,有A33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).答案:D7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析:依题意,四人中有2位优秀,2位良好,由于甲知道乙、丙的成绩,但还是不知道自己的成绩,则乙、丙必有1位优秀,1位良好,甲、丁必有1位优秀,1位良好,因此,乙知道丙的成绩后,必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩,因此选择D.8.执行如图的程序框图,如果输入的a＝－1,则输出的S＝()A.2B.3C.4D.5解析:运行程序框图,a＝－1,S＝0,K＝1,K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1,a＝1,K＝2,K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1,a＝－1,K＝3,K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2,a＝1,K＝4,K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2,a＝－1,K＝5,K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3,a＝1,K＝6,K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3,a＝－1,K＝7,K≤6不成立,输出S＝ 3.选择B.答案:B9.若双曲线C:x2,a2－y2,b2＝1(a>b,b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.23,3解析:依题意,双曲线C:x2,a2－y2,b2＝1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,所以|2b|,b2＋a2＝4－1,所以3a2＋3b2＝4b2,所以3a2＝b2,所以e＝1＋b2,a2＝1＋3＝2,选择A.答案:A10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.3,2B.15,5C.10,5D.3,3解析:法一:如图所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.因为∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,所以AB1＝5,AD1＝2.在△B1D1C1中,∠B1C1D1＝60°,B1C1＝1,D1C1＝2,所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3,所以cos∠B1AD1＝5＋2－3,2×5×2＝10,5,选择C.法二:如图,设M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点,连接MN,NP,MP,则MN∥AB1,NP∥BC1,所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.易知MN＝1,2AB1＝5,2,NP＝1,2BC1＝2,2.取BC的中点Q,连接PQ,MQ,可知△PQM为直角三角形,PQ＝1,MQ＝1,2AC.在△ABC中,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×－1,2＝7,所以AC＝7,MQ＝7,2.在△MQP中,MP＝MQ2＋PQ2＝11,2,则在△PMN中,cos∠PNM＝MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP＝5,22＋2,22－11,22,2×5,2×2,2＝－10,5,所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为10,5.答案:C11.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,则f(x)的极小值为()A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1解析:因为f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1,所以f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,所以－2是x2＋(a ＋2)x＋a－1＝0的根,所以a＝－1,f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1＝(x＋2)(x－1)e x－1.令f′(x)>0,解得x<－2或x>1,令f′(x)<0,解得－2<x<1,所以f(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,所以当x＝1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值＝f(1)＝－1,选择A.答案:A12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则P A·(PB＋PC)的最小值是()A.－2B.－3,2C.－4,3D.－1解析:如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(－1,0),C(1,0),设P(x,y),则P A＝(－x,3－y),PB＝(－1－x,－y),PC＝(1－x,－y),所以P A·(PB＋PC)＝(－x,3－y)·(－2x,－2y)＝2x2＋2y－3,22－3,2,当x＝0,y＝3,2时,P A·(PB＋PC)取得最小值,为－3,2,选择B.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX＝__________.解析:依题意,X～B(100,0.02),所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案:1.9614.函数f(x)＝sin2x＋3cos x－3,4x∈0,π,2的最大值是__________.解析:依题意,f(x)＝sin2x＋3cos x－3,4＝－cos2x＋3cos x＋1,4＝－cos x－3,22＋1,因为x∈0,π,2,所以cos x∈[0,1],因此当cos x＝3,2时,f(x)max＝1.答案:115.等差数列{an}的前n项和为Sn,a3＝3,S4＝10,则∑n,k＝1 1,Sk＝__________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,a1＋2d＝3,4a1＋6d＝10,即a1＋2d＝3,2a1＋3d＝5,解得a1＝1,d＝1,所以Sn＝n(n＋1),2,因此∑n,k＝1 1,Sk＝21－1,2＋1,2－1,3＋…＋1,n－1,n＋1＝2n,n ＋1.答案:2n,n＋116.已知F是抛物线C:y2＝8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|＝__________.解析:法一:依题意,抛物线C:y2＝8x的焦点F(2,0),准线x＝－2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a＝1,b＝22,所以N(0,42),|FN|＝4＋32＝6.法二:依题意,抛物线C:y2＝8x的焦点F(2,0),准线x＝－2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|＝1－(－2)＝3,|FN|＝2|MF|＝6.答案:6三、解答题(解答应写出文明说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A＋C)＝8sin2B,2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6,△ABC的面积为2,求b.解析:(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2B,2,故sin B＝4(1－cos B).上式两边平方,整理得17cos2B－32cos B＋15＝0,解得cos B＝1(舍去),或cos B＝15,17.(2)由cos B＝15,17得sin B＝8,17,故S△ABC＝1,2ac sin B＝4,17ac.又S△ABC＝2,则ac＝17,2.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×17,2×1＋15,17＝4.所以b＝2.18.(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)(精确到0.01).附:P(K2≥k)0.500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2,(a解析:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝200×(62由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5,箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.34,0.068≈52.35(kg).19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB＝BC＝1,2AD,∠BAD＝∠ABC＝90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面P AB；(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.解析:(1)证明:取P A的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF＝1,2AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD,又BC＝1,2AD,所以EF綊BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面P AB,CE⊄平面P AB,故CE∥平面P AB.(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC＝(1,0,－3),AB＝(1,0,0).设M(x,y,z)(0<x<1),则BM＝(x－1,y,z),PM＝(x,y－1,z－3).因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos 〈BM,n〉|＝sin 45°,|z|,(x－1)2＋y2＋z2＝2,2,即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上,设PM＝λPC,则x＝λ,y＝1,z＝3－3λ.②由①,②解得x＝1＋2,2,y＝1z＝－6,2(舍去),或x＝1－2,2,y＝1,z＝6,2,所以M1－2,2,1,6,2,从而AM＝1－2,2,1,6,2.设m＝(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则m·AM＝0,m·AB＝0,即(2－2)x0＋2y0＋6z0＝0,x0＝0,所以可取m＝(0,－6,2).于是cos〈m,n〉＝m·n,|m||n|＝10,5.因此二面角M-AB-D的余弦值为10,5.20.(本小题满分12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2,2＋y2＝1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP＝2 NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上,且OP·PQ＝1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP＝(x－x0,y),NM＝(0,y0).由NP＝2 NM得x0＝x,y0＝2,2y.因为M(x0,y0)在C上,所以x2,2＋y2,2＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明:由题意知F(－1,0).设Q(－3,t),P(m,n),则OQ＝(－3,t),PF＝(－1－m,－n),OQ·PF＝3＋3m－tn,OP＝(m,n),PQ＝(－3－m,t－n).由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2,故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0,即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ 的直线l过C的左焦点F.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x,且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e－2<f(x0)<2－2.解析:(1)f(x)的定义域为(0,＋∞).设g(x)＝ax－a－ln x,则f(x)＝xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)＝0,g(x)≥0,故g′(1)＝0,而g′(x)＝a－1,x,g′(1)＝a－1,得a＝1.若a＝1,则g′(x)＝1－1,x.当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以x＝1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)＝0.综上,a＝1.(2)证明:由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x,f′(x)＝2x－2－ln x.设h(x)＝2x－2－ln x,则h′(x)＝2－1,x.当x∈0,1,2时,h′(x)<0；当x∈1,2,＋∞时,h′(x)>0.所以h(x)在0,1,2单调递减,在1,2,＋∞单调递增.又h(e－2)>0,h1,2<0,h(1)＝0,所以h(x)在0,1,2有唯一零点x0,在1,2,＋∞有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0；当x∈(x0,1)时,h(x)<0；当x∈(1,＋∞)时,h(x)>0.因为f′(x)＝h(x),所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点.由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1),故f(x0)＝x0(1－x0).由x0∈0,1,2得f(x0)<1,4.因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点,由e－1∈(0,1),f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|＝16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2,π,3,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|＝ρ,|OM|＝ρ1＝4,cos θ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题设知|OA|＝2,ρB＝4cos α,于是△OAB面积S＝1,2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sinα－π,3|＝2|sin2α－π,3－3,2|≤2＋3.当α＝－π,12时,S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知a>0,b>0,a3＋b3＝2.证明:(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明:(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)2,4(a＋b)＝2＋3(a＋b)3,4,所以(a＋b)3≤8,因此a＋b≤2.。

2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析(参考版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II 理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D 【解析】()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选C 。

3.我国古代数名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”学科*网意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B 。

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π4.【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A\6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】22234236C C A = ,故选D 。

2017年高考新课标Ⅱ卷理科数学试题解析(精编版)(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学【试卷点评】【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第I卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一.试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查，注重数学在生活中的应用.同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中有降.具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大、概率统计一大一小、立体几何两小一大、圆锥曲线两小一大、函数导数三小一大（或两小一大）.2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求. 2017高考数学全国卷II 理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为背景进行考查，理科19题、文科18题以养殖水产为题材，贴近生活.3.注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及.【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用.2.立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2步进行考查.3.解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低.4.三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活B. 3盏C. 5盏D. 9盏【试卷解析】一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3 i1. -------1 iA . 1 2iB . 1 2iC. 2 iD . 2 i【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则准：—=8)(1)= 2—乙故选D.1+i2【考点】复数的除去【名师点睛】复数的代数形式的运篁主要有加、减、乘、除,除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除却必要注意利用共能复数的性质：着力7力互为共辗复数，则为七二进?二部，通过分子、分母同乘以分母的共血复数将分母实数化，x x 2 4x m 0 .若 AI B 1 ,则 B【答案】C 【解析】B 1,3 ,故选 C.【考点】交集运算、元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性.3 .我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八T请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯2.设集合 A 1,2,4 , BA. 1, 3B. 1,0C. 1,3D. 1,5试题分析：由 AI B1得1 B ,即x 1是方程x 2 4x m0的根，所以14m 0,m 3,【答案】Bt解析】试题分析：设塔的顶层共有灯工缶，则各层的灯数构成一个手页为工，公比为2的等比数列，结合等比数列的求才吆■式有：弋―：）=3X1,解得工="即塔的顶层共有灯3搀，故选E. i~ 2【考点】等比数列的应用、等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题？关键是列印目关信息？合理建立数学模型一数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型：求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解通推关系问题, 所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题J然后招经量数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检将，最终得出结论.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90B.63C.42D.36【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱，其体积2V i 3 4 36 ，上半部分是一个底面半径为3,图为6的圆枉的一半，其体积1 2V2 —（ 3 6） 27 ,故该组合体的体积V V i V 36 27 63 .故选B.2【考点】三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.2x 3y 3 05.设x, y满足约束条件2x 3y 3 0,则z 2x y的最小值是y 3 0A. 15B. 9C. 1D. 9【答案】At解析】试题分析；画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影言吩所示，目标因数即；3=-2工+小其中£表示斜率为七二-2的直线系与可行域有交点时直城的纵截距，数形绪合可得目标脸的在点右（-。

2017新课标全国卷2高考理科数学试题与答案解析

.一、选择题 ( 本大题共 12 小题，共 60.0 分 )1.已知 z=（ m+3） +（ m-1） i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A. （-3，1）B. （-1 ，3）C. （ 1，+∞）D.（ - ∞， -3 ）2.已知会集 A={1， 2， 3} ， B={x|（ x+1）（ x-2 ）＜ 0，x∈Z} ，则 A∪B=（）A.{1}B.{1 ， 2}C.{0 ，1， 2， 3}D.{-1 ， 0， 1，2， 3}3.已知向量=（1， m）， =（ 3， -2 ），且（+ ）⊥，则 m=（）4.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为1，则 a=（）C.5. 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会集，再一同到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为（）6. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ππππ7. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）. . .8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．履行该程序框图，若输入的x=2， n=2，挨次输入的 a 为 2， 2，5，则输出的 s=（）9. 若 cos （- α） =，则sin2α=（）A. B.10.从区间 [0 ，1] 随机抽取 2n 个数 x1，x2，， x n，y1， y2，， y n构成 n 个数对（ x1，y1），（ x2，y2）（ x n，y n），此中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法获得的圆周率π 的近似值为（）A. B. C. D.11. 已知 F ，F 是双曲线 E： -=1 的左、右焦点，点M在 E 上， MF 与x121轴垂直， sin ∠MF2F1=，则 E 的离心率为（）A. B. C.12. 已知函数 f （x）（x∈R）知足 f （ -x ）=2-f （ x），若函数 y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y ），（ x， y ），，（x ， y ），则（ x+y） =（）122mm i i二、填空题 ( 本大题共 4 小题，共20.0 分 )13. △ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a，b， c，若 cosA=，cosC=，a=1，则b= ______．14.α，β是两个平面， m， n 是两条直线，有以下四个命题：①假如 m⊥n，m⊥α， n∥β，那么α⊥β．②假如 m⊥α， n∥α，那么 m⊥n．③假如α∥β， m? α，那么 m∥β．④假如 m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n 与β所成的角相等．此中正确的命题是______（填序号）15.有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______ ．16. 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （ x+1）的切线，则b= ______．高中数学试卷第2页，共 15页.三、解答题 ( 本大题共8 小题，共94.0 分 )17.S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，且 a1=1， S7=28，记 b n=[lga n] ，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如 [0.9]=0 ， [lg99]=1 ．（Ⅰ）求 b1， b11， b101；（Ⅱ）求数列 {b n} 的前 1000 项和．18.某保险的基本保费为 a（单位：元），持续购置该保险的投保人成为续保人，续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下：上年度出险01234≥5次数保费a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率以下：一年内出险01234≥5次数概率（Ⅰ）求一续保人今年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人今年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费超出60%的概率；（Ⅲ）求续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD， CD上， AE=CF= ， EF交于 BD于点 M，将△DEF沿 EF 折到△ D′EF 的地点， OD′=．（Ⅰ）证明： D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B- D′A-C 的正弦值．. . .20. 已知椭圆E：+ =1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左极点，斜率为k（ k＞ 0）的直线交E 于 A，M两点，点N 在 E 上， MA⊥NA．（Ⅰ）当 t=4 ，|AM|=|AN| 时，求△ AMN的面积；（Ⅱ）当 2|AM|=|AN| 时，求 k 的取值范围．21. （Ⅰ）议论函数 f （ x） =e x的单一性，并证明当x＞ 0 时，（ x-2 ） e x+x+2＞ 0；（Ⅱ）证明：当a∈[0 ， 1）时，函数g（ x）=（x＞0）有最小值．设g（ x）的最小值为 h（a），求函数h（ a）的值域．22.如图，在正方形 ABCD中， E， G分别在边 DA， DC上（不与端点重合），且DE=DG，过 D 点作 DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明： B， C， G， F 四点共圆；（Ⅱ）若 AB=1，E 为 DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（ x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．高中数学试卷第4页，共 15页.24. 已知函数 f （x） =|x- |+|x+| ， M为不等式f （ x）＜ 2 的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时， |a+b| ＜ |1+ab| ．2016 年全国一致高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）答案和分析【答案】13.14.②③④15.1 和 317.解：（Ⅰ） S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，且 a1=1， S7=28，7a4=28．可得 a4=4，则公差 d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3= =b 9=0，b10=b11=b12 = =b99=1．b100=b101=b102=b103==b999=2， b10，00 =3．数列 {b n} 的前 1000 项和为： 9×0+90×1+900×2+3=1893．18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于 2 时，续保人今年度的保费高于基本保费，∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人今年度的保费高于基本保费的概率：p1．（Ⅱ）设事件 A 表示“一续保人今年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人今年度的保费比基本保费超出60%”，由题意 P（ A） =0.55 ， P（AB），由题意得若一续保人今年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费超出60%的概率：p2=P（ B|A） ===．（Ⅲ）由题意，续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值为：=1.23 ，∴续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值为 1.23 ．19.（Ⅰ）证明：∵ ABCD 是菱形，. . .∴AD=DC，又 AE=CF= ，∴，则 EF∥AC，又由 ABCD是菱形，得AC⊥BD，则 EF⊥BD，∴E F⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴A O=3，又 AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH| 2+|D′H| 2，则 D′H⊥OH，又 OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，成立以下图空间直角坐标系，∵A B=5， AC=6，∴B（ 5，0，0），C（ 1，3，0），D′（ 0， 0， 3），A（ 1， -3 ，0），，，设平面 ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=-4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B- D′A-C 的平面角为θ，则|cos θ|=．∴二面角 B- D′A-C 的正弦值为sin θ=．20. 解：（Ⅰ） t=4 时，椭圆 E 的方程为+=1， A（ -2 ， 0），直线 AM的方程为 y=k （ x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k 2-12=0 ，解得 x=-2 或 x=-，则|AM|=? |2-|=?，由 AN⊥AM，可得 |AN|=?=?，高中数学试卷第6页，共 15页.由 |AM|=|AN| ， k＞ 0，可得?=?，整理可得（ k-1 ）（ 4k2-k+4 ） =0，由 4k2-k+4=0 无实根，可得k=1，即有△ AMN的面积为|AM| 2=（?）2=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k （ x+），代入椭圆方程，可得（ 3+tk 2） x2+2t k2x+t 2k2-3t=0 ，解得 x=-或x=-，即有|AM|=? |-|=?，|AN|═?=?，由 2|AM|=|AN| ，可得 2?=?，整理得 t=，由椭圆的焦点在x 轴上，则 t ＞ 3，即有＞ 3，即有＜0，可得＜ k＜ 2，即 k 的取值范围是（， 2）．21.解：（ 1）证明： f （ x） =f' （ x） =e x（）=∵当 x∈（ - ∞， -2 ）∪（ -2 ，+∞）时， f' （ x）＞ 0∴f （ x）在（ - ∞， -2 ）和（ -2 ，+∞）上单一递加∴x＞ 0 时，＞f（0）=-1x即（ x-2 ） e +x+2＞0（ 2） g' （ x） ==a∈[0 ， 1]由（ 1）知，当 x＞0 时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]当 x∈（ 0， t ）时， g' （x）＜ 0，g（ x）单一减；当 x∈（ t ，+∞）， g' （ x）＞ 0， g（ x）单一增；. . .h（ a）===记 k（t ） =，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故 k（t ）单一递加，所以 h（ a） =k（t ）∈（，] ．22.（Ⅰ）证明：∵ DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG， CD=BC，∴=，又∵∠ GDF=∠DEF=∠BCF，∴△ GDF∽△ BCF，∴∠ CFB=∠DFG，∴∠ GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠ GFB+∠GCB=180°，∴B， C， G， F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为 AD中点， AB=1，∴ DG=CG=DE=，∴在 Rt△DFC中， GF= CD=GC，连结 GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形 BCGF=2S△BCG=2××1×=．2223. 解：（Ⅰ）∵圆C 的方程为（ x+6） +y =25，22∴x+y +12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα， y=ρsin α，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是（t为参数），∴直线 l 的一般方程y=tan α ? x，∵l与 C 交与 A， B 两点， |AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心 C（ -6 ，0）到直线距离d==，解得 tan 2α=，∴ tan α=±=±．高中数学试卷第8页，共 15页.∴l的斜率 k=±．24. 解：（ I ）当 x＜时，不等式 f （x）＜ 2 可化为：-x-x-＜2，解得： x＞ -1 ，∴ -1 ＜x＜，当≤x≤时，不等式 f （ x）＜ 2 可化为：-x+x+=1＜ 2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当 x＞时，不等式 f （ x）＜ 2 可化为： - +x+x+＜2，解得： x＜ 1，∴＜x＜1，综上可得： M=（ -1 ， 1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，22（ a -1 ）（b -1 ）＞ 0，即 a2b2+1＞a2+b2，2222即 a b +1+2ab＞ a +b +2ab，22即（ ab+1）＞（ a+b），即 |a+b| ＜ |1+ab| ．【分析】1.解： z=（ m+3） +（ m-1） i 在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得 -3 ＜ m＜ 1．应选： A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．此题考察复数的几何意义，考察计算能力．2.解：∵会集 A={1 ， 2，3} ，B={x| （ x+1）（ x-2 ）＜ 0，x∈Z}={0 ， 1} ，∴A∪B={0， 1， 2， 3} ．应选： C．先求出会集A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．此题考察并集的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意并集定义的合理运用．3. 解：∵向量=（ 1， m）， =（ 3，-2 ），∴+ =（4，m-2），又∵（+）⊥，. . .∴12-2 （ m-2） =0，解得： m=8，应选： D．求出向量+的坐标，依据向量垂直的充要条件，结构对于m的方程，解得答案．此题考察的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．4.解：圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线 ax+y-1=0 的距离 d==1，解得： a=，应选： A．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．此题考察的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5. 解：从 E 到 F，每条东西向的街道被分红 2 段，每条南北向的街道被分红 2 段，从 E 到 F 最短的走法，不论如何走，必定包含 4 段，此中 2 段方向同样，另 2 段方向同样，每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，故共有2C =6 种走法．41=3 种走法．同理从 F 到 G，最短的走法，有 C3∴小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为6×3=18 种走法．应选： B．从 E 到 F 最短的走法，不论如何走，必定包含 4 段，此中 2 段方向同样，另 2 段方向同样，每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F 到 G，最短的走法，有31C =3 种走法，利用乘法原理可得结论．此题考察摆列组合的简单应用，得出构成矩形的条件和最短走法是解决问题的要点，属基础题6.解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上边是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是 2 ，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π× 2×4=8π，下边是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π× 2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，应选： C．空间几何体是一个组合体，上边是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下边是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包含重合的平面．此题考察由三视图求表面积，此题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘掉去掉，求表面积就有这样的缺点．7.解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，获得y=2sin2 （ x+）=2sin（2x+），高中数学试卷第10 页，共 15 页2017新课标全国卷2高考理科数学试题与答案分析.由 2x+ =kπ+（k∈Z）得： x=+ （k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x= +（k∈Z），应选： B．利用函数 y=sin （+）（＞ 0，ω＞ 0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．Aωx φA此题考察函数yy= A sin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．8.解：∵输入的 x=2， n=2，当输入的 a 为 2 时， S=2， k=1，不知足退出循环的条件；当再次输入的 a 为 2 时， S=6， k=2，不知足退出循环的条件；当输入的 a 为 5 时， S=17， k=3，知足退出循环的条件；故输出的 S 值为 17，应选： C依据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．此题考察的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采纳模拟程序法进行解答．9. 解：∵ cos（- α） = ，∴sin2 α=cos（- 2α） =cos2 （ - α） =2cos 2（ - α） - 1=2× -1=-，应选： D．利用引诱公式化sin2 α=cos（ - 2α），再利用二倍角的余弦可得答案．此题考察三角函数的恒等变换及化简求值，娴熟掌握引诱公式化与二倍角的余弦是要点，属于中档题．10. 解：由题意，，∴π=．应选： C．以面积为测度，成立方程，即可求出圆周率π 的近似值．古典概型和几何概型是我们学习的两大体型，古典概型要求能够列举出全部事件和发惹祸件的个数，而不可以列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是经过长度、面积和体积的比值获得．11. 解：设 |MF1|=x ，则 |MF2|=2a+x ，∵MF 与 x 轴垂直，1222∴（ 2a+x） =x +4c ，∴x=∵s in ∠MF2F1= ，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，. . .∴c= a，∴e= = ．应选： A．设 |MF1|=x ，则 |MF2|=2a+x ，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出 a=b，即可得出结论．此题考察双曲线的定义与方程，考察双曲线的性质，考察学生剖析解决问题的能力，比较基础．12.解：函数 f （ x）（x∈R）知足 f （ -x ） =2-f （ x），即为 f （ x） +f （-x ） =2，可得 f （ x）对于点（ 0，1）对称，函数 y=，即y=1+的图象对于点（0， 1）对称，即有（ x1， y1）为交点，即有（-x 1， 2-y 1）也为交点，（x2， y2）为交点，即有（ -x 2，2-y 2）也为交点，则有（ x i +y i） =（ x1+y1） +（ x2+y2）++（ x m+y m）=[ （ x1+y1） +（-x 1+2-y 1） +（ x2+y2） +（-x 2+2-y 2）+ +（ x m+y m） +（ -x m+2-y m）]=m．应选 B．由条件可得 f （x） +f （ -x ） =2，即有 f （ x）对于点（ 0， 1）对称，又函数y=，即y=1+的图象对于点（ 0， 1）对称，即有（ x1， y1）为交点，即有（ -x 1， 2-y 1）也为交点，计算即可获得所乞降．此题考察抽象函数的运用：乞降，考察函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．13.解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin （ A+C） =sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．高中数学试卷第12 页，共 15 页.故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA ， sinC ，再由引诱公式和两角和的正弦公式，可得sinB ，运用正弦定理可得 b=，代入计算即可获得所求值．此题考察正弦定理的运用，同时考察两角和的正弦公式和引诱公式，以及同角的平方关系的运用，考察运算能力，属于中档题．14.解：①假如 m⊥n，m⊥α， n∥β，那么α∥β，故错误；②假如 n∥α，则存在直线l ? α，使 n∥l ，由 m⊥α，可得 m⊥l ，那么 m⊥n．故正确；③假如α∥β， m? α，那么 m与β无公共点，则 m∥β．故正确④假如 m∥n，α∥β，那么m， n 与α所成的角和 m， n 与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④依据空间直线与平面的地点关系的判断方法及几何特点，剖析判断各个结论的真假，可得答案．此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了空间直线与平面的地点关系，难度中档．15. 解：依据丙的说法知，丙的卡片上写着1和 2，或 1和3；（ 1）若丙的卡片上写着 1 和 2，依据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴依据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和 3；（ 2）若丙的卡片上写着 1 和 3，依据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上同样的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1 和 2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和 3．故答案为： 1 和 3．可先依据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别议论这两种状况，依据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样即可判断出甲卡片上的数字是多少．考察进行简单的合情推理的能力，以及分类议论获得解题思想，做这种题注意找出解题的打破口．16.解：设 y=kx+b 与 y=lnx+2 和 y=ln （ x+1）的切点分别为（ x1， kx 1+b）、（x2， kx 2+b）；由导数的几何意义可得 k= =，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；进而 kx1+b=lnx 1+2 得出 b=1-ln2 ．先设切点，而后利用切点来找寻切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可此题考察了导数的几何意义，表现了方程思想，对学生综共计算能力有必定要求，中档题17.（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，而后求解b1， b11， b101；（Ⅱ）找出数列的规律，而后求数列{b n} 的前 1000 项和．此题考察数列的性质，数列乞降，考察剖析问题解决问题的能力，以及计算能力．18.. . .（Ⅰ）上年度出险次数大于等于 2 时，续保人今年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表依据对峙事件概率计算公式能求出一续保人今年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件 A 表示“一续保人今年度的保费高于基本保费”，事件 B 表示“一续保人今年度的保费比基本保费超出 60%”，由题意求出P（ A）， P（ AB），由此利用条件概率能求出若一续保人今年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费超出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人今年度的均匀保费与基本保费的比值．此题考察概率的求法，是中档题，解题时要仔细审题，注意对峙事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．19.（Ⅰ）由底面 ABCD为菱形，可得AD=CD，联合 AE=CF可得 EF∥AC，再由 ABCD是菱形，得 AC⊥BD，进一步获得 EF⊥BD，由 EF⊥DH，可得 EF⊥D′H，而后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判断得 D′H⊥平面 ABCD；（Ⅱ）以 H 为坐标原点，成立以下图空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，获得的坐标，分别求出平面ABD′与平面 AD′C的一个法向量，设二面角二面角B- D′A-C 的平面角为θ，求出 |cos θ| ．则二面角B-D′A-C 的正弦值可求．此题考察线面垂直的判断，考察了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，表现了数学转变思想方法，是中档题．20.（Ⅰ）求出 t=4 时，椭圆方程和极点A，设出直线 AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得 |AM| ，由垂直的条件可得|AN| ，再由 |AM|=|AN|，解得 k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（Ⅱ）直线 AM的方程为 y=k（ x+），代入椭圆方程，求得交点 M，可得 |AM| ，|AN| ，再由 2|AM|=|AN| ，求得 t ，再由椭圆的性质可得t ＞ 3，解不等式即可获得所求范围．此题考察椭圆的方程的运用，考察直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考察化简整理的运算能力，属于中档题．21.从导数作为切入点探究函数的单一性，经过函数单一性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，而后逐渐剖析即可该题考察了导数在函数单一性上的应用，要点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题．22.（Ⅰ）证明 B，C，G，F 四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠ BCD=90°，所以问题可转变为证明∠ GFB=90°；（Ⅱ）在 Rt△DFC中， GF= CD=GC，所以可得△ GFB≌△ GCB，则S=2S ，据此解答．四边形 BCGF△BCG此题考察四点共圆的判断，主要依据对角互补进行判断，注意三角形相像和全等性质的应用．23.（Ⅰ）把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x 2+y2，x=ρcosα， y=ρsin α，能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）由直线 l 的参数方程求出直线l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．高中数学试卷第14 页，共 15 页.此题考察圆的极坐标方程的求法，考察直线的斜率的求法，是中档题，解题时要仔细审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．24.（I ）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种状况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（ a2-1 ）（ b2-1 ）＞ 0，即 a2b2 +1＞ a2+b2，配方后，可证得结论．此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．. . .。

2017年高考数学全国II卷试题分析

2017年高考数学全国II卷试题分析2017年高考全国新课标II数学卷试题的结构进行了微调，取消了第Ⅰ卷与第II卷，将解答题分为必考题与选考题两部分，并将选考题中的三选一调整为二选一。

试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查，注重数学在生活中的应用。

同时，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，试卷难度结构合理，有良好的区分度，与2016年相比难度稳中有降略。

2017年高考数学试题的命题特点主要有以下几个方面。

首先，知识点分布保持稳定，小知识点集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大、概率统计一大一小、立体几何两小一大、圆锥曲线两小一大、函数导数三小一大（或两小一大），这种比例与往年高度一致。

其次，注重对数学文化与数学应用的考查，试题贴近生活实际，考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力，更贴近学生应用能力的真实水平。

最后，试卷注重基础，体现核心素养，整体上保持一定比例的基础题，如选择题1-5题都是考查单一知识点的基础题，起点低、入手易，这样设置能迅速稳定学生情绪，使学生考出真实水平，又能引导学生重视对基础知识与基本技的复。

2017年高考数学试题的命题趋势主要体现在函数知识方面，函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。

高考数学试题的出题者往往喜欢考查基础知识，因此我们要牢固掌握教材中的基础知识，熟练掌握相关公式和定理，做到能够灵活运用。

2）注重练：高考数学试题的难度较大，需要我们进行大量的练才能熟练掌握解题方法和技巧，提高解题速度和准确度。

3.注重思维方法，灵活应对高考数学试题往往需要我们具备一定的思维方法和策略，因此我们需要注重培养自己的思维能力和解题思路，灵活应对各种不同类型的试题，做到应对自如。

2017高考全国Ⅱ卷理数试题解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）（二）全国甲卷一、选择题：（1）31ii += +（A）1+2i（B）1–2i（C）2+i（D）2–i【试题评析】本题考查复数的概念和复数的四则运算，考查运算求解能力．【试题解析】由复数除法的运算法则有()()3+13212i iiii-+==-+，故选D．（2）设集合A={1，2，4}，B={x|x2 –4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（A）{1，–3}（B）{1，0}（C）{1，3}（D）{1，5}【试题评析】本题考查元素与集合的关系、交集的运算．考查推理能力、运算求解能力．【试题解析】由两个集合的交集的含义得1∈B，将1代入方程x2 –4x+m=0解出参数m=3，从而由一元二次方程的解法求出集合B={1，3}，故选C．（3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（A）1盏（B）3盏（C）5盏（D）9盏【试题评析】本题考查等比数列的概念、等比数列的前n项和公式．考查阅读理解能力，转化与化归、运算求解能力．【试题解析】根据已知条件将古题化归为利用等比数列的前n项和公式求等比数列首项a1．∵公比q为2，∴S7=7711(1)(12)381112a q aq--==--，解得a1=3，故选B．（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（A）90π（B）63π（C）42π（D）36π【试题评析】本题考查三视图及圆柱体积公式．考查空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力．【试题解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ．（5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z=2x+y 的最小值是（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）9【试题评析】本题主要考查简单线性规划问题的求解．考查数形结合以及化归思想、逻辑思维能力、应用意识．【试题解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (–6，–3)处取得最小值z=–12–3=–15．故选A ．（6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【试题评析】本题考查计数原理及排列组合知识．考查分析问题、解决问题的能力以及应用意识，运算求解能力．【试题解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法，故选D ．（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（A ）乙可以知道四人的成绩（B ）丁可以知道四人的成绩（C ）乙、丁可以知道对方的成绩（D ）乙、丁可以知道自己的成绩【试题评析】本题考查演绎推理．考查逻辑推理能力．【试题解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S= （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【试题评析】本题考查算法思想与程序框图基本逻辑结构等基础知识．试题准确把握了算法教学的能力要求考查逻辑推理能力．【试题解析】阅读流程图，初始数值a=–1，k=1，S=0，循环结构执行如下：第一次：S=0–1=–1，a=1，k=2；第二次：S=–1+2=1，a=–1，k=3；第三次：S=1–3=–2，a=1，k=4；第四次：S=–2+4=2，a=–1，k=5；第五次：S=2–5=–3，a=1，k=6；第六次：S=–3+6=3，a=–1，k=7；结束循环，输出S=3，故选B ．（9）若双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆(x –2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）233【试题评析】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线距离公式、直线与圆的位置关系的应用．考查数形结合能力，运算求解能力．【试题解析】根据直线截圆产生的弦长，画图分析得到双曲线渐近线的倾斜角为60°，从而由双曲线渐近线方程得到斜率k=a b =tan60°=3，所以e =2)(1ab+=2，故选A ．（10）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）155 （C ）105（D ）33 【试题评析】本题考查两条异面直线所成角的计算．考查空间想象能力，运算求解能力．【试题解析】取A 1C 1中点M ，连结A 1B 交AB 1于点N ，连结MN ，B 1M ，所以∠B 1NM 为所求，在三角形B 1NM 中有余弦定理得22211110251B N NM B M cos ΒNM =B N NM +-∠=⋅，故选C ．（11）若x=–2是函数f (x )=(x 2+ax –1)e x –1的极值点，则f (x )的极小值为（A ）–1 （B ）–2e –3 （C ）5e –3 （D ）1 【试题评析】本题考查导数的运算法则，利用导数求函数极值．考查运算求解能力．【试题解析】f '(x )=(2x+a )e x –1+(x 2+ax –1)e x –1， ∵x=–2是函数的极值点，∴f '(–2)=0，∴a=–1． ∴f (x )=(x 2–x –1)e x –1，f '(x )=(x+2)(x –1)e x –1，令f '(x )= 0，解得x=–2，x=1．当x 变化时，f '(x )和f (x )的变化情况如下表：∴当x=1时函数取得极小值为f (1)=–1，故选A ．（12）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ·(PB +PC )的最小值是（A ）–2 （B ）–23 （C ）–34（D ）–1 【试题评析】本题考查平面向量数量积的应用，基本不等式．考查逻辑推理、转化化归、运算求解能力．【试题解析】取BC 中点M ，∵PA ·(PB +PC )=PA ·2PM =2|PA |·|PM | cos 〈PA ，PM 〉，cos 〈PA ，PM 〉∈[–1，1]，∴PA ·(PB +PC )min =–2|PA |·|PM |，x (–∞，–2) –2 (–2，1) 1 (1，+∞)f '(x ) +–+f (x )↗极大值↘极小值↗所以A ，M ，P 三点共线且P 在线段AM 内，|PA |+|PM |=|AM |=3．由基本不等式，|PA |+|PM |≥2||||PM PA ⋅，∴3≥2||||PM PA ⋅， ∴|PA |·|PM |≤43，∴PA ·(PB +PC )min =–23，故选B ．【试题解析】二、填空题：（13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX= ．【试题评析】本题考查二项分布及方差计算公式．考查运算求解能力．【试题解析】∵X ～B (n ，p )， DX=np (1–p )=100·0.02·0.98=1.96．（14）函数f (x )=sin 2x+3cos x –43（x ∈[0，2π]）的最大值是．【试题评析】本题考查同角三角函数基本关系，求二次函数在闭区间的最值．考查化归转化能力，运算求解能力．【试题解析】∵f (x )=(1–cos 2x )+3cos x –43=–cos 2x+3cos x+41，令cos x=t ，t ∈[0，1]，g (t )=–t 2+3t +41，对称轴方程t=23，所以函数g (t )max =g (23)=1．（15）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则11nk kS ==∑ ．【试题评析】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，裂项相消法求和．考查运算求解能力．【试题解析】∵a 3=3，S 4=10，∴314112343446102a a d dS a a d =+=⎧⎪⎨⋅=+=+=⎪⎩ ∴111a d =⎧⎨=⎩，∴11111121122()(1)11n n n nk k k k k k n S S k k k k n =======-=+++∑∑∑∑．（16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M为FN 的中点，则|FN |= ．【试题评析】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，利用梯形中位线等平面几何知识．考查逻辑思维能力、应用意识．【试题解析】∵抛物线C ：y 2=8x ，∴p=4， ∵|FN |=2|FM |=2|BM |，又∵|BM |=21(|AN |+|FF '|)=21·23·p=3， ∴|FN |=2·3=6．三．解答题（17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A +C )=8sin 22B．（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b ．【试题评析】本题考查二倍角公式、诱导公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式．考查逻辑思维能力、运算求解能力．【试题解析】（Ⅰ）由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 22π，故sin B=4(1–cos B )，上式两边平方，整理得17cos 2B –32cos B+15=0，解得 cos B=1（舍），cos B=1715．（Ⅱ）由cos B=1715得sin B=178，故S △ABC =21ac sin B=174ac ，又S △ABC =2，则ac=217，由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2–2ac cos B=(a+c )2–2ac (1+cos B )=36–2×217×(1+1715)=4，所以b=2．（18）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 附：【试题评析】本题考查中位数、频率分布直方图、相互独立事件的概率、独立性检验．考查数据处理能力、逻辑推理能力、应用意识．【试题解析】（Ⅰ）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由题意知 P (A )= P (BC )=P (B )P (C ) ．旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62，故P (B )的估计值为0.62．新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66，故P (C )的估计值为0.66．因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66=0.4092．（Ⅱ）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828K 2=10496100100)38346662(200⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈15.705．由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（Ⅲ）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34＜0.5，箱产量低于55kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68＞0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+068.034.05.0-≈52.35（kg ）．（19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=21AD ，∠BAD=∠ABC=90︒，E 是PD 的中点．（Ⅰ）证明：直线CE ∥平面P AB ；（Ⅱ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M -AB -D 的余弦值．【试题评析】本题考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角、二面角的计算问题，向量方法在研究立体几何问题中的应用．考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．【试题解析】（Ⅰ）取P A 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF=BC ，EF=21AD ，由∠BAD=∠ABC=90︒得BC ∥AD ，又BC=21AD ．所以EF ∥BC 且EF=AD ，所以四边形BCEF 为平行四边形，CE ∥BF ．又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，，故CE ∥平面P AB ．（Ⅱ）由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，|AB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，1，3)，MEP DB CAF zyPC =(1，0，–3)，AB =(1，0，0)，则BM =( x –1，y ，z )，PM =( x ，y –1，z –3)，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而n =(0，0，1)是底面ABCD 的法向量，所以 |cos 〈BM ，n 〉|=sin45︒，222)1(||z y x z ++-=22，即(x –1)2+y 2–z 2=0．又M 在棱PC 上，设PM =λPC ，则x=λ，y=1，z=3–3λ．由①，②得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=，，，261221z y x （舍），⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=，，，261221z y x ，所以M (1–22，1，26)，从而AM =(1–22，1，26)，设m =(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00AB m AM m 即⎪⎩⎪⎨⎧==++-，，0062)22(0000x z y x 所以可取m =(0，–6，2)．于是cos 〈m ，n 〉|=510，因此二面角M -AB -D 的余弦值为510．（20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：1222=+y x 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =2NM ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q 在直线x=–3上，且OP ·PQ =1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【试题评析】本题主要考查椭圆的标准方程、平面向量的坐标运算、平面解析几何求点的轨迹方程．考查逻辑思维能力、运算求解能力．【试题解析】（Ⅰ）设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP =(x –x 0，y )，NM =(0，y 0)．由NP =2NM 得x 0=x ，y 0=22y ．因为M (x 0，y 0)在C 上，所以12222=+y x ．因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2．（Ⅱ）由题意知F (–1，0)．设Q (–3，t )，P (m ，n )，则OQ =(–3，t )，PF =(–1–m ，–n )，OQ ·PF =3+3m –tn ，OP =(m ，n )，PQ =(–3–m ，t –n )．由OP ·PQ =1得–3m –m 2+tn –n 2=1，又由（Ⅰ）知m 2+n 2=2，故3+3m –tn=0．所以OQ ·PF =0，即OQ ⊥PF ．又过P 存在唯一直线垂直于OQ ，∴过P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．（21）已知函数f (x )=ax 2–ax –x ln x ，且f (x )≥0．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e –2＜f (x 0)＜2–2．【试题评析】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值等应用，考查分析问题和解决问题能力，以及运算求解能力．【试题解析】（Ⅰ）f (x )的定义域为(0，+∞)．设g (x )=ax –a –ln x ，则f (x )=xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0 因为g (1)=0，g (x )≥0，故g '(1)=0，而g '(x )=a –x1，g '(1)=a –1，得a=1．若a=1，则g '(x )=1–x1．当0＜x ＜1时，g '(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞1时，g '(x )＞0，g (x )单调递增．所以x=1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)=0 综上，a=1．【试题解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=x 2–x –x ln x ，f '(x )=2x –2–ln x ，设h (x )=2x –2–ln x ，则h '(x )=2–x1，当x ∈(0，21)时，h '(x )＜0；当x ∈(21，+∞)时，h '(x )＞0，所以h (x )在(0，21)单调递减，在(21，+∞)单调递增，又h (e –2)＞0，h (21)＜0，h (1)=0，所以h (x )在(0，21)有唯一零点x 0，在(21，+∞)有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0，当x ∈(1，+∞)时，h (x )＞0，因为f '(x )=h (x )，所以x=x 0是f (x )的唯一极大值点．由f '(x 0)=0得ln x 0=2(x 0–1)，故f (x 0)=x 0(1–x 0)，由x 0∈(0，1)得f '(x 0)＜41，因为x=x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e –1∈(0，1)，f '(e –1)≠0得f (x 0)＞f (e –1)=e –2，所以e –2＜f (x 0)＜2–2．（二）选考题：共10分。

2017年高考理科数学真题全国卷II详细解析图高清可直接印刷

重点考查基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时
客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一
难，数列客观题一般具有小巧活的特点。
【试卷解析】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平
面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
A．90B．63C．42D．36
导数三小一大(或两小一大)。
2.注重对数学文化与数学应用的考查
教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求。2017高考数学
全国卷II理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以以
养殖水产为题材，贴近生活。
3.注重基础，体现核心素养
2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另
的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2进行考查。
3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双
曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，
运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低。
4.三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II理科）
【试卷点评】
【命题特点】

2017新课标Ⅱ全国高考理科数学试卷含答案

2017新课标II 理【命题特点】2017年高考全国新课标II 数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷与第II 卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一．试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查, 注重数学在生活中的应用．同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中有降略．具体来说还有以下几个特点：1．知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大)．2．注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲(数学)》中增加了数学文化的考查要求．2017高考数学全国卷II 理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以养殖水产为题材，贴近生活．3．注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及．【命题趋势】1．函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用．2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2进行考查．3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低．4．三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活的特点．【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3＋i 1＋i＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋I D ．2－i【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ，选择D ． 2．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1，0}C ．{1，3}D ．{1，5}【解析】因为A ∩B ＝{1}，故1∈B ，故1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，故1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，故B ＝{1，3}，选择C ．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2．故a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3． 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【解析】法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，故该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π．法二(估值法)由题意知，12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，故45π＜V 几何体＜90π．观察选项可知只有63π符合．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15．6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【解一】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C 24种方法，然后进行全排列A 33即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C 24×A 33＝36种方法．故选D ．【解二】因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，故必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，故不同的安排方式共有6×6＝36(种)．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩．8．执行右面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立；S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立；S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立；S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立；S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3．选择B ．9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233解析设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2． 10．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．32B ．155C ．105D ．33解析法一以B 为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．图(1) 图(2) 则B (0，0，0)，B 1(0，0，1)，C 1(1，0，1)．又在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，则A (－1，3，0)．故AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→＝(1，0，1)，则cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝25·2＝105，因此，异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105．法二如图(2)，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则PN ∥BC 1，MN ∥AB 1，故AB 1与BC 1所成的角是∠MNP 或其补角．因AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，故MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22．取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，则可知△PQM 为直角三角形，且PQ ＝1，MQ ＝12AC ，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×(－12)＝7，AC ＝7，则MQ ＝72，则△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝－105，又异面直线所成角范围为(0，π2]，则余弦值为105． 11．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1【解析】f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1，则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2或x ＞1时，f ′(x )＞0，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，则f (x )极小值为f (1)＝－1．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1 【解析】如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )．故P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32．当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值为－32．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一批产品的二等品率为0．02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________．解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p ＝0．02，n ＝100，则D (X )＝np (1－p )＝100×0．02×0．98＝1．96．14．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34，x ∈[0，π2]的最大值是．【解析】f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34，x ∈[0，π2]，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，y ＝－t 2＋3t ＋14＝－(t －32)2＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1． 15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑n k ＝1 1S k＝．【解析】设{a n }首项为a 1，公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.故S n ＝n （n ＋1）2，∑n k ＝11S k ＝21×2＋22×3＋…＋2n （n －1）＋2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1．16．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．【解】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，故PM ∥OF ．由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2．因点M 为FN的中点，PM ∥OF ，故|MP |＝12|FO |＝1．又|BP |＝|AO |＝2，故|MB |＝|MP |＋|BP |＝3．由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2． (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b ．解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517． (2)由cos B ＝1517得，sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ．又S △ABC ＝2，则ac ＝172．由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×(1＋1517)＝4．故b ＝2． 18．(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)附： P (K 2≥k )0．050 0．010 0．001 k3．841 6．635 10．828 ，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )．解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”．由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )．旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0．012＋0．014＋0．024＋0．034＋0．040)×5＝0．62，故P (B )的估计值为0．62．新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0．068＋0．046＋0．010＋0．008)×5＝0．66，故P (C )的估计值为0．66．因此，事件A 的概率估计值为0．62×0．66＝0．409 2．(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法62 38 新养殖法34 66 K 2＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15．705．由于15．705＞6．635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)因为新养殖法的箱产量的频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0．004＋0．020＋0．044)×5＝0．34＜0．5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0．004＋0．020＋0．044＋0．068)×5＝0．68＞0．5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52．35 (kg)．19．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝π2，E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为π4，求二面角M －AB －D 的余弦值．【解析】(1)证明取P A 的中点F ，连接EF ，BF ，因为E 是PD 的中点，故EF ∥AD ，EF ＝12AD ，由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ，故EF 平行且等于BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB ．(2)解由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，1，3)，PC →＝(1，0，－3)，AB →＝(1，0，0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0，0，1)是底面ABCD 的一个法向量，故|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°，|z |（x －1）2＋y 2＋z2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0①．又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ②．由①，②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，⎩⎨⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，故M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62．设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧（2－2）x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，故可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105．因此二面角M －AB －D 的余弦值为105． 20．(12分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解析】(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ，因M (x 0，y 0)在C 上，故x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2． (2)证明由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2．故3＋3m －tn ＝0．故OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，故过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0．(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2＜f (x 0)＜2－2．【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，设g (x )＝ax －a －ln x ，则 f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0，因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1．若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x．当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，故x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0．综上，a ＝1．(2)由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ，设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x．当x ∈(0，12)时，h ′(x )＜0；当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )＞0．故h (x )在(0，12)上单调递减，在(12，＋∞)上单调递增．又h (e －2)＞0，h (12)＜0，h (1)＝0，故h (x )在(0，12)有唯一零点x 0，在[12，＋∞)有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0．因f ′(x )＝h (x )，故x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈(0，1)得f (x 0)＜14．因x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得，f (x 0)＞f (e －1)＝e －2．故e －2＜f (x 0)＜2－2． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4．(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2，π3)，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ．由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin(α－π3)|＝2|sin(2α－π3)－32|≤2＋3．当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3．故△OAB面积的最大值为2＋3．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2．证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2．证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4．(2)因(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，故(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2．。

2017年高考数学(全国2卷)试题分析

2017年高考数学(全国2卷)试题分析2017年高考已结束，今年的数学试题（全国Ⅱ卷）是继去年首次使用全国Ⅱ卷试题（11个省份使用：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、西藏、陕西、重庆）后第二年使用。

今年的试题依然注重考查学生的数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法。

相较于去年，试题选考模块三变成了模块二，增加了数学文化的要求（选择题3），其中数列考查的要求降低了，概率统计考查更深入了。

从文理试题来看，整体上来说，选填难度适中，解答题难度相较于去年有所提高。

文理科试题仍以高度相似的形式出现，试过渡平稳。

试题直面考生的基础，体现考纲的基本要求，试题在“新”字上做文章，贴近于生活。

试题对数学思想方法的考查体现深刻，恰到好处。

试题更是很好地把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，并使二者有机衔接和融合。

全卷来看，选择题简洁平稳，填空题难度适中，但都注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查，有利于稳定考生情绪，也有助于考生发挥出自己理想的水平。

平时训练过程中常见的复数集合与数列、三视图、线性规划被安排在选择题的前5个中；往年较难的排列组合问题也是出现在第6题中。

后几道选择题也是传统题型较多，如圆锥曲线、立体几何、导数、向量类，可以说是平时训练较为频繁的题型，平时多动手的学生还是较易得分。

此题学生的反映是考法传统，平时训练较多，只要运算过关很容易得全分。

立体几何考查的是与“型”相关的二面角问题，比较常见，也是最后串联知识和平时模考时多次训练过的，所以学生普遍反映很好。

2017年普通高等学校招生全国统一考试高考数学试题解析全国卷Ⅱ(理科)

全国卷Ⅱ(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．3＋i,1＋i＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析:3＋i,1＋i＝(3＋i)(1－i),(1＋i)(1－i)＝4－2i,2＝2－i,选择D.答案:D2．设集合A＝{1,2,4},B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1},则B＝()A．{1,－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析:因为A∩B＝{1},所以1∈B,所以1是方程x2－4x＋m＝0的根,所以1－4＋m＝0,m ＝3,方程为x2－4x＋3＝0,解得x＝1或x＝3,所以B＝{1,3},选择C.答案:C3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析:每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7＝381,公比q ＝2,依题意,得a1(1－27),1－2＝381,解得a1＝3,选择B.答案:B4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A．90πB．63πC．42πD．36π解析:法一:由题意知,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,故其体积V＝π×32×10－1,2×π×32×6＝63π.法二:依题意,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,其体积等价于底面半径为3,高为7的圆柱的体积,所以它的体积V＝π×32×7＝63π,选择B.答案:B5．设x,y满足约束条件2x＋3y－3≤0,2x－3y＋3≥0,y＋3≥0,则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9解析:法一:作出不等式组2x＋3y－3≤0,2x－3y＋3≥0,y＋3≥0对应的可行域,如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3),当直线z＝2x＋y过点B(－6,－3)时,z取得最小值,z min＝2×(－6)－3＝－15,选择A.法二:易求可行域顶点A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3),分别代入目标函数,求出对应的z的值依次为1,－15,9,故最小值为－15.答案:A6．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析:因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C24C12C11,A22＝6种,再分配给3个人,有A33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案:D7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩．看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩．根据以上信息,则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析:依题意,四人中有2位优秀,2位良好,由于甲知道乙、丙的成绩,但还是不知道自己的成绩,则乙、丙必有1位优秀,1位良好,甲、丁必有1位优秀,1位良好,因此,乙知道丙的成绩后,必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩,因此选择D.答案:D8.执行如图的程序框图,如果输入的a＝－1,则输出的S＝()A．2 B．3C．4 D．5解析:运行程序框图,a＝－1,S＝0,K＝1,K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1,a＝1,K＝2,K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1,a＝－1,K＝3,K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2,a＝1,K＝4,K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2,a＝－1,K＝5,K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3,a＝1,K＝6,K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3,a＝－1,K＝7,K≤6不成立,输出S＝ 3.选择B.答案:B9．若双曲线C:x2,a2－y2,b2＝1(a>b,b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A．2 B．3C．2 D．23,3解析:依题意,双曲线C:x2,a2－y2,b2＝1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2,所以|2b|,b2＋a2＝4－1,所以3a2＋3b2＝4b2,所以3a2＝b2,所以e＝1＋b2,a2＝1＋3＝2,选择A.答案:A10．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．3,2 B．15,5C．10,5 D．3,3解析:法一:如图所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,所以AB1＝5,AD1＝2.在△B1D1C1中,∠B1C1D1＝60°,B1C1＝1,D1C1＝2,所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3,所以cos∠B1AD1＝5＋2－3,2×5×2＝10,5,选择C.法二:如图,设M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点,连接MN,NP,MP,则MN∥AB1,NP∥BC1,所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．易知MN＝1,2AB1＝5,2,NP＝1,2BC1＝2,2.取BC的中点Q,连接PQ,MQ,可知△PQM为直角三角形,PQ＝1,MQ＝1,2AC.在△ABC中,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×－1,2＝7,所以AC＝7,MQ＝7,2.在△MQP中,MP＝MQ2＋PQ2＝11,2,则在△PMN中,cos∠PNM＝MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP＝5,22＋2,22－11,22,2×5,2×2,2＝－10,5,所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为10,5.答案:C11．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,则f(x)的极小值为()A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1解析:因为f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1,所以f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点,所以－2是x2＋(a ＋2)x＋a－1＝0的根,所以a＝－1,f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1＝(x＋2)(x－1)e x－1.令f′(x)>0,解得x<－2或x>1,令f′(x)<0,解得－2<x<1,所以f(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,所以当x＝1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值＝f(1)＝－1,选择A.答案:A12．已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则P A·(PB＋PC)的最小值是()A．－2 B．－3,2C．－4,3 D．－1解析:如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(－1,0),C(1,0),设P(x,y),则P A＝(－x,3－y),PB＝(－1－x,－y),PC＝(1－x,－y),所以P A·(PB＋PC)＝(－x,3－y)·(－2x,－2y)＝2x2＋2y－3,22－3,2,当x＝0,y＝3,2时,P A·(PB＋PC)取得最小值,为－3,2,选择B.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上)13．一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX＝__________.解析:依题意,X～B(100,0.02),所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案:1.9614．函数f(x)＝sin2x＋3cos x－3,4x∈0,π,2的最大值是__________．解析:依题意,f(x)＝sin2x＋3cos x－3,4＝－cos2x＋3cos x＋1,4＝－cos x－3,22＋1,因为x∈0,π,2,所以cos x∈[0,1],因此当cos x＝3,2时,f(x)max＝1.答案:115．等差数列{an}的前n项和为Sn,a3＝3,S4＝10,则∑n,k＝1 1,Sk＝__________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,a1＋2d＝3,4a1＋6d＝10,即a1＋2d＝3,2a1＋3d＝5,解得a1＝1,d＝1,所以Sn＝n(n＋1),2,因此∑n,k＝1 1,Sk＝21－1,2＋1,2－1,3＋…＋1,n－1,n＋1＝2n,n ＋1.答案:2n,n＋116．已知F是抛物线C:y2＝8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|＝__________.解析:法一:依题意,抛物线C:y2＝8x的焦点F(2,0),准线x＝－2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a＝1,b＝22,所以N(0,42),|FN|＝4＋32＝6.法二:依题意,抛物线C:y2＝8x的焦点F(2,0),准线x＝－2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|＝1－(－2)＝3,|FN|＝2|MF|＝6.答案:6三、解答题(解答应写出文明说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A＋C)＝8sin2B,2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6,△ABC的面积为2,求b.解析:(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2B,2,故sin B＝4(1－cos B)．上式两边平方,整理得17cos2B－32cos B＋15＝0,解得cos B＝1(舍去),或cos B＝15,17.(2)由cos B＝15,17得sin B＝8,17,故S△ABC＝1,2ac sin B＝4,17ac.又S△ABC＝2,则ac＝17,2.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×17,2×1＋15,17＝4.所以b＝2.18．(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)(精确到0.01)．附:P(K2≥k)0.500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2,(a解析:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝200×(62由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5,箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.34,0.068≈52.35(kg)．19．(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB＝BC＝1,2AD,∠BAD＝∠ABC＝90°,E是PD的中点．(1)证明:直线CE∥平面P AB；(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值．解析:(1)证明:取P A的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF＝1,2AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD,又BC＝1,2AD,所以EF綊BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面P AB,CE⊄平面P AB,故CE∥平面P AB.(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC＝(1,0,－3),AB＝(1,0,0)．设M(x,y,z)(0<x<1),则BM＝(x－1,y,z),PM＝(x,y－1,z－3)．因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos 〈BM,n〉|＝sin 45°,|z|,(x－1)2＋y2＋z2＝2,2,即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上,设PM＝λPC,则x＝λ,y＝1,z＝3－3λ.②由①,②解得x＝1＋2,2,y＝1z＝－6,2(舍去),或x＝1－2,2,y＝1,z＝6,2,所以M1－2,2,1,6,2,从而AM＝1－2,2,1,6,2.设m＝(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则m·AM＝0,m·AB＝0,即(2－2)x0＋2y0＋6z0＝0,x0＝0,所以可取m＝(0,－6,2)．于是cos〈m,n〉＝m·n,|m||n|＝10,5.因此二面角M-AB-D的余弦值为10,5.20．(本小题满分12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2,2＋y2＝1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP＝2 NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上,且OP·PQ＝1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP＝(x－x0,y),NM＝(0,y0)．由NP＝2 NM得x0＝x,y0＝2,2y.因为M(x0,y0)在C上,所以x2,2＋y2,2＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明:由题意知F(－1,0)．设Q(－3,t),P(m,n),则OQ＝(－3,t),PF＝(－1－m,－n),OQ·PF＝3＋3m－tn,OP＝(m,n),PQ＝(－3－m,t－n)．由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2,故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0,即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ 的直线l过C的左焦点F.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x,且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e－2<f(x0)<2－2.解析:(1)f(x)的定义域为(0,＋∞)．设g(x)＝ax－a－ln x,则f(x)＝xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)＝0,g(x)≥0,故g′(1)＝0,而g′(x)＝a－1,x,g′(1)＝a－1,得a＝1.若a＝1,则g′(x)＝1－1,x.当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增．所以x＝1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)＝0.综上,a＝1.(2)证明:由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x,f′(x)＝2x－2－ln x.设h(x)＝2x－2－ln x,则h′(x)＝2－1,x.当x∈0,1,2时,h′(x)<0；当x∈1,2,＋∞时,h′(x)>0.所以h(x)在0,1,2单调递减,在1,2,＋∞单调递增．又h(e－2)>0,h1,2<0,h(1)＝0,所以h(x)在0,1,2有唯一零点x0,在1,2,＋∞有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0；当x∈(x0,1)时,h(x)<0；当x∈(1,＋∞)时,h(x)>0.因为f′(x)＝h(x),所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1),故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈0,1,2得f(x0)<1,4.因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点,由e－1∈(0,1),f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|＝16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2,π,3,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值．解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ,|OM|＝ρ1＝4,cos θ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题设知|OA|＝2,ρB＝4cos α,于是△OAB面积S＝1,2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sinα－π,3|＝2|sin2α－π,3－3,2|≤2＋3.当α＝－π,12时,S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.23．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知a>0,b>0,a3＋b3＝2.证明:(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明:(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)2,4(a＋b)＝2＋3(a＋b)3,4,所以(a＋b)3≤8,因此a＋b≤2.。

2017年高考课标全国卷II理科数学试题分析

2017年高考课标全国卷II理科数学试题分析作者：王立华来源：《新教育时代·教师版》2018年第14期2017年高考课标全国卷II理科数学试卷，以知识为载体，以思维能力为核心，全面考查学生的的推理论证，运算，空间想象，数据处理以及应用和创新能力。

从试题总体难度看，感觉2017年略微简单于2016年。

题感觉不难但是做起来不是那么顺手。

其中近三年考题的填空题的难度比三年前有所降低。

以前填空题是学生最头痛的，往往最后一个空只有数学超级好的才能做得出来。

近三年考题只要平时数学成绩好一点的同学四个填空都可以做得出来，从某种程度上降低了试题难度，给学生予以信心。

从试卷结构上看，2017年考题略微有一点变化，即2017年的新考纲中规定最后的三选一变成二选一，即去掉了平面几何。

这是试题结构的一点点微变化。

从试题的变化点看：相比2016年，2017年小题的考查新增了二项分布的方差、异面直线的夹角、合情推理、线性规划等知识点，主要是为了区分试题难度；大题的数列、解三角形隔年考是大势所趋，但不绝对。

今年的统计概率考到了独立性检验。

这个知识点是2010 年考过一次大题，相隔七年又考一次，在2017年长春市二模考试，及平时模拟考试中此题型频繁出现，所以在平时训练时，我们重点强调步骤，尤其是如何自己画2X2列联表，二模考试前练了2016年长春市二模题，期中让学生自己画2X2列联表，有好多学生就列不明白。

所以在讲评时要强调计算时需要注意哪些？小数点后保留几位有效数字，统计结论如何写，这些都重点强调了。

从把关试题平和度看：2015年以前选择题、填空题的把关题比较难，相当于数学竞赛初赛的水平，一般学生很难上手。

其难度要比后面的解答题要大。

但是从2015年开始高考选择题12题填空题16题逐渐趋于平和。

学生感到似曾相识，比较容易找到解决问题的切入点。

要比学生平时练过的模拟题平和，坡度要小。

尤其2017年选择题12题，填空题16题均以几何题作为把关试题，以往12题一般都是导数题掺杂函数零点问题作为把关试题，今年把导数题放在了11题位置，而且不难，这也是今年考题的一个微小变化吧，但今年12题与16题也都不难。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理数(新课标II卷)解析版

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B = ，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．C ．D 10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A ．2 B ．5 C ．5D ．3 11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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