2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(三十)数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(十)文科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.设集合{}2|230A x x x =--<，{}|20B x x =-<，则AB =（ ）A.1,2B. ()2,3C. ()3,1--D. (),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式解法得出集体A ，再得出集合B ，根据集合的交集运算可得选项. 【详解】由{}2|230A x x x =--<，即(1)(3)0x x +-<，解得13x，所以{}|13A x x =-<<，又{|20}B x x =-<，即(,2)B =-∞，所以(1,2)A B =-.故选：A.【点睛】本题考查集合的含义与表示和集合的运算，属于基础题. 2.复数31iz i-=+的模z =（ ）A. 1C. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，求得复数12z i =-，即可求解复数的模.【详解】由题意3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-，所以||z == 故选:D.【点睛】本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复数的除法运算求得复数12z i =-，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.3.圆222270x y x y +---=的圆心到直线0x y +=的距离为（ ）C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】将圆一般方程化为普通方程,找到圆心.利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】圆222270x y x y +---= 化为标准方程可得()()22119x y -+-= 则圆心为()1,1由点到直线距离公式可得d ==故选:A【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,点到直线距离公式的应用,属于基础题.4.某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误．．的是（ ） A. P 产品的销售额极差较大 B. P 产品销售额的中位数较大 C. Q 产品的销售额平均值较大 D. Q 产品的销售额波动较小【答案】B 【解析】 【分析】由图示中P 产品的销售额的波动较大，Q 产品的销售额的波动较小，再根据极差、中位数、平均值的概念，可得选项.【详解】据图求可以看出，P 产品的销售额的波动较大，Q 产品的销售额的波动较小，并且Q 产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以P 产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q 产品的销售的平均值较大，销售的波动较小， 故选：B.【点睛】本题考查识别统计图的能力，会根据图示得出其数字特征的大小关系，属于基础题. 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】设()0.6xf x =，() 1.5xg x =。
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(十三)数学
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I ．下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是 A ．()245k k Z π+∈ B ．()93604k k Z π⋅+∈C ．()360315k k Z ⋅-∈D ．()54k k Z ππ⋅+∈2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，24612a a a ++=，则7S 等于 A ．20B ．28C ．36D ．43．函数()()1sin 0f x x x π=+-在，2上是 A ．增函数B ．减函数C ．在()0π，上增，在()2ππ，上减D ．在()0π，上减，在()2ππ，上增4．已知()1sin 34απα+=-，且为第二象限角，则cos α等于 A ．223-B ．223C ．24-D ．15-5．函数()3sin x xx xf x e e -+=+的图象大致是6．已知函数()y f x =满足()()12f x f x +=，且()()5334f f =+，则()4f 等于 A ．一16B ．8C ．4D ．27．已知定义域为R 的函数()f x 满足()11,4022f f x x ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，其中()()f x f x '为的导函数，则不等式()sin cos20f x x -≥的解集为 A ．2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8．若不等式()[]sin 01,16x a b x x ππ⎛⎫--+≤∈- ⎪⎝⎭对上恒成立，则a b +等于 A ．23B ．56C ．1D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则以下关于函数()y f x =的判断错误的是A ．在区间(2，4)内单调递减B ．在区间(2，3)内单调递增C ．3x =-是极小值点D ．4x =是极大值点10．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =的表达式可改写为()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()y f x =的图象关于直线6x π=对称D ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是 A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．若372,32a a ==，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 项和131n n S r r -=+=-，则12．已知不等式1xe x x R ≥+∀∈对恒成立．以下命题中真命题是 A ．对x R ∀∈，不等式1xex -≥-恒成立B ．对()0,x ∀∈+∞，不等式()ln 1x x +<恒成立 C. 对()0,x ∀∈+∞，且1x ≠，不等式ln 1x x <-恒成立 D. 对()0,x ∀∈+∞，且1x ≠，不等式()ln 11ln 11x xx x x ++>+-恒成立第II 卷(共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知定义在R 上的()f x 函数满足()()3f x f x +=，且()23f =，则()2021f 的值为____________.l4．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为,,a b c ．若2,3sin 5sin b c a A B +==，则最大角的余弦值为_____________．15．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ，把122x x -、、三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为()f x =_____ _______________.16．若存在直线()y h x =，对于函数()()2ln ,2x f x e x ax g x x =-=-，使得对任意的()()()0,,x h x f x ∈+∞≥，对任意的()(),x R g x h x ∈≥，则a 的取值范围是_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)在(1) m a ，(2) m S 中任选一个，补充在下面问题中，问题：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，72849,18S a a =+=，若317S a 、、______成等比数列，求3m S .18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭． (1)求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值： (2)若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值．19．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm .由检验知该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t(分钟)之间存在函数关系12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,c m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?20．(本小题满分l2分)已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，其面2224b c a S +-=．(1)若6a =，2b =，求cos B ．(2)求()()sin sin cos cos A B B B B A +++-的最大值．21．(本小题满分l2分)某工厂去年l2月试产1050个高新电子产品，产品台格率为90％，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按照去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产照都在前一个月的基础是提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内?并用所学数列知识，加 以说明理由．附表：(可能用到的数据)22．(本小题满分12分) 已知函数()()2xf x x e a =-(1)若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值 (2)若()1ln f x x x a ≥++，求的取值范围数学试题参考答案一、单项选择题：C B A D A B D B多项选择题：9：AC 10.BD 11.AC 12.ABCD 二、填空题 13.3 14.12-15.()254f x x x =-+ 16.[)1,+∞8.解：法一：由题意可知：当15,,sin 0666x x ππ⎡⎤⎛⎫∈-+≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当151,,1,sin 0666x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈--⋃+≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故当1515,,01,,1,06666x x a b x x a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈---≤∈--⋃--≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当， 即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得： 显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩， 15.解：函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ， 可得121212,,x x a x x b x x +=-=>0,>0且，122,x x -和三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，可得()21224x x b =-==，再设122,,x x -为等差数列，可得1222x x =-， 代入韦达定理可得12222,33a ax x ---==，即有222.4533a aa ---==-，解得（4舍去）， 则()254f x x x =-+.故答案为：()254f x x x =-+. 16.解：设直线y kx b =+满足题意.（i ）由()221022x x x kx b k x b -≥+-+-≥，即对任意的x R ∈都成立，得()2120k b ∆=++≤，所以()2102k b +≤-≤，（ii ）令()()ln F x e x a k x b =-+-，()()()e a k x eF x a k x x-+'=-+=， ①若()()00,a k F x F x '+≤>，则单调递增，()()0F e e a k e b =-+->，不合题意； ②若()00e a k F x a k ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，则在，上单调递增，在,e a k ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减，所以()()max ln ln e e F x F e e b e a k b a k a k ⎛⎫==--=-+-⎪++⎝⎭， 所以()()ln 0ln e a k b e a k b -+-≤+≥-，即，由（i ）得()()()22121ln 2k e k e a k a k e +++≥≥-+，即， 令()()()()2211221,1k k eek k k ek eeϕϕ+++'=-+=-+⋅， ()()()()2221122110k k eek k ee k e eϕϕ+++⎛⎫'''=⋅+⋅> ⎪⎝⎭，所以单调递增，又因为)()()101x ϕϕ'=-∞，所以在是单调递减，)1,+∞是单递增，所以())[)min 111,x a ϕϕ==∈+∞，所以.三、解答题：17.解：设等差数列{}n a 的公差为,n d S 为等差数列{}n a 的前n 项和，749,S =2818a a +=，744528574979218S a a a a a a ===⎧⎧∴⇒⎨⎨=+==⎩⎩，解得：2d =. ()4421n a a n d n ∴=+-⨯=- ()21212n n n S n +-==……………………………………………………………………5分若选：（1）317,,m S a a 成等比数列，22317933m m S a a a ∴==，即，所以()29213361m m -==解得.………………………………………………………8分故2318318333489m S S ===……………………………………………………………10分若选：（2）317,,m S a S 成等比数列，222317933m S S a m ∴==，即，解得11m =.………………………………………………………………………………8分故2333331089m S S ===………………………………………………………………10分18.解（1）由题意知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭，则1OP ==，由三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα=-=-，……………………………………3分所以1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……6分 （2）因为()5sin 13αβ+=， 所以()12cos 13αβ+===±，……………………8分又因为()βαβα=+-，所以()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，当()1256cos cos 1365αββ+==-时，； 当()1216cos cos 1365αββ+=-=时，；综上所述，当5616cos cos 6565ββ=-=或………………………………………………12分 19.解（1）由题意可列方程组4816421322mmc c ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相除，解昨128,1.4c m =⎧⎪⎨=⎪⎩……………6分 （2）由题意可列不等式1411280.52t ⎛⎫≤⎪⎝⎭， 所以1841118224t t ⎛⎫⎛⎫≤≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，解得32t ≥.…………………………………………10分故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态…………12分20.解（1）因为三角形面积为2221sin 24b c a S bc A +-==，所以222sin cos 24b c a A A A bc π+-===，解得，………………………………………3分因为a b ==sin sin a bA B=，所以sin sin b AB a===，因为a b A B >>，所以，所以B 为锐角，所以cos 6B =…………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知4A π=，所以()()sin sin cos cos A B B B B A +++-sin sin cos cos 44B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 2222B B B B B B =++++，)sin cos sin cos B B B B ++，……………………………………………………9分令sin cos 4t B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为30,,,444B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以(](sin 0,14B t π⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，所以……………………………………………10分原式(222111322222t t t -+=-=+-，当4t B π==时，原式取得最大值52.………………………………………………12分 21.解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，{}{},n n a b 由题意，知11050 1.05n n a -=⨯()190%0.4%10.1040.004n b n n =-+-=-⎡⎤⎣⎦，其中1,2,,24n =⋅⋅⋅，则从今年1月起，各月不合产品数量是()11050 1.050.1040.004n n n a b n -=⨯⨯-()1.051044n n =⨯-………………………………4分又由：()(]111 1.0510441 1.051044n n n n n n a b a b n n +++-=⨯-+-⨯-⎡⎤⎣⎦()51.0510.2 1.055n n nn -=⨯-=⨯所以当6n ≤时，{}n n a b 是递增数列，当{}6n n n a b ≥时，是递减数列，…………………………………………………………8分 且()11 1.051044105a b =⨯-=，…………………………………………………………9分 由表计算可知()121212 1.0510*******.8a b =⨯-⨯≈ ()131313 1.0510441398.3100.8a b =⨯-⨯≈<所以，当131********n n n a b a b ≤≤≤<时，…………………………………………11分 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.………………12分22.解：（1）因为()()()()2221x x f x x e a f x x e a '=-=+-，所以设直线()2y x y f x ==与的图像的切点为()11,x y则()121212x x e a +-=因为切线既在切线上又在曲线上，所以()2111112x y x e ay x ⎧⎪=-⎨⎪=⎩由上述方程解得11,01a x a =-==-故……………………………………………………4分（2）法一：由题意得()()()221ln 11ln 1x x xe x a x xe x a x ≥+++-+≥+，即 因为()21ln 01x x x e a x +>-≥+，所以 设()()2222221ln ln 2ln 2x x x x x x e x F x e F x e x x x ++'=-=+=，则……………………6分 考察函数()222ln x h x x e x =+因为()()()()214100x h x xe x h x x =++>+∞，所以在，单调递增 又()()1222210120h e e h e e--=-<=>，且 所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02200002ln 0x h x x e x =+=，即所以当()()()()00,,0,0,x x h x F x F x '∈<<时单调递减；当()()()()0,0,x x h x F x F x '∈+∞>0,>时，单调递增所以()()0200min 01ln x x F x F x e x +==- 由题意得，()0220010x a F x x et t +≤=>令，则，取对数得0022ln ln x x t += 由0220002ln 02ln 0x x e x t x +=+=，得由此得002ln 2ln x x t t +=+设函数()()()02ln ,x x x x t ϕϕϕ=+=则有因为()()2ln 0x x x ϕ=++∞在，上单调递增所以000ln 2x t x x ==-，即……………………………………………………………10分所以()020000001ln 112212x x x F x e a x x x +-=-=-=+≤，故， 解得1a ≤故的取值范围是(],1-∞………………………………………………………12分 法二：放缩法先证()()111x x x e x F x e x F x e '≥+=--=-令，则当()()(),00,x F x F x '∈-∞<时，单调递减；当()()()0,0,x F x F x '∈+∞>时，单调递增所以()()00,1x F x F e x ≥=≥+即……………………………………………………6分 由()()21ln 1ln x f x x x x ea x x ≥++-≥++得 因为221ln ln 10,1x x x xe x x x a e x x+--->≤--=得………………………………8分 又因为2ln 2ln 1ln 1ln 21ln 11x x x xe x x e x x x x x x x x x+------++---=≥= 所以1a ≤…………………………………………………………………………………12分。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二)文科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =+-<，集合{|1}B x x =>，则()RA B ⋂=（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(1,2)D ．(2,)+∞2.已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(3,2)a =，(4,6)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2π4.《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的直观想象素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数据分析素养C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D．乙的六大素养整体水平低于甲5.如图：本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．96.已知圆22:(2)16M x y+-=，过点(23,2)P作圆M的弦AB，则弦长AB的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．37.已知数列{}n a的通项公式2812na n n=-+-，前n项和为nS，若n m>，则n mS S-的最大值是（）A .5 B．10 C．15 D．208.函数221,0()log,0x xf xx x-⎧-≤=⎨>⎩，满足()1f x<的x的取值范围（）A．(1,2)-B．(1,)-+∞C ．{|0x x >或2}x <-D ．{|2x x >或1}x <-9.若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且21cos sin 4αα-=，则tan α的值等于（ ）A ．33-B ．33C ．3D ．3- 10.设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120BPB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ）A ．(0,1][16,)⋃+∞B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞11.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(4,)+∞D ．(,4)-∞12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17]二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知数列{}n a 为等差数列，652a a -=，1121a =，若169k S =，则k =______.14.已知向量a 、b 满足||22a =，且b 与b a -的夹角等于4π，则||b 的最大值为______. 15.已知函数()cos2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.16.已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1y x k=交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下： （1）根据以上提供的信息，完成22⨯列联表，并完善等高条形图；选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 260 总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8416.6357.87910.82818.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，2414a a +=且21a -，31a +，47a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列16n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .19.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3b =，(2)cos cos 0c a B b C -+=.（1）求角B 的大小； （2）求a c +的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，7PA PD ==，Q F 、分别为AD AB 、的中点，PFAC ⊥.（1）求证：面POF ⊥面ABCD ； （2）求三棱锥B PCF -的体积. 21.已知函数()(ln )xf x a x x xe =+-.（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，求函数()f x 的极大值.22.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点为,A B .（1）求证：直线AB 过焦点F ；（2）若||8PA =，||6PB =，求||PF 的值.高三文科数学参考答案一、选择题（共12小题）1.A 【解析】解：{|32}A x x =-<<，{|3RA x x =-或2}x ，(){|2}[2,)RA x x ==+∞.故选：A.2.C 【解析】解：由sin2019sin2190︒=︒<，cos2019cos2190︒=︒<，故选：C.3.D 【解析】解：0a b ⋅=；a b ∴⊥；a ∴与b 的夹角为2π.故选：D. 4.C 【解析】解：对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分，故选项C 正确， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误，故选：C.5.B 【解析】解：由题意在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，则其中落入黑色部分的有1210个点，由随机模拟试验可得12102178S S =黑正，又9S =正，即5S ≈黑，故选：B.6.A 【解析】解：圆心坐标为(0,2)过最短弦AB在的直线斜率为x =，则min ||4AB =.故选：A.7.B 【解析】解：根据题意，数列{}n a 的通项公式是2812n a n n =-+-，其前n 项和是n S ，有12n m n n m S S a a a ++-=++⋯+， 即当12n n m a a a ++++⋯+最大时，n m S S -取得最大值；若28120n a n n =-+-，且n N +∈，解可得：26n ≤≤，即当26n 时，n a 的值为正.即当6n =，2m =时，623456343010S S a a a a -=+++=+++=， 此时n m S S -取得最大值10.故选：B. 8.A 【解析】解：当0x ≤时，()1f x <即211x--<，1222x -<=，1x ∴-<，10x -<≤，当0x >时，()1f x <即2log 1x<，02x <<，综上，12x -<<，故选：A. 9.A 【解析】解：由21cos sin 4αα-=，得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56πα∴=，5tan tan 6πα∴==.故选：A. 10.A 【解析】解：分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况： ①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，假设M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，1cos cos602AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥，k ∴的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞，故选A.1l.D 【解析】解：不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-等价为123(1)(23)x x f x f x e e +-+-<， 构造函数()()x f x r x e =，则()()()xf x f x r x e'-'=，又有已知()()f x f x '<， ()0r x '∴<，即()r x 在R 上是减函数，由于123(1)(23)x x f x f x e e+-+-<，可得123x x +>-，解得4x <，即不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-的解集是(,4)-∞，故选：D.12.A 【解析】解：取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，则平面CMN平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足1AN NA =，221max11345C P C E C F∴===+=，5EF=，2221min125(22)17C P PO C E EO==-=-=.∴线段1C P长度的取值范围是[17,5].故选：A.二、填空题（共4小题）13.13 【解析】解：设等差数列{}n a的公差为d，则根据652a a-=，1121a=得：121021da d=⎧⎨+=⎩；2d∴=，11a=；又169kS=；(1)169k k k∴+-=；解得13k=.故答案为：13.14.4 【解析】解：向量a、b满足||2a=，且b与b a-的夹角等于4π，如图在OAB△中，令OA a=，OB b=，可得4OBAπ∠=可得点B在半径为R的圆上，2224sinRA==，2R=.则||b的最大值为24R=15.14【解析】解：2()cos2sin2sin sin1f x x x x x=+=-++令sin x t=，则[1,1]t∈-故2()21f x t t=-++，[1,1]t∈-故14t=时，即11sin4x=时，()f x取得最大值，1t=-时，即2sin1x=-时，()f x取得最小值.()121cos4x x∴+=.16.2 【解析】解：联立A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩同理Bam x b ka =- 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩2A B N x x x ∴+=故221am am mk b ka b ka k -+=+--整理解之得：221b a =故2212b e a=+=17.【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 420 320 740 数学成绩不优秀 180 80 260 总计6004001000完善等高条形图，如图所示；（2）计算222()1000(42080180320)12.474 3.841()()()()600400740260n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 18.【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由2414a a +=，得3214a =，37a ∴=. 由21a -，31a +，47a +成等比数列，得()()()2324117a a a +=-+，即2(71)(6)(14)d d +=-⋅+，解得2d =或10d =-.又数列{}n a 是单调递增的等差数列故0d >，10d ∴=-（舍去）数列{}n a 的通项公式为2(2)21n a a n d n =+-⋅=+. （2）166113(21)(23)2123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭111111112333557212332323n n S n n n n ⎛⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪++++⎝⎭⎝. 19.【解析】解：（1）根据题意，(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅-⋅= 变形可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+2sin cos sin()A B B C ∴⋅=+在ABC △中，sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A ∴⋅=，即1cos 2B =， 则3B π=；（2）根据题意，由（1）可得3B π=，sin 2B =，又由正弦定理2sin b R B ==，22R ∴=2sin 2sin a R A A ==，2sin 2sin c R C C ==；232(sin sin )2sin sin 2sin 326a c A C C C C C C ππ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=+=+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又由203C π<<，则5666C πππ<+<， 则有1sin 126C π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 23a c <+.20.【解析】解：（1）连接BD ，如图所示； 由四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，又O F 、分别为AD AB 、的中点，所以OF BD ，所以AC OF ⊥；又PF AC ⊥，OF F F =，所以AC ⊥平面POF ；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面POF ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，AC ⊥平面POF ，AC PO ∴⊥；又PO AD ⊥，AD AC A ⋂=，PO ⊥平面BCF ，223PO PA AO =-=在菱形ABCD 中，F 为AB 的中点，60DAB ∠=︒，所以2BF =，120FBC ∠=︒，4BC =，所以FBC △的面积为124sin120232FBC S =⨯⨯⨯︒=△； 所以三棱锥B PCF -的体积为 11233233FBC B PCF P BCF V V S PO --==⋅⋅=⨯=△三棱锥三棱锥. 21.【解析】解：（1）当0a =时，()x f x xe =-，()(1)x f x x e '=-+，(1)f e ∴=-，(1)2f e '=-∴切线方程为2(1)y e e x +=-⋅- 即20ex y e +-=（2）由()(1)1()1(1)(1)x x x a xe f x a x e x x x +-⎛⎫'=+-+=≥ ⎪⎝⎭ （1）a e ≥时，(1)0f a e =-≥，与()0f x <在[1,)+∞上恒成立矛盾，故a c ≥不符合题意.（2）当a e <时，由于1x ≥时，x xe e ≥故0xa xe -<，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞递减，故max ()(1)0f x f a e ==-<故()0f x <在[1,)+∞上恒成立 a e ∴<符合题意综上可得：实数a 的取值范围是(,)e -∞【注】其他方法酌情给分（3）函数的定义域为(0,)+∞当1a =时，()ln x f x x x xe =+-，()(1)11()1(1)x x x xe f x x e x x +-'=+-+= 令()1x g x xe =-，()(1)0x g x x e '=-+<，则()g x 在(0,)+∞递减.又1102g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，(1)10g e =-<，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得0010x x e -=，即()00f x '= 故当()0|0,x x ∈，()0g x >即()0f x '>，()f x ∴在()00,x 递增. 当()0,x x ∈+∞，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x +∞递减. ()00000()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值又001x x e =，00ln 0x x +=，故0000()ln 1x f x x x x e =+-=-极大值22.【解析】解：设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P a -设直线()111:PA y y k x x -=- 联立()11124y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩消x 得：211114440y y y x k k -+-= 由0∆=得2111110k y k x -+=又2114y x =，故2211111104k y k y -+=故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为：()1112y y x x y -=-即1122yy x x =+ 同理22PB k y =直线PB 的方程为：2222yy x x =+. 又P 在直线PA PB 、上 11222222ay x ay x =-+⎧∴⎨=-+⎩ 故()11,A x y 、()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+.令0y =，得1x =∴直线AB 过焦点F .（2）由（1）知联立2224ay x y x=-+⎧⎨=⎩消x 得：2240y ay --= 故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=- 故直线PA 与直线PB 垂直，从而22||10AB PA PB =+= 又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()2212124y y x x ∴-=-，12121242AB y y k x x y y a -∴===-+ 又0112PF a a k -==---，1PF AB k k ∴⋅=-故PF AB ⊥ 6824||105PF ⨯∴==。
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(十二)数学
所以 的周长为 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.
7.下列命题中不正确命题的个数是（）
①已知a，b是实数，则“ ”是“ ”的充分而不必要条件；
② ，使 ；
③若 ，则 ；
④若角 的终边在第一象限，则 的取值集合为 .
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
【答案】A
【解析】
分析】
由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人，剩余两人为两组，第二步把三组人安排到3个路口即可.
【详解】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，则z 虚部为 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的概念，属于基础题.
3.在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则 （）
A. -4040B. -2020C. 2020D. 4040
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列 的前 项和公式，可得 为等差数列，由已知求出其公差，进而得到 通项公式，即可得出结论.
【答案】B
【解析】
【分析】
由D是 的中点，可得 ，由于 ，从而得 ，所以 ，可求得t的值.
【详解】解：因为D是 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：B
【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
5.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(六)理科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分） 1.已知集合{|,A x x Z =∈且32Z x ⎫∈⎬-⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据整数与整除的方法枚举即可. 【详解】因为32Z x∈-,故23,1,1,3x -=--,即5,3,1,1x =-共四种情况.故集合A 中元素个数为4.故选：D【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题. 2.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l ”，则“lm 且l n ”，反之若“l m且ln ”，当m//n 时，推不出“l ”，∴ “l”是“lm 且ln ”的充分不必要条件，选A ．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4512a a +=，则8S 等于（ ） A. 18 B. 36C. 48D. 72【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,故()()1884584482a a S a a +==+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与求和公式,属于基础题. 4.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 22=14y x -B. 22=14x y -C. 22=14y x -D.22=14x y -【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5.若平面向量b 与向量(2,1)a =平行，且25b =，则b =（ ） A. (4,2) B. (4,2)--C. (4,2)或(4,2)--D. (6,3)-【答案】C 【解析】 【分析】求得a 后根据平行向量满足b a λ=求解即可.【详解】由题221a =+=又25b =且平面向量b 与向量a 平行.故2b a =±,即(4,2)b =或(4,2)--. 故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.6.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ）A. 9-B. 12C. 12-D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A.23B.35C.12D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48， ∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题. 8.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A. 1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)=y=sin(12x －6π)，故选C9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 2B.52C. 22+D. 231+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积．【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为DBC 、DCC 、DB C 、DBB 、正方形BCC B ''的面积之和，即该几何体表面积为1121111221=2222故选C.【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.10.四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A. 3 B. 2C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE,可得O 为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得PA 的值. 【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得211822R PC PA ==+324198322PA ππ⋅+=， 解得PA=1, 故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.11.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若121290,2,3PF F F PF c S ︒∠===△，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A.2πB.4π C.3π D.6π【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线焦点三角形的面积公式求得b ,再根据2c =求得a ,进而求得渐近线的斜率与夹角即可.【详解】由双曲线焦点三角形的面积公式有212123tan2PF F b S F PF ==∠△得23b =故2221a c b =-=.故渐近线的斜率b k a=±=.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为3π与23π.故双曲线的两条渐近线的夹角为3π. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点三角形面积公式与渐近线的倾斜角与斜率的关系.属于基础题. 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有'()()?tan f x f x x >成立.则有（ ）()()43f ππ>()2cos1(1)6f π>⋅C. 2()()46f ππ<()()63f ππ<【答案】D 【解析】 【分析】 ：先构造()()'·tan y fx f x x =-的原函数()y f x cosx =，由此题意，得出原函数()f x cosx 单增函数，由此判断函数值的大小． 【详解】：先构造()()'·tan y f x f x x =-的原函数，因为x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cosx >，那么在不等式的两边同时乘以cosx不等号不变，()()()()()'cosx cosx '0f x f x tanx f x f x sinx f x cosx ⎡⎤-=-=>⎣⎦'（），所以原函数()()g x f x cosx =单增函数，由此()g g g 1g 643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3g 626f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2g 424f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1g 323f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()g 111f cos =，所以 21g g 243242343f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 错 ()()()3g g 11132cos11666f cos f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒<⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 错32g g 266462446f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 错 故选D ．【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.【答案】sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+.点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.14.设S n 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-,则63S S =________. 【答案】12【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式求得3q ，再运用等比数列的前n 项和公式，表示()3631S S q=+，可得值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则36312a q a ==-,又()()()()61363331111111a q S a q qSq q q-+=--==+-，所以363111122S q S =+=-=, 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前n 和公式，注意在运用公式时应用整体代入法，属于基础题.15.抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______.【答案】 【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M 纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M 到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=，可得OM ==故答案为．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2b Ac a =-． （1）求B ；（2）若c =cos 10A =，求ABC 的面积． 【答案】（1）4π；（2）2 【解析】分析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理的推论可把cos b A c = 边化成角得sin cos sin B A C A =，用诱导公式变形为sin cos sin()B A A B A =+，再用两角和的正弦公式变形化简可得cos sin 02B A A -=，化简可得cos 2B =，进而求得4B π=．（2）由(1)的结论4B π=和条件10c A ==，要求三角形的面积，应先求一条边．所以应由正弦定理求一条边．先由cos A =，(0,)2A π∈ ，求得sin 10A === ．再由sin sin()C AB =+和两角和的正弦公式求得4sin sin()sin cos cos sin =+=1021025C A B A B A B =+=+．再由正弦定理可得sin 254sin 5c Bb C===．进而用三角形的面积公式可得11sin 5222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．详解：(1)在ABC ∆中，因为cos 2b A c =-，所以sin cos sin B A C A =-．所以sin cos sin()2B A A B A =+-，化简可得cos sin 02B A A -= ． 因为sin 0A ≠，所以cos 2B = ． 因为(0,)2B π∈ ，所以4B π=．（2）因为cos A =，(0,)2A π∈ ，所以sin10A===．因为4Bπ=所以4 sin sin()sin cos cos sin=5C A B A B A B=+=+在ABC∆中，由正弦定理可得sin254sin5c BbC===．所以11sin522210ABCS bc A∆==⨯⨯=ABC∆的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；（2）知ABC∆的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；18.已知数列{}n a的前n项和为n S，(1)n nS na n n=+-（其中2n≥），且5a是2a和6a的等比中项.（1）证明：数列{}n a是等差数列并求其通项公式；（2）设11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，132na n=-；（2）nT=12122nn-.【解析】【分析】(1)根据通项n a与前n项和n S的关系求出关于n a的递推公式,再根据5a是2a和6a的等比中项利用基本量法求解首项即可.(2)根据(1)中可得132na n=-,再根据裂项相消求和即可.【详解】（1）由(1)n nS na n n=+-得11(1)(1)n nS n a n n++=+++,所以11(1)2n n n nS S n a na n++-=+-+,又11n n nS S a++-=所以12n n na na n +=+,故12n n a a +-=-.故数列{}n a 是公差为2-的等差数列,且5a 是2a 和6a 的等比中项,即2526a a a =,得()()()21118210a a a -=--,解得111a =,所以132n a n =-. （2）由题得111112132112n n n b a a n n +⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭, 121111111211997132112n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121111212122nn n⎛⎫=--= ⎪--⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了根据通项与前n 项和的关系证明等差数列的方法,同时也考查了等比中项的运用与裂项相消的求和方法.属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD=，OB OD=,∴BD OP⊥,又∵OP AC O⋂=,∴BD PAC⊥面又BD ABCD⊂面,∴PAC ABCD⊥面面.（2）∵PAC ABCD⊥面面，过点P做PE AC⊥,垂足为E∴ABCDPE⊥面∵PA与底面ABCD所成的角为030，∴030PAC∠=,又PA PC⊥，设2PC=,则23,3,3,4,22AP PE AE AC AD=====如图所示，以A为坐标原点，,AB AD为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P⎛⎝设面PBC法向量为()1,,n x y z=，()220,22,0,,322BC CP⎛==--⎝11n BCn CP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴2202230x y z⎧=+=，1,0,6z y x===令则()16,0,1n=同理PCD面法向量()20,6,1n=，1212121cos,7n nn nn n⋅==∴求二面角B PC D--的余弦值17-【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．20.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y与仰卧起坐个数x之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50xxyxx≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率；②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.【答案】（1）0.03a=；（2）见解析【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a+++⨯=∴=（（2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.1 0.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）以AB 为直径的圆过定点(0,0).【解析】 【分析】(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线l 与圆222:3M x y +=相切得出,k m 的关系式,代入证明0OA OB ⋅=即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率2e =,所以2c a =,即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点,所以a =所以1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为y kx m =+.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222214220k x kmx m +++-=, 所以设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.①因为直线l 和圆M 相切,所以圆心到直线l的距离3d ==, 整理,得()22213m k =+,② 将②代入①,得0OA OB ⋅=,显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知,以AB 为直径的圆过定点(0,0).【点睛】本题主要考查了抛物线与椭圆基本量求解以及联立直线与椭圆方程利用韦达定理与向量的数量积证明圆过定点的问题等.属于难题. 22.：已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间与极值．【答案】（1）2()23f x x x =--（2）见解析 【解析】【详解】解：（1）由2()3f x ax bx =+-，可得()2f x ax b =+'．由题设可得(1)0,{(0) 2.f f ''==-即20,{ 2.a b b +==-解得1a =，2b =-． 所以2()23f x x x =--．（2）由题意得32()()42g x xf x x x x x =+=-+，。
衡水名校联盟2021年高考押题预测卷-数学(试卷)
…
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
此
卷
只
装
订
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
C． y = ± 3 x 4
D． y 4 x 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知 x, y R ，且 x y 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 1 1 0 xy
B． sinx siny 0
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 f x a sin x 2a R 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x 2 ，则 a ________．
14．写出一个图象关于直线 x 1 对称的奇函数 f (x) ________．
15．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的 数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用， 英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满 足 m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是 1.00，“天 津四”的星等是 1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．（结果精确到 0.01．当|x|较小时， 10x≈1+2.3x+2.7x2）
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(十六)数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.121211i ii i-+++-＝（）A. ﹣1B. ﹣iC. 1D. i 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果即可.【详解】12i12i11i i-+++-＝13131.2i i---+=-故答案为A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，题目比较简单.2.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，公差为d ，则“﹣1＜d ＜0”是“S 22+S 52＜26”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出关于d 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案． 【详解】∵S 22+S 52＜26， ∴（2+d ）2+25（1+2d ）2＜26， ∴（101d +3）（d +1）＜0， ∴﹣1＜d ＜﹣3101， ∵﹣1＜d ＜0推不出﹣1＜d ＜﹣3101， ﹣1＜d ＜﹣3101⇒﹣1＜d ＜0， ∴“﹣1＜d ＜0”是“S 22+S 52＜26”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了等差数列的前n 项公式，是一道基础题．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．3.设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()xF x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-= )A. 12-B.32C.72D.112【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出()1g 和()1f -的值即可得到结论． 【详解】()()2g x f x x =+是定义R 在上的偶函数，()()112123g f ∴=+=+=，()()()11213g f g -=--==，即()15f -=， 则()()1111112522F f --=-+=+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 4.已知向量,a b的夹角为23π，且()3,4,2=-=a b ，则2+=a b ( ) A. B. 2C. D. 84【答案】C 【解析】 【分析】先求出5=-a b ，然后由2+=a b 计算即可．【详解】由题意知，()2223425=+-=a ，24=b ，252cos 53π=⨯=-a b ， 则()22224442544584+=++=⨯++-=a b a b a b ， 所以2+===a b .故答案为C.【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的模，考查了学生的计算能力，属于基础题．5.设函数()πsin 22f x x x R ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，则()f x 是( )A. 最小正周期为π 的奇函数B. 最小正周期为π2的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数【答案】D 【解析】函数()πsin 22f x x x R ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，化简可得f （x ）=–cos2x ，∴f （x ）是偶函数．最小正周期T =2π2=π，∴f （x ）最小正周期为π的偶函数．故选D ．6.已知()(sin ),(0,)2xf x πθθ=∈，设24161(log (log 3),(log 5)2a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b >>B. a c b >>C. b a c >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()(sin )x f x θ=为减函数，由对数的运算性质分析可得1641log 5log log 32<，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】解：根据题意，()(sin )x f x θ=，(0,)2πθ∈，则0sin 1θ<<，则函数()(sin )xf x θ=为减函数，又由24161log log log 72=，416log 3log 9=，则有16241log 5log log 32<，42161(log 3)(log (log 5)2f f f ∴<<则c a b >>， 故选：A ．【点睛】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数()(sin )x f x θ=，的单调性，属于基础题．7.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且1b 1=，32b b 2=+，435b a a =+，546b a 2a =+，则20189a b (+= )A. 2274B. 2074C. 2226D. 2026【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，正项等比数列{}n b 的公比为q 0>，1b 1=，32b b 2=+，435b a a =+，546b a 2a =+，2q q 2∴=+，31q 2a 6d =+，41q 3a 13d =+，解得q 2=，1a d 1==．则820189a b 1201722274+=++=．故选A ．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为( )A. 521-B. 522-C. 621-D. 622-【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，进行模拟运算即可．【详解】一次循环，2x =，1k =，5k ≤成立，则213v =+=，112k =+=， 第二次循环，2k =，5k ≤成立，则3217v =⨯+=，213k =+=， 第三次循环，3k =，5k ≤成立，则72115v =⨯+=，314k =+=，第四次循环，4k =，5k ≤成立，则152131v =⨯+=，415k =+=， 第五次循环，5k =，5k ≤成立，则312163v =⨯+=，516k =+=， 第六次循环，6k =，5k ≤不成立，输出66321v ==-， 故选C ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序的功能，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若2c =，sin 2sin A C =，1cos 4B =，则ABC 的面积(S = )A. 1B.【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可得24a c ==，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】2c =，sin 2sin A C ∴=，由正弦定理可得24a c ==，1cos 4B =，sin B ∴==ABC ∴的面积11sin 4222S ac B ==⨯⨯= 故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解.10.已知()cos(),(0,0,(0,))f x A x A ωφωφπ=->>∈，()f x 的导函数．．．()f x '的部分图象如图所示，则下列对()f x 的说法正确的是（ ）A. 最大值为2且关于点(,0)2π-中心对称B. 最小值为2-且在3[,]22ππ上单调递减C. 最大值为4且关于直线2x π=-对称D. 最小值为4-且在3[0,]2π上的值域为[0,4]【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象与性质，求出A 、T 、ω与ϕ的值，写出函数()f x 的解析式，判断选项即可. 【详解】()sin()f x A x ωωϕ='--,由图象可知2A ω=,34()422T πππ=⨯-=,2142ωπ==π，所以4A =，又1sin()022πϕ⨯-= 又()0,φπ∈，所以4πϕ=，所以1()4cos()24f x x π=-，最小值为4-，3[0,]2x π∈，则1[,]2442x πππ-∈-，所以在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,4，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用，属于中档题. 11.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x-1x）是增函数．故选B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x x f '=+⋅，则(0)f '=（ ）.A. 0B. -4C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】可先求函数的导数，先令1x =求出()'1f ，再令0x =即可求解(0)f '【详解】由2()2(1)'()22(1)f x x x f f x x f ''=+⋅⇒=+，令1x =得'(1)212(1)f f '=⨯+，解得()'12f =-，则'()24f x x =-，(0)4f '=- 故选B【点睛】本题考查函数具体导数值的求法，属于基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=___________.【答案】10- 【解析】 【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a b a b a b⨯-+⨯<>===-+． 【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得，公比q ≠1，则()3111a q q-=-7，()6111a q q-=-63，相除可得公比q ，即得1a 的值．【详解】由题意可得，公比q ≠1，∴()3111a q q-=-7，()6111a q q-=-63，相除可得 1+q 3＝9，∴q ＝2，∴a 1＝1． 故答案为1.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，求得q 值是解题的关键，属于基础题．15.已知函数()21{2?1x x f x x >=≤，， , 则满足()()212f x f x +>的x 的取值范围是________．【答案】1(,)2+∞. 【解析】 【分析】对x 的取值情况分类，把()()212f x f x +>问题转化成具体不等式问题求解．【详解】当0x ≤时，211x +≤，不等式()()212f x f x +>可化为：222>⨯，不等式不成立．当01x <≤时，211x +>，等式()()212f x f x +>可化为：21222x +>⨯，解得：112x <≤，当1x >时，211x +>，等式()()212f x f x +>可化为：21222x +>⨯，解得：1x >， 综上：12x >，故填1(,)2+∞． 【点睛】本题考查解不等式问题，分段函数对自变量x 的范围讨论，代入相应的函数关系式把问题转化成具体不等式求解． 16.函数()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调减区间为______． 【答案】7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】利用诱导公式将函数解析式化简，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调减区间． 【详解】解：()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 令：()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 整理得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 故答案为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查正弦型函数的单调性，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知,m R ∈设[]22:1,1,24820p x x x m m ∀∈---+-≥成立； :q 指数函数()()42xf x m =-为增函数，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围．【答案】12m <或32m =． 【解析】【分析】 先求出p 真时m 的取值范围，再求出q 为真时m 的取值范围，利用,p q 一真一假求出m 的取值范围．【详解】若p 为真：对[]11x ∀∈-，，224822m m x x -≤--恒成立， 设()222f x x x =--，配方得()()213f x x =--，所以()f x 在[]11-，上的最小值为3-， 所以2483m m -≤-，解得1322m ≤≤，所以p 真时：1322m ≤≤； 若q 为真：34212m m ->⇒<，因为p q ∨”为真，“p q ∧”为假，所以p 与q 一真一假， 当p 真q 假时1322 32m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以32m =， 当p 假q 真时1322 32m m m 或⎧⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，所以12m <， 综上所述，实数m 的取值范围是12m <或32m =． 【点睛】对于“p q ∨为”真，“p q ∧”为假的问题，我们一般先求出p 真时参数的范围，再求出q 为真时参数的范围，通过p 真q 假和p 假q 真得到最终的参数的取值范围．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n n n b a =⋅，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-.（Ⅱ）()1n 6232n T n +=+-⋅【解析】【分析】（Ⅰ）利用等差数列的前n 项和公式和通项公式，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由题意b n ＝()221n n -，利用错位相减法能求出数列{b n }的前n 项和． 【详解】（Ⅰ）23a = ，∴13a d +=636S = ，∴161536a d +=则112a d ==， 21n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()221n n b n =-()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯, ()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ -23412222222.....2221)2n n n T n （+=+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯ 114122221212n n n （）（）-+-=+⨯--⋅- =()n 2162212n n ++-+--⋅ =()16232n n +-+-∴()1n 6232n T n +=+-⋅【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查了错位相减法求和，考查了运算能力，属于中档题．19.已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且2sin 33a C b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的值．（2）若3,4b c ==，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．【答案】（1）060A =；（2413 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简2a sin （C 3π+）3=，再利用三角恒等变换求出A 的值；（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理建立方程组求得AD 的长． 【详解】（1）ABC ∆中，2sin 33a C b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()2sin sin 3sin 3A C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴sin sin 3sin cos 3sin cos 3cos sin A C A C A C A C +=+，∴sin sin 3cos sin A C A C =，∴tan 3A =，∴060A =；（2）如图所示，设2220,34234cos6013AD x BC ==+-⨯⨯=，∴13,13BC CD x ==； 由余弦定理得22162?·cos x x x x ADB =+-∠，…①))()22913213cos x x x x ADB π=+--∠，…② 由①②解得413x =，即AD 413 【点睛】本题考查了三角恒等变换以及解三角形的应用问题，是中档题．20.已知函数()243,f x x x a a R =-++∈. (1)若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围；(2)若函数()y f x =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.【答案】（1）1a >；（2）80a -≤≤.【解析】【分析】（1）由题意可得方程f （x ）=0的根的判别式△＜0，解不等式即可得到范围；（2）求出二次函数的对称轴方程，判断f （x ）在[﹣1，1]的单调性，再由零点的定义可得f（1）≤0，f （﹣1）≥0，解不等式即可得到所求范围．【详解】(1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，则方程f (x )＝0的根的判别式Δ<0，即16－4(a ＋3)<0，解得a >1.故a 的取值范围为a >1.(2)因为函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴是x ＝2，所以y ＝f (x )在[－1,1]上是减函数．又y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，所以,即,解得－8≤a ≤0.故实数a 的取值范围为－8≤a ≤0.【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，主要是单调性的判断和应用，考查不等式的解法，以及运算能力，属于中档题．21.已知函数()2sin cos cos .f x x x x =+ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若()f x 在区间3,8m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数m 的最大值． 【答案】（Ⅰ）最小正周期为T π=（Ⅱ）8π 【解析】【分析】 (Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的函数的关系式，进一步利用整体思想和函数的区间的子集关系求出结果．【详解】 (Ⅰ)函数()2sin cos cos f x x x x =+， 11cos2sin222x x +=+， 212242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以：函数的最小正周期为22T ππ==．(Ⅱ)由于：()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令：()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得：()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，388x ππ-≤≤， ()f x 在区间3,8m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故：][33,,888m πππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦， 所以：m 的最大值为8π． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.已知函数()ln x f x ax a x-＝－，a R ∈． （1）若1x =是()f x 的极值点， 求a 并讨论()f x 的单调性；（2）若1e x <<时，()0f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1(1)a e e ≤- 【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，结合()10f '=求得a ，代入导函数，得到()f x '，再由2ln 1y x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，可得当01?x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；（2）由 ()0f x ≤，得()ln 1x a x x ≤-，令()()ln 1x g x x x =-，利用二次求导可得其最小值，则.a .的范围可求． 【详解】（1）()2221ln ln 1x ax x f x a x x-+-=-='，0x >.因为1x =是()f x 的极值点，所以()10f '=，可得1a =．所以()ln 1x f x x x =--，()22ln 1x x f x x'+-=. 因为2ln 1y x x =+-在()0,∞+上单调递增，且1x =时，0y =，所以01x <<时，2ln 10x x +-<，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时， 2ln 10x x +->，()0f x '>，()f x 单调递增．故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）由()0f x ≤得()ln 10x a x x --≤， 因为1x e <<，所以()ln 1x a x x ≤-. 设()()ln 1x g x x x =-， 则()()()22121ln 1x x xg x x x ----'=.令()()121h x x x lnx =---，则()()111212ln 2ln 1h x x x x x x=--⋅='---， 显然()h x '在()0,∞+内单调递减，且()10h '=，所以1x e <<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()10h x h <=，即()0g x '<， 所以()g x 在()1,e 内单减，从而()()()11g x g e e e >=-. 所以()11a e e ≤-. 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(九)理科数学
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断命题 和 的真假性，由此确定正确选项.
【详解】令 ，所以 在 上递增，所以 ，所以命题 为真命题.当 时， ，所以命 Nhomakorabea 为真命题.
所以 为真命题，A选项正确，其它选项不正确.
故选：A
【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为 .
本题选择D选项.
10.若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆 的弦长为2，则 的
最小值为（ ）
4.三个数 的大小顺序为( )
A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c
【答案】D
【解析】
【分析】
通过证明 ，由此得出三者的大小关系.
详解】 ，由于 ， ，所以 ，所以 ，即 .而 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】依题意 ，解得 .所以函数的定义域为 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
3.已知命题p：∀x>0，ex>x+1；命题q：∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1；下列命题为真命题的是( )
精品解析：河北省衡水中学2021届高三下学期猜题卷文数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2021届高三下学期猜题卷文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{}|22A x x =-<<，()(){}|130B x x x =+-≤，则()R AC B 等于（ ） A ．(1,2)- B ．(]2,1-- C ．()2,1--D ．()2,32.设复数z 的共轭复数为z ，且满足11i z z i +-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12 B ．2 C ．12- D ．-2 3.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为（ ）A ．43B ．83C ．23D ．无法计算 4.已知1a >，22()x x f x a +=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．20x -<<B ．21x -<<C ．10x -<<D ．10x -<≤5.定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则(sin )*(cos )33ππ的值为（ ）A ．234B ．234C ．14D ．346.已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,2)c k =-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A．55 B ．15 C ．55- D ．15- 7.设函数()()sin 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ）A ．13B ．3C ．6D ．9 8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．12B ．316C ．174D ．1749.若整数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1810.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AF BF >，则AF BF的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32 D ．43 11.已知数列{}n a 是等比数列，若2568a a a =-，则151959149a a a a a a ++（ ） A ．有最大值12 B ．有最小值12 C ．有最大值52 D ．有最小值5212.已知函数()x f x xe =（注：e 是自然对数的底数），方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e ++∞B ．21(,)e e +-∞-C ．21(,2)e e+-- D ．21(2,)e e + 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知函数()338f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为____________. 14.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c .若直线3()y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________.15.已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x+≥，2244322x x x x x +=++≥，3327274333x x x x x x+=+++≥，…，类比得()*1n a x n n N x +≥+∈，则a =________． 16.若数列{}n a 是正项数列，且2123n a a a n n +++=+，则12231n a a a n +++=+________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =，D 是边AB 上一点.（1）求ABC ∆面积的最大值；（2）若2CD =，ACD ∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求AD 的长.18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，PA PD =，M 为CD 的中点，BD PM ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若90APD ∠=，四棱锥P ABCD -的体积为233，求三棱锥A PBM -的体积.19.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，……，n x 的平均数）20.（本小题满分12分）设圆F 以抛物线2:4P y x =的焦点F 为圆心，且与抛物线P 有且只有一个公共点.（1）求圆F 的方程；（2）过点(1,0)M -作圆F 的两条切线与抛物线P 分别交于点A ，B 和C ，D ，求经过A ，B ，C ,D 四点的圆E 的方程.21.(本小题满分12分) 已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x =++---++，a R ∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O . （1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值.请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x t l y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围.。
年河北省衡水中学高考数学押题卷(理科)(金卷二)(解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学押题卷〔理科〕〔金卷二〕一．选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中．只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合M={x|y=lg〔x2﹣8x〕}，N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，那么{1，3，5，7}=〔〕A．∁R〔M∩N〕B．〔∁R M〕∩N C．〔∁R M〕∩〔∁R N〕D．M∩〔∁R N〕2．假设复数z满足〔+2i﹣3〕〔4+3i〕=3﹣4i，那么|z|=〔〕A． B． C．3D．23．将函数f〔x〕=3sin2x﹣cos2x的象向左平移个单位，所得的象其中的一条对称轴方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=4．等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，假设S n=an2+4n+a﹣4〔a∈R〕，记数列{}的前n项和为T n，那么T10=〔〕A．B．C．D．5．执行如下的程序框，假设输出的s=86，那么判断框内的正整数n的所有可能的值为〔〕A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，96．夹角为的两个向量，，，向量满足〔〕•〔〕=0，那么||的取值范围为〔〕A．[1，]B．[0，2]C．[1，]D．[0，2]7．假设实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P〔﹣，〕处获得最小值，那么a的取值范围为〔〕A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤08．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左焦点为F1，P为左支上一点，|PF1|=a，P0与P关于原点对称，且=0．那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f〔x〕=，其中对∀x1，x2∈〔﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g〔x1〕+x2g〔x2〕＞x1g〔x2〕+x2g〔x1〕成立，且g〔0〕=1，假设不等式f〔x﹣a〕≤1〔a∈R〕的解集为D，且2e∈D〔e为自然对数的底数〕，那么a的最小值为〔〕A．0 B．1 C．e D．2e10．某几何体的三视如下，且该几何体的体积为，那么正视中x的值为〔〕A．B．2C．D．11．正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对于任意的正整数n≥2 +=1，设数列{b n}满足b n=a sin，其前4n项和为T4n，那么满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．假设二次函数f〔x〕=x2+1的象与曲线C：g〔x〕=ae x+1〔a＞0〕存在公共切线，那么实数a的取值范围为〔〕A．〔0，] B．〔0，] C．[，+∞〕D．[，+∞〕二．填空题：本大题共4小题．每题5分．13．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=3，a n+1=2S n〔n≥1〕，那么S n=_______．14．α∈〔0，〕，假设cos〔α+〕=，那么tan〔2α+〕=_______．15．点A、F分别是椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的上顶点和左焦点，假设AF与圆O：x2+y2=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，那么椭圆C的标准方程为_______．16．将三项式〔x2+x+1〕n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：〔x2+x+1〕0=1〔x2+x+1〕1=x2+x+1〔x2+x+1〕2=x4+2x3+3x2+2x+1〔x2+x+1〕3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数〔缺乏3数的，缺少的数计为0〕之和，第k行共有2k+1个数．假设在〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为75，那么实数a的值为_______．三．解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．〔1〕假设△BCD 的面积为，求线段CD的长；〔2〕假设DE=，求角A的值．18．如，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．〔I〕求证：AB⊥B1C；〔Ⅱ〕假设AB=B1C=2，BC=，求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．19．2021 年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2021年1月1日起正式施行．某地方案生育部门为了理解当地家庭对“全面二胎〞的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进展问卷调查．统计如表：居民编号2 8问35771107710247789577556 2 8 0 6 0 2 8 0 4 0 8 8 0 4 57 38 5 卷得分〔注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高〕〔Ⅰ〕列出该地得分为100分的居民编号；〔Ⅱ〕该地区方案生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶，试通过茎叶中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎〞的赞同程度〔不要求算出详细数值，给出结论即可〕；〔Ⅲ〕将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度〞．当地方案生育部门想更进一步理解城市居民“持赞同态度〞居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．〔i〕求每次抽取1人，抽到“持赞同态度〞居民的概率；〔ii〕假设设被抽到的4人“持赞同态度〞的人数为ξ．每次抽取结果互相独立，求ξ的分布列、期望E〔ξ〕及其方差D〔ξ〕．20．点M是抛物线C1：y2=2px〔p＞0〕的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，〔x一1〕2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．〔I〕求抛物线C1的标准方程；〔Ⅱ〕求△APB面积的最小值．21．函数f〔x〕=x3﹣x2+ax+2，g〔x〕=lnx﹣bx，且曲线y=f〔x〕在点〔0，2〕处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，求证：f〔mn〕＞f〔e2〕〔其中e为自然对数的底数〕．[选修4-1：几何证明选讲]22．如，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC 和AD相交于点F．〔I〕求证：AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕假设D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数，φ∈[0，]〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．〔I〕求圆C的极坐标方程；〔Ⅱ〕求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．〔I〕当a=1时，解不等式f〔x〕≤2；〔Ⅱ〕当a=3时，假设f〔x〕≥m恒成立，务实数m的取值范围．2021年河北省衡水中学高考数学押题卷〔理科〕〔金卷二〕参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中．只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合M={x|y=lg〔x2﹣8x〕}，N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，那么{1，3，5，7}=〔〕A．∁R〔M∩N〕B．〔∁R M〕∩N C．〔∁R M〕∩〔∁R N〕D．M∩〔∁R N〕【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M，根据N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，和{1，3，5，7}可得答案．【解答】解：∵x2﹣8x＞0，解得x＜0或x＞8，∴M=〔﹣∞，0〕∪〔8，+∞〕，∴∁R M=[0，8]，∵N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，∴〔∁R M〕∩N={1，3，5，7}．应选：B．2．假设复数z满足〔+2i﹣3〕〔4+3i〕=3﹣4i，那么|z|=〔〕A． B． C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求得，再由求得答案．【解答】解：由〔+2i﹣3〕〔4+3i〕=3﹣4i，得=，∴．应选：C．3．将函数f〔x〕=3sin2x﹣cos2x的象向左平移个单位，所得的象其中的一条对称轴方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的象变换．【分析】利用两角差的正弦函数公式可求f〔x〕=2sin〔2x﹣〕，根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的象变换规可得g〔x〕=2sin〔2x+〕，利用正弦函数的对称性即可得解．【解答】解：f〔x〕=sin2x﹣cos2x=2sin〔2x﹣〕，将函数的象向左平移个单位得到函数g〔x〕=2sin[2〔x+〕﹣]=2sin〔2x+〕，由2x+=kπ+，k∈Z，可得所得的象的对称轴方程为：x=+，k∈Z，当k=0时，可知函数g〔x〕象关于直线x=对称．应选：B．4．等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，假设S n=an2+4n+a﹣4〔a∈R〕，记数列{}的前n项和为T n，那么T10=〔〕A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和的性质及其S n=an2+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用“裂项求和〞方法即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和的性质及其S n=an2+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．应选：D．5．执行如下的程序框，假设输出的s=86，那么判断框内的正整数n的所有可能的值为〔〕A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，9【考点】程序框．【分析】由中的程序框可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，k=0执行循环体，s=2，k=2不满足条件2＞n，执行循环体，s=6，k=4不满足条件4＞n，执行循环体，s=22，k=6不满足条件6＞n，执行循环体，s=86，k=8此时，应该满足条件8＞n，执行循环体，退出循环，输出s的值为86，所以，判断框内n的值满足条件：6≤n＜8，那么判断框内的正整数n的所有可能的值为6，7．应选：B．6．夹角为的两个向量，，，向量满足〔〕•〔〕=0，那么||的取值范围为〔〕A．[1，]B．[0，2]C．[1，]D．[0，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=2，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值，进而得到所求范围．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==2，〔﹣〕•〔﹣〕=2+•﹣•〔+〕=||2﹣||•|+|cos＜+，＞=0，即为||=2cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是2．那么||的取值范围为[0，2]．应选：B．7．假设实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P〔﹣，〕处获得最小值，那么a的取值范围为〔〕A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化z=ax+y为y=﹣ax+z，从而可得﹣a＜﹣1，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=ax+y可化为y=﹣ax+z，∵z=ax+y仅在点P〔﹣，〕处获得最小值，∴﹣a＜﹣1，∴a＞1，应选：B．8．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左焦点为F1，P为左支上一点，|PF1|=a，P0与P关于原点对称，且=0．那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的边角关系进展求解即可．【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，那么由对称性知，|P0F2|=|PF1|=a，那么|P0F1|﹣|P0F2|=2a，即|P0F1|=3a，∵=0，∴P0F1⊥PF1，即P0F1⊥P0F2，那么4c2=〔3a〕2+a2=10a2=4〔a2+b2〕即3a2=4b2，那么，即=，即双曲线的渐近线方程为y=x，应选：C．9．设函数f〔x〕=，其中对∀x1，x2∈〔﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g〔x1〕+x2g〔x2〕＞x1g〔x2〕+x2g〔x1〕成立，且g〔0〕=1，假设不等式f〔x﹣a〕≤1〔a∈R〕的解集为D，且2e∈D〔e为自然对数的底数〕，那么a的最小值为〔〕A．0 B．1 C．e D．2e【考点】函数的象．【分析】根据函数的单调性的定义可得g〔x〕在〔﹣∞，0]内单调递增，根据题意作出函数f〔x〕的简，利用树形结合的思想即可求出．【解答】解：对∀x1，x2∈〔﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g〔x1〕+x2g〔x2〕＞x1g〔x2〕+x2g 〔x1〕，∴[g〔x2〕﹣g〔x1〕]〔x2﹣x1〕＞0，∴g〔x〕在〔﹣∞，0]内单调递增，根据题意作出函数f〔x〕的简，如所述，令f〔x〕≤1，由f〔x〕的象可知x≤e，假设f〔x﹣a〕≤1，那么x≤e+a，∴D=〔﹣∞，e+a]，又2e∈D，∴2e≤a+e，∴a≥e，那么a的最小值是e，应选：C．10．某几何体的三视如下，且该几何体的体积为，那么正视中x的值为〔〕A．B．2C．D．【考点】由三视求面积、体积．【分析】由三视知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一局部，画出直观求出几何体的棱，结合几何体的体积和柱体的体积公式列出方程，求出x即可．【解答】解：根据三视知几何体是：直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一局部，直观如下：其中AB=x，且BC=2，长方体底面的宽是，∵该几何体的体积为，∴=，解得x=，应选：D．11．正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对于任意的正整数n≥2 +=1，设数列{b n}满足b n=a sin，其前4n项和为T4n，那么满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，再求出b n，分别计算前4项和，5﹣8项和，9﹣12项和，找到规得到T4n递减，当n=2时，满足，问题得以．【解答】解：由题意可得，当n=2时+=1，∴=1，即a 22﹣a 2﹣6=0，解得a 2=3或a 2=﹣2〔舍去〕， 当n ≥2+=1，∴2〔S n +1〕+S n ﹣1•a n =a n 〔S n +1〕， ∴2〔S n +1〕+〔S n ﹣a n 〕a n =a n 〔S n +1〕， ∴2S n +2=a n 2+a n ，当n ≥3时，2S n ﹣1+2=a n ﹣12+a n ﹣1， 两式相减得2a n =a n 2+a n ﹣a n ﹣12﹣a n ﹣1， ∴a n +a n ﹣1=a n 2﹣a n ﹣12， ∵正项数列{a n }， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，〔n ≥3〕，∵a 2﹣a 1=1，∴数列{a n }是以2为首项吗，以1为公差的等差数列， ∴a n =2+〔n ﹣1〕=n +1， ∴b n =〔n +1〕2sin ，∴当n=1时，sin=1，n=2时，sin π=0，n=3时，sin=﹣1，n=4时，sin2π=0，∴b 1+b 2+b 3+b 4=4+0﹣16+0=﹣12， b 5+b 6+b 7+b 8=36+0﹣64+0=﹣28， b 9+b 10+b 11+b 12=102+0﹣122+0=﹣44， …b 4n ﹣3+b 4n ﹣2+b 4n ﹣1+b n =〔4n ﹣2〕2﹣〔4n 〕2=﹣2〔8n ﹣2〕=4﹣16n ＜0， ∴T 4n 递减，当n=2时，满足， 应选：B12．假设二次函数f 〔x 〕=x 2+1的象与曲线C ：g 〔x 〕=ae x +1〔a ＞0〕存在公共切线，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A ．〔0，] B ．〔0，] C ．[，+∞〕 D ．[，+∞〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】设公切线与f 〔x 〕、g 〔x 〕的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，别离出a 后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a 的取值范围． 【解答】解：设公切线与f 〔x 〕=x 2+1的象切于点〔x 1，〕，与曲线C ：g 〔x 〕=ae x +1切于点〔x 2，〕，∴2x 1===，化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，∵2x1=，且a＞0，∴x1＞0，那么2x2=x1+2＞2，即x2＞1，由2x1=得a==，设h〔x〕=〔x＞1〕，那么h′〔x〕=，∴h〔x〕在〔1，2〕上递增，在〔2，+∞〕上递减，∴h〔x〕max=h〔2〕=，∴实数a的取值范围为〔0，]，应选：A．二．填空题：本大题共4小题．每题5分．13．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=3，a n+1=2S n〔n≥1〕，那么S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n〔n≥1〕，可得S n+1﹣S n=2S n，即S n+1=3S n利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2S n〔n≥1〕，∴S n+1﹣S n=2S n，即S n+1=3S n，∴数列{S n}是等比数列，首项为S1=3，公比为q=3，∴S n=3•3n﹣1=3n．故答案为：3n．14．α∈〔0，〕，假设cos〔α+〕=，那么tan〔2α+〕=．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin〔α+〕=，由二倍角公式得tan[2〔α+〕]=，由两角差的正切公式得结果．【解答】解：∵cos〔α+〕=，α∈〔0，〕，∵cos2〔α+〕+sin2〔α+〕=1，α+∈〔，〕∴sin〔α+〕=，∴tan〔α+〕=，∴tan[2〔α+〕]==，∴tan〔2α+〕=tan〔2α+﹣〕=tan[2〔α+〕﹣]=．15．点A、F分别是椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的上顶点和左焦点，假设AF与圆O：x2+y2=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，那么椭圆C的标准方程为=1．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】如下，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|2=|TF||AT|，解得m．又|OT|=2，可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2，即可得出．【解答】解：如下，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|2=|TF||AT|，∴4=2m2，解得m=．又|OT|=2，∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C的标准方程为=1．故答案为：=1．16．将三项式〔x2+x+1〕n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：〔x2+x+1〕0=1〔x2+x+1〕1=x2+x+1〔x2+x+1〕2=x4+2x3+3x2+2x+1〔x2+x+1〕3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数〔缺乏3数的，缺少的数计为0〕之和，第k行共有2k+1个数．假设在〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为75，那么实数a的值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，所以a=1．故答案为：1．三．解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．〔1〕假设△BCD的面积为，求线段CD的长；〔2〕假设DE=，求角A的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】〔1〕先根据三角形的内角A，B，C成等差数列，求出B的度数，再根据三角的面积公式求出BD，再根据余弦定理即可求出，〔2〕根据垂直平分线的性质得到AC=2AE=，再根据正弦定理，即可求出答案．【解答】解：〔1〕三角形的内角A，B，C成等差数列，那么有2B=A+C．又A+B+C=180°，∴B=60°，∵△BCD的面积为，a=2∴BD•BC•sin60°=，∴BD=，由余弦定理，CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=，∴CD=，〔2〕∵线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点，DE=，∴AE=，∴AC=2AE=2×=，由正弦定理可得=，即=，∴cosA=，∵0＜A＜180°，∴A=45°18．如，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．〔I〕求证：AB⊥B1C；〔Ⅱ〕假设AB=B1C=2，BC=，求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】〔1〕取AB中点，连接OC，OB1，证明AB⊥平面OCB1，即可证明．AB⊥B1C；〔2〕建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正弦值即可．【解答】解：〔1〕∵四边形AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形，取AB中点，连接OC，OB1，那么AB⊥OB1，∵CA=CB，∴AB⊥OC，∵OC∩OB1=O，OB1，OC⊂平面OB1C，∴AB⊥平面OCB1，∴AB⊥B1C；〔2〕∵△ABB1是等边三角形，AB=2，∴OB1=，∵在△ABC中，AB=2，BC=AC=，O为AB的中点，∴OC=1，∵B1C=2，0B1=，∴OB12+OC2=B1C2，∴OB1⊥OC，∵OB1⊥AB，∴OB1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OB，OC，OB1的方向为x，y，z轴的正向，建立如下的坐标系，可得A〔﹣1，0，0〕，B1〔0，0，〕，B〔1，0，0〕，C〔0，1，0〕，那么=+=+=〔﹣1，1，〕，那么C〔﹣1，1，〕，=〔1，0，〕，=〔0，1，〕，那么平面BAB1的一个法向量为=〔0，1，0〕，设=〔x，y，z〕为平面AB1C1的法向量，那么：•=x +z=0 •=y +z=0，令z=﹣1，那么x=y=，可得=〔，，﹣1〕，故cos ＜，＞==，那么sin ＜，＞==，即二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值是．19．2021 年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2021年1月1日起正式施行．某地方案生育部门为了理解当地家庭对“全面二胎〞的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进展问卷调查．统计如表：居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735855〔注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高〕〔Ⅰ〕列出该地得分为100分的居民编号；〔Ⅱ〕该地区方案生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶，试通过茎叶中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎〞的赞同程度〔不要求算出详细数值，给出结论即可〕；〔Ⅲ〕将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度〞．当地方案生育部门想更进一步理解城市居民“持赞同态度〞居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．〔i〕求每次抽取1人，抽到“持赞同态度〞居民的概率；〔ii〕假设设被抽到的4人“持赞同态度〞的人数为ξ．每次抽取结果互相独立，求ξ的分布列、期望E〔ξ〕及其方差D〔ξ〕．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算根本领件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】〔Ⅰ〕数列{a n}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a n}为等差数列，即可求出答案；〔Ⅱ〕根据茎叶和平均数中位数即可判断农村居民“全面二胎〞的赞同程度要高于城市居民；〔Ⅲ〕〔i〕城市居民“持赞同态度〞的居民有12人，即可求出答案，〔ii〕由题意知ξ～B〔4，〕，故ξ的分步列如下表，根据数学期望和方差的计算公式计算即可．【解答】解：〔Ⅰ〕记数列{a n}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a n}为等差数列，公差d=10，且a3=28，得到为100分的居民编号分别对应为a6，a9，那么a6=a3+3d=58，a9=a3+6d=88，所以得分为100分的居民编号分别为58，88，〔Ⅱ〕通过茎叶可以看出，该地区农村居民问卷得分的平均值明显高于城市居民问卷得分的平均值，农村居民问卷得分的中位数为〔94+96〕=95，城市居民问卷得分的中位数为〔72+73〕=72.5，农村居民问卷得分的中位数明显高于城市居民问卷得分的中位数，所以农村居民“全面二胎〞的赞同程度要高于城市居民；〔Ⅲ〕〔i〕城市居民“持赞同态度〞的居民有12人，每次抽到“持赞同态度〞居民的概率为=，〔ii〕由题意知ξ～B〔4，〕，故ξ的分步列如下表，ξ0 1 2 3 4PE〔ξ〕=4×=所以D〔ξ〕=np〔1﹣p〕=4××=20．点M是抛物线C1：y2=2px〔p＞0〕的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，〔x一1〕2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．〔I〕求抛物线C1的标准方程；〔Ⅱ〕求△APB面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】〔I〕求出M〔﹣，0〕，可得=，即可求抛物线C1的标准方程；〔Ⅱ〕设P〔x0，y0〕，A〔0，b〕，B〔0，c〕，求得直线PA的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PAB的面积，结合根本不等式，即可得到最小值．【解答】解：〔I〕由题意，C2〔1，0〕，∵|MC2|=3|OM|，∴M〔﹣，0〕，∴=，∴p=1，∴抛物线C1的标准方程是y2=2x；〔Ⅱ〕设P〔x0，y0〕，A〔0，b〕，B〔0，c〕，直线PA的方程为：〔y0﹣b〕x﹣x0y+x0b=0，又圆心〔1，0〕到PA的间隔为1，即=1，整理得：〔x0﹣2〕b2+2y0b﹣x0=0，同理可得：〔x0﹣2〕c2+2y0c﹣x0=0，所以，可知b，c是方程〔x0﹣2〕x2+2y0x﹣x0=0的两根，所以b+c=，bc=，依题意bc＜0，即x0＞2，那么〔c﹣b〕2=，因为y02=2x0，所以：|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=〔x0﹣2〕++4≥8当x0=4时上式获得等号，所以△PAB面积最小值为8．21．函数f〔x〕=x3﹣x2+ax+2，g〔x〕=lnx﹣bx，且曲线y=f〔x〕在点〔0，2〕处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，求证：f〔mn〕＞f〔e2〕〔其中e为自然对数的底数〕．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的断定定理．【分析】〔Ⅰ〕求出f〔x〕的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式可得a=3：〔Ⅱ〕求出f〔x〕的导数，可得f〔x〕在R上递增，要证f〔mn〕＞f〔e2〕，只需证mn＞e2，m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，可得lnm=bm，lnn=bn，相加减，可得ln〔mn〕=ln•=ln•，设m＞n＞0，令t=＞1，那么h〔t〕=lnt•，只需证得当t＞1时，h〔t〕＞2．设φ〔t〕=lnt+﹣2，求得导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=x3﹣x2+ax+2的导数为f′〔x〕=x2﹣2x+a，可得曲线y=f〔x〕在点〔0，2〕处的切线斜率为k=a，由两点的斜率可得=a，解得a=3；〔Ⅱ〕证明：f〔x〕=x3﹣x2+x+2的导数为f′〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2≥0，即有f〔x〕在R上递增，要证f〔mn〕＞f〔e2〕，只需证mn＞e2，m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，可得lnm=bm，lnn=bn，相减可得lnm﹣lnn=b〔m﹣n〕，相加可得lnm+lnn=b〔m+n〕，可得b==，即有ln〔mn〕=ln•=ln•，设m＞n＞0，令t=＞1，那么h〔t〕=lnt•，下证当t＞1时，h〔t〕＞2．即当t＞1时，lnt•＞2，即lnt＞=2〔1﹣〕，只需证t＞1时，lnt+﹣2＞0，设φ〔t〕=lnt+﹣2，那么φ′〔t〕=﹣=＞0，即φ〔t〕在〔1，+∞〕递增，可得φ〔t〕＞φ〔1〕=0，即ln〔mn〕＞2，故f〔mn〕＞f〔e2〕．[选修4-1：几何证明选讲]22．如，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC 和AD相交于点F．〔I〕求证：AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕假设D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与断定．【分析】〔I〕连接CD，证明：△CFD∽△ACD，得到，即可证明AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB，即可求∠BAC．【解答】〔I〕证明：连接CD，∵直线ED与圆相切于点D，∴∠EDC=∠EAD，∵ED∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EAD=∠DCB，∴∠CAD=∠DCF，∵∠CDF=∠ADC，∴△CFD∽△ACD，∴，∴AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕解：∵D、E、C、F四点共圆，∴∠CFA=∠CED，∵ED∥BC，∴∠ACF=∠CED，∴∠ACF=∠CFA．由〔I〕可知∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DAB，∴∠EAD=∠DAB，设∠EAD=∠DAB=x，那么∠ABC=∠CAB=2x，∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x，∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数，φ∈[0，]〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．〔I〕求圆C的极坐标方程；〔Ⅱ〕求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔I〕由圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，即，半径为2，可得圆的标准方程为：=4，展开利用互化公式即可化为极坐标方程．〔II〕把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，利用根与系数的关系可得：|MN|=|t1﹣t2|=，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：〔I〕由圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，即，半径为2，可得圆的标准方程为：=4，展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．〔II〕把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，∴t1+t2=﹣2cosφ，t1t2=﹣3．∴|MN|=|t1﹣t2|==2，∵φ∈[0，]，∴cosφ∈，cos2φ∈．∴|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．〔I〕当a=1时，解不等式f〔x〕≤2；〔Ⅱ〕当a=3时，假设f〔x〕≥m恒成立，务实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】〔Ⅰ〕a=1时，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；〔Ⅱ〕a=3时，通过讨论x的范围，求出f〔x〕的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕a=1时，f〔x〕=2|x﹣1|+|x﹣2|=，x≤1时，4﹣3x≤2，解得：≤x≤1，1＜x＜2时，x≤2，∴1＜x＜2，x≥2时，3x﹣4≤2，∴x=2，综上，不等式的解集是{x|≤x≤2}；〔Ⅱ〕a=3时，f〔x〕=，x≤1时，6﹣3x≥3，∴f〔x〕≥3，1＜x≤2时，2≤4﹣x＜3，∴2≤f〔x〕＜3，2＜x≤3时，2＜f〔x〕≤3，x＞3时，3x﹣6＞3，∴f〔x〕＞3，综上，x=2时，f〔x〕的最小值是2，假设f〔x〕≥m恒成立，那么m≤2，故实数m的范围是〔﹣∞，2]．2021年9月8日。
河北衡水金卷2021-2022学年高三下学期联合考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 2．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．323．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦5．设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭6．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π48．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆9．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．3210．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．65-D ．6511．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷(十)理科数学
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷（十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设,m n ∈R ，则“n m ≥”是“121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-nm ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数1i 1ia ++为纯虚数（i 为虚数单位,a 为实数），则2a 的值为 A ．4 B ．9 C ．41D ．13．某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为A ．650B ．660C ．680D ．700 4. 已知α满足31)2cos(-=+απ，则cos2=α A ．79 B ．127 C ．79- D ．718- 5. 方程02)4(22=----y x y x 表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）A B C D6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为 A ．七尺五寸 B ．六尺五寸 C ．五尺五寸 D ．四尺五寸7. 设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是 A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,31 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8. 2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为．A ．12种B ．16种C ．18种D ．20种9. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=-0,30,3)(x x x f x x ，若21log 5a f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，)2.4(log 2f b =，)2(7.0f c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<10. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为6，且该三棱柱外接球的表面积为π14，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为A ．π3 B ．4π C ．6π D ．5π12 11. 已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2122a PF PF -=⋅，则双曲线离心率的最小值为 A ．6 B ．5 C ．3 D ．212. 已知函数(),ln(2)ln ,f x y x ax y x y =+-若存在,(0,)x y ∈+∞使得(),0f x y =，则实数a 的最大值为 A ．1eB ．12eC ．13eD ．2e第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(九)数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知全集U =R ，集合{}{}2|1,|0A x x B x x =≥=>，则()()U U C A C B ⋂（ ）A. ()1,1-B. (]0,1C. ()1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式解法得到集合A ，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，{}|11A x x x =≥≤-或，{}|11U C A x x =-<<，{}|0U C B x x =≤， ∴()()(]1,0U U C A C B =-.【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题. 2.若12z i =+，则41izz =- A. 1 B. -1C. iD. -i【答案】C 【解析】 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3.已知a b →→==，且2a b →→⎛⎫- ⎪⎝⎭与a →垂直，则a →与b →的夹角是（ ）A.3πB.6π C.34π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义即可求解.【详解】解：22224cos 0a b a a a b θ→→→→→→⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭得1cos 2θ=，求得a 与b 的夹角是3π. 故选：A .【点睛】本题考查向量数量积的定义及运算，属于基本题. 4.已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（ ） A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D.【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较c 与2的大小关系，再利用指数函数的单调性得出2a b >>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2xy =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，c b a <<. 故选：A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.5.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m n B. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α D. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系． 6.()73111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（ ） A. -7 B. 28C. 35D. 42【答案】B 【解析】 【分析】()71x +的通项为17r rr T C x +=,令3,6r r ==分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式()71x +的通项为17r rr T C x +=，分别令3,6r r ==，则3x 的系数为367728C C -=.故选B.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A. 20202021 B.20182020 C. 20182019D. 20212020【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式及728S =，可得4a 的值.代入22a =由等差数列通项公式，即可求得首项与公差，进而得数列{}n a 的通项公式.结合裂项求和法即得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =， 由等差数列前n 项和公式可得74728S a == 所以44a =，结合22a =，由等差数列通项公式可得4121342a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，由等差数列通项公式可得()111n a n n =+-⨯=， 则()1111n n a a n n +=+. 所以122334202020211111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+ 111112233420202021=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯111111112233420202021=-+-+-+⋅⋅⋅+-20202021=. 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.8.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A.2m nm+ B.2m nn+ C.24m nm+ D.22m nn+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据在区间()0,1内随机取2m 个数，则有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为 1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解. 【详解】依题有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，构成如图阴影部分，其面积为1 42π-，由几何概型概率计算公式得1421nmπ-=，解得24m nmπ+=.故选：C【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9.函数()1sin1xxef x xe+=⋅-的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x趋近0时判断.【详解】()1sin1xxef x xe+=⋅-的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()11sin sin11x xx xe ef x x xe e--++-=⋅-=⋅--，()f x ∴是偶函数，排除A ，C .又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 0x >，∴此时()0f x >，排除D ，故选：B .【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.10.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A. 1,2B. 1,4⎛ ⎝⎦C. ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D. 2,【答案】B 【解析】由题意得，(,0),(2,0)A a F a ，设00(,)bx aP x ，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+= ,因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即2222222994209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则14e <≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.11.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A. 136ω=B. 116ω=C. 74ω=D. 34ω=【答案】A 【解析】 【分析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案.【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕωππ-<-， 所以5342222ππωππ-<-，即15783ω<，满足的只有A. 故选：A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.12.在正四棱锥P ABCD -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为060，给出下面三个命题：1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧面积为4+； 2p ：若,E F 分别为,PC AD 的中点，则//EF 平面PAB ；3p ：若,,,,P A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π倍.在下列命题中，为真命题的是（ ） A. 23p p ∧ B. 12()p p ∨⌝ C. 13p p ∧D.23()p p ∧⌝【答案】A 【解析】因为异面直线PB 与AD 所成的角为60︒，AD 平行于BC ，故角PBC=60︒，正四棱锥-ABCD P 中，PB=PC ，故三角形PBC 是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为1p 是假命题；取BC 的中点G ，,E F 分别为,PC AD 的中点故得//,//AB FG PB EG ，故平面EFG//平面PAB ，从而得到EF//平面PAB ，故2p 是真命题；设AB=a, AC 和BD 的交点为O ，则PO 垂直于地面ABCD ，PA ＝ａ，AO＝２，PO＝２O，表面积为22πa ,又正方形的面积为2a ,故3p 为真． 故23p p ∧为真； ()12p p ∨⌝ 13p p ∧ ()23p p ∧⌝均为假． 故答案为A ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.） 13.已知3sinα＝1，则2sin cos αα的值为_____．【答案】37． 【解析】 【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式可得cos2α的值，进而得解． 【详解】∵ 3sin α＝1，∴ 1sin 3α=，可得cos2α＝212sin α-＝27199-=， ∴1sin 337cos279αα==． 故答案为：37．【点睛】本小题主要考查二倍角公式的运用，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足11a =，且()*11009n n a a n n N ++=-∈，该数列的前m 项和为n S ，则2019S =______. 【答案】1010【解析】 【分析】利用()()()20191234520182019...S a a a a a a a =+++++++即可求解. 【详解】解：()()()20191234520182019...S a a a a a a a =+++++++ ()()()12100941009...20181009=+-+-++-()()1009100910071100710051003...1 (1009110102)⨯-=+----+++=+=.故答案为： 1010.【点睛】本题考查数列求和的并项求和方法，属于基础题.15.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：十万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.【答案】1.6 【解析】 【分析】设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.即()()2222125125257.2x x x x x x x x +++-++++=，再利用21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4求解.【详解】依题意，得22212520x x x +++=.设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=，即22201057.2x x -+=，1.6x ∴=.故答案为：1.6【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.16.已知函数()ln xf x m x=-，若()()220f k f k --=有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】1121,1e e ⎧⎫⎛⎫-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【解析】 【分析】原题等价于()2f k =或()1f k =-，即有2lnk m k =+或1lnk m k =-，则条件等价于①2lnkm k=+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解；③2lnkm k=+无解，1lnkm k=-有2解；作出函数()lnk g x k =的图象，数形结合即可【详解】解：2()()20f k f k --=可化为[()2][()1]0f k f k -+=，解得()2f k =或()1f k =-， 即有2lnk m k =+或1lnkm k=-，则方程2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，等价于： ①2lnk m k =+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解；③2lnk m k=+无解，1lnkm k=-有2解； 令函数()lnx g x x=，(0)x >，21()0lnxg x x -'==时，x e =，即有()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，()max g x g =（e ）1e=， 作出函数()g x 的图象如图：则①2lnk m k =+有2解，1lnk m k =-无解，此时10211m em e ⎧<+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，此时无解，舍去； ②2lnk m k =+有1解，1lnkm k =-有1解，此时因为21m m +>-，则需1210m e m ⎧+=⎪⎨⎪-≤⎩，解得12m e=-；③2lnk m k =+无解，1lnk m k =-有2解，此时12101m em e ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得111m e <<+， 综上，11{2}(1,1)m e e ∈-⋃+，故答案为：11{2}(1,1)e e-⋃+．【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2cos cos a c bC B-=. （1）求角B 的大小； （2）设3b =ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）33【解析】 【分析】（1）由2cos cos a c bC B -=边化角得：2sin sin sin cos cos A C B C B-=，即2sin cos sin A B A =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而求出角B ；（2）因为b =3B π=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，得2()33a c ac +=+，再结合基本不等式得到223()()3334a c a c ac ++=++，23a c <+，从而求出ABC ∆周长的最大值． 【详解】解：（1）2cos cos a c bC B-=． 由正弦定理，边化角得：2sin sin sin cos cos A C BC B-=，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，又A B C π++=，sin()sin B C A ∴+=，2sin cos sin A B A ∴=，又(0,)A π∈，sin 0A ≠， 1cos 2B ∴=，又(0,)B π∈， 3B π∴=；（2）3b =，3B π=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，223a c ac ∴+-=，2()33a c ac ∴+=+，0a >，0c >，2()4a c ac+∴， ∴223()()3334a c a c ac ++=++，2()12a c ∴+，又b =∴23a c +，所以ABC ∆周长的最大值为a b c ===时取到最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理综合应用，是基础题． 18.已知菱形ABCD 的边长为4,ACBD O =,60ABC ∠=︒,将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,使AC a =,得到三棱锥A BCD -,如图所示.⇒(1)当22a =时,求证:AO ⊥平面BCD ;(2)当二面角A BD C --的大小为120︒时,求直线AD 与平面ABC 所成的正切值. 【答案】（1）见解析； （2）3010. 【解析】 【分析】(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.(2)由于平面ABC 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以O 为原点建系,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴,求出平面ABC 的法向量n ,求解AD 和n 的夹角,即可求得答案. 【详解】(1)在AOC △中,2,22OA OC AC a ====,222OA OC AC ∴+=90AOC ︒∴∠=,即AO OC ⊥,AO BD ⊥,且AO BD O =, AO ∴⊥平面BCD .(2)由(1)知,OC OD ⊥,以O 为原点,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴 建立如图的空间直角坐标系O xyz -:则(0,0,0),(0,(2,0,0),(0,Q B C D -.,AO BD CO BD ⊥⊥AOC ∴∠为二面角A BD C --的平面角,120AOC ︒∴∠=∴点(A -(1,AD =,(1,BA =-,(2,BC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =,则∴ 00n BC n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩故20x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取1x =,则y z =-= ∴31,3n ⎛=- ⎝ 设直线AD 与平面ABC 所成的角为θ,||sin ||||134AD nAD n θ⋅===cos θ∴==sintan cos θθθ∴===∴ 直线AD 与平面ABC 所成的正切值:10.【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 19.某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关 男生 女生 合计 安全通 非安全通 合计（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：参考公式22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P k k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“安全通”与性别有关（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据，计算并填写好22⨯列联表.计算出2K 的值，由此判断没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.（2）根据相互独立事件概率乘法公式，结合男生、女生中安全通的人数，计算出分布列，进而求得数学期望.【详解】（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为6人，非“安全通”为14人，男生样本中“安全通”人数为(0.0350.025)102012+⨯⨯=人，非“安全通”的人数为8人，列出22⨯列联表如下：假设0H ：“安全通”与性别无关， 所以2K的观测值为240(681214) 3.636 3.84120201822k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.（2）由题知，随机选1女生为“安全通”的概率为0.3，选1男生为“安全通”的概率为0.6，X 的可能取值为0，1，2，3，4，22(0)(10.3)(10.6)0.0784P X ==--=，122122(1)0.3(10.3)(10.6)(10.3)0.6(10.6)0.3024P X C C ==--+--=，22112222(2)0.3(10.6)0.3(10.3)0.6(10.6)(10.3)0.60.3924P X C C ==-+--+-=， 122122(3)0.3(10.3)0.60.30.6(10.6)0.1944P X C C ==-+-=，22(4)0.30.60.0324P X ==⨯=，所以X 的分布列为所以()00.078410.302420.392430.194440.0324 1.8E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查茎叶图与直方图的应用，考查22⨯列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】 【分析】 （1）由题得2c b a ==，222a b c =+，解之即得椭圆的方程；（2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，联立直线BE 的方程和椭圆的方程求出21121838D y x xy -=-， 312138D y y y -=-，证明1AB AD k k =-，ABD ∆是直角三角形即得证.【详解】（1）依题意可得2c b a ==，所以2222222212c a b a a a a --===， 得2a =，所以椭圆的方程是22142x y += .（2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ， 直线BE 的方程为()1112y y x x x =-，与22142x y +=联立得 222211*********y y y x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 因为D x ，1x -是方程的两个解，所以()212211122211121482212D y y x x x x y y x ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为2211142x y +=，所以21121838D y x x y -=-，代入直线方程得312138D y y y -=-3112211122111112138241838AB ADy y y y y k k y x x x x y +--===----所以AB AD ⊥，即ABD ∆是直角三角形.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数()f x 为反比例函数,曲线()()cos g x f x x b =+在2x π=处的切线方程为62y x π=-+.（1）求()g x 的解析式; （2）判断函数3()()12F x g x π=+-在区间(0,2]π内的零点的个数,并证明. 【答案】（1）3cos ()1xg x x=-； （2）函数()F x 在(0,2)π上有3个零点. 【解析】 【分析】 (1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+,直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2(sin cos )()a x x x g x x '-+=,所以3a =,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,即可求得()g x 的解析式;(2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.因为33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=-,则23(sin cos )()x x x F x x'-+=,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案. 【详解】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a xg x b x =+, 直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫-⎪⎝⎭2(sin cos )()a x x x g x x'-+=, 则26,2ag πππ-⎛⎫'==-⎪⎝⎭, 3a ∴=,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ∴ 3cos ()1xg x x=-. (2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.证明:33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=- 则23(sin cos )()x x x F x x'-+=又330,06222F F ππππ⎛⎫⎛⎫=->=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()F x 在(0,]2π上至少有一个零点,又()F x 在(0,]2π上单调递减,故在(0,]2π上只有一个零点,当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,cos 0x <,故()0F x <, 所以函数()F x 在3(,)22ππ上无零点.当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,令()sin cos ,()cos 0h x x x x h x x x '=+=>, ∴ ()h x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,3(2)0,02h h ππ⎛⎫><⎪⎝⎭,∴ 03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()F x 在03,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在(]0,2x π上单调递减. 又3(2)0,02F F ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭, ∴函数()F x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上所述,函数()F x (0,2)π上有3个零点.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为42x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的最小值.【答案】（1）42y x =-，2212y x +=；（2. 【解析】分析】（1）消参可得直线的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）设点Q 的坐标为()cos ββ，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.【详解】（1）直线l 的普通方程为42y x =- 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2212y x +=（2）曲线的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩设点Q的坐标为()cos ββ5PQ =≥=故PQ的最小值为5-. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()2|1||2|f x x x =++-．（1）解不等式()6f x ；（2）设函数()f x 的最小值为m ，已知0a >，0b >且2ab a b m +-=+，求+a b 的最小值．【答案】（1）{|22}x x -≤≤；（2）4.【解析】【分析】（1）先化简函数3,1()4,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，分类讨论，即可求得不等式的解集 ；（2）由（1），求得函数()f x 的最小值，得到3m =，得到5ab a b +-=，进而(1)(1)4a b -+=，再结合基本不等式，即可求解+a b 的最小值，得到答案.【详解】（1）由题意，函数3,1()2124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，所以当1x ≤-时，由36x -≤，解得21x -≤≤-；当12x -<<时，由36x ≤，解得12x -<<；当2x ≥时，由36x ≤，解得2x =，所以不等式()6f x 的解集为{|22}x x -≤≤.（2）由（1）知3,1()4,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，可得函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()13f -=，即3m =，所以5ab a b +-=，即(1)(1)4a b -+=，因为0b >，则11b +>，又由(1)(1)40a b -+=>，所以10a ->，所以(1)(1)4a b a b +=-++≥=，当且仅当112a b -=+=，即3,1a b ==时，取得等号，所以+a b 的最小值为4.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，一次函数和分段函数的性质，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查推理与计算能力.。
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(二十)数学
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（二十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB =A ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,+∞D ．[)3,+∞2． 在复平面内，复数12ii-对应点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3． 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是A ．()2f x x =B ．()2xf x = C ．()21log 1f x x =+ D ．()2f x x =-4． 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =A ．35 B ．35- C ．5D ．5-5． 函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是A ．20ex y e --=B ．230ex y e --=C ． 20ex y e +-=D ．230ex y e +-=6． 在区间⎡-⎣上随机取一个数k ，则直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为A ．13B C ．14D ．127．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱8． “克拉茨猜想” 又称“ 31n +猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为 • • • • • A (1,3)B (2,4)C (4,5)D (3,10)E (10,12)y xOA ．2B ．3C ．4D ．510． 已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若22()0OP OF PF +=且2PF Q ∆周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为 A ．2BCD．11． 已知数列{}n a ，2sin 2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为A ．5000B ． 5000-C ． 5050D ．5050-12． 已知ABC ∆中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ +=，且12AH AC =，则 A．7B．C．3D．二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若2sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin 2θ= ． 14． 已知a ∈R ，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为 ．15． 直线l 过抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为 ．16． 在三棱锥S ABC -中，2,2,AB BC AC SB ====SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为 ，三棱锥S ABC -的内切球半径为 ．BH =2-2O125π1211πxy三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共60分．17． 函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示． （1） 求函数()f x 的解析式；（2） 若26()f x =，且324x ππ<<，求cos2x ．18． 如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，2PA =，PA ⊥ 底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点．（1） 求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2） 在线段PB 上是否存在点G ，使得三棱锥B AEG -3？ 若存在，确定点G 的位置； 若不存在，请说明理由．19． 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x （单位：小时）与高三下学期期中考试数学解答题得分y ，数据如下表：x2 4 6 8 10 12 y303844485054（1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间x 的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；（2） 从这6人中任选2人，求这2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率.PAG FBE C参考公式：ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x xx nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：612008i ii x y==∑，621364i i x ==∑，44y =20． 函数2(1)=ln 1x f x x x --+（） （1） 求证：函数f x （）在(0,)+∞上单调递增；（2） 若,m n 为两个不等的正数，求证ln ln m n m n ->-2m n+．21． 已知椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆1C 过点()1,0．（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若过点M ()2,0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆1C 没有公共点，设G 为椭圆C 上一点，满足()OA OB tOG +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1） 写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2） 若(1,0)P -，求11AP BP+的值．23． 选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x a x =+--和函数()21xg x =-+.（1） 当2a =时，求关于x 的不等式()1f x ≥-的解集；（2） 若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．数学试卷参考答案一、选择题：13.1725-；14. ()12,0-；15. ；16.2，47.三、解答题：17. （1）由图像可知……….3分代入点，得………6分（2）由题意知………8分………12分18. （1）因为PA⊥底面ABC，BE⊂底面ABC所以PA BE⊥，……….2分又因为BE AC⊥，PA AC A=所以BE⊥平面PAC, (4)分因为BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC………… 5分2,2Aω==5,212π⎛⎫⎪⎝⎭()2sin23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭272336xπππ<-<cos2cos2336x xππ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭（2）过G 作GH AB ⊥PA ⊥面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC又面PAB ⋂面ABC=AB ，GH ∴⊥面ABC ………… 7分6B AEG G ABE V V --==，136ABE GH S ∆∴⋅=且2ABE S ∆=， ………… 9分 1GH ∴=， ………… 11分 G ∴为PB 中点 ………… 12分19.（1）7x =………… 1分167=………… 4分28=16ˆ287yx ∴=+ …………5分 a y bx =-()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑当7x =时，ˆ44y= …………6分（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A ” ………7分所有基本事件如下：（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10），（4，12）， （6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12） 共15个基本事件 …………… 9分事件A 包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8），（6，10）（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共12个基本事件 ………… 11分所以124()155P A == ………… 12分20. （1）22214(1)0(1)(1)x f x x x x x -'-=≥++（）=………………………………………………………3分∴ f x （）在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………….5分（2）不妨设m n >ln ln m n m n --2-m n +=12ln -m-n m m n n m n -⎛⎫ ⎪+⎝⎭（）211ln -m-n 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪+⎝⎭（） 令1m t n =>，设2-1()ln -1t h t t t=+（）， ……………………………….7分()()h t f t =由（1）知在(0,)+∞上单调递增，(1)0,1()0h t h t =>∴>，…………….10分又m n >，∴ln ln m n m n --2m n>+， …………………………………12分21．（1）依题意：1,b a == …………….2分所以椭圆方程为22 1.2x y += ………………..4分（2）由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：2x ny =+22212x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)420.n y ny +++=由28160n ∆=->得 22n >， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理12122242,.22n y y y y n n -+==++ ……………6分因为OA OB tOG +=，所以2284(,)(2)(2)n G t n t n -++ 因为G 点在椭圆上2222222642162(2)(2)n t n t n ⨯∴+=++得22162t n =+ …………8分1>，所以223n << ………….10分(2,(2).55t ∴∈--⋃ ………….12分 22. （1）直线的直角方程为， ……….2分曲线的直角坐标方程 ……….4分 （2）直线的参数方程可化为 ……….6分 代入曲线可得 ……….8分所以 ……….10分23. （1）2a=时，当2x <-时，()3f x =-1≥-，x 无解； ……………1分当21x -≤≤时，()211f x x =+≥-，11x -≤≤； ……………2分当1x >时，()31f x =≥-恒成立，1x >； ……………3分综上，()1f x ≥-的解集为{}1x x ≥-. ……………5分10x y ++=()22:24C x y ++=()122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数230t -=1212113t t AP BP t t -+==（2）()()()111f x x a x x a x a =+--≤+--=+， ……………6分()()21,1x g x =-+∈-∞， ……………7分由题意知，()f x 的值域是()g x 的值域的子集，即11a +≤， ……………9分 a ∴实数的取值范围为20a -<<. ……………10 分。
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(三十)数学
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（三十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合142xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 则=N M ( ). A ．{|2}x x - B ．}1|{->x x C ．}1|{-<x x D ．{|2}x x-2.设i 为虚数单位，复数2i=1i+( ). A ．1i -+B ．1i --C ．1i -D ．1i +3.下列结论中正确的是( ).①命题：3(0,2),3xx x ∀∈>的否定是3(0,2),3xx x ∃∈；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；③若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线方程为( ).A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=5.某产品的研发费用x 万元与销售利润y 万元的统计数据如表所示，研发费用x （万元） 4235利润y （万元）49 26 39 m根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则ˆ,am =( ). A. ˆ9.1,54am == B. ˆ9.1,53a m == C. ˆ9.4,52am == D. ˆ9.2,54a m == 6.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A =，sin b Bc=( ). A ．12B ． 1C ．2D ．37.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ). A ．45425++ B ．525222++C ．252233++ D ．25223++8.若实数,x y 满足不等式组5230,10y x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则2z x y =+的最大值是 ( ).A ．1 0B ．1 1C ．1 3D ．1 49.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2210x y +=内的有( ).A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()x f 在1x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图像可能是( ).D.C.A.xO-1yxO -1y -1y xO -1y xO11.已知双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB △的内切圆半径为( ).A ．31-B ．31+C ．233-D ．233+12.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+.当[)0,2x ∈时,()22+4f x x x =-．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n *∈N ，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ( ). A. 1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n -- 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知6e 11d n x x =⎰，那么(2)n x x-的展开式中的常数项为 . 14.已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)+⊥-a b a b 且||2=a ，则b 在a 上的投影为 .15.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为___ ____.16.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosB （acosC +ccosA ）+b=0． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a=3，点D 在AC 边上且BD ⊥AC ，BD=，求c ．18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB=4，E 是AD 的中点．将△ABE 沿BE 折起使A 到点P 的位置，平面PEB ⊥平面BCDE ，如图2． （Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PEC ； （Ⅱ）求二面角B ﹣PE ﹣D 的余弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ﹣4sinθ=0． （Ⅰ）将直线l 写成参数方程（t 为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作倾斜角为30°的直线，交l 于点A ，求|AP |的最值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x 的不等式|x +1|+|2x ﹣1|≤3的解集为{x |m ≤x ≤n }． （I ）求实数m 、n 的值；（II ）设a 、b 、c 均为正数，且a +b +c=n ﹣m ，求++的最小值．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADDAADDDBDCB二、填空题13. 160- 14.331+ 15. 283π16. 32 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，由于：0＜B＜π，则：sinB≠0，解得：，所以：B=．（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，在直角△BCD中，若a=3，BD=，解得：，解得：，则：，，所以：cos∠ABD===，则：在Rt△ABD中，，=．故：c=518．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），∴，，=（，，﹣）．设平面PED的一个法向量为，由，令z=﹣1，则，又平面PBE的一个法向量为，则cos＜＞==．∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200K2=≈11.111＞6.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=（）3=，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）==，X的分布列为：X0123P（2）∵X～B（3，），∴E（X）=，D（X）=3×=．20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xe x，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）=0，h″（x）=e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t=1时，h″（x）=e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，∴t≠1，则h″（x）=e x（x+）（t﹣1），令h″（x）=0，则x=﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）=0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，综上，t的范围是（﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m=﹣1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，则++=（++）（a+b+c）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由韦达定理可得 ，且a2和a10均为负值，由等比数列的性质可得 ，故必要性满足充分性不满足.
【详解】∵由 ， 是方程 的两根，
∴ ，
∴a2和a10均为负值，
由等比数列的性质可知a6为负值,且 ，
∴ ，
故“ ”是“ ， 是方程 的两根”的必要不充分条件，
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
当 时 ,此时 ,z的对应点在实轴，
当 时 ,此时 ,z的对应点在第一象限，
∴ ，
∴当 时 取得最小值3，
故选:C.
【点睛】本题考查复数的幂运算及复数的几何)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析给定四个函数的奇偶性和单调性，可得答案．
6.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径为多少步？”现若向此三角形内投米粒，则米粒落在其内切圆内的概率为( )
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（三十）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合 ， ，能求出A∩B．
【详解】∵集合 ,
又
∴ ，
∴A∩B={0，1}.
故选：C.
【点睛】本题考查交集及其运算，结合函数定义域、值域知识的考查，属于基础题.
故选：B.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件，根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质、二次方程根与系数关系等进行判断即可，属于基础题.
5.设变量 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，然后分析 的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．
8.已知椭圆 的上焦点为 ， 是椭圆上一点，点 ，当点 在椭圆上运动时， 的最大值为( )
7.已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由分段函数的性质分析可得f（x）为在定义域的减函数，又由 ，分析可得答案．
【详解】因为函数 ，
当 且单调递减， ，
当 且单调递减， ，
为单调递减的奇函数，
， ， ，
，
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数的单调性与函数值大小比较，此类问题先判断函数的单调性，再根据自变量的大小关系确定答案，自变量为指对数时可以化同底或者利用特殊值判断大小，属于中等题.
【详解】函数 是偶函数，定义域 ，不满足条件；
函数 是奇函数，不满足条件；
函数 是偶函数,在 内单调递增，满足条件；
函数 是偶函数,又定义域 ，不满足条件；
故选：C.
【点睛】本题考查函数单调性的判断及函数奇偶性的判断，考点为从函数解析式看函数的基本性质，属于基础题.
4.在等比数列 中，“ ”是“ ， 是方程 的两根”的( )
2.在复平面内，若复数 所对应的点位于第一象限，则 的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的幂运算规律，分别计算 时z所对应的点位于的象限，可得 满足条件，求出最小值即可.
【详解】∵复数 ，
当 时 ,此时 ，z的对应点在实轴上，
当 时 ,此时 ,z的对应点在第四象限，
【详解】x，y满足的约束条件表示的平面区域如图为三角形 表示的区域，
A,C坐标为 ，
而 ,设点N ， 表示斜率，
由图可知 位置斜率最小为 ，
位置斜率最小为 ，
所以 ，
故选：A
【点睛】本题考查简单线性规划，先画出约束条件的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解，属于基础题.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求．
【详解】由题意，可得直角三角形，斜边长为25，
由等面积，可得内切圆半径 ，
∴向此三角形内投米，则落在其内切圆内的概率是 ，
故选：B.
【点睛】本题考查几何概型求概率，分别计算出所求面积与总面积作比即可，涉及平面几何知识的应用，属于基础题.
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。