第13讲 树和二叉树4
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。
而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。
本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。
二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空，也可以是一棵空树。
2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。
在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。
3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。
掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。
三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。
树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。
树中最顶层的节点称为根节点。
2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。
在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。
3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。
树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。
四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。
每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。
2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。
3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。
树与二叉树h
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
树和二叉树的知识点总结
树和二叉树的知识点总结一、树的基本概念1. 树的定义：树是一种非线性数据结构，由 n（n>=1）个结点组成的有限集合。
对于每个非终端节点，都有一个被称为根的结点，且除根节点外，其他结点可以分为 m（m>=0）个互不相交的子集合，而每个子集合本身又是一个树。
2. 树的基本特点：树是一种分层数据的抽象模型，具有层级关系的数据结构。
树的结点包括根结点、子节点、叶子结点、父节点等。
3. 树的术语解释：树的根节点是树的顶端结点，没有父节点；子节点是一个结点向下连接的结点；叶子结点是没有子节点的结点；父节点是有一个或多个子节点的结点。
二、树的分类1. 二叉树：一种特殊的树，每个结点最多有两个子结点，分别为左子结点和右子结点。
二叉树的子树有左子树和右子树，必须遵循左子树 < 根节点 < 右子树的顺序。
2. 平衡树：每个结点的左子树和右子树的高度之差不能超过1的二叉树。
3. 满二叉树：每个结点要么没有子节点，要么有两个子节点的二叉树。
4. 完全二叉树：除了最底层，所有层的结点数都达到最大，并且最底层的结点都依次从左到右排列。
三、二叉树的基本概念1. 二叉树的特点：每个结点最多有两个子结点，分别为左子结点和右子结点。
二叉树的子树都遵循左子树 < 根节点 < 右子树的顺序。
2. 二叉树的遍历：分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历先访问根节点，再递归左右子树；中序遍历先递归左子树，再访问根节点，最后递归右子树；后序遍历先递归左右子树，最后访问根节点。
3. 二叉树的存储：二叉树的存储方式可以采用链式存储和顺序存储。
链式存储是通过结点间的指针链接，顺序存储是通过数组或列表进行存储。
四、二叉树的应用1. 二叉搜索树：是一种特殊的二叉树结构，对于任意节点，其左子树上的结点值都小于该节点的值，右子树上的结点值都大于该节点的值。
2. 堆：是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆。
最大堆的每个结点的值都大于或等于其子节点的值，最小堆的每个结点的值都小于或等于其子节点的值。
树与二叉树的相关概念、特点
树与二叉树的相关概念、特点
树与二叉树是数据结构中常见的两种类型。
树是一种非线性的数据结构，由若干个节点组成。
每个节点都可以连接到多个子节点，形成分层结构。
树中有一个特殊的节点，称为根节点，用于表示整个树的起始点。
树的节点之间的关系是具有层次性的，即一个节点可以有多个子节点，但每个节点只能有一个父节点（除了根节点）。
二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空，此时表示为空树。
二叉树的子节点有左右之分，可以用于表示有序关系的数据结构，例如二叉查找树。
二叉树可以前序、中序和后序遍历，分别表示以根节点为中心，先处理根节点、先处理左子树和先处理右子树。
树与二叉树的特点包括：
1. 树和二叉树都是非线性结构，可以表示复杂的关系。
2. 树和二叉树都采用层次性的结构，节点之间有明确的父子关系。
3. 树中的节点可以拥有任意多个子节点，而二叉树中的节点最多只能有两个子节点。
4. 二叉树的左子节点和右子节点之间是有序的，可以用于实现查找等操作。
5. 二叉树可以方便地进行前序、中序和后序遍历操作，对数据的处理更加灵活。
6. 树和二叉树在实际应用中有广泛的应用，如数据库索引、文件系统、组织结构等。
数据结构PPT树和二叉树PPT学习教案
InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树
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删除类：
ClearTree(&T) // 将树清空 DestroyTree(&T) // 销毁树的结构 DeleteChild(&T, &p, i)
KL
M
任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林
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对比树型结构和线性结构 的结构特点
第19页/共188页
线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
树型结构
根结点 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
多个叶子结点 (无后继)
数据结构PPT树和二叉树
会计学
1
引言
数据结构可分为线性结构和非线性结构两大类。前面几 章主要研究的是线性结构。一般的，线性结构只能用来描 述数据元素之间的线性顺序关系，而很难反映元素之间的 层次(分支)关系。本章将要讨论一种非线性数据结构，所 谓非线性结构是指在结构中至少存在一个数据元素，它具 有两个或两个以上的直接后继或直接前驱。
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基本操作： 查找类 插入类 删除类
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查找类：
Root(T) // 求树的根结点 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) // 求当前结点的双亲结点 LeftChild(T, cur_e) // 求当前结点的最左孩子
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
树和二叉树知识考点整理
树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。
●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。
第四章-树和二叉树-说课教案
第五章树和二叉树说课教案姓名：仇环单位：信息工程系年级与科目：08级计算机应用《数据结构》课题：树和二叉树职称：讲师教龄：1年（各位老师下午好，我说课的题目是树和二叉树）说课的内容包括：一．教学大纲分析二．教材分析三、学情分析四．教学目标五、教学重点与难点六、教学方法七、教学过程八、教学效果预测及教学后记一、教学大纲分析：高职高专教育的人才培养特征是高级技术应用型人才，具体到计算机专业来说，就是培养从事计算机产品生产、维修和编程和实际应用的技术人才。
在计算机专业的课程体系中，《数据结构》不仅是一门重要的专业基础课程，而且是计算机程序设计重要的理论基础，更是计算机等级、专升本等考试的必考课程之一。
它在整个学科体系中具有重要作用，有着不可替代的地位。
本课程的教学不仅重视学生对理论知识的理解和掌握，锻炼学生抽象思维能力和想象能力，更注重实践动手的能力，要求学生能够设计出结构清晰、可读性好、运行效率高的算法，并能够用一种或多种计算机高级程序设计语言实现。
学好这门课程，对培养学生程序设计的能力、设计算法的能力和运用计算机进行数据处理的能力有着深远的意义。
其前导课程为：《C语言程序设计》或《C++语言》。
二、教材分析本教材属于“21世纪高职高专规划教材”，这套教材主要面向高职高专院校学生。
教材内容力求体现以应用为主体，强调理论知识的理解和运用，实现专科教学以实践体系及技术应用能力培养为主的目标。
1、教材特点：本教材的特点可总结为：（1）基础理论知识的阐述由浅入深、通俗易懂。
内容的组织和编排以应用为主线，省略了一些理论推导和数学证明过程，淡化了算法的设计分析和复杂的时空分析。
（2）各章都配有应用举例，列举分析了很多实用的例子，且大多数算法都直接给出了相应的C语言程序，以便上机练习和实践。
（3）便于复习和掌握每章的重点，每章的起始处都给出了要点，并在每章结尾处给出了小结。
2、教材内容：本书共分为8章。
第一章叙述数据、数据结构、算法等基本概念。
数据结构树和二叉树知识点总结
数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。
2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。
因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。
5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。
6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。
最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆常用于排序和优先队列。
7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。
Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。
以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。
树与二叉树哈夫曼树教案
树与二叉树哈夫曼树教案一、教学目标1. 了解树（Tree）和二叉树（Binary Tree）的概念；2.掌握树和二叉树的基本结构和操作；3. 理解哈夫曼树（Huffman Tree）的概念和应用；4.能够通过给定的数据构建哈夫曼树，并进行编码和解码操作。
二、教学内容1.树与二叉树1.1树的定义和基本术语1.2树的表示和操作1.3二叉树的定义和遍历方式1.4二叉树的应用示例2.哈夫曼树2.1哈夫曼树的定义和应用2.2构建哈夫曼树的算法2.3哈夫曼编码和解码的实现三、教学步骤与方法1.导入新知识通过提问与学生讨论，引导学生了解树与二叉树的概念，及其在现实生活中的应用场景。
2.介绍树与二叉树2.1形式化定义树的相关概念，如根节点、子节点、叶子节点等。
2.2介绍二叉树的相关概念，如二叉树的性质、三种遍历方式等。
3.树与二叉树的应用示例通过实际例子演示树与二叉树的应用，如目录结构、表达式求值等。
4.引入哈夫曼树4.1介绍哈夫曼树的概念和应用场景，如数据压缩。
4.2讲解构建哈夫曼树的算法，包括选择最小权值节点等。
4.3演示哈夫曼编码和解码的实现，让学生理解哈夫曼编码的原理和过程。
5.练习与巩固在课堂上进行与树、二叉树和哈夫曼树相关的练习，巩固学生对所学内容的理解。
6.小结与作业布置对本节课所学内容进行小结，并布置相关作业，让学生进行巩固和深化学习。
四、教学资源1. PowerPoint或电子白板2.示例代码和编程环境，用于演示和实践3.相关课堂练习题目和解答五、教学评估1.课堂练习表现评估，包括对树、二叉树和哈夫曼树的理解和应用能力；2.作业和实践项目的结果评估，包括构建哈夫曼树和实现哈夫曼编码的准确性和效率。
六、教学扩展1.拓展相关概念和应用，如平衡二叉树、B树等；2.引导学生进行更深层次的研究和实践，如自定义数据结构、更复杂的压缩算法等。
第十三章：二叉树
第十三章二叉树模型
引言
对期权定价时，一种实用并且很流行的方法是构 造二叉树（binomialtree)模型，二叉树是指代表在 期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形， 假设了股票价格服从随机游动（randomwalk）。 在树形上的每一步，股票价格以某种概率会向上 移动一定的比率，同时以某种概率会向下移动一定 的比率。 本章解释了用于期权定价的无套利假设的特征， 介绍了经常用于对美式期权及其他衍生品定价所采 用的二叉树值方法，引入了非常重要的风险中性定 价原理
第十三章二叉树模型
一、一步二叉树模型与无套利方法 假设一只股票的当前价格为20美元，并且己知在3个月后股票 的价格将会变为22美元或18美元，希望对期限为3个月、执行 价格21美元的欧式看涨期权进行定价。图1-1：本部分例子中 股票价格的变化
股票价格=22美元 期权价格=1美元
股票价格=20美元 股票价格=18美元 期权价格=0
2.0257 0 0.5064 22 18
如果在第一步后股票价格上涨，第二步的Delta为
3.2 0 0.7273 24.2 19.8
如果在第一步后股票价格下跌，在第二步的Delta为
00 0 19.8 16
由图1-6得出，在第一步后的Delta为
1.4147 9.4636 0.4024 60 40
（13-9）
第十三章二叉树模型
将式（13-7）和式（13-8）带入式（13-9），
我们得出
f e2rDt [ p2 fuu 2 p(1 p) fud (1 p )2 fdd ]
（13-10）
第十三章二叉树模型
四、看跌期权例子
例：考虑一个两年期执行价格为52美元的欧式看跌期权，
第13讲 非线性结构及数据结构应用举例
第十三讲非线性结构及数据结构应用实例参考书：①《计算机程序设计基础》②《数据结构（C语言版）》本讲主要内容•树和二叉树的概念•二叉树的基本性质•二叉树的链式存储结构•二叉树的应用举例•二叉树的算法举例－生成二叉排序树•二叉树的算法举例－中序遍历二叉树•二叉树的算法举例－先序遍历二叉树•二叉树的算法举例－后序遍历二叉树•数据结构应用实例讨论树和二叉树的概念•树的定义•二叉树的定义二叉树的基本性质•二叉树的五种基本形态•二叉树的性质•满二叉树•完全二叉树二叉树的链式存储结构•设计不同的结点结构可以构成不同形式的链式存储结构•struct tree{char info;struct tree *left;struct tree *right;}二叉树的应用举例•用二叉树表示表达式•二叉排序树二叉树的算法举例——生成二叉排序树•向二叉排序树中插入一个新结点——中序遍历二叉树——先序遍历二叉树——后序遍历二叉树数据结构应用实例讨论（一）——如何处理一个稀疏矩阵•表格单元存储结构：•实例：•功能：•方法：•主要子函数：13-1.c——文本编辑程序•功能：•处理方法•行存储结构——排序（应用二叉排序树）•程序功能：•分析：•程序：13-2.c作业•编写一简单的，功能如前所述。
单元格内容全部为字符串，不考虑公式计算。
改用有头结点的单向链表。
•从键盘输入若干学生的信息（人数不定），每条信息包括：姓名（字符串）、学号（整数）、班级（字符串），用二叉排序数对上述信息按姓名进行排序，并将排序后的信息存入文本文件中。
•选做：编写一个简单的，基本功能如前所述。
其它功能自行设计。
树、二叉树、查找算法总结
树、⼆叉树、查找算法总结树的定义形式化定义树：T={D，R }。
D是包含n个结点的有限集合（n≥0）。
当n=0时为空树，否则关系R满⾜以下条件:l 有且仅有⼀个结点d0∈D，它对于关系R来说没有前驱结点，结点d0称作树的根结点。
l 除根结点外，每个结点有且仅有⼀个前驱结点。
l D中每个结点可以有零个或多个后继结点。
递归定义树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合（记为T）。
其中：l 如果n=0，它是⼀棵空树，这是树的特例；l 如果n>0，这n个结点中存在⼀个唯⼀结点作为树的根结点（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限⼦集T1、T2、…、Tm，⽽每个⼦集本⾝⼜是⼀棵树，称为根结点root的⼦树。
ð 树中所有结点构成⼀种层次关系！树的基本术语度结点的度：⼀个结点的⼦树的个数树的度：各节点的度的最⼤值。
通常将度为m的树成为m次树或m叉树结点分⽀结点：度不为0的结点（也称⾮终端结点）度为1的结点成为单分⽀结点，度为2的结点称为双分⽀结点叶结点：度为0的结点路径与路径长度路径：两个结点di和dj的结点序列（di，di1，di2，…，dj）。
其中<dx，dy>是分⽀。
路径长度：等于路径所通过的结点数⽬减1（即路径上的分⽀数⽬）结点的层次和树⾼度层次：根结点层次为1，它的孩⼦结点层次为2。
以此类推。
树的⾼度（深度）：结点中的最⼤层次；有序树和⽆序树有序树：若树中各结点的⼦树是按照⼀定的次序从左向右安排的，且相对次序是不能随意变换的⽆序树：和上⾯相反森林只要把树的根结点删去就成了森林。
反之，只要给n棵独⽴的树加上⼀个结点，并把这n棵树作为该结点的⼦树，则森林就变成了⼀颗树。
树的性质性质1：树中的结点数等于所有结点的度数之和加1。
证明：树的每个分⽀记为⼀个度，度数和=分⽀和，⽽再给根节点加个分⽀性质2：度为m的树中第i层上⾄多有mi-1个结点（i≥1）。
性质3 ⾼度为h的m次树⾄多有个结点。
树和二叉树(4N皇后(回溯法))
Backtracking
回溯 N皇后问题 跳马问题 迷宫问题 图的着色问题 0-1背包问题 装载问题 批处理作业调度 填数问题 组合输出问题 算24点问题 ACM应用
学习要点
掌握回溯的概念 掌握经典问题的回溯解决方法 掌握回溯与其它方法的异同
回溯法
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么 解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯 法。 ► 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条 的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。 ► 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优 先策略搜索。
N皇后问题
递归写法： procedure try(k:byte); var i:byte; begin for i:=1 to n do if place(k) then begin x[k]:=i; if k=n then print else try(k+1); end;
分析：状态恢复（回溯）在什 么地方实现？
x
path:array[1..m] of integer; 其中，path[i]：表示第i个节点所走的方向
方向t，下一步的位置就是 (x+dx[t], y+dy[t])。
跳马问题
约束条件：
不越界： (x + dx[i] <= n) and (y + dy[i] > 0) and (y + dy[i] <= n)
x[3,1,4,2]
【信息技术 】用二叉树排序 —树与二叉树 课件 年教科版(2019)高中信息技术选择性必修1
(6)节点B的父节点 A 、兄弟节 点 C、D、孩子节点 E、F。
二
叉
树
二叉树的基本概念
二叉树是n（n≥0）个节点的有限集合： ① n = 0时，二叉树是一棵空树。。 ② 当n ≠ 0时，二叉树是由一个根节点(N)和两个互不相交的集合被称为
树的基本概念
定义：是n（n>=0）个节点的有限集合 若n=0,称为空树； 若n>0，则它满足如下两个条件； 1）有且仅有一个特定的称为根的节点； 2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集合
T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。
节点A有 三棵子树
节点B有 两棵子树
树与二叉树
A
B
C
D
E
F
G
H
I
树
树是一种重要的非线性数据结构， 直观的看，它是数据元素（在树中称 之为节点）按分支关系组织起来的结 构，与自然界的树很像。
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
练一练 二
满二叉树
完全二叉树
完全二叉树
非完全二叉树 非完全二叉树
二叉树的基本遍历
对二叉树各个节点进行访问，即是遍历 操作。
1、前序遍历（根 左 右） 先访问根节点，再访问左子树，最
后访问右子树。
如右图的前序遍历顺序为： A-B-C
1A B2 C
二叉树的基本遍历
2、中序遍历（左 根 右） 先访问左子树，再访问根节点，最
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树和二叉树教案1
教学过程一、导入树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。
在日常生活同学们经常见到树。
树有一个树根。
有许多树枝，在树枝上长有很多树叶。
就象我们今天要讲的树，是一种层次结构。
二、新授(一)树1．树的定义树（tree）是由n (n≥0) 个结点组成的有限集合。
它是树型结构的简称，是一种重要的非线性数据结构，应用广泛。
如：磁盘上的文件目录结构、家族成员关系、单位的组织机构、书的内容组织、算术表达式等。
任何一棵非空树是一个二元组：Tree = （root，F）其中：root被称为根结点，F被称为子树森林2．基本术语森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合有向树：有确定的根，树根和子树根之间为有向关系（自上到下，自左到右）有序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换无序树：树中结点的各子树从左到右是没有次序的子女：结点的子树的根是该结点的孩子双亲：孩子结点的根结点兄弟：具有同一双亲的结点堂兄弟：双亲在同一层的结点祖先：从根到该结点所经历分支上的所有结点子孙：以某结点为根的子树中的任一结点学生活动：请同学门总结树形与线形的异同(二) 二叉树1.二叉树的定义二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
2．二叉树的五种基本形态二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
3．二叉树不是树的特例（1）二叉树与无序树不同二叉树中，每个结点最多只能有两棵子树，并且有左右之分。
二叉树并非是树的特殊情形，它们是两种不同的数据结构。
（2）二叉树与度数为2的有序树不同在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但是若该结点只有一个孩子，就无须区分其左右次序。
而在二叉树中，即使是一个孩子也有左右之分。
4、满二叉树和完全二叉树是二叉树的两种特殊情形。
a、满二叉树一棵深度为k且有2k-1个结点的二又树称为满二叉树。
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R A D E B C F G H K
双亲表示法 孩子表示法 双亲孩子表示法 孩子兄弟表示法
孩子兄弟表示法 ---- 二叉链表表示法
typedef struct CSNode{ TElemType data; A B C struct CSNode * firstchild； D E struct CSNode F* nextsibling; }CSNode；//结点结构 G H K typedef CSNode * CSTree; //树 逻辑结构
表达式树的创建---【算法步骤】 ① 初始化OPTR栈和EXPT栈，将表达式起始符“#”压入OPTR栈。 ② 扫描表达式，读入第一个字符ch，如果表达式没有扫描完毕至“#”或 OPTR的栈顶元素不为“#”时，则循环执行以下操作： 若ch不是运算符，则以ch为根创建一棵只有根结点的二叉树，且将该树 根结点压入EXPT栈，读入下一字符ch； 若ch是运算符，则根据OPTR的栈顶元素和ch的优先级比较结果，做不 同的处理： 若是小于，则ch压入OPTR栈，读入下一字符ch； 若是大于，则弹出OPTR栈顶的运算符，从EXPT栈弹出两个表达式 子树的根结点，以该运算符为根结点，以EXPT栈中弹出的第二个子 树作为左子树，以EXPT栈中弹出的第一个子树作为右子树，创建一 棵新二叉树，并将该树根结点压入EXPT栈； 若是等于，则OPTR的栈顶元素是“(”且ch是“)”，这时弹出 OPTR栈顶的“(”，相当于括号匹配成功，然后读入下一字符ch。
哈夫曼编码的几点结论 • 哈夫曼编码是不等长编码 • 哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都不 是另一字符编码的前缀 • 哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点的 个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1 • 发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出字 符数据 • 接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到一 个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过程， 直到接收数据结束
中序遍历： DHIEFBGCA
后序遍历：I H F E D G C B A
森林的遍历
森林的2种遍历方法：
先序遍历森林：若森林非空，则依次从左至右对森 林中的每一棵树进行先根遍历。 中序遍历森林：若森林非空，则依次从左至右对森 林中的每一棵树进行后根遍历。
结论： 1. 森林的先序遍历序列与转换后的二叉树的先序遍历序列相同 2. 森林的中序遍历序列与转换后的二叉树的中序遍历序列相同
R
解释
A
B
C
D
E
F
树
G
H
K
对 应
D E
R
A B C F
G
K
存储结构
解释
二叉树
lchild data
H K
rchild
树与二叉树的转换
1.加线 2. 删 线 （ 保 留 双 R B E G
亲与第一孩子连 线 , 删去与其他孩 子的连线）
D
长兄为父
R A B
兄弟相连 A
D
C
F H 二叉树
E
C F G
3. 调整（ 顺时
A B E C
A B
D
C
F
D
F G
H I
E G
H
I
B H F G – 树变二叉 -兄弟相连留长子，孩子靠左 C F C I H D – 二叉变树--左孩右右连双亲，去掉原来右孩线 D I （d）整理， J
• 树和二叉树的转换 B E
A
A
E
G
最终二叉树
J
• 森林和二叉树的转换
（c）头根为根
– 森林变二叉--树变二叉留头根 要点：把最右边的子树变为森林，其余右子树变为兄弟
线索化：对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉
树的过程
例：画出以下二叉树对应的中序线索二叉树。
解：该二叉树中序遍历结果为: H, D, I, B, E, A, F, C, G 所以添加线索应当按如下路径进行： root -0 1 存储结构： root
A
A
为避免悬空 态，应增设 一个头结点
0 0 B
小结
1、定义和性质 树 2、存储结构
链式结构 顺序结构
3、哈夫曼树的应用—哈夫曼编码
待传输的报文： CATCATTCPPCTCAC 哈夫曼编码是数据通信使用的二进制编码。
编码： A:30 10 编码：0 111 10 0 111 10 10 0 C:6 110 110 111 0 T:40 P:2 • 根据字符出现频率构造哈夫曼树； 15 0 1 • 然后将树中结点引向其左孩子的 6 C 9 分支标0，引向右孩子的分支标1； 0 1 • 字符的编码即为从根到表示该字符 5 T 4 1 叶子的路径上得到的0、1序列。 0
• 动态分配一维数组存储哈夫曼树 typedef struct { char data; /* 结点字符 */ unsigned int weight; unsigned int parent, lchild, rchild;
/* 双亲、左孩子、右孩子在数组中的下标 */
}HTNode, *HuffmanTree; • 动态分配一维数组存储哈夫曼编码，它是指向地 址的指针 typedef char **HuffmanCode; • 构造哈夫曼树的算法和求哈夫曼编码的算法见教 材。
针转动,使之层 次分明）
K
H K
孩子靠左
练习题：请把下图的树转换成相应的二叉树。
A B E F J A B C D
G H A
C G H
D I
A B E F C
B
E F G C D H
图1
J
D
I
E
F
G H I 图2
I
讨论：二叉树怎样还原为树？
左孩右右连双亲，去掉原来右孩线
要点：树变二叉逆操作，把所有右孩子变为兄弟
表达式树的求值---【算法步骤】 ① 设变量lvalue和rvalue分别用以记录表达式树中左子树和右子树的值，初始 均为0。 ② 如果当前结点为叶子（结点为操作数），则返回该结点的数值，否则（结 点为运算符）执行以下操作： 递归计算左子树的值记为lvalue； 递归计算右子树的值记为rvalue； 根据当前结点运算符的类型，将lvalue和rvalue进行相应运算并返回。
不等长编码：C:0 A:00 T:1 P:01 报文为： “00010001100101010000”
CATCATTCPPCTCAC
C:0 A:00 T:1 P:01
0 0 0 10001100101010000 CCP AP
要设计不等长编码，则必须使任一字 符的编码都不是另一个字符的编码的前缀
----前缀编码
15
1
6 C
0 T 4
9
1
5
0
1
3 2 A P
练习：要传输的字符集{A, B, C, D, E, F, G}，字符出 现的次数是{9, 11, 5, 7, 8, 2, 3}，设计最优编码方案。 （权值小的为左孩子结点） 45
19
9 45 19 267, 10 15 {9, 11, 5, 8, 2, 53 } 5 2
A B C D E F H G I J A B C D F E H I
G
（a）森林
（b）每棵树对应的二叉树
J
练习题： 请画出和下列二叉树对应的森林。
E
I
J G
E B A C
B
A C D F
K
I
J G
K
D
F
树的遍历
树的遍历
•
先根、后根 层次
树没有中序遍历（结点； 按照从左到右依次先根遍历 根结点的每棵子树 先根遍历序列： A B D E H I F C G • 后根遍历？
firstchild data nextsibling 用二叉链表作为树的存储结 构。结点的两个指针域分别指向 该结点的第一个孩子结点和右边 的下一个兄弟结点。
R
R A D E F G H K B C
存储结构
二叉链表表示法
R A D E F G H B C
firstchild data
nextsibling
5.8 案例分析与实现
利用二叉树求解表达式的值
假设运算符均为双目运算符，则表达式对应的表达式树中叶 子结点均为操作数，分支结点均为运算符。 由于创建的表达式树需要准确的表达运算次序，因此在扫描 表达式创建表达式树的过程中，当遇到运算符时不能直接创建 结点，而应将其与前面的运算符进行优先级比较，根据比较的 结果再进行处理。 借助一个运算符栈OPTR，来暂存已经扫描到的还未处理的 运算符。 每两个操作数和一个运算符就可以建立一棵表达式二叉树， 而该二叉树又可以作为另一个运算符结点的一棵子树。 另外借助一个表达式树栈EXPT，来暂存已建立好的表达式 树的根结点，以便其作为另一个运算符结点的子树而被引用。
3 2 A C:0 A:111 T:10 P:110 P
3、哈夫曼树的应用—哈夫曼编码
译码： 电文：011110
译码：CA T
• 从哈夫曼树根开始，从待译码电文 中逐位取码。 • 若编码是0，则向左走；若编码 是1，则向右走，一旦到达叶子 结点，则译出一个字符； • 再重新从根出发，直到电文结束。 0
哈夫曼树
•• 结点的带权路径长度：从该结点到树根之间的路径 哈夫曼树：给定一组具有确定权值的叶子结点， 带权路径长度最小的二叉树。 长度与结点上权的乘积。 哈夫曼树的特点： • 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径 权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小 长度之和。记作：WPL= wk Lk （k＝1.. n） 的叶子结点越远离根结点。
5
0
1
F 2