相似模型(一)(含答案)
相似模型：共边共角型和A8模型
初中几何典型解题模型
中考看数学，数学看几何.在中考科目中，数学最能体现差距；在数学中，几何是拉开数学的重中之重。
《初中几何典型解题模型》希望帮助同学们解决“几何”这一痛点难点.学习几何，如果采用题海战术，忽视技巧和方法总结，往往事倍功半，收效甚微.本书在分析海量中考几何试题的基础上，总结解题方法与技巧，整理出中考中最高频的十二类几何模型，为每个模型打造“模型分析+典型例题+练习巩固”三部分内容：
模型分析——认识经典模型、识别模型，给出经典模型对应的结论，提供解析与证明.
典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用
练习——依托题库大数据，经典模型高度匹配练习，每一道练习都是经典题，是模型实例黄金搭档.
本书定位于成绩中等及偏上学生，在高度、深度和难度上都接近中考，帮助同学们解决中考常见难点，有效提高做题效率。
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。
专题13 A字型和反A字型相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。
【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。
【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE =2，EC =3，∴AC =AE +EC =5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：A ．【例2】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDH BCN ∽和DHM ANM ∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDM BCH △∽和AMN CHN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出AHM DBM △∽△和AHN CBN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ，根据三角形中位线定理得出AN NH CH ==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明： 点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ABC ∴ ，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF == ，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~ ，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF S BE BF ab ∴=⋅= ，1322AOE S AE OM ab =⋅= ，1322COF S CF ON ab =⋅= ，1922ABC S AB BC ab =⋅= ，OEF ABC BEF AOE COF S S S S S ab ∴=---= ，2992OEF ABC S ab S ab ∴== ，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S ，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S == ，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯= ，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆ ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。
中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒， 即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD “AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF 为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△四边形OABC是正方形△△AOC=90゜，AO=OC模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC BPC +∠DPC ∠=∠α，BPC ∴∠ADP ∴∽△△，△AD ⋅BC）∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =，4DF ∴=，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC EC ∴5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴= 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM =， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5=，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<，036<<，△3DE =+或3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒在DCB和△3）解：过△四边形ACEF是矩形，△90ACE∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM∠+∠=∠+∠=︒，顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB ＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，OE ME MONF OF33ON33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．20由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）直角三角形ABC中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO ，AB=5m，）可证得CDB∆当D在AB的下方时，过D作DE△y轴于E，交BC于F,，在ABC中，MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI 之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM △四边形AGFC是矩形，△△GAC=90°又AH△BC△△AHC=90° △△5+△CAH=△4+△CAH=90°△△5=△4△△BDE=△AHB=90°△△2+△BAH=△1+△BAH=90°△△2=△1又GM∥AE△△3=△2△△3=△1△△ABC△△GMA【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角，ABC 是等腰直角三角形，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，由（1）可知：BCN CAM△≌△，△2CM BN==，1CN AM==，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，BCN BFH∽△，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．5即可证明∽AMF BGM ，即可求出△AB DC ∥，AB BC ⊥△90B C ∠=∠=︒ △90AOD ∠=︒△90AOB DOC +=︒∠∠在AOB 和△Rt AOB 中，Rt AOD △中，12AD OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠△∽AMF BGM △AM BG 45︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =本题考查了全等三角形的判定和性质、x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ， ∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=， 180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．415NF OF NO△△ADC=90°，△△ADC+△PDC=180°，△A 、D 、P 共线，90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE于F，过H作HG△BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②△HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN△DM，垂足为M，交△CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则△FMN和△NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知△MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO 上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若△OBA+△OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF△ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
相似模型(一)(习题及答案)
【参考答案】 复习巩固
1. C 2. 3:2 3. 8 m 4. D 5. 21
2 6. 2；1 7. 4 8. 10
3 9. D 10. 12
7 11. 1:2 12. AE 的值为 2．
EC 13. ①②③④ 14. 证明略．
5
第 6 题图
第 7 题图
7. 如图，D 是 AB 的中点，AF∥CE，若 CG:GA=3:1，BC=8，
则 AF=________．
8. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角
线 AC 于点 F，若 AB=4，AD=3，则 CF 的长为_________．
9. 如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠BAD=
相似模型（一）（习题）
复习巩固
1. 如图，在锐角三角形 ABC 中，高 CD，BE 相交于点 H，则图
中与△CEH 相似（除△CEH 自身外）的三角形有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，E 是□ABCD 的边 CD 上一点，连接 AC，BE 交于点 F．
是 6，那么这个正方形的边长是_________．
2
11. 如图，直线 l1∥l2，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则 CE:AE=_________．
12. 如图，在△ABC Байду номын сангаас，AF:FB=2:3，延长 BC 至点 D，使得 BC=2CD，求 AE 的值． EC
13. 如图，P 是□ABCD 的对角线 BD 上一点，一直线过点 P 分别 交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 AD，CD 于点 R，T． 有下列结论：①△RQA∽△RTD；② PS PD PR PB ； ③ PQ PB ；④ PQ PR PS PT .其中正确的是_______． PT PD
部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案
专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm的等边ABCD中，D为BC上一点，且3BD cm=，E在AC上，60ADEÐ=°，则AE的长为( )cm．A．B．C．7D．6【解答】解：ABCDQ是等边三角形，9AB BC AC cm\===，60B CÐ=Ð=°，180120BAD ADB B\Ð+Ð=°-Ð=°，60ADEÐ=°Q，180120ADB EDC ADE\Ð+Ð=°-Ð=°，BAD EDC\Ð=Ð，ABD DCE\D D∽，\AB BD DC CE=，\9393CE=-，2CE\=，7()AE AC CE cm\===，故选：C．2．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若2BF cm=，则小正方形的面积等于2 ．【解答】解：Q正方形ABCD的边长为8cm，2BF cm=，6CF cm\=Q 四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG \Ð=Ð=Ð=°90BEF BFE \Ð+Ð=°，90CFD BFE Ð+Ð=°BEF CFD\Ð=ÐBEF CFD\D D ∽\BE CF BF CD =\628BE =32BE \=\小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+225()4cm =故答案为：2254cm ．三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC D ，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF D D ∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：Q 等边ABCD 60A B C \Ð=Ð=Ð=°Q 将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A \Ð=Ð=°180********BED BDE B Ð+Ð=°-Ð=°-°=°Q 180********BDE CDF EDF Ð+Ð=°-Ð=°-°=°BED CDF\Ð=Ð又B CÐ=ÐQ BED CDF \D D ∽；（2）2CD BD=Q \设1BD =，则2CD =，Q 翻折，\设ED AE x ==，DF AF y==3AB BC AC \===，3BE x =-，3CF y=-BED CDFD D Q ∽\ED BD BE DF CF DC ==\1332x x y y -==-由13x y y=-得：31x y x =+①由32x x y -=得：23x y x=-②由①②解得：75x =，74y =\45x y =\45ED DF =．4．如图有一块三角尺，Rt ABC D ，90C Ð=°，30A Ð=°，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C Ð=°Q ，30A Ð=°，6BC =，212AB BC \==，AC \=，Q 四边形AFED 是正方形，90F E \Ð=Ð=°，AF FE =，90FAC FCA \Ð+Ð=°，90C Ð=°Q ，90FCA BCE \Ð+Ð=°，FAC BCE \Ð=Ð，AFC CEB \D D ∽，\AFACCE CB =，\AFCE =，设AF x =，则CE x =，FC \=，222AF AC Q ，222)x x \+=，2268237x \=+，答：这个正方形的面积为：226837．5．已知：如图，ABC D 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE Ð=°．（1）求证：ABD DCE D D ∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC D Q 是等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，AB AC =，B BAD ADE CDE Ð+Ð=Ð+ÐQ ，60B ADE Ð=Ð=°，BAD CDE \Ð=ÐABD DCE \D D ∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE D D ∽，\BD CE AB DC=，设CD x =，则3BD x =-，\2333x x-=，1x \=或2x =，1DC \=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ^，交CD 于点E ．（1）判断ABP D 与PCE D 是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP D 与PCE D 相似，理由如下：Q 四边形ABCD 是矩形，90B C \Ð=Ð=°，90BAP BPA \Ð+Ð=°，PE AP ^Q ，90CPE BPA \Ð+Ð=°，BAP CPE \Ð=Ð，ABP PCE \D D ∽；（2）连接BD，如图所示：由（1）知ABP PCE D D ∽，\AB BP PC CE =，\AB PC BP CE=，//PE BD Q ，\CP CE CB CD =，\PC CB CE CD =，\AB CB BP CD=，Q 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB \==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ×\==．7．如图1，在ABC D 中，AB AC ==，cos B =，点D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B Ð=Ð，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ^交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE D D ∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，又ADE B Ð=ÐQ ，ADE B C \Ð=Ð=Ð，180B BDE BED Ð+Ð+Ð=°Q ，180ADC ADE BDE Ð+Ð+Ð=°，BED ADC \Ð=Ð，ACD DBE \D D ∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ^交AC 于点H ，AD CD =Q，AB AC ==，12CH AH AC \===，cos B =Q ，B C Ð=Ð，cos CH B CD\=，6cos CH CD B \===，6AD =，AF AD ^Q ，90FAD \Ð=°，ADE B Ð=ÐQ，6cos ADE DF \Ð==，DF \=，由（1）得ACD DBE D D ∽，\DE BD AD AC =，\6DE DE \=，过点A 作AM BC ^于点M ，cos BM B AB\=，\4BM \=，28BC BM \==，862BD BC CD \=-=-=，DE \==，EF DF DE \=-==，6AD \=，EF =（3）解：F Q 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上，F \点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF Ð=°，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF Ð=°，12F F 为F 点的运动路径，12F AF CAB \Ð=Ð，AC =Q，cos B =，ABC C Ð=Ð，1cos AC C CF \===，112CF \=，在1Rt ACF D中，1AF ==，ADF B Ð=ÐQ，2cos cos ABF B \Ð==22cos ABABF BF Ð==，=，212BF \=，2AF ==，21AF AF \=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB Ð=ÐQ ，△12AF F 与CAB D 都是等腰三角形，\△12AF F ACB D ∽，\121F F AF BC AC =，由（2）得8BC =，\128F F，12F F \=\点F运动的路径长为．8．在ABC D 中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC =，120A EDF Ð=Ð=°（1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC Ð，求证：2CD CF CB =×；②若213CFBF =，则ADCD =（2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，ABDFm AC DE ==，37BEEF =，求m 的值．【解答】解：（1）①Q 1ABm AC ==，AB AC \=，BD Q 平分ABC Ð，ABD DBF \Ð=Ð，BDC A ABD BDF CDF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且120A BDF Ð=Ð=°，ABD CDF DBF \Ð=Ð=Ð，且C C Ð=Ð，CDF CBD \D D ∽，\CD CF BC CD=，2CD BC CF \=×；②如图1，过A 作AG BC ^于G ，过F 作FH BC ^，交AC 于H ，30C Ð=°Q ，2CH FH \=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，Q 213CF BF =，BC \=，CG =Q ，152AG a \=，15AC a =，11AH a \=，120BAD BDF DHF Ð=Ð=Ð=°Q ，18012060ADB FDH ADB ABD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，ABD FDH \Ð=Ð，ABD HDF \D D ∽，\AB AD HD FH =，即152a AD DH a=，设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x \=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，\51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ^于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =Q ，37BE EF =，\37CF EF =，//FG ED Q ，\37CF CG EF DG ==，\设3CG a =，7DG a =，Q AB DF m AC DE==，120A EDF Ð=Ð=°，ABC DFE \D D ∽，DEC C \Ð=Ð，10DE DC a \==，//FG DE Q ，GFC DEF C \Ð=Ð=Ð，3FG CG a \==，同理由（1）得：EHD DFG D D ∽，\ED DH DG FG =，即1073a DH a a=，307a DH =，Rt DHM D 中，60DHM Ð=°，30HDM \Ð=°，11527a HM DH \==，DM =，657EM a \===，651550777EH a a a \=-=，5017302107a AB EH m AC CH a a \====+．9．已知：在EFG D 中，90EFG Ð=°，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG =（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN Ð=Ð；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =×．【解答】（1）解：90EFG Ð=°Q ，90AFE DFG \Ð+Ð=°，90AEF AFE Ð+Ð=°Q ，AEF DFG \Ð=Ð，又90A D Ð=Ð=°Q ，EF FG =，()AEF DFG AAS \D @D ，2AE FD \==，FG \==EG \==，；（2）证明：延长EA、NF 交于点M ，Q点F为AD的中点，\=，AF DFQ，AM CD//Ð=Ð，\Ð=Ð，MAD DM DNF\D@D，MAF NDF AAS()\=，MF FN^Q，EF MG\=，ME GE\Ð=Ð；MEF FEN（3）证明：如图，过点G作GP AD^交AD的延长线于P，\Ð=°，P90D@D，AEF PFG AAS同（1）同理得，()=，\=，PF AEAF PGQ，=AE AD\=，PF AD\=，AF PD\=，PG PDQ，Ð=°P9045PDG \Ð=°，45MDG \Ð=°，在Rt EFG D 中，EF FG =，45FGE \Ð=°，FGE GDM \Ð=Ð，GMN DMG Ð=ÐQ ，MGN MDG \D D ∽，\MG MN DM MG=，2MG MN MD \=×．10．在ABC D 中，BA BC =，(0180)ABC a a Ð=°<<°，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60a =°时，如图1，直接判断BP CQ 的大小；（2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90a =°，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ D 面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =Q ，60ABC a Ð==°，ABC \D 是等边三角形，60BAC ACB ABC \Ð=Ð=Ð=°，Q 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，60APQ ACQ \Ð=Ð=°，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB \Ð=Ð=°，APQ \D 是等边三角形，AP AQ \=，60PAQ Ð=°，BAC PAQ \Ð=Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，()BAP CAQ SAS \D @D ，BP CQ \=，\1BP CQ=；（2）BP k CQ =，理由如下：如图2，连接AQ ，BA BC =Q ，ABC a Ð=，1802ACB BAC a °-\Ð=Ð=，QQ 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，APQ ACQ a \Ð=Ð=，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB a °-\Ð=Ð=，1802PAQ BAC a °-\Ð==Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，又ABC ACQ a Ð=Ð=Q ，ABP ACQ \D D ∽，\AB BC BP k AC AC CQ===；（3）17AC AP =<=Q ，\点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，7CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，11105715222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，23CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，113452315222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；综上所述：PCQ D 面积为1052或3452．11．如图，在ABC D 中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF D @D ，将DEF D 与ABC D 重合在一起，ABC D 不动，DEF D 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM D D ∽；（2）当DE BC ^时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF D 运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，AEF B \Ð=Ð，AEF CEM AEC B BAE Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，CEM BAE \Ð=Ð，ABE ECM \D D ∽；（2）①当DE BC ^时，AB AC =Q ，BAE EAM \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，B DEF \Ð=Ð，ABE AEM \D D ∽，\AB AE AE AM=，90AME AEB Ð=Ð=°，5AB AC ==Q ，DE BC ^，6BC =，132BE EC BC \===，在Rt ABE D 中，4AE ===，\544AM=，165AM \=，169555CM AC AM \=-=-=；②在Rt AEM D 中，125EM ===，11161296225525AEM S AM EM D \=×=´´=，\重叠部分的面积为9625；（3）①当AE EM =时，ABE ECM D @D ，5CE AB ==Q ，651BE BC EC \=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA Ð=Ð，MAE BAE MEC MEA \Ð+Ð=Ð+Ð，即CAB CEA Ð=Ð，C C Ð=ÐQ ，CAE CBA \D D ∽，\CE AC AC CB=，\2256AC CE CB ==，\2511666BE BC EC =-=-=；③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形；1BE \=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO Ð的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC Ð=°时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =．即点D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．\1OD BO ==．\tan DO ABO BOÐ==．60ABO \Ð=°．（2）过点A 作AE x ^轴，垂足为E ，如图所示．设点A 坐标为：(m ．且0m >．OE m \=，AE =//DO AE Q ．BDO BAE \D D ∽．\BO DOBE AE=．即：11m =+1m \=或2m =-（舍)．\A ．\4AB ==．即：4AB =．（3）过C 作60CFO Ð=°，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ^于H 点，如图所示．设(C a，0a >．\OH \4CF a ==．\2HF a =．\2OF a a=+．AOF AOC COF Ð=Ð+ÐQ ，且AOF Ð是ABO D 一内角的外角．BAO COF \Ð=Ð．ABO OFC \D D ∽．\AB BOOF CF =即：4124a a a=+．\a=．Q．a>\a\C．^交BC 13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE∽．（不需要证明）于点F．易证：AED BFED D^交BC于点【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DEF．D D∽．（1）求证：AED BFE（2）若10AD=，E为AB的中点，求BF的长．AB=，6AB=．E为AB边上一点（点E不与【应用】如图③，在ABCACB=，4D中，90Ð=°，AC BC点A、B重合），连结CE，过点E作45D为等腰三角形时，BECEFÐ=°交BC于点F．当CEF的长为 【解答】【探究】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，90A B\Ð+Ð=°，ADE AED90^Q，DE EF\Ð=°，DEF90\Ð+Ð=°，BEF AED90\Ð=Ð，ADE BEFQ，又A BÐ=Ð\D D∽；AED BFEQ为AB的中点，（2）解：E\==，AE BE5∽，由（1）知AED BFED D\AD AEBE BF =，即655BF=，256BF \=；【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE Ð=Ð=°，90ECF Ð=°，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意，②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC °-°Ð=Ð==°，EFC ÐQ 为BEF D 的外角，EFC B BEF \Ð=Ð+Ð，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，45A B \Ð=Ð=°，67.54522.5BEF EFC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，909067.522.5ACE ECF Ð=°-Ð=°-°=°，ACF BEF \Ð=Ð，又A B Ð=ÐQ ，CE EF =，()AEC BFE AAS \D @D ，BE AC \=，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，4AB =，AC \==，BE \=；如果CF EF =，则45CEF ECF Ð=Ð=°，90CFE \Ð=°，在BEC D 中，45B BCE Ð=Ð=°，90BEC \Ð=°，CE AB \^，又AC BC =Q ，\点E 为AB 的中点，122BE AB \==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接FC ，观察并猜测tan FCN Ð的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN Ð的值．【解答】解：（1）tan 1FCN Ð=，理由是：如图1，作FH MN ^于H ，90AEF ABE Ð=Ð=°Q ，90BAE AEB \Ð+Ð=°，90FEH AEB Ð+Ð=°，FEH BAE \Ð=Ð，在EHF D 和ABE D 中EHF ABE FEH BAE EF AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EHF ABE AAS \D @D ，FH BE \=，EH AB BC ==，CH BE FH \==，90FHC Ð=°Q ，tan 1FHFCH CH\Ð==；（2）如图（2）作FH MN ^于H ．由已知可得90EAG BAD AEF Ð=Ð=Ð=°，结合（1）易得FEH BAE DAG Ð=Ð=Ð，又G Q 在射线CD 上，90GDA EHF EBA Ð=Ð=Ð=°，在EFH D 和AGD D 中FHE GDA FEH DAG EF AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EFH AGD AAS \D @D ，BAE FEH Ð=ÐQ ，ABE FHE Ð=Ð，EFH AEB \D D ∽，EH AD BC n \===，CH BE \=，\EH FH FHAB BE CH==，\在Rt FEH D 中，tan FH EH nFCN CH AB mÐ===，\当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN mÐ=．15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ^，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x …… ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；x¼2345678¼y¼22183m32182¼（3）结合图象，指出M 、N 在运动过程中，当CN 达到最大值时，BM 的值是 ；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，908B C AB CD \Ð=Ð=°==，90BAM AMB \Ð+Ð=°，AM MN ^Q ，90AMN \Ð=°，90AMB CMN \Ð+Ð=°，BAM CMN \Ð=Ð，ABM MCN \D D ∽，\AB MCBM CN=，\810x x y-=，21584y x x \=-+，10BC =Q ，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x \……，故答案为：010x ……；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-´+´=，故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+Q ，2215125(5)8488y x x x \=-+=--+，108a =-<Q ，\当5x =时，y 最大258=，\当CN 达到最大值时，BM 的值是5；Q2525284´=，\在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254，故答案为：5，254．16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC D 中，90ACB Ð=°，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ^，BD l ^，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA D D ∽．【尝试应用】（2）如图2，在ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD Ð=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED Ð=°，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90BCD ACE \Ð+Ð=°，AE CE ^Q ，90AEC \Ð=°，90ACE CAE \+Ð=°．BCD CAE \Ð=Ð．BD DE ^Q ，90BDC \Ð=°，BDC AEC \Ð=Ð．BDC CEA \D D ∽．（2）解：过点E 作EF BC ^于点F ．由（1）得EDF DACD D∽．\DE DF DA AC=．AD DE^Q，4tan5BADÐ=，20AC=，\4520DF =，16 DF\=．BE DE=Q，BF DF\=．232BD DF\==．（3）解：过点A作AM BC^于点M，过点D作DN BC^的延长线于点N．90AMB DNC\Ð=Ð=°．Q四边形ABCD是平行四边形，//AB CD\，AB CD=．B DCN\Ð=Ð．()ABM DCN AAS\D@D．BM CN\=，AM DN=．AB AE=Q，AM BC^，BM ME\=，Q43 BEEC=，设AM b=，4BE a=，3EC a=．2BM ME CN a\===，5EN a=．90AEDÐ=°Q，由（1）得AEM EDN D D ∽．\AM ENME DN =，\25b aa b=，\b =，Q CD =22(2)14a b \+=，1a \=，b =．\平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =´´=´=．17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED Ð=Ð=Ð=°，由12180BAD Ð+Ð+Ð=°，2180D AED Ð+Ð+Ð=°，可得1D Ð=Ð；又因为90ACB AED Ð=Ð=°，可得ABC DAE D D ∽，进而得到BC AC =我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC D 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B Ð=Ð．①求证：ABP PCD D D ∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD D 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE D D Q ∽，\BC ACAE DE =，\BC AEAC DE=，故答案为：AEDE；（2）①证明：AB AC=Q，B C\Ð=Ð，APC B BAPÐ=Ð+ÐQ，APC APD CPDÐ=Ð+Ð，APD BÐ=Ð，BAP CPD\Ð=Ð，B CÐ=ÐQ，ABP PCD\D D∽；②解：12BC=Q，点P为BC中点，6BP PC\==，ABP PCDD DQ∽，\AB BPPC CD=，即1066CD=，解得： 3.6CD=；（3）解：当PA PD=时，ABP PCDD@D，10PC AB\==，12102BP BC PC\=-=-=；当AP AD=时，ADP APDÐ=Ð，ADP B CÐ=Ð=ÐQ，ADP C\Ð=Ð，不合题意，AP AD\¹；当DA DP=时，DAP APD BÐ=Ð=Ð，C CÐ=ÐQ，BCA ACP\D D∽，\BC ACAC CP=，即121010CP=，解得：253CP=，25111233BP BC CP\=-=-=，综上所述：当APDD为等腰三角形时，BP的长为2或113．。
自学初中数学资料-相似三角形的概念-(资料附答案)
自学资料一、相似三角形的概念【知识探索】1．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．【说明】用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上．【错题精练】例1．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A. ADDB =DEBC；B. FBBC =EFAD；C. AEEC =BFCF；第1页共30页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训D. FEAB =DEBC．【答案】C例2．如图，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝_____．【答案】143【举一反三】1．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（）对．A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=__________ .第2页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴= ，即=解得：BC=6【答案】6二、相似三角形的性质【知识探索】1．（1）相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【说明】（1）研究和运用相似比的性质时，要注意相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关；（2）性质定理1和性质定理2可以概括为：相似三角形中对应线段（高线、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比．【错题精练】例1．如图，在△ABC中，∠A=36∘，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）；A. √5−12；B. √5−14；C. 3−√52D. 3−√5．4【答案】C第3页共30页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训例2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A. EAEB =EGEFB. EGGH =AGGDC. ABAE =BCCFD. FHEH =CFAD【答案】C例3．如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【答案】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-40°=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴ABAD第4页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训=BCDE，即3018=20DE，解得DE=12cm．例4．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB-AP=（8-2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当BPBA=BQBC，即第5页共30页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训8-2x8=4x16时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当BPBC=BQBA，即8-2x16=4x8时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．例5．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB 的长为x。
专题19 三角形内接矩形相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题19三角形内接矩形相似模型【模型】如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，EF 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则△ADG ∽△ABC ，△ADN ∽△ABM ，△AGN ∽△ACM .【例1】如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，在ABC 的内部，作一个正方形PQRS ，若3BC =，2AD =，则正方形PQRS 的边长为（）A ．65B ．54C ．1D ．32【答案】A【分析】由四边形PQRS 是正方形，可得,SR BC ∥即可证得△ASR ∽△ABC ，设正方形PQRS 的边长为x ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：2,32x x -=解此方程即可求得答案．【解析】解：如图：记AD 与SR 的交点为E ，设正方形PQRS 的边长为x ，∵AD 是△ABC 的高，四边形PQRS 是正方形，∴SR BC ∥，AE 是△ASR 的高，则AE =AD -ED =2-x ，∴△ASR ∽△ABC ，,SR AE BC AD ∴=2,32x x -∴=解得：65x =，∴正方形PQRS 的边长为65．故选：A ．【例2】如图，已知三角形铁皮ABC 的边cm BC a =，BC 边上的高cm AM h =，要剪出一个正方形铁片DEFG ，使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长=________．【答案】aha h+【分析】设AM 交GF 于H 点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：如图，设高AM 交GF 于H 点，∵四边形DEFG 为正方形，∴GF ∥DE ，即：GF ∥BC ，∴AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，∴GF AH BC AM=，设正方形的边长为x，∴x h xa h-=，解得：ahxa h =+，故答案为：ah a h+．【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．【答案】（1）2t；（2）43；（3）2244(0)34144832(2)3S t tS t t t⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣；（4）t＝87或85【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，（2）如图，∵四边形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝4 3；（3）当0＜t≤43时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即S＝DP2＝4t2，当43＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH ＝EF ﹣HF ＝2t ﹣（8﹣4t ）＝6t ﹣8，∴S ＝S 正方形DPFE ﹣S △GHE ，∴S ＝4t 2﹣12×（6t ﹣8）2＝﹣14t 2+48t ﹣32，综上所述，S 与t 之间的函数关系式为2244(0)34144832(2)3S t t S t t t ⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣.（4）如图，当点E 在△ABC 内部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝5a ，∴25PO PF a PG PB a ==，∴22825t t =-，∴t ＝87，如图，当点E 在△ABC 外部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝3a ，∵23PO PF a PG PB a ==，∴22823t t =-，∴t ＝85，综上所述：t ＝87或85.一、单选题1．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上，若2,3,2,3AD BC BC AD EF EH ⊥===，那么EH 的长为()A ．23B ．13C ．32D ．12【答案】C【分析】设EH =3x ，表示出EF ，由AD -EF 表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即为EH 的长．【解析】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AM EH AD BC=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴223 23x x -=，解得：12 x=，则32 EH=．故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．12B．7C．6D．5【答案】B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解析】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴OM ∥AB ∥PN ∥EF ，EO ∥FP ，∠C =∠EOM =∠NPF =90°，∴△CEF ∽△OME ∽△PFN ，∴OE ：PN =OM ：PF ，∵EF =x ，MO =3，PN =4，∴OE =x -3，PF =x -4，∴（x -3）：4=3：（x -4），∴（x -3）（x -4）=12，即x 2-4x -3x +12=12，∴x =0（不符合题意，舍去）或x =7．故选：B ．3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】C 【分析】如图，由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，可求得△ADE 的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解析】解：如图，设△ABC 的BC 边上的高为1h ，矩形DEFG 的FG 边上的高为2h ∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，DE =6，BC=10，∴12135h h DE h BC -==，∵S △ABC =50，∴15021010h ⨯==，∴2103105h -=，解得24h =，∴平行四边形纸片的面积为=26424DE h ⋅=⨯=．故选：C ．4．如图，在△ABC 中，AB 边上取一点P ，画正方形PQMN ，使Q ，M 在边BC 上，N 在边AC 上，连接BN ，在BN 上截取NE =NM ，连接EQ ，EM ，当3tan 4NBM ∠=时，则∠QEM 度数为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．90°【答案】D 【分析】证明BEQ BEM △∽△，可得BEQ BME ∠=∠，根据等腰三角形的性质可NEM NME ∠=∠，由90BME NME ∠+∠=︒，可得90BEQ NEM ∠+∠=︒，进而可得答案．【解析】PQMN 为正方形，QM NM ∴=，90BMN ∴∠=︒．3tan 4NBM ∠= ，∴在Rt △BMN 中，设3MN QM a ==，则4BM a =，∴BQ BM QM a =-=，5BN a ∴==．NE NM = ，NEM NME ∴∠=，3NE NM a ==，532BE BN NE a a a ∴=-=-=，∴122BQ a BE a ==，2142BE a BM a ==，BQ BE BE BM∴=．EBQ MBE∠=∠ ∴BEQ BEM △∽△，BEQ BME ∴∠=∠．90BME NME ∠+∠=︒ ，∴90BEQ NEM ∠+∠=︒，90QEM ∴∠=︒．故选D ．5．如图，在ABC 中，CH AB ⊥，CH h =，AB c =，若内接正方形DEFG 的边长是x ，则h 、c 、x 的数量关系为（）A ．222x h c +=B ．12x h c +=C ．2h xc =D ．111x h c=+【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到GF DE ∥，继而证明CGF CAB D D ，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG 是矩形表示出CM 的长度，即可求解．【解析】解：设CH 与GF 交于点M ，正方形DEFG ，GF DE ∴∥，90GDE DGF ∠=∠=︒，CGF CAB D D ∴ ，GF CM AB CH∴=， CH AB ⊥，90DHM ∴∠=︒，∴四边形DHMG 是矩形，DG MH ∴=，CH h =，AB c =，正方形DEFG 的边长是x ，MH x ∴=，CM CH MH h x ∴=-=-，x h x c h -∴=，整理得111x h c=+，故选：D ．6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC 是10亩整．股差90AD =步，勾差10BF =步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩240=平方步）答：（）A ．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B ．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C ．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D ．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【答案】A 【分析】首先判定AED EBF ∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例和DE EF =求得30DE =；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．【解析】解：根据题意知，AED EBF ∽，则AD EF DE FB=．又DE EF = ，30DE ∴==．所以，芝麻田的面积为：3030240 3.75S =⨯÷=芝麻（亩)．黍田的面积为：12402S AC CB S =⋅÷-黍芝麻()()12402AD DC CF FB S =++÷-芝麻1(9030)(3010)240 3.752=⨯++÷-6.25=（亩)．综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．故选：A ．二、填空题7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．在其内并排放入（不重叠）n 个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB 上，首尾两个正方形各有一个顶点D ，E 分别在AC ，BC 上，则小正方形的边长为_____（用含n 的代数式表示）．【答案】1201225n +【分析】连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，根据勾股定理可得AB =10，再由22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，可得CF ＝245，然后根据△CDE ∽△CAB ，可得CG DE CF AB =，即可求解．【解析】解：连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，则DE AB ∥，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．∴AB ＝10，∵22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，∴861022CF ⨯⋅=，解得∶CF ＝245，∵DE AB ∥，∴△CDE ∽△CAB ，CG DE ⊥，∴CG DE CF AB=，设小正方形的边长为x ，∴24524105x nx -=，解得x ＝1201225n +，故答案为：1201225n +．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，在三角形内挖掉正方形CDEF ，则正方形CDEF 的边长为________．【答案】6017【分析】设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，证明△AFE ∽△ACB ，可得EF AF BC AC =，由此构建方程即可解决问题．【解析】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ∥CD ，EF ＝FC ＝CD ＝DE ，设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，∴△AFE ∽△ACB ，∴EF AF BC AC =，∴12512x x -=，解得x ＝6017，即正方形CDEF 的边长为6017，故答案为：6017．9．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，EF ＝1，则BN 的长度为_____．【答案】127【分析】由∥DE BC 可得AE DE AB BC =，求出AE 的长，由GF BN ∥可得AE EF GF AB BN +=，将AE 的长代入可求得BN ．【解析】解：∵四边形DEFG 是正方形，∴,DE BC GF BN ∥∥，且DE =GF =EF =1，∴△ADE ∽△ACB ，△AGF ∽△ANB ，∴AE DE AB BC=①，AE EF GF AB BN +=②，由①可得，143AE =，解得：43AE =，将43AE =代入②，得：41134BN+=，解得：127BN =，故答案为：127．10．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上．若3BC =，2AD =，23EF EH =，AD BC ⊥，那么EH 的长为__．【答案】32【分析】根据矩形的性质得到EH BC ∥，得到AEH ABC ∽△△，根据相似三角形的性质得到比例式，列出方程，解方程即可．【解析】解：设AD 与EH 相交与点M ，四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEH ABC ∽△△，AM EH ⊥ ，AD BC ⊥，∴AM EH AD BC=，设3EH x =，则有2EF x =，22AM AD EF x =-=-，∴22323x x -=，解得：12x =，则32EH =．故答案为：32．11．如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ∥，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEF ABC ∽，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC==，∴6AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF -=，解得12=5EF ，∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．12．在Rt ABD △中，90ABD ∠=︒，点C 在线段AD 上，过点C 作CE AB ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，使得四边形CEBF 为正方形，此时3cm AC =，4cm CD =，则阴影部分面积为_________2cm ．【答案】6【分析】由正方形的性质可得CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，得△AEC ∽△ABD ，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，利用相似三角形对应边成比例得到37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得222AE CE AC +=，求得x 的值，进一步即可求得阴影部分的面积．【解析】解：∵四边形CEBF 为正方形，∴CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，∴△AEC ∽△ABD ，∴AE EC AC AB BD AD==，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，∴37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得，222AE CE AC +=，即22334x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x ＝125，∴AE ＝34x ＝95（cm ），FD ＝43x ＝165（cm ），∴阴影部分面积为1912116126255255ACE CFD S S +=⨯⨯+⨯⨯= （2cm ）．故答案为：6三、解答题13．如图，己知直角三角形的铁片ABC 的两直角边BC 、AC 的长分别为3cm 和4cm ，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．【解析】解：（1）设正方形边长为y cm ，则DE =CD =EF =CF =y cm ，∵DE ∥BC ，∴AD DE AC CB=，∴334y y -=，∴127y=；（2）5 AB=．作AB边上的高CH，交DE于点M．由1122ABCS AB CH AC BC=⋅=⋅△，得53422CH⨯=，解得12cm5CH=．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CM DE CH AB=．设正方形DEFG的边长为cmx，则1251255x x-=，解得6037x=．∵6012 377<，∴（1）的情形下正方形的面积大．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)设12AF FC =，△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)45【分析】（1）由平行线的性质得出DEB FCE ∠=∠，DBE FEC ∠=∠，即可得出结论；（2）先求出23FC AC =，易证EFC BAC ∆∆∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】(1)解：证明：//EF AB ，DBE FEC ∴∠=∠，∵DEB FCE ∠∠＝，BDE EFC ∴∆∆∽；(2) 12AF FC =，∴23FC AC =，//EF AB ，EFC BAC ∴∆∆∽，∴222439EFC ABC S FC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，99204544ABC EFC S S ∆∆∴==⨯=．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥．(1)求证：BDE EFC △△∽．(2)若12BC =，12AF FC =，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)4【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB ＝∠FCE ，∠DBE ＝∠FEC ，可得结论；（2）先证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE =AF ，推出12DE FC =，再由相似三角形的性质推出2EC BE =，由此求解即可．【解析】(1)解：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；(2)解：∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE =AF ，∵12AF FC =，∴12DE FC =，∵△BDE ∽△EFC ，∴12BE DE EC FC ==，∴2EC BE =，∴312BE BC ==，∴4BE =．16．一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【解析】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EH BC ，即121k -＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x 可取任何实数，试求二次三项式261x x +-的最值．解：22226123331x x x x +-=+⨯⋅+--2(3)10x =+-∵无论x 取何实数，总有2(3)0x +≥．∴2(3)1010x +-≥-，即无论x 取何实数，261x x +-有最小值，是10-．(1)问题：已知247y x x =--+，试求y 的最值．(2)【知识迁移】在ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB AC 、上，顶点Q 、M 在边BC 上，探究一：12,6AD BC ==，求出矩形PQMN 的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN 我们很容易证明APN ABC ∽△△，可以设PN x =，经过推导，用含有x 的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：,AD h BC a ==，则矩形PQMN 面积S 的最大值___________．（用含a ，h 的代数式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)4ah【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；（2）首先证明APN ABC ∽△△，根据相似三角形的性质，可以得到PN AE BC AD=，设PN x =，则162x AE =，得出2AE x =，从而得出122MN x =-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；（3）根据探究一，即可得出PN AE BC AD =，设PN x =，则x a h AE =，因此h AE x a =，从而得到h MN h x a=-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．【解析】（1）解：()()()22222247474227211y x x x x x x x =--+=-++=-++-+=-++∵无论x 取何实数，总有2(2)0x +≥，∴2(2)0x -+≤，∴2(2)1111x -++≤，即y 有最大值，是11；（2）探究一：∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥BC ，∴∠APN ＝∠ABC ，∠ANP ＝∠ACB ，∴△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴162xAE=，∴2AE x =，由已知可得四边形EDMN 是矩形，∴122MN DE x ==-，∴()()()2222212221226332318S x x x x x x x =-=-+=--+-=--+，∵无论x 取何实数，总有2(3)0x -≥，∴22(3)0x --≤，∴22(3)1818x --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为18；（3）探究二：由探究一可知，△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴x a h AE=，∴h AE x a=，∴h MN h x a=-，∴()2222224424h h h h a a h a ah S x h x x hx x ax x ax x a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=--=--+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵无论x 取何实数，总有2()02a x -≥，∴2()02h a x a --≤，∴2(244h a ah ah x a --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为4ah ．18．如图，Rt ABC 为一块铁板余料，90B ∠=︒，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【答案】方案①正方形边长247cm ，方案②正方形边长12037cm ．【分析】方案①：设正方形的边长为x cm,然后求出△AEF 和△ABC 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．方案②：作BH ⊥AC 于H ，交DE 于K ，构造矩形DKHG 和相似三角形（△BDE ∽△BCA ），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH 的长度，则BK ＝4.8−y ；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【解析】解：设方案①正方形的边长为x cm ，90ABC ∠=︒ ，四边形BDFE 是正方形，EF BC ∴∥，AEF ABC ∴∆∆∽，∴EF AE BC AB=，即886x x -=，解得247x =，即加工成正方形的边长为247cm ．设方案②正方形的边长为y cm ，作BH AC ⊥于H ，交DE 于K ，∵四边形EDGF 是正方形，∴DE AC ∥，90EDG DGF ∠=∠=︒．∴BH DE ⊥于K ．∴90DKH ∠=︒．∴四边形DKHG 为矩形．设HK DG y ==．∵DE AC ∥．∴BDE BCA ∽．∴BK DE BH AC=．∵10AC ==．∴Δ11681022ABC S BH =⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8BH =，∴ 4.8BK y =-．∴4.84.810y y -=．解得12037y =．即方案②加工成正方形的边长为12037cm ．19．在△ABC 中，BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，P 是BC 上任一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F．(1)设BP ＝x ，将S △PEF 用x 表示；(2)当P 在BC 边上什么位置时，S 值最大．【答案】(1)S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）(2)当BP ＝1时，面积有最大值14【分析】（1）先求出△ABC 的面积，再用x 表示出PC ，然后再说明△CEP ∽△CAB 可得CEP CABS S ∆∆＝（22x -）2可得△CEP 的面积，同理可得S △BPF ＝24x ，然后结合图形根据平行四边形的对角线平分平行四边形解答即可；（2）先对（1）所得解析式配方，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【解析】（1）解：（1）∵BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，∴S △ABC ＝12×2×1＝1，∵BP ＝x ，∴PC ＝2﹣x ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ，∴CEP CAB S S ∆∆＝（22x -）2，∴S △CEP ＝1﹣x ＋24x ，同理:S △BPF ＝24x ，∵四边形AEPF 为平行四边形，∴S △PEF ＝12S ▱AEPF ＝12（S △ABC ﹣S △CEP ﹣S △BPF ）＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．∴S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．（2）解：由（1）知S △PEF ＝﹣14x 2＋12x ＝﹣14（x ﹣1）2＋14，∵0＜x ＜2，∴当x ＝1时，面积有最大值14．20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝12m ，高线AD ＝8m ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m ．(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt △ABC 的斜板，已知∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN 的工件，使MQ 在BC 上，P 、N 两点分别在AB ，AC 上，且PN ＝8m ，则平行四边形PQMN 的面积为m 2．【答案】(1)见解析(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，(3)7.68【分析】（1）设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，AE =AD -ED =（8-x ）m ，再证明△APN ∽△ABC ，得到AE PN AD BC =，即8812x x -=，由此求解即可；（2）设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，求出28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()226243S PN PQ x =⋅=--+，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，得到AE PN AD BC=，利用勾股定理和面积法求出10m BC =， 4.8m AD =，从而求出0.96m DE =，则27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形．【解析】（1）解：由题意得四边形PQDE 是矩形，设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，∴AE =AD -ED =（8-x ）m ，∵四边形PQMN 是正方形，∴PN QM ∥，∴△APN ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，即8812x x -=，解得 4.8x =，∴正方形PQMN 的边长为4.8m ；（2）解：设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，∴AE PN AD BC =，即8128x PQ -=，∴28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()2222288624333S PN PQ x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵230a =-<，∴当6x =时，S 有最大值，最大值为224m ，∴4m PQ =，∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，（3）解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴10m BC ==，∵1122ABC S AD BC AC AB =⋅=⋅△，∴ 4.8m AB AC AD BC⋅==，∴ 4.8AE AD DE DE =-=-，∴4.884.810DE -=，∴0.96m DE =，∴27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形，故答案为：7.68．。
初中数学经典几何模型08-相似三角形中的基本模型(含答案)
初中数学经典几何模型专题08相似三角形中的基本模型【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。
复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。
【模型】一、“8”字型及其变形模型展示：(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ABCD＝OAOC＝OBOD.(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ABCD＝OAOD＝OBOC.图1图21、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为____.2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.【模型】二、“A ”字型及其变形模型展示：(1)如图1，DE ∥BC ⇔△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.(2)如图2，∠AE D ＝∠B ⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC.(3)共边共角模型，如图3，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC ＝AC AB ＝CD BC.图1图2图31、在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A .已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝____.2、如图，已知BE ，CD 是△ABC 的两条高，连接DE ，求证：△ADE ∽△ACB .3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB＋1CD＝1EF.【模型】三、“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.【模型】四、“子母(双垂直)”型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.1、如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .如果AC ＝3，AB ＝6，那么A D 的值为()A .32B .92C .332D ．332、如图，AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB .证明：△AEF ∽△ABE .【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型模型展示：(1)“三垂直”模型如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.【基础训练】1.（2019浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝2.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．3.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．54.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：95.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．7.如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）（二）填空题1.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．2.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．3.已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．4.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．5.如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【巩固提升】1.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP 绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．3.如图①，在R t△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．4.阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．5.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B 重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．7.已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．8.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．专题08相似三角形中的基本模型答案【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。
浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)
相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。
任意四边形、梯形与相似模型(一)
任意四边形、梯形与相似模型例题精讲板块一任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【解析】在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABE S ×CDE S =ADE S ×BCE S ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即6ABE S ⨯ =7ADE S ⨯ ，所以有ABE 与ADE 的面积比为7:6，ABE S =7392167⨯=+公顷，ADE S =6391867⨯=+公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．【答案】21【例2】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报【解析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【答案】0.58【例3】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】第三届，华杯赛，初赛，第7题【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【解析】⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯ ，那么6BGC S = ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【答案】1:3【例4】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】填空【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S = ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【答案】2倍【例5】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答【解析】⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【答案】23【例6】如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】2008年，清华附中，入学测试题【解析】连接AD 、CD 、BC ．则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：41122+-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+-=，ABD ∆的面积为：42132+-=．所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABOABD S S ∆∆=⨯=⨯=+．【答案】1211【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+，510277DBC S ∆=⨯=．【答案】107【例7】如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．AB C D E F G A B CD E FG 【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年，人大附中考题【解析】连接EF ．因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCD S S S ∆=⨯⨯= ．因为12AED ABCD S S ∆= ，根据蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==，所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯= ．所以1322 21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆=-=-== ，即三角形AEG 的面积是27．【答案】27【例8】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．A B C DE F G A B C D EF G 【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S =⨯⨯= 长方形长方形．因为12AED ABCD S S = 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S == 平方厘米，所以12AFD S = 平方厘米．因为16AFD ABCD S S = 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【答案】72【例9】如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG的面积．【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BED BCD EO OC S S = ，而14BED ABCD S S = ，12BCD ABCD S S = ，所以::1:2BED BCD EO OC S S == ，故13EO EC =．由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO == ，所以1128BFD BED ABCD S S S == ，那么1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯= （平方厘米）．【答案】6.25【例10】如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是．【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得31322AOM BON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===设MON S x ∆=，根据共边定理我们可以得ANM ABM MNC MBC S S S S ∆∆∆∆=，33322312x x ++=++，解得22.5x =．【答案】22.5【例11】正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】2009年，迎春杯，6年级。
全等与相似模型-手拉手模型(解析版)
全等与相似模型-手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
1)双等边三角形型条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
图1图22)双等腰直角三角形型条件：如图2，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
3)双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
图3图44)双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM =90°；④CN 平分∠BNE 。
1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP 的数量关系，并证明；(2)当∠BPC =120°时， ①直接写出∠P BP 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．【答案】(1)BP =CP ，理由见解析；(2)①60°；②PM =12AP ，见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质，可得AB =AC ，∠BAC =60°，再由由旋转可知：AP =AP ，∠PAP =60°，从而得到∠BAP =∠CAP ，可证得△ABP ≌△ACP ，即可求解；(2)①由∠BPC =120°，可得∠PBC +∠PCB =60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC =60°，从而得到∠ABC +∠ACB =120°，进而得到∠ABP +∠ACP =60°．再由△ABP ≌△ACP ，可得∠ABP =∠ACP ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM =PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP =BN ，∠PCM =∠NBM ．进而得到BN =BP ．根据①可得∠P BP =60°，可证得△PNB ≌△PP B ，从而得到PN =PP ．再由△PAP 为等边三角形，可得P P =AP ．从而得到PN =AP ，即可求解．【详解】解：(1)BP =CP ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =60°，由旋转可知：AP =AP ，∠PAP =60°， ∴∠PAP -∠BAP =∠BAC -∠BAP 即∠BAP =∠CAP在△ABP 和△ACP 中AB =AC∠BAP =∠CAP AP =AP∴△ABP ≌△ACP (SAS )．∴BP =CP ．(2)①∵∠BPC =120°，∴∠PBC +∠PCB =60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠ABP +∠ACP =60°．∵△ABP ≌△ACP ．∴∠ABP =∠ACP ，∴∠ABP +∠ABP ＇=60°．即∠P BP =60°；②PM =12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM =PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM =CM ．在△PCM 和△NBM 中PM =NM∠PMC =∠NMB CM =BM∴△PCM ≌△NBM (SAS )．∴CP =BN ，∠PCM =∠NBM ．∴BN =BP ．∵∠BPC =120°，∴∠PBC +∠PCB =60°．∴∠PBC +∠NBM =60°．即∠NBP =60°．∵∠ABC +∠ACB =120°，∴∠ABP +∠ACP =60°．∴∠ABP +∠ABP ＇=60°．即∠P BP =60°．∴∠P BP =∠NBP ．在△PNB 和△PP B 中BN =BP∠NBP =∠P BP BP =BP∴△PNB ≌△PP B (SAS )．∴PN =PP ．∵AP =AP ，∠PAP =60°， ∴△PAP 为等边三角形，∴P P =AP ．∴PN =AP ，∴PM =12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC 和△ADE 都是等边三角形．(1)将△ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P (点P 与点A 重合)，有PA +PB =PC (或PA +PC =PB )成立；请证明．(2)将△ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB =PA +PC ，证明见解析(3)图③结论：PA +PB =PC【分析】(1)由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；(2)在BP 上截取BF =CP ，连接AF ，证明△BAD ≌△CAE (SAS )，得∠ABD =∠ACE ，再证明△CAP ≌△BAF (SAS )，得∠CAP =∠BAF ，AF =AP ，然后证明△AFP 是等边三角形，得PF =AP ，即可得出结论；(3)在CP 上截取CF =BP ，连接AF ，证明△BAD ≌△CAE (SAS )，得∠ABD =∠ACE ，再证明△BAP ≌△CAF (SAS )，得出∠CAF =∠BAP ，AP =AF ，然后证明△AFP 是等边三角形，得PF =AP ，即可得出结论：PA +PB =PF +CF =PC ．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA +PB =PC 或PA +PC =PB ；(2)解：图②结论：PB =PA +PC证明：在BP 上截取BF =CP ，连接AF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴△CAP ≌△BAF (SAS )，∴∠CAP =∠BAF ，AF =AP ，∴∠CAP +∠CAF =∠BAF +∠CAF ，∴∠FAP =∠BAC =60°，∴△AFP 是等边三角形，∴PF =AP ，∴PA +PC =PF +BF =PB ；(3)解：图③结论：PA +PB =PC ，理由：在CP 上截取CF =BP ，连接AF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°∴∠BAC +∠BAE =∠DAE +∠BAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，BP =CF ，∴△BAP ≌△CAF (SAS )，∴∠CAF =∠BAP ，AP =AF ，∴∠BAF +∠BAP =∠BAF +∠CAF ，∴∠FAP =∠BAC =60°，∴△AFP 是等边三角形，∴PF =AP ，∴PA +PB =PF +CF =PC ，即PA +PB =PC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．3(2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习)如图，已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形22OA <OM =ON ，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；(2)若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2=20N 2；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB =4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②46+322或46-322．【分析】(1)利用SAS 定理证明△AOM ≌△BON 即可；(2)①连接AM ，证明△AOM ≌△BON ，即可证BN 2+AN 2=2ON 2；②当点N 在线段AM 上时，连接BN ，在Rt △ANB 中构造勾股定理的等量关系；当点M 在线段AN 上时，同理即可求得．(1)证明：∵∠AOB =∠MON =90°，∴∠MON +∠AON =∠AOB +∠AON ，即∠AOM =∠BON ．∵△MON 和△AOB 是等腰直角三角形，∴OM =ON ,OA =OB ，∴△AOM ≌△BON (SAS )．(2)解：①证明：如图，连接AM ．∵∠AOB =∠MON =90°，∴∠MON -∠AON =∠AOB -∠AON ，即∠AOM =∠BON ．∵△MON 和△AOB 是等腰直角三角形，∴OM =ON ,OA =OB ,∠OAB =∠OBA =45°，∴△AOM ≌△BON .(SAS )∴∠MAO =∠OBA =45°,AM =BN ，∴∠MAN =90°，∴AM 2+AN 2=MN 2．∵△MON 是等腰直角三角形，∴MN 2=2ON 2，∴BN 2+AN 2=2ON 2．②46+322或46-322．∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OB =4，ON =3，∴AB =42,MN =32．当点N 在线段AM 上时，如图，连接BN ，设BN =x ，由(1)可知△AOM ≌△BON ．∴∠OAM =∠OBN ，AM =BN =x ．∴∠NAB +∠ABN =∠OAM +∠OAB +∠ABN =∠OBN +∠ABN +∠OAB =∠OBA +∠OAB =180°-∠AOB =90°，∴∠ANB =180°-∠NAB +∠ABN =90°，∴△ANB 是直角三角形，AN 2+BN 2=AB 2．又∵AN =AM -MN =BN -MN =x -32，∴(x -32)2+x 2=(42)2，解得：x 1=46+322,x 2=-46+322(舍去)∴BN =46+322；当点M 在线段AN 上时，如图，连接BN ，设BN =x ，由(2)①可知△AOM ≌△BON ．∴∠OAM =∠OBN ，AM =BN =x ．∴∠NAB +∠ABN =∠OAM +∠OAB +∠ABN =∠OBN +∠ABN +∠OAB =∠OBA +∠OAB =180°-∠AOB =90°，∴∠ANB =180°-∠NAB +∠ABN =90°，∴△ANB 是直角三角形，AN 2+BN 2=AB 2．又∵AN =AM +MN =BN +MN =x +32，∴(x +32)2+x 2=(42)2，解得：x 1=46-322,x 2=-46-322(舍去)∴BN =46-322综上所述：BN 的长为46+322或46-322．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．4(2022·重庆忠县·九年级期末)已知等腰直角△ABC 与△ADE 有公共顶点A ,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC =4,AD =AE =6．(1)如图①，当点B ,A ,E 在同一直线上时，点F 为DE 的中点，求BF 的长；(2)如图②，将△ADE 绕点A 旋转α0°<α≤360° ，点G 、H 分别是AB 、AD 的中点，CE 交GH 于M ，交AD 于N ．①猜想GH 与CE 的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若K 为AC 的中点，连接KM ，在△ADE 旋转过程中，线段KM 的最小值是多少(直接写出结果)．【答案】(1)BF =58；(2)①GH =12CE ,GH ⊥CE ；证明见解析；②线段KM 的最小值是5-1．【分析】(1)如图：过点F 作FQ ⊥AE 于点Q ，先说明FQ 是△ADE 的中位线，然后再求得FQ 、BQ ，最后再运用勾股定理解答即可；(2)①连接BD 交CE 于P ，先证明△ABD ≌△ACE 可得AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ，然后再说明GM 是△ABD 的中位线可得GH =12CE ，然后再根据角的关系证明GH ⊥CE ﹔②如图：连接CG ，取中点O ，连接OK 、OM ，再根据勾股定理和三角形中位线的性质求得CG 和OK ,进而求得OM ,最后根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：(1)过点F 作FQ ⊥AE 于点Q ，∵点F 是DE 的中点，∴FQ 是△ADE 的中位线∴FQ =12AD =3,AQ =12AE =3，∴BQ =AB +AQ =7∴BF =FQ 2+BQ 2=32+72=58；(2)①GH =12CE ,GH ⊥CE ﹔证明:连接BD 交CE 于P ．∵∠ABC =∠DAE =90°，∴∠ABC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ．即∠BAD =∠CAE ；在△ABD 和△ACE 中，∵AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD =CE ,∠ADB =∠AEC∵G ,H 分别是AB ,AD 的中点，∴GM 是△ABD 的中位线∴GH =12BD =12CE 且GH ⎳BD ∵∠AEN +∠ANE =90°,∠ANE =∠DNP ，∴∠ADP +∠DNP =90°∴∠DPN =90°∴∠HMN =∠DPN =90°，∴GH ⊥CE ﹔②如图：连接CG ，取中点O ，连接OK 、OM ∴CG =AG 2+AC 2=22+42=25，OK =12AG =1∵∠CMG =90°，O 为CG 的中点∴OM =12CG =5∵MK >OM -OK ∴当O 、K 、M 共线时，MK 取最小值OM -OK =5-1．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．5(2022·山西大同·九年级期中)综合与实践：已知△ABC 是等腰三角形，AB =AC ．(1)特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB EC ．(填“>”“<”或“=”)；(2)发现结论：若将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2所示的位置，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠BAC =90°，且BP =1，AP =2，CP =3，求∠BPA 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将△BAP 绕点A 顺时针旋转90°得到△CAE ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出∠BPA 的度数．【答案】(1)=；(2)成立，理由见解析；(3)∠BPA =135°．【分析】(1)由DE ∥BC ，得到∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，结合AB =AC ，得到DB =EC ；(2)由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB =CE ；(3)由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠ADE =∠AED ，∴AD =AE ，∴DB =EC ，故答案为：=；(2)成立．证明：由①易知AD =AE ，∴由旋转性质可知∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△DAB ≌△EAC (SAS )，∴DB =CE ；(3)如图，将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEC中，PE2=(22)2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．6(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析(2)∠DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM【分析】(1)先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；(2)同(1)的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS ，∴BD=CE．(2)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：由(1)的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．7(2022·广东广州市·八年级期中)如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．(1)证明：△ADG≌△CDE；(2)请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；(3)连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)AG=CE，AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积【分析】(1)利用SAS证明△ADG≌△CDE；(2)利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，证明△DPG≌△DNE，得到PG= EN，再利用三角形的面积公式分别表示出△ADE的面积，△CDG的面积，即可得到结论△ADE的面积=△CDG的面积.【详解】(1)∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE(SAS)，(2)AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°，∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG，∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=12AD⋅EN，△CDG的面积=12CD⋅GP，∴△ADE的面积=△CDG的面积.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.8(2023·福建福州市·九年级月考)如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．(1)请判断：线段BE与CD的大小关系是；(2)观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?(3)观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是,在如图中证明你的猜想.(4)这些结论可否推广到任意正多边形(不必证明),如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？【答案】(1)BE=CD(2)线段BE与CD的大小关系不会改变(3)AE=CG，证明见解析(4)这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．【详解】(1)线段BE与CD的大小关系是BE=CD；(2)线段BE与CD的大小关系不会改变；(3)AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．(4)这些结论可以推广到任意正多边形．如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ， 求证：△ADE ∽△DBF ． 证明：①又∵DF ∥AC ， ②∵DE ∥BC ， ③∴∠A=∠BDF ， ④∴∠ADE=∠B ， ∴△ADE ∽△DBF ．A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④① 【解答】证明：②∵DE ∥BC ，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C 移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE AC AB BC==【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比．【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG∽△ACF，∴==，∴=2．图④内含正方形A字形，结论AH a aAH BC-=（a为正方形边长）【例5】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．（1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH的周长；（3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，∴HG∥EF，而AD⊥BC，∴AM⊥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=；（2）解：设HE=x，HG=2x，则=，解得x=12，∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）；（3）存在．当HE=a，则=，∴HG=﹣a+30，∴S矩形HEFG=a（﹣a+30）=﹣a2+30a，当a=﹣=时，S矩形HEFG最大，即当HE=cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．【练习1】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB 上，AD与HG的交点为M．（1）试说明：=的理由；（2）求这个矩形EFGH的面积．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴=；（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，∵AD=60cm，∴AM=（60﹣x）cm，∵HG=2HE，∴HG=2xcm，由（1）得，可得=，解得，x=24，故HE=24，HG=2x=48，则矩形EFGH的面积=24×12=1152cm2．【例6】如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，求证：AD=EB．【解答】证明：过D点作DH∥BC交AB于H，如图，.∵DH ∥BC ， ∴△AHD ∽△ABC ， ∴=，即=，∵DH ∥BE ， ∴△BEF ∽△HDF ， ∴=， 而， ∴=，∴AD=EB ．【例7】如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交CA 的延长线于D ，交AB 于点F ，求证：AE 2=EF •ED ．【解答】解：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°，∠D+∠C=90°， ∴∠B=∠D ，∵BC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠BAC=90°． ∴BE=EA ， ∴∠B=∠BAE ， ∴∠D=∠BAE ， ∵∠FEA=∠AED ， ∴△FEA ∽△AED ， ∴=∴AE 2=EF •ED ．“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE ∽△ABC ，该图可看成把第一个图中的△ADE 绕点A 旋转某一角度而形成的．【例8】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ） A ．=B ．=C ．=D ．=【解答】解：∵∠BAC=∠D ，，∴△ABC ∽△ADE ． 故选：C ．.。
初中数学相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型及参考答案
相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型梅内劳斯(Menelaus，公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。
梅涅劳斯(定理)模型：如图1，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF FB ⋅BDDC⋅CEEA=1．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果AF FB⋅BD DC ⋅CEEA=1，则F、D、E三点共线．图1图2塞瓦(G·Gevo1647-1734)是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦(定理)模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1。
注意：①梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
1(2023.浙江九年级期中)如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：AE:ED=2AF:FB．2(2023.重庆九年级月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，CD的延长线交AB于点E．求AEEB．3(2023.湖北九年级期中)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，AE =EB ，AD DC=23，BD 与CE 交于点F ，S △ABC =40．求S AEFD ．4(2023.江苏九年级月考)已知AD 是△ABC 的高，点D 在线段BC 上，且BD =3，CD =1，作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G ，求CG ．5(2023.广东九年级专项训练)如图，在△ABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，∠B 的平分线与边CA 交于点Q ，∠C 的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．6(2023上·广东深圳·九年级校联考期中)梅涅劳斯(Menelaus )是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与△ABC 的三边AB ,BC ,CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有AF FB ⋅BD DC ⋅CEEA=1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图2，过点A 作AG ∥BC ，交DF 的延长线于点G ，则有AF FB =AG BD ，CE EA =CDAG，∴△AGF ∽△BDF ，△AGE ∽△CDE ，∴AF FB ⋅BD DC ⋅CE EA =AG BD ⋅BD DC ⋅CDAG=1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图3，△ABC 三边CB ,AB ,AC 的延长线分别交直线l 于X ,Y ,Z 三点，证明：BX XC ⋅CZ ZA ⋅AYYB=1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图4，等边△ABC 的边长为3，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且BF =2AF ,CF 与AD 交于点E ，试求AE 的长．(3)如图5，△ABC 的面积为4，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接FD 交AC 于E ，求四边形BCEF 的面积．7(2023.山东九年级月考)如图：P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点．若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，求证：BP PC ⋅CQ QA ⋅ARRB=1．8(2023.浙江九年级期中)如图，在锐角△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：∠EDH =∠FDH 。
中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版)
专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.CA222“三垂直”模型如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.“一线三等角”模型如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.【题型演练】一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（）A．163B．4C．3D．2【答案】C【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明∠ABF∠∠DAE，可得AF DEAB AD=，即可求解．【详解】解：∠矩形ABCD，∠∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∠∠BAG+∠DAE=90°∠折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∠BF垂直平分AG∠∠ABF+∠BAG=90°∠∠DAE=∠ABF，∠∠ABF∠∠DAE∠AF ABDE AD=即648AF=解之：AF=3．故答案为：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2．如图，边长为10的等边ABC中，点D在边AC上，且3AD=，将含30°角的直角三角板（30F∠=︒）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q．连接PQ，当//EF PQ 时，DQ长为（）A．6B C．10D．【答案】B【分析】过点Q作QK AC⊥于K，根据等边三角形，和含30︒角的直角三角形，易证得ADP BPQ∽△△，从而求得线段BP，AP，BQ，CQ，CK，QK，DK的长度，最后在Rt DQK△中利用勾股定理可以求得DQ 的长度．【详解】解：过点Q 作QK AC ⊥于K ，在等边ABC 中，60∠=∠=∠=︒A B C ，10AB BC AC ， 在Rt EFD 中，60E ∠=︒，30F ∠=︒，∠//EF PQ ，∠60DPQ ∠=︒，30DQP ∠=︒，∠APD ADP APD QPB ∠+∠=∠+∠，∠ADP QPB ∠=∠，又∠∠A =∠B =60°，∠ADP BPQ ∽△△， ∠AD AP PD BP BQ QP==， ∠在Rt PQD △中，30DQP ∠=︒， ∠12PD QP =， 即12PD QP =， ∠12AD AP PD BP BQ QP ===， ∠3AD =， ∠312BP =， ∠6BP =，已知10AB =∠1064AP AB BP =-=-=， ∠412BQ =， ∠8BQ =，∠1082CQ BC BQ =-=-=，在Rt CQK △中，60C ∠=︒，∠30KQC ∠=︒， ∠2122CQ KC ===， ∠DK AC AD KC =--，∠10316DK =--=，而sin KQ C CQ ∠=,∠sin 602KQ ︒==∠KQ =在Rt DQK △中，DQ∠DQ =即DQ =故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan∠AEB 43=，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D 处，当APD '△是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AB ＝CD ，∠B ＝90°，根据勾股定理求得AE ，当∠APD '是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ，∠B ＝90°，∠CD ＝4，tan∠AEB 43=，∠BE ＝3，在Rt ∠ABE 中，AE 5=，∠E 是BC 的中点，∠AD ＝6，由折叠可知，PD ＝PD '，设PD ＝x ，则PD '＝x ，AP ＝6﹣x ，当∠APD '是直角三角形时，∠当∠AD 'P ＝90°时，∠∠AD 'P ＝∠B ＝90°，∠AD ∠BC ，∠∠P AD '＝∠AEB ，∠∠ABE ∠∠PD 'A ， ∠AP PD AE AB '=， ∠654x x -=， ∠x 83=， ∠PD 83=； ∠当∠APD '＝90°时，∠∠APD '＝∠B ＝90°，∠∠P AE ＝∠AEB ，∠∠APD '∠∠EBA ， ∠AP PD BE AB '=， ∠634x x -=， ∠x 247=， ∠PD 247=； 综上所述：当∠APD '是直角三角形时，PD 的值为83或247； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接EG ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，AE DG ∴=，//AE DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AD EG ∴=，矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，∴四边形EHGF 是平行四边形，HF AD EG ==，∴四边形EHGF 是矩形，90EHG ∴∠=︒，90A D ∠=∠=︒，90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEH DHG ∴∠=∠，AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH=，设AH x =，则5DH x =-，122AE DG AB ===， ∴225x x=-， 解得，1x =或4，1AH ∴=或4，当1AH =时，4DH =，则HE =HG∴四边形EFGH 的周长2=⨯=同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．5．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC 则下列结论：∠∠DGA =∠CGF ；∠∠DAG ∠∠CGF ；∠AB =2；∠BE CF ．正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【分析】由余角的定义可推出90DGA CGF ∠+∠=︒，并不能说明DGA CGF ∠=∠，说明∠错误；再根据90DAG DGA ∠+∠=︒，可推出DAG CGF ∠=∠，进而可证明DAG CGF ，说明∠正确；连接BD ，由三角形中位线可知12GF BD =DAG CGF 可进一步推出2CF CG CG CF =，即2CF =，即BE =，说明∠正确；在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即可求出CG 长度，即可求出AB=2，说明∠正确．【详解】解：∠90AGF ∠=︒，∠90DGA CGF ∠+∠=︒，∠不能说明DGA CGF ∠=∠，故∠错误．∠90DAG DGA ∠+∠=︒，∠DAG CGF ∠=∠，又∠90ADG GCF ∠=∠=︒∠DAG CGF ，故∠正确．如图连接BD ，由题意可知AC BD =∠G 和F 分别为CD 和BC 的中点，∠12GF BD = ∠DAG CGF ∠AD DG GC CF =，即2CF CG CG CF=，∠CF =在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即222)CG =+, 解得1CG =∠22AB CG ==，故∠正确．∠BE CG =，∠CF BE ，即BE ，故∠正确． 综上正确的有∠∠∠共3个．故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明DAG CGF 是解答本题的关键．6．如图，在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==．动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动．已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒．连接BD ．下列结论正确的有（ ）个∠4BC =；∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=；∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切； ∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC 可判断∠，利用勾股定理求AC ，BD ，AG ，再用正切锐角三角函数定义求值可判断∠，利用相似三角形判定与性质，可判断∠，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断∠【详解】解：在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==． 4cos 545BC AB B =⋅=⨯=， 故∠4BC =正确；作AG ∠BD 于G ，在Rt∠ABC 中，3AC =，∠AD =AB =5，AG ∠BD∠CD =AD -AC=5-3=2，DG =BG ，在Rt∠DCB 中，BD =∠DG =BG在Rt∠BGA 中，AG =∠tan 2AG ABD BG ∠===， 故∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=正确；AD =t ，BE =2t ，cos A =35AC AB =， 当2513t =时，2513AD t ==，2550221313BE t ==⨯=， ∠50155251313AE AB BE t =-=-=-=， ∠1531325513AE AD ==， ∠cos A ==AE AC AD AB，∠DAE =∠BAC ， ∠∠ADE ∠∠ABC ，∠∠AED =∠ACB =90°，∠∠DEB =90°，∠DE 与B 相切，故∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切正确；过E 作EH ∠AC 于H ，当CBD ADE ∠=∠时，∠∠EHD =∠DCB =90°，∠∠EHD ∠∠DCB ， ∠HE DH CD CB=， ∠AE =5-2t ，∠AH =()35-25t ，EH =()45-25t ，3CD t =-，6113355HD AD AH t t t =-=-+=-， ∠()4115235534t t t --=-， 整理得211801250t t -+=，因式分解得()()112550t t --=， ∠2511t 或5t =（舍去），故∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t正确；正确的结论有4个．故选择D ．【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．二、填空题7．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．【分析】根据 正方形的性质求出5AO BO CO ===，证明EBO EAF ∽△△得到EF AE OE BE =，即可求出答案.【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB =90AOB ∠=︒∴，OA=OB=OC=OD ，∠222OA AB =,∠5AO BO CO ===，AF BE ⊥，EBO EAF ∴∠=∠，EBO EAF ∴∽△△，即EF AE OE BE= 2OE =，5OB OA ==，BE ∴=7AE =，2EF ∴=EF =. 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.8．如图，在矩形ABCD 中，9AB =，12BC =，F 是边AD 上一点，连接BF ，将ABF △沿BF 折叠使点A 落在G 点，连接AG 并延长交CD 于点E ，连接GD ．若DEG △是以DG 为腰的等腰三角形，则AF 的长为________．或9 2【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x，证明∠BAF∠∠ADE，推出AB AFDA DE=，可得DE=43x，再证明AM=MD=6，在Rt∠FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x．∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，由翻折的性质可知，AF=FG，BF∠AG，∠∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∠∠ABF=∠DAE，∠∠BAF=∠ADE=90°，∠∠BAF∠∠ADE，∠AB AF DA DE=，∠912xDE=，∠DE=43x，∠GM∠AD，GN∠CD，∠∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，∠四边形GMDN是矩形，∠GM=DN=EN=23 x，∠GD=GE，∠∠GDE=∠GED，∠∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，∠∠GDA=∠GAD，∠GA =GD =GE ，∠GM ∠DE ，∠AM =MD =6，在Rt ∠FGM 中，则有()222()263x x x =-+，解得x =（舍弃），∠AF ． 如图2中，当DG =DE 时，由翻折的性质可知，BA =BG ，∠∠BAG =∠BGA ，∠DG =FE ，∠∠DGE =∠DEG ，∠AB ∠CD ，∠∠BAE =∠DEG ，∠∠AGB =∠DGE ，∠B ，G ，D 共线，∠BD 15=，BG =BA =9，∠DG =DE =6，∠∠BAF ∠∠ADE ， ∠AF AB DE AD =， ∠9612AF =， ∠AF =92，综上所述，AF 或92．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE 沿直线DE 翻折得到FDE ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为______．【分析】根据∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，可证∠BDF ∠∠CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ∠AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求DE AF ⋅= 【详解】解：如图，作∠ABC 的高AL ，作∠BDF 的高DH ，∠∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，∠∠DFE =∠DAE = 60°，AD = DF ，∠∠CFE +∠FEC =∠CFE +∠DFB = 120°，∠∠DFB = ∠CEF ，又∠B =∠C = 60°，∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠BD CF BE CE= ， 即BF CF CE BD ⋅=， 设CF = x (x > 0)，∠BF =4CF ，∠BF = 4x ，∠BD =3， ∠243x CE =， ∠45BC BF CF x x x =+=+=，∠53AD AB BD BC BD DF x =-=-==-，2453x AE EF x ==-， ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠DF BD EF CF=， ∠2533453x x x x -=- 解得：x =2，∠CF =4，∠BC =5x =10，∠在Rt ∠ABL 中，∠B =60°，∠AL =AB∠S △ABC=1102⨯⨯= ∠在Rt ∠BHD 中，BD =3，∠B =60°，∠DH =BDsin60°=3= ∠S △BDF=11822BF DH ⋅=⨯= ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠223924BDF CFE S BD S CF ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∠S△BDF =∠S △CEF ， 又∠AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，∠AD =DF ，∠ADF 为等腰三角形，DE ∠AF ，∠S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF==，∠DE AF⋅=故答案为．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．三、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF∠EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：∠AEF∠∠DCE；(2)∠AEF与∠ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设ABkBC=，是否存在这样的k值，使得∠AEF与∠BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，k【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt∠AEF∠Rt∠DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，∠CGF是等腰三角形，据此即可证得∠AEF与∠ECF相似；(3)假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝13ka，BF＝23ka，再由∠AEF∠∠DCE，即可求得k值．（1）证明：∠EF∠EC，∠∠FEC＝90°，∠∠AEF＋∠DEC＝90°，∠∠AEF＋∠AFE＝90°，∠∠DEC＝∠AFE，又∠∠A＝∠EDC＝90°，∠∠AEF∠∠DCE；（2）解：∠AEF∠∠ECF．理由：∠E为AD的中点，∠AE＝DE，∠∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∠∠AEF∠∠DEG(ASA)，∠EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∠EF∠CE，∠CE垂直平分FG，∠∠CGF是等腰三角形．∠∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∠∠A＝∠FEC＝90°，∠∠AEF∠∠ECF；（3）解：存在k使得∠AEF与∠BFC相似．理由：假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∠∠AEF∠∠BCF，∠12AFAE BF BC ， ∠AF ＝13ka ，BF ＝23ka ， ∠∠AEF ∠∠DCE ， ∠AE AF DC DE =，即113212ka a ka a =，解得，k =．∠存在k ∠AEF 与∠BFC 相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD∠=︒，若CE CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由∠DPC =∠A =B =90°，可得∠ADP ＝∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝α，可得∠ADP =∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证∠ABD ∽∠DFE ，求出DF =4，再证∠EFC ∽∠DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∠∠DPC =∠A =∠B =90°，∠∠ADP ＋∠APD =90°，∠BPC ＋∠APD = 90°， ∠∠ADP = ∠BPC ，∠∠ADP ∽∠BPC ，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=， ADE 是等腰直角三角形，DE ∴=， 2AB =4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD∴=， 5EC =4CD DF FC FC =+=+， ()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=， 1FC ∴=，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．12．【感知】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ∠=∠=∠=︒．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC ∠=∠=∠．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图∠，在ABC 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ∠=∠，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或203． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明∠ACP ∠∠BPE ，分CP =CE 、PC =PE 、EC =EP 三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∠DPB ∠是APD △的外角，∠DPB A PDA ∠=∠+∠，即DPC CPB A PDA ∠+∠=∠+∠，∠A DPC ∠=∠，∠PDA CPB ∠=∠，又∠A B ∠=∠，∠DAP PBC △△∽， ∠PD AP PC BC=， ∠4PD =，8PC =，6BC =， ∠486AP =， 解得：3AP =；拓展：∠AC =BC ，∠∠CPB 是∠APC 的外角，∠∠CPB =∠A +∠PCA ，即∠CPE +∠EPB =∠A +∠PCA ，∠∠A =∠CPE ，∠∠ACP =∠BPE ，∠∠A =∠B ，∠∠ACP ∠∠BPE ，当CP =CE 时，∠CPE =∠CEP ，∠∠CEP ＞∠B ，∠CPE =∠A =∠B ，∠CP =CE 不成立；当PC =PE 时，∠ACP ∠∠BPE ，则PB =AC =8，∠AP =AB -PB =12-8=4；当EC =EP 时，∠CPE =∠ECP ，∠∠B =∠CPE ，∠∠ECP =∠B ，∠PC =PB ，∠∠ACP ∠∠BPE ， ∠AC AP PC BP BE EP ==， 即8128PB PB PB BE BE-==-， 解得：163PB =， ∠AP =AB -PB =16201233-=， 综上所述：∠CPE 是等腰三角形时，AP 的长为4或203． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF AE ⊥于点F ，设()0AD AEλλ=>．（1）若1λ=，求证：CE FE =；（2）若3,4AB AD ==，且D B F 、、在同一直线上时，求λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1615【分析】（1）根据矩形的性质可得，90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，再根据已知条件DF AE ⊥，即可证明DFA ∠ABE △，则AF BE =，进而通过线段的和差关系求得； （2）由勾股定理求得BD 的长度，再由ABD △的面积求得AF 的长度，则可用勾股定理求得DF 的长度，则可得BF 的长度，再由DFA ∠ABE △，求得EB 的长度，在Rt ABE 中，根据勾股定理即可求得AE ，即可求得λ的值．【详解】（1）∠1λ=， ∠1AD AE=， ∠AD AE =，又∠四边形ABCD 是矩形，∠90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，∠DAF AEB ∠=∠，∠DF AE ⊥，∠90DFA B ∠=∠=︒，∠在DFA 和ABE △中，DFA B DAF AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DFA ∠ABE △，∠AF BE =，∠=AE AD BC =，∠AE AF BC BE -=-，∠CE FE =；（2）如图，D B F 、、三点共线，∠3,4AB AD ==，∠5BD =，∠DF AE ⊥， ∠1122ABD S AB AD BD AF =⋅=⋅△， ∠341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∠165DF ==， ∠169555BF BD DF =-=-=， ∠//AD BE ， ∠在ADF △和EBF △中，FAD FEB ADF EBF AFD EFB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∠ADF △∠EBF △， ∠AD DF EB BF=， 即164595EB =， ∠94EB =，∠154AE ==， ∠14161554AD AE λ===．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ，点G 在线段EF 上，满足FG∠GE ＝1∠2，设BE ＝x ． （1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在∠ADF 的内部时，用x 的代数式表示∠ADG 的余切；（3）当∠FGD ＝∠AFE 时，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）361x x --；（3． 【分析】（1）根据题意可证明∠DAF ＝∠BAE ，又由于∠ABE ＝∠ADF ＝90°，即证明∠ADF∠∠ABE ，所以AD DF AB BE=． （2）作GH∠CF 于H ，根据题意可求出DF ＝3BE ＝3x ，根据平行线分线段成比例得出13GH FH FG EC FC FE ===，即可列出关于x 的等式，从而得出GH 和FH 的长，即可求出HD 的长，cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD，即可求出结果． （3）作EM//GD 交DC 于点M ，即可知12FD FG DM GE ==，可求出DM ，从而求出CM ，根据图形可证明∠ABE∠∠ECM ，即可得到AB EC BE CM=，即列出关于x 的方程，解出x 即可． 【详解】（1）如图，因为AF∠AE ，∠∠EAF ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°．∠同角的余角相等，∠∠DAF ＝∠BAE ．∠∠ABE ＝∠ADF ＝90°．∠∠ADF∠∠ABE ． ∠AD DF AB BE=．（2）由31DF AD BE AB ==，得DF ＝3BE ＝3x ． 如图，作GH∠CF 于H ，那么GH//BC//AD ． 根据题意结合平行线分线段成比例得：13GH FH FG EC FC FE ===． ∠EC BC BE =-，FC CD DF =+， ∠13313GH FH x x ==-+．即GH ＝1(3)3x -，FH ＝1(31)3x +． 在Rt∠GHD 中，HD ＝DF －FH ＝13(31)3x x -+＝123x -＝1(61)3x -， ∠∠ADG ＝∠DGH ，∠cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD ＝1(3)31(61)3x x --=361x x --．（3）当点G 在∠ADF 内部时，很明显∠FGD 和∠AFE 不相等．所以点G 在∠ADF 外部． 如图，作EM//GD 交DC 于点M ，那么12FD FG DM GE ==． ∠DM ＝6x ，∠MC ＝1－6x ．如果∠FGD ＝∠AFE ，那么AF//GD//EM ．∠∠AEM ＋∠EAF ＝180°．∠∠AEM ＝90°．∠∠ABE∠∠ECM ． ∠AB EC BE CM =．即1316x x x-=-． 整理，得x 2－9x ＋1＝0．解得1x =23x >（不符合题意，舍去）．所以BE【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．15．如图，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 边上的一点，∠APD ＝90°． （1）求证：ABP PCD △△；（2）若BC ＝10，CD ＝3，PD ＝AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAP CPD ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC 的长，从而可得BP 的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1）90,90B C APD ∠=∠=︒∠=︒，90BAP APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=∴︒，BAP CPD ∴∠=∠，在ABP 和PCD 中，BAP CPD B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABP PCD ~∴；（2）在Rt PCD 中，3,CD PD ==6PC ∴，10BC =，4PB BC PC ∴=-=，由（1）已证：ABP PCD △△，AB PB PC CD ∴=，即463AB =， 解得8AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ，若∠AFG ＝∠ACD ．（1）求证：∠∠MFC ∠∠MCA ；∠若AB ＝5，AC ＝8，求CF BE的值． （2）若DM ＝CM ＝2，AD ＝3，请直接写出EF 长．【答案】（1）∠见解析；∠FC EB ＝85；（2）EF 【分析】（1）∠根据两角对应相等两三角形相似，证明即可．∠证明∠AEF∠∠ABC ，推出AF AC ＝AE AB ，推出AF AE ＝AC AB，推出∠FAC∠∠EAB ，可得结论． （2）利用勾股定理求出AM ，AC ，由MFC∠∠MCA ，推出CM AM ＝FM CM ，求出MF ，AF ，由∠AEF∠∠ABC ，推出EF BC ＝AF AC ，可得结论． 【详解】（1）∠证明：∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠FCA +∠F AC ＝∠FCA +∠MCF ，∠∠F AC ＝∠MCF ，∠∠FMC ＝∠CMA ，∠∠MFC ∠∠MCA ．∠解：∠四边形AEFG ，四边形ABCD 都是矩形，∠FG ∠AE ，CD ∠AB ，∠∠AFG ＝∠F AE ，∠ACD ＝∠CAB ，∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠AEF ＝∠ABC ＝90°，∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠AF AC ＝AE AB ， ∠AF AE ＝AC AB， ∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠F AC ＝∠EAB ，∠∠F AC ∠∠EAB ， ∠FC EB ＝AC AB ＝85． （2）解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠D ＝90°，AD ＝BC ＝3，∠DM ＝MC ＝2，AD ＝3，∠CD ＝4，AM AC 5， ∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM AM ＝FM CM，∠FM ＝2CM AM∠AF ＝AM ﹣FM ∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠EF BC ＝AF AC ，∠3EF ＝135，∠EF【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ．（1）求证：ABE DEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABEEBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）点E 为AD 的中点．理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE =∠DEF ，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出AB AB DE AE=，即可得出DE =AE ． 【详解】（1）证明∠四边形ABCD 是正方形，∠∠A =∠D =90°，∠∠AEB +∠ABE =90°，∠EF ∠BE ，∠∠AEB +∠DEF =90°，∠∠ABE =∠DEF ．在∠ABE 和∠DEF 中， ABE DEF A D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∠∠ABE ∠∠DEF ；（2）∠∠ABE ∠∠DEF ， ∠AB BE DE EF=， ∠∠ABE ∠∠EBF ，∠AB BE AE EF=，∠AB AB DE AE=，∠DE=AE，∠点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．18．如图，正方形ABCDP是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：∠BEP∠∠CPF；（2）当∠P AB＝30°时，求∠PEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）2-【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证∠BEP∠∠CPF；（2）由题意可知∠BPE＝30°，60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∠PE平分∠APB，PF平分∠APC，∠∠APE＝12∠APB，∠APF＝12∠APC，∠∠APE+∠APF＝12（∠APB+∠APC）＝90°，∠∠EPF＝90°，∠∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∠∠BEP＝∠FPC，∠∠B＝∠C＝90°，∠∠BEP∠∠CPF；（2）∠∠PAB＝30°，∠∠BPA＝60°，∠∠BPE＝30°，在Rt∠ABP中，∠PAB ＝30°，AB∠BP ＝1，在Rt∠BPE 中，∠BPE ＝30°，BP ＝1，∠EP ∠CP1，∠FPC ＝60°，∠PF ＝2CP ＝2，∠∠PEF 的面积为：12PE•PF ＝2 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．19．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，5AC =．设AP 的长为x ．(1)AB =___________；当1x =时，PE =_________； (2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE 是等腰三角形时，请求出x 的值．【答案】(1)4AB =,34PE PB = (2)PE PB 为定值，34PE PB = (3)75x =或4x = 【分析】（1）作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．由BMP PNE ∆∆∽，推出PE PN PB BM =，只要求出PN 、BM 即可解决问题；（2）结论：PE PB的值为定值．证明方法类似（1）； （3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，5AC =，90ABC ∠=︒，4AB ∴=．在Rt APM △中，1PA =，35PM =，45AM =， 165BM AB AM ∴=-=， 3MN AD ==，125PN MN PM ∴=-=， 90PMB PNE BPE ∠=∠=∠=︒，90BPM EPN ∴∠+∠=︒，90EPN PEN ∠+∠=︒，BPM PEN ∴∠=∠，BMP PNE ∴△∽△， ∴12351645PE PB===， 故答案为4，34． （2） 结论：PE PB的值为定值． 理由：由PA x =，可得35PM x =．45AM x =，445BM x =-，335PN x =-， BMP PNE △∽△， ∴33354445x PE PN PB BM x -===-； （3）∠当点E 在线段CD 上时，连接BE 交AC 于F ．90PEC ∠>︒，所以只能EP EC =，EPC ECP ∴∠=∠，90BPE BCE ∠=∠=︒，BPC BCP ∴∠=∠，BP BC ∴=，BE ∴垂直平分线段PC ，在Rt BCF 中，cos CF BC BCF BC AC∠==， ∴335CF =， 95CF ∴=， 1825PC CF ∴==， 187555x PA ∴==-=． ∠当点E 在DC 的延长线上时，设BC 交PE 于G ．90PCE ∠>︒，所以只能CP CE =．CPE E ∴∠=∠，90GPB GCE ∠=∠=︒，PGB CGE ∠=∠，PBG E CPE ∴∠=∠=∠，90ABP PBC ∠+∠=︒，90APB CPE ∠+∠=︒，4AB AP ∴==，综上所述，x 的值为75或4． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．20．【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）DE =（3【分析】（1）根据ASA 证明BCE CDG △△≌； （2）由（1）得9CE DG ==，由折叠得BCF BFC ∠=∠，进一步证明HF HG =，由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE ，分点H 在D 点左边和点H 在D 点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE 的长，再由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，BFE △由BCE 折叠得到，BE CF ∴⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒． 又四边形ABCD 是正方形，90D BCE ∴∠=∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠， 又 正方形,ABCD,BC CD ∴=，()BCE CDG AAS ∴△△≌．（2）如图，连接EH ，由（1）得BCE CDG △△≌， 9CE DG ∴==，由折叠得BC BF =，9CE FE ==，BCF BFC ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，BCG HGF ∴∠=∠，又BFC HFG ∠=∠，HFG HGF ∴∠=∠，HF HG ∴=． 45HD HF =，9DG =， 4HD ∴=，5HF HG ==．90D HFE ∠=∠=︒2222HF FE DH DE ∴+=+，2222594DE ∴+=+，DE ∴=DE =-． （3）如图，连结HE ，由已知45HD HF =可设4DH m =，5HG m =，可令DE x EC=， ∠当点H 在D 点左边时，如图，同（2）可得，HF HG =，9DG m ∴=，由折叠得BE CF ⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒，又90D ∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又90BCE D ∠=∠=︒，CDG BCE ∴△∽△，DG CD CE BC∴=， CD AB k BC BC ==， 91m k CE ∴=， 9m CE FE k∴==， 9mx DE k ∴=． 90D HFE ∠=∠=︒，2222HF FE DH DE ∴+=+，222299(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =舍去）．DE EC∴=∠当点H 在D 点右边时，如图，同理得HG HF =，DG m ∴=，同理可得BCE CDG △∽△， 可得m CE FE k ==，mx DE k∴=， 2222HF FE DH DE +=+，2222(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =．DE EC∴=【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．在矩形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，将ADE 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处．（1）如图1，若3tan 4EFC ∠=，求:AB BC 的值；（2）如图2，在线段BF 上取一点G ，使AG 平分BAF ∠，延长AG ，EF 交于点H ，若FG BG CF =+，求:AB BC 的值．【答案】（1）45；（2）35． 【分析】（1）根据3tan 4EFC ∠=，可设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ==，再证明ABF FCE ~，由相似三角形性质即可用k 表示出BF ，从而求得比值；（2）过点G 作GM AF ⊥于点M ，由FG BG CF =+可得1122FG BC AF ==，再证MFG BFA ，从而12GM FM FG AB BF AF ===，设BG x =，由角平分线性质可得：BG MG x ==，2AB AM x ==，设FM y =，则2BF y =，由222AB BF AF +=列方程即可求出43y x =，再根据AB AB BC AF=即可求出比值． 【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，90B C D ︒∴∠=∠=∠=，由折叠的性质得：90AFE D ︒∠=∠=，EF ED =，AF AD =，3tan 4CE EFC CF ∴∠==， 设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ∴==，又90AFB BAF ︒∠+∠=，90AFB EFC ∠+∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，∠ABF FCE ~，AB BF CF CE∴=， ∠843k BF k k=， 6BF k ∴=，∠6410BC BF CF k k k =+=+=，84105AB k BC k ∴==； （2）如解图2，过点G 作GM AF ⊥于点M ，FG BG CF =+，=FG BG CF BC ++， 1122FG AD BC ∴== AD AF =，12FG AF ∴= MFG BFA ∠=∠，90FMG FBA ︒∠=∠=， MFGBFA ∴， ∠12GM FM FG AB BF AF ===， 设BG x =， AG 平分,,BAF GB AB GM AF ∠⊥⊥， BG MG x ∴==，2AB AM x ==， 设FM y =，则2BF y =，222AB BF AF +=222(2)(2)(2)x y x y ∴+=+，解得43y x = 而=AF AM MF +，∠410233x x x +=， ∠231053AB AB x BC AF x ===． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．22．问题提出（1）如图1，在矩形ABCD 中，4cm AB =，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，过点E 作//EG BC交FD 于点G ．若5cm EG =，则EFD △的面积为_________．问题探究（2）如图2，在矩形ABCD 中，6cm,9cm AB BC ==，点P 是AD 边上一动点，点Q 是CD 的中点将．ABP 沿着BP 折叠，点A 的对应点是A '，将QDP △沿着PQ 折叠，点D 的对应点是D ．请问是否存在这样的点P ，使得点P 、A '、D 在同一条直线上？若存在，求出此时AP 的长度；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD 中，4cm BC =，点D 到BC 的距离为5cm,AD CD ⊥，且CD =．若过点D 作//BC MN ，过点A 作MN 的垂线，交MN 于点E ，交CB 的延长线于点H ，过点C 作CF MN ⊥于点F ，连接AC ．设AE 的长为(cm)x ，四边形ABCD 的面积为()2cm y ． ∠根据题意求出y 与x 之间的函数关系式；∠在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 1.73)【答案】（1）210cm ；（2）存在，6cm AP =或3cm AP =；（3）∠210y x =+⎝⎭；∠963.3元．【分析】（1）先由矩形的性质得//,4AD BC CD AB ==，再由三角形面积公式求解即可； （2）由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，再证BAP PDQ ∽，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；（3）∠先证得AED DFC ∽，然后根据相似三角形的性质求得DE DF ==，然后根据面积公式列式求解；∠根据二次函数性质求最值【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠//,4AD BC CD AB ==．∠//EG BC ，∠////AD EG BC ．∠点E 为AB 的中点，∠EFD EGD EGF S S S =+111222EG CD =⨯⨯+12EG CD ⨯⨯ 12EG CD =⨯⨯ 1542=⨯⨯ 10=故答案为：210cm ；（2）存在，理由如下：∠四边形ABCD 是矩形，∠90,9,6cm BAD ADC BC AD AB CD ∠=∠=︒===．∠Q 是CD 的中点，∠3cm DQ =．由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，当点P 、A '、D 三点在同一条直线上时，180APB A PB DPQ D PQ ∠+∠+∠+=''∠︒， ∠90APB DPQ ∠+∠=︒．∠90APB ABP ∠+∠=︒，∠ABP DPQ ∠=∠．∠∠90BAP PDQ ∠=∠=︒，∠BAP PDQ ∽， ∠AB AP PD DQ =，即693AP AP =-， 解得：6cm AP =或3cm AP =；（3）∠根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得：5CF EH ==．∠AD CD ⊥，∠90EDA CDF ∠+∠=︒．∠CF MN ⊥，∠90DCF CDF ∠+∠=︒，∠EDA DCF ∠=∠．又∠90AED DFC ∠=∠=︒，∠AED DFC ∽， ∠CF DF CD DE AE DA==． 由AE x =，则5AH x =-．∠5,CF CD ==，∠5DF DE x==∠DE DF ==， ∠EACF DEA DFC ABC y S S S S =--+四边形1111(5)542222x x ⎫=+⨯-⨯+⨯⨯⎪⎪⎝⎭(5)x -2210x x =- 210x =++⎝⎭∠由∠知，210y x =+⎝⎭，当x =时，四边形ABCD 的面积取得最小值为210cm ⎛+ ⎝⎭，∠最低造价为1060963.3⎛⨯≈ ⎝⎭（元）， ∠四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。
相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典
教师辅导教案ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC,DF ∥AC ， 求证：△ADE ∽△DBF ． 证明：①又∵DF ∥AC, ②∵DE ∥BC ， ③∴∠A=∠BDF, ④∴∠ADE=∠B ， ∴△ADE ∽△DBF ．A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④① 【解答】证明：②∵DE ∥BC ， ④∴∠ADE=∠B, ①又∵DF ∥AC ， ③∴∠A=∠BDF ，∴△ADE ∽△DBF ．故选:B ．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发,以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时,△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以,，即,解得t=4。
36---几何必会模型：相似模型
相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型浅析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型题源【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12 OF OE ODOA OC OB===．证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴12DEBC=．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴12OE DEOC BC==．同理：12OFOA=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴12GF BFAD BC==．∵AD＝CD，∴12GFAD=．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴12OF GFOA AD==．同理12OEOC=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A∴12HD DF HFAB AF FB===，∴HD＝1．5a，13FHBH=，∴FH＝13BH∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.5324HG HD aGB EB a===，∴47BGHB=∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBG BH==练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15 DE AC=∵DE//AC，∴15BE DEBC AC==，∴14BEBC=，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=12BC，∴G为AF中点∴12EGBF=，12EG OE DEFC OC BC===，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB ACBD CD=．方法一：过点C CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴AB BDCE CD=∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴AB BDAC CD=方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，12ABDS BD h=，12ACDS CD h=过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则12ABDS AB DE=，12ACDS AC DF=11221122ABDACDBD h AB DESS CD h AC DF==，又∵1=2，∴DE=DF，∴AB BDAC CD=5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF11∴∠4=90°，∴CE⊥AD模型2 共边共角型已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD∽△ABCDAB1 2模型浅析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC进而可以得到：AC2=AD AB模型题源【例1】如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为．ACDB解答：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA．∵AB=4，AD=2，∴14ACDABCSS∆∆=，∴13ACDABDSS∆∆=，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BD BC，AC2=CD CB，AD2=BD CD（3）求证：AB AC=BC ADD CBA解答（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴AB BDBC AB=．∴AB2=BD BC，∵△ACD∽△BCA（3）1122ABCSAB AC BC AD ==，∴AB AC =BC AD练习：1．如图所示，能判定△ABC ∽△DAC 的有 ． ①∠B =∠DAC ②∠BAC =∠ADC③AC 2=DC BC④AD 2=BD BCB DCA【答案】①②③2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC =120o ．求证：（1）AB 2=BM BC ；（2）AC 2=CN CB ；（3）MN 2=BM NC ．CNM BA【答案】证明：∵∠BAC =120o，∴∠B +∠C =60o.∵△AMN 是等边三角形，∴∠B +∠1=∠AMN =60o ，∠C +∠2=∠ANM =60o.∴∠1=∠C ，∠2=∠B . (1)∵∠1=∠C ，∠B =∠B ，∴△BAM ∽△BCA .∴BM AB AB BC=.∴AB 2=BM BC （2）∵∠2=∠B ，∠C =∠C ，∴△CAN ∽△CBA .∴CN AC AC CB =.∴AC 2=CN CB （3）∵∠1=∠C ，∠2=∠B ，∴△BAM ∽△ACN .∴BM AMAN CN=. ∴BM CN =AN AM ∵AN =AM =MN ，∴AB 2=BM BC3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过C作CD ⊥AB 于D ，AC =AD :DB =4:1．求CD的长．O又∵CD ⊥AB .∴△ACD ∽△ABC .∴AC 2=AD AB ，即245x x =，解得：x.∴AD=∴CD=4．如图①，R t △ABC 中，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，我们可以利用△ABC ∽△ACD 证明AC 2=AD AB ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ．（1）试利用射影定理证明△BOF ∽△BED ； （2）若DE =2CE ，求OF 的长．图①DCBA图②OF EDCBA【答案】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD =90o .∴BC 2=BO BD . ∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF BE .∴BO BD =BF BE .即BO BFBE BD =，又∵∠OBF =∠EBD ，∴△BOF ∽△BED .（2）∵BC =CD =6，而DE =2CE ，∴DE =4，CE =2.在Rt △BCE 中，BE= 在Rt △OBC 中，OBBC =BOF ∽△BED ， ∴OF BODE BE =，即4OF =∴OF .模型3 一线三等角型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D结论：△ABC ∽△CDEEDCBAEDCBAED C BA∴△ABC ∽△CDE ．图②③同理可证△ABC ∽△CDE ． 在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型题源【例1】如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60o ，BP =1，CD =23．则△ABC 的边长为 ． 60oD PCA解答∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠B =∠C =60o ．∵∠APC =∠B ＋∠BAP ， 即∠APD ＋∠DPC =∠B ＋∠BAP ，又∵∠APD =∠B =60o ，∴∠DPC =∠BAP ． 又∵∠B =∠C ，∴△PCD ∽△ABP ．∴DC PCBP AB=． 设AB =x ，则PC =x －1，2131x x-=，解得x =3．【例2】如图，∠A =∠B =90o ，AB =7，AD =2，BC =3，在边AB 上取一点P ，使得△P AD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有 个．PCBDA解答设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA PB AP BC =，即273xx -=， 解得：1x =或6x =，当△PDA ∽△PCB 时，AD AP BC PB =，即237xx=-， 解得：145x =，则这样的的点P 共有3个．练习：1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上一动点（不与B 、C 点重合），∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ED CBA解答： 0(1)901ABC BAC AB AC ∆∠===中，，，045.ABC ACB ∴∠=∠=045ADE ∠=，0135BDA CDE ∴∠+∠=，0135BDA BAD ∠+∠=又，.BAD CDE ∴∠=∠.ABD DCE ∴∆∆22222,.,...1) 1.1ABD DCE AB BD CD CE BD x CD BC BD x x CE CE x AE AC CE x x y x ∆∆∴==∴=-==∴=-∴=-=--=+=-+（）即（3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是AD =DE.,.1.1.,2ABD DCE ABD DCE CD AB BD BD CE AE AC CE ∆∆∴∆≅∆∴==∴=-=∴=-=-又当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是ED =EA . 0即△ADE 为等腰直角三角形.11.22AE DE AC ∴=== 当AD =EA 时，点D 与点B 重合，不合题意，所以舍去. 12.2AE 因此的长为2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝a ，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或252； ④0 6.4≤CE <其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上） 解答：1,.,..AB AC B C ADE B ADE C ADE ACD =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∆∆（）又 故①正确.4210,,cos .542cos 21016.56,10..,().AB AC ADE B a a BC AB B BD DC AB DC ABD DCE BAD CDE B C AB DC ABD DCE ASA =====∴==⨯⨯==∴=∴=∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆（）在和中故②正确.（3）当∠AED =900时，由可知：△ADE ∽△ACD . ∴ ∠ADC =∠AED . ∵ ∠AED =900， ∴ ∠ADC =900. 即 AD ⊥BC. ∵ AB =AC ， ∴ BD =CD .4cos 108.5ADE B a a AB BD ∴∠=∠====且，，当∠CDE =900时，易得△CDE ∽△BAD .αABCDEP AB D CO004cos 108.59090.4cos ,10,5425cos ..52ADE B a a AB BD CDE BAD B a a AB AB B BD BD ∴∠=∠====∠=∴∠=∠===∴∠==∴=且，，，且故③正确.（4）易证△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，22,,.10.1616646410.(8)6410.0 6.4BD y CE x AB BD DC CE y y xy y x y x x ==∴=∴=--+=--=-∴≤设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，折叠与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边AB 的长．解答1,,,90.,,,.90.90,,,.214,1.22,2,ABCDAD BC DC AB DAB B C DAP AB PO BO PAO BAO APO BAPOAPD CPO POCD C APD POCOCP PDAOCP PDAOC OP CPPD PA DAPD OC PA OP D∴==∠=∠=∠=∠===∠=∠∠=∠∴∠=∴∠=-∠=∠∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆:∴====∴==（）四边形是矩形由折叠可得：（）与的面积比为2222.848.,,8.,90,4,,8,(8)4.5.210.A CPADCP BCOP x OB x CO xRt PCDC CP OP x CO xx xxAB AP OP==∴=====-∆∠====-∴=-+=∴===，，设则在中解得：模型4 倒数型条件：AF∥DE∥BC结论：111AF BC DE+=模型浅析∵AF∥DE∥BC，∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC∴DE BDAF AB=，DE ADBC AB=．∴1DE DE BD AD ABAF BC AB AB AB+=+==即1DE DEAF BC+=∴111AF BC DE+=（两边同时除以DE）仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．模型题源AB CD EFBA如图，AF ∥BC ，AC 、BF 相交于E ，过E 作ED ∥AF 交AB 于D ． 求证：111ABFABCABES S S ∆∆∆+=．证明： 分别过点C 、E 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别是K 、H 、G则111AF BC DE+=（模型结论）． ,.,,.111.111.111.111222111.ABF ABC ABEDEH BCK AF DE BC k FG EH CKAFG AF kFG DE kEH BC kCK kFG kCK kEH FG CK EHAB FG AB CK AB EH S S S ∆∆∆∆∆∴===∴===∴+=∴+=∴+=∆∴+=∽∽设 练习1． 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上.求证：111.AB CD EF+=证明：方法一：如图①∵ 四边形EFGH 是正方形， ∴ EF ⊥ABA B CDEF图1A图2AE∵ CD ⊥AB ， ∴ EF ∥CD ，∴ △AEF ∽△ACD .∴EF AECD AC =① ∵ EH ∥AB ，∴ △CEH ∽△CAB ∴ EH CEAB AC =∵ EH =EF ， ∴EF CEAB AC=② ①+②得，1,EF EF AE CECD AB AC AC+=+= ∴111.AB CD EF+=方法二：如图②，构造模型4过点C 作AB 的平行线交AH 的延长线于点K 依题意有，CK ∥EH ∥AB ，∴ 111.AB CK EH+=∵ ,,EH AE EFEH EF CK AC CD === ∴ CK =CD . ∴111.AB CD EF+=2．正方形ABCD 中，以AB 为边作等边三角形ABE ，连接DE 交AC 于F ，交AB 于G ，连接BF ．求证： (1) AF +BF =EF ； (2) 111.AF BF GF+=答案：（1）如图①，在EF 上截取FH =AF . ∵ ∠EAB =600，∠BAD =900，AE =AD ，E图2E∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600. ∴ △AFH 为等边三角形. ∴ ∠EAH =∠BAF . ∴ △EAH ≌△BAF .∴ EH =BF .∴ AF +BF =FH +EH =EF . （2），如图②，过点G 作GK ∥BF 交AC 于点K . 由①可得∠BFC =600， ∴ AH ∥GK ∥BF .∴ 由模型4，得111.AH BF GK+= ∵ AH =AF ，GK =GF ， ∴ 111.AF BF GF+=模型5 与圆有关的简单相似图3图2图1A模型浅析图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△P AC ∽△PDB .图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD ∽△AEC . 图③中，已知AB 切⊙O 于点A ，如下图，过A 作直径AE ，连接DE ，则有∠EAD +∠E =900.又∠BAD +∠EAD =900，∠BAD =∠E =∠C . 从而△BAD ∽△BCA .模型题源DCAB如图，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． 求证：P A ﹒PB =PD ﹒PC .证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、AD .∵ ∠B =∠D ，∠C =∠A ，∴ △PBC ∽△PDA . ∴.PB PCPD PA= ∴ P A ﹒PB =PD ﹒PC =（r +d ）（r -d ）= r 2-d 2 练习1．如图，P 是⊙O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦，设圆的半径为r ，OP d =． 求证：22PA PB r d ⋅=-．证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、A D ． ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠A ， ∴△PBC ∽△PD A ． ∴PB PCPD PA=． ∴()()22PA PB PC PD r d r d r d ⋅=⋅=+-=-2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，延长AC 、BD 交于点E ．（1）求∠E 的度数；（2）点M 为BE 上一点，且满足2EM EB CE ⋅=，连接CM ，求证：CM 是⊙O 的切线．BABA解：（1）连接OC 、O D ．∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴AC CD DB ==．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ，∴△AOC 、△DOB 为等边三角形．∴∠EAB ＝∠EBA ＝60°．∴∠E ＝60°． （2）连接BC ，∵2EM EB CE ⋅=，∴EM CECE EB=． ∵∠E ＝∠E ，∴△CEM ∽△BE C ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠ECB ＝90°， ∴∠EMC ＝∠ECB ＝90°． ∵C 、D 是半圆三等分点， ∴∠AOC ＝∠DOB ＝60°， ∴OC ∥BE ．∴∠OCM ＝∠EMC ＝90°． ∴OC ⊥CM ．∴CM 为⊙O 的切线． 模型6 相似和旋转如图①，已知DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转一定的角度，连接BD 、CE ，得到如图②． 结论：△ABD ∽△ACE ．EACBEDA模型浅析∵DE ∥BC ，∴AD AEAB AC=， 如图②，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ．QMAPCBBCPA该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．模型题源如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点P 在△ABC内，且PA ，PB ＝5，PC ＝2．求ABCS．解答：如图，作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ACP ．∴AQ AB AP AC =，即AQ APAB AC=． 又∠QAP ＝∠BAC ＝60°，∴△AQP ∽△ACB ∴∠APQ=∠ACB ＝90°．∴AQ ＝2AP＝，PQ＝3． ∴△APQ 与△APC 的相似比为2AQAP=． ∴24BQ CP ==．∴22225BP BQ PQ ==+．∴∠BQP ＝90°．过A 点作AM ∥PQ ，延长BQ 交AM 于点M ．∴AM ＝PQ ，MQ ＝AP ．∴()()2222228AB AM QM BQ PQ AP BQ =++=++=+故21sin 6032ABCSAB AC AB =⋅︒==+． 练习1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CA E ＋∠ CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．解：（1）∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形．∴AC CEBC CF== ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ．（2）∵△CAE ∽△CBF ， ∴∠CAE ＝∠CBF，AE ACBF BC=EABFCA B C P图②图①P CB A 图③PCBA又∵AE ACBF BC=，AE ＝2．∴2BF=BF又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°． ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°． ∴∠EBF ＝90°．∴2222213EF BE BF =+=+=．∴EF ∵2226CE EF ==，∴CE =2．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图①．若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝150°，P A ＝3，PC ＝4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图②，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数； （3）如图③，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且P APB ＝5，∠APC ＝120°，请直接写出PC 的长．解：（1）如图，由旋转有，AD ＝AP ，BD ＝PC ，∠DAB ＝∠P AC ， ∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°．21DPC B AAB C∴△ADP 为等边三角形． ∴DP ＝P A ＝3，∠ADP ＝60°． ∴∠ADB ＝∠APC ＝150°， ∴∠BDP ＝90°，在Rt △BDP 中，BD ＝4，DP ＝3． 根据勾股定理得：PB ＝5．（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， ∴△APC ≌△AD B ．∴AD ＝AP ＝3，DB ＝PC ＝4，∠P AC ＝∠DAB ，∠APC ＝∠2． ∴∠DAP ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠DAP ＝60°，∴△DAP 是等边三角形． ∴PD ＝3，∠1＝60°， ∴222222345PD DB PB +=+==． ∴∠PDB ＝90°． ∴∠2＝30°． ∴∠APC ＝30°．（3）作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ， ∴∠AQB ＝∠APC ＝120°． ∵AB ＝2AC ，∴△ABQ 与△ACP 的相似比为2． ∴AQ ＝2AP ＝BQ ＝2CP ，∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°． 取AQ 中点D ，连接PD ， ∵AQ ＝2AP ，∴AD ＝AP ．∴△APD 是等边三角形．∴DP ＝DQ ． ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝30°．∴∠APQ ＝90°． ∴PQ ＝3．∴∠BQP ＝∠AQB －∠AQP ＝120°－30°＝90°． 根据勾股定理得，4BQ =．∴122PC BQ ==．。
【北师大版】九年级上期末专题训练(7)相似三角形的基本模型(含答案)
专题训练(七) 相似三角形的基本模型下面仅以X 字型、A 字型、双垂型、M 字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．模型1 X 字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO ∽△DCO ；(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO ∽△CDO.1．(恩施中考)如图，在ABCD 中，AC 与B D 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶22．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是________．3．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．模型2A字型及其变形(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.4．如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使BE ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长．5．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝ACAD.6.如图，AD 与BC 相交于E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6 B．15C．9 5 D．3＋3 58．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4, 那么CD＝________，AC＝________.模型4M字型Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.9．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．10．(常州中考改编)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．参考答案1．D 2.333.∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF.又∵∠BFD ＝∠EFC ，∴△BDF ∽△ECF.∴BD CE ＝DF CF ，即84＝DF2.∴DF ＝4. 4.∵BE ＝2AB ，AB ＝3，∴BE ＝6，AE ＝9.∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AF.∴△EBC ∽△EAF.∴BE AE ＝BC AF .∴AF ＝AE·BC BE ＝9×36＝92.5.证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE.又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB.又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB.∴AB AC ＝AE AB .又∵AB ＝AD ，∴ABAC＝AE AD .∴AB AE ＝AC AD .6.证明：∵AB ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB.∴EF AB ＝DF BD .又∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BCD.∴EF CD ＝BF BD .∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝BD BD ＝1.∴1AB ＋1CD ＝1EF.7.B 8.6 3139.∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∠ACB ＋∠A ＝90°.∵AC ⊥CE ，∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°.∴∠A ＝∠ECD.∴△ABC ∽△CDE.∴AB CD ＝BCED.又∵C 是线段BD 的中点，ED ＝1，BD ＝4，∴BC ＝CD ＝2.∴AB 2＝21.∴AB ＝4. 10.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A＝∠D ＝90°.∴∠ABE ＋∠A EB ＝90°.又∵∠BEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°.∴∠ABE ＝∠DEF.∴△ABE ∽△DEF.(2)∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4，CF ＝3FD ，∴DF ＝1，CF ＝3.∵△ABE ∽△DEF ，∴AE DF ＝ABDE ，即4－DE 1＝4DE .∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF.∴ED GC ＝DF CF ，即2GC ＝13.∴GC ＝6.∴BG ＝BC ＋CG ＝4＋6＝10.。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：如图所示，相似的六种基本模型：3种A字型相似，2种X型相似，以及母子型相似，请注明使得两个三角形相似的条件．
答：
问题2：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．
由此可以推导射影定理：
由∽，得 = ，即；
由∽，得 = ，即；
由∽，得 = ，即．
答：
相似模型（一）
一、单选题(共8道，每道12分)
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ=OC，连接CQ并延长，交AB边于点P，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
2.在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么AB的长为( )
A.3
B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
3.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．下列条件：①；②；
③．其中能证明△ABC是直角三角形的是( )
A.①③
B.①②
C.②③
D.①②③
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BD上的点，BE:ED=1:2，F，G分别是BC，CD上的点，EF∥CD，EG∥BC，若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P 作PF⊥BC，垂足为F，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且AE=3ED，连接BE并延长，交AC于点F，则的值为( )
A. B.
C. D.1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
7.如图，在平行四边形ABCD中，为对角线BD上的三点，且，连接并延长，交BC于点E，连接并延长，交AD于点F，则AD:FD=( )
A.19:2
B.9:1
C.8:1
D.7:1
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型
8.如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是Rt△ADC斜边AC上的高线，如果DC:AD=1:2，，那么=( )
A.4a
B.9a
C.16a
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似基本模型。