南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

合集下载

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学评分标准和参考答案(第三稿)

16．（本小题满分 14 分）解：（1）因为向量 a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)， 2 1 且 a－b＝( ，0)，所以 cosα－sinα＝，t＝sin2α． 5 5 1 1 由 cosα－sinα＝得 (cosα－sinα)2＝， 5 25 1 24 即 1－2sinαcosα＝，从而 2sinαcosα＝． 25 25
λ λ 当 λ＞0 时，设 h(x)＝ex－，则 h′(x)＝ex＋ 2＞0 恒成立， x x 所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递增． ①当 0＜λ＜e 时，
λ λ h(1)＝e－λ＞0，h( )＝ee－e＜0，且 h(x)是(0，＋∞)上的连续函数， e
„„„„„„„„„„ 6 分
λ 因此存在唯一的 x0∈( ，1)，使得 h(x0)＝0． e ②当 λ≥e 时， h(1)＝e－λ≤0，h(λ)＝eλ－1＞0，且 h(x)是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的 x0∈[1，λ)，使得 h(x0)＝0．故当 λ＞0 时，存在唯一的 x0＞0，使得 h(x0)＝0． „„„„„„„„ 8 分
数学参考答案和评分标准第 3 页共 10 页
1 1 － x1＋m － x2＋m－1 2 2 所以 k1·k2＝ · x2 x1－2 1 1 1 x x － (m－1)x1－ mx2＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ (x1－2)x2 1 1 1 x x － m(x1＋x2)＋ x1＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ x1x2－2x2 1 1 1 x x － m·2m＋ (2m－x2)＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ x1x2－2x2 1 1 xx－ x 4 1 2 2 2 1 ＝＝， x1x2－2x2 4 1 即 k1·k2 为定值． 4 x2 方法二：由 a＝2 得 b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1． 4 1 从而 A(2，0)，B(0，1)，直线 AB 的斜率为－． 2 x02 设 C(x0，y0)，则＋y02＝1． 4 1 因为 AB∥CD，故 CD 的方程为 y＝－ (x－x0)＋y0． 2 „„„„„„„„ 7 分 „„„„„„„„„16 分

南京市2017届高三年级三模数学卷(第三稿)

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学 2017.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|l o g 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲乙（第5题图）（第4题图）ACB A 1B 1C 1D（第10题图）ABCFED（第15题图）16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（本小题满分16分）已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．20．（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．（1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；（3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．（第17题图）（第18题图）南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5．6.8 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以 BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以 AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ)800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1． ① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． …………………………… 5分当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．所以 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1．（*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分（ii ）当－1＜a 1p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p ＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t－2是整数，所以a 1a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分（iii ）当a 1p ≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． ………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx ．若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分。

2017年江苏省南京市高三一模数学试卷

2017年江苏省南京市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 若集合，，则 ______．2. 复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______．3. 已知命题：，是真命题，则实数的取值范围是______．4. 从长度为，，，的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为______ .5. 某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为______．6. 在如图所示的算法流程图中，若输出的的值为，则输入的的值为______ .7. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为______．8. 已知，为实数，且，，则 ______ ．（填“”、“”或“”）9. 是直角边等于的等腰直角三角形，是斜边的中点，，向量的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是______．10. 已知四数，，，依次成等比数列，且公比不为．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的取值集合是______．11. 已知棱长为的正方体，是棱的中点，是线段上的动点，则与的面积和的最小值是______．12. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为______．13. 若，均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“折中函数”．已知函数，，，且是到在区间上的“折中函数”，则实数的取值范围为______．14. 若实数，满足，则的取值范围是______．二、解答题（共10小题；共130分）15. 如图，在平面直角坐标系上，点，点在单位圆上，．（1）若点，求的值；（2）若，，求．16. 如图，六面体中，面面，面．（1）求证：面；（2）若，，求证：．17. 如图，某城市有一条公路正西方通过市中后转向北偏东角方向的，位于该市的某大学与市中心的距，且，现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，．（1）求大学在站的距离；（2）求铁路段的长．18. 设椭圆的离心率，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）．求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，若圆与轴相交于不同的两点，，求的面积；（3）如图，，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．19. 已知数列的前项和为，且满足．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为．求满足不等式的的最小值．20. 已知函数，，其中．设．（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点，．①求的取值范围；②求证：．21. 已知点，先对它作矩阵对应的变换，再作对应的变换，得到的点的坐标为，求实数，值．22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为．（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知为椭圆：上一点，求到直线的距离的最小值．23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有，，，的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为，．设为随机变量，若为整数，则；若为小于的分数，则；若为大于的分数，则．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．24. 已知．（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）由点，所以，，，所以．（2）因为，所以．，所以，解得，因为，所以．所以16. （1）过点作，为垂足.面面，又面面，面，所以面．又面，则．又面，面，故面．（2）由（1）知面，面，所以．又，且，平面，则面．因为面，所以．又，，面，则面．又面，故可得．17. （1）在中，，，且，，由余弦定理可得：所以可得：，大学在站的距离为．（2）因为，且为锐角，所以，在中，由正弦定理可得：，即，所以，所以，所以，因为，所以，，所以，又因为，所以．在中，，由正弦定理可得：，即，所以解得，即铁路段的长为．18. （1）因为直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．，化为．因为离心率，，联立解得，．所以椭圆的方程为；（2）把代入椭圆方程可得：，解得．所以的方程为：．令，解得，所以，所以．（3）由（1）知：，，，所以直线的方程为，由题意，直线的方程为，，且，由解得．设，则由得．所以，所以，．所以．设，则由，，三点共线得，．即，所以，所以．所以的斜率．所以为定值．19. （1）当时，，所以．因为，，所以，，两式相减得，，即，，所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，．（2），所以，所以，两式相减可得，所以，所以可化为，因为，，所以满足不等式的的最小值为．20. （1）因为，所以，由可得．又在处取得极值，所以，所以，，所以，其定义域为，，，令，得，当时，；当时，；所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）当时，，其定义域为，①由得，记，由题意得与函数的图象有两个不同的交点，又，，令，且，得；令，且，得；所以在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取得最小值，又，所以当时，，而当时，，当时，，因为与函数的图象有两个不同的交点，所以的取值范围是．②由题意得，，所以，，所以，则，不妨设，要证，只需要证，即证，设（），则，令（），所以，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，即．21. 由题意，，由逆矩阵公式得，，所以，即有，．22. （1）直线的极坐标方程为，整理得：即，则直角坐标系中的方程为，即；（2）设，所以点到直线的距离则到直线的距离的最小值为．23. （1）依题意，数对共有种，其中使为整数的有以下种：，，，，，，，，所以；（2）随机变量的所有取值为，，，有以下六种：，，，，，，故，有以下种：，，故，所以，所以的分布列为：的数学期望为．24. （1）令，则，令，则，所以．（2）要比较与的大小，只要比较与的大小．当时，，当或时，，当或时，．猜想：当时，．下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，当时，结论成立．②假设当时结论成立，即，两边同乘以，得，而所以，即时结论也成立．由①②可知，当时，成立．综上所述，当时，；当或时，，；当时，．。

江苏省南京市、盐城市2017届高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ .【答案】{}1-2.设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .【答案】1-【解析】试题分析：(1i)21z z i +=⇒=-，所以虚部为 1.-考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ .【答案】12【解析】试题分析：由题意得方差为2224312s =⨯=考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是▲ ..【答案】95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ . 【答案】56【解析】试题分析：对立事件概率为24116C =，因此所求概率为151.66-= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.第4题图(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.6.已知实数,x y 满足0722x x y x y >⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ . 【答案】347.设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ .【解析】试题分析：双曲线渐近线方程为x y a =±，所以1tan 302a c e a =⇒=⇒=⇒=o 考点：双曲线渐近线及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8.设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .【答案】63【解析】试题分析：由45621a a a ++=得57a =，所以19959()9632a S a a +===考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ . 【答案】512π10.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ .【答案】4【解析】试题分析：1124432O EFG EFG EFG V AB S S -∆∆=⨯⨯=≤⨯⨯= 考点：三棱锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.在ABC ∆中，已知AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r 的最大值为 ▲ . 【答案】3212.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 ▲ .【答案】512【解析】试题分析：设)1y x =+与x 轴交点为P ，则1112223331;112;224;A B A P A B A P A B A P ====+===+=依次类推得101011A B A ∆的边长为92512= 考点：归纳推理13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .【答案】98【解析】试题分析：设00(,)P x y ，则由2y x '=得000000022111(3)32PM y k y x x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒=---，而二次函数1(3)2y x x =--正好过,,O P M 三点，所以19()(3)28f x x x =--≤ 考点：导数几何意义，二次函数最值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.14.在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分ABC A 1B 1C 1DE 第15题图又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分）考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.【答案】（Ⅰ）3C π=又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分413525=-⨯=. …………14分考点：正弦定理，给值求值【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）12- 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定交点位置：在x 轴上，再根据圆与x 轴交点得等量关系：c b =；又2a =,所以22b =（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=，所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-，所以0k x m =-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m ⋅=⋅===-----+--. …………14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212km x k =-+，0212my k=+. ……………10分以下同方法一.考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟试卷数学试卷

" 少有一个是偶数的概率为!!!!!
" " " "
'%$$ "!若变量%' 满足约束条件&%,'%(则%'的最小值是!!!!!
(%,%%%'
" " 封
(!设双曲线%(%%*'%)!($$的一条渐近线的倾斜角为.$/则该双曲线
" 的离心率为!!!!!
第%题
" "
0!设()是等差数列*)
!!姓名!
!"
!" !$届高三第一次模拟考试
!"
" "
数!!学
"
" 注意事项 " " !#本试卷共!"$分考试时间!%$分钟#
" "
%#答题前考生务必将自己的学校班级姓名写在密封线内#
" 一填空题本大题共!&小题每小题'分共($分!
" "
!!已知集合 ")*!$!#)*+$则 "##)!!!!!
"
使 *"1#1"1,! 都是等边三角形则 *"!$#!$ "!! 的边长是
" "
!!!!!
第#!题
" !.!在平面直角坐标系%0' 中已知点2 为函数')%43% 的图象与圆 3 %*.%,'%)4%
" "
的公共点且它们在点2 处有公切线若二次函数')5%的图象经过点023则')
南京!盐城高三数学试卷!第!' 页"共"页#

【江苏省南京、盐城】2017届高三学年级第一次模拟考试数学年试题答案

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =__________．2．设复数满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为__________．3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为__________． 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是___________．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为_________．6．已知实数,x y 满足0722x x y x y >⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是__________． 7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为__________． 8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S =__________．9．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移ϕ（π02ϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ=_________．10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG △为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是___________．11．在ABC △中，已知AB =3C π=，则CA CB ⋅的最大值为___________．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +△都是等边三角形，则101011A B A △的边长是___________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为_________． 14．在ABC △中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若22228a b c ++=，则ABC △面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．（本小题满分14分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若π3sin()35B -=，求sin A 的值． 17．（本小题满分14分）A 1 A 2 A 3A 4B 1 B 2 B3 x y第12题图 A B CA 1B 1C 1DE 第15题图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值．18．（本小题满分16分）如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足3tan 4θ=．（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（本小题满分16分）设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a ∈R ）．（1）当2a =时，解关于的方程(e )0x g =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间； · l T P Oy x Q第17题图 F 第18题图 ABE D G C 居民楼活动中心（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）.20．（本小题满分16分）若存在常数(,2)k k k ∈≥*N 、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d k a n qa k +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩**N N 则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”．（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3．①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．附加题21．A （选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C ．若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长．21．B （选修4-2：矩阵与变换）设矩阵223m =-M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值． 21．C （选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长． 21．D （选修4-5：不等式选讲） A B CPDO· 第21（A ）图若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E （X ）． 23．（本小题满分10分）设n ∈*N ，3n ≥，k ∈*N ．（1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211k k k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()2220212212311k n n n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++．。

2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷

2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______．2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为______．3. 已知样本数据，，，，的方差，则样本数据，，，，的方差为______．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．5. 在数字，，，中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______．6. 已知实数，满足则的最小值是______．7. 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为______．8. 设是等差数列，若，则 ______．9. 将函数的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则______．10. 将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是______．11. 在中，已知，，则的最大值为______．12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是______．13. 在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，，，则的最大值为______．14. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值为 ______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．16. 在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，求的值．17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，为弦的中点，，，记直线，的斜率分别为，，当时，求的值．18. 如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足．（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大?（注：计算中取）19. 设函数，．（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：，）．20. 若存在常数，，，使得无穷数列满足，则称数列为“段比差数列”，其中常数，，分别叫做段长、段比、段差、设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为，，，．①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由．21. 如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，，分别交半圆于点，．若，，，求的长．22. 设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值．23. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）．现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点，求弦的长．24. 若实数，，满足，求的最小值．25. 某年级星期一至星期五每天下午排节课，每天下午随机选择节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为，求的概率分布表与数学期望．26. 设，，．（1）求值：①；②；（2）化简：．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，分别是，的中点，所以，又因为在三棱柱中，，所以．又平面，平面，所以平面．（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以．又，，所以，又平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．16. （1）由，根据正弦定理，得，因为，，所以，又，所以．（2）因为，所以，所以，又，所以．又，即，所以17. （1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，所以，即，所以椭圆的方程为．（2）设，，，联立消去，得，所以，又，所以，所以，，则．18. （1）如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，则由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得米米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得．所以截面积当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长恰为米，则此时点为，设过点的上述太阳光线为，则所在直线方程为，即．由直线与半圆相切，得．而点在直线的下方，则，即，从而．又当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．19. （1）当时，，可得或，，可得或，所以或；（2），①，，函数的单调递增区间是；②，，函数的单调递增区间是；③，，函数的单调递增区间是；④，，函数的单调递增区间是；⑤，，函数的单调递增区间是；（3），，，恒成立，所以在上单调递增，所以存在，，即，在上单调递减，上单调递增，所以，因为，，所以，所以，所以存在的最小值，使得关于的不等式有解．20. （1）①方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以，方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，，，，，，，，所以当时，是周期为的周期数列．所以．②方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以所以是以为首项、为公差的等差数列，又因为，所以因为，所以，设，则，又，当时，，；当时，，，所以，所以，所以，得．方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以是首项为、公差为的等差数列，所以，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，所以，所以，以下同方法一．（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为，，，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，①若，则，，②若，则，则为常数，则，为偶数，，，经检验，满足条件的的通项公式为或．方法二：设的段长、段比、段差分别为，，，①若，则，，，，由，得；由，得，联立两式，得或则或，经检验均合题意．②若，则，，，由，得，得，则，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为或．21. 由切割线定理得：，则，解得，又因为是半圆的直径，故，则在三角形中有．22. 因为矩阵的一个特征值对应的特征向量为，所以解得，．23. 直线（为参数）化为普通方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为，所以．24. 由柯西不等式，得，即，又因为，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．25. （1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．（2）由题意得，所以的概率分布表为：所以，的数学期望为．26. （1）①②（2）方法一：由（1）可知当时故方法二：当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得两边对求导，得两边再同乘以，得两边再对求导，得令，得即第11页（共11 页）。

【江苏省南京、盐城】2017届高三学年级第一次模拟考试数学年(理)试题

4
2
又 x1
x2
2x0
,
y1

y2
2y0 ,∴
x0 (x1 2
x2 )

y0 ( y1

y2 ) 0 ,∴
x0 2

y0 ( y1 y2 ) x1 x2
0,
又 P(x1, y1)
, Q(x2 , y2 ) 在直线
y
kx m 上,∴
y1 x1
y2 x2
k
∴ b2016 b6 6 . ②方法一：∵{bn} 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3,
∴ b3n2 b3n1 (b3n1 d) b3n1 (qb3n d) b3n1 q(b3n1 d) d b3n1 2d 6 ,
6分
(2)在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, CC1 底面 ABC ,又 DE 底面 ABC ,所以 CC1 DE .
又 BC AC , DE / /BC ,所以 DE AC ,
10 分
又 CC1, AC 平面 ACC1A1 ,且 CC1 AC C ,所以 DE 平面 ACC1A1 .
因为 sin B 0,sin C 0 ,所以 cosC 1 , 2
又 C (0, π) ,所以 C π . 3
(2)因为 C π ,所以 B (0, 2π) ,所以 B π ( π , π) ,又 sin(B π) 3 ,
3
3
3 33
35
所以 cos(B π ) 1 sin2 (B π) 4 .
12 分
所以 hmin (x)

h(x0 )

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2017届高三期初模拟考试数学 2016.09一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则AB = .2.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.4.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .5.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .6.设向量(1,4)a =-，(1,)b x =-，3c a b =+，若//a c ，则实数x 的值是 .7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数a 的值是 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 .10. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .11. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12. 已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =，若3DB DC ∙=，则AC 的长是 .14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2xf xg x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是10，点B 的纵坐标是5. （1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点. （1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥.17. （本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设A O C x r a d ∠=.（1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.18. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=.（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1[22e ∈，求实数λ的取值范围.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a =，416S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，1} 2．．80 4．125．5 6．47．568．1 9.－1 10．6 11．3n－1 12．[－2，8]13．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）从而sinα＝＝10．…………………… 2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是5，所以sinβ＝，从而cosβ＝－n＝－…………………… 4分（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝10×(－5)＋10×5＝－10． …………………… 8分（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋×＝． …………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)，所以α＋β＝34π． …………………… 14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD． (8)分因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C． (10)分又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC． (12)分又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． (14)分17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝22x OA∙＝800x，0＜x＜π．……………………2分在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD 的面积S△COD＝12·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sin x．……………………4分从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sin x＋800x，0＜x＜π． (6)分（2）由（1）知，S(x)＝1600sin x＋800x，0＜x＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． …………………… 8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝23π．从而当0＜x ＜23π时，S ′(x )＞0；当23π＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，23π)上单调递增；在区间(23π，π)上单调递减． …………………… 11分所以当x ＝23π，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为23π时，改建后的绿化区域面积S 最大． ……………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………………… 2分因为点P 的坐标为 (1，32)，所以221914a b +=，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，－2b a)，1FQ ＝(x 1＋c ，y 1)．由1PF ＝λ1FQ ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2b a＝λy 1，解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－2b a λ，所以Q (－2λλ+c ，－2b aλ)． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ+)2e 2＋222b a λ＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e2－3．…………………… 14分因为e ∈[12]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以22c a ＋202y b ＝1，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝22b ac(x ＋c )．由22222()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，2b a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－22224b c c b +，即－c －x 1＝22224b cc b+． …………………… 11分因为1PF ＝λ1FQ ，所以λ＝12cc x --＝2224c b b +＝22223c a a c +-＝22311e e +-＝2431e--． …………………… 14分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝11n n a a +，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝11n n a a +＝1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+， …………………… 6分即 b 2－b 1＝11(1)23-， b 3－b 2＝111()235-，……b n－b n－1＝111()22321n n---，（n≥2）累加得：b n－b1＝111(1)22121nn n--=--，……………………9分所以b n＝b1＋121nn--＝1＋121nn--＝3221nn--．b1＝1也符合上式．故b n＝3221nn--，n∈N*．……………………11分②假设存在正整数m、n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列，则b2＋b n＝2b m．又b2＝43，b n＝3221nn--＝32－142n-，b m＝32－142m-，所以43＋(32－142n-)＝2(32－142m-)，即121m-＝16＋142n-，化简得：2m＝721nn-+＝7－91n+．……………………14分当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2，（舍去）；当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，b m，b n成等差数列． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x 2－x＋ln x，从而f ′(x)＝2x －1＋1x．因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．…………………… 3分（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，从而 f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝22(21)1ax a x x -++＝(21)(1)ax x x --，x ＞0． ………… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．……………………10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ．因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ……………… 14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ．因为φ′(t )＝22(1)2t t -≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2． …………………… 16分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B ＝∠EDC ． ……………………… 3分因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． ……………………… 5分所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ……………………… 7分又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ． ………………………5分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． ……………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0． ………………………6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x或⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．……………………… 6分解⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅；解⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1．所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． (4)分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63，即 |cos<m ，n >|＝63，所以 |m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12． (10)分23．（本小题满分10分）解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3．P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225； P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ………………………4分（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为……………………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ………………………10分。

【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷

江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷参考公式：锥体体积公式：13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高；柱体体积公式：V Sh =,其中S 为底面积,h 为高. 样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()ni i s x x n==-∑,其中11ni i x x n ==∑.一、填空题.(共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{1,0,1}A =-,(,0)B =-∞,则A B =I ____________.2.设复数z 满足()1i 2z +=,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为____________.3.已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =,则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为____________.4.如图是一个算法流程图,则输出的x 的值是____________.5.在数字1234、、、中随机选两个数字,则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为____________.6.已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩,则yx 的最小值是____________.7.设双曲线2221(0)xy a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒,则该双曲线的离心率为____________.8.设{}n a 是等差数列,若45621a a a ++=,则9S =____________.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π(0)2ϕϕ<<个单位后,所得函数为偶函数,则ϕ=____________.10.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱,3AB =,2BC =,圆柱上底面圆心为O ,EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥O EFG -体积的最大值是____________.11.在ABC ∆中,已知3AB =,,π3C =,,则CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为____________.12.如图,在平面直角坐标系中,分别在x 轴与直线3(1)3y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ,1,2,k =⋅⋅⋅,其中1A 是坐标原点,使1k k k A B A +∆都是等边三角形,则101011A B A ∆的边长是开始结束否是输出第4题图A 1 A 2A 3A 4B 1B 2B 3…xy____________.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆222:(3)M x y r -+=的公共点,且它们在点P 处有公切线,若二次函数()y f x =的图像经过点,,O P M ,则()y f x =的最大值为____________. 14.在ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若22228a b c ++=,则ABC ∆面积的最大值为____________. 二、解答题.(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,BC AC ⊥,D ,E 分别是,AB AC 的中点． (1)求证：11B C ∥平面1A DE ；(2)求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ． 16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且sin2sin b C c B =． (1)求角C ； (2)若π3sin()35B -=,求sin A 的值. 17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点,T 为弦PQ 的中点,,TM TN ,记直线(1,0),(1,0)M N -的斜率分别为12,k k ,当22221m k -=时,求12k k ⋅的值. 18.(本小题满分16分)如图所示,某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心,其中30AE =米．活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ,上部分是以DC 为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. (1)若设计18AB =米,6AD =米,问能否保证上述采光要求？ (2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB 与AD 的长度,可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3) 19.(本小题满分16分)ABC A 1B 1C 1D E 第15题图F第18题图BD G C←南居民楼活动中心设函数()ln f x x =,1()3a g x ax x-=+-(a ∈R ). (1)当2a =时,解关于x 的方程(e )0x g =(其中e 为自然对数的底数)；(2)求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；(3)当1a =时,记()()()h x f x g x =⋅,是否存在整数λ,使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在,请求出λ的最小值；若不存在,请说明理由.(参考数据：ln20.6931≈,ln3 1.0986≈) 20.(本小题满分16分)若存在常数*(,2)k k k ∈≥N 、q 、d ,使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d k a n qa k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩N N 则称数列{}n a 为“段比差数列”,其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差.设数列{}n b 为“段比差数列”. (1)若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0q =时,求2016b ；②当1q =时,设{}n b 的前3n 项和为3n S ,若不等式133n n S λ-≤⋅对n *∈N 恒成立,求实数λ的取值范围； (2)设{}n b 为等比数列,且首项为b ,试写出所有满足条件的{}n b ,并说明理由.数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21．[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A .(选修4-1：几何证明选讲)如图,AB 是半圆O 的直径,点P 为半圆O 外一点,,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =,4PD =,3PC =,求BD 的长.B .(选修4-2：矩阵与变换)设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求m 与λ的值. C ．(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线35:45x t l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).现以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,求弦AB 的长. D ．(选修4-5：不等式选讲)若实数,,x y z 满足21x y z ++=,求222x y z ++的最小值.A B CPD O · 第21(A )图[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22．(本小题满分10分)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ,求X 的概率分布表与数学期望()E X . 23．(本小题满分10分) 设*n ∈N ,3n ≥,*k ∈N . (1)求值：①11k k n n kC nC ---；②22121(1)k k k n n n k C n n C nC -------(2k ≥)；(2)化简：20212222123(1)(1)k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++。

(完整word)南京市2017届高三年级三模数学卷

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学2017.05注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上•试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.参考公式：A ———”,方差s2= n【(X1—X)2+(X2—x)2+…+ (X n—X)2］，其中x 为X1, X2,…，X n 的平均数.柱体的体积公式：V = Sh,其中S为柱体的底面积，h为柱体的高.1锥体的体积公式：V = 3Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题卡相应位置.上.1.已知全集U = {1 , 2, 3, 4}，集合A= {1 , 4}, B = {3 , 4}，则?U(A U B)= ▲.2•甲盒子中有编号分别为1, 2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3, 4, 5, 6的4个乒乓球•现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为▲3.若复数z满足z+ 2z= 3 + 2i，其中i为虚数单位，z为复数z的共轭复数，则复数z的模为▲.4 .执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1,则输入x的值为▲.:Read x;If x> 0 Thenx+ 1 : y j 2I;Else; y j 2 —x2 :End IfI:Print y1— _ _ —(第4题图)5 .如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,差较小)的那名运动员的得分的方差为▲.则在这五场比赛中得分较为稳定(方甲乙7 7908 94 810 3 56.在同一直角坐标系中，函数y= sin(x+ ~) (x€ [0,2 n ])的图象和直线y =寸的交点的个数是一▲13. （2017南京三模）在平面直角坐标系为实数）.若圆O 与圆M 上分别存在点xOy 中，圆 O : x 2 + y 2= 1,P , Q ,使得/ OQP = 30 ,M : (x + a + 3)2+ (y — 2a)2= i(a a 的取值范围为2 3 2 14. (2017南京三模)已知a b , c 为正实数，且a + 2b< 8c, a + b w 2则坠严勺取值范围为丄二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （2017南京三模）（本小题满分14分）且BD //平面AEF .（1）求证：EF //平面ABD ; （2）若BD 丄CD , AE 丄平面BCD ，求证:平面 AEF 丄平面 ACD . 16. （2017南京三模）（本小题满分14分) 2⑴若a -b =（5,0），求t 的值;n(2)若 t = 1,且 a ? b = 1,求 tan(2 a+ 4)的值.17. （2017南京三模）（本小题满分 14分）在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台I,看台n, 三角形水域 ABC ，及矩形表演台 BCDE 四个部分构成（如图）看台I,看台n 是分别以 AB , AC 为直径的两个半圆形区域，且看台I 的面积是看台H 的面积的 3倍;角形水域ABC 的面积为400 ,3平方米.设/ BAC = 0.（1）求BC 的长（用含0的式子表示）；y 2 y 2在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线仁一3-= 1的焦距为6,则所有满足条件的实数 m 构成的集合是2im 31m已知函数 f （x ）是定义在 R 上且周期为 4的偶函数.当 x €的值为 ___ ▲若等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 a 3 — a i = 2,则a 5的最小值为 10.如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = 1, BC = 2, BB i = 3,为侧棱BB i 上的动点.当 AD + DC i 最小时，三棱锥 D — ABC i 的体积为—▲ ii . （20i7南京三模）若函数 f （x ）= e x （ — x 2 + 2x + a ）在区间［a , a + i ］上单调递增，则实数四边形ABCD 的面积为 ▲3 [2 , 4]时，f(x)/ ABC = 90 ° 点 12. （2017南京三模）在凸四边形 ABCD 中，BD = 2,且只C • "BD = 0, (AB + DC)? (BC + AD)= 5,则 A iB 1DA如图，在三棱锥A — BCD 中, 已知向量 a = (2cos a, sin 2 a矩形表演台(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价.x2 y218. (2017南京三模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆孑+器=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A, B, M为线段AB的中点，且O M •A B =-^b2.(1)求椭圆的离心率；(2)已知a= 2,四边形ABCD内接于椭圆，AB // DC .记直线AD, BC的斜率分别为匕，k2,求证：k1 • k2为定值.19. (2017南京三模)(本小题满分16分)已知常数p> 0,数列｛a n｝满足a n+1=|p —a n|+ 2 a n 第p?题卑)N*.(1) 若a1 = —1, p= 1，①求a4的值；②求数列｛a n｝的前n项和S n.(2) 若数列｛a n｝中存在三项a r, a s, a t (r, s, t € N*, r v s v t)依次成等差数列，求色的取值范围.p20. (2017南京三模)(本小题满分16分)已知入€ R,函数f (x) = e x—ex—?(xlnx—x+ 1)的导函数为g(x).(1) 求曲线y= f (x)在x= 1处的切线方程；(2) 若函数g (x)存在极值，求入的取值范围；(3) 若x> 1时，f (x)> 0恒成立，求入的最大值.南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准、填空题(本大题共14小题，每小题5分,计70分.)1. {2}2. 383. .54. —15.6.86. 28. 19. 810.1 —1+. 512. 37. { 2}2113 213. [ —5, 0]14. [27, 30]二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)1115.(本小题满分14分)证明：(1)因为BD //平面AEF , BD 平面BCD，平面AEF门平面BCD = EF ,所以BD // EF. ........................... 3分因为BD 平面ABD, EF 平面ABD，所以EF //平面ABD . ........................... 6分(2)因为AE丄平面BCD, CD 平面BCD，所以AE丄CD . ........................... 8分=1.因为BD丄CD , BD // EF，所以CD丄EF , ........................... 10分又AE A EF = E, AE 平面AEF , EF 平面AEF，所以CD丄平面AEF . ........................... 12分=1.1 800仁 ABC 中, S - ABC = 2AB ?AC ?sin 0= 400-3，所以 AC 2=而.由余弦定理可得 BC 2= AB 2 + AC 2— 2AB?AC?cos 0, = 4AC 2— 2 3AC 2 cos又 CD 平面ACD ，所以平面 AEF 丄平面ACD . 14分16.（本小题满分14分）解：(1)因为向量 a = (2cos a, sin 2 a , b = (2sin a, t),且 a — b = (-, 0)，所以 cos a — sin a=1, t = sin 2 5 5a.1 1 . 1 . 24由 cos a — sin a= 5 得(cos a — si no)2 = 25，即卩 1 — 2si n a cos a=方，从而 2sin a cos a=、49、n7 所以(cos a+ sin a 2= 1 + 2sin a cos a= . 因为 a€ (0,-)，所以 cos a+ sin a=7.25 25所以(cos a+ sin a — (cos a — sin a 3 门 h ・ 2 9sin a= = 5,从而 t = sin a= 25.(2) 因为 t = 1，且 a ? b = 1,所以 4sin 久cos a+ sin 2 a= 1，即 4sin a cos a= cos 2 a.因为n1a€ (0 , 2)，所以 cos a* 0,从而 tan a= 4所以 tan 2a=』^ = 8. 1 — tan 2a 1511分从而 n 8 , dntan2a+ tan 4185 + 1 23tan(2 a + 4)=n= 8 = 7.1 — tan 2a ta n 4 1 —1514分17.（本小题满分14分）解：（1 ）因为看台I 的面积是看台n 的面积的 3倍, 所以 AB = 3AC .=(4 — "COS O ) ^,所以 (2) 所以 BC = 40cos 0)?800 = 40 sin 02— , 3cos 0 '小 ,0€ (0, n sin 02 — 3cos 0 sin 0设表演台的总造价为 W 万元.因为CD = 10m ,表演台每平方米的造价为 0.3万元,W = 3BC = 1202-「呼0, 0€ (0, nsin 0'记f （ 0）=乞黔，沃（0，sin 2 0 11分即BC =由f（o）=0，解得0= n 当张（0, n 时，f（o v o；当张（n，冗时，f（o）＞0.故f（0在（0, n上单调递减，在（土冗上单调递增，从而当o=n时，f（0取得最小值，最小值为6 6 6所以W min = 120(万元).=1.答：表演台的最低造价为 120万元. 18.(本小题满分16分)M 为线段AB 的中点得M(|,号).所以OM = (|, 2), A B = (— a , b).14分解：(1) A(a , 0), B(0, b)，由因为 OM • A B = — 3b 2,所以 £,b a 2 , b 2 3 22)• (— a , b) = — 2 + 2 =— 0 ,整理得a 2= 4b 2,即 a = 2b .因为 a 2= b 2+c 2,所以3a 2= 4c 2，即(3a = 2c .所以椭圆的离心率 e =彳二当(2)2 方去一：由a =2得b =1，故椭圆方程为；+y 2=1从而1A(2, 0), B(0, 1)，直线AB 的斜率为—21因为AB / DC ,故可设DC 的方程为y =— *+ m .设D(X 1, y 1), C(X 2, y 2).联立1y = — qx + m , x 27 + y 2 = 1,消去 y ,得 x 2—1 1 , —2X 1 + m 1 — 2X2 + m — 1直线AD 的斜率k 1=—=—— ，直线BC 的斜率k 2= y 2^ = ----------------------X 1— 2 X 1— 2 X 2 X 2X 211分1—2X 1 + m 所以k 「k 2= --------------- X 1 — 2 1 1 1 1 —尹 + m — 1 4x 1x 2— 2(m — 1)X 1 — ?mx 2+ m(m —1) (X 1 —2)X1 1 14X 1x 2 — ?m(x 1 + X 2) + 2X 1 + m(m — 1) X 1X 2 — 2X 211 1 1 1 4X 1x 2 — 2m • 2m + 2(2m — X 2) + m(m — 1) 4X 1x 2 — ?X 2〔1 即k 1 • k 2为定值4.16分2 方法二：由a = 2得b = 1,故椭圆方程为x + y 2= 1.4 1从而A(2, 0), B(0, 1)，直线AB 的斜率为—2X 02 1设 C(x 0, y 0)，则—+ y °2= 1.因为 AB // CD ，故 CD 的方程为 y = — ^(x — X 0)+ y 0.1y =— 2(x — x o )+ y0,联立 2消去 y ,得 x 2— (X 0 + 2y °)x + 2x 0y 0= 0,解得 x = X 0 (舍去)或 x = 2y °.X4+y 2=1,1所以点D 的坐标为(2y 0, 5x 0).13分1 2x o 1所以 k i • k 2= ----- • ------ = ~，即卩 k i • k 2 为定值 1............................... 16 分2y o — 2 x o 4 4 19. (本小题满分16分)解：(1)因为 p = 1,所以 a n +1 = |1 — a n |+ 2 a n + 1.① 因为 a 1 =— 1，所以 a 2= |1 — a 1|+ 2 a 1 + 1 = 1, a 3= |1 — a 2| + 2 a 2 + 1 = 3, a 4= |1— a 3|+ 2 a 3+ 1 = 9....................................... 3 分② 因为 a 2 = 1, a n +1 = |1 — a n |+2 a n + 1,所以当 n 》2 时，a n 》1,从而 a n +1 = |1 — a n |+ 2 a n + 1 = a n — 1 + 2 a n + 1 = 3a n ，于是有 a n = 3n 2(n 》2)1, n = 1,3“-1 — 3所以S n =亠，…€ N *，即黒—山N *.................................. 8分(2) 因为 a n +1 — a n = |p — a n |+ a n + p > p — a n + a n + p = 2 p > 0, 所以a n + 1> a n ，即｛ a n ｝单调递增. ................. 10分(i )当岂》1时，有a 1 > p ,于是a n >a 1> p ,p所以 a n +1 = |p — a n |+ 2 a n + p = a n — p + 2 a n + p = 3a n ,所以 a n = 3“ 1a 1.若｛a n ｝中存在三项a r , a s , a t (r , s , t € N *, r < s v t)依次成等差数列，则有 2 a $= a r + a t ,— — — — 2 — — —即 2X 3s —1 = 3r —1 + 3t —1. (*),因为 s < t — 1，所以 2X 3s —1= 3 X 3s < 3t —1< 3r —1 + 3t —1,即(* )不成立.3故此时数列｛a n ｝中不存在三项依次成等差数列. ................ 12分a 1(ii )当一1< — < 1 时，有一p <a 1< p .此时 a 2= |p — a 1|+ 2 a 1+ p = p — a 1+ 2 a 1+ p = a 1+ 2 p >p ,p 于是当n >2时，a n > a 2> p ,从而 a n +1 = |p — a n |+ 2 a n + p = a n — p + 2 a n + p = 3a n . 所以 a n = 3n —2a 2= 3n —2(a 1 + 2p) (n > 2).若｛a n ｝中存在三项a r , a s , a t (r , s , t € N *, r < s < t)依次成等差数列，同(i )可知，r = 1,于是有 2 X 3s 2(a 1+ 2 p)= a 1+ 3t2(a 1+ 2p).因为2< s < t — 1,所以一= 2X 3s —2— 3t —2= - X 3s —」X 3t —1< 0.因为 2X 3s —2 — 3t —2 是整数，所以里 <—1,当 n = 1 时，S 1 = — 1 ；当 n >2 时，S n =— 1 + a 2+ a 3+・・・+ a n =— 1 + 1 — 3n —13n —1 — 32a 1+ 2 p 9 3a 1 + 2 p 于是 a 1<— a 1 — 2p , 即卩 a 1<— p ,与一p < a 1< p 相矛盾. 故此时数列｛a n ｝中不存在三项依次成等差数列. ............. 14分a1< —p< p, a1 + p w 0，于是a2= | p—a1|+ 2a1 + p = p—a1+ 2 a1 + p = a1+ 2p, a3= |p—a2|+ 2a2+ p= |p + a1|+ 2a1 + 5p=—p—a1+ 2a1+ 5p= a1 + 4p，此时有a1, a2, a3成等差数列.综上可知：ai< - 1 . ............................................ 16分P20. (本小题满分16分)解：(1)因为f'(x)= e x- e—；lnx,所以曲线y = f (x)在x= 1处的切线的斜率为f(1) = 0,又切点为(1，f (1))，即(1，0),所以切线方程为y= 0. .................................. 2分(2) g (x)= e x—e—加x, g'(x)= e x—扌.当入W 0时，g(x) >0恒成立，从而g (x)在(0,+^ )上单调递增，故此时g (x)无极值. ................... 4分当心0时，设h(x) = e x—-,则h(x)= e x+ g>0恒成立，x x所以h(x)在(0,+^ )上单调递增. ................... 6分①当0v入v e时，入入h(1) = e—入〉0, h(y= g— e v 0,且h(x)是(0, +^ )上的连续函数，因此存在唯一的X0€ (右1)，使得h(X0)= 0.②当入》e时，h(1) = e—入W 0, h(入9e—1> 0，且h(x)是(0, +^ )上的连续函数，因此存在唯一的x0€ [1 ,为，使得h(X0)= 0.故当> 0时，存在唯一的X0> 0,使得h(x0)= 0. ..........................且当0v x v X0 时，h(x)v 0,即卩g(x) v 0,当x>X0 时，h(x)> 0，即g (x)> 0,所以g (x)在(0, X0)上单调递减，在(X0,+^ )上单调递增，因此g (x)在x= X0处有极小值.10分所以当函数g (x)存在极值时，入的取值范围是(0,+^ ).(3) g (x) = f(x) = e x—e—A nx, g(x) = e x—*X若g (x) > 0恒成立，则有疋xe X恒成立.设«x) = xe X(x> 1)，则(f)('x)= (x+ 1) e x> 0 恒成立，所以<Xx)单调递增，从而*)》林1) = e, 即卩疋e.于是当疋e时，g (x)在[1 ,+^ )上单调递增，此时g (x)>g (1)= 0,即f(x)》0,从而f (x)在［1 ,+^ )上单调递增.所以f (x) > f(1) = 0恒成立. .................... 13分当心e时，由(2)知，存在x o€ (1,入)，使得g (x)在(0, x o)上单调递减，即f'(x)在(0, x o)上单调递减. 所以当1v x v x o时，f(x)v f'(1) = 0,于是f (x)在［1 , x o)上单调递减，所以 f (x o) v f (1) = 0.这与x> 1时，f (x) > o恒成立矛盾.因此疋e,即入的最大值为e. ..................................... 16分。

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2019届高三期初模拟考试数学 2019.09一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则A B = .2.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.4.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .5.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .6.设向量(1,4)a =-，(1,)b x =-，3c a b =+，若//a c ，则实数x 的值是 .7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线及直线21y x =+平行，则实数a 的值是 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=及圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 .10. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .11. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12. 已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =，若3DB DC •=，则AC 的长是 .14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2x f x g x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别及单位圆交于点,A B ，若点A ，点B 的纵坐标是5. （1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥. 17. （本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设AOC xrad ∠=. （1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大. 18. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=.（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1[2e ∈，求实数λ的取值范围.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a =，416S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈. （1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.南京市2019届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法及本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，1} 2．．80 4．125．56．47．568．1 9.－1 10．6 11．3n －1 12．[－2，8]13．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）从而sinα＝＝……………………2分因为钝角β的终边及单位圆交于点B，且点B的纵坐标是5，所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－5． …………………… 4分（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝10×(－5)＋10×5＝－10． …………………… 8分（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝10×(－5)＋10×5＝2． …………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)，所以α＋β＝34π． …………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 及AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ………………4分又MN 平面BB 1C 1C ，BC平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分因为AD ⊥DC 1，DC 1平面BB 1C 1C ，CC 1平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分又BC 平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S扇形AOC＝22x OA •＝800x ，0＜x ＜π． …………………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．…………………… 4分从而 S ＝S △COD ＋S扇形AOC＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………………… 6分（2）由（1）知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．S ′(x )＝1600cos x＋800＝1600(cos x＋12)． …………………… 8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝23π．从而当0＜x ＜23π时，S ′(x )＞0；当23π＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，23π)上单调递增；在区间(23π，π)上单调递减． …………………… 11分所以当x ＝23π，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为23π时，改建后的绿化区域面积S 最大． …………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a＝8，解得a ＝2． …………………… 2分因为点P 的坐标为 (1，32)，所以221914a b +=，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P在椭圆上，所以220221y c a b+=，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，－2b a)，1FQ ＝(x 1＋c ，y 1)．由1PF ＝λ1FQ ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2b a＝λy 1，解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－2b aλ，所以Q (－2λλ+c ，－2b aλ)． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ+)2e 2＋222b a λ＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． …………………… 14分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P在椭圆上，所以22c a＋202y b＝1，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝22b ac(x ＋c )．由22222()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1及椭圆有一个交点为P (c ，2b a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－22224b cc b +，即－c －x 1＝22224b cc b +． …………………… 11分因为1PF ＝λ1FQ ，所以λ＝12c c x --＝2224c b b +＝22223c a a c +-＝22311e e +-＝2431e--． …………………… 14分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝11n n a a +，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝11n n a a +＝1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+， (6)分即 b 2－b 1＝11(1)23-，b 3－b 2＝111()235-，b n －b n －1＝111()22321n n ---，（n ≥2）累加得：b n －b 1＝111(1)22121n n n --=--， …………………… 9分所以b n ＝b 1＋121n n --＝1＋121n n --＝3221n n --． b 1＝1也符合上式．故b n ＝3221n n --，n ∈N*． …………………… 11分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m ．又b 2＝43，b n ＝3221n n --＝32－142n -，b m ＝32－142m -，所以43＋(32－142n -)＝2(32－142m -)，即121m -＝16＋142n -，化简得：2m ＝721n n -+＝7－91n +． …………………… 14分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x)＝2x －1＋1x．因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．…………………… 3分（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，从而 f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1x ＝22(21)1ax a xx-++＝(21)(1)ax xx--，x＞0．………… 5分当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a＜12时，由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞12a，由f ′(x)＜0得1＜x＜12a，所以f(x)在区间(0，1)和区间(12a，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a＝12时，因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减． …………………… 10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b-＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln 12x x ＝－(2212x x -)＋ln12x x ．因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ……………… 14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ．因为φ′(t )＝22(1)2t t-≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b-＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b －ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2． …………………… 16分南京市2019届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B ＝∠EDC ． ……………………… 3分因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． (5)分所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ……………………… 7分又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵及变换解：（1）M ＝AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －2 1 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 2 1 3 ． ……………………… 5分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． ……………………… 10分C ．选修4—4：坐标系及参数方程解：曲线C 的极坐标方程为＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 sin(θ＋π6)＝m ，即12cos θ＋32sin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋ 3y －2m ＝0． ……………………… 6分因为直线l 及曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m的值为－12或32． ……………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ． ……………………… 6分解⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈；解⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1．所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ……………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE→|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 及BE 所成角的大小为π6． ……………………… 4分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，则⎩⎨⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B的余弦的绝对值为63，即 |cos<m ，n >|＝63，所以 |m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB＝12． ………………………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3． P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225；P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．第 21 页所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ……………………… 4分（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为……………………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ……………………… 10分。

江苏省南京市2017届高三上学期迎一模模拟考试数学试题含答案

（第6题）结束输出y y ←x 2-2x +2y ←5x <4Y 输入x 开始 N 2016-2017高三数学迎一模模拟卷第I 卷（共160分)一．填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB =▲ ．【答案】[1,2]2．复数iia 212+-(i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】 4 3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题,则实数a 的取值范围是_______。

【答案】]1,(-∞4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 . 【答案】125．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间［4，5)上的数据的频数为__________．【答案】 30．6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】47．在平面直角坐标系xOy 中,点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案8．已知a ,b 为实数,且a ≠b ，a <0，则a ▲ 2b —ab 2.(填“〉”、“<"或“=”) 【答案】“〈”9．ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是．【答案】 ()2,6-10．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则公比q 的取值集合是．【答案】⎪⎪⎩⎭；11．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，F 是棱BC 的中点，M 是线段1A F上的动点，则△1MDD 与△1MCC 的面积和的最小值是．【答案】；12．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m -+，则实数c 的值为．【答案】 214-13。

(完整word)南京市2017届高三年级三模数学卷

南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学2017.05注意事：1．本卷共 4 ，包含填空（第 1 ~第 14 ）、解答（第15 ~第 20 ）两部分．本卷分 160 分，考120 分．．．．2．答前，势必自己的姓名、学校写在答卡上．的答案写在答卡上目的答案空格内．考束后，交回答卡．参照公式：方差 s2＝1[(x1－x )2＋ (x2－x )2＋⋯＋ (x n－x )2]，此中 x x1，x2，⋯， x n的均匀数．n柱体的体公式：V＝ Sh，此中 S柱体的底面，h 柱体的高．体的体公式：1h 体的高．V＝Sh，此中 S 体的底面，314 小，每小．．．．．．．一、填空：本大共 5 分，共 70 分．把答案填写在答卡相地点上．1．已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，会合 A＝ {1 ， 4} ， B＝ {3 ， 4} ， ?U(A∪ B)＝▲．2．甲盒子中有号分1， 2 的 2 个球，乙盒子中有号分3，4，5，6 的 4 个球．分从两个盒子中随机地各拿出 1 个球，拿出的球的号之和大于 6 的概率▲ ．－－Read x3．若复数 z 足 z＋ 2 z＝ 3＋ 2i，此中 i 虚数位， z复数 z 的共复数，复数 z 的模▲．If x≥ 0Then y← 2x＋1 Else4．行如所示的代，若出y 的 1，y← 2－x2 End If入 x 的▲．Print y（第 4 题图）5．如是甲、乙两名球运在五比中所得分数的茎叶，在五比中得分定（方差小）的那名运的得分的方差▲．甲乙779089481035（第 5 题图）π16．在同向来角坐系中，函数y＝sin(x＋3)（x∈ [0，2π ]）的象和直y＝2的交点的个数是▲．7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2 2－ y 2 ＝ 1 的焦距为 6，则全部知足条件的实数 m 组成的会合是2m 3m▲．38 ．已知函数 f( x) 是定义在R 上且周期为 4 的偶函数．当x ∈ [ 2 ， 4] 时， f( x) ＝ | log 4 (x － 2) | ，1则 f(2)的值为▲．A 1C 1B 19．若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 3－ a 1＝ 2，则 a 5 的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC － A 1 B 1C 1 中， AB ＝1， BC ＝ 2， BB 1＝ 3，∠ ABC ＝ 90°，点DDA C为侧棱 BB 1 上的动点．当 AD ＋ DC 1 最小时，三棱锥 D － ABC 1 的体积为▲．B11．（ 2017 南京三模）若函数 f(x)＝ e x ( －x 2＋2x ＋ a)在区间 [a ，a ＋ 1]上单一递加，则实数a （第 10 题图）的最大值为▲．12．（ 2017 南京三模）在凸四边形→ → →→ → →ABCD 中， BD ＝ 2，且 AC · BD ＝ 0， ( AB ＋ DC )?(BC ＋ AD )＝ 5，则四边形 ABCD 的面积为▲．13. （ 2017 南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ：x 2 ＋ y 2＝1，圆 M ： (x ＋ a ＋3) 2＋ (y － 2a)2＝ 1(a为实数 )．若圆 O 与圆 M 上分别存在点P ， Q ，使得∠ OQP ＝30 ，则 a 的取值范围为▲．2＋ 3≤ 2，则 3a ＋8b的取值范围为▲．14．（ 2017 南京三模）已知 a ，b ，c 为正实数，且 a ＋ 2b ≤ 8c ，a b c c6 小题，合计 90 ．．．．．．．．二、解答题：本大题共分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A15．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A － BCD 中，E ，F 分别为棱 BC ，CD 上的点，且 BD ∥平面 AEF ．（ 1）求证： EF ∥平面 ABD ；（ 2）若 BD ⊥ CD ， AE ⊥平面 BCD ，求证：平面 AEF ⊥平面 ACD ．DF2α，＝α，B， α∈， πE16．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）已知向量 a ＝ (2cos α， sin)b (2sint)(0 )．（第 215 题图）Cπ（ 1）若 a －b ＝ (2， 0)，求 t 的值；（ 2）若 t ＝1，且 a ? b ＝ 1，求 tan(2α＋)的值．5417．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域 ABC ，及矩形表演台 BCDE 四个部分组成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以 AB ， AC 为直径的两个半圆形地区，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍；矩形表演台BCDE 中， CD ＝ 10 米；三角形水域 ABC 的面积为 400 3平方米．设∠ BAC ＝ θ．EDA（ 2）若表演台每平方米的造价0.3 万元，求表演台的最低造价．2218．（ 2017 南京三模）（本小分 16 分）如，在平面直角坐系 xOy 中，x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的a b→ →3y右点和上点分A ，B ， M 段 AB 的中点，且 OM · AB ＝－ b 2．B2（ 1）求的离心率；COMA x（ 2）已知 a ＝ 2，四形 ABCD 内接于， AB ∥ DC ．直 AD ， BC 的斜率分 k 1， k 2，求： k 1·k 2 定．D19．（2017 南京三模）（本小分（第 18 题图） *．16 分）已知常数 p ＞0，数列 { a n } 足 a n ＋1＝ |p －a n |＋2 a n ＋ p ，n ∈ N（ 1）若 a 1＝－ 1， p ＝ 4n n1，①求 a 的；②求数列{ a } 的前 n 和S ．（ 2）若数列 { a nr st*， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，求a 1的取范．} 中存在三 a ， a， a (r ，s ， t ∈Np20．（2017 南京三模）（本小分16 分）已知 λ∈ R ，函数 f (x)＝ e x － ex － λ(xlnx － x ＋ 1)的函数 g(x)．（ 1）求曲 y ＝ f (x)在 x ＝1 的切方程；（ 2）若函数 g (x)存在极，求 λ的取范；（ 3）若 x ≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒建立，求 λ的最大．南京市 2017 届高三第三次模拟考试数学参照答案及评分标准一、填空（本大共 14 小，每小5 分， 70 分 .）31． {2}2． 83． 54．－ 15．6.86． 231 1－ 1＋ 57． { 2}8． 29． 810．311．212．313． [－ 6， 0]14． [27， 30]5二、解答（本大共 6 小， 90 分．解答写出必需的文字明，明程或演算步）15．（本小分 14 分）明：（ 1）因 BD ∥平面 AEF ， BD 平面 BCD ，平面 AEF ∩平面 BCD ＝EF ，所以 BD ∥ EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因 BD 平面 ABD ， EF 平面 ABD ，所以 EF ∥平面 ABD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）因 AE ⊥平面 BCD ， CD 平面 BCD ，所以 AE ⊥CD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因 BD ⊥ CD ，BD ∥ EF ，所以CD ⊥ EF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分又 AE ∩EF ＝ E ，AE 平面 AEF ， EF 平面 AEF ，所以 CD ⊥平面 AEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又 CD 平面 ACD ，所以平面AEF ⊥平面 ACD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分16．（本小分14 分）解：（ 1）因向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝ (2sin α， t)，且 a － b ＝ (2， 0)，所以 cos α－ sin α＝1， t ＝ sin 2α．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分55由 cos α－sin α＝1得 (cos α－ sin α)2＝ 1，即 1－2sin αcos α＝ 1，进而 2sin αcos α＝ 24． 5 25 25 25所以 (cos α＋ sin α)2＝1＋ 2sin αcos α＝ 49 ． π 7 5 分25因 α∈ (0， )，所以 cos α＋ sin α＝． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 5(cos α＋ sin α)－ (cos α－ sin α) 3 9所以 sin α＝ 2＝ 5，进而 t ＝ sin 2α＝ 25． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（ 2）因 t ＝ 1，且 a ? b ＝ 1，所以 4sin αcos α＋ sin 2α＝ 1，即 4sin αcos α＝ cos 2α．π1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因 α∈ (0， )，所以 cos α≠ 0，进而 tan α＝2 4所以 tan2α＝2tan α2 ＝8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分1－ tan α 15π8＋ 1π tan2α＋ tan 4＝ 15＝ 23． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分进而 tan(2α＋ )＝4·π8 71－ tan2α tan 4 1－ 15 17．（本小分14 分）解：（ 1）因看台Ⅰ的面是看台Ⅱ的面的 3 倍，所以 AB ＝ 3AC ．在△ ABC 中， S △ ABC ＝ 1 AB?AC?sin θ＝ 400 3，所以 AC 2＝ 800．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2sin θ由余弦定理可得 BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ?AC ?cos θ，＝ 4AC 2－ 2 3AC 2cos θ＝ (4－ 2 3cos θ)800，sin θ即 BC ＝(4 －28002－ 3cos θ3cos θ)?＝ 40．sin θsin θ所以 BC ＝ 402－ 3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分sin θ（ 2）表演台的造价 W 万元．因 CD ＝10m ，表演台每平方米的造价 0.3 万元，所以 W ＝ 3BC ＝ 1202－3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分sin θ2－ 3cos θ3－ 2cos θf(θ)＝sin θ ， θ∈ (0， π)． f ′(θ)＝ sin 2θ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分π ππ由 f ′(θ)＝ 0，解得 θ＝．当 θ∈ (0，) ， f ′(θ)＜ 0；当 θ∈ ( ， π) ， f ′(θ)＞ 0．666故 f(θ)在 ππ θ＝π， f(θ)获得最小，最小f( π(0， )上减，在( ， π)上增，进而当6) ＝ 1．666所以 W min ＝ 120(万元 )．答：表演台的最低造价 120 万元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．（本小分16 分）解：（ 1） A(a ，0)， B(0， b)，由 M 段 AB 的中点得a b → a b → M( ，)．所以 OM ＝( ， )， AB ＝ (－ a ，b)．2 2 2 2→ → 3 a b a 2 b 2 3 b 2，因 OM · AB ＝－b 2，所以 ( ， ) ·(－ a ， b)＝－＋＝－ 22222 2整理得 a 2＝ 4b 2，即 a ＝ 2b ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 a 2＝ b 2＋ c 2，所以3a 2＝ 4c 2，即3a ＝ 2c ．所以的离心率e ＝ c＝3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分a2（ 2）方法一：由 a ＝ 2 得 b ＝ 1，故方程x 2＋ y 2＝ 1． 4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率－1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分21因 AB ∥ DC ，故可DC 的方程 y ＝－ 1y ＝－ 2x ＋ m ，x ＋ m ． D( x 1，y 1)， C(x 2， y 2)．立 22x＋y 2 ＝1，4消去 y ，得 x 2－ 2mx ＋ 2m 2－ 2＝ 0，所以 x 1＋ x 2＝ 2m ，进而 x 1＝ 2m － x 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分11＋m － 1－ x 1＋ m2－ x 2y 122直 AD 的斜率 k 1＝＝1，直 BC－ 1＝ x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分1的斜率 k 2＝ x 2x － 2x － 211 x 21 1 (m －1)x 1－ 1mx 2＋ m(m －1)－ x 1＋ m －＋m － 1 x 1x 2－2 2所以 k 1· k 2＝ 2241－ 2 ·x 2＝1－ 2)x 2x(x11 11 12m ＋ 1 (2m －x )＋m(m － 1) 11x x － m(x ＋x )＋ x ＋ m(m － 1)x x － mx x － x＝41 22 1221＝41 22 ·2241 2221，＝＝x x － 2x2x x － 2xx x －2x2 412 1 2 21 2 即 k 1 ·k 2定 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分4方法二：由 a ＝2 得 b ＝1，故方程x 2＋ y 2＝ 1．4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率－1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2x 021C(x 0， y 0)， 4＋y 02＝ 1．因 AB ∥ CD ，故CD 的方程 y ＝－2(x －x 0 )＋ y 0．1立y ＝－ 2(x － x )＋ y，2消去 y ，得 x 2－ (x 0 ＋2y 0) x ＋2x 0 y 0＝ 0，解得 x ＝x 0（舍去）或 x ＝ 2y 0．x＋ y 2＝ 1，41⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分所以点 D 的坐 (2y 0 ， x 0) ．212x 011y － 1所以 k 1·k 2＝· x 0＝ 4，即 k 1·k 2定4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16分2y － 219．（本小分 16 分）解：（ 1）因 p ＝ 1，所以 a n ＋1 ＝|1－ a n |＋ 2 a n ＋ 1．① 因a 1＝－ 1，所以 a 2＝ |1－ a 1|＋ 2 a 1＋ 1＝1， a 3＝ |1－ a 2|＋ 2 a 2＋ 1＝3，a ＝ |1－ a 3 |＋ 2 a ＋ 1＝ 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分43② 因 a 2＝ 1， a n ＋1＝ |1－a n |＋ 2 a n ＋ 1，所以当 n ≥ 2 ， a n ≥ 1，进而 a n ＋ 1 n n n n ＋ 1＝ nn＝3 n －2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分＝ |1－ a |＋ 2 a ＋ 1＝ a － 1＋ 2 a 3a ，于是有a (n ≥ 2)n －1n －1 － 3当 n ＝ 1 ， S 1＝－ 1；当 n ≥ 2 n23n1－ 3＝ 3．， S＝－ 1＋ a ＋ a ＋⋯＋ a ＝－ 1＋ 1－ 321，n ＝ 1，3 n －1－ 3所以 S n ＝－即 S n ＝* ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3n 1－ 3， n ∈N2， n ≥ 2， n ∈ N * ，2（ 2）因 a n ＋1－ a n ＝ |p － a n |＋ a n ＋ p ≥ p － a n ＋ a n ＋ p ＝ 2 p ＞ 0，所以 a n ＋ 1＞ a n ，即 { a n } 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ i ）当a 1≥ 1 ，有 a 1≥ p ，于是 a n ≥ a 1≥ p ， p所以 a n ＋ 1＝ |p － a n |＋ 2 a n ＋ p ＝ a n －p ＋ 2 a n ＋ p ＝ 3a n ，所以 a n ＝ 3n －1a 1．若 { a n } 中存在三a r ， a s ， a t (r ， s ，t ∈N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，有2 a s ＝a r ＋ a t ，即 2× 3s － 1＝3r － 1＋ 3t － 1．（ * ），因 s ≤ t －1，所以 2× 3s － 1＝2× 3s ＜ 3t －1＜ 3r －1＋ 3t －1，即（ *）不建立．3故此数列 { a n } 中不存在三挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分a 1（ ii ）当－ 1＜ p ＜ 1 ，有－ p ＜a 1＜ p ．此 a 2＝ |p － a 1|＋ 2 a 1＋ p ＝p －a 1＋ 2 a 1＋ p ＝a 1＋ 2 p ＞ p ，于是当 n ≥ 2 ， a n ≥ a 2＞ p ，进而 a n ＋1＝ |p － a n |＋ 2 a n ＋ p ＝a n －p ＋ 2 a n ＋p ＝ 3a n ．所以 a n ＝ 3n － 2a 2＝ 3n －2(a 1 ＋2p) (n ≥ 2)．若 { a n } 中存在三 a r ， a s ， a t (r ， s ，t ∈N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，同（i ）可知， r ＝1，于是有 2× 3s －211t －2 12≤ s ≤ t － 1，(a ＋ 2 p)＝ a ＋ 3(a ＋ 2p)．因a1＝－－2 1 －－－2是整数，所以1a 1≤－ 1，所以 12× 3s2－ 3t2＝9× 3s－ 3 × 3t1＜ 0．因 2×3s 2－3ta ＋ 2 pa ＋ 2 p于是 a 1≤－ a 1－ 2p ，即 a 1≤－ p ，与－ p ＜a 1 ＜p 相矛盾．故此数列 { a n } 中不存在三挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分（ iii ）当a 1≤－ 1 ，有 a 1≤－ p ＜ p ， a 1 ＋p ≤ 0，于是 a 2＝ | p － a 1|＋ 2a 1 ＋p ＝ p － a 1＋ 2 a 1＋p ＝ a 1＋ 2p ， p上可知：a1≤－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分p20．（本小分 16 分）解：（ 1）因 f′(x)＝ e x－ e－λln x，所以曲 y＝ f (x)在 x＝1 的切的斜率f′(1)＝ 0，又切点 (1 ，f (1))，即 (1， 0)，所以切方程 y＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分λ（2） g (x)＝ e x－ e－λlnx， g′(x)＝ e x－．x当λ≤0 ， g′(x) ＞0恒建立，进而g (x)在 (0，＋∞ )上增，故此 g (x)无极．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分λλ当λ＞0 ， h( x)＝ e x－， h′(x)＝ e x＋x 2＞ 0 恒建立，x所以 h(x)在 (0，＋∞ ) 上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分①当 0＜λ＜ e ，λλh(1)＝ e－λ＞0， h()＝ e e－ e＜ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，e所以存在独一的 x0λ， 1)，使得 h(x0∈ (e)＝ 0．②当λ≥ e ，λh(1)＝ e－λ≤ 0， h( λ)＝e － 1＞ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，所以存在独一的 x0∈ [1，λ)，使得 h(x0)＝ 0．故当λ＞ 0 ，存在独一的x ＞ 0，使得 h(x )＝ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分00且当 0＜x＜ x0， h( x)＜ 0，即 g′(x)＜0，当 x＞ x0， h(x)＞ 0，即 g′(x)＞ 0，所以 g (x)在 (0， x )上减，在 (x ，＋∞ ) 上增，00所以 g (x)在 x＝ x0有极小．所以当函数 g (x)存在极，λ的取范是 (0，＋∞ )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分λ（ 3） g (x)＝ f′(x)＝ e x－e－λlnx， g′(x)＝ e x－x．若 g′(x)≥ 0 恒建立，有λ≤ xe x恒建立．φ(x)＝ xe x(x≥ 1)，φ′(x)＝ (x＋ 1) e x＞ 0 恒建立，所以φ(x)增，进而φ(x)≥ φ(1)＝e，即λ≤ e．于是当λ≤ e ， g (x)在[1 ，＋∞ )上增，所以 f (x) ≥f (1)＝ 0 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分当λ＞e ，由（ 2）知，存在x0∈ (1，λ)，使得 g (x)在 (0， x0)上减，即 f′(x)在 (0， x0)上减．所以当 1＜ x＜ x0， f′(x)＜ f′(1) ＝ 0，于是 f (x) 在[1， x0)上减，所以 f (x0) ＜ f (1)＝ 0．与 x≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒建立矛盾．所以λ≤ e，即λ的最大e．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分。

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学评分标准和参考答案(第三稿)

南京市2017届高三年级三模数学卷(第三稿)

2017年江苏省南京市高三一模数学试卷

江苏省南京市、盐城市2017届高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟试卷数学试卷

【江苏省南京、盐城】2017届高三学年级第一次模拟考试数学年试题答案

2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷

【江苏省南京、盐城】2017届高三学年级第一次模拟考试数学年(理)试题

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷

(完整word)南京市2017届高三年级三模数学卷

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

江苏省南京市2017届高三上学期迎一模模拟考试数学试题 含答案

(完整word)南京市2017届高三年级三模数学卷

江苏省南京市2017届高三上学期迎一模模拟考试数学试题含答案