运筹学48复习指导

j 1 n
n aij x j bi (i 1, 2,..., m) s.t. j 1 x 0 ( j 1, 2,..., n) j 其中bi 0 (i 1, 2,..., m)

将下列线性规划模型化为标准形式. min z x1 2 x2 3x3
对应新的基可行解X=(0,3,6,16,0)T. 因变量x1的检验数大于0，故该解不为最优解。
单纯形法的计算步骤
Cj
新的单纯形 表 2 3 0
b 3 4 3 x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 1/2 -2 0 -1
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/5 4/5 1/5 -1/5 θ
0 0 0 ω x4 x2 x3 12 1 1 0 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 -2 -1 0 0 2 1 0 1 -5 -2 0 1
考试内容及分值（6）
第六章 图与网络分析 （ ≤ 15分） 了解图与网络的基本知识 掌握树的概念与性质，最大流问题中割集、 割量和增广链等概念和判定； 熟练掌握求解最小树问题、最短路问题、 最大流问题
考试内容及分值（7）
第七章 计划评审方法（≤10分） 1、理解PERT网络中作业、事件、关键路线和关 键作业等概念； 2、掌握PERT网络的优化，以及三点估计法、期 望作业时间和方差计算公式； 3、熟练掌握实际问题的PERT网络模型的构建， 时间参数的计算和关键路线的确定。
σj 2 3
由上表可知（？），初始基可行解X=(0,0,12,16,15)T , 因变 量x1,x2的检验数大于0，故该解不为最优解。 问：哪一个变量选作入基变量？哪一个选作出基变量？
单纯形法的计算步骤
Cj
新的单纯形 表
2 3 0
0
0
CB B b x1 x2 x3 x4 x5 θ 0 x3 6 [2] 0 1 0 -2/5 3 0 4 0 x4 16 4 0 0 1 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 σj 2 0 0 0 -3/5
考点详解（Байду номын сангаас）

简单线性规划模型及其图解法
常山机器厂生产 I、II 两型产品.这两型产品都分别 要在A、B、C三种不同设备上加工.按工艺规定,生 产每件产品的单位利润、消耗三种设备的工时以及 各种设备工时的限额如表2-1所示，如何安排生产 才能使总的利润最大？
表 2-1 设备 产品 Ⅰ Ⅱ 有效 台时 A 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 利润 2 元 3 元
(配料问题 ) 某饲养场饲养一种动物用于出售 ,该种动物每 天至少需要 700 克蛋白质,30 克矿物质,100 毫克维生素.现 有四种饲料可供选用 , 各种饲料每千克营养成分含量及单 价如下表所示， 四种饲料各采购多少,才能使总费用最小？ 每千克饲料中营养成分的含量 蛋白质(克) 矿物质(克) 维生素(毫克) 单价(元/千克) I 3 II III IV 需要量 2 1 5 700 30 100
2 x1 x2 x3 9 3x x 2 x 4 1 2 3 s.t. 3 x 2 x 3 x 6 1 2 3 x1 0, x2 0, x3取值无限制
解：令z z x1 x1 (x1 0) x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
运筹学复习指导
经管类48课时 2015年
试题类型


判断题 16分 选择题15分 分析解答题 60 分 实际问题建模题 9分
考试内容及分值（1）
第一章 线性规划与单纯形法（≤25分） 1、了解线性规划问题及其数学模型，理解线性规 划模型的基本概念，线性规划的解的基本性质和 单纯形法的基本原理； 2、掌握线性规划的可行解、基可行解、最优解、 基等重要概念、线性规划的标准形式、单纯形表 的步骤和解的类型的判定； 3、熟练掌握线性规划的图解法、单纯形法、大M 法、两阶段法、线性规划问题的建模。
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
考点详解（3）

线性规划问题的标准形式如式：
max z c j x j

某工地需要30套三角架,每套需要1.4米长的 钢材毛坯2根，3米长的毛坯2根以及1.7米长 的毛坯1根.仓库现有长6.5米的钢材.应如何 下料,使消耗的钢材最少？

某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需 司机和乘务人员数如下表。设司机和乘务人 员分别在各时间段一开始时上班，并连续工 作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘 务人员，既能满足工作需要，又配备最少司 机和乘务人员?
6 5 4 3 2 1 D
2x1+2x2=12 4x1=16 5x2=15 C B A 0 1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1 D z
2x1+2x2=12 4x1=16 5x2=15 C B A 0 1 1 3 4 5 6 2
最优解： x1=3 x2=3
考点详解（2）

线性规划模型建立方法： 列表分析数据及其相互关系， 合理选择决策变量， 构建目标函数, 找出所有约束条件
表 2-1 设备 产品 Ⅰ Ⅱ 有效 台时 A 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 利润 2 元 3 元
解： 设计划期内两种产品的产量分别为 x1 和 x2
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
考点详解（5）
单纯形法适用的问题 约束条件全部为≤，右边常 数全部为非负，对目标函数 的系数没有要求。 对偶单纯形法应用的条件 约束条件中至少有一个是≥， 相应的右边常数为非负，目 标函数系数全部为非负。
min z=3x1-2x2 s.t. x1+2x2≤12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 min z=3x1+2x2 s.t. x1+2x2≥12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0
单纯形法的计算步骤
例10 用单纯形法求解
max z 2 x1 3x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
解：先标准化
max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 12 2 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 s.t. 5 x2 x5 15 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
并引入松弛变量 x4, x5,按照上述方法将问题化为如下标准形式：
max z x1 2 x2 3x3 3x3 0 x4 0 x5 2 x x x x x 9 1 2 3 3 4 3x1 x2 2 x3 2 x3 x5 4 s.t. 6 3x1 2 x2 3x3 3x3 x1 , x2 , x3 , x3 , x4 , x5 0
max Z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 +x3 1 2 x1 x1、x2、x3 0
第一阶段单纯形法迭代的过程见下表 （注意：没有化为极大化问题） 第一阶段问题的最优单纯表为
考点详解（4）
线性规划模型的基本概念与性质

max z CX AX b s.t. X 0 b0
A=(aij)为约束方程组的m×n阶系数矩阵(设n>m), 且A的秩为m.若矩阵B是A的一个m阶可逆子矩阵, 则称B是线性规划问题的一个基矩阵(简称为基)
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由 约束条件方程AX=b解出基变量，称这组解为基解。 基解的总数不会超过 C 个,在每个基解中取值非0 的变量个数不会大于m.
取A中后3列对应的单位矩阵为基, 得到初始基可行解 X=(0,0,12,16,15)T
单纯形法的计算步骤
列出初始单纯形表
Cj 2 3 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θ 6 3
CB 0 0 0
B b x1 x2 x3 12 2 2 x4 16 4 0 x5 15 0 [5]
考试内容及分值（4）
第四章 整数规划 （ ≤ 15分） 了解整数规划的数学模型及特点，理解整数规划 的分支定界方法的基本思想。 掌握整数规划与其对应的线性规划问题之间的关 系 熟练掌握求解指派问题的匈牙利法以及实际问题 的建模
考试内容及分值（5）
第五章 目标规划（≤10分） 了解目标规划的基本概念。 掌握目标规划的图解法； 熟练掌握目标规划的建模。
考试内容及分值（2）
第二章 对偶理论与灵敏度分析 （≤15分） 1、了解对偶问题的意义，理解对偶性质、对偶单 纯形法的基本原理； 2、掌握原问题与其对偶问题的对偶关系、对偶理 论、影子价格的经济解释、对偶单纯形法和； 3、熟练掌握弱（强）对偶定理、互补松驰定理、 灵敏度分析。
考试内容及分值（3）
CB B 2 x1 0 x4 3 x2
σj
所有检验数均非正,表明X=(3,3,0,4,0)T为最优解,此时zmax=15. 进一步由于非基变量的检验数全小于0, 该问题是唯一最优解.
单纯形法的进一步讨论－两阶段法
例 用 两阶段法求解： 先化原问题为标准形：略 第一阶段的线性规划问题可写为：
min x6 x7 x4 =11 x1 2 x2 x3 4 x x 2 x x x6 3 1 2 3 5 x3 x7 1 2 x1 x1 , x2 , ，x7 0