运筹学目标规划

• 引入优先因子
• 目标约束：
• P1： x1-x2≤0 ； • P2： 2x1+x2≤11 ； • P3： x1+2x2=10 ； • P4： 8x1+10x2≥56 ；
• x1-x2= 0+d1+-d1- ； • 2x1+x2=11+d2+-d2- ； • x1+2x2=10+d3+-d3- ； • 8x1+10x2=56+d4+-d4- ；
1、决策变量xj和正、负偏差变量d+，d-
目标规划通过引入目标值g和偏差变量d，可以将目标 函数转化为目标约束。
目标值gk：是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实现值或决策值fk(xj)：是指当决策变量xj 选定以后，目 标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和 目标值之间的差异，记为d。 单词deviation的首字母。 正偏差变量，记为d+：表示实现值超过目标值的部分 。 负偏差变量，记为d-：表示实现值未达到目标值的部 分在。一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋×d－＝0，并规定d＋≥0，d－≥0
• 例1.
产品I 产品II 拥有量
原材料(kg) 2
1
11
设备(hr) 1
2
10
利润(元/件) 8
10
• (1) 产品I的产量不大于产品II； x1≤x2，即x1-x2≤0；
（一）、目标规划与线性规划的比较
1) 线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
2) 线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。
3)线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束 ；而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先 权。
1
11
设备(hr) 1
2
10
利润(元/件) 8
10
• (1) 产品I的产量不大于产品II； x1≤x2，即x1-x2≤0； • (2)原材料超过时，采购成本增加； 2x1+x2≤11；
• (3)设备台时充分用完，不加班； x1+2x2=10；
• (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。 8x1+10x2≥56；
4、优先因子(优先等级)Pk与优先权系数ωk
为了将不同级别的目标的重要性用数量表示，引进 P1, P2,….，用它表示一级目标，二级目标，….的重要程 度，规定P1>>P2 >>P3 >>…，称P1，P2，….,为级别系数 。
优先因子Pk是将决策目标按其重要程度排序并表示出 来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1，k=1,2,…,K。 例如，四个决策目标用四个优先因子排序的准则函数：
产品II 拥有量
1
11
2
10
10
• 实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素：
• (1) 产品I的产量不大于产品II；x1≤x2，即x1-x2≤0； • (2)原材料超过时，采购成本增加；2x1+x2≤11； • (3) 设备台时充分用完，不加班； x1+2x2=10； • (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。8x1+10x2≥56；
思考：下列三种情形下，如何才算达到 目标？
• 若决策目标中规定 f(xj) g，则 目标中d+ = 0；
• 若决策目标中规定 f(xj) g，则 目标中d- = 0；
• 若决策目标中规定 f(xj) = g，则 目标中d+ = d- = 0.
3、准则函数（即目标规划中的目标函数）
准则函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记 为 min z = f (d＋,d-)。
对应一个目标约束，有以下三种情况，但只能出现 其中之一：
⑴. 恰好达到规定的目标值，即f(xj) = g，正、负偏 差变量d＋、 d-都要尽可能小，则min z = f (d＋＋d-)。
⑵. 不超过目标值，即f(xj) g ，正偏差变量d＋尽可 能小，则min z = f (d＋)。
⑶. 超过目标值，即f(xj) g ，负偏差变量d-尽可能 小，则min z = f (d-)。
权系数ωk 区别具有同一个优先因子的两个目标的差别 的情况。
例如，目标i和目标j具有相同的优先因子Pk准则函数 ：
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现 ，有些可能就不能实现。
• 例1.
产品I 产品II 拥有量
原材料(kg) 2
运筹学目标规划
2020/9/10
第1节 目标规划的数学模型
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。
目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系 ，求得更切合实际要求的解。
目标规划举例
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 原材料(kg) 2 设备(hr) 1 利润(元/件) 8
产品II 拥有量
1
11
2
10
10
• 实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素： • (1) 产品I的产量不大于产品II； • (2)原材料超过时，采购成本增加； • (3) 设备台时尽量用完； • (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。
4)线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需 花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程 中，只求得满意解，就能满足需要（或更能满足需 要）。
（二）、目标规划的基本概念
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 原材料(kg) 2 设备(hr) 1 利润(元/件) 8
2、目标约百度文库和绝对约束
引入目标值g、正偏差变量d+、负偏差变量d-后， 就对某一问题有了新的限制，即目标约束。
目标约束既可对原目标函数起作用，也可对原约 束起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束 。
一般表示为：f(xj) = g + d+- d-
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式 或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝 对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。