运筹学第四章多目标规划

MinZ3=d3-
所以，模型为：
minZ1=d1-,minZ2=d2-+d2+,minZ3=d3-
4x 3.2x d d 12
1
2
1
1
x 1
1.5 x 2
d 2
d 2
0
2
x 1
4x d
2
3
d 3
12
3
x 1
3x 2
12
x i
0, d , d
i
i
0(i
1,2,3)
目标规划模型
第四章 多目标规划
4.1 多目标规划模型及其解的概念 4.2 多目标规划的解法—目标规划法
4.1 多目标规划模型及其解的概念
单目标问题：方案dj 多目标问题：方案dj [f1(dj)，…，fp(dj)]
评价值f(dj) 评价值向量
线性目标规划与线性规划比较，具 有下面的特点：
1.线性规划只讨论单目标线性函数在一 组线性约束条件下的极值问题，而目标 规划能统筹兼顾处理实际问题中经常出 现的多种目标关系，求得更切合实际的 最优解。
(3)约束与(1)(2)(4)约束无公共区域，故应得满意解
该解尽可能满足(3)约束，故B点为满意解 求解直线x1-1.5x2=0与3x1+3x2=12的交点 得到满意解为x1=12/5,x2=8/5
d2-
(2)x1-1.5x2=0
d2+
B A
0
d1+ d1-
4
材料（百吨/单位） 3
3
利润（万元/单位） 4
3.2
限量
12 12
如何安排生产计划使获利最大？
设生产产品A和B各x1,x2
则max z 4x1 3.2x2
2x1 4x2 12 3x1 3x2 12 x1, x2 0
若要求：
1） 生产这两种产品的利润最少达到12万元
Fra Baidu bibliotek2） A产品的产量尽可能是B产品产量的1.5 倍
2.线性规划要求在满足所有约束条件的 可行解中求最优解，而实际问题中存在 着互相矛盾的约束条件，从而制约了线 性规划解决问题的范围。目标规划将克 服这些互相矛盾的约束条件，找到满意 的合理解。
3.线性规划将约束条件看成同样重要、不分 主次的条件，而目标规划将依据实际情况去 确定模型，并主次有别地进行求解。
3） 为充分利用设备工时，必须使设备的空 闲时间尽可能的地小。 问工厂又应如何决定产品A、B的产量？
仍设生产产品A、B各x1，x2
资源约束：3x1+3x212 ——硬约束
令d1-表示安排生产时，低于计划利润12的量 ——负偏差变量
令d1+表示安排生产时，高于计划利润12的量 ——正偏差变量
故4x1+3.2x2-d1++d1-=12
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0
fi(X)fi(0)
负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
4.线性规划求得最优解，可能求得此解将花 昂贵的代价，而目标规划寻求的是满意解， 即在指定的指标值下求得近似解，实际问题 可能更需要这样的满意解。
x2
M2
M1 0
劣解
M4
最优解
有效解 M3
x1
4.2 多目标规划的解法—目标规划法
一.目标规划的数学模型
1.问题的提出
例1（P99例4.7）
产品
A
B
设备工时（月/单位） 2
xi
0,
di, di
0(i
1,2,3)
解： （1）先在平面直角坐标系中做出各约束条
件所确定的区域； 绝对约束如线性规划图解法 目标约束：令di+,di- 均为0，作直线 （2）标出目标约束在相应直线上di+,di-增 大的方向；
（3）根据目标函数的优先因子分析求解。
x2
(1)(2)(4)约束有公共区域：线段AB
MinZ1=d1-
令B产d2品-表产示量安的排不生足产量时，—A产—品负比偏1差.5变倍量
令d2+表示安排生产时，A产品比1.5倍 B产品产量的超过量 ——正偏差变量
故x1-1.5x2-d2++d2-=0 MinZ2=d2++d2-
令d3-表示剩余的设备工时
d3+表示超过的设备工时
故2x1+4x2-d3++d3-=12
箭头方向； 3.按优先级逐步缩小可行解的范围，最后
得到有效解。
例2.用图解法求解目标规划
min
w
P1d1
P2 (d2
d2 )
P3d
3
4
x1
3.2x2
d1
d1
12
—
(1)
x1 1.5x2 d2 d2 0 — (2)
2x1
4x2
d3
d
3
12
—
(3)
3x1 3x2 12 — (4)
转化为单目标： minW=P1d1-+P2(d2-+d2+)+P3d3P1——第一优先级 P2——第二优先级 P3——第三优先级
P1>>P2>>P3
2.数学模型
（1）目标规划模型的要素 1]决策变量和偏差变量 决策变量：又称控制变量，用xi表示 偏差变量：
正偏差变量（di+）：
实际决策值超过第i个目标值的数量
一般目标规划模型：
pp
p
min w min ( wjidi wjidi )
j1 i1
i 1
fi(x)-di++di-=fi(0) XR
——软约束 ——硬约束
di+0,di-0(i=1~p)
二.目标规划的解法 1.图解法（2个决策变量） 步骤： 1.做绝对约束，作法同线性规划图解法； 2.做目标约束：令偏差di=0，标上di的
di+·di-=0
2.绝对约束和目标约束
绝对约束：指必须严格满足的等式或不等式
——硬约束 目标约束：在达到目标值时允发生正或负的
偏差量
——软约束
如：对于约束：fi(X)+di--di+=fi(0)
当di-=0时，fi(x)fi(0)
当di+=0时，fi(x) fi(0) 当di+=di-=0时，fi(x) = fi(0)
3.优先因子与权系数 第一位达到的目标——优先因子P1 第二位达到的目标——优先因子P2 …… 并规定：Pl>>Pl+1表示Pl比Pl+1有
更大的优先权
不同优先权的因子
权系数 ——相同优先级权的因子
4.目标函数 各目标约束的正负偏差变量
构成 相应的优先因子
极小化：尽可能缩小偏离目标值
对于约束fi(x)+di--di+=fi(0) (1)若要求恰好达到预定目标值则min(di++di-) (2)若要求不超过预定目标值 则min(di+) (3)若要求超过预定目标值 则min(di-)