运筹学第四章目标规划
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运筹学(第四版)：第4章 目标规划
目标函数：
min
z
P1d1
P2
(d
2
d2 )
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件：
x1
2x2
d2
d
2
10
8x1
10x2
d3
d3
56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
10
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
L
K
目标函数： min z
0
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如:
(1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
(2) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3) 应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。
13
第2节 解目标规划的图解法
例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电 视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑 白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标 为：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小
运筹学 第四章
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
2、目标规划的定义 （1）目标规划是一种数学方法：用于解决目标 数目在两个或两个以上的多目标决策问题。 （2）多目标决策问题：多目标决策问题是由法 国经济学家V.Pareto在1896年提出的。他从政 治经济学角度，把很多本质上不可比的目标转 化为单一的最优目标。经济学目前使用最多的 是帕累托最优效率：没有人能在不使别人受损 害的情况下，让自己过得更好（所谓最优，实 质上是恰如其分的折中、妥协）。
产
A B
品
耗 电 量
（Kw / 单位产品）
材料消耗
（t / 单位产品）
利 润
1 2
10 12
2 1
解：设x1、 x2分别表示A、B两种产品的日产量。
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
min{P ( d d ), P2 ( d )} 1 10x1 12x2 d1 d1 62.5 x1 2 x2 d 2 d 2 10 2 x1 x2 8 x , d , d 0 i 1,2 i i i
6
5
x1+2x2 + d1- - d1+ =10 d1- =0; d1+ >0 2x2 = - x1 + 10 – d1- + d1+ d1- =0; d1+ =0
4
3
2
1
d1+ =0; d1- >0
d1-
d1+ x1+2x2=10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
例4-1 某车间计划生产A、B两种产品。决策者 首先考虑要充分利用供电部门分配的电量限额 指标62.5kW /日，然后考虑完成与超额完成利 润指标10元/日。每日可给车间供应所需原材料 8t。有关数据汇总于下表，应当如何安排产品 A、B的产量。
运筹学第四章目标规划
min Ζ=P1d3++P2d4 ¯+P3(6d1 ¯+5d2 ¯) +P4d11++P5d5++P6(6d1++5d2+)
s.t 2x1+4x2+d1 ¯-d1+=2400 2.5x1+1.5x2+d2 ¯-d2+=2800 8x1+15x2+d3 ¯-d3+=23000 x1 +d4 ¯-d4+=1500 x2 +d5 ¯-d5+=1000 d1++d11 ¯-d11+=30 x1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,1 10 P1 0 P2 0 P3 -75 P4 -10
x1 x2 d2- d2+ d3- d3+ d11- d11+ 0 1 1 0 -1 0 1 -1 10 00 10 0 0 0 0 -1 0 1 1 –1 1 0 0 0 1 0 0 1 –1 00 10 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 0 0 3 0 2 0 3 -3 0 0 0 1 0 0 –1 +1
解目标规划的计算步骤：
(1).建立初始单纯形表，在表中将检验数 行按优先因子分别列成k行，设k=1；
(2).检查该行中是否存在负数，且对应的 前k-1行的系数是零，若取其中最小者对应的 变量为换入变量，转(3)，若无负数，则转(5)。
(3).按最小比值规则确定换出变量，当存 在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量；
如果某一个Ri已退化为一点，则计算亦 应终止，这一点亦即为最优解，它只能满足
运筹学讲义_4目标规划
（1） 根据市场预测，产品 A 的销路不是太好，应尽可能少生产；
（2） 产品 B 的销路较好，应尽可能多生产。 这样建立的数学模型为：
max z1 = 4x1 + 3x2
min z2 = x1
max z3 = x2
s.t.ïíì32xx11
+ 3x2 + 2x2
£ £
24 26
ïî x1, x2 ³ 0
min z = f (d - ,d + ) ,
即达成函数是正、负偏差变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况之一，对应每种要求，可分别构造达成函 数：
1) 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时目标函数
min z = f (d - + d + ) 。
2) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时目标函
现。
目标规划问题的求解是分级进行的，首先要求满足 P1 级目标的解；然后再保证 P1 级目标不 被破坏的前提下，再要求满足 P2 级目标的解；…依次类推。总之，是在不破坏上一级目标的前
提下，实现下一级目标的最优。因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称之
为“满意解”。
以上介绍的几个基本概念，实际上就是建立目标规划模型时必须分析的几个要素，把这些 要素分析清楚了，目标规划的模型也就建立起来了。请看下面的例子。
数 min z = f (d + ) 。
3) 要 求 超 过 目 标 值 ， 超 过 量 不 限 ， 但 负 偏 差 变 量 要 尽 可 能 地 小 ， 这 时 目 标 函 数
min z = f (d - ) 。
5.满意解
运筹学课件第四章 目标规划
一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台
第四章
电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小
时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元， 每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标：
1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
(70,50),11000;
E(50,100),13000。
50
d+.d- =0
B O 50 100
X1 100X1+80X2 = 10000
二、目标规划的图解法
例2：用图解法求解。
第四章
min z
P d P d d P d 1 1 2 2 2 3 3
4 x1 16 4 x2 12 x x d d 1 2 1 1 0 s.t. x 2 x d d 1 2 2 2 8 2 x1 3 x2 d 3 d3 12 x , x , d , d i 1,2,3 1 2 i i 0
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以 要严格控制。
(2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量
运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1
运筹学第四章目标规划-精品文档
• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
运筹学 第四章 目标规划
二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n) 。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 4
2、正负偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的 期望值之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量 di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没 有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方 n 程。 c x d d E * 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束 (软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 7
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4 【课堂作业】： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每 种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 3
第一节
目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。
管理运筹学第4章-目标规划
多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K
管理运筹学 第四章 目标规划
再来考虑风险约束： 总风险不能超过700， 投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2 引入两个变量d1+和d1-，建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1根据要求有
min ｛d1+｝
0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
3x1+4x2
引入变量 d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于 10000 的数量。于是，第2个目标可以表示为 min ｛d2-｝ 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
x1 2 x2 40 3x2 24
(3)Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通 过目标约束来表达。 （1）力求使利润指标不低于250元：
本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要 的目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先 权P1，分配给第二个目标较低的优先权P2。
Minz= P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
现假定： 第1优先级P1——企业利润；
第2优先级P2——Ｉ、II产品的产量保持1:2的比例
第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
运筹学第4章
3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
运筹学第四章 目标规划
(1)首先,根据市场信息,椅子的销售量已 )首先,根据市场信息, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 其产量最好不大于桌子的产量. 其产量最好不大于桌子的产量. (2)其次,市场上找不到符合生产质量要求 )其次, 的木工了, 的木工了,因此决不可能考虑增加木工这种资 源来增加产量, 源来增加产量,并且由于某种原因木工决不可 能加班. 能加班. (3)再其次,应尽可能充分利用油漆工的有 )再其次, 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. (4)最后,企业考虑最好达到并超过预计利 )最后, 润指标 56元. 元
4.目标规划的目标函数. .目标规划的目标函数. 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的. 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的.当 每一目标值确定后, 每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能从某 个方向缩小偏离目标的数值.于是, 个方向缩小偏离目标的数值.于是,目标规划的 目标函数应该是求极小: 目标函数应该是求极小:min f = f (d +,d -). . 其基本形式有三种: 其基本形式有三种: (1)要求恰好达到目标值,即使相应目标约束 )要求恰好达到目标值, 的正,负偏差变量都要尽可能地小. 的正,负偏差变量都要尽可能地小.这时取 min (d + + d - ); ; (2)要求不超过目标值,即使相应目标约束的 )要求不超过目标值, 正偏差变量要尽可能地小. 正偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d + ); ; (3)要求不低于目标值,即使相应目标约束的 )要求不低于目标值, 负偏差变量要尽可能地小. 负偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d - ); ;
第四章运筹学目标规划
− 1 1 − 2 − 3 + 3 1
400 240 − x1入基，θ = min , = 240, d 2 出基。 1 1
0 0
C B xB
p1 d1− 400 1 p2 d 2− 240 1 2 p2 d3− 300 0
cj − zj
p1
1 0 0 0 0 0
p3
-1 0 0 1 0 1
例5 图解法求目标规划的满意解
+ − min f (d ) = p1d1− + p2 d 2 + 4 p3 d 3− + 3 p3 d 4
x2
d1−
+ d4
d1+
A
2 x1 + 1.5 x2 + d1− − d1+ = 210 − + x1 + d 2 − d 2 = 60 + d 3− − d 3+ = 40 x1 − + x2 + d 4 − d 4 = 40 x1 , x2 , d i− , d i+ ≥ 0 i = 1,4
+ − −
注意 : d + , d −中, 至少有一个为零,即d + ⋅ d − = 0.
在例1中,根据目标要求A,B的产量为新的x1 , x2 . 由目标要求产生的”目标约束”如下:
3x1 + 2 x2 + d1− − d1+ = 2000 x1 + d − d = 400
− 2 + 2
资源现有量与产量间的关系如下:
例2 某工厂生产A,B两种产品,有关数据如下表
产品 消耗系数 资源
A
4 7 16 4
400 240 − x1入基，θ = min , = 240, d 2 出基。 1 1
0 0
C B xB
p1 d1− 400 1 p2 d 2− 240 1 2 p2 d3− 300 0
cj − zj
p1
1 0 0 0 0 0
p3
-1 0 0 1 0 1
例5 图解法求目标规划的满意解
+ − min f (d ) = p1d1− + p2 d 2 + 4 p3 d 3− + 3 p3 d 4
x2
d1−
+ d4
d1+
A
2 x1 + 1.5 x2 + d1− − d1+ = 210 − + x1 + d 2 − d 2 = 60 + d 3− − d 3+ = 40 x1 − + x2 + d 4 − d 4 = 40 x1 , x2 , d i− , d i+ ≥ 0 i = 1,4
+ − −
注意 : d + , d −中, 至少有一个为零,即d + ⋅ d − = 0.
在例1中,根据目标要求A,B的产量为新的x1 , x2 . 由目标要求产生的”目标约束”如下:
3x1 + 2 x2 + d1− − d1+ = 2000 x1 + d − d = 400
− 2 + 2
资源现有量与产量间的关系如下:
例2 某工厂生产A,B两种产品,有关数据如下表
产品 消耗系数 资源
A
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二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n)。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
2、正负偏差变量
每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的
期望值之间就有正的或负的偏差。
正偏差变量di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4
第二节 目标规划的图解法
只含有两个决策变量的目标规划模型。线性规划是在可行 域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找 一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。
目标规划的图解法的思路： ➢ 首先在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； ➢ 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域 R2(R2R1)； ➢ 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； ➢ 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)，满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解 空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
对约束方程引入偏差变量，使矛盾着的方程不再矛盾。 当不易发现矛盾时，我们甚至可以在所有的约束方程中 都加入偏差变量。 3、达成函数 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一 个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。这个新的 目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况， 故把这个新的目标函数称为目标达成函数。 （1）若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差
变量di+、di- 都尽可能最小，即minSi=di++di- ；最好等于
（2）若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差 变量di 尽可能的小，而不关心超出量di+ ，故只需将di- 列入 目标函数，minSi= di- ；最好不小于
（3）若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期 望值，则正偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ， 故只需将dk+列入目标函数，minSk= dk+ 。最好不大于
4、优先等级和目标的权系数 目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等 级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。“ >>”的含义 是远远大于的意思。仅仅是个优先等级的记号，在具体计 算时，它并不表示任何具体的数。在求较低级别目标的最 优值时，不容许破坏已得到的较高级别的目标。 一般来说，必须严格实现的目标和不能超过的资源约束 等均须列入 P1级目标。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权 系数w。
minf= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) s.t.
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1
+d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没
有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方
n
程。 ckjxj dkdk E* 原来j1的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束
(软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
【课堂作业】：
某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每
种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
资源
产品
甲
乙 现有资源
设备
4
3
24
单位产品利润
5
4
管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计 划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台 时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量 希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品至少多2单位。假 设：甲产品产量希望不少于3单位的权数为3，乙产品产量 比甲产品多2单位的权数为5。
第一节 目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。
第四章 目标规划 Goal Programming
内容
1
目标规划模型
2
目标规划的图解法
3
目标规划的单纯形法
4Байду номын сангаас
目标规划的应用
线性规划的局限性： 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一 个目标的最大或最小值的问题。实际决策中，衡量方案优 劣考虑多个目标。这些目标中，有主要的，也有次要的； 有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相 补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。 约束条件不能矛盾。在实际决策中，一旦出现矛盾，人 们总是力图设法解决，或增加资源，或减少消耗，从而得 到比较可行的方案。 目标规划（Goal Programming）是在LP的基础上发展起 来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。 美国经济学家查恩斯和库柏在1961年出版的《管理模型 及线性规划的工业应用》一书中首先提出的。
三、目标规划模型的标准形式
K
m
min f
Pi
(wij d
j
wij
d
j
)
i1 j1
绝对约束
n
aij xj (, )bi
j 1
i 1,2,...,l
目标约束 非负性约束
n
cij xj di di Ei*
j 1
xi 0
i 1,2,...,n
i 1,2,...,m
di, di 0 i 1,2,...,m
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n)。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
2、正负偏差变量
每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的
期望值之间就有正的或负的偏差。
正偏差变量di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4
第二节 目标规划的图解法
只含有两个决策变量的目标规划模型。线性规划是在可行 域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找 一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。
目标规划的图解法的思路： ➢ 首先在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； ➢ 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域 R2(R2R1)； ➢ 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； ➢ 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)，满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解 空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
对约束方程引入偏差变量，使矛盾着的方程不再矛盾。 当不易发现矛盾时，我们甚至可以在所有的约束方程中 都加入偏差变量。 3、达成函数 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一 个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。这个新的 目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况， 故把这个新的目标函数称为目标达成函数。 （1）若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差
变量di+、di- 都尽可能最小，即minSi=di++di- ；最好等于
（2）若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差 变量di 尽可能的小，而不关心超出量di+ ，故只需将di- 列入 目标函数，minSi= di- ；最好不小于
（3）若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期 望值，则正偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ， 故只需将dk+列入目标函数，minSk= dk+ 。最好不大于
4、优先等级和目标的权系数 目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等 级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。“ >>”的含义 是远远大于的意思。仅仅是个优先等级的记号，在具体计 算时，它并不表示任何具体的数。在求较低级别目标的最 优值时，不容许破坏已得到的较高级别的目标。 一般来说，必须严格实现的目标和不能超过的资源约束 等均须列入 P1级目标。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权 系数w。
minf= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) s.t.
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1
+d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没
有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方
n
程。 ckjxj dkdk E* 原来j1的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束
(软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
【课堂作业】：
某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每
种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
资源
产品
甲
乙 现有资源
设备
4
3
24
单位产品利润
5
4
管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计 划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台 时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量 希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品至少多2单位。假 设：甲产品产量希望不少于3单位的权数为3，乙产品产量 比甲产品多2单位的权数为5。
第一节 目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。
第四章 目标规划 Goal Programming
内容
1
目标规划模型
2
目标规划的图解法
3
目标规划的单纯形法
4Байду номын сангаас
目标规划的应用
线性规划的局限性： 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一 个目标的最大或最小值的问题。实际决策中，衡量方案优 劣考虑多个目标。这些目标中，有主要的，也有次要的； 有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相 补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。 约束条件不能矛盾。在实际决策中，一旦出现矛盾，人 们总是力图设法解决，或增加资源，或减少消耗，从而得 到比较可行的方案。 目标规划（Goal Programming）是在LP的基础上发展起 来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。 美国经济学家查恩斯和库柏在1961年出版的《管理模型 及线性规划的工业应用》一书中首先提出的。
三、目标规划模型的标准形式
K
m
min f
Pi
(wij d
j
wij
d
j
)
i1 j1
绝对约束
n
aij xj (, )bi
j 1
i 1,2,...,l
目标约束 非负性约束
n
cij xj di di Ei*
j 1
xi 0
i 1,2,...,n
i 1,2,...,m
di, di 0 i 1,2,...,m