运筹学——.整数规划与分配问题

一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。 问：应如何选址，可使年利润为最大？
第三步：从第一列开始，若该列只有一个零元素，对零元 素打上()括号(同样不考虑已划去的零元素)，再用直线划 去其所在行；若该列没有零元素或有两个零元素，则转下 一列，依次进行到最后一列为止。
二、分配问题与匈牙利法
2.4 匈牙利法实例(5)
1. 效率矩阵每行都有一个打() 的零元素， 这些零元素都位于不同行不同列，令对 应打() 零元素的 xij=1 就得到最优解； 2. 矩阵中所有零元素或被划去，或被打上 () ，但打() 的零元素少于m个，这时转 第四步。 3. 打()的零元素小于m，但未被划去的零元 素之间存在闭回路。
i 1 j 1 某项任务只能由1人完成； m 某人只能完成1项任务。 xij 1 (i 1,, m)
j 1 建立整数规划模型 m 分配问题是0-1整数规划的 xij 1 ( j 1,, m) i 1 特例，也是运输问题的特 xij 0 或 1 (i 1,, m; j 1,, m) 例； n = m, aj = bj = 1。
例：某线性规划问题最优解为(x1, x2) = (4.6, 5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的 几种组合：(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6)， 共四种组合。若问题中有10个整数变量，则解 组合达到210 = 1024个整数组合。且最优解未 必在这些组合中。
例：求整数规划问题的最优解 max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 乙 丙 丁 7 8 11 9 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法的基本思想
如果效率矩阵的所有元素aij≥0, 而其中存在一组位于不 同行不同列的零元素，则只要令对应于这些零元素位 置的xij = 1，其余的xij= 0，则所得到的可行解就是问 题的最优解。
0 9 23 7
14 20 0 12
9 0 3 14
二、分配问题与匈牙利法
2.4 匈牙利法实例(6)
顺着闭回路的走向，对每个间隔的零元素打 ()，然后对 所有打()的零元素或所在行或所在列画一条直线，同样得 到最优解。
二、分配问题与匈牙利法
2.4 匈牙利法实例(7)
第四步：继续按照定理1，对矩阵进行变换。
从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的数k；对矩 阵的每行，当该行有直线覆盖时，令ui=0，无直线覆盖的， 令ui=k；对矩阵中有直线覆盖的列，令vj= -k，对无直线覆 盖的列，令vj=0。 只有一条直线 覆盖的元素保 持不变
2.4 匈牙利法实例(2)
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。
必定满足：bij = aij–ui–vj
0 11 2 0 0
8 0 3 11 0
7 5 0 11 10 4 2 5 0 9 5 0 5 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
第四章 整数规划及分配问题
第二节 分配问题与匈牙利法
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(1)
指派n个人去完成n项任务，使完成 n项任 务的总效率最高(或所需总时间最少)，这 类问题称为指派问题或分配问题。
安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样 指派到n台机床上完成； 有n条航线，怎样指定n艘船去航行的； ……
这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这
样的问题为整数规划。
例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表： 问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
货物
甲 乙 托运 限制 体积 米3/箱 重量 利润 百斤/箱 百元/箱
MaxZ 20x1 10x 2 ST : 5 x1 4 x 2 24 2 x1 5 x 2 13 x ，x 0，且为整数 1 2
二、分配问题与匈牙利法
2.4 匈牙利法实例(1)
人员 任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 2 15 13 4 乙 10 4 14 15 丙 9 14 16 13 丁 7 8 11 9
2 10 9 7 15 4 14 8 [aij ] 13 14 16 11 4 15 13 9
效率矩阵用[aij]表示。aij > 0 ( i,j = 1,2,…,n )表示 指派第j人去完成第i项任务时的效率(时间、成 本等)。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(3)
1，分配第 i 个人去完成第 j 项任务 xij 0，不分配第 i 个人去完成第 j 项任务 m m （i 1, , m；j 1,, m） min z aij xij
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
1 解：设x j 0 选Ai 不选Ai
MaxZ c1 x1 c 2 x 2 c7 x7 b1 x1 b2 x 2 b7 x7 B x x x 2 2 3 1 ST : x 4 x5 1 x x 1 7 6 x j 1或0, ( j 1, ,7)
二、分配问题与匈牙利法
2.4 匈牙利法实例(8)
第五步：回到第三步，迭代运算，直到矩阵的每一行都有 一个打() 的零元素为止。
最优分配方案为：甲译俄文，乙译日文，丙译英文，丁译 德文。所需时间为：4 + 4 + 9 + 11 = 28h
二、分配问题与匈牙利法
2.5 人数和任务数不相等的分配问题
有四项工作分配给六个人去完成，每个人分别完成各 项工作的时间如下，依然规定每个人完成一项工作。 每项工作只交给一个人去完成。即六个人中挑选哪四 个人去完成，花费时间最少。
主要内容
一、整数规划的特点及作用 二、分配问题与匈牙利法 三、分枝定界法 四、应用举例
第四章 整数规划及分配问题
第一节 整数规划的特点及作用
一、整数规划的特点及作用
1.1 整数规划的概念
整数规划(Integer Programming) ：决策变 量要求取整数的线性规划。
如果所有的决策变量、技术系数和右端项都 是非负整数，就称为纯整数规划。 如果所有的决策变量都是非负整数，技术系 数和右端项为有理数，称为全整数规划。 如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合 整数规划。 如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。
0-1整数规划的一般形式:
MaxZ C T X Ax b ST : x j 1或0, ( j 1, , n)
0-1整数规划一般都 是纯整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.3 整数规划的作用
0-1整数规划在管理领域具有重要作用
1. m个约束条件中只有k个起作用； 2. 约束条件的右端项可能是r个值(b1, b2, … br) 中的某一个； 3. 两组条件中满足一组； 4. 用以表示含固定费用的函数。
解：用图解法得最优解为（3.25 , 2.5） 如果不考虑整数约束（称为整数规划 问题的松弛问题） (4,1) 凑整法求解：比较四个点（4 , 3）, （4 , 2）,（3 , 3）,（3 , 2），前三个 都不是可行解，第四个虽然是可行解， 但 z=13 不是最优解。
最优解为（4 , 1）， z*= 14。
3 23 8 0
显然令 x11=1, x23=1, x32=1, x44=1，即 将第一项工作分配给甲，第二项给丙， 第三项给乙，第四项给丁。这时完成 总工作的时间为最少。 如何寻找这组位于不同行不同列的零 元素？
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法的基本定理
定理1 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行 元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该 行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常 数vj(被称为该列的位势)，得到一个新的效率矩 阵[bij]，若其中bij = aij –ui–vj，则[bij]的最 优解等价于[aij]的最优解。 定理2 若矩阵A的元素可分为“0”和非“0”两 部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于 不同行不同列的“0”元素的最大个数。
5 4 24
2 5 13
20 10
能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性 规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍 五入”或“凑整”方法寻找最优解？
对于变量取值很大时，用上述方法得到的解 与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得 到的解就可能与实际整数最优解差别很大。 当问题规模较大（决策变量较多）时，用 “凑整”方法来算工作量很大。