运筹学 第五章 整数规划

f(x) My
(4)
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
(1) -f(x)+5 M（1-y) (3)
f(x) 0
(2)
f(x) My
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
第五章 整数规划
1
整数规划是一类要求变量取整数值 的数学规划，可分成线性和非线性两类 (本章讨论线性）。
根据变量的取值性质，又可以分为 纯 整 数 规 划 ， 混 合 整 数 规 划 ， 0-1 整 数 规划等。
2
整数规划是数学规划中一个较 弱的分支，目前只能解中等规模的线 性整数规划问题，而非线性整数规划 问题，还没有好的办法。
则 max z = 20x1 + 10x2
5x1 + 4x2 ≤ 24
①
2x1 + 5x2 ≤ 13
②
x1,x2 ≥ 0
Βιβλιοθήκη Baidu
x1,x2取整数
9
图解法：
② x2
2.6 2
1
max z = 20x1 + 10x2
5x1 + 4x2 ≤ 24
①
2x1 + 5x2 ≤ 13
②
x1,x2 ≥ 0
x1,x2取整数
重要 20 15 18 14 8 系数
4 10
5
解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i， xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表 示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4
+8x5 +4x6 +10x7 s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7
(4,1)
0
1
2
3
4 4.8 x1
①
∴ x1* = 4 x2* = 1 zI* = 90
10
一般，整数规划的最优解不会优于相应 线性规划的最优解。 对于max问题， zI* ≤ zl* 对于min问题， zI* ≥ zl*
11
数学模型
整数规划(IP)的一般数学模型: Max Z = Σcjxj s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
f(x) a (a>0)
此时 f(x) a
(5)
f(x) -a
(6)
是矛盾约束。
15
f(x) a
(5)
f(x) -a
(6)
引入一个整数变量来处理
-f(x)+a M（1-y)
f(x)+a My
M是足够大整数，y 是0-1变量
注意：对 |f(x)| a (a>0) 不必引入0-1变 量，因为f(x) a和f(x) -a并不矛盾。
xj 0 且部分或全部是整数
12
特殊约束的处理（IP的应用）
➢互斥约束 ▪矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
13
例：下面两个约束相互矛盾
f(x)-5 0
(1)
f(x) 0
(2)
引入一个整数变量来处理
-f(x)+5 M（1-y) (3)
18
▪多中选一的约束
例如：模型希望在下列n个约束中，只能 有一个约束有效， fi(x) 0 i=1,2,….n. 引入 n个0-1变量yi , i=1,2,…n,则上式可改 写为：
fi(x) M(1-yi) y1+ y2 + … + yn=1
19
如果希望有k个约束有效，则： fi(x) M(1-yi), y1+ y2 + … + yn= k 如果希望至多有k个约束成立，则： fi(x) M(1-yi), y1+ y2 + … + yn k 如果希望至少有k个约束成立，则： fi(x) M(1-yi), y1+ y2 + … + yn k
g (x) My
22
f (x) -M(1-y) (*)
g (x) My
如果f (x)<0成立，则y不能为1，否则与（*）矛 盾； 所以 y=0, g (x) 0 成立。 如果 f (x) 0（即f (x)<0不成立） 则y的取值已无关紧要，因为y取任何值（*）总 成立，所以y的取值不由（*）控制，因此g (x) 的取值不受任何限制。
3
例：一登山队员做登山准备，他需 要携带的物品有：食品，氧气， 冰镐，绳索，帐篷，照相机和通 讯设备，每种物品的重要性系数 和重量如下，假定登山队员可携 带最大重量为25公斤。问：如何 装备？
4
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 相机 设备
重量 5 5 2 6 12 2 4
20
➢逻辑关系约束
比较典型的逻辑关系是 if-then关系，也 称if-then约束，这类逻辑关系一般涉及 两个约束，如果第一个约束成立，则第 二个约束也必须成立，否则，如果第一 个约束不成立，则第二个约束也可以不 成立。可以描述如下：
21
如果f (x)<0成立，则g (x) 0必须成立； 如果f (x)<0不成立，则对g (x)无限制。 引入0-1变量： f (x) -M(1-y) (*)
7
解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表 示不携带物品j，则问题表示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj b xj=0 或1
8
例 用集装箱托运货物 货物 m3/箱 百斤/箱 百元/箱
问：甲乙货物托运多少 箱，使总利润最大？
甲
5
2
20
乙4
5
10
限制 24
13
分析：设x1为甲货物托运箱数，x2为乙货物托运箱数。
25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7
6
例 背包问题( Knapsack Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定 了一个“价值”以表示其有用的程度,如 果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为 cj.问题变成:在携带的物品总重量不超过b 公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最 大?
16
例：两个约束条件 2x1+3x2 8 x1+ x2 2
只能有一个成立，试用0-1变量来表示这 个要求。 解：引入0-1变量y和足够大的正数M， 则
17
2x1+3x2 8 8-2x1-3x2 M（1-y) x1+ x2 2
x1+ x2 - 2 My 当y=0, x1+ x2 2 成立， 而 2x1+3x2 8-M 自然成立，从而是多余的； 当y=1, 2x1+3x2 8 成立， 而 x1+ x2 2+M 自然成立，从而是多余的。