运筹学整数规划与分配问题
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运筹学-12分配问题
具体求解过程(6)
• 4.没有找到m个独立的 “0”:
• (1)找最小直线覆盖所有 “0”
• 对没有打的行画横线; • 所有打的列画上垂线. • 找到了覆盖矩阵所有零
元素的最小直线数.
(0) 8 2 5 11 (0) 5 4 2 3 (0) 0 0 11 4 5
O3 26 17 16 19 0
增加一个虚拟工作T5
O4 19 21 23 17 0 O5 17 18 19 17 0
每一个工人干 这项工作需 要的时间比其他工作所需时 间要多的多，为什么？
O2下岗，
O1T1, T5 , O3T3 , O4T4 , O5T2 ,93-27=66
人员少，工作岗位多的情况P.125/4.5
• 如该列没有零元素或有 两个以上零元素(划去的不 计在内),则专下一列,直到 最后一列为止.
0 8 2 5 11 0 5 4 2 3 0 0 0 11 4 5
(0) 8 2 5 11 (0) 5 4 2 3 0 0 0 11 4 5 .
具体求解过程(4)
乙
总时间：101
丙
•加一个虚拟人员戊，
39 34
38 27
26 28
20 40
33 32
其效率为55（最大） 丁 24 42 36 23 45
甲B;乙D;丙C;丁A;戊E 戊 0 0
0
0
0
总时间：165-55=101
人员少，工作岗位多的情况P.125/4.5
25 29 31 42 37 25 0 4 6 17 12 0 4 5 17 7
• 即做2.找到m个独立
“0”
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
运筹学复习考点
状态值，各条弧代表了可行的方案选择。 • 正确。
整理课件
59
• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
整理课件
57
• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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60
•
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61
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62
5 3 6 -6 0
0
801001
5
14 1 2 0 0 0
-6
4 0 1 -1 1 0
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• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
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• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学分配问题建模
运筹学分配问题建模
运筹学分配问题是指在特定的条件下，如何合理地分配资源以达到最优化的解决方案的问题。
这类问题可以用数学模型来描述和解决。
在运筹学中，分配问题通常涉及到有限的资源和不同的需求或约束条件。
在建模时，可以使用线性规划、整数规划、动态规划或网络流等方法来求解。
以一个简单的分配问题为例，假设有三个项目（A、B、C）需要分配有限的资源（如人力、时间或资金）。
每个项目会产生不同的效益（如收益或效率），同时存在一些约束条件（如人力资源的限制或时间的限制）。
我们的目标是在满足约束条件下，最大化总体效益。
为了建模这个问题，我们可以定义以下变量和参数：
令x1、x2、x3分别表示项目A、B、C的分配比例；
令c1、c2、c3分别表示项目A、B、C的效益；
令r表示可用资源的数量；
令a1、a2、a3分别表示项目A、B、C所需资源的数量。
然后，我们可以建立以下数学模型：
目标函数：maximize Z = c1*x1 + c2*x2 + c3*x3
约束条件：a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 <= r
x1 + x2 + x3 = 1
x1, x2, x3 >= 0
这个数学模型可以被解释为：我们要最大化总体效益（Z），
但同时要满足资源约束条件（第一个约束条件），并且项目的分配比例之和为1（第二个约束条件）。
当我们求解这个数学模型时，可以得到最优的分配比例，从而实现最大化总体效益。
这只是一个简单的示例，实际的运筹学分配问题可能更加复杂，可以根据具体情况进行进一步的建模和求解。
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
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?
ST :
? ?
5x1 ? 4x2 ? 24 2x1 ? 5x2 ? 13
?? x1，x2 ? 0，且为整数
能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性 规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍 五入”或“凑整”方法寻找最优解？
?对于变量取值很大时，用上述方法得到的解 与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得 到的解就可能与实际整数最优解差别很大。 ?当问题规模较大（决策变量较多）时，用 “凑整”方法来算工作量很大。
(
j
?
1,?
,7)
?
Ax ? b
ST
:
? ?
x
j
?
1或0, (
j
?
1,? , n)
0-1整数规划一般都 是纯整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.3 整数规划的作用
?0-1整数规划在管理领域具有重要作用
1. m个约束条件中只有k个起作用； 2. 约束条件的右端项可能是r个值(b1, b2, … b r)
译成俄文
4
15
13
9
人员 任务
译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(2)
甲乙丙丁
?? 2 10 9 7 ??
2 15 13 4
10 4 14 15
9 14 16 13
7 8 11 9
[aij
]
?
?15 ????143
4 14 15
14 16 13
8? 191????
第四章 整数规划与分配问题
?对于线性规划问题，最优解可能是分数或小数。 但是对于某些问题，会要求解答必须是整数 （称为整数解）。
?对于所求解是机器的台数、完成工作的人数、装货 的车数、集装箱数量等；
?对于一些决策变量必须取 Boolean 值时，如要不要 在某地建工厂，可选用一个逻辑变量 x，令x=0表示 不在该地建厂， x=1表示在该地建厂。
?效指派率第矩阵j人用去[完aij]成表第示i。项a任ij 务> 时0 (的i,j效=率1,(2时,…间,n、)表成示 本等)。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(3)
?1，分配第 i 个人去完成第 j 项任务 xij ? ??0，不分配第 i 个人去完成第 j 项任务
?在东区，由 A1，A2，A3三个点中至多选两个； ?在西区，由 A4，A5两个点中至少选一个； ?在南区，由 A6，A7两个点中至少选一个。
?如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。
?问：应如何选址，可使年利润为最大？
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
例：某线性规划问题最优解为(x1, x2) = (4.6, 5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的 几种组合：(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6) ， 共四种组合。若问题中有10个整数变量，则解 组合达到210 = 1024个整数组合。且最优解未 必在这些组合中。
例：求整数规划问题的最优解 max z ? 3x1 ? 2x2
中的某一个； 3. 两组条件中满足一组； 4. 用以表示含固定费用的函数。
第四章 整数规划及分配问题
第二节 分配问题与匈牙利法
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(1)
?指派n个人去完成n项任务，使完成 n项任 务的总效率最高(或所需总时间最少)，这 类问题称为指派问题或分配问题。
? 安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样 指派到n台机床上完成；
解：设x j
?
??1 ?
??0
选Ai 不选Ai
0-1整数规划的一般形式:
MaxZ ? C T X
MaxZ ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? c7 x7
?b1 x1 ? b2 x2 ? ? ? b7 x7 ? B
ST
:
? ??x1?x4?源自?x2 x5? ?
x3 1
?
2
? ?
x6
??
? xj
x7 ? 1 ? 1或0,
? 有n条航线，怎样指定n艘船去航行的；
? ……
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(2)
?如果完成任务的效率表现为资源消耗，考 虑的是如何分配任务使得目标函数极小化；
?如果完成任务的效率表现为生产效率的高 低，则考虑的是如何分配使得目标函数最 大化。
?在分配问题中，利用不同资源完成不同计 划活动的效率，通常用表格形式表示为 效 率表，表格中数字组成效率矩阵。
?2x1 ? 3x2 ? 14
? ?
x1 ? 0.5x2 ? 4.5
? ?
x1
,
x2
?
0,
且均取整数值
解：用图解法得最优解为（3.25 , 2.5）
如果不考虑整数约束（称为整数规划
问题的松弛问题）
(4,1)
凑整法求解：比较四个点（4 , 3）, （4 , 2）,（3 , 3）,（3 , 2），前三个 都不是可行解，第四个虽然是可行解，
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
?例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们
将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间
如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时
间最少?
人员
任务
甲
乙
丙
丁
译成英文
2
10
9
7
译成日文
15
4
14
8
译成德文
13
14
16
11
?如果所有的决策变量、技术系数和右端项都 是非负整数，就称为纯整数规划。
?如果所有的决策变量都是非负整数，技术系 数和右端项为有理数，称为全整数规划。
?如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合 整数规划。
?如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
?某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
但 z=13 不是最优解。
最优解为（4 , 1）， z*= 14。
主要内容
一、整数规划的特点及作用 二、分配问题与匈牙利法 三、分枝定界法 四、应用举例
第四章 整数规划及分配问题
第一节 整数规划的特点及作用
一、整数规划的特点及作用
1.1 整数规划的概念
?整数规划(Integer Programming) ：决策变 量要求取整数的线性规划。
? 这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这 样的问题为整数规划。
例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表：
问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
货物
甲 乙
托运 限制
体积 米3/箱
5 4
24
重量 利润 百斤/箱 百元/箱
2
20
5
10
13
MaxZ ? 20 x1 ? 10x2