运筹学整数规划与分配问题
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?在东区，由 A1，A2，A3三个点中至多选两个； ?在西区，由 A4，A5两个点中至少选一个； ?在南区，由 A6，A7两个点中至少选一个。
?如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。
?问：应如何选址，可使年利润为最大？
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
译成俄文
4
15
13
9
人员 任务
译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(2)
甲乙丙丁
?? 2 10 9 7 ??
2 15 13 4
10 4 14 15
9 14 16 13
7 8 11 9
[aij
]
?
?15 ????143
4 14 15
14 16 13
8? 191????
例：某线性规划问题最优解为(x1, x2) = (4.6, 5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的 几种组合：(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6) ， 共四种组合。若问题中有10个整数变量，则解 组合达到210 = 1024个整数组合。且最优解未 必在这些组合中。
例：求整数规划问题的最优解 max z ? 3x1 ? 2x2
?如果所有的决策变量、技术系数和右端项都 是非负整数，就称为纯整数规划。
?如果所有的决策变量都是非负整数，技术系 数和右端项为有理数，称为全整数规划。
?如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合 整数规划。
?如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
?某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
第四章 整数规划与分配问题
?对于线性规划问题，最优解可能是分数或小数。 但是对于某些问题，会要求解答必须是整数 （称为整数解）。
?对于所求解是机器的台数、完成工作的人数、装货 的车数、集装箱数量等；
?对于一些决策变量必须取 Boolean 值时，如要不要 在某地建工厂，可选用一个逻辑变量 x，令x=0表示 不在该地建厂， x=1表示在该地建厂。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
?例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们
将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间
如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时
间最少?
人员
任务
甲
乙
丙
丁
译成英文
2
10
9
7
译成日文
15
4
14
8
译成德文
13
14
16
11
但 z=13 不是最优解。
最优解为（4 , 1）， z*= 14。
主要内容
一、整数规划的特点及作用 二、分配问题与匈牙利法 三、分枝定界法 四、应用举例
第四章 整数规划及分配问题
第一节 整数规划的特点及作用
一、整数规划的特点及作用
1.1 整数规划的概念
?整数规划(Integer Programming) ：决策变 量要求取整数的线性规划。
? 有n条航线，怎样指定n艘船去航行的；
? ……
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(2)
?如果完成任务的效率表现为资源消耗，考 虑的是如何分配任务使得目标函数极小化；
?如果完成任务的效率表现为生产效率的高 低，则考虑的是如何分配使得目标函数最 大化。
?在分配问题中，利用不同资源完成不同计 划活动的效率，通常用表格形式表示为 效 率表，表格中数字组成效率矩阵。
(
j
?
1,?
,7)
?
Ax ? b
ST
:
? ?
x
j
?
1或0, (
j
?
1,? , n)
0-1整数规划一般都 是纯整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.3 整数规划的作用
?0-1整数规划在管理领域具有重要作用
1. m个约束条件中只有k个起作用； 2. 约束条件的右端项可能是r个值(b1, b2, … b r)
解：设x j
?
??1 ?
??0
选Ai 不选Ai
0-1整数规划的一般形式:
MaxZ ? C T X
MaxZ ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? c7 x7
?b1 x1 ? b2 x2 ? ? ? b7 x7 ? B
ST
:
? ??
x1
?x4
? ?
x2 x5
? ?
x3 1
?
2
? ?
x6
??
? xj
x7 ? 1 ? 1或0,
中的某一个； 3. 两组条件中满足一组； 4. 用以表示含固定费用的函数。
第四章 整数规划及分配问题
第二节 分配问题与匈牙利法
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(1)
?指派n个人去完成n项任务，使完成 n项任 务的总效率最高(或所需总时间最少)，这 类问题称为指派问题或分配问题。
? 安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样 指派到n台机床上完成；
?
ST :
? ?
5x1 ? 4x2 ? 24 2x1 ? 5x2 ? 13
?? x1，x2 ? 0，且为整数
能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性 规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍 五入”或“凑整”方法寻找最优解？
?对于变量取值很大时，用上述方法得到的解 与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得 到的解就可能与实际整数最优解差别很大。 ?当问题规模较大（决策变量较多）时，用 “凑整”方法来算工作量很大。
? 这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这 样的问题为整数规划。
例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表：
问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
货物
甲 乙
托运 限制
体积 米3/箱
5 4
24
重量 利润 百斤/箱 百元/箱
2
20
5
10
13
MaxZ ? 20 x1 ? 10x2
?效指派率第矩阵j人用去[完aij]成表第示i。项a任ij 务> 时0 (的i,j效=率1,(2时,…间,n、)表成示 本等)。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(3)
?1，分配第 i 个人去完成第 j 项任务 xij ? ??0，不分配第 i 个人去完成第 j 项任务
?2x1 ? 3x2 ? 14
? ?
x1 ? 0.5x2 ? 4.5
? ?
x1
,
x2
?
0,
且均取整数值
解：用图解法得最优解为（3.25 , 2.5）
如果不考虑整数约束（称为整数规划
问题的松弛问题）
(4,1)Hale Waihona Puke Baidu
凑整法求解：比较四个点（4 , 3）, （4 , 2）,（3 , 3）,（3 , 2），前三个 都不是可行解，第四个虽然是可行解，
?如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。
?问：应如何选址，可使年利润为最大？
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
译成俄文
4
15
13
9
人员 任务
译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(2)
甲乙丙丁
?? 2 10 9 7 ??
2 15 13 4
10 4 14 15
9 14 16 13
7 8 11 9
[aij
]
?
?15 ????143
4 14 15
14 16 13
8? 191????
例：某线性规划问题最优解为(x1, x2) = (4.6, 5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的 几种组合：(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6) ， 共四种组合。若问题中有10个整数变量，则解 组合达到210 = 1024个整数组合。且最优解未 必在这些组合中。
例：求整数规划问题的最优解 max z ? 3x1 ? 2x2
?如果所有的决策变量、技术系数和右端项都 是非负整数，就称为纯整数规划。
?如果所有的决策变量都是非负整数，技术系 数和右端项为有理数，称为全整数规划。
?如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合 整数规划。
?如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
?某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
第四章 整数规划与分配问题
?对于线性规划问题，最优解可能是分数或小数。 但是对于某些问题，会要求解答必须是整数 （称为整数解）。
?对于所求解是机器的台数、完成工作的人数、装货 的车数、集装箱数量等；
?对于一些决策变量必须取 Boolean 值时，如要不要 在某地建工厂，可选用一个逻辑变量 x，令x=0表示 不在该地建厂， x=1表示在该地建厂。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
?例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们
将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间
如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时
间最少?
人员
任务
甲
乙
丙
丁
译成英文
2
10
9
7
译成日文
15
4
14
8
译成德文
13
14
16
11
但 z=13 不是最优解。
最优解为（4 , 1）， z*= 14。
主要内容
一、整数规划的特点及作用 二、分配问题与匈牙利法 三、分枝定界法 四、应用举例
第四章 整数规划及分配问题
第一节 整数规划的特点及作用
一、整数规划的特点及作用
1.1 整数规划的概念
?整数规划(Integer Programming) ：决策变 量要求取整数的线性规划。
? 有n条航线，怎样指定n艘船去航行的；
? ……
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(2)
?如果完成任务的效率表现为资源消耗，考 虑的是如何分配任务使得目标函数极小化；
?如果完成任务的效率表现为生产效率的高 低，则考虑的是如何分配使得目标函数最 大化。
?在分配问题中，利用不同资源完成不同计 划活动的效率，通常用表格形式表示为 效 率表，表格中数字组成效率矩阵。
(
j
?
1,?
,7)
?
Ax ? b
ST
:
? ?
x
j
?
1或0, (
j
?
1,? , n)
0-1整数规划一般都 是纯整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.3 整数规划的作用
?0-1整数规划在管理领域具有重要作用
1. m个约束条件中只有k个起作用； 2. 约束条件的右端项可能是r个值(b1, b2, … b r)
解：设x j
?
??1 ?
??0
选Ai 不选Ai
0-1整数规划的一般形式:
MaxZ ? C T X
MaxZ ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? c7 x7
?b1 x1 ? b2 x2 ? ? ? b7 x7 ? B
ST
:
? ??
x1
?x4
? ?
x2 x5
? ?
x3 1
?
2
? ?
x6
??
? xj
x7 ? 1 ? 1或0,
中的某一个； 3. 两组条件中满足一组； 4. 用以表示含固定费用的函数。
第四章 整数规划及分配问题
第二节 分配问题与匈牙利法
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(1)
?指派n个人去完成n项任务，使完成 n项任 务的总效率最高(或所需总时间最少)，这 类问题称为指派问题或分配问题。
? 安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样 指派到n台机床上完成；
?
ST :
? ?
5x1 ? 4x2 ? 24 2x1 ? 5x2 ? 13
?? x1，x2 ? 0，且为整数
能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性 规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍 五入”或“凑整”方法寻找最优解？
?对于变量取值很大时，用上述方法得到的解 与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得 到的解就可能与实际整数最优解差别很大。 ?当问题规模较大（决策变量较多）时，用 “凑整”方法来算工作量很大。
? 这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这 样的问题为整数规划。
例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表：
问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
货物
甲 乙
托运 限制
体积 米3/箱
5 4
24
重量 利润 百斤/箱 百元/箱
2
20
5
10
13
MaxZ ? 20 x1 ? 10x2
?效指派率第矩阵j人用去[完aij]成表第示i。项a任ij 务> 时0 (的i,j效=率1,(2时,…间,n、)表成示 本等)。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(3)
?1，分配第 i 个人去完成第 j 项任务 xij ? ??0，不分配第 i 个人去完成第 j 项任务
?2x1 ? 3x2 ? 14
? ?
x1 ? 0.5x2 ? 4.5
? ?
x1
,
x2
?
0,
且均取整数值
解：用图解法得最优解为（3.25 , 2.5）
如果不考虑整数约束（称为整数规划
问题的松弛问题）
(4,1)Hale Waihona Puke Baidu
凑整法求解：比较四个点（4 , 3）, （4 , 2）,（3 , 3）,（3 , 2），前三个 都不是可行解，第四个虽然是可行解，