运筹学第四章 整数规划和分配问题(新)a

A aij mm
a11 a 21 ... am1
a12 a22 ... am 2
... a1m ... a2 m ... ... ... amm
1, 又设xij 0，
分配第i人去完成第j项任务；
(i, j 1,2,...,m) 不分配第i人去完成第j项任务。
三、0-1变量（或称逻辑变量）在模型中 的应用 整数规划模型对研究管理问题有重 要意义。很多不能归结为线性规划数学 模型的管理问题，却可以通过设置逻辑 变量建立起整数规划数学模型。
第二节 分配问题(指派问题）与匈牙利法 2-1 问题的提出及数学模型 假设有m项任务分配给m个人去完成，并 指定每个人完成其中一项，每项任务也只由 一个人完成，问应如何分配任务，才能使总 效率最高？（或总费用最少，花费的总时间 最少等等。） 设每个人完成不同任务的耗费见下面的 效率矩阵，通常要求aij≥0。
3. 对求最大值问题的处理 m 设目标函数为 可将其变换为
'
max z aij xij
i 1 j 1 m m
m
min z (aij ) xij
i 1 j 1
此时，效率矩阵的元素全成为负值，不符合要 求，根据定理1，令 M max a

ij
变换后的效率矩阵每行都加M即可。
例.用分枝定界法求下述整 数规划问题的最优解 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想 先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
k
(0 f i 1) (0 f ik 1)
得 xi ( N ik f ik ) xk N i f i 即
k k
xi N ik xk N i f i f ik xk
上式中，要使等式左端为整数，则右端也必为 整数，由0＜fi＜1,故应有
f i f ik xk 0
作业：P125 4.1 4.2 4.3(a) 4.4
第四章 整数规划与分配问题
第一节 整数规划的特点及应用
一、整数规划的一般形式 定义：一部分或全部决策变量必须取整数 值的规划问题称为整数规划。不考虑整数 条件，由余下的目标函数和约束条件构成 的规划问题称为该整数规划的松弛问题。 若松弛问题是线性规划，则该整数规划称 为整数线性规划。
则分配问题的数学模型为
min z aij xij
i 1 j 1 m m
m xij 1(i 1,2,...,m) j 1 m xij 1( j 1,2,...,m) i 1 xij 0或1， (i, j 1,2,...,m)
2. 借助单纯形表法 对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到 最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
xi aik xk bi
k
将bi , aik 分解成整数部分和非负 真分数部分之和， 令 bi N i f i aik N ik f ik
第四步 为产生m个位于不同行不同列的0元素， 用定理一对效率矩阵进行调整，使之生成新的0 元素。方法： 1. 在效率矩阵未被直线覆盖的元素中找出最小 元素k； 2. 效率矩阵未被直线覆盖的行都减k; 3. 效率矩阵被直线覆盖的列都加k; 4. 转回第三步。
2-3 特殊情况的处理 1. 人数多于任务数，加虚拟任务。 设有n人，m项任务，n＞m,则增加n-m项任务。 2. 人数少于任务数，加虚拟人员。 设有n人，m项任务，n＜m,则增加m-n项任务。
例.用割平面法求下述整数 规划问题的最优解 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
解： 1.将问题化为全整数规划问题；去掉变量的 整数要求，可得其松弛问题G0
max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 14 2 x1 x 2 9 x , x 0 1 2
匈牙利法的步骤： 第一步 效率矩阵每行都减去该行的最小元素； 第二步 效率矩阵每列都减去该列的最小元素； 此时，效率矩阵的每行每列都有0元素。
第三步 寻找位于不同行不同列的0元素，也就是 寻找能覆盖所有0元素的最少直线数。 方法： 1. 从只有一个0元素的行开始，对0元素打上（ ） 号，然后对打（ ）的0元素所在列画一条直线， 依次进行到最后一行； 2. 从只有一个0元素的列开始，对0元素打上（ ） 号， 然后对打（ ）的0元素所在行画一条直线， 依次进行到最后一列；
1 1 1 x2 x3 x4 2 2 2 2 1 1 1 即 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 1 1 1 或 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 所以，割平面方程为 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加松弛变量化为等式:
整数线性规划的一般形式 : n
max( 或 min)z c j x j
j 1 n ij j
a x
j 1
( 或 ）bi (i 1,2,...m)
x j 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的 最优解 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
1 1 1 x3 x4 x5 2 2 2 将上式加入松弛问题 G0的约束中，得一新的 LP问题G1，可将该式直接加入求 解G0的单纯形表 中，然后用对偶单纯形 法继续求解得到 G1的单纯 形表，见表4 5。
L1 , xi bi
L2 , xi bi 1
不考虑整数条件，用单纯形法求解两个 子问题，若得整数解或子问题的最优值小于 前面分支中已计算得到的所有整数解的目标 函数最大值，则停止分枝；否则，选取所有 子问题中目标函数值最大的问题作为L0继续 分枝，直至得到整数规划的最优解。 第三步 剪枝 在所有整数解中选取获得最大值的解为 最优解。
二、割平面法的步骤 第一步 将问题化为全整数规划问题； 第二步 加非负松弛变量，将约束条件化为等 式约束； 第三步 解相应的线性规划问题 1. 若线性规划的最优解是整数解，则得整数 规划的最优解，停止计算，否则转2; 2. 求解割平面方程作为附加约束条件，构成 新的线性规划问题，继续第三步。
三、割平面方程的求法 1.求解线性方程组法 设xi=bi 是整数规划的松弛问题（LP问题） 最优解中取分数值（分数部分最大）的基变量， 将xi=bi用非基变量表示
max z 3x1 2 x 2 14 2 x1 3x 2 x3 x4 9 2 x1 x 2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
2. 加松弛变量，将约束化为等式约束；并用 单纯形法求解得到最优表；（表4-4）
3. 找出非整数解变量中非整数部分最大的 一个基变量（这里是x2），并写出这一行 的约束；
xi bi aik xk
k
将bi，aik分解成整数部分和非负真分数部分之 和：
xi Leabharlann Baidui aik xk
k
bi N i f i aik N ik f ik
k
(0 f i 1) (0 f ik 1)
得
xi N i f i ( N ik f ik ) xk
作业：P126 4.7（a) 4.8(a) 第三节 分枝定界法 一、分枝定界法的基本思想 先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
不考虑整数要求时， 最优解为： X=(3.25 ,2.5)T Z=13 （见下页图解法） 考虑整数要求时，最优解为： X=(4 ,1)T Z=14 凑整 （3，2）可行，非最优，Z=13。 （4，3），（4，2），（3，3） 不可行
二、整数规划的分类 1. 全整数线性规划 决策变量全部取整数，约束系数和约束常数项 也取整数的整数线性规划。 2. 纯整数线性规划 决策变量全部取整数，约束系数和约束常数项 可取非整数的整数线性规划。 纯整数线性规划可化为全整数线性规划。 3. 混合整数线性规划 决策变量中有一部分取整数值，另一部分可取 非整数值的整数线性规划。 4. 0-1整数线性规划 决策变量只能取0或1的整数线性规划。
k
这就是所求的割平面方程（Gomory方程） 。
例 设某整数规划的松弛问题最优解中有x1 = 3.5 ， x1的非基变量表达式为 x1=3.5 + 2.4 x4 – 3.6 x5 + 4 x6 =3+0.5+2 x4 +0.4 x4 - 4 x5 +0.4 x5 +4 x6 或: x1-3- 2x4+4x5-4 x6 = 0.5+0.4x4+0.4x5 由此可得割平面方程为 0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
k k
N i N ik xk f i f ik xk xi N i N ik xk f i f ik xk
k k
要使所有变量都取非负整数值，上式左 端必为整数，从而右端也必为整数，由于fi ＞ 0 ， fik ≥ 0 ，故应有
f i f ik xk 1
二、分枝定界法的步骤（最大值问题） 第一步 寻找替代问题并求解 设原整数规划问题为IP，其松弛问题为L0。 用单纯形法求L0，若L0无可行解，则IP也无可 行解，计算停止。若求得L0为整数解，则得IP 的最优解，停止。否则，转下一步； 第二步 分枝与定界 在L0的解中，任选一个不满足整数条件的 变量xi，设xi = bi ，则做两个子问题
k
这就是所求的割平面方程（Gomory方程）。
例 设某整数规划的松弛问题最优解中有x1=3.5 ， x1在单纯形表中的约束条件为： x1-2.4x4 +3.6x5 -4x6=3.5
x1-3x4+0.6x4+3x5+0.6x5-4 x6=3+0.5
或: x1-3-3x4+3x5-4x6=0.5-0.6x4-0.6x5 由此可得割平面方程为 0.5 -0.6x4 -0.6x5≤0
2-2 匈牙利法 定理1.如果从分配问题效率矩阵(aij)的每一 行元素中分别减去（或加上）一个常数ui （称为该行的位势）；从每一列中分别减去 （或加上）一个常数 vj （称为该列的位 势）；得到一个新的效率矩阵bij，其中bij= aij - ui - vj ，则aij的最优解等价于bij的 最优解。 定理2. 若效率矩阵A的元素可分成0与非0两 部分，则覆盖所有0元素的最少直线数等于位 于不同行不同列的0元素的最大个数。
3. 重复1.、2.两个步骤，可能出现三种情况： （1）若能找到m个位于不同行不同列的0元素（即 带（ ）的0元素），则令（0）处的xij=1,求解结 束； （2）若有形成闭回路的0元素，则任选一个打 （ ），然后对每个间隔的0元素打（ ），同时 对打（ ）的0元素所在行（或列）画一条直线。 （3）若位于不同行不同列的0元素[即带（ ）的0 元素]少于m，转第四步。