运筹学第四章整数规划
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运筹学-4-整数规划
若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步；
2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算， 若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
x1 , x2 , xn 0
实际问题要求xi为整数！ 如机器的台数，人数等
第四章 整数规划
例: 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌子 和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个 桌子需要木工4个小时，油漆工2小时。生产一 个椅子需要木工3个小时，油漆工1小时。该厂 每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销 售收入最大？
第四章 整数规划
min z cij xij [1200 y3 1500 y4 ]
i 1 j 1 4 4
x11 x21 x31 x41 350 x12 x22 x32 x42 400 x13 x23 x33 x43 300 x14 x24 x34 x44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x21 x22 x23 x24 600 x31 x32 x33 x34 200 y3 x41 x42 x43 x44 200 y4 x 0 ( i , j 1, 2, 3, 4) ij yi 0,1 ( i 1, 2)
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
运筹学 第四章 整数规划
步骤1：不考虑整数条件，引入松弛变量 x 3 , x 4 ，
化为标准形式，用单纯形法求解得到： 表4－2
xB
x1
b
3/4
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4
1/4
x2
7/4
0
0
1
0
3/4
-1/2
1/4
-1/2
最优解为： x1 3 / 4 , x 2 7 / 4
剪支过程
增加约束条件 单纯形法求解
航空公司机型分配的数学模型研究
某航空公司有N种机型飞机可飞直达航线AB，用 yn表示，n=1,2,3,…,N。第n种机型在一定时期内飞 该航线的班次为Xn，飞行成本为cn。根据公司运力 安排，每种机型在所计划的时间内最多能安排的班 次为fn。 一定时期内该公司在AB航线上所计划的总飞行班 次为f。根据市场需求，机型分配应满足市要求。设 在一定时期内旅客需求为D，每种机型的座位数为 sn，客座利用率为hn。 试建立机型分配优化模型。
m in
c
n
n
xn
xn f n
n n
xn f
n
h
sn xn D
x n 0， 为 整 数
以上海－沈阳航线为例： 航空公司有MD-82,MD-90和A321三机型在该航线飞行。某月 的运营情况如下所示：班次：240；旅客运输：3.264万人。 各机型飞机参数如下表所示：
机型 座位数 客座率 每班飞 每周可 行成本 利用班 次 0.87 0.88 0.86 7.77 6.5 7.3 20 28 39
因此，四舍五入或者去尾法得到解 并不是整数规划的最优解。本节介绍两 种整数规划的求解方法：分支定界法、 割平面法。
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
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26
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29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
运筹学PPT 第四章 线性整数规划
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
bixi≤B ∑ i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
解：令 x i=
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第四章：特殊的线性规划
整数规划
本章的主要内容：
理解整数规划的基本概念 掌握分枝定界法的思想和方法 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的求解方法
4.1 整数规划问题的提出
整数规划的应用背景
4.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人数、件 数、机器台数、货物箱数……如何解决？ 四舍五入不行，枚举法太慢
求解整数规划的分枝定界法
思路：分枝和定界两部分： 分枝：切割可行域，去掉非整数点。 一次分枝变成两个可行域，分别求最 优解 定界：松弛问题最优解——上界；IP 问题的任意可行解——下界，不断减 小上界和增加上界，最终的最优解。
对于最大化问题 ZZi≤ Z*≤ Z0Z 对于最小化问题 ZZ0≤ Z*≤ Zi Z
是IP问题的上界,记作 Z 0 Z
x1 0,x2 0 Z=0，是的一个下界 。
分枝定界法（续）
(第一次分枝前）
5
5x1 9x2 ≤44
4
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
（第一次分枝后）
x2
5
4
5x1 9x2 ≤ 44
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
x1
0
例1. 求解整数规划A
max Z x1 x2 6x1 2x2 ≤ 17
(1) (2)
5x1 x1, x2
9x2 ≤ ≥0
44
(3) (4)
x1, x2为整数
(5)
解：先不考虑整数要求，解相应的 LP问题，得： x 1 1 .4 7 7 ,x 2 4 .0 6 8 ,Z 0 5 .5 4 5
因子问题B3的解中所有变量均为整数，因 此它的目标函数值Z 3 5 可取为 Z ，由于它 大于Z2 4.5，因此没有必要对子问题B2进行 分枝。于是可以断定Z3 ZZ* 5。子问题B3 的解 x1 1,x2 4为最优整数解。
整数规划图解法
x2
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是 IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的最 优解
纯整数规划可行解是可行域中的整数点 非整数点不是可行解，对于求解没有意
义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化 IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
到现场的限制，可得到如下模型
m in Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x 2
≥1
x1
x2
x6 ≥ 1
s
.t
.
x3 x4 x3 x4 x5
≥1 ≥1
x4 x5 x6 ≥ 1
x2
x5 x6 ≥ 1
x i 取 0 或 1， i 1 , , 6
4.2 整数规划的求解方法
所谓整数规划，就是指决策变量有整数要 求的数学规划问题。
问题分类：纯整数规划、混合整数规划、 0-1整数规划
专门方法：分枝定界法、割平面法、隐枚 举法、匈牙利法
应用举例1：投资问题
项目
5个投资项目；600 万元资金，投资受 1
到约束：
2
(1) 项目1、2和3至少一项被
选中；
(2) 项目3和4只能选一项；
费用。条件：
区
必须保证在城区任何地方
四 区
28 32
12
0
发生火警时，消防车能在
15分钟之内赶到现场。各 区之间消防车行驶的时间
五 区
27 17
27
15
0
见右表。
请确定设站方案。
六 20 10 21 25 14 0 区
布点问题的数学模型：
设01为决策变量，当表示i地区设站，表 示i地区不设站。这样根据消防车15分钟赶
210x1 300x2 100x3 130x4 260x5 ≤600
s.t.xx13
x2 x4
x3 1
≥1
x5 ≤x1
xi取0或1，i 1, ,5
应用举例2：背包问题
目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。
例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
继续对子问题B1和B2进行分枝。
因为Z1 ＞Z2，因此先将B1再分为两枝。增加条 件 x2≤4,x2≥5 。前者称为子问题B3，后者 称为子问题B4。在图中再舍去之间的可行域， 再进行第二次迭代。得到的最优解为
子问题B3， x11,x24,Z35 ； 子问题B4无可行解。
分枝定界法（续2）
分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法
4.2 整数规划的求解方法
在一般情况下，单纯形法求得的解并不能
保证是整数最优解。
例：求整数规划
maxZ 20x1 10x2
52xx11
4x2 5x2
≤24 ≤13
x1, x2 ≥0且为整数
求解其松弛问题，很容易得出最优解为 x14.8,x2 0, maxZ96 。
12 3 4
123 4
B1 B2
子问题B1，x 1 1 ,x 2 4 .3 3 3 ,Z 1 5 .3 3 3 子问题B2，x12 ,x22 .5 ,Z 24 .5
分枝定界法（续）
因为Z1 ＞Z2 ，故将 Z 改为5.333，那么必存在最 优整数解，得到Z * ，并且0≤Z*≤5.333 。
可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
应用举例3：布点问题
共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投
地一二三四五六 点区区区区区区
资费用。
一0
学校、医院、商业区、消防队 区
等公共设施的布点问题。
二 10 0
例：某市6个区，希望设 区
置最少消防站以便节省 三 16 24 0
数据 物品 项目
食品 氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材 通信设备
5 重量(千克) 5 2 6 12 2
4
重要系数 20 15 18 14 8 4 10
背包问题的数学模型
解：设01变量表示携带物品i，表示不携 带物品i，则问题可写为
m axZ20x115x218x314x48x54x610x7 s.t. 5x15x2x2 i取 x30 或 6x1 4， 1 i2 x15,2 ,2x,674x7≤ 25
3
(3) 项目5选中的前提是1必
须被选中。
4
问如何投资才能使
收益最大？
5
投资额(万 元)
210
期望收益 (万元)
150
300
210
100
60
130
80
260
180
投资问题的数学模型：0－1规划
设01变量为决策变量，即xi=1表示项目i被选中， xi=0表示项目i被淘汰，则模型可表示为
max Z 150x1 210x2 60x3 80x4 180x5
整数规划
本章的主要内容：
理解整数规划的基本概念 掌握分枝定界法的思想和方法 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的求解方法
4.1 整数规划问题的提出
整数规划的应用背景
4.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人数、件 数、机器台数、货物箱数……如何解决？ 四舍五入不行，枚举法太慢
求解整数规划的分枝定界法
思路：分枝和定界两部分： 分枝：切割可行域，去掉非整数点。 一次分枝变成两个可行域，分别求最 优解 定界：松弛问题最优解——上界；IP 问题的任意可行解——下界，不断减 小上界和增加上界，最终的最优解。
对于最大化问题 ZZi≤ Z*≤ Z0Z 对于最小化问题 ZZ0≤ Z*≤ Zi Z
是IP问题的上界,记作 Z 0 Z
x1 0,x2 0 Z=0，是的一个下界 。
分枝定界法（续）
(第一次分枝前）
5
5x1 9x2 ≤44
4
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
（第一次分枝后）
x2
5
4
5x1 9x2 ≤ 44
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
x1
0
例1. 求解整数规划A
max Z x1 x2 6x1 2x2 ≤ 17
(1) (2)
5x1 x1, x2
9x2 ≤ ≥0
44
(3) (4)
x1, x2为整数
(5)
解：先不考虑整数要求，解相应的 LP问题，得： x 1 1 .4 7 7 ,x 2 4 .0 6 8 ,Z 0 5 .5 4 5
因子问题B3的解中所有变量均为整数，因 此它的目标函数值Z 3 5 可取为 Z ，由于它 大于Z2 4.5，因此没有必要对子问题B2进行 分枝。于是可以断定Z3 ZZ* 5。子问题B3 的解 x1 1,x2 4为最优整数解。
整数规划图解法
x2
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是 IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的最 优解
纯整数规划可行解是可行域中的整数点 非整数点不是可行解，对于求解没有意
义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化 IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
到现场的限制，可得到如下模型
m in Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x 2
≥1
x1
x2
x6 ≥ 1
s
.t
.
x3 x4 x3 x4 x5
≥1 ≥1
x4 x5 x6 ≥ 1
x2
x5 x6 ≥ 1
x i 取 0 或 1， i 1 , , 6
4.2 整数规划的求解方法
所谓整数规划，就是指决策变量有整数要 求的数学规划问题。
问题分类：纯整数规划、混合整数规划、 0-1整数规划
专门方法：分枝定界法、割平面法、隐枚 举法、匈牙利法
应用举例1：投资问题
项目
5个投资项目；600 万元资金，投资受 1
到约束：
2
(1) 项目1、2和3至少一项被
选中；
(2) 项目3和4只能选一项；
费用。条件：
区
必须保证在城区任何地方
四 区
28 32
12
0
发生火警时，消防车能在
15分钟之内赶到现场。各 区之间消防车行驶的时间
五 区
27 17
27
15
0
见右表。
请确定设站方案。
六 20 10 21 25 14 0 区
布点问题的数学模型：
设01为决策变量，当表示i地区设站，表 示i地区不设站。这样根据消防车15分钟赶
210x1 300x2 100x3 130x4 260x5 ≤600
s.t.xx13
x2 x4
x3 1
≥1
x5 ≤x1
xi取0或1，i 1, ,5
应用举例2：背包问题
目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。
例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
继续对子问题B1和B2进行分枝。
因为Z1 ＞Z2，因此先将B1再分为两枝。增加条 件 x2≤4,x2≥5 。前者称为子问题B3，后者 称为子问题B4。在图中再舍去之间的可行域， 再进行第二次迭代。得到的最优解为
子问题B3， x11,x24,Z35 ； 子问题B4无可行解。
分枝定界法（续2）
分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法
4.2 整数规划的求解方法
在一般情况下，单纯形法求得的解并不能
保证是整数最优解。
例：求整数规划
maxZ 20x1 10x2
52xx11
4x2 5x2
≤24 ≤13
x1, x2 ≥0且为整数
求解其松弛问题，很容易得出最优解为 x14.8,x2 0, maxZ96 。
12 3 4
123 4
B1 B2
子问题B1，x 1 1 ,x 2 4 .3 3 3 ,Z 1 5 .3 3 3 子问题B2，x12 ,x22 .5 ,Z 24 .5
分枝定界法（续）
因为Z1 ＞Z2 ，故将 Z 改为5.333，那么必存在最 优整数解，得到Z * ，并且0≤Z*≤5.333 。
可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
应用举例3：布点问题
共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投
地一二三四五六 点区区区区区区
资费用。
一0
学校、医院、商业区、消防队 区
等公共设施的布点问题。
二 10 0
例：某市6个区，希望设 区
置最少消防站以便节省 三 16 24 0
数据 物品 项目
食品 氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材 通信设备
5 重量(千克) 5 2 6 12 2
4
重要系数 20 15 18 14 8 4 10
背包问题的数学模型
解：设01变量表示携带物品i，表示不携 带物品i，则问题可写为
m axZ20x115x218x314x48x54x610x7 s.t. 5x15x2x2 i取 x30 或 6x1 4， 1 i2 x15,2 ,2x,674x7≤ 25
3
(3) 项目5选中的前提是1必
须被选中。
4
问如何投资才能使
收益最大？
5
投资额(万 元)
210
期望收益 (万元)
150
300
210
100
60
130
80
260
180
投资问题的数学模型：0－1规划
设01变量为决策变量，即xi=1表示项目i被选中， xi=0表示项目i被淘汰，则模型可表示为
max Z 150x1 210x2 60x3 80x4 180x5