运筹学第四章整数规划
合集下载
运筹学-4-整数规划
若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步；
2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算， 若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
x1 , x2 , xn 0
实际问题要求xi为整数！ 如机器的台数，人数等
第四章 整数规划
例: 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌子 和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个 桌子需要木工4个小时，油漆工2小时。生产一 个椅子需要木工3个小时，油漆工1小时。该厂 每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销 售收入最大？
第四章 整数规划
min z cij xij [1200 y3 1500 y4 ]
i 1 j 1 4 4
x11 x21 x31 x41 350 x12 x22 x32 x42 400 x13 x23 x33 x43 300 x14 x24 x34 x44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x21 x22 x23 x24 600 x31 x32 x33 x34 200 y3 x41 x42 x43 x44 200 y4 x 0 ( i , j 1, 2, 3, 4) ij yi 0,1 ( i 1, 2)
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
运筹学 第四章 整数规划
步骤1：不考虑整数条件，引入松弛变量 x 3 , x 4 ，
化为标准形式，用单纯形法求解得到： 表4－2
xB
x1
b
3/4
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4
1/4
x2
7/4
0
0
1
0
3/4
-1/2
1/4
-1/2
最优解为： x1 3 / 4 , x 2 7 / 4
剪支过程
增加约束条件 单纯形法求解
航空公司机型分配的数学模型研究
某航空公司有N种机型飞机可飞直达航线AB，用 yn表示，n=1,2,3,…,N。第n种机型在一定时期内飞 该航线的班次为Xn，飞行成本为cn。根据公司运力 安排，每种机型在所计划的时间内最多能安排的班 次为fn。 一定时期内该公司在AB航线上所计划的总飞行班 次为f。根据市场需求，机型分配应满足市要求。设 在一定时期内旅客需求为D，每种机型的座位数为 sn，客座利用率为hn。 试建立机型分配优化模型。
m in
c
n
n
xn
xn f n
n n
xn f
n
h
sn xn D
x n 0， 为 整 数
以上海－沈阳航线为例： 航空公司有MD-82,MD-90和A321三机型在该航线飞行。某月 的运营情况如下所示：班次：240；旅客运输：3.264万人。 各机型飞机参数如下表所示：
机型 座位数 客座率 每班飞 每周可 行成本 利用班 次 0.87 0.88 0.86 7.77 6.5 7.3 20 28 39
因此，四舍五入或者去尾法得到解 并不是整数规划的最优解。本节介绍两 种整数规划的求解方法：分支定界法、 割平面法。
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
运筹学PPT 第四章 线性整数规划
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
bixi≤B ∑ i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
解：令 x i=
运筹学 整数规划( Integer Programming )
组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
运筹学课件--第四章 整数规划
上述分枝过程可用下图表示
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
运筹学-4-整数规划ppt课件
.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
逻辑变量的应用
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
如效率 矩阵为
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题
货物运输路线选择案例
案例描述
某物流公司需要为其客户提供从起点到终点的货物运 输服务。在运输过程中，有多种可能的路线可以选择 ，每条路线都有不同的运输成本和时间。此外，客户 对货物的运输时间和成本也有一定的要求。
整数规划应用
该案例可以通过整数规划来解决。首先，将每条路线的 选择定义为整数决策变量，1表示选择该路线，0表示 不选择。然后，根据每条路线的运输成本和时间，构建 目标函数，即最小化总运输成本和时间。接下来，根据 客户的要求和路线的特点，构建约束条件，如运输时间 限制、成本限制和路线连通性等。最后，使用整数规划 求解算法，找到满足所有约束条件的最优路线组合，即 最小化总运输成本和时间的路线选择方案。
展望
未来，整数规划与指派问题将在更多领域得到应用和推广 ，为实际问题的解决提供更加有效的方法和工具。同时， 随着相关技术的不断发展，整数规划与指派问题的求解方 法将更加高效和精确，为相关领域的发展提供更加有力的 支持。
THANKS
感谢观看
要点一
Xpress
Xpress是一款功能强大的数学优化求 解器，适用于线性规划、整数规划等 多种问题。它提供了丰富的算法和工 具，支持大规模问题的求解和分析。
要点二
LINGO
LINGO是一款易于使用的数学优化建 模工具，具有直观的语法和丰富的函 数库。它可以帮助用户快速构建和求 解线性规划、整数规划等问题，并提 供详细的解决方案和报告。
原理
通过添加割平面约束条件，逐 步缩小问题的可行域，从而找 到整数最优解。
添加割平面
根据松弛问题的最优解，构造 一个割平面约束条件，添加到 原问题中。
迭代
重复添加割平面和求解新问题 的步骤，直到找到整数最优解 或确定无整数最优解为止。
运筹学——整数规划
5
4
x(0)=(4.81,1.82) Z0=356
3
B 2
1
7x1+20x2=70
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x1<=[x1(0)]
12
x1>=[x1(0)]+1
2021/7/26
解：第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性 规划问题，得最优解和最优值如下：
x1=4.81, x2=1.82, Z=356 解不满足整数条件。最优值Z=356作为整数规划目标函 数值的上界；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，对应 目标值Z=0作为整数规划目标值的下界，即0 Z* 356
1
2
x6 x7 1
xi 0或1
获利最大的设点方案，第 一个约束条件表示投资总 额限制，之后的三个约束 条件分别表示在东、西和 南区的设点数限制，决策 变量取值0或1。
5
2021/7/26
例3 解决某市消防站的布点问题。该市共有6个区，每 个区都可以建消防站。政府希望设置的消防站最少，但 必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15分 钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时 间见下表：
行解, 停止; b) 若有满足整数条件的最优解, 则已得到整数规划问 题的最优解, 停止; c) 若有最优解, 但不满足整数条件, 记此最优值 为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界. (2)分支、定界直到得到最优解为止
分支：取目标函数值最大的一个支LPs，在LPs的解中任选一不 符合整数条件的变量xj，其值为bj，构造两个约束条件xj≤[bj]和 xj≥[bj]+1。将两个约束条件分别加入问题LPs，得两个后继规划问 题LPs1和LPs2。不考虑整数条件求解这两个后继问题，以每个后 继问题为一分支标明求解结果。
管理运筹学4 整数规划
人员 任务 A 25 B 29 C 31 D 42 E 37
甲
乙
丙 丁
39
34 24
38
27 42
26
28 36
20
40 23
33
32 45
x ij 0或1 ，i、j 1,2,3,4
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
Page 19
匈牙利法（指派问题）
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型的标准形式：
Page 20
设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？ 设决策变量
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x 21 x 31 x 41 x12 x 22 x 32 x 42 x13 x 23 x 33 x 43 x14 x 24 x 34 x 44 1 1 1 1
Page 18
变量约束：
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
如
Page 5
1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数 2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变 量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资； 3. 人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作，
整数规划的特点及应用
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
i 1 j 1 4 4
甲
乙
丙 丁
39
34 24
38
27 42
26
28 36
20
40 23
33
32 45
x ij 0或1 ，i、j 1,2,3,4
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
Page 19
匈牙利法（指派问题）
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型的标准形式：
Page 20
设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？ 设决策变量
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x 21 x 31 x 41 x12 x 22 x 32 x 42 x13 x 23 x 33 x 43 x14 x 24 x 34 x 44 1 1 1 1
Page 18
变量约束：
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
如
Page 5
1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数 2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变 量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资； 3. 人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作，
整数规划的特点及应用
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
i 1 j 1 4 4
运筹学整数规划
例1 运用分枝定界法求解整数规划
极大化z=3x1+5x2 满足4x1+10x2≤50 2x1-5x2≤1 x1,x2≥0且为整数
例1 运用分枝定界法求解整数规划
表 4-1
例1 运用分枝定界法求解整数规划
图 4-1
例1 运用分枝定界法求解整数规划
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1 运用分枝定界法求解整数规划
图 4-2
例1 运用分枝定界法求解整数规划
若各种货物的装载件数不限，问如何装运，可使 一车货物的价值最大。
例5 背包问题
解 问题的数学模型为 极大化z=3x1+4x2+5x3+6x4 满足2x1+3x2+4x3+5x4≤15 xj≥0且为整数 其中x1,x2,x3,x4分别为4种货物的装载件数。
例6 求解0—1规划
极大化z=7x1+5x2+9x3+6x4+3x5 满足56x1+20x2+54x3+42x4+15x5≤100 X j=0或1，j=1,2,…,5
表 4-6
例2 用分枝定界法求解整数规划
表 4-7
例2 用分枝定界法求解整数规划
表 4-8
表 4-9
例2 用分枝定界法求解整数规划
图 4-4
例2 用分枝定界法求解整数规划
图 4-5
第二节 割 平 面 法
一、割平面法的基本思想
二、构造割平面
一、割平面法的基本思想
由线性不等式的意义知道，增加的切割条件，相 当于将可行解集合切割掉一部分，所以又称割平 面。要求这个割平面将非整数最优解割去，但却 不会割去任何整数解，即不会割去任何可行解。 增添切割条件后，成为一个改进的松弛问题。如 果它的最优解符合整数要求，那么这个解就是整 数规划最优解；否则，再给这个改进的松弛问题 增添一个切割条件(即再增添一个不等式约束)， 把改进的松弛问题的不符合整数要求的最优解割 法，形成新的松弛问题。如此继续下去，能够证 明，经过有很多次切割，总可以求得式最优解。
运筹四 整数规划
1、在全部可行性域上解松弛问题
– 若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的 最优解
2、分枝过程
– 若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整数部分 – 构造两个新的约束条件 xk bk 和 xk bk +1，分 别加于原松弛问题，形成两个新的整数规划
0 3 1 ( 0) 0 1 2 0*
逐 列 检 查
2 3 ( 0) 1
( 0) 2 2 2
0 * 1 0 * 2
3、重复1、2后，可能出现三种情况； a. 每行都有一个 (0)，显然已找到最优解，令对应(0)位置的 xij=1； b. 仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零， 称为僵局状态，因为无法采用 1. 2 中的方法继续标记。 4、打破僵局。令未标记零对应的同行同列上其它未标记零的个数为 该零的指数，选指数最小的先标记 ( )；采用这种方法直至所有零都 被标记，或出现 情况 a，或 情况 c 。 10
表4.2.1 分枝问题解可能出现的情况
序号 问题 1 问题 2 无可行解 无可行解 1 无可行解 整数解 2 无可行解 非整数解 3 整数解 整数解 4 非整数解 5 整数解，目标函 数优于问题 2 整数解 非整数解，目标 6 函数优于问题 1 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分枝 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解 问题 1 停止分枝(剪 枝)， 其整数解 为 界， 对问题 2 继续分枝
9
清华算法的步骤：例4.6.1
2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标 记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该列有二个以上未标记的 零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；
– 若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的 最优解
2、分枝过程
– 若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整数部分 – 构造两个新的约束条件 xk bk 和 xk bk +1，分 别加于原松弛问题，形成两个新的整数规划
0 3 1 ( 0) 0 1 2 0*
逐 列 检 查
2 3 ( 0) 1
( 0) 2 2 2
0 * 1 0 * 2
3、重复1、2后，可能出现三种情况； a. 每行都有一个 (0)，显然已找到最优解，令对应(0)位置的 xij=1； b. 仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零， 称为僵局状态，因为无法采用 1. 2 中的方法继续标记。 4、打破僵局。令未标记零对应的同行同列上其它未标记零的个数为 该零的指数，选指数最小的先标记 ( )；采用这种方法直至所有零都 被标记，或出现 情况 a，或 情况 c 。 10
表4.2.1 分枝问题解可能出现的情况
序号 问题 1 问题 2 无可行解 无可行解 1 无可行解 整数解 2 无可行解 非整数解 3 整数解 整数解 4 非整数解 5 整数解，目标函 数优于问题 2 整数解 非整数解，目标 6 函数优于问题 1 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分枝 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解 问题 1 停止分枝(剪 枝)， 其整数解 为 界， 对问题 2 继续分枝
9
清华算法的步骤：例4.6.1
2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标 记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该列有二个以上未标记的 零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；
运筹学：第4章 整数规划与分配问题
2021/4/18
17
资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月）
小号容器 2 2 1
中号容器 4 3 2
大号容器 8 4 3
解：设 x1, x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。
0， 不生产j型号容器 y j 1， 生产j型号容器
建立如下的数学模型：
2021/4/18
为：
C
j
(x
j
)
K 0,
j
c
j
x
j
,
xj 0 xj 0
其中 K j 是与产量无关 的生产准备费用
n
目标函数： min z C j (x j )
j 1
定义
0 y j 1
则原问题可表示为
xj 0
xj 0
n
min z (c j x j K j y j ) j 1
s.t
0 x j Myj
y
j
0或1
2021/4/18
10
§2.2 应用举例
例1 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号
1,2,3,4）和2名研究生（代号5,6）值班。已知各学生从 周一至周五每天可安排的值班时间及每人每小时报酬见下 表所示。
学生 代号
1 2 3 4 5 6
酬金 (元/h) 10.0 10.0
9.9 9.8 10.8 11.3
2021/4/18
29
（0） 8
2
5
11 （0） 5
4
2
3 （0） 0
0
11
4
5
根据上图，k=2，
周一 6 0 4 5 3 0
每天可安排的值班时间(h) 周二 周三 周四
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章：特殊的线性规划
整数规划
本章的主要内容：
理解整数规划的基本概念 掌握分枝定界法的思想和方法 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的求解方法
4.1 整数规划问题的提出
整数规划的应用背景
4.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人数、件 数、机器台数、货物箱数……如何解决？ 四舍五入不行，枚举法太慢
求解整数规划的分枝定界法
思路：分枝和定界两部分： 分枝：切割可行域，去掉非整数点。 一次分枝变成两个可行域，分别求最 优解 定界：松弛问题最优解——上界；IP 问题的任意可行解——下界，不断减 小上界和增加上界，最终的最优解。
对于最大化问题 ZZi≤ Z*≤ Z0Z 对于最小化问题 ZZ0≤ Z*≤ Zi Z
是IP问题的上界,记作 Z 0 Z
x1 0,x2 0 Z=0，是的一个下界 。
分枝定界法（续）
(第一次分枝前）
5
5x1 9x2 ≤44
4
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
（第一次分枝后）
x2
5
4
5x1 9x2 ≤ 44
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
x1
0
例1. 求解整数规划A
max Z x1 x2 6x1 2x2 ≤ 17
(1) (2)
5x1 x1, x2
9x2 ≤ ≥0
44
(3) (4)
x1, x2为整数
(5)
解：先不考虑整数要求，解相应的 LP问题，得： x 1 1 .4 7 7 ,x 2 4 .0 6 8 ,Z 0 5 .5 4 5
因子问题B3的解中所有变量均为整数，因 此它的目标函数值Z 3 5 可取为 Z ，由于它 大于Z2 4.5，因此没有必要对子问题B2进行 分枝。于是可以断定Z3 ZZ* 5。子问题B3 的解 x1 1,x2 4为最优整数解。
整数规划图解法
x2
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是 IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的最 优解
纯整数规划可行解是可行域中的整数点 非整数点不是可行解，对于求解没有意
义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化 IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
到现场的限制，可得到如下模型
m in Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x 2
≥1
x1
x2
x6 ≥ 1
s
.t
.
x3 x4 x3 x4 x5
≥1 ≥1
x4 x5 x6 ≥ 1
x2
x5 x6 ≥ 1
x i 取 0 或 1， i 1 , , 6
4.2 整数规划的求解方法
所谓整数规划，就是指决策变量有整数要 求的数学规划问题。
问题分类：纯整数规划、混合整数规划、 0-1整数规划
专门方法：分枝定界法、割平面法、隐枚 举法、匈牙利法
应用举例1：投资问题
项目
5个投资项目；600 万元资金，投资受 1
到约束：
2
(1) 项目1、2和3至少一项被
选中；
(2) 项目3和4只能选一项；
费用。条件：
区
必须保证在城区任何地方
四 区
28 32
12
0
发生火警时，消防车能在
15分钟之内赶到现场。各 区之间消防车行驶的时间
五 区
27 17
27
15
0
见右表。
请确定设站方案。
六 20 10 21 25 14 0 区
布点问题的数学模型：
设01为决策变量，当表示i地区设站，表 示i地区不设站。这样根据消防车15分钟赶
210x1 300x2 100x3 130x4 260x5 ≤600
s.t.xx13
x2 x4
x3 1
≥1
x5 ≤x1
xi取0或1，i 1, ,5
应用举例2：背包问题
目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。
例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
继续对子问题B1和B2进行分枝。
因为Z1 ＞Z2，因此先将B1再分为两枝。增加条 件 x2≤4,x2≥5 。前者称为子问题B3，后者 称为子问题B4。在图中再舍去之间的可行域， 再进行第二次迭代。得到的最优解为
子问题B3， x11,x24,Z35 ； 子问题B4无可行解。
分枝定界法（续2）
分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法
4.2 整数规划的求解方法
在一般情况下，单纯形法求得的解并不能
保证是整数最优解。
例：求整数规划
maxZ 20x1 10x2
52xx11
4x2 5x2
≤24 ≤13
x1, x2 ≥0且为整数
求解其松弛问题，很容易得出最优解为 x14.8,x2 0, maxZ96 。
12 3 4
123 4
B1 B2
子问题B1，x 1 1 ,x 2 4 .3 3 3 ,Z 1 5 .3 3 3 子问题B2，x12 ,x22 .5 ,Z 24 .5
分枝定界法（续）
因为Z1 ＞Z2 ，故将 Z 改为5.333，那么必存在最 优整数解，得到Z * ，并且0≤Z*≤5.333 。
可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
应用举例3：布点问题
共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投
地一二三四五六 点区区区区区区
资费用。
一0
学校、医院、商业区、消防队 区
等公共设施的布点问题。
二 10 0
例：某市6个区，希望设 区
置最少消防站以便节省 三 16 24 0
数据 物品 项目
食品 氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材 通信设备
5 重量(千克) 5 2 6 12 2
4
重要系数 20 15 18 14 8 4 10
背包问题的数学模型
解：设01变量表示携带物品i，表示不携 带物品i，则问题可写为
m axZ20x115x218x314x48x54x610x7 s.t. 5x15x2x2 i取 x30 或 6x1 4， 1 i2 x15,2 ,2x,674x7≤ 25
3
(3) 项目5选中的前提是1必
须被选中。
4
问如何投资才能使
收益最大？
5
投资额(万 元)
210
期望收益 (万元)
150
300
210
100
60
130
80
260
180
投资问题的数学模型：0－1规划
设01变量为决策变量，即xi=1表示项目i被选中， xi=0表示项目i被淘汰，则模型可表示为
max Z 150x1 210x2 60x3 80x4 180x5
整数规划
本章的主要内容：
理解整数规划的基本概念 掌握分枝定界法的思想和方法 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的求解方法
4.1 整数规划问题的提出
整数规划的应用背景
4.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人数、件 数、机器台数、货物箱数……如何解决？ 四舍五入不行，枚举法太慢
求解整数规划的分枝定界法
思路：分枝和定界两部分： 分枝：切割可行域，去掉非整数点。 一次分枝变成两个可行域，分别求最 优解 定界：松弛问题最优解——上界；IP 问题的任意可行解——下界，不断减 小上界和增加上界，最终的最优解。
对于最大化问题 ZZi≤ Z*≤ Z0Z 对于最小化问题 ZZ0≤ Z*≤ Zi Z
是IP问题的上界,记作 Z 0 Z
x1 0,x2 0 Z=0，是的一个下界 。
分枝定界法（续）
(第一次分枝前）
5
5x1 9x2 ≤44
4
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
（第一次分枝后）
x2
5
4
5x1 9x2 ≤ 44
3
Z x1 x2
2
1
6x1 2x2 ≤17
x1
0
例1. 求解整数规划A
max Z x1 x2 6x1 2x2 ≤ 17
(1) (2)
5x1 x1, x2
9x2 ≤ ≥0
44
(3) (4)
x1, x2为整数
(5)
解：先不考虑整数要求，解相应的 LP问题，得： x 1 1 .4 7 7 ,x 2 4 .0 6 8 ,Z 0 5 .5 4 5
因子问题B3的解中所有变量均为整数，因 此它的目标函数值Z 3 5 可取为 Z ，由于它 大于Z2 4.5，因此没有必要对子问题B2进行 分枝。于是可以断定Z3 ZZ* 5。子问题B3 的解 x1 1,x2 4为最优整数解。
整数规划图解法
x2
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是 IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的最 优解
纯整数规划可行解是可行域中的整数点 非整数点不是可行解，对于求解没有意
义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化 IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
到现场的限制，可得到如下模型
m in Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x 2
≥1
x1
x2
x6 ≥ 1
s
.t
.
x3 x4 x3 x4 x5
≥1 ≥1
x4 x5 x6 ≥ 1
x2
x5 x6 ≥ 1
x i 取 0 或 1， i 1 , , 6
4.2 整数规划的求解方法
所谓整数规划，就是指决策变量有整数要 求的数学规划问题。
问题分类：纯整数规划、混合整数规划、 0-1整数规划
专门方法：分枝定界法、割平面法、隐枚 举法、匈牙利法
应用举例1：投资问题
项目
5个投资项目；600 万元资金，投资受 1
到约束：
2
(1) 项目1、2和3至少一项被
选中；
(2) 项目3和4只能选一项；
费用。条件：
区
必须保证在城区任何地方
四 区
28 32
12
0
发生火警时，消防车能在
15分钟之内赶到现场。各 区之间消防车行驶的时间
五 区
27 17
27
15
0
见右表。
请确定设站方案。
六 20 10 21 25 14 0 区
布点问题的数学模型：
设01为决策变量，当表示i地区设站，表 示i地区不设站。这样根据消防车15分钟赶
210x1 300x2 100x3 130x4 260x5 ≤600
s.t.xx13
x2 x4
x3 1
≥1
x5 ≤x1
xi取0或1，i 1, ,5
应用举例2：背包问题
目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。
例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
继续对子问题B1和B2进行分枝。
因为Z1 ＞Z2，因此先将B1再分为两枝。增加条 件 x2≤4,x2≥5 。前者称为子问题B3，后者 称为子问题B4。在图中再舍去之间的可行域， 再进行第二次迭代。得到的最优解为
子问题B3， x11,x24,Z35 ； 子问题B4无可行解。
分枝定界法（续2）
分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法
4.2 整数规划的求解方法
在一般情况下，单纯形法求得的解并不能
保证是整数最优解。
例：求整数规划
maxZ 20x1 10x2
52xx11
4x2 5x2
≤24 ≤13
x1, x2 ≥0且为整数
求解其松弛问题，很容易得出最优解为 x14.8,x2 0, maxZ96 。
12 3 4
123 4
B1 B2
子问题B1，x 1 1 ,x 2 4 .3 3 3 ,Z 1 5 .3 3 3 子问题B2，x12 ,x22 .5 ,Z 24 .5
分枝定界法（续）
因为Z1 ＞Z2 ，故将 Z 改为5.333，那么必存在最 优整数解，得到Z * ，并且0≤Z*≤5.333 。
可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
应用举例3：布点问题
共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投
地一二三四五六 点区区区区区区
资费用。
一0
学校、医院、商业区、消防队 区
等公共设施的布点问题。
二 10 0
例：某市6个区，希望设 区
置最少消防站以便节省 三 16 24 0
数据 物品 项目
食品 氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材 通信设备
5 重量(千克) 5 2 6 12 2
4
重要系数 20 15 18 14 8 4 10
背包问题的数学模型
解：设01变量表示携带物品i，表示不携 带物品i，则问题可写为
m axZ20x115x218x314x48x54x610x7 s.t. 5x15x2x2 i取 x30 或 6x1 4， 1 i2 x15,2 ,2x,674x7≤ 25
3
(3) 项目5选中的前提是1必
须被选中。
4
问如何投资才能使
收益最大？
5
投资额(万 元)
210
期望收益 (万元)
150
300
210
100
60
130
80
260
180
投资问题的数学模型：0－1规划
设01变量为决策变量，即xi=1表示项目i被选中， xi=0表示项目i被淘汰，则模型可表示为
max Z 150x1 210x2 60x3 80x4 180x5