韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划

• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案？
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
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第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
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§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出，可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此，企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润，必须承担 起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系， 企业才可能过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定 以后，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部 分，记为 d＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的 部分，记为 d－。
单位 资源
产品 钢材 煤炭
甲 9 4
乙 4 5
资源限制 3600 2000
设备台时 单件利润
3 70
10 120
3000
设：甲产品 x1 ，乙产品 x2 同时：maxZ1=70 x1 + 120x2 一般有： minZ2= x1 maxZ=70 x1 + 120 x2 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0 x1 ， x2 ≥0 显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方 法很难找到最优解。
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§1 目标规划问题举例
二、目标规划的数学模型 （一）、模型的一般形式
min Z
Pk ( kl d l kl d l ) k 1 l 1 K L
n ckj x j d l d l ql ( l 1.2 L) j 1 n ( i 1.2 m ) aij x j ( . )bi j 1 xj 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 ( l 1.2 L)
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例6、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两 种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使 获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路 不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以 扩大生产。试建立此问题的数学模型。
单位 产品 资源 消耗 钢材 煤炭 设备台时 单件利润 甲 9 4 3 70 乙 4 5 10 120 资源限制 3600 2000 3000
l
§1 目标规划问题举例
（三）、小结
目标函数 变量
约束条件 解 线性规划LP min , max 系数可正负 xi, xs xa 系统约束 （绝对约束） 最优 目标规划GP min , 偏差变量 系数≥0 xi xs xa d 目标约束 系统约束 最满意
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§2 目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题， 但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助 于理解一般目标规划的求解原理和过程。 图解法解题步骤如下： 1、确定各约束条件的可行域，即将所有约 束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑 正负偏差变量）在坐标平面上表示出来； 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头 标出正、负偏差变量值增大的方向；
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§1 目标规划问题举例
3、目标规划中的目标函数 目标规划中的目标函数是一个使总偏差量为最小 的函数，记为 minZ = f（d＋、d－）。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一: ⑴ 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量 要尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。 ⑵ 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就 是正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。 ⑶ 要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标 值，也就是负偏差变量尽可能小，则minZ=f（d－） 对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处 理即可。 13
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§1 目标规划问题举例
例4．裁员 • 同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾 的因素。裁员的首要目的是压缩人员开支，但在 人人自危的同时员工的忠诚度就很难保证，此外， 员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产 生负面影响。 例5．营销 • 营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望 能达到立竿见影的效果，又希望营销的成本控制 在某一个范围内。此外，营销活动的深入程度也 决定了营销效果的好坏和持续时间。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。 2、目标约束和绝对约束 引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一 问题有了新的限制，既目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约 束起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约 束。
§1 目标规划问题举例
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。 例如：在例6中，规定Z1 的目标值为 50000,正、负偏 差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约束，既 70 x1 + 120 x2＋d1 d1 ＝50000， 同样，若规定 Z2＝200， Z3＝250 则有
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§1 目标规划问题举例
例2．商务活动
• 企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产 品上，因为某一种产品的投入和产出仅仅是企业所 有投入和产出的一部分。因此，需要用多产品的盈 亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问题（多 产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。
例3．投资 • 企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。 一般地，风险大的投资其收益率更高。因此，企业 管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期 望值时，才能得到满意的决策。
§1 目标规划问题举例
4、优先因子（优先等级）与优先权系数 优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表 示出来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>Pn，k=1.2…n。 权系数ωk 区别具有相同优先因子的两个目标的差 别，决策者可视具体情况而定。 5、满意解（具有层次意义的解） 对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部 分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分 实现，有些可能就不能实现。
• step • • • • • • • • • • • • •
2 目标函数值为 : 0 变量 解 -------------x1 0 x2 250 d10 d1+ 25000 d2200 d2+ 0 d30 d3+ 0 d42600 d4+ 0
相差值 -------0 0 0 0 0 7 12 0 0 0
x1 d2 d2 200 x2 d3 d3 250
d , d 0 ( j 1.2.3)
j
j
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 则变为 9 x1 4 x2 d4 d4 3600 d4 , d4 0
P3 d 3 第三目标：

§1 目标规划问题举例
规划模型：
min Z P1d1 P2 ( d 2 d 2 ) P3d 3 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x1 10 x2 d 3 d 3 56 2 x x 11 1 2 x1 2 0, d . d 0 ( j 1.2.3) j j
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• step • • • • • • • • • • • • •
1 目标函数值为 : 0 变量 解 相差值 --------------------x1 0 0 x2 41.667 0 d10 1 d1+ 0 0 d2200 0 d2+ 0 0 d3208.333 0 d3+ 0 0 d43433.333 0 d4+ 0 0
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例7、
若在例6中提出下列要求： 1）完成或超额完成利润指标 50000元； 2）产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3）现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。 分析：该问题中有三个目标层次，包含四个目标值。 P1d1 第一目标： 第二目标：有两个要求即甲 d 2 ，乙 d 3 ，但两 个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题 可用单件利润比作为权系数即 70 :120，化简为7:12。