韩伯棠管理运筹学(第三版)_第十一章_图与网络模型
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24
§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 14 13 T 7
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
9
§1 图与网络的基本概念
设 G1 = [ V1 , E1 ] , G2 = [ V2 , E2 ] 的子图； 子图： 子图：如果 V2 ⊆ V1 , E2 ⊆ E1 称 G2 是 G1 的子图； 真子图： 的真子图; 真子图：如果 V2 ⊂ V1 , E2 ⊂ E1 称 G2 是 G1 的真子图 生成图： 生成图：如果 V2 = V1 , E2 ⊂ E1 称 G2 是 G1 的生成图 部分图） （部分图）。
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
§1 图与网络的基本概念
• 有向图：关联边有方向的图。 有向图：关联边有方向的图。 弧：有向图的边 a = ( u , v )，起点 u，终点 v； ， ， ； 的链，且各方向一致， 路：若有从 u 到 w 的链，且各方向一致，则称 的路； 之为从 u 到 w 的路；
u v
x
回路： 回路：起点与终点相同 的路. 的路
1、狄克斯拉（Dijkstra）算法：适用于解决 、狄克斯拉（ ）算法： 所有权数大于等于0的最短路问题 的最短路问题， 所有权数大于等于 的最短路问题 ， 能求出 的最短距离。 起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离。 2、 福特 （ Ford） 算法 ： 适用于有负权系数 、 福特（ ） 算法： 的最短路问题， 的最短路问题，能求出起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离。（略） 的最短距离。
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§2 最短路问题 Dijkstra算法
•求解的过程实际上是一种给点标号的过程。 求解的过程实际上是一种给点标号的过程。 求解的过程实际上是一种给点标号的过程 标号（ 是给点记的一个数） 标号（数，是给点记的一个数） •临时标号（T标号）——从发点到本节点的 临时标号（ 临时标号 标号） 从发点到本节点的 最短距离的上界； 最短距离的上界； •固定标号（P标号）——从发点到本节点的 固定标号（ 固定标号 标号） 从发点到本节点的 最短距离。 最短距离。 某点T标号 某点 标号
运筹学
第十一章 图与网络模型
1
第八章 图与网络模型
• 图与网最短路问络的基本概念 • 最小生成树问题 • 最大流问题 • 最小费用流问题
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§1 图与网络的基本概念
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧 哥尼斯堡（现名加里宁格勒） 洲一个城市， 洲一个城市 ， Pregei河把该城分成两部 河把该城分成两部 河中有两个小岛，十八世纪时， 分，河中有两个小岛，十八世纪时，河 两边及小岛之间共有七座桥， 两边及小岛之间共有七座桥，当时人们 提出这样的问题： 提出这样的问题 ： 有没有办法从某处 （ 如 A）出发，经过各桥一次且仅一次 ） 出发， 最后回到原地呢？ 最后回到原地呢？
A 2 S 4 C 5 1 2 B 3 4 4 1 E
16
7 D 5 T
7
§2 最短路问题
v2 A ∞ 2 0 v1 S 4 C ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B ∞ 4 3 v6
∞ D
1 E ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算：
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 14 13 T 7
v7
由此而得两条从v 的最短路R 由此而得两条从 1到v7的最短路 7* : {v1, v2, v3, v6, v7}与{v1, v2, v3, v5, v6, v7} 与
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
∞ D9
1 E ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
发点P标号， 发点P标号， 其余点T 其余点T标号 改为P标号 改为 标号 终点为P 终点为 标号
15
§2 最短路问题
如图是一个单向道路系统。 例 1 ： 如图是一个单向道路系统 。 大批物资集中 在出发地S，要求用车尽快运输到目的地T。 A,B,C,D,E是中间站 是中间站。 A,B,C,D,E是中间站。图中数字为相邻两站间的路 程。
w
12
y
最短路问题（P207） §2 最短路问题（P207）
最短路问题： 最短路问题：
的路L， 寻找网络中从点 v1 到点 vn 的路 ，使 该路上所有弧（或边）的权之和最小。 该路上所有弧（或边）的权之和最小。
要求（ 最短距离（ 要求（1）最短距离（2）最短路线
13
§2 最短路问题 • 求最短路的狄克斯拉算法和福特算法： 求最短路的狄克斯拉算法和福特算法：
8
§1 图与网络的基本概念
v2 e1 v1 e2 e3 v4
10 6 6 10 4 13 12 11 12 14
v5
9
3
v8
5
v3
v6
5 8
v10 v9
10 2
v7
•图 G（V，E）： 图 （ ， ）： •V是顶点集合 是顶点集合,V={vi|i=1,…,n}，E是边的集合 是边的集合,E={ej | j=1,…,m} 是顶点集合 ， 是边的集合 的端点， 的关联边。 对于边 e3 =[v1, v4 ]，v1, v4是e3的端点，e3 是v1, v4的关联边。 ，
3
A C ? D
只经过各桥一 次最后能回到 原地吗？ 原地吗？
B
A C
只经过各桥一 次最后能回到 原地吗？ 原地吗？
D ? B
§1 图与网络的基本概念
最 后 ， 数 学 家 Euler （ 欧 拉 ） 1736年巧妙地给出了这个问题的 在 1736 年巧妙地给出了这个问题的 答案， 并因此奠定了图论的基础， 答案 ， 并因此奠定了图论的基础 ， Euler把 Euler 把 A 、 B 、 C 、 D 四块陆地分别 收缩成四个顶点， 收缩成四个顶点 ， 把桥表示成连接 对应顶点之间的边， 对应顶点之间的边 ， 问题转化为从 任意一点出发， 任意一点出发 ， 能不能经过各边一 次且仅一次， 最后返回该点。 次且仅一次 ， 最后返回该点 。 这就 是著名的Euler问题。 Euler问题 是著名的Euler问题。
6
A D C
B
Euler问题 Euler问题
一笔画 问题
§1 图与网络的基本概念
•图：由若干点以及点间联线构成（P229，230） 图 若干点以及点间联线构成（ ， ） •点：表示某一具体事物 。 点 •点间联线：表示事物之间某种特殊的关系。 点间联线：表示事物之间某种特殊的关系。 点间联线 不带箭头的点间联线。 边：不带箭头的点间联线。 有向边)： 弧(有向边 ：带箭头的点间联线。 有向边 带箭头的点间联线。 •无向图 无向图——由点，边构成（P229） 由点， 无向图 由点 边构成（ ） •有向图 有向图——由点，弧构成。（P230） 由点， 有向图 由点 弧构成。 ） •网络（赋权图）——图中每一条边（弧）[vi ,vj], 网络（ 图中每一条边 网络 赋权图） 图中每一条边（ 有一常数w 与之对应, 称为边[ 上的权. 有一常数 ij与之对应,。wij称为边[vi ,vj]上的权. 常表示距离，费用，时间，容量等） （常表示距离，费用，时间，容量等）（P231） ）
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 14 13 T 7
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
• 用Dijkstra算法不仅能求出从发点到
终点的最短距离，而且可求出从发 终点的最短距离， 点到网络中任一点的最短距离。 点到网络中任一点的最短距离。
• 管理运筹学软件能解决最短路问题
27
§2 最短路问题
最短路问题的应用
电信公司准备在甲、 例 2 电信公司准备在甲 、 乙两地沿路架设一条光 缆线，问如何架设使其光缆线路最短？ 缆线 ，问如何架设使其光缆线路最短 ？下图给出了 甲乙两地间的交通图。 甲乙两地间的交通图。 权数表示两地间公路的长度 V7 （乙地） 乙地） 单位：公里） （单位：公里）
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§1 图与网络的基本概念
v2
e1
v1
e2
e3
e6 e7
v3
e4 e5
v5
e13 e14
e8 e9 e11 e12
e15 v6 e16 e源自文库7
v7 e18
v8
e19
v10
e10
v4
v9
e20
• 链 ： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列； 序列；如： v1 , e1 , v2 , e4 , v5 , e7 , v3 , e9 , v7 , e18 , v9 ； v1 , v9分别为链的起点和终点 分别为链的起点和终点. 11
17
§2 最短路问题
v2 A2 ∞ 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B5 4 ∞ 3 v6
∞ D
1 E ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B5 4 3 v6
∞ D
1 E ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 7
14 ∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
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1 E7 ∞ v5
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∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 14 13 T 7
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§1 图与网络的基本概念
设 G1 = [ V1 , E1 ] , G2 = [ V2 , E2 ] 的子图； 子图： 子图：如果 V2 ⊆ V1 , E2 ⊆ E1 称 G2 是 G1 的子图； 真子图： 的真子图; 真子图：如果 V2 ⊂ V1 , E2 ⊂ E1 称 G2 是 G1 的真子图 生成图： 生成图：如果 V2 = V1 , E2 ⊂ E1 称 G2 是 G1 的生成图 部分图） （部分图）。
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
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∞ T
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Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
§1 图与网络的基本概念
• 有向图：关联边有方向的图。 有向图：关联边有方向的图。 弧：有向图的边 a = ( u , v )，起点 u，终点 v； ， ， ； 的链，且各方向一致， 路：若有从 u 到 w 的链，且各方向一致，则称 的路； 之为从 u 到 w 的路；
u v
x
回路： 回路：起点与终点相同 的路. 的路
1、狄克斯拉（Dijkstra）算法：适用于解决 、狄克斯拉（ ）算法： 所有权数大于等于0的最短路问题 的最短路问题， 所有权数大于等于 的最短路问题 ， 能求出 的最短距离。 起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离。 2、 福特 （ Ford） 算法 ： 适用于有负权系数 、 福特（ ） 算法： 的最短路问题， 的最短路问题，能求出起点 v1 到所有其它点 vj 的最短距离。（略） 的最短距离。
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§2 最短路问题 Dijkstra算法
•求解的过程实际上是一种给点标号的过程。 求解的过程实际上是一种给点标号的过程。 求解的过程实际上是一种给点标号的过程 标号（ 是给点记的一个数） 标号（数，是给点记的一个数） •临时标号（T标号）——从发点到本节点的 临时标号（ 临时标号 标号） 从发点到本节点的 最短距离的上界； 最短距离的上界； •固定标号（P标号）——从发点到本节点的 固定标号（ 固定标号 标号） 从发点到本节点的 最短距离。 最短距离。 某点T标号 某点 标号
运筹学
第十一章 图与网络模型
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第八章 图与网络模型
• 图与网最短路问络的基本概念 • 最小生成树问题 • 最大流问题 • 最小费用流问题
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§1 图与网络的基本概念
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧 哥尼斯堡（现名加里宁格勒） 洲一个城市， 洲一个城市 ， Pregei河把该城分成两部 河把该城分成两部 河中有两个小岛，十八世纪时， 分，河中有两个小岛，十八世纪时，河 两边及小岛之间共有七座桥， 两边及小岛之间共有七座桥，当时人们 提出这样的问题： 提出这样的问题 ： 有没有办法从某处 （ 如 A）出发，经过各桥一次且仅一次 ） 出发， 最后回到原地呢？ 最后回到原地呢？
A 2 S 4 C 5 1 2 B 3 4 4 1 E
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7 D 5 T
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§2 最短路问题
v2 A ∞ 2 0 v1 S 4 C ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B ∞ 4 3 v6
∞ D
1 E ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算：
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 14 13 T 7
v7
由此而得两条从v 的最短路R 由此而得两条从 1到v7的最短路 7* : {v1, v2, v3, v6, v7}与{v1, v2, v3, v5, v6, v7} 与
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
∞ D9
1 E ∞ v5
5 7
∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
发点P标号， 发点P标号， 其余点T 其余点T标号 改为P标号 改为 标号 终点为P 终点为 标号
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§2 最短路问题
如图是一个单向道路系统。 例 1 ： 如图是一个单向道路系统 。 大批物资集中 在出发地S，要求用车尽快运输到目的地T。 A,B,C,D,E是中间站 是中间站。 A,B,C,D,E是中间站。图中数字为相邻两站间的路 程。
w
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y
最短路问题（P207） §2 最短路问题（P207）
最短路问题： 最短路问题：
的路L， 寻找网络中从点 v1 到点 vn 的路 ，使 该路上所有弧（或边）的权之和最小。 该路上所有弧（或边）的权之和最小。
要求（ 最短距离（ 要求（1）最短距离（2）最短路线
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§2 最短路问题 • 求最短路的狄克斯拉算法和福特算法： 求最短路的狄克斯拉算法和福特算法：
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§1 图与网络的基本概念
v2 e1 v1 e2 e3 v4
10 6 6 10 4 13 12 11 12 14
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•图 G（V，E）： 图 （ ， ）： •V是顶点集合 是顶点集合,V={vi|i=1,…,n}，E是边的集合 是边的集合,E={ej | j=1,…,m} 是顶点集合 ， 是边的集合 的端点， 的关联边。 对于边 e3 =[v1, v4 ]，v1, v4是e3的端点，e3 是v1, v4的关联边。 ，
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A C ? D
只经过各桥一 次最后能回到 原地吗？ 原地吗？
B
A C
只经过各桥一 次最后能回到 原地吗？ 原地吗？
D ? B
§1 图与网络的基本概念
最 后 ， 数 学 家 Euler （ 欧 拉 ） 1736年巧妙地给出了这个问题的 在 1736 年巧妙地给出了这个问题的 答案， 并因此奠定了图论的基础， 答案 ， 并因此奠定了图论的基础 ， Euler把 Euler 把 A 、 B 、 C 、 D 四块陆地分别 收缩成四个顶点， 收缩成四个顶点 ， 把桥表示成连接 对应顶点之间的边， 对应顶点之间的边 ， 问题转化为从 任意一点出发， 任意一点出发 ， 能不能经过各边一 次且仅一次， 最后返回该点。 次且仅一次 ， 最后返回该点 。 这就 是著名的Euler问题。 Euler问题 是著名的Euler问题。
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A D C
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Euler问题 Euler问题
一笔画 问题
§1 图与网络的基本概念
•图：由若干点以及点间联线构成（P229，230） 图 若干点以及点间联线构成（ ， ） •点：表示某一具体事物 。 点 •点间联线：表示事物之间某种特殊的关系。 点间联线：表示事物之间某种特殊的关系。 点间联线 不带箭头的点间联线。 边：不带箭头的点间联线。 有向边)： 弧(有向边 ：带箭头的点间联线。 有向边 带箭头的点间联线。 •无向图 无向图——由点，边构成（P229） 由点， 无向图 由点 边构成（ ） •有向图 有向图——由点，弧构成。（P230） 由点， 有向图 由点 弧构成。 ） •网络（赋权图）——图中每一条边（弧）[vi ,vj], 网络（ 图中每一条边 网络 赋权图） 图中每一条边（ 有一常数w 与之对应, 称为边[ 上的权. 有一常数 ij与之对应,。wij称为边[vi ,vj]上的权. 常表示距离，费用，时间，容量等） （常表示距离，费用，时间，容量等）（P231） ）
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
5 14 13 T 7
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Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
• 用Dijkstra算法不仅能求出从发点到
终点的最短距离，而且可求出从发 终点的最短距离， 点到网络中任一点的最短距离。 点到网络中任一点的最短距离。
• 管理运筹学软件能解决最短路问题
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§2 最短路问题
最短路问题的应用
电信公司准备在甲、 例 2 电信公司准备在甲 、 乙两地沿路架设一条光 缆线，问如何架设使其光缆线路最短？ 缆线 ，问如何架设使其光缆线路最短 ？下图给出了 甲乙两地间的交通图。 甲乙两地间的交通图。 权数表示两地间公路的长度 V7 （乙地） 乙地） 单位：公里） （单位：公里）
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§1 图与网络的基本概念
v2
e1
v1
e2
e3
e6 e7
v3
e4 e5
v5
e13 e14
e8 e9 e11 e12
e15 v6 e16 e源自文库7
v7 e18
v8
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• 链 ： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列； 序列；如： v1 , e1 , v2 , e4 , v5 , e7 , v3 , e9 , v7 , e18 , v9 ； v1 , v9分别为链的起点和终点 分别为链的起点和终点. 11
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§2 最短路问题
v2 A2 ∞ 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B5 4 ∞ 3 v6
∞ D
1 E ∞ v5
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∞ T
v7
Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B5 4 3 v6
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1 E ∞ v5
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Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
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Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2
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§2 最短路问题
v2 A2 2 0 v1 S 4 C 4 ∞ v4 5 2 1 4 7 v3 B 4 4 3 v6
8 D9
1 E7 ∞ v5
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Step1：令始点P(v1)=0, 其它点 j) = ∞ ：令始点 其它点T(v Step2: 计算：T(vj) = min{T(vj) , P(vi)+wij} 计算： Step3: 令：P(vj) = min{T(vj)}，返回 ，返回Step2