2019届龙海一中高一年下学期 数学第三次月考试卷
2019年高一(下)月考数学试卷第三次月考数学试卷
2019年高一（下）月考数学试卷第三次月考数学试卷一.选择题：（共有12个小题，每个小题4分，共48分）1. 在程序框图中处理框的功能表示（）A.输入信息B.输出信息C.赋值，计算D.一个算法的起始和结束2. 条件结构不同于顺序结构的特征是含有（）A.处理框B.判断框C.输入，输出框D.起止框3. 下面对算法描述正确的一项是（）A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同，结果必然不同4. 下列给出的输入，输出语句正确的是（）①输入语句“INPUT a；b；c”；②输入语句“INPUT x=3”；③输出语句PRINT“A=4”；④输出语句“PRINT 3∗2”．A.①②B.②③C.③④D.④5. 下列给出的赋值语句中正确的是（）A.3=AB.M=−MC.B=A=2D.x+y=06. 阅读如图程序：如果输入5，则该程序运行结果为（）A.1B.10C.25D.267. 任何一个算法都必须有的基本结构是（）A.顺序结构B.条件结构C.循环结构D.三个都有8. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=−4时的值时，V3的值为()A.−845B.220C.−57D.349. 如果x>0，那么函数y=x+1x的值域是（）A.(−∞, −2]B.[2, +∞)C.(−∞, −2]∪[2, +∞)D.[−2, 2]10. 等差数列{a n}中，a3+a7=15，则a2+a8=()A.10B.15C.12D.811. 已知a=12(16)，b=25(7)，c=33(4)，则a，b，c的大小关系（）A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a12. 利用更相减损术求99，36的最大公约数的操作步骤为(99, 36)→(63, 36)→(27, 36)→(27, 9)→(18, 9)→(9, 9)，那么99，36的最大公约数为（）A.36B.27C.18D.9二、填空题（每小题5分，共计20分）13. 930与868的最大公约数是________．14. 任何一种程序设计语言中都包含五中基本的算法语句，它们分别是________，________，________，________，________．15. 求1×3×5×7×9的算法的第一步是3×5，得15，第二步是将第一步中的运算结果15与7相乘，得105，第三步是________．16. 已知a，b>0且ab=2，则a+b的最________值为________．三、解答题：（共计52分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤17. 已知圆的面积计算公式为S=πr2，任意输入一个r，写出计算圆的面积的算法，并画出程序框图．18. 按要求计算下列问题：（1）如图(1)，输出的结果是________；（2）如图(2)，程序运行后输出的结果为：________．19. 用辗转相除法求最大公约数：（1）91与49（2）319，377，116．20. 按要求计算下列问题：（1）若方程mx2−(1−m)x+m=0有两个实数根，则m的取值范围？（2）${1736_{（8）}}$转换为六进制数．21. 如图程序框图，求输出的结果W参考答案与试题解析一.选择题：（共有12个小题，每个小题4分，共48分）1.【答案】C【考点】程序框图【解析】分析程序框图中各框图的功能，逐一分析后，即可得到要处理数据或计算时要使用的框图．【解答】解：根据框图的功能：处理框的功能是：处理数据，赋值或计算；判断框的功能是：根据条件选择程序执行方向；终端框的功能是：表示程序的开始和结束；输入输出框的功能是：数据的输入输出，故选：C2.【答案】B【考点】顺序结构条件结构【解析】条件结构包括判断框和两条分支，即包含处理框，起止框，输出、输出框；顺序框不包括判断框．【解答】解：条件结构的特征是：包括判断框和两条分支，其中也可以包含处理框，起止框，输出、输出框；顺序结构不包括判断框；∴条件结构不同于顺序结构的特征是含有判断框．故选：B．3.【答案】C【考点】算法的概念算法的设计要求【解析】用算法的定义逐一来分析判断各选项的正确与否．【解答】解：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性算法可以用自然语言、图形语言，程序语言来表示，故A、B不对同一问题可以用不同的算法来描述，但结果一定相同，故D不对．C对．故应选C．4.【答案】D【考点】输入、输出语句【解析】根据输入语句的格式，可以判断(1)、(2)的对错；根据输出语句的格式，可以判断(3)、(4)的对错．【解答】解：①输入语句“INPUT a；b；c”中，变量名之间应该用“，”分隔，而不能用“；”分隔，故①错误；②输入语句“INPUT x=3”中，命令动词INPUT后面应写成“x=”，3，故②错误；③输出语句PRINT“A=4”中，命令动词PRINT后面应写成“A=”，4，故③错误；④输出语句“PRINT 3∗2”，符合规则，④正确．故选：D．5.【答案】B【考点】赋值语句【解析】本题根据赋值语句的定义直接进行判断．【解答】解：根据题意，A：左侧为数字，故不是赋值语句B：赋值语句，把−M的值赋给MC：连等，不是赋值语句D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．6.【答案】B【考点】条件结构【解析】算法的功能是求b={2aa>4a2+1a≤4的值，代入a=5，计算b的值．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求b={2aa>4a2+1a≤4的值，当a=5时，b=10．故选：B．7.【答案】A【考点】顺序结构【解析】根据程序的特点，我们根据程序三种逻辑结构的功能，分析后，即可得到答案．【解答】解：根据算法的特点如果在执行过程中，不需要分类讨论，则不需要有条件结构；如果不需要重复执行某些操作，则不需要循环结构；但任何一个算法都必须有顺序结构故选A8.【答案】C【考点】设计程序框图解决实际问题【解析】首先把一个n次多项式f(x)写成(…（(a[n]x+a[n−1])x+a[n−2]）x+...+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值．【解答】解：∵f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=((3x+5)x+6)x+79)x−8)x+35)x+12，∴v0=a6=3，v1=v0x+a5=3×(−4)+5=−7，v2=v1x+a4=−7×(−4)+6=34，v3=v2x+a3=34×(−4)+79=−57，∴V3的值为−57；故选C．9.【答案】B【考点】函数的值域【解析】因为x>0，1x与x的乘积为定值，所以可以用基本不等式来求解．【解答】解：由题意知x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时“=”成立，故函数y=x+1x的值域是[2, +∞)，故选B．10.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】根据等差数列的性质即可得到结论．【解答】解：在等差数列中，a3+a7=a2+a8，∴a2+a8=a3+a7=15，故选：B11.【答案】C【考点】整除的定义【解析】利用累加权重法，将a，b，c均化为10进制的数，进而可比较大小．【解答】解：a=12(16)=1×16+2=18(10)，b=25(7)=2×7+5=19(10)，c=33(4)=3×4+3=15(10)，故c<a<b，故选：C12.【答案】D【考点】最大公因数【解析】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出99和36的最大公约数．【解答】解：99−36=63，63−36=27，36−27=9，27−9=18，18−9=9．∴99，36的最大公约数为9．故选D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13.【答案】62【考点】用辗转相除计算最大公约数【解析】利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是1，余数是62，用868除以62，得到商是14，没有余数，所以两个数字的最大公约数是62，得到结果．【解答】解：∵930÷868=1...62，868÷62=14，∴930与868的最大公约数是62，故答案为：62．14.【答案】输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句【考点】算法的概念【解析】利用五种基本的算法语句求解．【解答】解：任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句．故答案为：输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句．15.【答案】将第二步中的运算结果105与9相乘，得945【考点】算法的概念【解析】由题意，第三步是将第二步中的运算结果105与9相乘，得945．【解答】解：由题意，第三步是将第二步中的运算结果105与9相乘，得945．故答案为：将第二步中的运算结果105与9相乘，得945．16.【答案】小,2√2【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a，b>0且ab=2，∴a+b≥2√ab=2√2，当且仅当a=b=√2时取等号．∴a+b的最小值为2√2．故答案为：小，2√2．三、解答题：（共计52分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.【答案】解：算法如下：第一步：输入r；第二步：计算S=πr2；第三步：输出s．程序框图如下：【考点】设计程序框图解决实际问题【解析】先写出算法，再由算法写出程序框图．【解答】解：算法如下：第一步：输入r；第二步：计算S=πr2；第三步：输出s．程序框图如下：18.【答案】22；（2）由程序语句知：∵X=−2<0，∴执行X=−2−3=−5，∴输出X−Y=−5+2=−3，−2+5=3．故答案为：−3.3．【考点】程序框图【解析】（1）根据框图的顺序，依次执行语句可得结果；（2）根据选择的条件计算X，Y的值，从而得打印的X−Y．Y−X．【解答】解：（1）由顺序结构的程序框图知：P=2+5=7；m=7+15=22，∴ 输出m =22．（2）由程序语句知：∵ X =−2<0，∴ 执行X =−2−3=−5， ∴ 输出X −Y =−5+2=−3，−2+5=3． 19.【答案】 解：（1）91=49×1+42，49=42×1+7，42=7×6，因此91与49的最大公约数是7．（2）∵ 377=319×1+58，319=58×5+29，58=29×2，∴ 319与377的最大公约数是29． 319=116×2+87，116=87×1+29，87=29×3，∴ 319与116的最大公约数是29． 因此 319，377，116的最大公约数是29． 【考点】用辗转相除计算最大公约数 【解析】利用辗转相除法即可得出． 【解答】 解：（1）91=49×1+42，49=42×1+7，42=7×6，因此91与49的最大公约数是7．（2）∵ 377=319×1+58，319=58×5+29，58=29×2，∴ 319与377的最大公约数是29． 319=116×2+87，116=87×1+29，87=29×3，∴ 319与116的最大公约数是29． 因此 319，377，116的最大公约数是29． 20.【答案】 解：（1）若方程mx 2−(1−m)x +m =0有两个实数根，则有△=(m −1)2−4m ⋅m ≥0， 即3m 2+2m −1≤0，解得−1≤m ≤13，故m 的范围为[−1, 13]．（2）先把${1736_{（8）}}转换为十进制数为{ 1\times 8^{3}+ 7\times 8^{2}+ 3\times 8+ 6\times 8^{0}= 990},再把{990}化为{6}进制数:对{990}逐次除以{6}取余数并把余数倒序排列可得{4330},故{1736_{（8）}}转换为六进制数为{4330}$． 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】（1）根据判别式△=(m −1)2−4m ⋅m ≥0，解一元二次不等式求得m 的范围． （2）先把${1736_{（8）}}$转换为十进制数，再把再把十进制数转化为六进制数． 【解答】 解：（1）若方程mx 2−(1−m)x +m =0有两个实数根，则有△=(m −1)2−4m ⋅m ≥0， 即3m 2+2m −1≤0，解得−1≤m ≤13，故m 的范围为[−1, 13]．（2）先把${1736_{（8）}}转换为十进制数为{ 1\times 8^{3}+ 7\times 8^{2}+ 3\times 8+ 6\times 8^{0}= 990},再把{990}化为{6}进制数:对{990}逐次除以{6}取余数并把余数倒序排列可得{4330},故{1736_{（8）}}转换为六进制数为{4330}$． 21.【答案】 24． 【考点】 程序框图 【解析】首先判断程序框图意图，然后按照程序框图进行执行运算，当满足跳出条件时，输出W 的值． 【解答】解：解：根据程序框图，运行如下： S =1T =3， S =6T =5 S =19此时跳出循环体，W =24．。
2019年高一(下)第三次月考数学试卷(文科)
2019年高一（下）第三次月考数学试卷(文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i32i−1（i为虚数单位）的虚部是（）A.1 5iB.15C.−15i D.−152. 图中阴影部分表示的集合是（）A.B∩(∁U A)B.A∩(∁U B)C.∁U(A∩B)D.∁U(A∪B)3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.4C.8D.164. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A.2.25，2.5B.2.25，2.02C.2，2.5D.2.5，2.255. 给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A.4B.3C.2D.16. 已知M={(x, y)|y−3x−2=3}，N={(x, y)|ax+2y+a=0}且M∩N=⌀，则a=()A.−6或−2B.−6C.2或−6D.−27. 已知p:∃x∈R，mx2+1≤0，q:∀x∈R，x2+mx+1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（）A.m≥2B.m≤−2C.m≤−2或m≥2D.−2≤m≤28. 下面使用的类比推理中恰当的是（）A.“若m⋅2=n⋅2，则m=n”类比得出“若m⋅0=n⋅0，则m=n”B.“(a+b)c=ac+bc”类比得出“(a⋅b)c=ac⋅bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比得出“a+bc=ac+bc(c≠0)”D.“(pq)n=p n⋅q n”类比得出“(p+q)n=p n+q n”9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对每小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y）A.点在直线左侧B.点在直线右侧C.点在直线上D.无法确定10. 设a>b>c，n∈N，且1a−b+1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值是（）A.2B.3C.4D.6二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11. 已知f(x)=x2+2x⋅f′(1)，则f′(0)=________．12. 不等式3≤|5−2x|<9的解集为________．13. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⋅1⋅3•…•(2n−1)(n∈N)时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是________．14. 函数y=3√x−5+4√6−x的最大值________．15. 已知点A(0, 1)和点B(−1, −5)在曲线C:y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数）上，若曲线C在点A、B处的切线互相平行，则a−b+d=________．16. 已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为________．17. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=________，若a n=145，则n=________．三．解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共65分）18. 已知p:|x|≤2−m；q:x2−2x+1−m2≤0(m>0)，若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．19. 设全集U=R，M={m|方程mx2−x−1=0有实数根}，N={n|方程x2−x+n=0有实数根}，求(∁U M)∩N．20. 已知两正数x，y满足x+y=1，求z=(x+1x )(y+1y)的最小值．21. 已知函数f(x)=x2−2ax+5．(a>1)（1）若f(x)的定义域和值域均是[1, a]，求实数a的值；（2）若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，且对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，求实数a的取值范围．22. 已知f(x)=2ax−bx +lnx在x=1与x=12处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）设函数g(x)=x2−2mx+m，若对任意的x1∈[12,2]，总存在x2∈[12,2]，使得g(x1)≥f(x2)−lnx2，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数z ，即可得复数z 的虚部． 【解答】解：i 32i−1=−i(−2i−1)(2i−1)(−2i−1)=−2+i 5=−25+15i故复数i 32i−1（i 为虚数单位）的虚部是15故选B 2.【答案】 A【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B 中去掉A 那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案． 【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B 中去A 那部分所得， 即阴影部分的元素属于B 且不属于A ， 即B ∩(C U A) 故选：A 3.【答案】 C【考点】 循环结构 【解析】列出循环过程中S 与K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：第1次判断后S =1，k =1， 第2次判断后S =2，k =2， 第3次判断后S =8，k =3，第4次判断后3<3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数 【解析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2, 2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2, 2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴ 众数为2.25．第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5， 第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8， 第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15， 第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22， 第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25， 前四组的频数之和为5+8+15+22=50，∴ 中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点， 故2.02比较适合， 故选：B ． 5.【答案】 C【考点】 命题的否定正弦函数的单调性 【解析】①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中有一个为假命题，不一定p 、q 均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC 中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断． 【解答】解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中有一个为假命题，不一定p 、q 均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1<1；故错；④在△ABC 中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．故正确． 其中不正确 的命题的个数是：2． 故选C ． 6.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】集合M 表示y −3=3(x −2)上除去(2, 3)的点集，集合N 表示恒过(−1, 0)的直线方程，根据两集合的交集为空集，求出a 的值即可．【解答】解：集合M表示y−3=3(x−2)，除去(2, 3)的直线上的点集；集合N中的方程变形得：a(x+1)+2y=0，表示恒过(−1, 0)的直线方程，∵M∩N=⌀，∴若两直线不平行，则有直线ax+2y+a=0过(2, 3)，将x=2，y=3代入直线方程得：2a+6+a=0，即a=−2；若两直线平行，则有−a2=3，即a=−6，综上，a=−6或−2．故选：A．7.【答案】A【考点】复合命题的真假【解析】由题意，可先解出两命题都是真命题时的参数m的取值范围，再由pVq为假命题，得出两命题都是假命题，求出两命题都是假命题的参数m的取值范围，它们的公共部分就是所求【解答】解：由p:∃x∈R，mx2+1≤0，可得m<0，由q:∀x∈R，x2+mx+1>0，可得△=m2−4<0，解得−2<m<2因为pVq为假命题，所以p与q都是假命题若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤−2或m≥2故符合条件的实数m的取值范围为m≥2故选A8.【答案】C【考点】类比推理【解析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质【解答】解：对于A：“若m⋅2=n⋅2，则m=n”类推出“若m⋅0=n⋅0，则m=n”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a⋅b)c=ac⋅bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“(a+b)c=ac+bc”类推出“a+bc =ac+bc(c≠0)”是正确的，对于D“(pq)n=p n⋅q n”类推出“(p+q)n=p n+q n”是错误的，如(1+1)2=12+12故选：C9.【答案】B【考点】线性回归方程【解析】由样本数据可得，x，y利用公式，求出b，a，根据点(a, b)满足54.2+18×3.1>100，即可确定点(a, b)与直线x+18y=100的位置关系．【解答】解：由题意，x=15(15+16+18+19+22)=18，y=15(102+98+115+115+120)=110，∑x i5i=1y i=9993，5xy=9900，∑x i25i=1=1650，n(x)2=5⋅324=1620，∴b=9993−99001650−1620=3.1，∴a=110−3.1×18=54.2，∵54.2+18×3.1>100，∴点(a, b)在直线右侧，故选：B．10.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】分离参数n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值【解答】解：∵1a−b+1b−c≥na−c恒成立∴n≤a−ca−b+a−cb−c恒成立∴n≤a−ca−b+a−cb−c的最小值∵a−ca−b+a−cb−c=a−b+b−ca−b+a−b+b−cb−c=2+b−ca−b+a−bb−c≥4得n≤4．故选C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11.【答案】−4【考点】导数的运算法则【解析】要求某点处函数的导数，应先求函数解析式f(x)，本题求函数解析式f(x)关键求出未知f′(1)．【解答】解：f′(x)=2x+2f′(1)⇒f′(1)=2+2f′(1)，∴f′(1)=−2，有f(x)=x2−4x，f′(x)=2x−4，∴f′(0)=−4．12.【答案】(−2, 1]∪[4, 7)【考点】绝对值不等式的解法【解析】不等式即：3≤2x−5<9①，或−9<2x−5≤−3②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式3≤|5−2x|<9，可得不等式3≤2x−5<9①，或−9<2x−5≤−3②．解①求得4≤x<7，解②求得−2<x≤1，综上可得，不等式的解集为(−2, 1]∪[4, 7)，故答案为：(−2, 1]∪[4, 7)．13.【答案】2(2k+1)【考点】数学归纳法【解析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．【解答】解：当n=k时，左边等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k)，当n=k+1时，左边等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1)，故答案为2(2k+1)．14.【答案】5【考点】函数的最值及其几何意义【解析】因为(√x−5)2+(√6−x)2=1，所以可以考虑用三角换元来求最值，设√x−5，√6−x一个为某个角的正弦，则另一个必为同角的余弦，再利用辅助角公式，化一角一函数，最后利用正弦函数的有界性即可求出y 的最大值．【解答】解：∵(√x−5)2+(√6−x)2=1，∴可设√x−5=sinα，则√6−x=cosα，(α∈[0, π2]y=3√x−5+4√6−x变形为y=3sinα+4cosα=5sin(α+⌀)，(tan⌀=43)当α+⌀=π2时，y有最大值5故答案为515.【答案】7【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′(1)=f′(−1)，再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可得出结论．【解答】解：设f(x)=ax3+bx2+d，∵f′(x)=3ax2+2bx，∴f′(0)=0，f′(−1)=3a−2b．根据题意得0=3a−2b，∴b=32a．又点A(0, 1)和点B(−1, −5)在曲线C上，∴{d=1−a+b+d=−5，解得：{a=−12d=1，∴b=−18∴a−b+d=7．故答案为：7．16.【答案】(−∞, 0)∪(12, 2)【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】由函数y=f(x)(x∈R)的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式xf′(x)<0的解集．【解答】解：由f(x)图象特征可得，f′(x)在(−∞, 12)∪(2, +∞)上大于0，在(12, 2)上小于0，∴xf′(x)<0⇔{x<0f′(x)>0或{x>0f′(x)<0⇔{x<0x<12或x>2或{x>012<x<2⇔x<0或12<x<2，所以xf′(x)<0的解集为(−∞, 0)∪(12, 2)．故答案为：(−∞, 0)∪(12, 2)．17.【答案】35,10【考点】归纳推理【解析】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．【解答】解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+...+3(n −1)+1=3n(n−1)2+n 个实心点，故当n =5时，3n(n−1)2+n =3×5×42+5=35个实心点．若a n =145，即3n(n−1)2+n =145，解得n =10故答案为：35，10．三．解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共65分） 18.【答案】解：∵ ￢p 是￢q 的必要非充分条件，∴ q 是p 的必要非充分条件，即p 是q 的充分不必要条件． 由x 2−2x +1−m 2≤0，得1−m ≤x ≤1+m ，m >0． 若m >2，则不等式|x|≤2−m 的解集为空集，满足条件．若0<m ≤2，则不等式|x|≤2−m 的解为m −2≤x ≤2−m ， 要使p 是q 的充分不必要条件，则{1−m ≤m −2,2−m ≤1+m,解得32≤m ≤2， 综上m ≥32．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】求出不等式对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：∵ ￢p 是￢q 的必要非充分条件，∴ q 是p 的必要非充分条件，即p 是q 的充分不必要条件． 由x 2−2x +1−m 2≤0，得1−m ≤x ≤1+m ，m >0． 若m >2，则不等式|x|≤2−m 的解集为空集，满足条件．若0<m ≤2，则不等式|x|≤2−m 的解为m −2≤x ≤2−m ， 要使p 是q 的充分不必要条件，则{1−m ≤m −2,2−m ≤1+m,解得32≤m ≤2， 综上m ≥32．19.【答案】解：对于集合M ，当m =0时，x =−1，即0∈M ； 当m ≠0时，△=1+4m ≥0，即m ≥−14，且m ≠0∴ m ≥−14，∴ C U M ={m|m <−14}而对于集合N ，△=1−4n ≥0，即n ≤14，∴ N ={n|n ≤14} ∴ (C U M)∩N ={x|x <−14}．【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】对于集合M 分m =0和m ≠0两种情况求解，当m ≠0时利用判别式大于等于零求出m 的范围，再根据补集的运算求出∁U M ；同理由对应的判别式大于等于零求出n 的范围，由交集的定义求出(∁U M)∩N ． 【解答】解：对于集合M ，当m =0时，x =−1，即0∈M ； 当m ≠0时，△=1+4m ≥0，即m ≥−14，且m ≠0 ∴ m ≥−14，∴ C U M ={m|m <−14}而对于集合N ，△=1−4n ≥0，即n ≤14，∴ N ={n|n ≤14} ∴ (C U M)∩N ={x|x <−14}． 20. 【答案】解：z =(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +yx +xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy −2，令t =xy ，则0<t =xy ≤(x+y 2)2=14，（当且仅当x =y 时取等号）． 由f(t)=t +2t 在(0, 14]上单调递减，故当t =14时，f(t)=t +2t 有最小值334， 从而当且仅当x =y =12时，z 有最小值为334−2=254．【考点】基本不等式 【解析】将z 进行变形构造出适合基本不等式适用的结构，再利用基本不等式求最值． 【解答】解：z =(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +yx +xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy−2，令t =xy ，则0<t =xy ≤(x+y 2)2=14，（当且仅当x =y 时取等号）．由f(t)=t +2t 在(0, 14]上单调递减，故当t =14时，f(t)=t +2t 有最小值334， 从而当且仅当x =y =12时，z 有最小值为334−2=254．21. 【答案】解：（1）∵函数f(x)=x2−2ax+5(a>1)，∴f(x)开口向上，对称轴为x=a>1，…∴f(x)在[1, a]是单调减函数，…∴f(x)的最大值为f(1)=6−2a；f(x)的最小值为f(a)=5−a2…∴6−2a=a，且5−a2=1∴a=2…（2）函数f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2．开口向上，对称轴为x=a，∵f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1>3，f(x)在(1, a)上为减函数，在(a, a+1)上为增函数，f(x)在x=a处取得最小值，f(x)min=f(a)=5−a2，f(x)在x=1处取得最大值，f(x)max=f(1)=6−2a，∴5−a2≤f(x)≤6−2a，∵对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，∴{6−2a≤45−a2≥−4解得1≤a≤3；综上：2≤a≤3；【考点】函数恒成立问题函数的定义域及其求法函数的值域【解析】（1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f(x)的定义域和值域均是[1, a]，建立方程，即可求实数a的值．（2）可以根据函数f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2．开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出[1, a+1]上的最值问题，对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f(x)=x2−2ax+5(a>1)，∴f(x)开口向上，对称轴为x=a>1，…∴f(x)在[1, a]是单调减函数，…∴f(x)的最大值为f(1)=6−2a；f(x)的最小值为f(a)=5−a2…∴6−2a=a，且5−a2=1∴a=2…（2）函数f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2．开口向上，对称轴为x=a，∵f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1>3，f(x)在(1, a)上为减函数，在(a, a+1)上为增函数，f(x)在x=a处取得最小值，f(x)min=f(a)=5−a2，f(x)在x=1处取得最大值，f(x)max=f(1)=6−2a，∴5−a2≤f(x)≤6−2a，∵对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，∴{6−2a≤45−a2≥−4解得1≤a≤3；综上：2≤a≤3；22.【答案】解：（1）∵f(x)=2ax−bx +lnx,∴f′(x)=2a+bx2+1x，∵f(x)=2ax−bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值，∴f′(1)=0，f′(12)=0，∴{2a+b+1=02a+4b+2=0，解得a=b=−13，当a=b=−13时，f′(x)=−23−13x2+1x=−2(x−1)(x−12)3x2，所以函数f(x)在x=1与x=12处都取得极值．∴a=b=−13；（2）由（1）知：函数y=f(x)−lnx=−23x+13x在[12,2]上递减，∴[f(x)−g(x)]min=−23×2+13×2=−76，又函数g(x)=x2−2mx+m图象的对称轴是x=m，①当m<12时：g(x)min=g(12)=14，依题意有14≥−76成立，∴m<12；②当12≤m≤2时：g(x)min=g(m)=m−m2，∴m−m2≥−76，即6m2−6m−7≤0，解得：3−√516≤m≤3+√516，又∵12≤m≤2，∴12≤m≤3+√516；③当m>2时，g(x)min=g(2)=4−3m，∴4−3m≥−76，解得m≤3118，又m>2，∴m∈ϕ；综上：m≤3+√516，所以，实数m的取值范围为(−∞,3+√516]．【考点】利用导数研究函数的最值函数在某点取得极值的条件【解析】（1）求导数f′(x)，由f(x)在x=1与x=12处都取得极值，得f′(1)=0，f′(12)=0，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（2）对任意的x1∈[12,2]，总存在x2∈[12,2]，使得g(x1)≥f(x2)−lnx2，等价于g(x)min≥[f(x)−lnx]min，利用函数单调性易求[f(x)−lnx]min，按照对称轴在区间[12, 2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g(x)min，然后解不等式g(x)min≥[f(x)−lnx]min可得答案；【解答】解：（1）∵f(x)=2ax−bx+lnx,∴f′(x)=2a+bx2+1x，∵f(x)=2ax−bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值，∴ f ′(1)=0，f′(12)=0，∴ {2a +b +1=02a +4b +2=0，解得a =b =−13，当a =b =−13时，f′(x)=−23−13x 2+1x=−2(x−1)(x−12)3x 2，所以函数f(x)在x =1与x =12处都取得极值． ∴ a =b =−13；（2）由（1）知：函数y =f(x)−lnx =−23x +13x 在[12,2]上递减， ∴ [f(x)−g(x)]min =−23×2+13×2=−76， 又函数g(x)=x 2−2mx +m 图象的对称轴是x =m ，①当m <12时：g(x)min =g(12)=14，依题意有 14≥−76成立，∴ m <12； ②当12≤m ≤2时：g(x)min =g(m)=m −m 2，∴ m −m 2≥−76，即6m 2−6m −7≤0，解得：3−√516≤m ≤3+√516，又∵ 12≤m ≤2，∴ 12≤m ≤3+√516；③当m >2时，g(x)min =g(2)=4−3m ，∴ 4−3m ≥−76，解得m ≤3118， 又 m >2，∴ m ∈ϕ； 综上：m ≤3+√516，所以，实数m 的取值范围为(−∞,3+√516]．。
2019年高一(下)第三次月考数学试卷
2019年高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题1. 下列程序框通常用来表示赋值、计算功能的是（ ） A.. B.C..D..2. 若a <b <0下列不等式中不成立的是的是（ ）A..|a|>|b|B.1a−b >1a C.1a >1b D.a 2>b23. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A =π3，a =√3，b =1，则c =( ) A.1 B.2C.√3−1D.√34. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6，则数列{1a n}的前5项和为（ ）A.158或5B.3116或5C.3116D.1585. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A.4B.5C.6D.76. 等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4=( ) A.28 B.32 C.35 D.497. 不等式x+5(x−1)2≥2的解集是( ) A.[−3,12] B.[−12,3] C.[12,1)∪(1,3] D.[−12,1)∪(1,3]8. 设a >0，b >0．若√3是3a 与3b 的等比中项，则1a +1b 的最小值为（ ）A.8B.4C.1D.14二、填空题9. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则cosC 的值为________．10. 不等式|2x −1|≥3的解集是________．11. 设变量x ，y 满足{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2，则目标函数z =2x +4y 最大值为________．12. 设集合A ={x|x 2<9}，B ={x|1x ≤1}，则A ∩B =________．13. 阅读程序框图，若输入a =1，b =1，则输出的结果是________．14. 数列{a n }，a 1=1，a n =2n +a n−1(n ≥2)，a n =________．15. 在△ABC 中，若a ，b ，c 成等比数列且c =2a ，则cosB =________．16. 已知数列：1+1，2+12，3+14，…，n +12n−1，…．那么它的前10项和为________． 三、解答题17. 已知x ，y ∈R +，比较1x +1y 与yx 2+xy 2的大小．18. 解关于x 的不等式 （1）3−2x −x 2≤0；（2）x(x −1)2(x −2)≥0；（3）x 2−ax −2a 2<0；（4）已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|2<x <3}，求不等式cx 2−bx +a >0的解集；（5）已知x <32，求函数y =2x +12x−3的最大值，并求出相应的x 值．19. 一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 墙长18m ，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？20. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n ⋅3n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．21. △ABC 中，a 、b 、c 是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cosB cosC =−b2a+c（1）求∠B 的大小；（2）若a =4，S =5√3，求b 的值．22. 数列{a n }满足a 1=1，12an+1=12a n+1(n ∈N ∗)．（1）求证{1a n}是等差数列；（2）若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1>1633，求n 的取值范围．23. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n =2a n −2n(n ∈N ∗) （1）求证：{a n +2}是等比数列（2）求数列{a n }的通项a n（3）若数列{b n }的满足b n =log 2(a n +2)，T n 为数列{b nan+2}的前n 项和，求证12≤T n ≤32．参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】C【考点】程序框图【解析】逐一分析程序框图的功能，可得答案．【解答】解：A为起止框：表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的．B为判断框：判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”．C为处理框：赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内．D为输入、输出框：表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．∴在程序框图中，具有赋值、计算功能的基本程序框是处理框（执行框）．故选C．2.【答案】B【考点】不等式的概念【解析】由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a．即可判断出．【解答】解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．3.【答案】B【考点】正弦定理的应用余弦定理的应用【解析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围．【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2−2bccosA得：3=1+c2−2c×1×cosπ3=1+c2−c，∴c2−c−2=0，∴c=2或−1（舍）．解法二：（正弦定理）由asinA=bsinB，得：√3sinπ3=1sinB，∴sinB=12，∵b<a，∴B=π6，从而C=π2，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．4.【答案】C【考点】等比数列的前n项和等比数列的性质【解析】利用等比数列求和公式代入9S3=S6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列{1an}的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以9(1−q3)1−q=1−q61−q⇒1+q3=9⇒q=2，所以{1an}是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T5=1−(12)51−12=3116．故选C.5.【答案】A【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，6.【答案】A【考点】等比数列的性质 【解析】利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得 7，S 4−7，91−S 4 成等比数列，故有(S 4−7)2=7(91−S 4)，由此求得S 4的值． 【解答】解：∵ 正项等比数列{a n }中，若S 2=7，S 6=91，由于每相邻两项的和也成等比数列， ∴ S 2、S 4−S 2、S 6−S 4 成等比数列，即 7，S 4−7，91−S 4 成等比数列． ∴ (S 4−7)2=7(91−S 4)，解得 S 4=28， 故选：A ． 7.【答案】 D【考点】其他不等式的解法 【解析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解． 【解答】解：由不等式x+5(x−1)2≥2得x+5(x−1)2−2≥0， 变形得−2x 2+5x+3(x−1)2≥0，即{(x +12)(x −3)≤0,x −1≠0， 解得 [−12,1)∪(1,3]. 故选D . 8.【答案】 B【考点】 基本不等式 等比数列的性质 【解析】由题设条件中的等比关系得出a +b =1，代入1a +1b 中，将其变为2+ba +ab ，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a ⋅3b =3，所以a +b =1，1a+1b =(a +b)(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√ba ⋅ab =4， 当且仅当ba =ab 即a =b =12时“=”成立， 故选择B ． 二、填空题 9. 【答案】−14【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】由正弦定理化简已知的比例式，得到a ，b 及c 的比值，根据比例设出a ，b 及c ，再利用余弦定理表示出cosC ，将表示出的三边长代入，即可求出cosC 的值． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4， ∴ 根据正弦定理得：a:b:c =3:2:4， 设a =3k ，b =2k ，c =4k ， 则由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=9k 2+4k 2−16k 212k 2=−14．故答案为：−14 10.【答案】(−∞, −2]∪[3, +∞) 【考点】绝对值不等式的解法 【解析】利用绝对值不等式的解法可知，|2x −1|≥3⇔2x −1≥3或2x −1≤−3，从而可得答案． 【解答】解：∵ |2x −1|≥3，∴ 2x −1≥3或2x −1≤−3， 解得x ≥3或x ≤−2，∴ 不等式|2x −1|≥3的解集是：(−∞, −2]∪[3, +∞)． 故答案为：(−∞, −2]∪[3, +∞)． 11.【答案】 13【考点】 简单线性规划 【解析】先画出约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z =2x +4y 的最大值． 【解答】解：由约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A(1, 2)，B(2, 2)，C(32, 52) 将三个代入得z 的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1312.【答案】{x|−3<x<0或1≤x<3}【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2<9}={x|−3<x<3}，B={x|1x≤1}={x|x<0或x≥1}，则A∩B={x|−3<x<0或1≤x<3}，故答案为：{x|−3<x<0或1≤x<3}．13.【答案】2【考点】程序框图【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是当a>1时计算并输出b的值．【解答】解：当a=1时，满足a≤1，执行循环体，b=2b=2，a=a+1=2此时a=2，不满足a≤1，退出循环体，输出b=2，故答案为：2．14.【答案】2n+1−3【考点】数列的概念及简单表示法【解析】根据题意，由数列{a n}的递推公式，利用累加法，结合等比数列的前n项和，求出{a n}的通项公式．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n=2n+a n−1(n≥2)，∴a n−a n−1=2n，∴a n−1−a n−2=2n−1…a2−a1=22∴a n−a1=22+...+2n−1+2n∴a n=1+(22+23+...+2n)=1+4(1−2n−1)1−2=2n+1−3．故答案为：2n+1−3．15.【答案】34【考点】余弦定理等比数列的性质【解析】由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将c=2a代入，开方用a表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b和c代入，整理后即可得到cosB的值．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又c=2a，∴b2=2a2，即b=√2a，则cosB=a2+c2−b22ac=a2+(2a)2−(√2a)22a⋅2a=34．故答案为：3416.【答案】57−129【考点】数列的求和【解析】利用分组求和法求解．【解答】解：∵数列：1+1，2+12，3+14，…，n+12n−1，…，它的前10项和S10=(1+2+3+...+10)+(1+12+14+⋯+129)=10(1+10)2+1−12101−12=57−129．故答案为：57−129．三、解答题17.【答案】解：∵x，y∈R+，∴1x+1y−(yx2+xy2)=x−yx2+y−xy2=−(x−y)2(x+y)x2y2≤0，当且仅当x=y时取等号．∴1x+1y≤yx2+xy2．【考点】利用不等式比较两数大小【解析】利用“作差法”，利用实数的性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+，∴1x +1y−(yx2+xy2)=x−yx2+y−xy2=−(x−y)2(x+y)x2y2≤0，当且仅当x=y时取等号．∴1x +1y≤yx2+xy2．18.【答案】解：（1）3−2x−x2≤0化为x2+2x−3≥0，解得x≤−3或x≥1，其解集为{x|x≤−3或x≥1}；（2）x(x−1)2(x−2)≥0，当x=1时，满足不等式；当x≠1时，化为x(x−2)≥0，解得x≥2或x≤0．综上可得不等式的解集为{x|x≥2或x≤0, 或x=1}．（3）x2−ax−2a2<0化为(x−2a)(x+a)<0，当a>0时，不等式的解集为{x|−a<x<2a}；当a=0时，不等式的解集为⌀；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<−a}．（4）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，∴2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0．∴2+3=−ba ，2×3=ca，即ba=−5，ca=6．∴不等式cx2−bx+a>0和ca x2−bax+1<0，即6x2+5x+1<0，解得−12<x<−13．∴不等式的解集为{x|−12<x<−13}．（5）∵x<32，∴3−2x>0．∴函数y=2x+12x−3=−(3−2x+13−2x)+3≤−2√(3−2x)⋅13−2x+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=2x+12x−3的最大值为1，此时x=1．【考点】一元二次不等式的解法【解析】（1）3−2x−x2≤0化为x2+2x−3≥0，利用一元二次不等式的解法即可得出；（2）x(x−1)2(x−2)≥0，当x=1时，满足不等式；当x≠1时，化为x(x−2)≥0，解出即可；（3）x2−ax−2a2<0化为(x−2a)(x+a)<0，对a分a>0，a=0，a<0讨论即可解出；（4）不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，可得2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a< 0．利用一元二次方程的根与系数的关系即可解出．（5）由x<32，可得3−2x>0．变形为函数y=2x+12x−3=−(3−2x+13−2x)+3，利用基本不等式即可解出．【解答】解：（1）3−2x−x2≤0化为x2+2x−3≥0，解得x≤−3或x≥1，其解集为{x|x≤−3或x≥1}；（2）x(x−1)2(x−2)≥0，当x=1时，满足不等式；当x≠1时，化为x(x−2)≥0，解得x≥2或x≤0．综上可得不等式的解集为{x|x≥2或x≤0, 或x=1}．（3）x2−ax−2a2<0化为(x−2a)(x+a)<0，当a>0时，不等式的解集为{x|−a<x<2a}；当a=0时，不等式的解集为⌀；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<−a}．（4）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，∴2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0．∴2+3=−ba，2×3=ca，即ba=−5，ca=6．∴不等式cx2−bx+a>0和cax2−bax+1<0，即6x2+5x+1<0，解得−12<x<−13．∴不等式的解集为{x|−12<x<−13}．（5）∵x<32，∴3−2x>0．∴函数y=2x+12x−3=−(3−2x+13−2x)+3≤−2√(3−2x)⋅13−2x+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=2x+12x−3的最大值为1，此时x=1．19.【答案】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，根据题意得：S=x(30−2x)=−2x2+30x=−2(x−7.5)2+2252，∵{x>00<30−2x≤18，∴6≤x<15∴当x=7.5时，S最大，即长15m，宽7.5m时，面积最大为2252m2【考点】函数最值的应用【解析】设矩形的宽为xm，可得面积表达式，求得x的范围，利用配方法，即可求得结论．【解答】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，根据题意得：S=x(30−2x)=−2x2+30x=−2(x−7.5)2+2252，∵{x>00<30−2x≤18，∴6≤x<15∴当x=7.5时，S最大，即长15m，宽7.5m时，面积最大为2252m220.【答案】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴a n=2+(n−1)×2=2n．（2）∵a n=2n，∴ b n =a n ⋅3n =2n ⋅3n ，∴ S n =2×3+4×32+6×33+...+2(n −1)×3n−1+2n ×3n ，① 3S n =2×32+4×33+6×34+...+2(n −1)×3n +2n ×3n+1，② ①-②得−2S n =6+2×32+2×33+2×34+...+2×3n −2n ×3n+1 =2×3(1−3n )1−3−2n ×3n+1=3n+1−2n ×3n+1−3 =(1−2n)×3n+1−3 ∴ S n =2n−12×3n+1+32．【考点】 数列的求和等差数列的通项公式 【解析】（1）由数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12，利用等差数列的通项公式先求出d =2，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由a n =2n ，知b n =a n ⋅3n =2n ⋅3n ，所以S n =2×3+4×32+6×33+...+2(n −1)×3n−1+2n ×3n ，再由错位相减法能够求出数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】 解：（1）∵ 数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12， ∴ 2+2+d +2+2d =12， 解得d =2，∴ a n =2+(n −1)×2=2n ． （2）∵ a n =2n ，∴ b n =a n ⋅3n =2n ⋅3n ，∴ S n =2×3+4×32+6×33+...+2(n −1)×3n−1+2n ×3n ，① 3S n =2×32+4×33+6×34+...+2(n −1)×3n +2n ×3n+1，② ①-②得−2S n =6+2×32+2×33+2×34+...+2×3n −2n ×3n+1 =2×3(1−3n )1−3−2n ×3n+1=3n+1−2n ×3n+1−3 =(1−2n)×3n+1−3 ∴ S n =2n−12×3n+1+32．21.【答案】解：（1）由正弦定理得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 代入已知的等式得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC ，化简得：2sinAcosB +sinCcosB +cosCsinB=2sinAcosB +sin(C +B)=2sinAcosB +sinA =sinA(2cosB +1)=0， 又A 为三角形的内角，得出sinA ≠0， ∴ 2cosB +1=0，即cosB =−12，∵ B 为三角形的内角，∴ ∠B =2π3；（2）∵ a =4，sinB =√32，S =5√3，∴ S =12acsinB =12×4c ×√32=5√3，解得c =5，又cosB =−12，a =4，根据余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =16+25+20=61， 解得b =√61． 【考点】 正弦定理 【解析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA ，可得sinA 与1+2sinB 至少有一个为0，又A 为三角形的内角，故sinA 不可能为0，进而求出sinB 的值，由B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由第一问求出的B 的度数求出sinB 和cosB 的值，再由a 的值及S 的值，代入三角形的面积公式求出c 的值，然后再由cosB 的值，以及a 与c 的值，利用余弦定理即可求出b 的值． 【解答】解：（1）由正弦定理得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 代入已知的等式得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC ，化简得：2sinAcosB +sinCcosB +cosCsinB=2sinAcosB +sin(C +B)=2sinAcosB +sinA =sinA(2cosB +1)=0， 又A 为三角形的内角，得出sinA ≠0， ∴ 2cosB +1=0，即cosB =−12， ∵ B 为三角形的内角，∴ ∠B =2π3；（2）∵ a =4，sinB =√32，S =5√3，∴ S =12acsinB =12×4c ×√32=5√3，解得c =5，又cosB =−12，a =4，根据余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =16+25+20=61， 解得b =√61． 22.【答案】 解：（1）由12an+1=12a n+1可得：1an+1=1a n+2所以数列{1a n}是等差数列，首项1a 1=1，公差d =2∴ 1a n=1a 1+(n −1)d =2n −1∴ a n =12n−1（2）∵ a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴ a 1a 2+a 2a 3++a n a n+1=12(11−13+13−15++12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1 ∴ n 2n+1>1633解得n >16 【考点】数列与不等式的综合 数列递推式 【解析】 （1）由12an+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，从而可证；（2）由（1）知a n =12n−1，从而有a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，因此可化简为n2n+1>1633，故问题得解．【解答】 解：（1）由12an+1=12a n+1可得：1an+1=1a n+2所以数列{1a n}是等差数列，首项1a 1=1，公差d =2∴ 1a n=1a 1+(n −1)d =2n −1 ∴ a n =12n−1（2）∵ a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴ a 1a 2+a 2a 3++a n a n+1=12(11−13+13−15++12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1 ∴ n 2n+1>1633解得n >1623.【答案】（1）证明：当n ∈N ∗时，S n =2a n −2n ， 则当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2(n −1) 两式相减得a n =2a n −2a n−1−2， 即a n =2a n−1+2，∴ a n +2=2(a n−1+2)， ∴ a n +2an−1+2=2， 当n =1时，S 1=2a 1−2，则a 1=2，∴ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列．（2）解：∵ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列， ∴ a n +2=4×2n−1， ∴ a n =2n+1−2．（3）证明：b n =log 2(a n +2)=log 22n+1=n +1， ∴ b nan+2=n+12n+1， 则T n =222+323+⋯+n+12n+1，①12T n =223+324+⋯+n 2n+1+n+12n+2，②①-②，得：12T n =222+123+124+⋯+12n+1−n+12n+2 =12+18(1−12n−1)1−12−n +12n+2=12+14−12n+1−n +12n+2 =34−n+32n+2，∴ T n =32−n+32n+1．当n ≥2时，T n −T n−1=−n+12n+1+n+22n =n+12n+1>0，∴ {T n }为递增数列，∴ T n ≥T 1=12， 又∵ n+22n+1>0，∴ T n =32−n+32n+1<32． ∴ 12≤T n <32．【考点】 数列的求和 【解析】（1）由已知条件推导出a n =2a n −2a n−1−2，所以a n +2=2(a n−1+2)，由此能证明{a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列．（2）{a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列{a n }的通项a n ． （3）由b nan+2=n+12n+1，由此利用错位相减法能求出T n =32−n+32n+1．由此能证明12≤T n <32． 【解答】（1）证明：当n ∈N ∗时，S n =2a n −2n ， 则当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2(n −1) 两式相减得a n =2a n −2a n−1−2， 即a n =2a n−1+2，∴ a n +2=2(a n−1+2)， ∴ a n +2an−1+2=2，当n =1时，S 1=2a 1−2，则a 1=2，∴ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列．（2）解：∵ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列， ∴ a n +2=4×2n−1， ∴ a n =2n+1−2．（3）证明：b n =log 2(a n +2)=log 22n+1=n +1， ∴ b nan+2=n+12n+1，则T n=222+323+⋯+n+12n+1，①1 2T n=223+324+⋯+n2n+1+n+12n+2，②①-②，得：12T n=222+123+124+⋯+12n+1−n+12n+2=12+18(1−12n−1)1−12−n+12n+2=12+14−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2，∴T n=32−n+32n+1．当n≥2时，T n−T n−1=−n+12n+1+n+22n=n+12n+1>0，∴{T n}为递增数列，∴T n≥T1=12，又∵n+22n+1>0，∴T n=32−n+32n+1<32．∴12≤T n<32．。
2019年福建省漳州市龙海实验中学高一数学文月考试题含解析
2019年福建省漳州市龙海实验中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在过点C做射线交斜边AB于P,则CP<CA的概率是________.参考答案：略2. 已知等差数列中，，则的值是( )．A. 15B. 30C.31 D. 64参考答案：A3. 若角α的终边与单位圆的交点为，则tanα=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】x=，y=﹣，根据任意角的三角函数的定义可得结论．【解答】解：由题意，x=，y=﹣，tanα==﹣．故选B．4. 在等差数列{a n}中，公差，S n为{a n}的前n项和，且，则当n为何值时，S n 达到最大值.( )A. 8B. 7C. 6D. 5参考答案：C【分析】先根据，，得到进而可判断出结果.【详解】因为在等差数列中，，所以，又公差，所以，故所以数列的前6项为正数，从第7项开始为负数；因此，当时，达到最大值.故选C【点睛】本题主要考查求使等差数列前项和最大，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.5. 在△ABC中，若，且，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C.正三角形或直角三角形D．正三角形参考答案：D，∴．∴，．由得即．∴或．当时．，无意义．当时．，此时为正三角形．故选．6. 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x ﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．7. 下列说法正确的为（）A.幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点B.均为不等于1的正实数，则C.是偶函数D.若，则参考答案：CA中负指数幂不经过（0，0）点，所以错误；B中，这是换底公式，故错误；D中时，，故错误.本题选择C选项.8. 已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］D．f (a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)参考答案：B略9. 函数的零点所在区间A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)参考答案：B【分析】通过计算的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，，，所以，根据零点存在性定理，的零点所在区间为故选B．【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准确计算的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．10. 当为第二象限角时，的值是（）．A. 1B. 0C. 2D. －2参考答案：C【分析】根据为第二象限角，，，去掉绝对值，即可求解．【详解】因为为第二象限角，∴，，∴，故选C．【点睛】本题重点考查三角函数值的符合，三角函数在各个象限内的符号可以结合口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加记忆印象，属于基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆，直线与圆O相切，点P坐标为，点A坐标为(3,4)，若满足条件的点P有两个，则r的取值范围为_______参考答案：【分析】根据相切得m2+n2＝r2，得点P在圆O上，满足条件PA＝2的点P有两个等价于圆O与以A为圆心，2为半径的圆A有两个交点，即相交，根据两圆相交列式可得．【详解】∵直线l：mx+ny＝r2与圆O相切，所以＝r，即m2+n2＝r2，所以P（m，n）在圆O上，又因为满足PA＝2的点P有两个，则圆O与以A为圆心，2为半径的圆A有两个交点，即两圆相交，所以r﹣2＜OA＜r+2，即r﹣2＜5＜2+r，解得3＜r＜7．故答案为：（3，7）．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系的应用考查转化思想，属中档题．12. 过点A（2,1）且与原点距离为2的直线方程 .参考答案：x=2或3x+4y-10=013. 若函数在处取得极值，则参考答案：3由题意得，令，即，解得，即．14. 函数的最小值等于．参考答案：115. 已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围为参考答案：(－∞, －1)16. 正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为_____参考答案：17. 已知函数g（x）=log2x，x∈（0，2），若关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则方程u2+mu+2m+3=0有两个根，其中一个在区间（0，1）上，一个在区间[1，+∞）上，进而得到答案．【解答】解：令t=g（x）=log2x，x∈（0，2），则t∈（﹣∞，1），若|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则方程u2+mu+2m+3=0有两个根，其中一个在区间（0，1）上，一个根为0或在区间[1，+∞）上，若方程u2+mu+2m+3=0一个根为0，则m=﹣，另一根为，不满足条件，故方程u2+mu+2m+3=0有两个根，其中一个在区间（0，1）上，一个在区间[1，+∞）上，令f（u）=u2+mu+2m+3，则，解得：m∈，故答案为：【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，转化思想，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
龙海市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
龙海市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a2． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，3，5}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4}3． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a，﹣）的所有直线中（ ）A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点D ．每条直线至多过一个有理点4． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的解析式为（ ）A． B． C． D．5． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 6． 下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）A ．y=（）2B ．y= C ．y=D ．y=7． 下列说法正确的是（ ）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.8． 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有3x ＞0；命题q ：“x ＞2”是“x ＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．p ∧qB ．￢p ∧￢qC ．￢p ∧qD ．p ∧￢q9． 已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(0,D ．)+∞10．函数f （x ）=e ln|x|+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250二、填空题13．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=．14．已知实数a ＞b ，当a 、b 满足 条件时，不等式＜成立．15．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．16．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．18．函数()xf x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 .三、解答题19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．20．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求MC与平面EAC所成的角．21．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（x）在[，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．22．某游乐场有A 、B 两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A ，丙丁两人各自独立进行游戏B ．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为． （1）求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A 、B 被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．23．已知正项等差{a n }，lga 1，lga 2，lga 4成等差数列，又b n =（1）求证{b n }为等比数列．（2）若{b n }前3项的和等于，求{a n }的首项a 1和公差d ．24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2.25．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．26．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．龙海市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log43＜1，∴|log43|＜1；2＞|ln|=|ln3|＞1；∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜a＜b．故选C2．【答案】B【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B3．【答案】C【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），由于也在此直线上，所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，又x2﹣a为无理数，而为有理数，所以只能是，且y2﹣y1=0，即；所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；所以，正确的选项为C ． 故选：C ．【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．4． 【答案】A【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin （2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A ．5． 【答案】B 【解析】试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=，解得24a =，由题意得1313812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或1362a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以132,6a a ==，故选B ．考点：等差数列的性质．6． 【答案】B【解析】解：A ．函数的定义域为{x|x ≥0}，两个函数的定义域不同． B ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．C ．函数的定义域为R ，y=|x|，对应关系不一致．D ．函数的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同．故选B ．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7． 【答案】C 【解析】考点：几何体的结构特征.8． 【答案】D【解析】解：p ：根据指数函数的性质可知，对任意x ∈R ，总有3x＞0成立，即p 为真命题， q ：“x ＞2”是“x ＞4”的必要不充分条件，即q 为假命题， 则p ∧￢q 为真命题， 故选：D【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p ，q 的真假是解决本题的关键，比较基础9． 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+,且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数,()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立, 即22022xxx xe ee e a--+--≥恒成立, ()2222xx xxx x x xe e e e a e e e e -----++∴≤=-- ()2x x x xe e e e--=-++, 设x x t e e -=-，则函数x x t e e -=-在(]0,2上单调递增,22t e e -∴<≤-, 此时不等式2tt +≥当且仅当2t t=,即t =时, 取等号,a ∴≤故选B.考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.10．【答案】C【解析】解：∵f （x ）=e ln|x|+∴f （﹣x ）=eln|x|﹣f （﹣x ）与f （x ）即不恒等，也不恒反，故函数f （x ）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称， 可排除A ，D ，当x →0+时，y →+∞，故排除B故选：C ．11．【答案】C【解析】解：∵M 、G 分别是BC 、CD 的中点，∴=，=∴=++=+=故选C【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．12．【答案】A【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．二、填空题13．【答案】【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．14．【答案】ab＞0【解析】解，当ab＞0时，∵a＞b，∴＞，即＞，当ab＜0时，∵a＞b，∴＜，即＜，综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．故答案为：ab＞0，．【点评】本题考查二类不等式饿性质，属于基础题．15．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）==0=g（2），∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．16．【答案】BC【解析】【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确． 故答案为：BC ．17．【答案】．【解析】解：在△ABC 中，∵6a=4b=3c∴b=，c=2a ，由余弦定理可得cosB===．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a 表示b ，c 是解决问题的关键，属于基础题．18．【答案】2e 【解析】 试题分析：()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.三、解答题19．【答案】【解析】【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l 的方程；【解答】解：（1）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9的圆心为C （1，0），因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣2=0． （2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为，即x+2y ﹣6=0．20．【答案】【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∵M为AB的中点，∴AM=BM=CM，CM⊥AB，∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AC，设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，∴EM2+MC2=EC2，∴CM⊥EM；（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，则MC与平面EAC所成的角为45°．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f′（x）=﹣2x+3﹣=﹣=﹣，函数f（x）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[，2]最大值是f（1）=2，又f（2）﹣f（）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f（2）＜f（），故函数在[，2]上的最小值为f（2）=2﹣ln2．（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x2﹣ax+1=0有两个不同正根．故a应满足⇒⇒，∴函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是．22．【答案】【解析】解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P（ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P（ξ=2）=++=；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==．∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．【答案】【解析】（1）证明：设{a n}中首项为a1，公差为d．∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，∴a22=a1a4．即（a1+d）2=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．当d=0时，a n=a1，b n==，∴=1，∴{b n}为等比数列；当d=a1时，a n=na1，b n==，∴=，∴{b n}为等比数列．综上可知{b n}为等比数列．（2）解：当d=0时，S3==，所以a1=；当d=a 1时，S 3==，故a 1=3=d ．【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】1111]试题解析：解：（1）∵PA 是切线，AB 是弦，∴C BAP ∠=∠，CPE APD ∠=∠， ∴CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠，∵CPE C AED APD BAP ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠, ∴AED ADE ∠=∠，即ADE ∆是等腰三角形又点H 是线段ED 的中点，∴ AH 是线段ED 垂直平分线，即ED AH ⊥又由CPE APE ∠=∠可知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴AF 与ED 互相垂直且平分， ∴四边形AEFD 是正方形，则D F E A 、、、四点共圆. （5分） （2由割线定理得PC PB PA ⋅=2，由（1）知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴PF PA =，从而PC PB PF ⋅=2（10分）考点：与圆有关的比例线段． 25．【答案】【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x ＜1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣3，1）．（2）f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3）=log a （1﹣x ）（x+3）==，∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a ＜1，∴≥log a 4，即f （x ）min =log a 4；由log a 4=﹣4，得a ﹣4=4，∴a==．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．26．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）。
福建省漳州市龙海榜山中学2019-2020学年高一数学理月考试卷含解析
福建省漳州市龙海榜山中学2019-2020学年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列中，若，是数列的前项和，则=（）A． B． C．D．参考答案：B略2. 平面内已知向量，若向量与方向相反，且，则向量=（）A．（2，﹣4）B．（﹣4，2）C．（4，﹣2）D．（﹣2，4）参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量共线且方向相反设=x，x＜0，结合长度关系进行求解即可．【解答】解：∵向量与方向相反，∴=x，x＜0，∵，∴=|x|||=|x|，则|x|=2，x=﹣2，即=x=﹣2=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2），故选：B3. 在正四面体A－BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P 不与A，M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC⊥平面AMD；②Q点一定在直线DM上；③V C－AMD＝4．其中正确的是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③参考答案：A4. 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f （π），f（﹣3）的大小关系是（）A． f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B． f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C． f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D． f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）参考答案：A考点：偶函数；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f （x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．解答：解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|﹣2|＜|﹣3|＜π∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）故选A．点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．5. （5分）已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么它的斜二侧所画直观图△A′B′C′的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2参考答案：C考点：斜二测法画直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：求出三角形的面积，利用平面图形的面积是直观图面积的2 倍，求出直观图的面积即可．解答：由三角形ABC是边长为2a的正三角形，三角形的面积为：（2a）2=a2；因为平面图形的面积与直观图的面积的比是2 ，所以它的平面直观图的面积是：=a2．故选C．点评：本题是基础题，考查平面图形与直观图的面积的求法，考查二者的关系，考查计算能力．6. 已知集合，，则A∪B=（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据集合的并集的运算，准确运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7. 已知定义域为R的函数f(x)满足，当时f(x)单调递减且，则实数a的取值范围是( )A.[2，+ ∞)B.[0，4]C. (－∞，0)D.(－∞，0)∪[4，+∞)参考答案：B由可知关于对称，则．∵时，单调递减，∴时，单调递增．又定义域为，∴可得，故选．8. 函数的部分图像如图所示，则其解析式可以是（）A． B．C． D．参考答案：B略9. 在△ABC中，，，，则的值为（）A. －1B.C.D. 1参考答案：A【分析】求出两向量的夹角，根据数量积的定义计算即可得答案。