物理学简明教程马文蔚第1至8章课后习题答案详解

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物理学简明教程1-9章课后习题答案

物理学简明教程1-9章课后习题答案

第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v . (1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;t d d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D).1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为 23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t =0 时, v 0x =-10 m·s-1 , v 0y =15 m·s-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为 222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β=-33°41′(或326°19′)1 -5 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=txx t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1)、(2)得 v 0=-1 m·s-1, x 0=0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -6 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?题 1-13 图 分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =vt , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离m 4522==gy x v(2) 视线和水平线的夹角为 o 5.12arctan==x y θ (3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为vv v gt αx yarctan arctan == 取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为2s m 88.1arctan sin sin -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g αg a t 2s m 62.9arctan cos cos -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g g a n α1 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为bt ts -==0d d v v 其加速度的切向分量和法向分量分别为 b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为R )(402222bt b a a a a t tn -+=+=v 其方向与切线之间的夹角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==Rb bt a a θt n 20)(arctan arctan v (2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 bt 0v = (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为b s s s t 2200v =-= 因此质点运行的圈数为bRR s n π4π220v == 1 -8 一升降机以加速度1.22 m·s-2上升,当上升速度为2.44 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为20121at t y +=v 20221gt t h y -+=v 当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即 20202121gt t h at t -+=+v v s 705.02=+=ag h t (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m 716.021202=+-=-=gt t y h d v 解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有2)(210t a g h +-= s 705.02=+=ag h t (2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为2021at t h +='v 则 m 716.0='-=h h d题 1-8 图1 -9 一无风的下雨天,一列火车以v 1=20.0 m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2 .(设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得 1o 12s m 36.575tan -⋅==v v 1 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan ≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.题 1-20 图解 由122v v v -='[图(b)],有θθcos sin arctan221v v v -=α 而要使hlαarctan ≥,则 hl θθ≥-cos sin 221v v v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥θh θl sin cos 21v v 1 -11 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值.当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).1 -12 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).1-13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B).*1 -14 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a 为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T =5/8 mg .故选(A).讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中a A 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.1 -15 在如图(a )所示的轻滑轮上跨有一轻绳,绳的两端连接着质量分别为1 kg 和2 kg 的物体A 和B ,现以50 N 的恒力F 向上提滑轮的轴,不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦,求A 和B 的加速度各为多少?题 1-15 图分析 在上提物体过程中,由于滑轮可以转动,所以A 、B 两物体对地加速度并不相同,故应将A 、B 和滑轮分别隔离后,运用牛顿定律求解,本题中因滑轮质量可以不计,故两边绳子张力相等,且有T 2F F =.解 隔离后,各物体受力如图(b )所示,有滑轮 02T =-F FA A A A T a m g m F =-B B B B T a m g m F =-联立三式,得 2.15A =a 7.2s m B 2=⋅-a ,2s m -⋅讨论 如由式a m m g m m F )()(B A B A +=+-求解,所得a 是A 、B 两物体构成的质点系的质心加速度,并不是A 、B 两物体的加速度.上式叫质心运动定理.1 -16 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑.试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力.题 1-16 图分析 该题可由牛顿第二定律求解.在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a t,与其相对应的外力F t是重力的切向分量mg sin α,而与法向加速度a n 相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos α.由此,可分别列出切向和法向的动力学方程F t=m d v/d t 和F n =ma n .由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量.该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便.但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力.解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力F N .取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tm αmg F t d d sin v =-= (1) Rm m αmg F F N n 2cos v =-= (2) 由tαr t s d d d d ==v ,得v αr t d d =,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有 ()⎰⎰-=απαα2/sin 0d rg d v v v v 得 αrg cos 2=v则小球在点C 的角速度为 r αg rω/cos 2==v 由式(2)得 αmg αmg rm m F N cos 3cos 2=+=v由此可得小球对圆轨道的作用力为αmg F F N Ncos 3-=-=' 负号表示F ′N 与e n 反向.1 -17 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求:(1) t 时刻物体的速率;(2) 当物体速率从v 0减少2/0v 时,物体所经历的时间及经过的路程.题 1-17 图分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题.物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F f ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程.解 (1) 设物体质量为m ,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有Rm ma F n N 2v == tma F t d d f v -=-= 由分析中可知,摩擦力的大小F f=μF N ,由上述各式可得tR μd d 2v v -= 取初始条件t =0 时v =v 0 ,并对上式进行积分,有⎰⎰-=v v v v 020d d μR t t tμR R 00v v v += (2) 当物体的速率从v 0 减少到2/0v 时,由上式可得所需的时间为v μR t ='物体在这段时间内所经过的路程⎰⎰''+==t t t tμR R t s 0000d d v v v 2ln μR s =第二章动量守恒定律和能量守恒定律2 -1对质点系有以下几种说法:(1) 质点组总动量的改变与内力无关;(2) 质点组总动能的改变与内力无关;(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关.下列对上述说法判断正确的是( )(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述(1)(3)说法是正确的.故选(C).2 -2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则( )(A) 物块到达斜面底端时的动量相等(B) 物块到达斜面底端时动能相等(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒分析与解对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒.物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功.由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等.动量自然也就不等(动量方向也不同).故(A)(B)(C)三种说法均不正确.至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零.由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒.2 -3如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧.另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有( )(A) 动量守恒,机械能守恒(B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒(D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D).2 -4 如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出.以地面为参考系,下列说法中正确的说法是( )(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒.这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和).综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的.2 -5质量为m的物体,由水平面上点O以初速为v0抛出,v0与水平面成仰角α.若不计空气阻力,求:(1) 物体从发射点O到最高点的过程中,重力的冲量;(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量.分析重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可.由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间gαt sin Δ01v =,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍.这样,按冲量的定义即可求得结果.另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出.解1 物体从出发到达最高点所需的时间为gαt sin Δ01v =则物体落回地面的时间为 gt t αsin Δ2Δ0122v == 于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 j j F I αsin Δd 011Δ1v m t mg t t -=-==⎰j j F I αsin 2Δd 022Δ2v m t mg t t -=-==⎰解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、B 的过程中,重力的冲量分别为j j j I αm y m mv Ay sin 001v v -=-=j j j I αm y m mv By sin 2002v v -=-=2 -6 高空作业时系安全带是非常必要的.假如一质量为51.0 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来.已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s .求安全带对人的平均冲力.分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段:在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动;在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短.为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论.事实上,动量定理也可应用于整个过程.但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的;而在过程的初态和末态,人体的速度均为零.这样,运用动量定理仍可得到相同的结果.解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论.在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为gh 21=v (1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有()12Δv v m m t -=+P F (2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为()N 1014.1Δ2ΔΔ3⨯=+=+=tgh mg t m Δmg F v解2 从整个过程来讨论.根据动量定理有N 1014.1/2Δ3⨯=+=mg g h tmg F 2 -7 如图所示,在水平地面上,有一横截面S =0.20 m 2 的直角弯管,管中有流速为v =3.0 m·s-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向.题 3-12 图分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量.因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp =Δm (v B -v A );此动量的变化是管壁在Δt 时间内对其作用冲量I 的结果.依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F ;由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′=-F .解 在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm =ρυS Δt ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为Δp =Δm (v B -v A ) =ρυS Δt (v B -v A )依据动量定理I =Δp ,得到管壁对这部分水的平均冲力()A B t S ρtv v v -==ΔΔI F 从而可得水流对管壁作用力的大小为N 105.2232⨯-=-=-='v S ρF F作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧.2 -8 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v 0 向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少? (假设人可视为质点)分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致.在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化.如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒.但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定.至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算.解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有()()u m m αm m -+'='+v v v cos 0式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率.得u m m m α'++=cos 00v v 人的水平速率的增量为 u m m m α'+=-=cos Δ0v v v 而人从最高点到地面的运动时间为 gαt sin 0v =所以,人跳跃后增加的距离 ()gm m αm t x '+==sin ΔΔ0v v 2 -9 一质量为0.20 kg 的球,系在长为2.00 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开.求:(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功;(2) 物体在最低位置时的动能和速率;(3) 在最低位置时的张力.题 2-9 图分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功.小球摆动过程中同时受到重力和张力作用.重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得;至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式⎰⋅=s d F W ,即能得出结果来.(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率.(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定.解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即 ()J 53.0cos 1Δ=-==θmgl h P W P在小球摆动过程中,张力F T 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功s F d T T ⋅=⎰W(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果.初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为J 53.0k ==P W E小球在最低位置的速率为1P K s m 30.222-⋅===mW m E v (3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得lm P F 2T v =- N 49.22T =+=lm mg F v 2 -10 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上.此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动.设质点的最初速率是v 0 .当它运动一周时,其速率为v 0 /2.求:(1) 摩擦力作的功;(2) 动摩擦因数;(3) 在静止以前质点运动了多少圈?分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少;而减少的这部分动能则消耗在运。

物理学简明教程马文蔚第1至8章课后习题答案详解(供参考)

物理学简明教程马文蔚第1至8章课后习题答案详解(供参考)

物理学简明教程马文蔚第1至8章课后习题答案详解(供参考)1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v .但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ??+??? ??t y t x .下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ??+??? ??=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为23010t t x +-=和22015t t y -=,式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s。

物理学上册课后习题答案_马文蔚

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习题11-1 质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r ,速度为v ,t 至()t t +∆时间内的位移为r ∆,路程为s ∆,位矢大小的变化量为r ∆(或称r ∆),平均速度为v ,平均速率为v。

(1)根据上述情况,则必有( B ) (A )r s r ∆=∆=∆(B )r s r ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr ds dr =≠ (C )r r s ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds =≠ (D )r s r ∆=∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds ==(2)根据上述情况,则必有( C ) (A ),v v v v == (B ),v v v v ≠≠ (C ),v v v v =≠ (D ),v v v v ≠=1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)drdt;(2)drdt;(3)dsdt;(4下列判断正确的是:( D )(A )只有(1)(2)正确 (B )只有(2)正确 (C )只有(2)(3)正确 (D )只有(3)(4)正确1-3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量,v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程,t a 表示切向加速度。

对下列表达式,即(1)dvdt a =;(2)dr dt v =;(3)ds dt v =;(4)t dv dt a =。

下述判断正确的是( D )(A )只有(1)、(4)是对的 (B )只有(2)、(4)是对的 (C )只有(2)是对的 (D )只有(3)是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( B ) (A )切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B )切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C )切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D )切向加速度一定改变,法向加速度不变*1-5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。

设该人以匀速率0v 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( C )(A )匀加速运动,0cos v vθ= (B )匀减速运动,0cos v v θ=(C )变加速运动,0cos v v θ=(D )变减速运动,0cos vv θ=(E )匀速直线运动,0vv =习题22-1 如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( D )(A )sin g θ (B )cos g θ (C )tan g θ (D )cot g θ2-2 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。

大学物理学课后习题答案马文蔚第五版

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大学物理学课后习题答案-马文蔚-第五版物理课后答案与解析1-1 分析与解(1) 质点在t 至(t +Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr|=PP′,而Δr =|r|-|r|表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有|dr|=ds,但却不等于dr.故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs,故,即||≠ .但由于|dr|=ds,故,即||=.由此可见,应选(C).1-2 分析与解表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解.故选(D).1-3 分析与解表示切向加速度at,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述);在自然坐标系中表示质点的速率v;而表示加速度的大小而不是切向加速度at.因此只有(3) 式表达是正确的.故选(D).1-4 分析与解加速度的切向分量at起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于at是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, at恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当at改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1-5 分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化.小船速度,式中表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x 轴负向.由速度表达式,可判断小船作变加速运动.故选(C).1-6 分析位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等.质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到:,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了.为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0~tp 和tp~t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t =4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算.解(1) 质点在4.0 s内位移的大小(2) 由得知质点的换向时刻为(t=0不合题意) 则,所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为(3) t=4.0 s时,,1-7 分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动;而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动).加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线.又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小.因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线.根据各段时间内的运动方程x=x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图.解将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为(匀加速直线运动), (匀速直线运动)(匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a-t 图[图(B)].在匀变速直线运动中,有由此,可计算在0~2s和4~6s时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的x -t 图.在2~4s时间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k=20的一段直线[图(c)].1-8 分析质点的轨迹方程为y =f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到.对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算.其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则,最后用积分求s.解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为,这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示.(2) 将t =0s和t =2s分别代入运动方程,可得相应位矢分别为,图(a)中的P、Q 两点,即为t =0s和t =2s时质点所在位置.(3) 由位移表达式,得其中位移大小而径向增量*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可得,代入ds,则2s内路程为1-9 分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解(1) 速度的分量式为,当t =0 时, vox =-10 m?6?1s-1 , voy =15 m?6?1s-1 ,则初速度大小为设vo与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为,则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则,β=-33°41′(或326°19′)1-10 分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 =y1(t)和y2 =y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1(1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y1 =y2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′=g +a,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则1-11 分析该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r =r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′=x′(t)和y′=y′(t)来表示圆周运动是比较方便的.然后,运用坐标变换x =x0 +x′和y =y0 +y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.解(1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P 的参数方程为,坐标变换后,在Oxy 坐标系中有,则质点P 的位矢方程为(2) 5s时的速度和加速度分别为1-12 分析为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程.根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得.解设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s=htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为当杆长等于影长时,即s =h,则即为下午3∶00 时.1-13 分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由和可得和.如a=a(t)或v =v(t),则可两边直接积分.如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解由分析知,应有得(1)由得(2)将t=3s时,x=9 m,v=2 m?6?1s-1代入(1) (2)得v0=-1 m?6?1s-1,x0=0.75 m.于是可得质点运动方程为1-14 分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv =a(v)dt 分离变量为后再两边积分.解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点.(1) 由题意知(1)用分离变量法把式(1)改写为(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度由此可知当,t→∞时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度.(2) 再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-15 分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x(t)和y(t).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.解由加速度定义式,根据初始条件t0 =0时v0 =0,积分可得又由及初始条件t=0 时,r0=(10 m)i,积分可得由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x =10+3t2 y =2t2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y =2x -20 m 这是一个直线方程.直线斜率,α=33°41′.轨迹如图所示.1-16 分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为和.在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为, ,式中|Δv|可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出.由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值.解(1) 由图(b)可看到Δv =v2 -v1 ,故而所以(2) 将Δθ=90°,30°,10°,1°分别代入上式,得,, ,以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度.1-17 分析根据运动方程可直接写出其分量式x =x(t)和y =y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即瞬时速度.切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量at和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和at得到.在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ.解(1) 由参数方程x =2.0t,y =19.0-2.0t2 消去t 得质点的轨迹方程:y =19.0 -0.50x2 (2) 在t1 =1.00s到t2 =2.0s时间内的平均速度(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t1 =1.00s时的速度v(t)|t =1s=2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为(4) t =1.0s质点的速度大小为则1-18 分析物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解(1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =vt,y =1/2 gt2飞机水平飞行速度v=100 m?6?1s-1 ,飞机离地面的高度y=100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1-19 分析这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v0cosβ和v0sinβ,其加速度分别为gsinα和gcosα.在此坐标系中炮弹落地时,应有y =0,则x =OP.如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足vx =0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解.由于本题中加速度g 为恒矢量.故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即,做出炮弹落地时的矢量图[如图(B)所示],由图中所示几何关系也可求得(即图中的r 矢量).解1由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为(1) (2)令y =0 求得时间t 后再代入式(1)得解2做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有从中消去t 后也可得到同样结果.(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y =0 和vx =0,则(3)由(2)(3)两式消去t 后得由此可知.只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v0 的大小无关.讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下.1-20 分析选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动.建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证.由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布解(1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为(1) (2)由式(1)(2)可得由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为(2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(θ0 =45°)其上有大量小孔.喷头旋转时,水滴以初速度v0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上.则以φ角喷射的水柱射程为为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题.1-21 分析被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到.由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x、y 值代入即可求出.解取图示坐标系Oxy,由运动方程,消去t 得轨迹方程以x =25.0 m,v =20.0 m?6?1s-1 及3.44 m≥y≥0 代入后,可解得71.11°≥θ1 ≥69.92° 27.92°≥θ2 ≥18.89°如何理解上述角度的范围?在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示).如果以θ>71.11°或θ <18.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度的限制,θ 角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值.当倾角取值为27.92°<θ <69.92°时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门.因此可取的角度范围只能是解中的结果.1-22 分析在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量at,而加速度的法向分量为an=v2 /R.这样,总加速度为a =ate t+anen.至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs=st -s0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解(1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使|a|=b,由可得(3) 从t=0 开始到t=v0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1-23 分析首先应该确定角速度的函数关系ω=kt2.依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω=ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移.解因ωR =v,由题意ω∝t2 得比例系数所以则t′=0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度在2.0s内该点所转过的角度1-24 分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到.解(1) 由于,则角速度.在t =2 s时,法向加速度和切向加速度的数值分别为(2) 当时,有,即得此时刻的角位置为(3) 要使,则有t =0.55s1-25 分析这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v1 为S′相对S的速度,v2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为(如图所示),于是可得1-26 分析这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足.再由相对速度的矢量关系,即可求出所需车速v1.解由[图(b)],有而要使,则1-27 分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的.由于水流速度u的存在, v与船在静水中划行的速度v′之间有v=u +v′(如图所示).若要使船到达正对岸,则必须使v 沿正对岸方向;在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值.解(1) 由v=u +v′可知,则船到达正对岸所需时间为(2) 由于,在划速v′一定的条件下,只有当α=0 时, v 最大(即v=v′),此时,船过河时间t′=d /v′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有1-28 分析该问题涉及到运动的相对性.如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x,y)变换至系O′中的点(x′,y′).由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的.解取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x′两轴平行.在t =0 时,两坐标原点重合.由坐标变换得x′=x - v t =v t - v t =0 y′=y =1/2 gt2加速度由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动.动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换的必然结果.2-1 分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FT(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D).求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征.2-2 分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值.当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).2-3 分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN.由此可算得汽车转弯的最大速率应为v=μRg.因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).2-4 分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m gcos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选(B).2-5 分析与解本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a′为A、B 两物体相对电梯的加速度,ma′为惯性力.对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得FT=5/8 mg.故选(A).讨论对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度aA 和aB 均应对地而言,本题中aA 和aB的大小与方向均不相同.其中aA 应斜向上.对aA 、aB 、a 和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.2-6 分析动力学问题一般分为两类:(1) 已知物体受力求其运动情况;(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力.当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来.本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α=f(t),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来.解取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有(1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有则(2)为使下滑的时间最短,可令,由式(2)有则可得,此时2-7 分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体.处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程.根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式.结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力.解按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向(如图所示).当框架以加速度a 上升时,有FT-(m1 +m2 )g =(m1 +m2 )a (1) ,FN2 - m2 g =m2 a (2)解上述方程,得FT=(m1 +m2 )(g +a) (3) FN2 =m2 (g +a) (4)(1) 当整个装置以加速度a =10 m?6?1s-2 上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为FT=5.94 ×103 N乙对甲的作用力为F′N2 =-FN2 =-m2 (g +a) =-1.98 ×103 N(2) 当整个装置以加速度a =1 m?6?1s-2 上升时,得绳张力的值为FT=3.24 ×103 N此时,乙对甲的作用力则为F′N2 =-1.08 ×103 N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大.因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全.2-8 分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解.分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立.同时也要注意到张力方向是不同的.解分别对物体和滑轮作受力分析[图(b)].由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有mA g -FT=mA a (1)F′T1 -Ff=mB a′ (2)F′T-2FT1 =0 (3)考虑到mA =mB =m, FT=F′T, FT1 =F′T1 ,a′=2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力讨论动力学问题的一般解题步骤可分为:(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标;(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组;(3) 解方程组,得出文字结果;(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来.2-9 分析当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板 A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态.根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度.换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得.该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解.将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得.又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量.木块相对平板移动的距离即可求出.。

物理学简明教程马文蔚课后习题答案详解

物理学简明教程马文蔚课后习题答案详解

1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v . (1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |=v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ r ,即|v |≠v .但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C).1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式ts d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, at为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为23010t t x +-=和22015t t y -=,式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s。

物理学答案(第五版)--马文蔚

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大学物理期末考试重点习题(1 — 8 章)1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;t d d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a t表示切向加速度.对下列表达式,即(1)d v /d t =a ;(2)d r /d t =v ;(3)d s /d t =v ;(4)d v /d t |=a t.下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解 td d v 表示切向加速度a t,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;t r d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述);t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ;而td d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a t.因此只有(3) 式表达是正确的.故选(D). 1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s .求:(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小;(2) 质点在该时间内所通过的路程;(3) t =4 s 时质点的速度和加速度.分析 位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等.质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到:0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了.为此,需根据0d d =tx 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0~t p 和t p ~t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t =4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算. 解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由0d d =tx 得知质点的换向时刻为 s 2=p t (t =0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t =4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t =0 时, v o x =-10 m·s-1 , v o y =15 m·s-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v o 与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==t a x x v , 2s m 40d d -⋅-==ta y y v 则加速度的大小为222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β=-33°41′(或326°19′)2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F T (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a ,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D).求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征.2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).2 -5 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 58 mg (B) 12 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a ′为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T =5/8 mg .故选(A).讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中aA 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F =120t +40,式中F 的单位为N,t 的单位的s.在t =0 时,质点位于x =5.0 m 处,其速度v 0=6.0 m·s-1 .求质点在任意时刻的速度和位置.分析 这是在变力作用下的动力学问题.由于力是时间的函数,而加速度a =d v /d t ,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t );由速度的定义v =d x /d t ,用积分的方法可求出质点的位置.解 因加速度a =d v /d t ,在直线运动中,根据牛顿运动定律有tm t d d 40120v =+ 依据质点运动的初始条件,即t 0 =0 时v 0 =6.0 m·s-1 ,运用分离变量法对上式积分,得()⎰⎰+=t t t 0d 0.40.12d 0v v v v =6.0+4.0t+6.0t 2 又因v =d x /d t ,并由质点运动的初始条件:t 0 =0 时x 0 =5.0 m,对上式分离变量后积分,有 ()⎰⎰++=t x x t t t x 020d 0.60.40.6d x =5.0+6.0t+2.0t 2 +2.0t 33 -1 对质点组有以下几种说法:(1) 质点组总动量的改变与内力无关;(2) 质点组总动能的改变与内力无关; (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关.下列对上述说法判断正确的是()(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述(1)(3)说法是正确的.故选(C).3 -4如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧.另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有()(A) 动量守恒,机械能守恒(B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒(D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D).3 -5如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出.以地面为参考系,下列说法中正确的说法是()(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解 子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒.这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和).综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的.3 -8 F x =30+4t (式中F x 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m =10 kg 的物体上,试求:(1) 在开始2s 内此力的冲量;(2) 若冲量I =300 N·s,此力作用的时间;(3) 若物体的初速度v 1 =10 m·s -1 ,方向与Fx 相同,在t =6.86s 时,此物体的速度v 2 .分析 本题可由冲量的定义式⎰=21d t t t F I ,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v 2.解 (1) 由分析知()s N 68230d 43020220⋅=+=+=⎰t t t t I (2) 由I =300 =30t +2t 2 ,解此方程可得t =6.86 s(另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有I =m v 2- m v 1由(2)可知t =6.86 s 时I =300 N·s ,将I 、m 及v 1代入可得112s m 40-⋅=+=mm I v v3 -22 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上.此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动.设质点的最初速率是v 0 .当它运动一周时,其速率为v 0 /2.求:(1) 摩擦力作的功;(2) 动摩擦因数;(3) 在静止以前质点运动了多少圈?分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少;而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上.由此,可依据动能定理列式解之.解 (1) 摩擦力作功为20202k0k 832121v v v m m m E E W -=-=-= (1) (2) 由于摩擦力是一恒力,且F f =μmg ,故有 mg μr πs F W 2180cos o f -== (2)由式(1)、(2)可得动摩擦因数为rgπμ16320v =(3) 由于一周中损失的动能为2083v m ,则在静止前可运行的圈数为 34k0==W E n 圈 3 -27 如图(a)所示,天文观测台有一半径为R 的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计.求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度.分析 取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功;而重力P 又是保守内力,所以,系统的机械能守恒.但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量;因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程.求解上述两方程即可得出结果.解 由系统的机械能守恒,有θmgR m mgR cos 212+=v (1) 根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为 Rm F θmgR 2N cos v =- (2)冰块脱离球面时,支持力F N =0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置o θ2.4832arccos== 冰块此时的速率为 32cos Rg θgR ==v v 的方向与重力P 方向的夹角为 α=90°-θ =41.8°5 -1 电荷面密度均为+σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置,其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( )分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为02εσ,方向沿带电平板法向向外,依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ).5 -2 下列说法正确的是( )(A )闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内一定没有电荷(B )闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内电荷的代数和必定为零(C )闭合曲面的电通量为零时,曲面上各点的电场强度必定为零(D )闭合曲面的电通量不为零时,曲面上任意一点的电场强度都不可能为零分析与解 依照静电场中的高斯定理,闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内电荷的代数和必定为零,但不能肯定曲面内一定没有电荷;闭合曲面的电通量为零时,表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面,不能确定曲面上各点的电场强度必定为零;同理闭合曲面的电通量不为零,也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零,因而正确答案为(B ).5 -3 下列说法正确的是( )(A ) 电场强度为零的点,电势也一定为零(B ) 电场强度不为零的点,电势也一定不为零(C ) 电势为零的点,电场强度也一定为零(D ) 电势在某一区域内为常量,则电场强度在该区域内必定为零分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量,电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零,电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时,电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功;电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D ).5 -9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证:(1) 在棒的延长线,且离棒中心为r 处的电场强度为2204π1Lr QεE -=(2) 在棒的垂直平分线上,离棒为r 处的电场强度为2204π21L r r QεE +=若棒为无限长(即L →∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元d x ,其电荷为d q =Q d x /L ,它在点P 的电场强度为rr qεe E 20d π41d '=整个带电体在点P 的电场强度⎰=E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同,⎰=LE i E d(2) 若点P 在棒的垂直平分线上,如图(A )所示,则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P 的电场强度就是⎰⎰==Ly E αE j j E d sin d证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεqE 202d ,利用几何关系 r ′=r -x 统一积分变量,则()220022204π12/12/1π4d π41L r QεL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为E r εqαE L d π4d sin 2⎰'=利用几何关系 sin α=r /r ′,22x r r +=' 统一积分变量,则()2203/22222041π2d π41Lr r εQ rx L xrQ εE L/-L/+=+=⎰当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度rελL r LQ r εE l 0220π2 /41/π21lim=+=∞→此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B )].这说明只要满足r 2/L 2 <<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 -14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量.分析 方法1:由电场强度通量的定义,对半球面S 求积分,即⎰⋅=SS d s E Φ方法2:作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理∑⎰==⋅01d 0q εSS E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d解1 由于闭合曲面内无电荷分布,根据高斯定理,有⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向,E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ解2 取球坐标系,电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=r θθR e S d d sin d 2=ER θθER θθER SS2π0π2222πdsin d sin dd sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ5 -21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R 1 和R 2 >R 1 ),单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度:(1) r <R 1 ,(2) R 1 <r <R 2 ,(3) r >R 2 .分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必定沿轴对称分布,取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且⎰⋅=rL E d π2S E ,求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解 作同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理 ∑=⋅0/π2εq rL Er <R 1 ,0=∑q01=E在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变 R 1 <r <R 2 ,L λq =∑rελE 02π2=r >R 2,0=∑q03=E在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变00π2π2ΔεσrL εL λr ελE ===这与5 -20 题分析讨论的结果一致.5 -22 如图所示,有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 =Q 3 =Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q 1 、Q 3 的情况下,将Q 2从点O移到无穷远处外力所作的功.分析 由库仑力的定义,根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值,即W ′=-W .求电场力作功的方法有两种:(1)根据功的定义,电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系,有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+d εQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-= 由点电荷电场的叠加,Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为()2/322031π2yd εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处,(沿其他路径所作的功相同,请想一想为什么?)外力所作的功为()dεQ y y d εQ Q Q W y 022/322002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同,在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=,并由电势的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中,外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法,显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大,而求电势分布要简单得多.7 -1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管,两个螺线管的长度相同,R =2r ,螺线管通过的电流相同为I ,螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足( ) (A ) r R B B 2= (B ) r R B B = (C ) r R B B =2 (D )r R B B 4=分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中,磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比.根据题意,用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比21==R r n n r R 因而正确答案为(C )。

物理学简明教程1-9章课后习题答案

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第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;t d d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D).1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为 23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t =0 时, v 0x =-10 m·s-1 , v 0y =15 m·s-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为 222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β=-33°41′(或326°19′)1 -5 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=txx t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1)、(2)得 v 0=-1 m·s-1, x 0=0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -6 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =v t , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离m 4522==gy x v(2) 视线和水平线的夹角为 o 5.12arctan==x y θ (3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为vv v gt αx yarctan arctan == 取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为2s m 88.1arctan sin sin -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g αg a t 2s m 62.9arctan cos cos -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g g a n α1 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为bt ts -==0d d v v 其加速度的切向分量和法向分量分别为 b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为R )(402222bt b a a a a t tn -+=+=v 其方向与切线之间的夹角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==Rb bt a a θt n 20)(arctan arctan v (2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 bt 0v = (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为b s s s t 2200v =-= 因此质点运行的圈数为bRR s n π4π220v == 1 -8 一升降机以加速度1.22 m·s-2上升,当上升速度为2.44 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程. 解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为20121at t y +=v 20221gt t h y -+=v 当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即20202121gt t h at t -+=+v v s 705.02=+=ag h t (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m 716.021202=+-=-=gt t y h d v 解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有2)(210t a g h +-= s 705.02=+=ag h t (2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为2021at t h +='v 则 m 716.0='-=h h d题 1-8 图1 -9 一无风的下雨天,一列火车以v 1=20.0 m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2 .(设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得 1o 12s m 36.575tan -⋅==v v 1 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.题 1-20 图解 由122v v v -='[图(b)],有θθcos sin arctan221v v v -=α 而要使hlαarctan ≥,则 hl θθ≥-cos sin 221v v v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥θh θl sin cos 21v v 1 -11 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值.当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).1 -12 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).1-13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B).*1 -14 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a 为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T =5/8 mg .故选(A).讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中a A 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.1 -15 在如图(a )所示的轻滑轮上跨有一轻绳,绳的两端连接着质量分别为1 kg 和2 kg 的物体A 和B ,现以50 N 的恒力F 向上提滑轮的轴,不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦,求A 和B 的加速度各为多少?题 1-15 图分析 在上提物体过程中,由于滑轮可以转动,所以A 、B 两物体对地加速度并不相同,故应将A 、B 和滑轮分别隔离后,运用牛顿定律求解,本题中因滑轮质量可以不计,故两边绳子张力相等,且有T 2F F =.解 隔离后,各物体受力如图(b )所示,有滑轮 02T =-F FA A A A T a m g m F =-B B B B T a m g m F =-联立三式,得 2.15A =a 7.2s m B 2=⋅-a ,2s m -⋅讨论 如由式a m m g m m F )()(B A B A +=+-求解,所得a 是A 、B 两物体构成的质点系的质心加速度,并不是A 、B 两物体的加速度.上式叫质心运动定理.1 -16 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑.试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力.题 1-16 图分析 该题可由牛顿第二定律求解.在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a t,与其相对应的外力F t是重力的切向分量mg sin α,而与法向加速度a n 相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos α.由此,可分别列出切向和法向的动力学方程F t=m d v /d t 和F n =ma n .由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量.该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便.但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力.解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力F N .取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tm αmg F t d d sin v =-= (1) Rm m αmg F F N n 2cos v =-= (2) 由tαr t s d d d d ==v ,得v αr t d d =,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有 ()⎰⎰-=απαα2/sin 0d rg d v v v v 得 αrg cos 2=v则小球在点C 的角速度为 r αg rω/cos 2==v 由式(2)得 αmg αmg rm m F N cos 3cos 2=+=v由此可得小球对圆轨道的作用力为αmg F F N Ncos 3-=-=' 负号表示F ′N 与e n 反向.1 -17 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求:(1) t 时刻物体的速率;(2) 当物体速率从v 0减少2/0v 时,物体所经历的时间及经过的路程.题 1-17 图分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题.物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F f ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程.解 (1) 设物体质量为m ,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有Rm ma F n N 2v == tma F t d d f v -=-= 由分析中可知,摩擦力的大小F f=μF N ,由上述各式可得tR μd d 2v v -= 取初始条件t =0 时v =v 0 ,并对上式进行积分,有⎰⎰-=v v v v 020d d μR t t tμR R 00v v v += (2) 当物体的速率从v 0 减少到2/0v 时,由上式可得所需的时间为v μR t ='物体在这段时间内所经过的路程⎰⎰''+==t t t tμR R t s 0000d d v v v 2ln μR s =第二章动量守恒定律和能量守恒定律2 -1对质点系有以下几种说法:(1) 质点组总动量的改变与内力无关;(2) 质点组总动能的改变与内力无关;(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关.下列对上述说法判断正确的是()(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述(1)(3)说法是正确的.故选(C).2 -2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则()(A) 物块到达斜面底端时的动量相等(B) 物块到达斜面底端时动能相等(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒分析与解对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒.物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功.由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等.动量自然也就不等(动量方向也不同).故(A)(B)(C)三种说法均不正确.至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零.由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒.2 -3如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧.另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有()(A) 动量守恒,机械能守恒(B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒(D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D).2 -4如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出.以地面为参考系,下列说法中正确的说法是()(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒.这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和).综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的.2 -5质量为m的物体,由水平面上点O以初速为v0抛出,v0与水平面成仰角α.若不计空气阻力,求:(1) 物体从发射点O到最高点的过程中,重力的冲量;(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量.分析重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可.由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间gαt sin Δ01v =,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍.这样,按冲量的定义即可求得结果.另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出.解1 物体从出发到达最高点所需的时间为gαt sin Δ01v =则物体落回地面的时间为 gt t αsin Δ2Δ0122v == 于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 j j F I αsin Δd 011Δ1v m t mg t t -=-==⎰j j F I αsin 2Δd 022Δ2v m t mg t t -=-==⎰解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、B 的过程中,重力的冲量分别为j j j I αm y m mv Ay sin 001v v -=-=j j j I αm y m mv By sin 2002v v -=-=2 -6 高空作业时系安全带是非常必要的.假如一质量为51.0 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来.已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s .求安全带对人的平均冲力.分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段:在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动;在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短.为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论.事实上,动量定理也可应用于整个过程.但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的;而在过程的初态和末态,人体的速度均为零.这样,运用动量定理仍可得到相同的结果.解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论.在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为gh 21=v (1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有()12Δv v m m t -=+P F (2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为()N 1014.1Δ2ΔΔ3⨯=+=+=tgh mg t m Δmg F v解2 从整个过程来讨论.根据动量定理有N 1014.1/2Δ3⨯=+=mg g h tmg F 2 -7 如图所示,在水平地面上,有一横截面S =0.20 m 2 的直角弯管,管中有流速为v =3.0 m·s-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向.题 3-12 图分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量.因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp =Δm (v B -v A );此动量的变化是管壁在Δt 时间内对其作用冲量I 的结果.依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F ;由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′=-F .解 在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm =ρυS Δt ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为Δp =Δm (v B -v A ) =ρυS Δt (v B -v A )依据动量定理I =Δp ,得到管壁对这部分水的平均冲力()A B t S ρtv v v -==ΔΔI F 从而可得水流对管壁作用力的大小为N 105.2232⨯-=-=-='v S ρF F作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧.2 -8 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v 0 向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少? (假设人可视为质点)分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致.在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化.如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒.但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定.至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算.解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有()()u m m αm m -+'='+v v v cos 0式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率.得u m m m α'++=cos 00v v 人的水平速率的增量为 u m m m α'+=-=cos Δ0v v v 而人从最高点到地面的运动时间为gαt sin 0v =所以,人跳跃后增加的距离 ()gm m αm t x '+==sin ΔΔ0v v 2 -9 一质量为0.20 kg 的球,系在长为2.00 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开.求:(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功;(2) 物体在最低位置时的动能和速率;(3) 在最低位置时的张力.题 2-9 图分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功.小球摆动过程中同时受到重力和张力作用.重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得;至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式⎰⋅=s d F W ,即能得出结果来.(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率.(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定.解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即 ()J 53.0cos 1Δ=-==θmgl h P W P在小球摆动过程中,张力F T 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功s F d T T ⋅=⎰W(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果.初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为J 53.0k ==P W E小球在最低位置的速率为1P K s m 30.222-⋅===mW m E v (3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得lm P F 2T v =- N 49.22T =+=lm mg F v 2 -10 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上.此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动.设质点的最初速率是v 0 .当它运动一周时,其速率为v 0 /2.求:(1) 摩擦力作的功;(2) 动摩擦因数;(3) 在静止以前质点运动了多少圈?分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少;而减少的这部分动能则消耗在运。

物理学上册课后习题答案_马文蔚

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习题11-1 质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r ,速度为v ,t 至()t t +∆时间内的位移为r ∆,路程为s ∆,位矢大小的变化量为r ∆(或称r ∆),平均速度为v ,平均速率为v。

(1)根据上述情况,则必有( B ) (A )r s r ∆=∆=∆(B )r s r ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr ds dr =≠ (C )r r s ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds =≠ (D )r s r ∆=∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds ==(2)根据上述情况,则必有( C ) (A ),v v v v == (B ),v v v v ≠≠ (C ),v v v v =≠ (D ),v v v v ≠=1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)drdt;(2)drdt;(3)dsdt;(4下列判断正确的是:( D )(A )只有(1)(2)正确 (B )只有(2)正确 (C )只有(2)(3)正确 (D )只有(3)(4)正确1-3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量,v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程,t a 表示切向加速度。

对下列表达式,即(1)dvdt a =;(2)dr dt v =;(3)ds dt v =;(4)t dv dt a =。

下述判断正确的是( D )(A )只有(1)、(4)是对的 (B )只有(2)、(4)是对的 (C )只有(2)是对的 (D )只有(3)是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( B ) (A )切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B )切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C )切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D )切向加速度一定改变,法向加速度不变*1-5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。

设该人以匀速率0v 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( C )(A )匀加速运动,0cos v vθ= (B )匀减速运动,0cos v v θ=(C )变加速运动,0cos v v θ=(D )变减速运动,0cos vv θ=(E )匀速直线运动,0vv =习题22-1 如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( D )(A )sin g θ (B )cos g θ (C )tan g θ (D )cot g θ2-2 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。

物理学上册课后习题答案_马文蔚

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习题11-1 质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r ,速度为v ,t 至()t t +∆时间内的位移为r ∆,路程为s ∆,位矢大小的变化量为r ∆(或称r ∆),平均速度为v ,平均速率为v。

(1)根据上述情况,则必有( B ) (A )r s r ∆=∆=∆(B )r s r ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr ds dr =≠ (C )r r s ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds =≠ (D )r s r ∆=∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds ==(2)根据上述情况,则必有( C ) (A ),v v v v == (B ),v v v v ≠≠ (C ),v v v v =≠ (D ),v v v v ≠=1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)drdt;(2)drdt;(3)dsdt;(4下列判断正确的是:( D )(A )只有(1)(2)正确 (B )只有(2)正确 (C )只有(2)(3)正确 (D )只有(3)(4)正确1-3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量,v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程,t a 表示切向加速度。

对下列表达式,即(1)dvdt a =;(2)dr dt v =;(3)ds dt v =;(4)t dv dt a =。

下述判断正确的是( D )(A )只有(1)、(4)是对的 (B )只有(2)、(4)是对的 (C )只有(2)是对的 (D )只有(3)是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( B ) (A )切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B )切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C )切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D )切向加速度一定改变,法向加速度不变*1-5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。

设该人以匀速率0v 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( C )(A )匀加速运动,0cos v vθ= (B )匀减速运动,0cos v v θ=(C )变加速运动,0cos v v θ=(D )变减速运动,0cos vv θ=(E )匀速直线运动,0vv =习题22-1 如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( D )(A )sin g θ (B )cos g θ (C )tan g θ (D )cot g θ2-2 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。

物理学(第五版)马文蔚第1至8章课后习题答案详解

物理学(第五版)马文蔚第1至8章课后习题答案详解

1 -1 质点作曲线运动,在时刻t质点得位矢为r,速度为v,速率为v,t至(t +Δt)时间内得位移为Δr,路程为Δs, 位矢大小得变化量为Δr(或称Δ|r|),平均速度为,平均速率为.(1) 根据上述情况,则必有()(A) |Δr|=Δs= Δr(B) |Δr|≠ Δs≠ Δr,当Δt→0 时有|d r|= ds≠ d r(C)|Δr|≠ Δr≠ Δs,当Δt→0时有|dr|= dr ≠ ds(D)|Δr|≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有|d r|=d r =ds(2)根据上述情况,则必有()(A) ||= ,||= (B) ||≠,||≠(C) ||= ,||≠ (D)||≠,||=分析与解(1) 质点在t至(t+Δt)时间内沿曲线从P点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs=PP′, 位移大小|Δr|=PP′,而Δr=|r|-|r|表示质点位矢大小得变化量,三个量得物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等得可能)、但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有|dr|=d s,但却不等于d r。

故选(B).(2) 由于|Δr|≠Δs,故,即||≠、但由于|d r|=ds,故,即||=.由此可见,应选(C)。

1-2一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)得端点处,对其速度得大小有四种意见,即(1); (2);(3); (4)、下述判断正确得就是( )(A) 只有(1)(2)正确(B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确(D) 只有(3)(4)正确分析与解表示质点到坐标原点得距离随时间得变化率,在极坐标系中叫径向速率。

通常用符号vr表示,这就是速度矢量在位矢方向上得一个分量;表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解、故选(D)。

1 -3 质点作曲线运动,r表示位置矢量,v表示速度,a表示加速度,s表示路程, a t表示切向加速度、对下列表达式,即(1)d v/d t=a;(2)d r/d t =v;(3)d s/dt=v;(4)d v/dt|=at、下述判断正确得就是( )(A) 只有(1)、(4)就是对得(B)只有(2)、(4)就是对得(C) 只有(2)就是对得(D) 只有(3)就是对得分析与解表示切向加速度a t,它表示速度大小随时间得变化率,就是加速度矢量沿速度方向得一个分量,起改变速度大小得作用;在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2所述);在自然坐标系中表示质点得速率v;而表示加速度得大小而不就是切向加速度at.因此只有(3) 式表达就是正确得。

物理学简明教程马文蔚第1至7章课后习题答案详细讲解

物理学简明教程马文蔚第1至7章课后习题答案详细讲解

1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t +Δt )时间的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v . (1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为23010t t x +-=和22015t t y -=,式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s。

物理学马文蔚第1至8章课后习题答案详解

物理学马文蔚第1至8章课后习题答案详解

1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a t表示切向加速度.对下列表达式,即(1)d v /d t =a ;(2)d r /d t =v ;(3)d s /d t =v ;(4)d v /d t |=a t.下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 分析与解td d v 表示切向加速度a t,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;tr d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述);t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ;而td d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a t.因此只有(3) 式表达是正确的.故选(D).1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动.设该人以匀速率v 0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( )(A) 匀加速运动,θcos 0v v = (B) 匀减速运动,θcos 0v v =(C) 变加速运动,θcos 0v v = (D) 变减速运动,θcos 0v v =(E) 匀速直线运动,0v v =分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l ,则小船的运动方程为22h l x -=,其中绳长l 随时间t 而变化.小船速度22d d d d h l t llt x -==v ,式中t l d d 表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v 0,代入整理后为θl h l cos /0220v v v =-=,方向沿x 轴负向.由速度表达式,可判断小船作变加速运动.故选(C).讨论 有人会将绳子速率v 0按x 、y 两个方向分解,则小船速度θcos 0v v =,这样做对吗?1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s .求:(1) 质点在运动开始后 s 内的位移的大小;(2) 质点在该时间内所通过的路程;(3) t =4 s 时质点的速度和加速度.分析 位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等.质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到:0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了.为此,需根据0d d =tx 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0~t p 和t p ~t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t = s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算. 解 (1) 质点在 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t =0不合题意) 则m 0.8Δ021=-=x x x m 40Δ242-=-=x x x所以,质点在 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t = s 时1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示.设t =0 时,x =0.试根据已知的v -t 图,画出a -t 图以及x -t 图.分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v -t 曲线的斜率为加速度的大小(图中AB 、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动;而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动).加速度为恒量,在a -t 图上是平行于t 轴的直线,由v -t 图中求出各段的斜率,即可作出a -t 图线.又由速度的定义可知,x -t 曲线的斜率为速度的大小.因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x –t 图为t 的二次曲线.根据各段时间内的运动方程x =x (t ),求出不同时刻t 的位置x ,采用描数据点的方法,可作出x -t 图.解 将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为2s m 20-⋅=--=AB A B AB t t a v v (匀加速直线运动) 0=BC a (匀速直线运动)2s m 10-⋅-=--=CD C D CD t t a v v (匀减速直线运动) 根据上述结果即可作出质点的a -t 图[图(B)].在匀变速直线运动中,有由此,可计算在0~2s和4~6s时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的x -t 图.在2~4s时间内, 质点是作1s m 20-⋅=v 的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k =20的一段直线[图(c)].1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为s.求:(1) 质点的运动轨迹;(2) t =0 及t =2s时,质点的位矢;(3) 由t =0 到t =2s内质点的位移Δr 和径向增量Δr ;*(4) 2 s 内质点所走过的路程s .分析 质点的轨迹方程为y =f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到.对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算.其中对s 的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,最后用⎰=s s d 积分求s.解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示.(2) 将t =0s和t =2s分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t =0s和t =2s时质点所在位置.(3) 由位移表达式,得 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r 而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r *(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ 段长度,先在其间任意处取AB 微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,由轨道方程可得x x y d 21d -=,代入d s ,则2s内路程为1 -9 质点的运动方程为式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为当t =0 时, v o x =-10 m·s-1 , v o y =15 m·s-1 ,则初速度大小为设v o 与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则β=-33°41′(或326°19′)1 -10 一升降机以加速度 m·s-2上升,当上升速度为 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 m 716.0='-=h h d1 -11 一质点P 沿半径R = m 的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为s,设t =0 时,质点位于O 点.按(a )图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢;(2)5s时的速度和加速度.分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r =r (t )求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′=x′(t )和y′=y′(t )来表示圆周运动是比较方便的.然后,运用坐标变换x =x 0 +x ′和y =y 0 +y ′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因t T θπ2=,则质点P 的参数方程为 t T R x π2sin=', t TR y π2cos -=' 坐标变换后,在O x y 坐标系中有 t T R x x π2sin='=, R t TR y y y +-=+'=π2cos 0 则质点P 的位矢方程为 (2) 5s时的速度和加速度分别为j j i r )s m π3.0(π2sin π2π2cos π2d d 1-⋅=+==t TT R t T T R t v i j i r a )s m π03.0(π2cos )π2(π2sin )π2(d d 222222-⋅-=+-==t TT R t T T R t 1 -12 地面上垂直竖立一高 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小.在何时刻杆影伸展至 m ?分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程.根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得.解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s =h tg ωt ,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为当杆长等于影长时,即s =h ,则即为下午3∶00 时.1 -13 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有得 03314v v +-=t t (1) 由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1) (2)得v 0=-1 m·s-1,x 0= m .于是可得质点运动方程为1 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a =A -B v ,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程.分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v =a (v )d t 分离变量为t a d )(d =v v 后再两边积分. 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点.(1) 由题意知 v v B A ta -==d d (1)用分离变量法把式(1)改写为t B A d d =-vv (2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度 )1(Bt e B A --=v 由此可知当,t →∞时,B A →v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度. (2) 再由)1(d d Bt e BA t y --==v 并考虑初始条件有 得石子运动方程1 -15 一质点具有恒定加速度a =6i +4j ,式中a 的单位为m·s-2 .在t =0时,其速度为零,位置矢量r 0 =10 m i .求:(1) 在任意时刻的速度和位置矢量;(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图.分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t ).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x x x x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 =0时v 0 =0,积分可得 又由td d r =v 及初始条件t =0 时,r 0=(10 m)i ,积分可得 由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x =10+3t 2 y =2t 2 消去参数t ,可得运动的轨迹方程 3y =2x -20 m 这是一个直线方程.直线斜率32tan d d ===αx y k ,α=33°41′.轨迹如图所示.1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ.(1) 试证位置A 和B 之间的平均加速度为)Δ(/)Δcos 1(22θR θa v -=;(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°和1°时,平均加速度各为多少? 并对结果加以讨论.分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为t d d v =a 和tΔΔv =a .在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为Ra n 2v =,t a ΔΔv = ,式中|Δv |可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出.由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt →0 时的极限值.解 (1) 由图(b)可看到Δv =v 2 -v 1 ,故而所以(2) 将Δθ=90°,30°,10°,1°分别代入上式,得R a 219003.0v ≈,Ra 229886.0v ≈ R a 239987.0v ≈,Ra 24000.1v ≈ 以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度R2v . 1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r = + )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s .求:(1)质点的轨迹方程;(2) 在t 1= 到t 2 = 时间内的平均速度;(3) t 1 =s时的速度及切向和法向加速度;(4) t = 时质点所在处轨道的曲率半径ρ.分析 根据运动方程可直接写出其分量式x =x (t )和y =y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr =v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度td d r =v .切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a t 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a t 得到.在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ. 解 (1) 由参数方程x =, y =消去t 得质点的轨迹方程:y =(2) 在t 1 =s 到t 2 =s时间内的平均速度(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t 1 =s时的速度v (t )|t =1s=切向和法向加速度分别为(4) t =s质点的速度大小为 则m 17.112==na ρv 1 -18 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =v t , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 -19 如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O 处,已知斜坡倾角为α,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v 0,忽略空气阻力.求:(1)炮弹落地点P 与点O 的距离OP ;(2) 欲使炮弹能垂直击中坡面.证明α和β必须满足αβtan 21tan =并与v 0 无关. 分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v 0cos β和v 0sin β,其加速度分别为g sin α和gcos α.在此坐标系中炮弹落地时,应有y =0,则x =OP .如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足v x =0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解.由于本题中加速度g 为恒矢量.故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即20g 21t t +=v r ,做出炮弹落地时的矢量图[如图(B)所示],由图中所示几何关系也可求得OP (即图中的r 矢量).(1)解1 由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为αgt βt x sin 21cos 20-=v (1) αgt βt y cos 21sin 20-=v (2) 令y =0 求得时间t 后再代入式(1)得解2 做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有从中消去t 后也可得到同样结果.(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y =0 和v x =0,则0sin cos 0=-=αgt βx v v (3)由(2)(3)两式消去t 后得由此可知.只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v 0 的大小无关.讨论 如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下.1 -20 一直立的雨伞,张开后其边缘圆周的半径为R ,离地面的高度为h ,(1) 当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时,求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为g ωh R r /212+=的圆周上;(2) 读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌溉用的旋转式洒水器的方案?分析 选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动.建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证.由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予精心的考虑.解 (1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为t ωR t x ==v (1)h gt y ==221 (2) 由式(1)(2)可得 gh ωR x 2222= 由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为(2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(θ0 =45°)其上有大量小孔.喷头旋转时,水滴以初速度v 0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上.则以φ角喷射的水柱射程为为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题.1 -21 一足球运动员在正对球门前 m 处以 m·s-1 的初速率罚任意球,已知球门高为 m .若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门,问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球? (足球可视为质点)分析 被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到.由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x 、y 值代入即可求出.解 取图示坐标系Oxy ,由运动方程θt x cos v =, 221sin gt θt y -=v 消去t 得轨迹方程以x = m,v = m·s-1 及 m≥y ≥0 代入后,可解得71.11°≥θ1 ≥69.92°27.92°≥θ2 ≥18.89°如何理解上述角度的范围?在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示).如果以θ>71.11°或θ <°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度的限制,θ 角也并非能取°与°之间的任何值.当倾角取值为°<θ <69.92°时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门.因此可取的角度范围只能是解中的结果.1 -22 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1 -23 一半径为 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比.在t =s 时测得轮缘一点的速度值为 m·s-1.求:(1) 该轮在t′=s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在s内所转过的角度.分析 首先应该确定角速度的函数关系ω=kt 2.依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω=ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移.解 因ωR =v ,由题意ω∝t 2 得比例系数所以 22)(t t ωω==则t ′=s 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度在s内该点所转过的角度1 -24 一质点在半径为 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为s.(1) 求在t =s时质点的法向加速度和切向加速度.(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少?(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等?分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到.解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t t θω==.在t =2 s 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为(2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 得 3213=t此时刻的角位置为(3) 要使t n a a =,则有 t =s1 -25 一无风的下雨天,一列火车以v 1= m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2 .(设下降的雨滴作匀速运动)分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1 -26 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan ≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.解 由122v v v -='[图(b)],有 而要使h l αarctan ≥,则1 -27 一人能在静水中以 m·s-1 的速度划船前进.今欲横渡一宽为 ×103 m 、水流速度为 m·s-1 的大河.(1) 他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点,那么应如何确定划行方向? 到达正对岸需多少时间? (2)如果希望用最短的时间过河,应如何确定划行方向? 船到达对岸的位置在什么地方?分析 船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的.由于水流速度u 的存在, v 与船在静水中划行的速度v ′之间有v =u +v ′(如图所示).若要使船到达正对岸,则必须使v 沿正对岸方向;在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值.解 (1) 由v =u +v ′可知v'=u αarcsin ,则船到达正对岸所需时间为 (2) 由于αcos v v '=,在划速v ′一定的条件下,只有当α=0 时, v 最大(即v =v ′),此时,船过河时间t ′=d /v ′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有1 -28 一质点相对观察者O 运动, 在任意时刻t , 其位置为x =v t , y =gt2 /2,质点运动的轨迹为抛物线.若另一观察者O′以速率v 沿x 轴正向相对于O 运动.试问质点相对O′的轨迹和加速度如何?分析 该问题涉及到运动的相对性.如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x ,y )变换至系O′中的点(x ′,y ′).由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的.解 取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x ′两轴平行.在t =0 时,两坐标原点重合.由坐标变换得。

物理学简明教程章课后习题答案

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第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式ts d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当at改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为当t =0 时, v 0x =-10 m·s-1 , v 0y =15 m·s-1 ,则初速度大小为设v 0与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则β=-33°41′(或326°19′)1 -5 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有得 03314v v +-=t t (1) 由 ⎰⎰=tx x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2)将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1)、(2)得v 0=-1 m·s-1, x 0= m于是可得质点运动方程为1 -6 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =v t , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为 因此质点运行的圈数为1 -8 一升降机以加速度 m·s-2上升,当上升速度为 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 m 716.0='-=h h d题 1-8 图1 -9 一无风的下雨天,一列火车以v 1= m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2 .(设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan ≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.题 1-20 图解 由122v v v -='[图(b)],有而要使hl αarctan ≥,则 1 -11 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值.当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).1 -12 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).1-13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B).*1 -14 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a 为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T =5/8 mg .故选(A).讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中a A 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.1 -15 在如图(a )所示的轻滑轮上跨有一轻绳,绳的两端连接着质量分别为1 kg 和2 kg 的物体A 和B ,现以50 N 的恒力F 向上提滑轮的轴,不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦,求A 和B 的加速度各为多少?题 1-15 图分析 在上提物体过程中,由于滑轮可以转动,所以A 、B 两物体对地加速度并不相同,故应将A 、B 和滑轮分别隔离后,运用牛顿定律求解,本题中因滑轮质量可以不计,故两边绳子张力相等,且有T 2F F =.解 隔离后,各物体受力如图(b )所示,有滑轮 02T =-F FA A A A T a m g m F =-B B B B T a m g m F =-联立三式,得 2.15A =a 7.2s m B 2=⋅-a ,2s m -⋅讨论 如由式a m m g m m F )()(B A B A +=+-求解,所得a 是A 、B 两物体构成的质点系的质心加速度,并不是A 、B 两物体的加速度.上式叫质心运动定理. 1 -16 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑.试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力.题 1-16 图分析 该题可由牛顿第二定律求解.在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a t,与其相对应的外力F t是重力的切向分量mg sin α,而与法向加速度a n 相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos α.由此,可分别列出切向和法向的动力学方程F t=m d v /d t 和F n =ma n .由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量.该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便.但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力.解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力F N .取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tm αmg F t d d sin v =-= (1) Rm m αmg F F N n 2cos v =-= (2) 由tαr t s d d d d ==v ,得v αr t d d =,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有 得 αrg cos 2=v则小球在点C 的角速度为由式(2)得 αmg αmg rm m F N cos 3cos 2=+=v 由此可得小球对圆轨道的作用力为负号表示F ′N 与e n 反向.1 -17 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求:(1) t 时刻物体的速率;(2) 当物体速率从v 0减少2/0v 时,物体所经历的时间及经过的路程.题 1-17 图分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题.物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F f ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程.解 (1) 设物体质量为m ,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有由分析中可知,摩擦力的大小F f=μF N ,由上述各式可得取初始条件t =0 时v =v 0 ,并对上式进行积分,有(2) 当物体的速率从v 0 减少到2/0v 时,由上式可得所需的时间为物体在这段时间内所经过的路程第二章 动量守恒定律和能量守恒定律2 -1 对质点系有以下几种说法:(1) 质点组总动量的改变与内力无关;(2) 质点组总动能的改变与内力无关;(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关.下列对上述说法判断正确的是( )(A) 只有(1)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述(1)(3)说法是正确的.故选(C).2 -2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则()(A) 物块到达斜面底端时的动量相等(B) 物块到达斜面底端时动能相等(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒分析与解对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒.物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功.由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等.动量自然也就不等(动量方向也不同).故(A)(B)(C)三种说法均不正确.至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零.由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒.2 -3如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧.另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有() (A) 动量守恒,机械能守恒(B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒(D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D).2 -4如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出.以地面为参考系,下列说法中正确的说法是()(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解 子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒.这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和).综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的.2 -5 质量为m 的物体,由水平面上点O 以初速为v 0 抛出,v 0与水平面成仰角α.若不计空气阻力,求:(1) 物体从发射点O 到最高点的过程中,重力的冲量;(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量.分析 重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可.由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间gαt sin Δ01v =,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍.这样,按冲量的定义即可求得结果.另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出.解1 物体从出发到达最高点所需的时间为则物体落回地面的时间为于是,在相应的过程中重力的冲量分别为解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、B 的过程中,重力的冲量分别为 2 -6 高空作业时系安全带是非常必要的.假如一质量为 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来.已知此时人离原处的距离为 m ,安全带弹性缓冲作用时间为 s .求安全带对人的平均冲力.分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段:在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动;在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短.为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论.事实上,动量定理也可应用于整个过程.但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的;而在过程的初态和末态,人体的速度均为零.这样,运用动量定理仍可得到相同的结果.解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论.在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为gh 21=v (1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有()12Δv v m m t -=+P F (2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为解2 从整个过程来讨论.根据动量定理有2 -7 如图所示,在水平地面上,有一横截面S = m 2 的直角弯管,管中有流速为v = m·s-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向.题 3-12 图分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量.因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp =Δm (v B -v A );此动量的变化是管壁在Δt 时间内对其作用冲量I 的结果.依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F ;由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′=-F .解 在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm =ρυS Δt ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为Δp =Δm (v B -v A ) =ρυS Δt (v B -v A )依据动量定理I =Δp ,得到管壁对这部分水的平均冲力从而可得水流对管壁作用力的大小为作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧.2 -8 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v 0 向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少? (假设人可视为质点)分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致.在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化.如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒.但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定.至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算.解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率.得 人的水平速率的增量为而人从最高点到地面的运动时间为所以,人跳跃后增加的距离2 -9 一质量为 kg 的球,系在长为 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开.求:(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功;(2) 物体在最低位置时的动能和速率;(3) 在最低位置时的张力.题 2-9 图分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功.小球摆动过程中同时受到重力和张力作用.重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得;至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式⎰⋅=s d F W ,即能得出结果来.(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率.(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定.解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即。

《物理学简明教程》课后习题及答案

《物理学简明教程》课后习题及答案

《物理学简明教程》课后习题及答案第一章质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v .但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ??+??? ??t y t x .下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ??? ??+??? ??=t y t x v 求解.故选(D).1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为当t =0 时, v 0x =-10 m·s-1 , v 0y =15 m·s-1 ,则初速度大小为设v 0与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -?==ta x x v , 2s m 40d d -?-==t a y y v 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则β=-33°41′(或326°19′)1 -5 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解由分析知,应有得 03314v v +-=t t (1) 由 ??=txx t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1)、(2)得v 0=-1 m·s-1, x 0=0.75 m于是可得质点运动方程为1 -6 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?题 1-13 图分析物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解(1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =v t , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1 -8 一升降机以加速度1.22 m·s-2上升,当上升速度为2.44 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 m 716.0='-=h h d题 1-8 图1 -9 一无风的下雨天,一列火车以v 1=20.0 m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2 .(设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan ≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.题 1-20 图解由122v v v -='[图(b)],有而要使hl αarctan ≥,则 1 -11 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值.当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).1 -12 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).1-13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B).*1 -14 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a 为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T=5/8 mg .故选(A).讨论对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中a A 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.1 -15 在如图(a )所示的轻滑轮上跨有一轻绳,绳的两端连接着质量分别为1 kg 和2 kg 的物体A 和B ,现以50 N 的恒力F 向上提滑轮的轴,不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦,求A 和B 的加速度各为多少?题 1-15 图分析在上提物体过程中,由于滑轮可以转动,所以A 、B 两物体对地加速度并不相同,故应将A 、B 和滑轮分别隔离后,运用牛顿定律求解,本题中因滑轮质量可以不计,故两边绳子张力相等,且有T 2F F =.解隔离后,各物体受力如图(b )所示,有滑轮 02T =-F FA A A A T a m g m F =-B B B B T a m g m F =-联立三式,得 2.15A =a 7.2s m B 2=?-a ,2s m -?讨论如由式a m m g m m F )()(B A B A +=+-求解,所得a 是A 、B 两物体构成的质点系的质心加速度,并不是A 、B 两物体的加速度.上式叫质心运动定理. 1 -16 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑.试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力.题 1-16 图分析该题可由牛顿第二定律求解.在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a t,与其相对应的外力F t是重力的切向分量mg sin α,而与法向加速度a n 相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos α.由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Ft=m d v /d t 和F n =ma n .由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量.该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便.但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力.解小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力F N .取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tm αmg F t d d sin v =-= (1) Rm m αmg F F N n 2cos v =-= (2) 由tαr t s d d d d ==v ,得v αr t d d =,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有得αrg cos 2=v则小球在点C 的角速度为由式(2)得αmg αmg rm m F N cos 3cos 2=+=v 由此可得小球对圆轨道的作用力为负号表示F ′N 与e n 反向.1 -17 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求:(1) t 时刻物体的速率;(2) 当物体速率从v 0减少2/0v 时,物体所经历的时间及经过的路程.题 1-17 图分析运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题.物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F f ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力, 这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程.解(1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有=μF N ,由上述各式可得由分析中可知,摩擦力的大小Ff取初始条件t =0 时v=v0 ,并对上式进行积分,有(2) 当物体的速率从v0减少到2/v时,由上式可得所需的时间为物体在这段时间内所经过的路程第二章动量守恒定律和能量守恒定律2 -1对质点系有以下几种说法:(1) 质点组总动量的改变与内力无关;(2) 质点组总动能的改变与内力无关;(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关.下列对上述说法判断正确的是()(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述(1)(3)说法是正确的.故选(C).2 -2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则()(A) 物块到达斜面底端时的动量相等(B) 物块到达斜面底端时动能相等(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒分析与解对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒.物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功.由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等.动量自然也就不等(动量方向也不同).故(A)(B)(C)三种说法均不正确.至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零.由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒.2 -3如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧.另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D 之间的摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有()(A) 动量守恒,机械能守恒 (B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒 (D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A 、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D).2 -4 如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出.以地面为参考系,下列说法中正确的说法是( )(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒.这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和).综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的. 2 -5 质量为m 的物体,由水平面上点O 以初速为v 0 抛出,v 0与水平面成仰角α.若不计空气阻力,求:(1) 物体从发射点O 到最高点的过程中,重力的冲量;(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量.分析重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可.由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间g αt sin Δ01v ,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍.这样,按冲量的定义即可求得结果.另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出.解1 物体从出发到达最高点所需的时间为则物体落回地面的时间为于是,在相应的过程中重力的冲量分别为解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、B 的过程中,重力的冲量分别为2 -6 高空作业时系安全带是非常必要的.假如一质量为51.0 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来.已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s .求安全带对人的平均冲力.分析从人受力的情况来看,可分两个阶段:在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动;在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短.为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论.事实上,动量定理也可应用于整个过程.但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的;而在过程的初态和末态,人体的速度均为零.这样,运用动量定理仍可得到相同的结果.解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论.在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为gh 21=v (1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有()12Δv v m m t -=+P F (2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为解2 从整个过程来讨论.根据动量定理有2 -7 如图所示,在水平地面上,有一横截面S =0.20 m 2 的直角弯管,管中有流速为v =3.0 m·s-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向.题 3-12 图分析对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量.因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp =Δm (v B -v A );此动量的变化是管壁在Δt 时间内对其作用冲量I 的结果.依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F ;由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′=-F .解在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm =ρυS Δt ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为Δp =Δm (v B -v A ) =ρυS Δt (v B -v A )依据动量定理I =Δp ,得到管壁对这部分水的平均冲力从而可得水流对管壁作用力的大小为作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧.2 -8 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v 0 向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少? (假设人可视为质点)分析人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致.在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化.如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒.但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定.至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算.解取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率.得人的水平速率的增量为而人从最高点到地面的运动时间为所以,人跳跃后增加的距离2 -9 一质量为0.20 kg 的球,系在长为2.00 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开.求:(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功;(2) 物体在最低位置时的动能和速率;(3) 在最低位置时的张力.题 2-9 图分析(1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功.小球摆动过程中同时受到重力和张力作用.重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得;至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式??=s d F W ,即能得出结果来.(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率.(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定.解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即在小球摆动过程中,张力F T的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果.初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为小球在最低位置的速率为(3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得。

大学物理学课后习题答案马文蔚第五版

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物理课后答案与解析1-1 分析与解(1) 质点在t 至(t +Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr|=PP′,而Δr =|r|-|r|表示质点位矢大小变化量,三个量物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等可能).但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有|dr|=ds,但却不等于dr.故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs,故,即||≠ .但由于|dr|=ds,故,即||=.由此可见,应选(C).1-2 分析与解表示质点到坐标原点距离随时间变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上一个分量;表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解.故选(D).1-3 分析与解表示切向加速度at,它表示速度大小随时间变化率,是加速度矢量沿速度方向一个分量,起改变速度大小作用;在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述);在自然坐标系中表示质点速率v;而表示加速度大小而不是切向加速度at.因此只有(3) 式表达是正确.故选(D).1-4 分析与解加速度切向分量at起改变速度大小作用,而法向分量an起改变速度方向作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变.至于at是否改变,则要视质点速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, at恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, at为一不为零恒量,当at改变时,质点则作一般变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1-5 分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船绳长为l,则小船运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化.小船速度,式中表示绳长l 随时间变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x 轴负向.由速度表达式,可判断小船作变加速运动.故选(C).1-6 分析位移和路程是两个完全不同概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移大小才会与路程相等.质点在t 时间内位移Δx 大小可直接由运动方程得到:,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移大小和路程就不同了.为此,需根据来确定其运动方向改变时刻tp ,求出0~tp 和tp~t 内位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内路程,如图所示,至于t =4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算.解(1) 质点在4.0 s内位移大小(2) 由得知质点换向时刻为(t=0不合题意)则,所以,质点在4.0 s时间间隔内路程为(3) t=4.0 s时,,1-7 分析根据加速度定义可知,在直线运动中v-t曲线斜率为加速度大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动;而线段BC 斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动).加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴直线,由v-t 图中求出各段斜率,即可作出a-t 图线.又由速度定义可知,x-t 曲线斜率为速度大小.因此,匀速直线运动所对应x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应x–t 图为t 二次曲线.根据各段时间内运动方程x=x(t),求出不同时刻t 位置x,采用描数据点方法,可作出x-t 图.解将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应加速度值分别为(匀加速直线运动), (匀速直线运动)(匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点a-t 图[图(B)].在匀变速直线运动中,有由此,可计算在0~2s和4~6s时间间隔内各时刻位置分别为用描数据点作图方法,由表中数据可作0~2s和4~6s时间内x -t 图.在2~4s时间内, 质点是作匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k=20一段直线[图(c)].1-8 分析质点轨迹方程为y =f(x),可由运动方程两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到.对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算.其中对s求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则,最后用积分求s.解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为,这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示.(2) 将t =0s和t =2s分别代入运动方程,可得相应位矢分别为,图(a)中P、Q 两点,即为t =0s和t =2s时质点所在位置.(3) 由位移表达式,得其中位移大小而径向增量*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可得,代入ds,则2s内路程为1-9 分析由运动方程分量式可分别求出速度、加速度分量,再由运动合成算出速度和加速度大小和方向.解(1) 速度分量式为,当t =0 时, vox =-10 m?6?1s-1 , voy =15 m?6?1s-1 ,则初速度大小为设vo与x 轴夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度分量式为,则加速度大小为设a 与x 轴夹角为β,则,β=-33°41′(或326°19′)1-10 分析在升降机与螺丝之间有相对运动情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上匀加速度运动和初速不为零螺丝自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中运动方程y1 =y1(t)和y2 =y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢高度就是螺丝(或升降机)运动路程.解1(1) 以地面为参考系,取如图所示坐标系,升降机与螺丝运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y1 =y2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降距离为解2(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它加速度大小a′=g +a,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升高度为则1-11 分析该题属于运动学第一类问题,即已知运动方程r =r(t)求质点运动一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′=x′(t)和y′=y′(t)来表示圆周运动是比较方便.然后,运用坐标变换x =x0 +x′和y =y0 +y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻位矢.采用对运动方程求导方法可得速度和加速度.解(1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P 参数方程为,坐标变换后,在Oxy 坐标系中有,则质点P 位矢方程为(2) 5s时速度和加速度分别为1-12 分析为求杆顶在地面上影子速度大小,必须建立影长与时间函数关系,即影子端点位矢方程.根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动角速度求得.由于运动相对性,太阳光线对地转动角速度也就是地球自转角速度.这样,影子端点位矢方程和速度均可求得.解设太阳光线对地转动角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆影长为s=htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子速度大小为当杆长等于影长时,即s =h,则即为下午3∶00 时.1-13 分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由和可得和.如a=a(t)或v =v(t),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解由分析知,应有得(1)由得(2)将t=3s时,x=9 m,v=2 m?6?1s-1代入(1) (2)得v0=-1 m?6?1s-1,x0=0.75 m.于是可得质点运动方程为1-14 分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v函数,因此,需将式dv =a(v)dt 分离变量为后再两边积分.解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点.(1) 由题意知(1)用分离变量法把式(1)改写为(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度由此可知当,t→∞时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度.(2) 再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-15 分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r两个分量式x(t)和y(t).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.解由加速度定义式,根据初始条件t0 =0时v0 =0,积分可得又由及初始条件t=0 时,r0=(10 m)i,积分可得由上述结果可得质点运动方程分量式,即x =10+3t2 y =2t2消去参数t,可得运动轨迹方程3y =2x -20 m这是一个直线方程.直线斜率,α=33°41′.轨迹如图所示.1-16 分析瞬时加速度和平均加速度物理含义不同,它们分别表示为和.在匀速率圆周运动中,它们大小分别为, ,式中|Δv|可由图(B)中几何关系得到,而Δt 可由转过角度Δθ 求出.由计算结果能清楚地看到两者之间关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时极限值.解(1) 由图(b)可看到Δv =v2 -v1 ,故而所以(2) 将Δθ=90°,30°,10°,1°分别代入上式,得,, ,以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度.1-17 分析根据运动方程可直接写出其分量式x =x(t)和y =y(t),从中消去参数t,即得质点轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置变化率,即,它与时间间隔Δt 大小有关,当Δt→0 时,平均速度极限即瞬时速度.切向和法向加速度是指在自然坐标下分矢量at和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小变化率,即,后者只反映质点速度方向变化,它可由总加速度a 和at得到.在求得t1 时刻质点速度和法向加速度大小后,可由公式求ρ.解(1) 由参数方程x =2.0t,y =19.0-2.0t2消去t 得质点轨迹方程:y =19.0 -0.50x2(2) 在t1 =1.00s到t2 =2.0s时间内平均速度(3) 质点在任意时刻速度和加速度分别为则t1 =1.00s时速度v(t)|t =1s=2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为(4) t =1.0s质点速度大小为则1-18 分析物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下重力加速度.为求特定时刻t时物体切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间夹角α或β.由图可知,在特定时刻t,物体切向加速度和水平线之间夹角α,可由此时刻两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 切向和法向分量求得.解(1) 取如图所示坐标,物品下落时在水平和竖直方向运动方程分别为x =vt,y =1/2 gt2飞机水平飞行速度v=100 m?6?1s-1 ,飞机离地面高度y=100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前距离(2) 视线和水平线夹角为(3) 在任意时刻物品速度与水平轴夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度切向分量与法向分量分别为1-19 分析这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当坐标系,将运动分解话,求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v0cosβ和v0sinβ,其加速度分别为gsi nα和gcosα.在此坐标系中炮弹落地时,应有y =0,则x =OP.如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足vx =0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解.由于本题中加速度g 为恒矢量.故第一问也可由运动方程矢量式计算,即,做出炮弹落地时矢量图[如图(B)所示],由图中所示几何关系也可求得(即图中r 矢量).解1由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为(1) (2)令y =0 求得时间t 后再代入式(1)得解2做出炮弹运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有从中消去t 后也可得到同样结果.(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y =0 和vx =0,则(3)由(2)(3)两式消去t 后得由此可知.只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v0 大小无关.讨论如将炮弹运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下.1-20 分析选定伞边缘O 处雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动.建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证.由此可以想像如果让水从一个旋转有很多小孔喷头中飞出,从不同小孔中飞出水滴将会落在半径不同圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔分布解(1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地运动方程为(1) (2)由式(1)(2)可得由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周半径为(2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示球面喷头(θ0 =45°)其上有大量小孔.喷头旋转时,水滴以初速度v0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上.则以φ角喷射水柱射程为为使喷头周围草坪能被均匀喷洒,喷头上小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中一个关键问题.1-21 分析被踢出后足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内运动方程得到.由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向范围,故只需将x、y 值代入即可求出.解取图示坐标系Oxy,由运动方程,消去t 得轨迹方程以x =25.0 m,v =20.0 m?6?1s-1 及3.44 m≥y≥0 代入后,可解得71.11°≥θ1 ≥69.92° 27.92°≥θ2 ≥18.89°如何理解上述角度范围?在初速一定条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同投射倾角(如图所示).如果以θ>71.11°或θ <18.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度限制,θ 角也并非能取71.11°与18.89°之间任何值.当倾角取值为27.92°<θ <69.92°时,踢出足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门.因此可取角度范围只能是解中结果.1-22 分析在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始曲线坐标.由给定运动方程s =s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动速度v 和加速度切向分量at,而加速度法向分量为an=v2 /R.这样,总加速度为a =atet+anen.至于质点在t 时间内通过路程,即为曲线坐标改变量Δs=st -s0.因圆周长为2πR,质点所转过圈数自然可求得.解(1) 质点作圆周运动速率为其加速度切向分量和法向分量分别为,故加速度大小为其方向与切线之间夹角为(2) 要使|a|=b,由可得(3) 从t=0 开始到t=v0 /b 时,质点经过路程为因此质点运行圈数为1-23 分析首先应该确定角速度函数关系ω=kt2.依据角量与线量关系由特定时刻速度值可得相应角速度,从而求出式中比例系数k,ω=ω(t)确定后,注意到运动角量描述与线量描述相应关系,由运动学中两类问题求解方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻角加速度、切向加速度和角位移.解因ωR =v,由题意ω∝t2 得比例系数所以则t′=0.5s时角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度在2.0s内该点所转过角度1-24 分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程对应关系,应用运动学求解方法即可得到.解(1) 由于,则角速度.在t =2 s时,法向加速度和切向加速度数值分别为(2) 当时,有,即得此时刻角位置为(3) 要使,则有t =0.55s1-25 分析这是一个相对运动问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v1 为S′相对S速度,v2 为雨滴相对S速度,利用相对运动速度关系即可解.解以地面为参考系,火车相对地面运动速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落速度为v2 ,旅客看到雨滴下落速度v2′为相对速度,它们之间关系为(如图所示),于是可得1-26 分析这也是一个相对运动问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落方向(即雨点相对于汽车运动速度v2′方向)应满足.再由相对速度矢量关系,即可求出所需车速v1.解由[图(b)],有而要使,则1-27 分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸速度v 决定.由于水流速度u存在, v与船在静水中划行速度v′之间有v=u +v′(如图所示).若要使船到达正对岸,则必须使v沿正对岸方向;在划速一定条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值.解(1) 由v=u +v′可知,则船到达正对岸所需时间为(2) 由于,在划速v′一定条件下,只有当α=0 时, v 最大(即v=v′),此时,船过河时间t′=d /v′,船到达距正对岸为l 下游处,且有1-28 分析该问题涉及到运动相对性.如何将已知质点相对于观察者O 运动转换到相对于观察者O′运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x,y)变换至系O′中点(x′,y′).由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性.解取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在坐标系,且使Ox 和O′x′两轴平行.在t =0 时,两坐标原点重合.由坐标变换得x′=x - v t =v t - v t =0 y′=y =1/2 gt2加速度由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动.动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换必然结果.2-1 分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体支持力消失为零,物体在绳子拉力FT(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D).求解关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间物体受力情况和状态特征.2-2 分析与解与滑动摩擦力不同是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值.当FN增加时,静摩擦力可取最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).2-3 分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间静摩擦力提供,能够提供最大向心力应为μFN.由此可算得汽车转弯最大速率应为v=μRg.因此只要汽车转弯时实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).2-4 分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变重力以及时刻指向圆轨道中心轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力切向分量(m gcos θ) 使物体速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上动力学方程可判断,随θ 角不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选(B).2-5 分析与解本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a′为A、B 两物体相对电梯加速度,ma′为惯性力.对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得FT=5/8 mg.故选(A).讨论对于习题2 -5 这种类型物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体加速度aA 和aB 均应对地而言,本题中aA 和aB大小与方向均不相同.其中aA 应斜向上.对aA 、aB 、a 和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁.有兴趣读者不妨自己尝试一下.2-6 分析动力学问题一般分为两类:(1) 已知物体受力求其运动情况;(2) 已知物体运动情况来分析其所受力.当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来.本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间函数关系α=f(t),然后运用对t 求极值方法即可得出数值来.解取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有(1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有则(2)为使下滑时间最短,可令,由式(2)有则可得,此时2-7 分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体.处理动力学问题通常采用“隔离体”方法,分析物体所受各种作用力,在所选定惯性系中列出它们各自动力学方程.根据连接体中物体多少可列出相应数目方程式.结合各物体之间相互作用和联系,可解决物体运动或相互作用力.解按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向(如图所示).当框架以加速度a 上升时,有FT-(m1 +m2 )g =(m1 +m2 )a (1) ,FN2 - m2 g =m2 a (2)解上述方程,得FT=(m1 +m2 )(g +a) (3) FN2 =m2 (g +a) (4)(1) 当整个装置以加速度a =10 m?6?1s-2 上升时,由式(3)可得绳所受张力值为FT=5.94 ×103 N乙对甲作用力为F′N2 =-FN2 =-m2 (g +a) =-1.98 ×103 N(2) 当整个装置以加速度a =1 m?6?1s-2 上升时,得绳张力值为FT=3.24 ×103 N此时,乙对甲作用力则为F′N2 =-1.08 ×103 N由上述计算可见,在起吊相同重量物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大.因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程安全.2-8 分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解.分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件,即必须在绳质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间摩擦不计前提下成立.同时也要注意到张力方向是不同.解分别对物体和滑轮作受力分析[图(b)].由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有mA g -FT=mA a (1)F′T1 -Ff=mB a′ (2)F′T-2FT1 =0 (3)考虑到mA =mB =m, FT=F′T, FT1 =F′T1 ,a′=2a,可联立解得物体与桌面摩擦力讨论动力学问题一般解题步骤可分为:(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标;(2) 根据物理定理和定律列出原始方程组;(3) 解方程组,得出文字结果;(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来.2-9 分析当木块B 平稳地轻轻放至运动着平板A 上时,木块初速度可视为零,由于它与平板之间速度差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们运动状态.根据牛顿定律可得到它们各自相对地面加速度.换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得.该题也可应用第三章所讲述系统动能定理来解.将平板与木块作为系统,该系统动能由平板原有动能变为木块和平板一起运动动能,而它们共同速度可根据动量定理求得.又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统动能定理,摩擦力功应等于系统动能增量.木块相对平板移动距离即可求出.解1以地面为参考系,在摩擦力Ff=μmg 作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程Ff=μmg =ma1 F′f=-Ff=m′a2a1 和a2 分别是木块和木板相对地面参考系加速度.若以木板为参考系,木块相对平板加速度a =a1 +a2 ,木块相对平板以初速度- v′作匀减速运动直至最终停止.由运动学规律有- v′2 =2as由上述各式可得木块相对于平板所移动距离为解2以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作总功为W =Ff(s +l) -Ffl =μmgs式中l 为平板相对地面移动距离.由于系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,根据动量守恒定律,有m′v′=(m′+m) v″由系统动能定理,有由上述各式可得2-10 分析维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应力(向心力),而该力是由碗内壁对球支持力FN 分力来提供,由于支持力FN 始终垂直于碗内壁,所以支持力大小和方向是随ω而变.取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底高度.解取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示.在图示坐标中列动力学方程(1)(2)且有(3)由上述各式可解得钢球距碗底高度为可见,h 随ω变化而变化.2-11 分析如题所述,外轨超高目欲使火车转弯所需向心力仅由轨道支持力水平分量FNsinθ 提供(式中θ 角为路面倾角).从而不会对内外轨产生挤压.与其对应是火车转弯时必须以规定速率v0行驶.当火车行驶速率v≠v0 时,则会产生两种情况:如图所示,如v>v0 时,外轨将会对车轮产生斜向内侧压力F1 ,以补偿原向心力不足,如v<v0时,则内轨对车轮产生斜向外侧压力F2 ,以抵消多余向心力,无论哪种情况火车都将对外轨或内轨产生挤压.由此可知,铁路部门为什么会在每个铁轨转弯处规定时速,从而确保行车安全.解(1) 以火车为研究对象,建立如图所示坐标系.据分析,由牛顿定律有(1) (2)解(1)(2)两式可得火车转弯时规定速率为(2) 当v>v0 时,根据分析有(3) (4)解(3)(4)两式,可得外轨侧压力为当v<v0 时,根据分析有(5) (6)。

物理学简明教程1-9章课后习题答案

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第一章质点运动学1 -1质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t + A t)时间内的位移 为A r ,路程为A s,位矢大小的变化量为 A r (或称A 丨r | ),平均速度为v ,平均速率为V .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) | A | =A s = A r(B) | A | 工& MA r,当A t T 0时有| d r | = =ds M d (C) | A | 工& M s,当 A t TO 时有| d r | = =dr M d (D) | A |MA s MA r,当 A t T 0 时有1 d r | : =dr = ds⑵ 根据上述情况,则必有( )(A) | v | =v , | v | = v(B) | v | M v , | v | M A (C) | v | =v , | v | M A(D)| v | M v ,| v | = v分析与解 (1)质点在t 至(t + A t)时间内沿曲线从P 点运动到P 点,各量关系如图所示,其 中路程A s = PP ,位移大小| A r |= PP '而A r =| r | - | r |表示质点位矢大小的变化量 ,三 个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等 (注:在直线运动中有相等的可能 ).但当 A t T 0时,点P 无限趋近P 点,则有| d r | = ds,但却不等于dr .故选(B). ⑵由于| A r |咼s,故空=空,即| V |训.A t A t)(B) 只有(2)正确 (D)只有(3)(4)正确X但由于| d r |= ds,故一dtds百,即V .由此可见,应选(C).1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即dr下述判断正确的是( (A)只有(1)(2)正确 (C)只有(2)(3)正确⑵丄;dt分析与解 dr 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率. 通常dt用符号V r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量; d r 表示速度矢量;在自然坐标系中dt1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )分析与解 加速度的切向分量a t 起改变速度大小的作用用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的•至于 a t 是否改变,则要视质点的速率情况而定•质点作匀速率圆周 运动时,a t 恒为零;质点作匀变速率圆周运动时 ,a t 为一不为零的恒量,当a t 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动•由此可见 ,应选(B).1 -4质点的运动方程为x - -10t 30t 22y =15t -20t式中x ,y 的单位为m ,t 的单位为s.试求:(1)初速度的大小和方向;(2)加速度的大小和方向. 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量 ,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解(1)速度的分量式为设V o 与X 轴的夹角为a 则V 0 y 3tan a :V 0x2a= 123° 41(2)加速度的分量式为速度大小可用公式八詈计算,在直角坐标系中则可由公式(A)切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变 (B)切向加速度可能不变 ,法向加速度一定改变 (C)切向加速度可能不变,法向加速度不变(D)切向加速度一定改变 ,法向加速度不变,而法向分量a n 起改变速度方向的作当t = 0 时,v ox = -10 m-1s 』一10 60tdt二叢=15-40tdt_1V xv y,V 0y = 15 m s,则初速度大小为V 0 二■. V0x 2V 0y 2= 18.0 m s'叫=60 m s' , a y =竺=-40 m s*dt dt设a 与x 轴的夹角为3则tan 3 二色=-2a x 33= -33 ° 41或 326 ° 19 ')1 -5质点沿直线运动,加速度a = 4 -t 2式中a 的单位为m ・s -2,t 的单位为s.如果当t = 3 s 时,x = 9 m ,v =2 m s -1,求质点的运动方程.分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积 分方法解决.由a =巴和v =逖可得dv = adt 和dx = vdt .如a = a (t )或v = v (t ),则可两边 dtdt直接积分•如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后 再做积分.解由分析知,应有v =4t —h 3 v 03xdx二x)1x = 2t 2t 4v 0t x 0 12于是可得质点运动方程为4- 0.751 -6飞机以100 m s -1的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投 到前方某一地面目标处,问:(1)此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2)投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度? (3)物品投出2.0 s 后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?a x 则加速度的大小为-72.1 m s 2vdvv 0t oadtt°vdt将t = 3 s 时,x = 9 m ,v = 2 m - s-1代入⑴、⑵得 V 0= -1 m -s -1x o = 0.75 ma二4yX1题1-13图分析物品空投后作平抛运动•忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动•到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的•因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角碱3-由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角a可由此时刻的两速度分量v x、v y求出,这样也就可将重力加速度g的切向和法向分量求得.解(1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为2x = vt, y = 1/2 gt飞机水平飞行速度v= 100 m-s"1,飞机离地面的高度y= 100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为0 = arctan ' =12.5°x(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为a 二 arctan^ 二arctan型V x v取自然坐标,物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 21 -7 一质点沿半径为R的圆周按规律S=V o t bt运动,V0、b都是常量.(1)求t时刻2质点的总加速度;(2) t为何值时总加速度在数值上等于b? (3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈?a t = gsin a = gsin arctan 述"88 m s'va n = geos。

物理学教程第二版马文蔚上册课后答案完整版

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For personal use only in study and research; not forcommercial use第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P ′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP ′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x .下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D).1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a t表示切向加速度.对下列表达式,即(1)d v /d t =a ;(2)d r /d t =v ;(3)d s /d t =v ;(4)d v /d t |=a t.下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a t,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;tr d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述);ts d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ;而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a t.因此只有(3) 式表达是正确的.故选(D).1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -5 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s .求:(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小;(2) 质点在该时间内所通过的路程;(3) t =4 s 时质点的速度和加速度.分析 位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等.质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到:0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了.为此,需根据0d d =tx 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0~t p 和t p ~t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t =4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算. 题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小(2) 由0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t =0不合题意) 则所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为(3) t =4.0 s 时1 -6 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为s.求:(1) 质点的运动轨迹;(2) t =0 及t =2s时,质点的位矢;(3) 由t =0 到t =2s内质点的位移Δr 和径向增量Δr ;分析 质点的轨迹方程为y =f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到.对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示.(2) 将t =0s和t =2s分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t =0s和t =2s时质点所在位置.(3) 由位移表达式,得 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r 而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r 题 1-6 图1 -7 质点的运动方程为式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为当t =0 时, v 0x =-10 m ·s-1 , v 0y =15 m ·s-1 ,则初速度大小为设v 0与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==t a x x v , 2s m 40d d -⋅-==ta y y v 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则β=-33°41′(或326°19′)1 -8 一升降机以加速度1.22 m ·s-2上升,当上升速度为2.44 m ·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 m 716.0='-=h h d题 1-8 图1 -9 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m ·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m ·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=tx x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m ·s-1代入(1)、(2)得v 0=-1 m ·s-1, x 0=0.75 m于是可得质点运动方程为1 -10 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a =A -B v ,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程.分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v =a (v )d t 分离变量为t a d )(d =v v 后再两边积分.解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点.(1) 由题意知 v v B A t a -==d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为t B A d d =-v v (2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度 )e 1(Bt BA --=v由此可知当,t →∞时,B A →v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度. (2) 再由)e 1(d d Bt BA t y --==v 并考虑初始条件有 得石子运动方程1 -11 一质点具有恒定加速度a =6i +4j ,式中a 的单位为m ·s-2 .在t =0时,其速度为零,位置矢量r 0 =10 m i .求:(1) 在任意时刻的速度和位置矢量;(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图.题 1-11 图分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t ).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x x x x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 =0时v 0 =0,积分可得 又由td d r =v 及初始条件t =0 时,r 0=(10 m)i ,积分可得 由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x =10+3t 2y =2t 2消去参数t ,可得运动的轨迹方程3y =2x -20 m 这是一个直线方程.直线斜率32tan d d ===αx y k ,α=33°41′.轨迹如图所示.1 -12 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r =2.0t i +(19.0 -2.0t 2 )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s .求:(1)质点的轨迹方程;(2) 在t 1=1.0s 到t 2 =2.0s 时间内的平均速度;(3) t 1 =1.0s时的速度及切向和法向加速度;(4) t =1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ.分析 根据运动方程可直接写出其分量式x =x (t )和y =y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr =v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度t d d r =v .切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a t 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a t 得到.在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ. 解 (1) 由参数方程x =2.0t , y =19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程:y =19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 =1.00s 到t 2 =2.0s时间内的平均速度(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t 1 =1.00s时的速度v (t )|t =1s=2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为(4) t =1.0s质点的速度大小为 则m 17.112==na ρv 1 -13 飞机以100 m ·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =vt , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m ·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 -14 为迎接香港回归,特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口,如图所示,柯驾车从跑道东端启动,到达跑道终端时速度大小为1500=v h km 1-⋅,他随即以仰角 5=α冲出,飞越跨度达57 m ,安全着陆在西岸木桥上,求:题 1-14 图(1) 柯飞车跨越黄河用了多长时间?(2) 若起飞点高出河面10 m ,柯驾车飞行的最高点距河面为几米?(3) 西岸木桥和起飞点的高度差为多少?分析 由题意知,飞车作斜上抛运动,对包含抛体在内的一般曲线运动来说,运用叠加原理是求解此类问题的普适方法,操作程序是:建立一个恰当的直角坐标系,将运动分解为两个相互正交的直线运动,由于在抛体运动中,质点的加速度恒为g ,故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动,直接列出相关运动规律方程即可求解,本题可建立图示坐标系,图中m m x y 和分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度.解 在图示坐标系中,有t v x )cos (0α= (1) 2021sin (gt t v y -=)α (2)gt v v y -=αsin 0 (3)(1) 由式(1),令57m ==x x m ,得飞跃时间37.1cos 0m m ==αv x t s (2)由式(3),令0=y v ,得飞行到最大高度所需时间将’m t 代入式(2),得飞行最大高度67.02sin 220m ==gv y αm 则飞车在最高点时距河面距离为10m +=y h m 67.10= m(3)将37.1m =t s 代入式(2),得西岸木桥位置为y = - 4.22 m“-”号表示木桥在飞车起飞点的下方.讨论 本题也可以水面为坐标系原点,则飞车在 y 方向上的运动方程应为10=y m + 2021)sin (gt t v -α 1 -15 如图所示,从山坡底端将小球抛出,已知该山坡有恒定倾角30=α,球的抛射角 60=β,设球被抛出时的速率v 0 =19.6 m ·s-1,忽略空气阻力,问球落在山坡上处离山坡底端的距离为多少?此过程经历多长时间?题 1-15 图分析 求解方法与上题类似,但本题可将运动按两种方式分解,如图(a )和图(b )所示.在图(a )坐标系中,两个分运动均为匀减速直线运动,加速度大小分别为-g αcos 和-g αsin ,看似复杂,但求解本题确较方便,因为落地时有y =0,对应的时间t 和x 的值即为本题所求.在图(b )坐标系中,分运动看似简单,但求解本题还需将落地点P 的坐标y 与x 的关系列出来.解 1 由分析知,在图(a )坐标系中,有 20)sin (21)]cos([t g t v x ααβ-+-= (1) 20)cos (21)]sin([t g t v y ααβ-+-= (2) 落地时,有y =0,由式(2)解得飞行时间为31.230tan 20== g v t s 将 t 值代入式(1),得1.263220===gv x OP m 解 2 由分析知,在图(b )坐标系中,对小球 t v x )cos (0β=(1) 2021)sin (gt t v y -=β (2)对点P αtan x y ='(3)由式(1)、(2)可得球的轨道方程为 ββ2202cos 2tan v gx x y -= (4) 落地时,应有y y '=,即解之得落地点P 的x 坐标为 gv x 3320= (5)则 1.263230cos 20===gv x OP m 联解式(1)和式(5)可得飞行时间31.2=t s讨论 比较两种解法,你对如何灵活运用叠加原理有什么体会? 1 -16 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , R bt R a n 202)(-==v v故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1 -17 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比.在t =2.0s 时测得轮缘一点的速度值为4.0m ·s-1.求:(1) 该轮在t ′=0.5s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在2.0s内所转过的角度.分析 首先应该确定角速度的函数关系ω=kt 2.依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω=ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移.解 因ωR =v ,由题意ω∝t 2 得比例系数所以 22)(t t ωω==则t ′=0.5s 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度在2.0s内该点所转过的角度1 -18 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为s.(1) 求在t =2.0s时质点的法向加速度和切向加速度.(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少?(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等?分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到.解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==.在t =2 s 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为(2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 得 3213=t此时刻的角位置为(3) 要使t n a a =,则有 t =0.55s1 -19 一无风的下雨天,一列火车以v 1=20.0 m ·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v 2 .(设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1 -20 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.题 1-20 图解 由122v v v -='[图(b)],有 而要使h l αarctan ≥,则 第二章 牛顿定律2 -1如图(a)所示,质量为m的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ(B) g cos θ(C) g tan θ(D) g cot θ分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FT(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D).求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征.2 -2用水平力F N把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N成正比地增大(C) 开始随F N增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N范围内取值.当F N增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).2 -3一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gRμμ(B) 必须等于gR(C) 不得大于gRμ (D) 还应由汽车的质量m决定分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N.由此可算得汽车转弯的最大速率应为v=μRg.因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).2 -4一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B).*2 -5 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a 为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T =5/8 mg .故选(A).讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中a A 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.2 -6 图示一斜面,倾角为α,底边AB 长为l =2.1 m,质量为m 的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ=0.14.试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短? 其数值为多少?分析 动力学问题一般分为两类:(1) 已知物体受力求其运动情况;(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力.当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来.本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α=f (t ),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来.解 取沿斜面为坐标轴Ox ,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有ma αmg μαmg =-cos sin (1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有则 ()αμααg l t cos sin cos 2-= (2) 为使下滑的时间最短,可令0d d =αt ,由式(2)有 则可得 μα12tan -=,o 49=α此时 ()s 99.0cos sin cos 2min =-=αμααg l t 2 -7 工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空.甲块质量为m 1 =2.00 ×102 kg,乙块质量为m 2 =1.00 ×102kg .设吊车、框架和钢丝绳的质量不计.试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力:(1) 两物块以10.0 m ·s-2 的加速度上升;(2) 两物块以1.0 m ·s-2 的加速度上升.从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗?题 2-7 图分析 预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体.处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程.根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式.结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力.解 按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向(如图所示).当框架以加速度a 上升时,有FT-( m1+m2 )g =(m1+m2 )a (1)F N2 - m2 g =m2 a (2) 解上述方程,得FT=(m1+m2 )(g +a) (3)F N2=m2 (g +a) (4)(1) 当整个装置以加速度a=10 m·s-2上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为FT=5.94 ×103 N乙对甲的作用力为F′N2=-F N2=-m2 (g +a)=-1.98 ×103 N(2) 当整个装置以加速度a=1 m·s-2上升时,得绳张力的值为FT=3.24 ×103 N此时,乙对甲的作用力则为F′N2=-1.08 ×103 N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大.因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全.2 -8 如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m=3.0kg 物体A以加速度a =1.0 m·s-2运动,求物体B 与桌面间的摩擦力.(滑轮与连接绳的质量不计)分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解.分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立.同时也要注意到张力方向是不同的.解分别对物体和滑轮作受力分析[图(b)].由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有m A g-FT=m A a (1)F′T1 -Ff=m B a′ (2)F′T -2FT1=0 (3)考虑到m A=m B=m, FT=F′T , FT1=F′T1 ,a′=2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力题 2-8 图讨论动力学问题的一般解题步骤可分为:(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标;(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组;(3) 解方程组,得出文字结果;(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来.2 -9质量为m′的长平板A 以速度v′在光滑平面上作直线运动,现将质量为m 的木块B 轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度?分析当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态.根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度.换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得.该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解.将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得.又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量.木块相对平板移动的距离即可求出.解1 以地面为参考系,在摩擦力F=μmg的作用下,根据牛顿定律f分别对木块、平板列出动力学方程F=μmg=ma1fF=-f F=m′a2fa1和a2分别是木块和木板相对地面参考系的加速度.若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a=a1+a2 ,木块相对平板以初速度-v′作匀减速运动直至最终停止.由运动学规律有-v′2=2as。

物理学(第五版)马文蔚第1至8章课后习题参考答案详解

物理学(第五版)马文蔚第1至8章课后习题参考答案详解

1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( ) (A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r (C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s (D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) |v |= v ,|v |=v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故tst ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故tst d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x .下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解trd d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t sd d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D).1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a t表示切向加速度.对下列表达式,即(1)d v /d t =a ;(2)d r /d t =v ;(3)d s /d t =v ;(4)d v /d t |=a t. 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 分析与解td d v表示切向加速度a t,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;t r d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述);ts d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ;而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a t.因此只有(3) 式表达是正确的.故选(D).1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动.设该人以匀速率v 0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( )(A) 匀加速运动,θcos 0v v =(B) 匀减速运动,θcos 0v v = (C) 变加速运动,θcos 0v v =(D) 变减速运动,θcos 0v v =(E) 匀速直线运动,0v v =分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l ,则小船的运动方程为22h l x -=,其中绳长l 随时间t 而变化.小船速度22d d d d hl t l lt x -==v ,式中t l d d 表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v 0,代入整理后为θl h l cos /0220v v v =-=,方向沿x 轴负向.由速度表达式,可判断小船作变加速运动.故选(C).讨论 有人会将绳子速率v 0按x 、y 两个方向分解,则小船速度θcos 0v v =,这样做对吗?1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s .求: (1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小; (2) 质点在该时间内所通过的路程;(3) t =4 s 时质点的速度和加速度.分析 位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等.质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到:0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了.为此,需根据0d d =tx来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0~t p 和t p ~t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t =4.0 s 时质点速度和加速度可用t x d d 和22d d t x 两式计算.解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t =0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x x m 40Δ242-=-=x x x 所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t =4.0 s 时1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示.设t =0 时,x =0.试根据已知的v -t 图,画出a -t 图以及x -t 图.分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v -t 曲线的斜率为加速度的大小(图中AB 、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动;而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动).加速度为恒量,在a -t 图上是平行于t 轴的直线,由v -t 图中求出各段的斜率,即可作出a -t 图线.又由速度的定义可知,x -t 曲线的斜率为速度的大小.因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x –t 图为t 的二次曲线.根据各段时间内的运动方程x =x (t ),求出不同时刻t 的位置x ,采用描数据点的方法,可作出x -t 图.解 将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为2s m 20-⋅=--=AB AB AB t t a v v (匀加速直线运动)0=BC a (匀速直线运动)2s m 10-⋅-=--=CD CD CD t t a v v (匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a -t 图[图(B)].在匀变速直线运动中,有由此,可计算在0~2s和4~6s时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的x -t 图.在2~4s时间内, 质点是作1s m 20-⋅=v 的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k =20的一段直线[图(c)].1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为s.求: (1) 质点的运动轨迹;(2) t =0 及t =2s时,质点的位矢;(3) 由t =0 到t =2s内质点的位移Δr 和径向增量Δr ;*(4) 2 s 内质点所走过的路程s .分析 质点的轨迹方程为y =f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到.对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算.其中对s 的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,最后用⎰=s s d 积分求s.解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为 这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示.(2) 将t =0s和t =2s分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t =0s和t =2s时质点所在位置.(3) 由位移表达式,得 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x rr r r*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ 段长度,先在其间任意处取AB 微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,由轨道方程可得x x yd 21d -=,代入d s ,则2s内路程为1 -9 质点的运动方程为 式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s.试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向. 解 (1) 速度的分量式为当t =0 时, v o x =-10 m·s-1 , v o y =15 m·s-1 ,则初速度大小为 设v o 与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta xx v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v则加速度的大小为 设a 与x 轴的夹角为β,则β=-33°41′(或326°19′)1 -10 一升降机以加速度1.22 m·s-2上升,当上升速度为2.44 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有 (2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为 则 m 716.0='-=h h d1 -11 一质点P 沿半径R =3.0 m 的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0s,设t =0 时,质点位于O 点.按(a )图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢;(2)5s时的速度和加速度.分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r =r (t )求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′=x′(t )和y′=y′(t )来表示圆周运动是比较方便的.然后,运用坐标变换x =x 0 +x ′和y =y 0 +y ′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因t Tθπ2=,则质点P 的参数方程为 t T R x π2sin=',t T R y π2cos -='坐标变换后,在O x y 坐标系中有t T R x x π2sin='=, R t TR y y y +-=+'=π2cos 0则质点P 的位矢方程为(2) 5s时的速度和加速度分别为j i r π2sin π2π2cos π2d d =+==t TT R t T T R t v ji r a π2cos )π2(π2sin )π2(d d 2222+-==t TT R t T T R t 1 -12 地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小.在何时刻杆影伸展至20.0 m ?分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程.根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得.解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s =h tg ωt ,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为当杆长等于影长时,即s =h ,则 即为下午3∶00 时.1 -13 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有得03314v v +-=t t (1)由⎰⎰=tx x t x 0d d 0v得00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1) (2)得v 0=-1 m·s-1,x 0=0.75 m .于是可得质点运动方程为1 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a =A -B v ,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程.分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v =a (v )d t 分离变量为t a d )(d =v v后再两边积分. 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点.(1) 由题意知v vB A ta -==d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为t B A d d =-vv(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有 得石子速度 )1(Bt e BA--=v 由此可知当,t →∞时,BA→v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度. (2) 再由)1(d d Bt e BAt y --==v并考虑初始条件有 得石子运动方程1 -15 一质点具有恒定加速度a =6i +4j ,式中a 的单位为m·s-2 .在t =0时,其速度为零,位置矢量r 0 =10 m i .求:(1) 在任意时刻的速度和位置矢量;(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图.分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t ).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x xx x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 =0时v 0 =0,积分可得 又由td d r=v及初始条件t =0 时,r 0=(10 m)i ,积分可得 由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x =10+3t 2 y =2t 2 消去参数t ,可得运动的轨迹方程 3y =2x -20 m 这是一个直线方程.直线斜率32tan d d ===αx y k,α=33°41′.轨迹如图所示. 1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ.(1) 试证位置A 和B 之间的平均加速度为)Δ(/)Δcos 1(22θR θa v -=;(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°和1°时,平均加速度各为多少? 并对结果加以讨论.分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为t d d v =a和tΔΔv=a .在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为Ra n 2v =,t a ΔΔv = ,式中|Δv |可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出.由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt →0 时的极限值. 解 (1) 由图(b)可看到Δv =v 2 -v 1 ,故 而所以(2) 将Δθ=90°,30°,10°,1°分别代入上式, 得R a 219003.0v ≈,R a 229886.0v ≈R a 239987.0v ≈,Ra 24000.1v ≈以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度R2v .1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r =2.0t i +(19.0 -2.0t2 )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s .求:(1)质点的轨迹方程;(2) 在t 1=1.0s 到t 2 =2.0s 时间内的平均速度;(3) t 1 =1.0s时的速度及切向和法向加速度;(4) t =1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ.分析 根据运动方程可直接写出其分量式x =x (t )和y =y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr=v,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度t d d r=v .切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a t 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v=,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a t 得到.在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ.解 (1) 由参数方程x =2.0t , y =19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程:y =19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 =1.00s 到t 2 =2.0s时间内的平均速度 (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为 则t 1 =1.00s时的速度v (t )|t =1s=2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为 (4) t =1.0s质点的速度大小为则m 17.112==na ρv1 -18 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =v t , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 (2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 -19 如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O 处,已知斜坡倾角为α,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v 0,忽略空气阻力.求:(1)炮弹落地点P 与点O 的距离OP ;(2) 欲使炮弹能垂直击中坡面.证明α和β必须满足αβtan 21tan =并与v 0 无关.分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v 0cos β和v 0sin β,其加速度分别为g sin α和gcos α.在此坐标系中炮弹落地时,应有y =0,则x =OP .如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足v x =0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解.由于本题中加速度g 为恒矢量.故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即20g 21t t +=v r ,做出炮弹落地时的矢量图[如图(B)所示],由图中所示几何关系也可求得OP (即图中的r 矢量).(1)解1 由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为αgt βt x sin 21cos 20-=v (1) αgt βt y cos 21sin 20-=v (2)令y =0 求得时间t 后再代入式(1)得解2 做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有从中消去t 后也可得到同样结果.(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y =0 和v x =0,则0sin cos 0=-=αgt βx v v (3)由(2)(3)两式消去t 后得由此可知.只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v 0 的大小无关.讨论 如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下. 1 -20 一直立的雨伞,张开后其边缘圆周的半径为R ,离地面的高度为h ,(1) 当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时,求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为g ωh R r /212+=的圆周上;(2) 读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌溉用的旋转式洒水器的方案?分析 选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动.建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证.由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予精心的考虑.解 (1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为t ωR t x ==v (1)h gt y ==221 (2) 由式(1)(2)可得 ghωR x 2222=由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为(2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(θ0 =45°)其上有大量小孔.喷头旋转时,水滴以初速度v 0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上.则以φ角喷射的水柱射程为为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题.1 -21 一足球运动员在正对球门前25.0 m 处以20.0 m·s-1 的初速率罚任意球,已知球门高为3.44 m .若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门,问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球? (足球可视为质点)分析 被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到.由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x 、y 值代入即可求出.解 取图示坐标系Oxy ,由运动方程θt x cos v =, 221sin gt θt y -=v消去t 得轨迹方程以x =25.0 m,v =20.0 m·s-1 及3.44 m≥y ≥0 代入后,可解得71.11°≥θ1 ≥69.92° 27.92°≥θ2 ≥18.89°如何理解上述角度的范围?在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示).如果以θ>71.11°或θ <18.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度的限制,θ 角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值.当倾角取值为27.92°<θ <69.92°时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门.因此可取的角度范围只能是解中的结果.1 -22 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s-=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度;(2)t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为 其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为 (2) 要使|a |=b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 (3) 从t =0 开始到t =v 0 /b 时,质点经过的路程为 因此质点运行的圈数为1 -23 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比.在t =2.0s 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·s-1.求:(1) 该轮在t′=0.5s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在2.0s内所转过的角度.分析 首先应该确定角速度的函数关系ω=kt 2.依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω=ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移.解 因ωR =v ,由题意ω∝t 2 得比例系数 所以 22)(t t ωω==则t ′=0.5s 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为 总加速度在2.0s内该点所转过的角度1 -24 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为s.(1) 求在t =2.0s时质点的法向加速度和切向加速度.(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少?(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等?分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到. 解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==.在t =2 s 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 (2) 当22212/t n ta a a a +==时,有223nt a a =,即 得 3213=t此时刻的角位置为 (3) 要使t n a a =,则有t =0.55s1 -25 一无风的下雨天,一列火车以v 1=20.0 m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2 .(设下降的雨滴作匀速运动)分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1 -26 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hlαarctan ≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1.解 由122v v v -='[图(b)],有 而要使hlαarctan ≥,则1 -27 一人能在静水中以1.10 m·s-1 的速度划船前进.今欲横渡一宽为1.00 ×103 m 、水流速度为0.55 m·s-1 的大河.(1) 他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点,那么应如何确定划行方向? 到达正对岸需多少时间? (2)如果希望用最短的时间过河,应如何确定划行方向? 船到达对岸的位置在什么地方?分析 船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的.由于水流速度u 的存在, v 与船在静水中划行的速度v ′之间有v =u +v ′(如图所示).若要使船到达正对岸,则必须使v 沿正对岸方向;在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值.解 (1) 由v =u +v ′可知v '=uαarcsin,则船到达正对岸所需时间为 (2) 由于αcos v v '=,在划速v ′一定的条件下,只有当α=0 时, v 最大(即v =v ′),此时,船过河时间t ′=d /v ′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有1 -28 一质点相对观察者O 运动, 在任意时刻t , 其位置为x =v t , y =gt2 /2,质点运动的轨迹为抛物线.若另一观察者O′以速率v 沿x 轴正向相对于O 运动.试问质点相对O′的轨迹和加速度如何?分析 该问题涉及到运动的相对性.如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x ,y )变换至系O′中的点(x ′,y ′).由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的.解 取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x ′两轴平行.在t =0 时,两坐标原点重合.由坐标变换得x ′=x - v t =v t - v t =0y ′=y =1/2 gt 2加速度 g t y a a y ='='=22d d 由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动.动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换的必然结果.2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F T (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a ,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D).求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征.2 -2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变 (B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值.当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽。

物理学上册课后习题答案_马文蔚

物理学上册课后习题答案_马文蔚

习题11-1 质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r ,速度为v ,t 至()t t +∆时间内的位移为r ∆,路程为s ∆,位矢大小的变化量为r ∆(或称r ∆),平均速度为v ,平均速率为v。

(1)根据上述情况,则必有( B ) (A )r s r ∆=∆=∆(B )r s r ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr ds dr =≠ (C )r r s ∆≠∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds =≠ (D )r s r ∆=∆≠∆,当0t ∆→时有dr dr ds ==(2)根据上述情况,则必有( C ) (A ),v v v v == (B ),v v v v ≠≠ (C ),v v v v =≠ (D ),v v v v ≠=1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)drdt;(2)drdt;(3)dsdt;(4下列判断正确的是:( D )(A )只有(1)(2)正确 (B )只有(2)正确 (C )只有(2)(3)正确 (D )只有(3)(4)正确1-3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量,v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程,t a 表示切向加速度。

对下列表达式,即(1)dvdt a =;(2)dr dt v =;(3)ds dt v =;(4)t dv dt a =。

下述判断正确的是( D )(A )只有(1)、(4)是对的 (B )只有(2)、(4)是对的 (C )只有(2)是对的 (D )只有(3)是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( B ) (A )切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B )切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C )切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D )切向加速度一定改变,法向加速度不变*1-5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。

设该人以匀速率0v 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( C )(A )匀加速运动,0cos v vθ= (B )匀减速运动,0cos v v θ=(C )变加速运动,0cos v v θ=(D )变减速运动,0cos vv θ=(E )匀速直线运动,0vv =习题22-1 如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( D )(A )sin g θ (B )cos g θ (C )tan g θ (D )cot g θ2-2 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。

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For personal use only in study and research; not for commercial use1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v .(1) 根据上述情况,则必有( )(A) |Δr |= Δs = Δr(B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r(C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s(D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v(C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B).(2) 由于|Δr |≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故ts t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x . 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;td d r 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解.故选(D). 1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时, a t恒为零;质点作匀变速率圆周运动时, a t为一不为零的恒量,当a t改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).1 -4 质点的运动方程为23010t t x +-=和22015t t y -=,式中x ,y 的单位为m,t 的单位为s。

试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向.分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解 (1) 速度的分量式为当t =0 时, v o x =-10 m·s-1 , v o y =15 m·s-1 ,则初速度大小为设v o 与x 轴的夹角为α,则α=123°41′(2) 加速度的分量式为 2s m 60d d -⋅==t a x x v , 2s m 40d d -⋅-==ta y y v 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则β=-33°41′(或326°19′)1 -5 质点沿直线运动,加速度a =4 -t2 ,式中a 的单位为m·s-2 ,t 的单位为s.如果当t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1 ,求质点的运动方程.分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =.如a =a (t )或v =v (t ),则可两边直接积分.如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由分析知,应有得 03314v v +-=t t (1) 由 ⎰⎰=t xx t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t =3s时,x =9 m,v =2 m·s-1代入(1) (2)得v 0=-1 m·s-1,x 0=0.75 m .于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -6 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远?分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x =v t , y =1/2 gt 2飞机水平飞行速度v =100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y =100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离1 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量.(1) 求t 时刻质点的总加速度。

分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a t,而加速度的法向分量为a n =v 2 /R .这样,总加速度为a =a te t+a n e n .至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs =s t -s 0.因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得.解 (1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为1 -8 一升降机以加速度1.22 m·s-2上升,当上升速度为2.44 m·s-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m .计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 =y 1(t )和y 2 =y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y 1 =y 2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′=g +a ,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 m 716.0='-=h h d1 -9 一无风的下雨天,一列火车以v 1=20.0 m·s-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度v 2 .(设下降的雨滴作匀速运动)分析 这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象,地面为静止参考系S,火车为动参考系S′.v 1 为S′相对S 的速度,v 2 为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解.解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?分析 这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan≥.再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1. 解 由122v v v -='[图(b)],有 而要使hl αarctan ≥,则 1 -11 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值.当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).1 -12 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N .由此可算得汽车转弯的最大速率应为v =μRg .因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).1 -13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B).1 -14 图(a)示系统置于以a =1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a ′为惯性力.对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F T =5/8 mg .故选(A).讨论 对于习题1 -14 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力.如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B 的大小与方向均不相同.其中aA 应斜向上.对a A 、a B 、a 和a ′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁.有兴趣的读者不妨自己尝试一下.1 -16 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑.试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力.分析 该题可由牛顿第二定律求解.在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a t,与其相对应的外力F t是重力的切向分量mg sin α,而与法向加速度a n 相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos α.由此,可分别列出切向和法向的动力学方程F t=m d v /d t 和F n =ma n .由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量. 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便.但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力.解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力F N .取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得tm αmg F t d d sin v =-= (1) Rm m αmg F F N n 2cos v =-= (2) 由tαr t s d d d d ==v ,得v αr t d d =,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有得 αrg cos 2=v则小球在点C 的角速度为由式(2)得 αmg αmg rm m F N cos 3cos 2=+=v 由此可得小球对圆轨道的作用力为负号表示F ′N 与e n 反向.1 -17 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求:(1) t 时刻物体的速率;(2) 当物体速率从v 0减少到1/2 v 0时,物体所经历的时间及经过的路程.分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题.物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F f ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程.解(1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有由分析中可知,摩擦力的大小Ff=μF N ,由上述各式可得取初始条件t =0 时v=v0 ,并对上式进行积分,有(2) 当物体的速率从v0减少到1/2v0时,由上式可得所需的时间为物体在这段时间内所经过的路程2 -1对质点组有以下几种说法:(1) 质点组总动量的改变与内力无关;(2) 质点组总动能的改变与内力无关;(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关.下列对上述说法判断正确的是()(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述(1)(3)说法是正确的.故选(C).2 -2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则()(A) 物块到达斜面底端时的动量相等(B) 物块到达斜面底端时动能相等(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒分析与解对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒.物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功.由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等.动量自然也就不等(动量方向也不同).故(A)(B)(C)三种说法均不正确.至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零.由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒.2 -3如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A 和B之间连有一轻弹簧.另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有()(A) 动量守恒,机械能守恒(B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒(D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D).2 -4如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出.以地面为参考系,下列说法中正确的说法是()(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒.这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和).综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的.2 -5质量为m的物体,由水平面上点O以初速为v0抛出,v0与水平面成仰角α.若不计空气阻力,求:(1) 物体从发射点O到最高点的过程中,重力的冲量;(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量.分析重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可.由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间gαt sin Δ01v =,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍.这样,按冲量的定义即可求得结果.另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出.解1 物体从出发到达最高点所需的时间为则物体落回地面的时间为于是,在相应的过程中重力的冲量分别为解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、B 的过程中,重力的冲量分别为2 -6 高空作业时系安全带是非常必要的.假如一质量为51.0 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来.已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s .求安全带对人的平均冲力.分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段:在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动;在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短.为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论.事实上,动量定理也可应用于整个过程.但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的;而在过程的初态和末态,人体的速度均为零.这样,运用动量定理仍可得到相同的结果.解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论.在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为gh 21=v (1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有()12Δv v m m t -=+P F (2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为解2 从整个过程来讨论.根据动量定理有2 -7 如图所示,在水平地面上,有一横截面S =0.20 m 2 的直角弯管,管中有流速为v =3.0 m·s-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向.分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量.因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp =Δm (v B -v A );此动量的变化是管壁在Δt 时间内对其作用冲量I 的结果.依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F ;由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′=-F .解 在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm =ρυS Δt ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为Δp =Δm (v B -v A ) =ρυS Δt (v B -v A )依据动量定理I =Δp ,得到管壁对这部分水的平均冲力从而可得水流对管壁作用力的大小为作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧.2 -8 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v 0 向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少? (假设人可视为质点)分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致.在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化.如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒.但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定.至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算.解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率.得人的水平速率的增量为 而人从最高点到地面的运动时间为g αt sin 0v =所以,人跳跃后增加的距离()u g m mm t x '+==αsin ΔΔ0v v 2 -9 一质量为0.20 kg 的球,系在长为2.00 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开.求:(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功;(2) 物体在最低位置时的动能和速率;(3) 在最低位置时的张力.分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功.小球摆动过程中同时受到重力和张力作用.重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得;至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式⎰⋅=s d F W ,即能得出结果来.(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率.(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定.解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即在小球摆动过程中,张力F T 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果.初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为小球在最低位置的速率为(3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得2 -10 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上.此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动.设质点的最初速率是v 0 .当它运动一周时,其速率为v 0 /2.求:(1) 摩擦力作的功;(2) 动摩擦因数;(3) 在静止以前质点运动了多少圈?分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少;而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上.由此,可依据动能定理列式解之.解 (1) 摩擦力作功为 20202k0k 832121v v v m m m E E W -=-=-= (1) (2) 由于摩擦力是一恒力,且F f =μmg ,故有mg μr πs F W 2180cos o f -== (2)由式(1)、(2)可得动摩擦因数为(3) 由于一周中损失的动能为2083v m ,则在静止前可运行的圈数为 34k0==W E n 圈 2 -11 如图(a)所示,A 和B 两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别为m 1 和m 2 .问在A 板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A 在跳起来时B 稍被提起.(设弹簧的劲度系数为k )。

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