数值分析实验报告7..
数值分析实验报告
数值分析实验报告【引言】数值分析是一门研究利用计算机和数学方法解决实际问题的学科，它在工程、科学和经济领域中有着广泛的应用。
在这个实验报告中，我将分享我在数值分析实验中的一些发现和结果。
【实验目的】本次实验的目的是通过数值方法对给定的问题进行求解，并分析数值方法的精确性和稳定性。
我们选择了经典的插值和数值积分问题来进行实验。
【实验过程】在插值问题中，我使用了拉格朗日插值和样条插值两种方法。
通过使用已知的数据点，这些方法能够通过构造多项式函数来逼近原始函数，从而能够在未知点上进行预测。
通过比较两种插值方法的结果，我发现拉格朗日插值在低维数据上表现更好，而样条插值在高维数据上更能保持插值曲线的平滑性。
在数值积分问题中，我使用了复合梯形公式和复合辛普森公式来进行数值积分。
这两种方法可以将复杂的区间上的积分问题转化为对若干个小区间进行数值积分的问题。
实验结果表明，复合辛普森公式在使用相同的步长时，其数值积分结果更为精确。
【实验结果】我以一个实际问题作为例子来展示实验结果。
问题是计算半径为1的圆的面积。
通过离散化的方法，我将圆划分为多个小的扇形区域，并使用数值积分方法计算每个扇形的面积。
最后将每个扇形的面积相加，即可得到圆的近似面积。
通过调整离散化的精度，我发现随着扇形数量的增加，计算得到的圆的面积越接近真实的圆的面积。
在插值问题中，我选择了一段经典的函数进行插值研究。
通过选择不同的插值节点和插值方法，我发现当插值节点越密集时，插值结果越接近原函数。
同时，样条插值方法在高阶导数连续的情况下能够更好地逼近原始函数。
【实验总结】通过这次实验，我对数值分析中的插值和数值积分方法有了更深入的理解。
我了解到不同的数值方法在不同的问题中有着不同的适用性和精确度。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的数值方法，并进行必要的数值计算和分析，以获得准确可靠的结果。
总的来说，数值分析作为一种重要的工具和方法，在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，并且不断发展和创新。
数值分析综合实验报告
一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告一、引言数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行数值计算和模拟的学科。
在实际应用中，数值分析广泛应用于工程、物理、金融等领域。
本实验旨在通过实际操作，探索数值分析方法在实际问题中的应用，并通过实验结果对比和分析，验证数值分析方法的有效性和可靠性。
二、实验目的本实验的主要目的是通过数值分析方法，解决一个实际问题，并对比不同方法的结果，评估其准确性和效率。
具体来说，我们将使用牛顿插值法和拉格朗日插值法对一组给定的数据进行插值，并对比两种方法的结果。
三、实验步骤1. 收集实验数据：我们首先需要收集一组实验数据，这些数据可以来自实验测量、调查问卷等方式。
在本实验中，我们假设已经获得了一组数据，包括自变量x和因变量y。
2. 牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
我们可以通过给定的数据点，构造一个插值多项式，并利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤可以参考数值分析教材。
3. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是另一种常用的插值方法。
它通过构造一个满足给定数据点的多项式，利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤也可以参考数值分析教材。
4. 结果比较与分析：在完成牛顿插值法和拉格朗日插值法的计算后，我们将比较两种方法的结果，并进行分析。
主要考虑的因素包括插值误差、计算效率等。
四、实验结果在本实验中，我们选取了一组数据进行插值计算，并得到了牛顿插值法和拉格朗日插值法的结果。
经过比较和分析，我们得出以下结论：1. 插值误差：通过计算插值点与实际数据点之间的差值，我们可以评估插值方法的准确性。
在本实验中，我们发现牛顿插值法和拉格朗日插值法的插值误差都较小，但是拉格朗日插值法的误差稍大一些。
2. 计算效率：计算效率是衡量数值分析方法的重要指标之一。
在本实验中，我们发现牛顿插值法的计算速度较快，而拉格朗日插值法的计算速度稍慢。
五、实验结论通过本实验，我们对数值分析方法在实际问题中的应用有了更深入的了解。
数值分析实验报告
数值分析实验报告
一、实验背景
本实验主要介绍了数值分析的各种方法。
在科学计算中，为了求解一
组常微分方程或一些极限问题，数值分析是一种有用的方法。
数值分析是
一种运用计算机技术对复杂模型的问题进行数学分析的重要手段，它利用
数学模型和计算机程序来解决复杂的数学和科学问题。
二、实验内容
本实验通过MATLAB软件，展示了以下几种数值分析方法：
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发
明的一种插值方法，它可以用来插值一组数据，我们使用拉格朗日插值法
对给定的点进行插值，得到相应的拉格朗日多项式，从而计算出任意一个
点的函数值。
（2）最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以
用来拟合满足一定函数的点的数据，它的主要思想是使得数据点到拟合曲
线之间的距离的平方和最小。
（3）牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它可以
用来插值一组数据，可以求得一组数据的插值函数。
（4）三次样条插值：三次样条插值是一种基于三次样条的插值方法，它可以用来对一组数据进行插值，可以求得一组数据的插值函数。
三、实验步骤
1．首先启动MATLAB软件。
数值分析实验报告
数值分析实验报告篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告数值分析实验报告课题一：解线性方程组的直接方法1.实验目的：1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：实验代码：#include "stdio.h"#include "math.h"#includeiostreamusing namespace std;//Gauss法void lzy(double **a,double *b,int n) {int i,j,k;double l,x[10],temp;for(k=0;kn-1;k++){for(j=k,i=k;jn;j++){if(j==k)temp=fabs(a[j][k]);else if(tempfabs(a[j][k])){temp=fabs(a[j][k]);i=j;}}if(temp==0){cout"无解\n; return;}else{for(j=k;jn;j++){temp=a[k][j];a[k][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}temp=b[k];b[k]=b[i];b[i]=temp;}for(i=k+1;in;i++) {l=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;jn;j++)a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j]; b[i]=b[i]-l*b[k];}if(a[n-1][n-1]==0){cout"无解\n;return;}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i=0;i--){temp=0;for(j=i+1;jn;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}//平方根法void pfg(double **a,double *b,int n)int i,k,m;double x[8],y[8],temp;for(k=0;kn;k++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+pow(a[k][m],2);if(a[k][k]temp)return;a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);for(i=k+1;in;i++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k]; }temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[k][m]*y[m];y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];}x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];for(k=n-2;k=0;k--){temp=0;for(m=k+1;mn;m++)temp=temp+a[m][k]*x[m];x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}//追赶法void zgf(double **a,double *b,int n){int i;double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;in;i++){a0[i]=a[i][i];if(in-1)c[i]=a[i][i+1];if(i0)d[i-1]=a[i][i-1];}a1[0]=a0[0];for(i=0;in-1;i++){b1[i]=c[i]/a1[i];a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];}y[0]=b[0]/a1[0];for(i=1;in;i++)y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];x[n-1]=y[n-1];for(i=n-2;i=0;i--)x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}int main(){int n,i,j;double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));C=(double **)malloc(n*sizeof(double));B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;in;i++){A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double));B[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double));C[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double)); }cout"第一题(Gauss列主元消去法):"endlendl; cout"请输入阶数n:"endl;cinn;cout"\n请输入系数矩阵:\n\n";for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){篇三：数值分析实验报告(包含源程序) 课程实验报告课程实验报告。
数值分析实验报告模板
数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。
即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。
并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收敛，但精度不够。
熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。
体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
《数值分析》课程实验报告数值分析实验报告
《数值分析》课程实验报告数值分析实验报告《数值分析》课程实验报告姓名：学号：学院：机电学院日期：20__ 年 _ 月_ 日目录实验一函数插值方法 1 实验二函数逼近与曲线拟合 5 实验三数值积分与数值微分 7 实验四线方程组的直接解法 9 实验五解线性方程组的迭代法 15 实验六非线性方程求根 19 实验七矩阵特征值问题计算 21 实验八常微分方程初值问题数值解法 24 实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：（1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
（提示：结果为, ）（2） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造Lagrange多项式，计算的,值。
（提示：结果为, ）二、要求 1、利用Lagrange插值公式编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下：其中：三、目的和意义 1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验步骤（1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.951.05 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
数值分析的实验报告
数值分析的实验报告实验目的本实验旨在通过数值分析方法，探讨数学问题的近似解法，并通过实际案例进行验证和分析。
具体目的包括： 1. 理解和掌握数值分析的基本原理和方法； 2. 学会使用计算机编程语言实现数值分析算法； 3. 分析数值分析算法的精确性和稳定性； 4. 根据实验结果对数值分析算法进行优化和改进。
实验步骤1. 问题描述首先，我们选择一个数学问题作为实验的对象。
在本次实验中，我们选取了求解非线性方程的问题。
具体而言，我们希望找到方程 f(x) = 0 的解。
2. 数值方法选择根据非线性方程求解的特点，我们选择了牛顿迭代法作为数值方法。
该方法通过不断迭代逼近方程的解，并具有较好的收敛性和精确性。
3. 程序设计与实现为了实现牛顿迭代法，我们使用了Python编程语言，并使用了相应的数值计算库。
具体的程序实现包括定义方程 f(x) 和其导数f’(x)，以及实现牛顿迭代法的迭代过程。
4. 实验案例与结果分析我们选择了一个具体的方程，例如 x^3 - 2x - 5 = 0，并通过程序运行得到了方程的解。
通过比较实际解与数值解的差异，我们可以分析数值方法的精确性和稳定性。
5. 优化与改进基于实验结果的分析，我们可以对数值分析算法进行优化和改进。
例如，通过调整迭代的初始值、增加迭代次数或修改算法公式等方式，改进算法的收敛性和精确性。
实验结论通过本次实验，我们深入理解了数值分析的基本原理和方法，并通过具体案例验证了牛顿迭代法的有效性。
同时，我们也意识到数值分析算法的局限性，并提出了一些改进的建议。
在今后的数学问题求解中，我们可以运用数值分析的方法，通过计算机编程实现更精确的近似解。
数值分析实习报告总结
一、实习背景数值分析是数学的一个重要分支，它研究如何用数值方法求解数学问题。
随着计算机技术的飞速发展，数值分析在各个领域得到了广泛的应用。
为了提高自己的实践能力，我选择了数值分析作为实习课题，希望通过这次实习，能够掌握数值分析的基本方法，并将其应用于实际问题中。
二、实习过程1. 实习初期在实习初期，我首先了解了数值分析的基本概念、理论和方法。
通过阅读相关教材和文献，我对数值分析有了初步的认识。
接着，我学习了数值分析的基本方法，如泰勒展开、牛顿法、高斯消元法等。
2. 实习中期在实习中期，我选择了几个实际问题进行数值计算。
首先，我使用泰勒展开法求解一个简单的微分方程。
通过编写程序，我得到了微分方程的近似解。
然后，我运用牛顿法求解一个非线性方程组。
在实际计算过程中，我遇到了一些问题，如收敛性、迭代次数过多等。
通过查阅资料和请教导师，我找到了解决方法，成功求解了方程组。
3. 实习后期在实习后期，我进一步学习了数值分析的高级方法，如复化梯形公式、复化Simpson公式、自适应梯形法等。
这些方法在解决实际问题中具有更高的精度和效率。
我选择了一个具体的工程问题，运用复化梯形公式求解定积分。
在计算过程中，我遇到了区间细分、精度控制等问题。
通过不断尝试和调整，我得到了较为精确的积分值。
三、实习收获与体会1. 理论与实践相结合通过这次实习，我深刻体会到理论与实践相结合的重要性。
在实习过程中，我不仅学习了数值分析的理论知识，还将其应用于实际问题中。
这使我更加深刻地理解了数值分析的基本方法，提高了自己的实践能力。
2. 严谨的学术态度在实习过程中，我养成了严谨的学术态度。
在编写程序、进行数值计算时，我注重细节，力求精确。
这使我更加注重学术规范，提高了自己的学术素养。
3. 团队合作精神实习过程中，我与其他同学进行了交流与合作。
在解决实际问题时，我们互相学习、互相帮助，共同完成了实习任务。
这使我更加懂得团队合作的重要性，提高了自己的团队协作能力。
数值分析实验总结
break;
end
x0=x1; x1=x;
k=k+1;
end
执行程序：
f=@(x)x^3-x-1;
>> [x,k]=mqnewt(f,1.0,2.0,1e-5)
结果：
x =
1.3247
k =
6
各种方法的优缺点的比较分析
首先，三种方法得出的解是一样的，而二分法的迭代次数最多（17次），而牛顿法的迭代次数最少（3次），割线法的迭代次数也较少（6次）。
b=x;
else
a=x;
end
x=(a+b)/2.0; k=k+1;
end
执行程序：
f=@(x)x^3-x-1;
[x,k]=mbisec(f,1,2,1e-5)
结果：
x =
1.3247
k =
17
牛顿法解非线性方程
Matlab程序：
function[x,k]=mnewton(f,df,x0,ep,N)
割线法的优点是无需计算函数导数，但仍具有超线性收敛速度；其缺点是收敛速度没有牛顿法快。
2．使用列主元高斯消去法和LU分解法解同一个线性方程组，并对所得结果进行数值分析。
题目：求下列方程组的近似解
列主元高斯消去法解线性方程组
Matlab程序：
function[x]=mgauss(A,b,flag)
ifnargin<3, flag=0;end
1. 用二分法、牛顿法和割线法求解同一个非线性方程，对各种方法的优缺点进行比较分析；
题目：求解下列方程
二分法解非线性方程
Matlab程序：
function[x,k]=mbisec(f,a,b,ep)
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告引言在现代科学与工程领域，数值分析是一项重要的技术手段。
通过数值方法，我们可以利用计算机模拟和解决各种实际问题，如物理、化学、生物、经济等领域中的方程求解、优化问题、数据拟合等。
本实验旨在通过实际案例，探讨数值分析的应用和效果。
实验一：方程求解首先，我们考虑一个简单的方程求解问题。
假设我们需要求解方程f(x) = 0的根，其中f(x)是一个在给定区间[a, b]上连续且单调的函数。
为了实现这个目标，我们可以采用二分法、牛顿法、弦截法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用二分法来求解方程f(x) = 0。
这种方法的基本思想是通过不断缩小区间[a, b]的范围，直到找到一个近似的根。
我们首先选取一个中间点c，计算f(c)的值，然后根据f(c)与0的关系，将区间[a, b]分成两部分。
重复这个过程，直到找到满足精度要求的根。
实验二：数据拟合接下来，我们考虑一个数据拟合的问题。
假设我们有一组离散的数据点，我们希望找到一个函数，使得该函数与这些数据点的拟合误差最小。
为了实现这个目标，我们可以采用最小二乘法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用最小二乘法来进行数据拟合。
这种方法的基本思想是通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和，来确定拟合函数的参数。
我们首先选择一个拟合函数的形式，如线性函数、多项式函数等。
然后，通过最小化误差平方和的方法，计算出拟合函数的参数。
实验三：优化问题最后，我们考虑一个优化问题。
假设我们需要在给定的约束条件下，找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量。
为了实现这个目标，我们可以采用梯度下降法、遗传算法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用梯度下降法来解决优化问题。
这种方法的基本思想是通过迭代的方式，不断调整变量的取值，直到找到一个满足约束条件的最优解。
我们首先计算目标函数关于变量的梯度，然后根据梯度的方向和大小，更新变量的取值。
通过不断迭代，我们可以逐步接近最优解。
数值分析实习报告
一、实习背景随着科学技术的飞速发展，数值分析在各个领域都得到了广泛的应用。
为了更好地掌握数值分析的基本理论和方法，提高自己的实践能力，我于2023年暑期参加了某科技有限公司的数值分析实习。
二、实习内容1. 数值微分在实习期间，我首先学习了数值微分的基本理论和方法。
通过实际操作，我掌握了使用中心差分法、前向差分法和后向差分法计算函数在某点的导数。
在实际应用中，我使用这些方法对工程问题中的函数进行了导数计算，为后续的数值积分和数值求解提供了基础。
2. 数值积分接下来，我学习了数值积分的基本理论和方法。
在实习过程中，我掌握了梯形法则、辛普森法则和柯特斯法则等数值积分方法。
通过实际操作，我能够对函数进行数值积分，并在实际工程问题中应用这些方法。
3. 线性方程组求解线性方程组在数值分析中具有广泛的应用。
在实习期间，我学习了高斯消元法、LU 分解法、Cholesky分解法等求解线性方程组的方法。
通过实际操作，我能够对大规模线性方程组进行求解，并在实际工程问题中应用这些方法。
4. 最优化方法最优化方法是数值分析中的重要分支。
在实习期间，我学习了梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等最优化方法。
通过实际操作，我能够对实际问题进行最优化求解，并在实际工程问题中应用这些方法。
5. 数值求解微分方程微分方程在科学研究和工程应用中具有重要作用。
在实习期间，我学习了欧拉法、龙格-库塔法等数值求解微分方程的方法。
通过实际操作，我能够对微分方程进行数值求解，并在实际工程问题中应用这些方法。
三、实习收获1. 提高了数值分析的理论水平。
通过实习，我对数值分析的基本理论和方法有了更深入的理解。
2. 增强了实际操作能力。
在实习过程中，我熟练掌握了各种数值分析方法的实际操作，提高了自己的动手能力。
3. 培养了团队合作精神。
在实习过程中，我与团队成员密切合作，共同完成实习任务，提高了自己的团队协作能力。
4. 了解了数值分析在工程应用中的重要性。
数值分析实习报告
一、实习背景数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何利用计算机来求解数学问题。
随着计算机技术的飞速发展，数值分析在各个领域都得到了广泛的应用。
为了更好地了解数值分析在工程、科学和商业领域的应用，提高自己的实际操作能力，我参加了为期一个月的数值分析实习。
二、实习内容1. 学习数值分析基本理论实习期间，我首先系统地学习了数值分析的基本理论，包括插值、数值微分、数值积分、矩阵运算、线性方程组求解、优化方法等。
通过学习，我对数值分析有了更加全面的认识。
2. 实践操作（1）插值法：我学习了Lagrange插值、Newton插值等插值方法，并使用MATLAB进行编程实现。
通过插值，我能够根据已知数据点预测未知点，为工程、科学和商业领域提供数据支持。
（2）数值微分：我学习了有限差分法、辛普森法等数值微分方法，并使用MATLAB进行编程实现。
通过数值微分，我能够求解函数在某一点的导数，为工程、科学和商业领域提供计算支持。
（3）数值积分：我学习了梯形法、辛普森法等数值积分方法，并使用MATLAB进行编程实现。
通过数值积分，我能够求解函数在某一区间上的定积分，为工程、科学和商业领域提供计算支持。
（4）矩阵运算：我学习了矩阵的初等变换、矩阵的逆、矩阵的秩等矩阵运算方法，并使用MATLAB进行编程实现。
通过矩阵运算，我能够求解线性方程组、特征值和特征向量等问题。
（5）线性方程组求解：我学习了高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，并使用MATLAB进行编程实现。
通过线性方程组求解，我能够求解工程、科学和商业领域中的各种问题。
（6）优化方法：我学习了梯度下降法、牛顿法等优化方法，并使用MATLAB进行编程实现。
通过优化方法，我能够求解各种优化问题，为工程、科学和商业领域提供解决方案。
3. 项目实践在实习期间，我参与了一个实际项目——某公司产品的成本优化。
该项目要求根据产品的各项参数，计算出最优的生产方案，以降低成本。
数值_分析实验报告
一、实验目的1. 理解数值分析的基本概念和方法；2. 掌握线性方程组的求解方法，如雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法；3. 利用MATLAB软件进行数值计算，并分析结果。
二、实验原理1. 数值分析是研究如何用数值方法求解数学问题的学科，其核心是误差分析和算法设计。
2. 线性方程组是数值分析中的基本问题之一，常见的求解方法有直接法和迭代法。
3. 雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法是三种常用的迭代法，它们通过迭代过程逐步逼近方程组的解。
4. MATLAB是一种高性能的科学计算软件，具有强大的数值计算和可视化功能。
三、实验内容1. 实验一：雅可比迭代法（1）原理：雅可比迭代法是求解线性方程组的迭代法之一，其基本思想是将线性方程组分解为多个子方程，然后依次求解子方程，逐步逼近方程组的解。
（2）步骤：a. 输入系数矩阵A和常数向量B；b. 初始化迭代变量X0；c. 计算对角矩阵D、上三角矩阵L和下三角矩阵U；d. 进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；e. 输出解向量X。
（3）MATLAB代码实现：```MATLABfunction [X, K] = JACOBI(A, B, X0, E, N)[n, n] = size(A);D = diag(A);L = tril(A - D, -1);U = triu(A - D);K = 0;for i = 1:NX_new = (B - L \ U \ X0) / D;if norm(X_new - X0) < Ebreak;endX0 = X_new;K = K + 1;endX = X_new;end```2. 实验二：高斯赛德尔迭代法（1）原理：高斯赛德尔迭代法是另一种求解线性方程组的迭代法，其基本思想是在每次迭代中，利用已求得的近似解来更新下一个近似解。
（2）步骤：a. 输入系数矩阵A和常数向量B；b. 初始化迭代变量X0；c. 进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；d. 输出解向量X。
数值分析的实验报告
数值分析的实验报告数值分析的实验报告导言数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它在科学计算、工程技术和社会经济等领域具有广泛的应用。
本实验旨在通过对数值分析方法的实际应用，验证其有效性和可靠性。
实验一：方程求根方程求根是数值分析中的基础问题之一。
我们选取了一个非线性方程进行求解。
首先，我们使用二分法进行求解。
通过多次迭代，我们得到了方程的一个近似解。
然后，我们使用牛顿法进行求解。
与二分法相比，牛顿法的收敛速度更快，但需要选择一个初始点。
通过比较两种方法的结果，我们验证了牛顿法的高效性。
实验二：插值与拟合插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。
我们选取了一组实验数据，通过拉格朗日插值法和最小二乘法进行插值和拟合。
通过对比两种方法的拟合效果，我们验证了最小二乘法在处理含有噪声数据时的优势。
同时，我们还讨论了插值和拟合的精度与样本点数量之间的关系。
实验三：数值积分数值积分是数值分析中的重要内容之一。
我们选取了一个定积分进行计算。
首先，我们使用复化梯形公式进行积分计算。
通过增加分割区间的数量，我们得到了更精确的结果。
然后，我们使用复化辛普森公式进行积分计算。
与复化梯形公式相比，复化辛普森公式具有更高的精度。
通过比较两种方法的结果，我们验证了复化辛普森公式的优越性。
实验四：常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要应用之一。
我们选取了一个常微分方程进行数值解的计算。
首先，我们使用欧拉方法进行数值解的计算。
然后，我们使用改进的欧拉方法进行数值解的计算。
通过比较两种方法的结果，我们验证了改进的欧拉方法的更高精度和更好的稳定性。
实验五：线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法是数值分析中的重要内容之一。
我们选取了一个线性方程组进行数值解的计算。
首先，我们使用高斯消元法进行数值解的计算。
然后，我们使用追赶法进行数值解的计算。
通过比较两种方法的结果，我们验证了追赶法在求解三对角线性方程组时的高效性。
数值分析实验报告
数值分析实验报告一、实验目的数值分析是一门研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科。
本次实验的目的在于通过实际操作和编程实现，深入理解和掌握数值分析中的常见算法，提高运用数值方法解决实际问题的能力，并对算法的精度、稳定性和效率进行分析和比较。
二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，使用的开发工具为 PyCharm。
实验所依赖的主要库包括 NumPy、Matplotlib 等。
三、实验内容（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法通过给定的离散数据点，构建拉格朗日插值多项式，对未知点进行函数值的估计。
2、牛顿插值法与拉格朗日插值法类似，但采用了不同的形式和计算方式。
（二）数值积分1、梯形公式将积分区间划分为若干个梯形，通过计算梯形面积之和来近似积分值。
2、辛普森公式基于抛物线拟合的方法，提高积分近似的精度。
（三）线性方程组求解1、高斯消元法通过逐行消元将线性方程组化为上三角形式，然后回代求解。
2、 LU 分解法将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后通过两次前代和回代求解。
（四）非线性方程求解1、二分法通过不断将区间一分为二，逐步缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
2、牛顿迭代法利用函数的切线来逼近根，通过迭代逐步收敛到根的近似值。
四、实验步骤（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法定义计算拉格朗日基函数的函数。
根据给定的数据点和待求点，计算插值多项式的值。
输出插值结果，并与真实值进行比较。
2、牛顿插值法计算差商表。
构建牛顿插值多项式。
进行插值计算和结果分析。
（二）数值积分1、梯形公式定义积分区间和被积函数。
按照梯形公式计算积分近似值。
分析误差。
2、辛普森公式同样定义积分区间和被积函数。
运用辛普森公式计算积分近似值。
比较与梯形公式的精度差异。
（三）线性方程组求解1、高斯消元法输入系数矩阵和右端项向量。
进行消元操作。
回代求解方程。
输出解向量。
2、 LU 分解法对系数矩阵进行 LU 分解。
数值分析实验报告
数值分析实验报告数值分析实验报告导言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算和数值模拟的学科。
通过数值分析，我们可以利用数学方法和计算机技术解决实际问题，提高计算效率和精度。
本实验报告将介绍我们在数值分析实验中所进行的研究和实践。
一、实验目的本次实验的目的是通过数值分析方法，研究和解决实际问题。
具体而言，我们将通过数值计算方法，对某个物理模型或数学模型进行求解，并分析结果的准确性和稳定性。
二、实验方法我们采用了有限差分法作为数值计算的方法。
有限差分法是一种常用的数值分析方法，适用于求解偏微分方程和差分方程。
通过将连续的问题离散化为离散的差分方程，我们可以得到数值解。
三、实验步骤1. 确定问题：首先，我们需要确定要研究的问题。
在本次实验中，我们选择了热传导问题作为研究对象。
2. 建立数学模型：根据研究问题的特点，我们建立了相应的数学模型。
在热传导问题中，我们可以利用热传导方程描述热量的传递过程。
3. 离散化：为了进行数值计算，我们需要将连续的问题离散化为离散的差分方程。
在热传导问题中，我们可以将空间和时间进行离散化。
4. 求解差分方程：通过求解离散化的差分方程，我们可以得到数值解。
在热传导问题中，我们可以利用迭代法或直接求解法得到数值解。
5. 分析结果：最后，我们需要对数值解进行分析。
我们可以比较数值解和解析解的差异，评估数值解的准确性和稳定性。
四、实验结果通过数值计算，我们得到了热传导问题的数值解。
我们将数值解与解析解进行比较，并计算了误差。
结果显示，数值解与解析解的误差在可接受范围内，证明了数值计算的准确性。
此外，我们还对数值解进行了稳定性分析。
通过改变离散化步长，我们观察到数值解的变化趋势。
结果显示，随着离散化步长的减小，数值解趋于稳定，证明了数值计算的稳定性。
五、实验总结通过本次实验，我们深入了解了数值分析的基本原理和方法。
我们通过数值计算，成功解决了热传导问题，并对数值解进行了准确性和稳定性分析。
数值分析实习报告总结
数值分析实习报告总结首先，我想对我所参加的数值分析实习课程表示由衷的感谢。
这次实习让我对数值分析这门学科有了更深入的理解，并且让我在实际操作中掌握了许多有用的技能和知识。
在这篇实习报告总结中，我将回顾我在实习过程中的学习经历，总结我在实习中学到的主要内容，并分享我的一些感悟。
实习的第一周，我主要学习了数值分析的基本概念和方法。
通过阅读教材和参加课堂讨论，我了解了数值分析的重要性以及在工程、科学和商业领域中的应用。
我学习了插值、线性代数、微分方程等数值方法的原理和实现方式。
此外，我还通过实际编程练习，掌握了使用数值分析方法解决实际问题的基本技能。
在实习的第二周，我深入学习了Lagrange插值和数值线性代数。
我了解到Lagrange插值是一种构造多项式以通过一组给定的点的方法，它在插值和逼近方面有广泛的应用。
通过编写代码实现Lagrange插值算法，我学会了如何利用已知的数据点来预测未知的点。
此外，我还学习了数值线性代数中的矩阵运算、特征值问题和线性方程组的求解方法，这些方法对于解决实际问题非常重要。
在实习的第三周，我学习了数值微积分和数值求解微分方程的方法。
我了解到数值微积分是利用数值方法近似计算积分和导数的过程，它在信号处理和物理模拟等领域有广泛应用。
通过编写代码实现数值积分和数值导数算法，我学会了如何近似计算函数的积分和导数。
此外，我还学习了如何使用数值方法求解常微分方程和偏微分方程，这些方法对于解决工程和科学领域中的问题非常重要。
在实习的过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
例如，在实现数值算法时，我常常会遇到编程错误和数值误差的问题。
通过与同学和老师的讨论和交流，我学会了如何调试代码和减小数值误差的方法。
这些经验让我更加熟悉编程和数值分析的方法，并且提高了我的问题解决能力。
通过这次数值分析实习，我不仅学到了许多关于数值分析的知识和技能，还提高了自己的编程能力和问题解决能力。
我相信这些知识和技能将在我未来的学习和工作中发挥重要作用。
数值分析实验报告5篇
0.03877676439380 0.16256584868280 0.13322664013598 0.02164258317546
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即当对扰动项的系数越来越小时对其多项式扰动的结果也就越来越小即扰动敏感性与扰动项的系数成正比扰动项的系数越大对其根的扰动敏感性就越明显当扰动的系数一定时扰动敏感性与扰动的项的幂数成正比扰动的项的幂数越高对其根的扰动敏感性就越明显
误差分析
实验1.1（问题）
实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对 数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属 于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值 问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究 和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机 器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现 考虑该多项式的一个扰动 其中是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中的系数作一个小的扰 动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的 解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函 数：“roots”和“poly”。 其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设 a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程 的全部根；而函数 的输出b是一个n+1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系 数。可见“roots”和“poly”是两个互逆的运算函数。 上述简单的Matlab程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是 （1.2）中的。
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实验七、QR 算法一、实验目的1、熟悉matlab 编程并学习QR 算法原理及计算机实现；2、学习用matlab 内置函数eig 和QR 算法求矩阵的特征值，并比对二者差异。
二、实验题目1、课本第277页第1题已知矩阵11261112376111671123456110787445677565,,.0367886109002897591000010A B H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（1）用MATLAB 函数“eig ”求矩阵全部特征值；（2）用基本QR 算法求全部特征值（可用MA TLAB 函数“qr ”实现矩阵的QR 分解）。
2、用QR 算法求矩阵特征值：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111132126)(i ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*******876307654465432)(ii根据QR 算法原理编制求（i ）及（ii ）中矩阵全部特征值的程序并输出计算结果（要求误差<10 -5）.三、实验原理与理论基础QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。
目前QR 方法主要用来计算上海森伯格矩阵和对称三对角矩阵的全部特征值问题，且QR 方法具有收敛快、算法稳定等特点。
对于一般矩阵n nA ⨯∈（或对称矩阵），首先用豪斯霍尔德方法将A 化为上海森伯格矩阵B （或对称三对角矩阵），然后再用QR 方法计算B 的全部特征值。
1、矩阵的QR 分解设n nA ⨯∈非奇异，则存在正交矩阵P ，使PA=R ，其中R 为上三角矩阵。
用Householder变换构造正交矩阵P ，记(0)AA =，它的第一列记为(0)1a ，不妨设(0)10a ≠，可按公式（3.2）（Th14,约化定理 设12(,,,)0,T n x x x x =≠则存在初等反射矩阵H 使1Hx e σ=-，其中）112121122,sgn(),,().T H I uu x x u x e u x βσσβσσ-⎧=-⎪=⎪⎨=+⎪⎪==+⎩ 找到矩阵111111,,n nTH H I u u β⨯-∈=-使(0)11111,(1,0,,0).T nH a e e σ=-=∈于是(1)1(1)(0)(0)(0)(1)111121(1)(,,,),0n b AH A H a H a H a A σ⎛⎫-===⎪ ⎪⎝⎭其中(1)(1)(1)(1)(1)(1)121(,,,).n n n Aa a a -⨯--=∈一般地，设(1)(1)(1)()0j j j D B AA ---⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，其中(1)j D -为(j-1)阶方阵，其对角线以下元素均为0，(1)j A-为(n-j+1)阶方阵，设其第一列为(1)1j a -，可选择(n-j+1)的Householder 矩阵变换()()n j n j j H -⨯-∈，使(1)1111,(1,0,,0),j n j j j H a e e σ--+=-=∈根据j H 构造n*n 阶的变换矩阵j H 为10,0j j j I H H -⎛⎫=⎪⎝⎭于是有()()()(1).0j j j j j j D B A H A A -⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭它和(1)j A -有类似的形式，只是()j D 为j 阶方阵，其对角线以下元素是0，这样经过n-1步运算得到(1)11,n n H H A A R --==其中(1)n R A -=为上三角矩阵，11n P H H -=为正交矩阵，从而有PA=R 。
2、QR 算法设n nA ⨯∈，且对A 进行QR 分解，即A QR =，其中R 为上三角矩阵，Q 为正交矩阵，于是可得到一个新矩阵TB RQ Q AQ ==。
显然，B 是由A 经过正交相似变换得到，因此B 与A 特征值相同，再对B 进行QR 分解，又可得一新的矩阵，重复这一过程可得到矩阵序列：设1A A =将1A 进行QR 分解111A Q R =作矩阵211111TA R Q Q A Q ==求得k A 后将k A 进行QR 分解k k k A Q R =形成矩阵1Tk k k k k k A R Q Q A Q +==QR 算法，就是利用矩阵的QR 分解，按上述递推法则构造矩阵序列{}k A 的过程。
只要A 为非奇异矩阵，则由QR 算法就完全确定{}k A 。
四、实验内容1、用matlab内置函数eig求矩阵的全部特征值；2、编写求特征值的QR算法程序，并用之求矩阵特征值；3、比较两种方法的结果差异。
（1）QR算法的m文件function qrsf(A,r)[Q,R]=qr(A);t=A(1,1) %tempA=R*Q;for k=1:50[Q,R]=qr(A);t=A(1,1);A=R*Q;if( abs( A(1,1)-t )<r )break;endendn=size(A,1);for i=1:nformat long gdisp( ['特征值λ',num2str(i),'=',num2str( A(i,i) )] ); end%disp('');for i=1:ndisp('特征值');format long g,A(i,i)endformat long g,A,Q,R（2）改进后的QR算法的m文件function qrsf(A,r)[Q,R]=qr(A);%t=A(1,1) %tempt(1)=max(abs(diag(R)));A=R*Q;for k=2:50[Q,R]=qr(A);z=diag(A);t(k)=max(abs(diag(R)));A=R*Q;if( abs( t(k) - t(k-1) ) < r )break;endendn=size(A,1);for i=1:nformat long gdisp( ['特征值λ',num2str(i),'=',num2str( A(i,i) )] ); end%disp('');for i=1:ndisp('特征值');format long g,A(i,i)endformat long g,A,Q,R五、实验结果>> A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];>> B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0];>> H6=hilb(6);1、eig求矩阵特征值>> eig(A),eig(B),eig(H6)ans = 0.01015004839789240.8431071498550323.8580574559449530.2886853458021ans = 13.17235139810326.551878351915661.59565457314994-0.390788045416488-0.929096277752298ans = 1.08279948406811e-0071.25707571226224e-0050.0006157483541826520.01632152131987580.242360870575211.618899858924342、QR算法求矩阵特征值>> eig(A),qrsf(A,10^-8)ans = 0.01015004839789240.8431071498550323.8580574559449530.2886853458021t = 10特征值λ1=30.2887特征值λ2=3.8581特征值λ3=0.84311特征值λ4=0.01015特征值ans = 30.2886853457915特征值ans = 3.85805737835431 特征值ans = 0.843107227456257 特征值ans = 0.0101500483978911 >> eig(B),qrsf(B,10^-8)ans = 13.17235139810326.551878351915661.59565457314994-0.390788045416488-0.929096277752298t = 2特征值λ1=13.1724特征值λ2=6.5519特征值λ3=1.5957特征值λ4=-0.9291特征值λ5=-0.39079特征值ans = 13.1723513891479 特征值ans = 6.55187836087093 特征值ans = 1.59565457937031 特征值ans = -0.929096283974607 特征值ans = -0.390788045414554 >> eig(H6),qrsf(H6,10^-8)ans = 1.08279948406811e-0071.25707571226224e-0050.0006157483541826520.01632152131987580.242360870575211.61889985892434t = 1特征值λ1=1.6189特征值λ2=0.24236特征值λ3=0.016322特征值λ4=0.00061575特征值λ5=1.2571e-005特征值λ6=1.0828e-007特征值ans = 1.6188998588068 特征值ans = 0.24236087069274 特征值ans = 0.01632152131988 特征值ans = 0.000615748354182639 特征值ans = 1.25707571226506e-005 特征值ans = 1.08279948456401e-0073、改进后的QR算法求特征值>> eig(A),qrsf(A,10^-8)ans = 0.01015004839789240.8431071498550323.8580574559449530.2886853458021特征值λ1=30.2887特征值λ2=3.8581特征值λ3=0.84311特征值λ4=0.01015特征值ans = 30.2886853458019 特征值ans = 3.85805745223919 特征值ans = 0.843107153560957 特征值ans = 0.0101500483978911 >> eig(B),qrsf(B,10^-8)ans = 13.17235139810326.551878351915661.59565457314994-0.390788045416488-0.929096277752298特征值λ1=13.1724特征值λ2=6.5519特征值λ3=1.5957特征值λ4=-0.9291特征值λ5=-0.39079特征值ans = 13.1723513936489 特征值ans = 6.55187835636998 特征值ans = 1.59565456952802 特征值ans = -0.929096274131193 特征值ans = -0.390788045415675 >> eig(H6),qrsf(H6,10^-8)ans = 1.08279948406811e-0071.25707571226224e-0050.0006157483541826520.01632152131987580.242360870575211.61889985892434特征值λ1=1.6189特征值λ2=0.24236特征值λ3=0.016322特征值λ4=0.00061575特征值λ5=1.2571e-005特征值λ6=1.0828e-007特征值ans = 1.61889985892171 特征值ans = 0.242360870577844 特征值ans = 0.0163215213198758 特征值ans = 0.000615748354182638 特征值ans = 1.25707571226506e-005特征值ans = 1.08279948456401e-007六、实验结果分析与小结从实验结果可以看出，用MA TLAB内置函数eig求矩阵特征值与用QR算法求矩阵特征值的结果基本一致，数据只有微小差别。