二次根式及计算

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二次根式的运算

二次根式的运算

二次根式的运算二次根式是指具有形如√a的表达式,其中a是一个非负实数。

在数学中,二次根式的运算是一项重要的内容,掌握好它们的运算规则和技巧,可以帮助我们更好地解决与二次根式相关的问题。

本文将介绍二次根式的加减乘除运算,以及求解二次根式的近似值的方法。

一、二次根式的加减运算1. 相同根式的加减运算当两个二次根式具有相同的根号部分时,可以直接对根号内的数进行加减运算,并保持根号部分不变。

例如:√2 + √2 = 2√2,√3 - √3 = 02. 不同根式的加减运算当两个二次根式具有不同的根号部分时,无法直接进行加减运算。

此时,我们需要进行有理化处理,将二次根式化为同类项后再进行运算。

有理化的方法包括乘以其共轭形式、分子有理化等。

下面以乘以共轭形式为例进行说明。

例如:(√2 + √3)- (√2 - √3)= √2 + √3 - √2 + √3(将括号内的式子加上负号,改为减法)= √2 - √2 + √3 + √3(合并同类项)= 2√3二、二次根式的乘除运算1. 乘法法则当计算两个二次根式的乘积时,我们可以直接将根号内的数相乘,并将根号部分合并为一个根号。

例如:√2 × √3 = √62. 除法法则当计算两个二次根式的商时,我们可以直接将根号内的数相除,并将根号部分合并为一个根号。

例如:√6 ÷ √2 = √3三、二次根式的近似值求解在一些实际问题中,我们往往需要求解二次根式的近似值。

这时,我们可以利用计算器或者近似计算的方法得到结果。

例如:求解√5的近似值,我们可以使用计算器进行计算,得到约等于2.236。

四、总结通过本文的介绍,我们了解到了二次根式的运算方法。

在进行加减运算时,相同根式直接加减,不同根式需要进行有理化处理;在进行乘除运算时,直接进行乘除运算并合并根号部分。

另外,在求解二次根式的近似值时,可以利用计算器或者近似计算的方法获得结果。

掌握好这些运算方法,可以帮助我们更好地解决与二次根式相关的问题。

二次根式及其运算

二次根式及其运算
【解析】 (1)原式=(3 2)2-1-[(2 2)2-4 2+1] =18-1-8+4 2-1=8+4 2.
(2)原式=( 10-3)2016×( 10+3)2016×( 10-3) =[( 10-3)( 10+3)]2016×( 10-3) =[( 10)2-32]2016×( 10-3) =(10-9)2016×( 10-3)=1×( 10-3) = 10-3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可,而二次 根式在表达形式上,容易导致认识错误,例如 0.2b和 x2-y2,会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式.应注意对数学概念的理解:小数可以转化成分数, 因式和项有区别.
易错点3
二次根式的性质
=|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值:a+ a + 2-2,其中 a= . a 5 12 a - 1 1 1 【错解】 原式= + a = +a- =a. a a a 1 1 当 a= 时,原式=a= . 5 5 12 a - 1 【析错】 化简 a2+ 2-2= 根据 a2=|a|, a 时, a 可知结果一定是非负数. 12 1 a- a- 1 1 1 ∵当 a= 时,a- <0,∴ a = a = -a, 5 a a 1 而不是 a- . a
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x≤ 9
x- 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y= 中, 自变量 x x- 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x>1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件,得 x-1≥0,由 分式有意义的条件,得 x-2≠0, ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2.(2016· 自贡)下列根式中,不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算二次根式在数学中扮演着重要的角色,它们常被用于解决各种数学问题。

在本文中,我们将讨论如何化简和计算二次根式。

一、二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式,即约分到根号下的数不能再存在平方因子。

下面是几种常见的二次根式化简方法:1. 取出公因数法当二次根式的根号下部分含有多个因子时,我们可以尝试通过取出公因数的方式进行化简。

例如,对于√18,我们可以将其分解为√(9*2),进一步化简为3√2。

2. 平方因式分解法当二次根式的根号下部分可以进行平方因式分解时,我们可以利用这个特性进行化简。

例如,对于√75,我们可以将其分解为√(25*3),进一步化简为5√3。

3. 有理化分母法当二次根式的根号下部分含有分母时,我们可以通过有理化分母的方式进行化简。

具体来说,我们需要将根号下的分母用有理数表示,并将分子乘以相应的因子,以消除根号下的分母。

例如,对于(2/√3),我们可以用有理数的形式表示为(2*√3/3),从而实现了化简。

二、二次根式的计算计算二次根式主要指的是进行加减乘除等数学运算。

下面是几种常见的二次根式计算方法:1. 加减运算进行二次根式的加减运算时,我们需要首先化简每个二次根式,然后按照相同根号下的内容进行合并,并化简结果。

例如,计算√3 + 2√3,我们首先化简两个根号下的3,然后合并系数得到3√3。

2. 乘法运算进行二次根式的乘法运算时,我们需要将每个二次根式展开,并按照指数规则进行计算。

具体来说,对于√a * √b,我们可以将其化简为√(a*b)。

例如,计算√2 * √3,我们可以化简为√6。

3. 除法运算进行二次根式的除法运算时,我们需要利用有理化分母的方法,将除数有理化,并利用分数的除法规则进行计算。

例如,计算(2√3) / √2,我们可以有理化分母,化简为(2√3 * √2) / (√2 * √2),进一步计算得到(2√6) / 2,最终化简为√6。

综上所述,二次根式的化简与计算是解决数学问题中常见的基本技巧。

二次根式的运算知识点总结

二次根式的运算知识点总结

二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式,其中a是非负实数。

在数学中,二次根式的运算是一个重要的知识点,掌握了这个知识点,我们可以更好地理解和利用二次根式。

下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。

一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简:当被开方数存在平方因子时,可以进行化简。

例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。

2. 二次根式的乘法运算:对于两个二次根式的乘法运算,可以将两个二次根式的根号内的数相乘,根号外的数相乘,并进行化简。

例如:√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。

3. 二次根式的除法运算:对于两个二次根式的除法运算,可以将两个二次根式的根号内的数相除,根号外的数相除,并进行化简。

例如:√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。

4. 二次根式的加减运算:对于两个二次根式的加减运算,只能进行同类项相加减,并进行化简。

例如:√2 + √3 无法进行化简,可以写成2√2 + 3√5。

二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算:当二次根式与整数进行运算时,可以将整数视为二次根式的特殊形式。

例如:√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。

2. 二次根式的有理化:有时候需要将二次根式的分母变为有理数,这个过程称为有理化。

有理化的方法有两种:(1) 乘以共轭根式:对于分母中含有二次根式的情况,可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。

例如:(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号:对于分母中含有二次根式的情况,可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离,并进行化简,从而实现有理化。

二次根式及其运算

二次根式及其运算

第5课 二次根式及其运算
基础自测
4.(2013·常德)计算 4.(2013·常德)计算 2×
2×8+38+-327-的2结7的果结为果(为B(
)
)
A.-1
B.1
C.4-3 3
D.7
A.-1
B.1
C.4-3 3
D.7
解析 本题考查的是实数的运算,在进行实数运算


时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3.(2013·泰州)下列计算正确的是
()
A.4 3-3 3=1
B. 2+ 3= 5

C.2 12= 2
D.3+2 2=5 2

解析 根据二次根式的化简及同类二次根式的
合并,分别进行各选项的判断即可.
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3.(2013·泰州)下列计算正确的是
2.二次根式的性质:
(1)( a)2=_a_(_a_≥__0_)_.
首 页
(2)
a2=|a|=
a(a>0) ; 0(a=0) ;
-a(a<0) .
(3) ab=__a_·____b(_a_≥__0_,__b_≥_.0) (4) ab=____ba_(_a_≥__0_,_b_>_0_)__.
第5课 二次根式及其运算
(5)巧用倒数.
第5课 二次根式及其运算
基础自测
1.(2013·鞍山)要使式子 2-x有意义,则 x 的取值
范围是
(D )
A.x>0
B.x≥-2

C.x≥2
D.x≤2

解析 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.

二次根式及其运算

二次根式及其运算

2没有根号,不是二次根式。 没有根号,不是二次根式。 没有根号
例题1 当a为实数时,下列各式中哪些是二 例题1 为实数时, 次根式? 次根式? a+10 , a 2+1 , 分析 ∵ a ∴ a , a 2 , a 2-1 , (a-1) 2. (a-
2
(a- ≥0 , a2 ≥0 , a2+1>0 , (a-1) a , a2 , a2+1 , (a-1) (a-
3 3 2 ) = 5 5 3 )2 = 22 × ( = 4×3 × = 12 3 )2
4 是4的算术平方根,则有: 4 )2 =4 ( 的算术平方根, 的算术平方根 则有: 的算术平方根, 的算术平方根 则有: : 2 是4的算术平方根,则有( 2 )2 =2
一般地,我们有: 一般地,我们有: ( a )2 =a
例题2 x 是怎样的实数时,式子 x-3 在实数 例题 是怎样的实数时, 范围内有意义? 范围内有意义? 解:由x-3≥0,得 , x≥3 当x≥3 时,式子 x-3 在实数范围 内有意义。 内有意义。
例题3 计算: 例题 计算: (1) ( 3 2 ) ; 5 (2) ( 2 3 )2 .
解: (1) ( (2) ( 2
二次根式
1.什么叫平方根、算术平方根? .什么叫平方根、算术平方根?
2.说出下列各式的意义,并计算: .说出下列各式的意义,并计算: 16 - 8 0 104
0.04
+
0.25
(-8)2 -
二次根式定义: 叫做二次根式 二次根式. 二次根式定义: 式子 a (a ≥0) 叫做二次根式 (1) -2 是二次根式吗? 是二次根式吗? ) 式子 a 只有在条件 只有在条件a≥0时才叫二次根式, 时才叫二次根式, 时才叫二次根式 所以它不是二次根式。 所以它不是二次根式。 (2) ) 4 是二次根式,而 是二次根式, 次根式吗? 次根式吗? 4 =2 ,2是二 是二

二次根式及其运算

二次根式及其运算

次,又把积(商)再化简一次较为简单.
2.混合运算时,要根据实际情况,灵活确定运算顺序,可适当 改变运算的顺序,使运算简便.
失误与防范 1.求 a2时,一定要注意确定a的大小,应注意利用等式 a2= |a|,当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类 讨论. 2.化简二次根式的题目,形式多样,应先化简后求值,应力求 把根号去掉.在求算术平方根时,要先用含绝对值的式子表 示含字母的式子,保证求原式的算术平方根有意义,然后再 根据题目条件,判断求绝对值的式子的符号.
1 1 (2)∵ ( x- )2 =( x+ )2 -4=(-3)2-4=5, x x ∴x- 1 =± 5 . x
探究提高
1.x2+xy+y2是一个对称式,可先求出基本对称式x+y=4,
xy=1,然后将x2+xy+y2转化为(x+y)2-xy,整体代入即可. 2.注意到(x- 1 )2=(x+ 1 )2-4,可得(x- 1 )2=5, x x x 1 x- =± 5 . x
3.一般情况下,我们解题时,总会习惯地把重点放在探求思路
和计算结果上,而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过 程的附加条件.要特别注意,问题中的条件没有主次之分,
都必须认真对待.
A.-2- 3 C.-2+ 3
B.-1- 3 D.1+ 3
解析:∵A、B两点表示的数分别是-1和 3 , ∴OA=|-1|=1,OB=| 3 |= 3 ,AB=1+ 3 =AC, ∴OC=AC+OA=(1+ 3 )+1=2+ 3 . ∴点C所表示的数为-(2+ 3 )=-2- 3 ,选A.
题型三 二次根式混合运算
1.二次根式化简,依据 ab = a · b(a≥0,b≥0),
a = a (a≥0,b>0),前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式,后者分子、分母同时乘一个适当的

二次根式及其运算

二次根式及其运算

大小关系,何者正确
()
A.k<m=n
B.m=n<k
C.m<n<k
D.m<k<n
【思路分析】(1)根据被开方数大于等于0,分母
不等于0列式进行计算即可得解.(2)根据二次根
式的性质化简得到k,m及n的值,即可作出判断.
【答案】(1)根据题意得,2x+1≥0且x-1≠0,
解得x≥- 1 且x≠1.故选A. 2
类型三 二次根式的运算与求值
例3 (1)(2013·包头)计算:8 3 1 2 =

2
(2)(2013·泰安)化简:3( 2 3) 24 6 3= .
【思路分析】(1)先进行二次根式的化简,然后合并
同类二次根式即可.(2)根据二次根式的乘法运算
法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简
作正△OAP1,以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正 △P1BP2,再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作 △P2CP3,…,如此继续下去,则第六个正三角形 中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标 是________.
【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角
形的边长的
1 ,第六个正三角形的边长是 2
5.(2013·泰州)下列计算正确的是
(C )
A.4 3 3 3 1
B. 2 3 5
C.2 1 2
D.3 2 2 5 2
2
6.(2014·台湾)算式( 6 10 15) 3 之值为( D )
A.2 42
B.12 5 C.12 13 D.18 2
7.(1)(计算)( 10-3)2016·( 10+3)2015= 10 3 .
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意: (1)负号不能移到根号内;(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内.

第1部分 第1章 第2节 二次根式及其运算

第1部分 第1章 第2节 二次根式及其运算

第二节二次根式及其运算知识点考点分值考频等级考查难度常见题型二次根式及其运算二次根式的概念3~4分☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的性质3~6分☆☆☆☆易选择题、填空题最简二次根式3~4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的运算3~6分☆☆☆☆☆易选择题、填空题、解答题考点一:二次根式的概念核心点拨1.二次根式定义:一般地形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(1)被开方数可以是数字、字母,也可以是代数式.(2)二次根式有意义的条件:被开方数一定是非负数.考点二:二次根式的性质核心点拨2.双重非负性(1)a(a≥0)中的a是非负数.二次根式的被开方数及结果都不能是负数.(2)a(a≥0)的值是非负数.3.运算性质(1)a2=⎩⎨⎧a(a≥0),-a(a<0).a2和(a)2二者a的取值范围不同,a2中a可取全体实数,(a)2中a一定是非负数.(2)(a)2(a≥0)=a.考点三:最简二次根式核心点拨4.最简二次根式,最简二次根式满足两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.最简二次根式的两个条件缺一不可.考点四:二次根式的运算核心点拨5.二次根式的运算(1)二次根式的乘除:①a·b=ab(a≥0,b≥0);②ab=ab(a≥0,b>0).(1)二次根式的乘除主要用于乘除运算.(2)积、商的算术平方根主要用于二次根式的化简.(2)积、商的算术平方根:①a·b=a·b(a≥0,b≥0);②ab=ab(a≥0,b>0).(3)二次根式的加减:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并.1二次根式的概念基础点(2021·岱岳区期末)若式子x+1x有意义,则实数x的取值范围为____________.(1)根据二次根式有意义的条件确定x+1的范围;(2)再结合分式有意义的条件确定x的取值范围.x≥-1且x≠0解析:要使式子x+1x有意义,必须x+1≥0且x≠0,解得x≥-1且x≠0.故答案为x≥-1且x≠0.1-1(2021·内江)函数y=2-x+1x+1中,自变量x的取值范围是( )A.x≤2B.x≤2且x≠-1C.x≥2D.x≥2且x≠-1B解析:由题意得:2-x≥0,x+1≠0,解得x≤2且x≠-1.故选B.1-2(2022·新泰检测)若代数式x+1有意义,则实数x的取值范围是________.x≥-1解析:∵代数式x+1有意义,∴x+1≥0.∴x≥-1.故答案为x≥-1.1-3(2022·滨州)若二次根式x-5在实数范围内有意义,则x的取值范围为___________.x≥5解析:由题意知x-5≥0,解得x≥5.故答案为x≥5.与二次根式有关的取值原则1.二次根式有意义,被开方数一定是非负数.2.若分母中有二次根式,则被开方数只能大于0.3.在既有二次根式,又有分式的代数式中确定取值范围,一定要考虑所有的限制条件.2二次根式的性质及化简能力点(2022·宁阳检测)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简(a+1)2+(b-1)2-(a-b)2的结果是( )A.-2B.0C.-2a D.2b(1)根据a2=|a|化简;(2)绝对值化简即可.A解析:由数轴可知-2<a<-1,1<b<2,∴a+1<0,b-1>0,a-b<0.∴(a+1)2+(b-1)2-(a-b)2=||a+1+||b-1-||a-b=-(a+1)+(b-1)+(a-b)=-2.故选A.2-1(2022·肥城月考)计算(27-12)×13的结果是()A.33B.1C. 5 D.3B解析:(27-12)×1 3=9-4=3-2=1.故选B.2-2(2021·杭州)下列计算正确的是( )A.22=2B.(-2)2=-2C.22=±2D.(-2)2=±2A解析:22=4=2,故A正确,C错误;(-2)2=2,故B,D错误.故选A.2-3(2022·舟山)估计6的值在()A.4和5之间B.3和4之间C.2和3之间D.1和2之间C解析:∵4<6<9,∴ 2<6<3.故选C.2-4(2022·新泰模拟)估计3×(23+5)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间B解析:3×(23+5)=6+15.∵9<15<16,∴ 3<15<4.∴9<6+15<10.故选B.a2和(a)2的区别:1.a的取值范围不同:a2中的a是全体实数;(a)2中的a只能是非负数.2.运算顺序不同:a2是先平方,再开方;(a)2是先开方,再平方.3.运算结果不同:a2=||a;(a)2=a.3最简二次根式基础点(2022·宁阳月考)将452化为最简二次根式,其结果是( )A.452B.902C.9102D.3102(1)被开方数分子、分母同乘2,化为;(2)把开方出来.D解析:452=904=94×10=3102.故选D.3-1(2022·泰山区期末)下列根式中,是最简二次根式的是( )A.19B.4C.a2D.a+1D解析:A.19=13;B.4=2;C.a2=|a|;D.a+1是最简二次根式.故选D.3-2(2021·重庆A卷)计算14×7-2的结果是( ) A.7B.62C.72D.27B解析:14×7-2=2×7×7-2=72-2=62.故选B.4二次根式的运算基础点考向1| 二次根式的乘除(2022·宁阳一模改编)计算:45÷33×3 5.(1)按照从左到右的顺序进行运算;(2)结果化成最简二次根式.1解析:原式=13×15×35=13×15×35=13×9=1.4-1等式x+2x-2=x+2x-2成立的条件是( )A.x≠2B.x≥-2 C.x≥-2且x≠2D.x>2D解析:x+2x-2=x+2x-2成立的条件是x-2>0,得x>2.故选D.4-2(2021·岱岳区检测)计算18×12的结果是( )A.6B.62C.63D.66D解析:18×12=32×23=66.故选D.4-3(2022·天津)计算(19+1)(19-1)的结果等于_______.18解析:(19+1)(19-1)=(19)2-12=19-1=18.故答案为18.4-4计算:27×50÷26.答案:15 2解析:原式=33×52÷26 =156÷26=152.考向2| 二次根式的混合运算(2021·临沂)计算:│-2│+⎝ ⎛⎭⎪⎫2-122-⎝ ⎛⎭⎪⎫2+122.(1)去绝对值,利用完全平方公式运算; (2)进行加减运算. 答案:-2解析:原式=2+2-2+14-2-2-14=-2.5-1 (2022·东平模拟)计算:2×3-24=________. -6 解析:原式=6-26=-6. 故答案为-65-2 (2021·威海)计算:24-65×45=________.-6 解析:原式=26-65×35 =26-36=-6. 故答案为-6.5-3 (2022·泰山区检测)计算:3-25=________. -2 解析:原式=3-5=-2. 故答案为-2.二次根式的运算法则1.二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同.2.二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质,将二次根式化简成最简二次根式后再运算.3.二次根式的加减可类比整式的加减进行,也可认为是合并同类二次根式.4.二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式,分母中也不能有根式.二次根式的概念和运算命题点1| 二次根式的有关概念1.(2022·东平检测)下列各式中,一定是二次根式的是()A.--2B.a2+1C.a-1 D.3 3B解析:A.根号下不能是负数,故A选项不合题意;B.a2+1≥1,故B选项符合题意;C.当a<1时,a-1<0,此时根号下是负数,故C选项不合题意;D.33是3的立方根,不是二次根式,故D选项不合题意.故选B.2.(2022·宁阳检测)已知二次根式2x+1,则x的最小值是() A.0 B.-1C.12D.-12D解析:由题意得:2x+1≥0,解得x≥-12.∴x的最小值为-12.故选D.3.(2021·绥化)若式子x0x+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A .x >-1B .x ≥-1且x ≠0C .x >-1且x ≠0D .x ≠0C 解析:若x 0x +1在实数范围内有意义, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0,x +1>0.解得x >-1且x ≠0.故选C . 4.(2022·滨州)若二次根式x -5在实数范围内有意义,则x 的取值范围为________.x ≥5 解析:由题意知,x -5≥0, 解得x ≥5. 故答案为x ≥5. 5.(2022·宁阳检测)若y =x -4+4-x 2-2,则(x +y )y=________.14 解析:由题意得:⎩⎪⎨⎪⎧x -4≥0,4-x ≥0, ∴ x =4.∴ y =-2. ∴ (x +y )y =(4-2)-2=14. 故答案为14.6.已知y =x -20+30-x ,且x 、y 均为整数,则x +y =______. 25或33 解析:由题意得:⎩⎪⎨⎪⎧x -20≥0,30-x ≥0,解得20≤x ≤30. ∵ x ,y 均为整数, ∴ x =21或29.当x=21时,y=4,x+y=25;当x=29时,y=4,x+y=33.故答案为25或33.命题点2| 二次根式的性质及化简1.(2022·岱岳区月考)当x>2时,(2-x)2=()A.2-x B.x-2C.2+x D.±(x-2)B解析:∵x>2,∴ 2-x<0.∴(2-x)2=x-2.故选B.2.化简(-5)2的结果是()A.-5B.5C.±5D.25B解析:(-5)2=5.故选B.3.(2022·东平检测)若(a-3)2=3-a,则实数a的取值范围是() A.a<3 B.a≤3C.a>3 D.a≥3B解析:∵(a-3)2=3-a=-(a-3),∴a-3≤0.∴a≤3.故选B.4.实数7不可以写成的形式是()A.72B.-72C.(-7)2D.(-7)2B解析:∵72=(-7)2=(-7)2=7,-72=-7,∴ 7不可以写成-72的形式.故选B.5.(2021·娄底)2,5,m 是某三角形三边的长,则(m -3)2+(m -7)2等于( )A .2m -10B .10-2mC .10D .4D 解析:∵ 2,5,m 为三角形的三边长,∴ 5-2<m <5+2.即3<m <7.∴ m -3>0,m -7<0.∴ (m -3)2+(m -7)2=m -3+7-m =4.故选D .6.(2022·贺州)若实数m ,n 满足 ∣m -n -5∣+2m +n -4=0,则 3m +n =__________.7 解析:∵ m ,n 满足 ∣m -n -5∣+2m +n -4=0,∴ m -n -5=0,2m +n -4=0.∴ m =3,n =-2.∴ 3m +n =9-2=7.故答案为7.7.(2022·新泰模拟)如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式a 2-||a +b +(c -a )2+||b +c 可以化简为( )A .2c -aB .2a -2bC .-aD .a C 解析:由数轴可得b <a <0<c ,|b |>|c |.∴ 原式=-a -[-(a +b )]+c -a +[-(b +c )]=-a +a +b +c -a -b -c =-a .故选C .命题点3| 二次根式的运算1.(2021·梧州)下列计算正确的是()A.12=3 2 B.2+3=5C.62=3D.(2)2=2D解析:A.12=23,该选项错误;B.2和3不是同类二次根式,无法合并,该选项错误;C.62是最简二次根式,无法化简,该选项错误;D.(2)2=2,该选项正确.故选D.2.(2022·肥城模拟)如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①ab=ab,②ab·ba=1, ③ab÷ab=-b.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③B解析:∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0.①等号右边根号下为负数,错误;②ab·ba=ab·ba=1,正确;③ab÷ab=ab÷ab=ab×ba=b2=-b,正确.故选B.3.下列二次根式中,不能与2合并的是()A.12B.8C.12 D.18C解析:12=22,8=22,12=23,18=32,∴不能与2合并的是12.故选C.4.(2021·常德)计算:(5+12-1)·5+12=()A.0B.1C.2D.5-1 2B解析:原式=(5+1-22)×5+12=5-12×5+12=1.故选B.5.(2022·河北)下列正确的是()A.4+9=2+3 B.4×9=2×3C.94=32D. 4.9=0.7B解析:A.原式=13,故该选项不符合题意.B.原式=4×9=2×3,故该选项符合题意.C.原式=(92)2=92,故该选项不符合题意.D.0.72=0.49,故该选项不符合题意.故选B.6.(2022·泰山区模拟)计算:27·83÷12=______.12解析:原式=33×223×2=12.故答案为12.7.计算:45-25×50=______.5解析:原式=35-25×50=35-20=35-25=5.故答案为5.8.(2022·东平月考)若x=3-2,则代数式x2-6x+9的值为______.2解析:x2-6x+9=(x-3)2=(3-2-3)2=(-2)2=2.故答案为2.。

二次根式计算方法

二次根式计算方法

二次根式计算方法
1 二次根式计算法
二次根式是一种求解多项式两个解的算法。

它的公式是:x的二次根式=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a},其中a、b、c分别是一
元二次方程中的三个系数。

二次根式属于代数方面的基本运算,其用法极其简单。

在求解一
元二次方程时,只需要将当前的问题代入公式中,并将所有系数带入
公式中,就可以得到方程的两个解。

其计算过程仅仅需要使用最简单
的四则运算和开方运算,因此也是一种暴力破解的计算方法,而且可
以说是一种非常有效的破解方法。

在这里,当使用二次根式的时候要注意的有几点:首先,要确保
系数的准确性,否则会出现无法解决的错误;其次,开方过程中有些
系数会导致不等式的开方结果大于0,此时要检查不等式范围是否正确;最后,二次根式在求解一元二次方程时,会出现一项叫做“原式”的
数据,有时会因为这个“原式”数据而导致最后结果出错。

二次根式式一种求解一元二次方程两个解的暴力破解计算方法,
用户只需要正确输入方程系数和“原式”,就可以得到这个方程的两
个解,简单易用又精准。

二次根式及其运算知识讲义(解析版)

二次根式及其运算知识讲义(解析版)

专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式:a≥0)的式子叫做二次根式.a为被开方数,a可以是数字或代数式.代数式:含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式:1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;2、被开方数的因数是整数,因式是整式.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0,b≥0)除法=(a≥0,b >0)加(减)法先把各根式化成最简根式,再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】,a≥0非负数:|a|,a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移:(1)负号不能移到根号下;(2)根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. (2020·m 能取的最小整数值是()A .m = 0B .m = 1C .m = 2D .m = 3【答案】B.3m -1≥0,解得:m≥13, 所以,m 能取的最小整数值是1.故答案为:B .例2. (2020·=-,那么x 的取值范围是_______. 【答案】-3≤x≤0.【解析】解:∵233x x +-∴x≤0,且x+3≥0,解得:-3≤x≤0,故答案为:-3≤x≤0.例3.(2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0,x−2≥0,∴x≥2.故答案为:x≥2.【题型二】同类二次根式例4. (2020·是同类二次根式,那么满足条件的m 中最小正整数是________.【答案】4.【解析】解:当5m+8=7时,m=-15,不合题意,,即5m+8=28时,m=4,是同类二次根式,那么m 的最小正整数是4,故答案为:4.例5. mn =_________.【答案】10.∴n=2,2m-5=5,∴m=5,n=2∴mn=10故答案为:10.例6. mn=________.【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩,解得,73mn=⎧⎨=⎩,∴mn=21故答案为:21.【题型三】变式考查例7. (2020·浙江宁波市期中)我们把形如b(a,b为最简二次根式)32是()A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解:2故答案为:B.例8. (1n所有可能的值;(2是整数,求正整数n的最小值.【答案】(1)自然数n 的值为2、9、14、17、18;(2)正整数n 的最小值为6.【解析】解:(1是整数,∴18-n=0或1或4或9或16,解得:n=18或17或14或9或2,则自然数n 的值为2,9,14,17,18;(2=是整数,n 为正整数,∴正整数n 的最小值为6.例9.(2020·21x =-,则x=__________. 【答案】12或1.21x =-,∴2x-1=0或2x-1=1,解得:x=12或x=1. 故答案为12或1. 【题型四】二次根式运算例10.(2020·周长为( )A .B .C .D .无法确定【答案】A.若,,则周长为若,∴,此三角形不存在,∴个三角形的周长为故答案为:A .例11)2211-.)2211--1313=--+-=例12.(2020·福建省泉州月考)已知1x =,x 的整数部分为a ,小数部分为b ,求a b的值..【解析】解:∵3,∴+1<4,故a=3,-2,∴)3232274a b ====-. 例13.(2020·广东佛山市月考)先阅读,再解答:由222=-= 可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:==,请完成下列问题:1的有理化因式是;(2)= .(直接写结果)>或<)(4)利用你发现的规律计算下列式子的值:)1+【答案】(1+1;(2);(3)<;(4)2017.【解析】解:(1+1;(2333==+;(3=>(4)原式=)120181+=)11=2018-1=2017.例14. 若a,b都是正整数,且a<b是可以合并的二次根式,是否存在a,b,=a,b的值;若不存在,请说明理由.【答案】当a=3,b=48;当a=12,b=27.,m、n为正整数,m<n,∴m=1,n=4或m=2,n=3故a=3,b=48或a=12,b=27.例15.(2019·辽宁大连市期中)[观察]请你观察下列式子的特点,并直接写出结果:11112=+-=;11123=+-=;11134=+-=;……[发现]根据你的阅读回答下列问题:(1)请根据上面式子的规律填空:=(n为正整数);(2)请证明(1) 中你所发现的规律.[应用]请直接写出下面式子的结果:11n++=.【答案】[观察]32,76,1312;[发现](1)1111n n+-+或221n nn n+++;(2)证明见解析;[应用]221n nn++.【解析】[观察]32,76,1312,[发现](1)1111n n+-+或221n nn n+++(2)左边=====∵n 为正整数,∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. (2021·江苏南通市期末)化简2+的结果是( ) A .152x -B .1-C .27x -D .1 【答案】A.【解析】解:∵二次根式被开方数为非负数,∴7-x≥0,则x≤7∴x-8<0,原式=7-x+8-x=15-2x故答案为:A .例17.(2020·浙江杭州期中)实数a ,b 在数轴上的位置如图,||a b -的结果为( )A .2aB .2a -C .2bD .2b -【答案】B.【解析】解:由题意得:a >b ,|a |<|b |,a >0,b <0,∴a -b >0,a +b <0,∴原式=-a -b -a +b =-2a ,故答案为:B .例18.若数轴上表示数x 的点在原点的左边,则化简3x + ) A .4x - B .4x C .2x - D .2x【答案】C.【解析】解:∵数x 的点在原点的左边,∴x <0,∴原式=|3x +|x ||=|3x -x |=|2x |=-2x .故答案为:C .例19.(2020·温州月考)下列四个式子中,与(a -的值相等的是() AB .CD .【答案】D.【解析】解:由题意得:2021-a>0,得:a<2021,∴a-2021<0,∴原式=(2021a --== 故答案为:D . 例20.下列给出的四个命题:①若a b = ,则a a b b =;②若a 2﹣5a+5=01a =- ;③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解:①当a=-1,b=1时,命题不成立,是假命题,②a 2=5a-5,∴5a-5≥0,即a≥1,,是真命题;③(a -==,是假命题, 故答案为:②.【题型六】阅读材料例21.(2021·北京延庆区期末)我们规定用(a ,b )表示一对数对.给出如下定义:记m=,n = a > 0,b > 0),将(m ,n )与(n ,m )称为数对(a ,b )的一对“对称数对”.例如:(4,1)的一对“对称数对”为(12,1)和(1,12); (1)数对(9,3)的一对“对称数对”是 ;(2)若数对(3,y )的一对“对称数对”相同,则y 的值为 ;(3)若数对(x ,2)的一个“对称数对”,1),则x 的值为 ;(4)若数对(a ,b )的一个“对称数对”,,求ab 的值.【答案】(1)1(3与1)3, ;(2)13;(3)1 ;(4)16或6.【解析】解:(1)由题意得13=,∴数对(9,3)的一对“对称数对”是1(3与1)3,;(2)由题意得,∴数对(3,y )的一对“对称数对”为⎝与⎭, ∵数对(3,y )的一对“对称数对”相同,= ∴y=13;(3)∵数对(x ,2)的一对“对称数对”是与而数对(x ,2)的一个“对称数对”,1), 1=, ∴x=1;(4)∵数对(a ,b)的一对“对称数对”是与,而数对(a ,b)的一个“对称数对”是,==1,183a b == ∴11863ab =⨯=;==1,318a b ==, ∴113186ab =⨯=,综上所述,16ab =或6ab =. 例22. 阅读理解:二次根式的除法,要化去分母中的根号,需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式..11==. 类比应用:(1= ; (29++=+ . 拓展延伸:的矩形叫黄金矩形.如图①,已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1. (1)黄金矩形ABCD 的长BC = ;(2)如图②,将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ,得到新的矩形DCEF ,猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形,并证明你的结论;(3)在图②中,连结AE ,则点D 到线段AE 的距离为 .【答案】类比应用:(1);(2)2;拓展延伸:(1)12;(2)矩形DCEF为黄金矩形,理由见解析;(3【解析】解:类比应用:(1)根据题意可得:== (2)根据题意可得:9++(9+++19-+-1=2;拓展延伸:(1的矩形叫黄金矩形, 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1,则黄金矩形ABCD 的长BC; (2)矩形DCEF 为黄金矩形,理由是:由裁剪可知:AB=AF=BE=EF=CD=1,根据黄金矩形的性质可得:AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12,∴DF EF =11122÷=,故矩形DCEF 为黄金矩形;(3)连接AE ,DE ,过D 作DG ⊥AE 于点G ,∵AB=EF=1,,∴=在△AED 中,S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯,即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =,解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. (2019·四川月考)阅读下列材料,然后回答问题.一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化.②学习数学,最重要的是学习数学思想,其中一种数学思想叫做换元的思想,它可以简化我们的计算,比如我们熟悉的下面这个题:已知 a +b =2,ab = -3 ,求 a 2 + b 2 .我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体,令 x =a +b , y = ab ,则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10.这样,我们不用求出a ,b ,就可以得到最后的结果.(1...+(2)已知 m 是正整数, ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 .求 m . (31=【答案】(1)12;(2)2;(3)9. 【解析】解:(1)原式12019+2222=+++2019++== (2)∵ab∴=2(2m+1),=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2(a 2+b 2)+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4(2m+1)2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2.(31=,得:21=20=2281=-+=0≥≥.例24.(2020·湖南怀化市期末)同学们,我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有的非负数(以及0)都可以看作是一个数的平方,如23=,25=,下面我们观察:)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=,∴231)-=1= 求:(1;(2(3=,则m 、n 与a 、b 的关系是什么?并说明理由.【答案】(11;(21;(3)m+n=a ,mn=b ,理由见解析.【解析】解:(11;(21==;(3)m+n =a ,mn =b.=∴2a =+,∴,∴m+n =a ,mn =b.例25.(2020·安徽安庆市)阅读理解题,下面我们观察:2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=,所以231)-=1= 完成下列各题:(1)在实数范围内因式分解:(2(3.【答案】(1)2(1+;(21;(3【解析】解:(1)22231(1+=+=+(21==(3==。

二次根式运算法则公式

二次根式运算法则公式

二次根式运算法则公式二次根式的运算法则公式,那可是数学世界里相当重要的一部分!咱先来说说二次根式的乘法法则。

就比如说,有两个二次根式,分别是√a 和√b ,那么它们相乘,结果就是√(ab) 。

这就好像是两个队伍合并,把它们的力量整合到一起。

给您举个例子,假设 a = 4 ,b = 9 ,那么√4 × √9 就是 2 × 3 = 6 ,而√(4×9) 也就是√36 ,同样等于 6 ,您瞧瞧,是不是一回事儿?再讲讲除法法则。

如果还是√a 除以√b (b 不等于 0 ),那结果就是√(a÷b) 。

这就好比把一堆东西按比例分配。

我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候,有个小调皮鬼总是搞不明白。

我就给他打了个比方,我说这二次根式的运算就像是搭积木,乘法是把积木堆在一起,除法是把积木按份数分开。

这孩子眨眨眼睛,好像突然开窍了,后来做题的时候做得可顺溜了。

然后是二次根式的加减法。

只有当它们的被开方数相同的时候才能相加减,把系数相加减就行,根式部分不变。

比如说3√2 + 5√2 ,那结果就是8√2 。

这就好像是一群长得一模一样的小伙伴,只是数量不同,把数量加起来就行。

在实际运用中,二次根式的运算法则公式那可是用处大大的。

比如在解决几何问题的时候,计算图形的边长、面积啥的,经常能用到。

还有啊,二次根式的化简也离不开这些法则公式。

要把一个二次根式化简成最简形式,就得根据这些法则来操作。

就像给一个乱糟糟的房间整理打扫,最后变得整整齐齐。

总之,二次根式的运算法则公式虽然看起来有点复杂,但只要咱们用心去理解,多做几道题练练手,就能把它掌握得妥妥的!以后再遇到相关的问题,那都能轻松应对,不在话下!。

二次根式计算公式

二次根式计算公式

二次根式计算公式二次根式可是咱们数学学习中的一个重要“小伙伴”,不过它有时候也会让同学们感到头疼。

但别担心,咱们一起来把它“拿下”!记得我曾经教过一个学生,叫小明。

他呀,脑袋瓜挺聪明,可一碰到二次根式的计算就犯迷糊。

有一次课堂上做练习,题目是计算$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$,这可把他难住了。

他抓耳挠腮,笔在手里转了好几圈,就是下不了笔。

我走到他身边,发现他连二次根式的化简都没搞清楚。

咱们先来说说二次根式的基本定义。

形如$\sqrt{a}$($a\geq 0$)的式子就叫做二次根式。

那二次根式的计算到底有哪些公式呢?首先是二次根式的乘法公式:$\sqrt{a}\times\sqrt{b} =\sqrt{ab}$($a\geq 0$,$b\geq 0$)。

比如说,计算$\sqrt{3}\times\sqrt{12}$,那就是$\sqrt{3\times12} = \sqrt{36} = 6$。

再来看二次根式的除法公式:$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\sqrt{\frac{a}{b}}$($a\geq 0$,$b>0$)。

比如$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$,就等于$\sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$。

还有二次根式的加减法,这可不能像乘法除法那样直接运算,得先把二次根式化简成最简二次根式,也就是被开方数不含分母,并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

比如上面提到的小明不会做的那道题,$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$,咱们先化简,$\sqrt{18} =3\sqrt{2}$,$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$,所以式子就变成了$3\sqrt{2} -4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$。

二次根式的性质也很重要哦!$(\sqrt{a})^2 = a$($a\geq 0$),$\sqrt{a^2} = |a|$。

二次根式总结及应用

二次根式总结及应用

二次根式总结及应用二次根式是指形如$\sqrt{a}$的数。

其中,$a$表示一个非负实数。

我们可以将二次根式进行简化,化为最简形式;也可以对二次根式进行运算,例如加减乘除、乘方等;此外,二次根式在实际应用中也有很多重要的作用。

接下来,我们来讨论二次根式的运算。

对于给定的两个二次根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$,其中$a$和$b$都是非负实数,我们可以进行加减乘除等运算。

具体来说:1. 加法和减法:对于$\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$,如果$a=b$,那么结果就是$2\sqrt{a}$;如果$a\neq b$,那么结果无法再化简,就保持原样。

3. 除法:对于$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,结果就是$\sqrt{\frac{a}{b}}$。

4. 乘方:对于$(\sqrt{a})^n$,结果就是$\sqrt{a^n}$。

需要特别注意的是,在进行二次根式的运算时,我们需要先进行简化,然后再进行运算。

二次根式在实际应用中也有很多重要的作用。

下面我们举例说明几个应用:1.测量问题:二次根式在几何中的应用非常广泛。

例如,当我们要计算一个正方形的对角线长度时,可以利用勾股定理得到对角线的平方为两条边的平方和,然后再开平方根得到对角线的长度。

又例如,当我们要计算一个球的体积或表面积时,通常需要用到球的半径的平方。

2.金融问题:在金融领域,二次根式常常用于计算复利。

复利是指以一定的利率将本利和再利用于计算下一次的利息。

当我们需要计算未来一些时刻的资金价值时,就会用到复利计算。

二次根式的平方表示了利率的倍数,因此可以用于计算未来时刻的资金价值。

3.物理问题:二次根式在物理问题中也有很重要的作用。

例如,当我们要计算自由落体物体的落地时间时,可以利用物体的加速度和初速度来计算。

加速度通常是一个正数,而初速度通常为0,因此最终会得到一个非负实数的平方根。

综上所述,二次根式在数学中有着重要的地位和作用。

初一二次根式计算题及过程

初一二次根式计算题及过程

初一二次根式计算题及过程题目1:计算 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 的值。

解:首先我们知道 $\sqrt{2}$ 的值是1.414,$\sqrt{3}$ 的值是1.732所以,$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 的值是1.414 + 1.732 = 3.146题目2:计算 $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ 的值。

解:首先我们知道 $\sqrt{5}$ 的值是2.236,$\sqrt{2}$ 的值是1.414所以,$\sqrt{5} - \sqrt{2}$ 的值是2.236 - 1.414 = 0.822解:首先我们知道 $\sqrt{6}$ 的值是2.449,$\sqrt{3}$ 的值是1.732题目4:计算 $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ 的值。

解:首先我们知道 $\sqrt{18}$ 的值是4.243,$\sqrt{2}$ 的值是1.414所以,$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ 的值是$\frac{4.243}{1.414}$ = 3题目5:计算 $\sqrt{12} - \sqrt{8}$ 的值。

解:首先我们知道 $\sqrt{12}$ 的值是3.464,$\sqrt{8}$ 的值是2.828所以,$\sqrt{12} - \sqrt{8}$ 的值是3.464 - 2.828 = 0.636解:首先我们知道 $\sqrt{7}$ 的值是2.646,$\sqrt{14}$ 的值是3.742题目7:计算 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$ 的值。

解:首先我们知道 $\sqrt{15}$ 的值是3.873,$\sqrt{5}$ 的值是2.236所以,$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$ 的值是$\frac{3.873}{2.236}$ = 1.732题目8:计算 $\sqrt{9} - \sqrt{1}$ 的值。

二次根式计算题及答案

二次根式计算题及答案

二次根式计算题及答案1. 什么是二次根式?二次根式是指具有以下形式的根式:√(a + √(b)) 其中,a 和 b 都是实数,且 b 大于等于 0。

2. 二次根式的计算题问题 1:计算√(2 + √(3)) 的值。

解答:我们可以从内层开始计算,先计算√(3)。

√(3) 的值是 1.732。

接下来,我们将√(3) 带入到外层的表达式中,计算√(2 + 1.732) 的值。

√(2 + 1.732) 的值是 1.902。

所以,√(2 + √(3)) 的值为 1.902。

问题 2:计算√(5 + 2√(6)) 的值。

解答:我们可以从内层开始计算,先计算√(6)。

√(6) 的值是 2.449。

接下来,我们将√(6) 带入到外层的表达式中,计算√(5 + 2×2.449) 的值。

√(5 + 2×2.449) 的值是 3.472。

所以,√(5 + 2√(6)) 的值为 3.472。

3. 二次根式的计算方法计算二次根式的方法可以总结如下:1.先计算内层的根式,得到一个数值。

2.将这个数值代入外层的表达式中,计算出最终的结果。

4. 二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用。

一些常见的应用包括:•几何问题中的面积计算•物理问题中的距离计算•工程问题中的长度计算5. 总结通过本文,我们了解了二次根式的定义及其计算方法。

在计算二次根式时,我们先计算内层的根式,然后将结果代入外层的表达式中,得到最终的答案。

二次根式在数学和应用领域中都有重要的作用,能够帮助我们解决各种问题。

希望本文对你理解和计算二次根式有所帮助!。

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初中数学二次根式及计算编稿老师董志臣一校安宁二校黄楠审核宋树庆考点考纲要求分值考向预测二次根式及计算1. 理解二次根式定义,理解最简二次根式、同类二次根式含义并能加以区分;2. 能够进行二次根式的有关加减乘除运算,以及化简求值;3. 掌握二次根式的特殊求值方法,能够运用二次根式的性质解决问题。

5~10分主要考查内容:二次根式有意义的条件;二次根式性质的运用;(a)2与2a的化简;二次根式的计算。

一、二次根式的基本概念:1. 定义a(a≥0)的代数式叫作二次根式。

“”称为二次根号。

(当a≥0a表示a的算术平方根)【要点诠释】(1)形如ab(a≥0)的式子也叫作二次根式;(2)二次根式a中的被开方数a,可以是数,也可以是单项式、多项式、分式,但必须满足a≥0。

2. 二次根式的性质①非负性,a表示a的算术平方根,因此a(a≥0)是一个非负数;②2)(a=a(a≥0);③2a a=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩;④ab=a·b(a≥0,b≥0)⑤商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

3. 最简二次根式 必须同时满足下列条件① 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式; ② 被开方数中不含分母; ③ 分母中不含根式。

【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意:① 在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; ② 在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式。

【随堂练习】(长宁区二模)下列二次根式中,最简二次根式是( )A.B. C.D.答案:A. ,可化简;C. ,可化简;D.因此只有B 是最简二次根式,故选B 。

思路分析:判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是。

4. 同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。

二、二次根式的计算:1. 二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。

2. 二次根式的乘除法:① 二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

② 二次根式的除法法则:【要点诠释】(1)不是同类二次根式的不能合并,如:53+≠8;(2)进行乘法运算时,若结果是一个完全平方数,则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a进行化简,即将根号内能够开得尽方的数移到根号外;(3)进行除法运算时,若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数,应运用积的算术平方根的性质将其进行化简;(4)在求含二次根式的代数式的值时,常用整体思想来计算。

【随堂练习】(白银)下列计算错误的是( ) A. 236⋅= B. 235+= C. 1232÷= D. 822=答案:B例题1 (巴中)要使式子1m +有意义,则m 的取值范围是( ) A. m >-1B. m≥-1C. m >-1且m≠1D. m≥-1且m≠1思路分析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x 的范围。

答案:根据题意得:m+1≥0, m −1≠0,解得:m ≥-1且m ≠1。

故选D 。

技巧点拨:本题考查的知识点为:分式有意义的条件,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数。

例题2 (吉林)若a <13<b ,且a ,b 为连续正整数,则b 2-a 2= 。

思路分析:因为32<13<42,所以3<13<4,求得a 、b 的数值,进一步求得问题的答案即可。

答案:∵32<13<42,∴3<13<4,即a=3,b=4,∴b 2-a 2=7。

故答案为7。

技巧点拨:此题考查无理数的估算。

利用平方估算出根号下的数值的取值,进一步得出无理数的取值范围,是解决这一类问题的常用方法。

例题3 (荆门)(1)计算:24×31-4×81×(1-2)0; (2)先化简,再求值:(22222b ab a b a +--+ab a -)÷ab a b -22,其中a ,b 满足1+a +|b-3|=0。

思路分析:(1)根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=3124⨯-4×42×1=22-2,然后合并即可;(2)先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算,再计算括号内的运算,然后约分得到原式=ba,再根据非负数的性质得到a+1=0,b-3=0,解得a=-1,b=3,然后把a 和b 的值代入计算即可。

答案:解:(1)原式=3124⨯-4×42×1=22-2=2;(2)原式=[2)())((b a b a b a --+-b a a-]•2)(b b a a -=(b a b a -+-b a a -]•2)(b b a a -=b a b -•2)(b b a a - =ba , ∵1+a +|b -3|=0,∴a+1=0,b -3=0,解得a=-1,b=3,当a=-1,b=3时,原式=-31=-33。

技巧点拨:本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式。

也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值。

【易错警示】 一、考虑问题不全面如:代数式21-x 中,x 的取值范围是______。

易错点:根据题意,得2-x ≥0,解得x ≥2,故填x ≥2。

分析:整体观察式子的特点,存在分母,应满足分母不为0的条件;又存在二次根式,应满足被开方数为非负数。

错解只注意被开方数的非负性,而忽略了分式中分母不为0的条件。

正解:根据题意,得2-x >0,解得x >2,故填x >2。

二、理解性质出错如:求()23-的值。

易错点:()23-=-3。

分析:()23-表示()23-的算术平方根,应为正数。

错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错。

正解:()23-=9=3。

三、忽略运算顺序如:计算3312⨯÷。

易错点:原式=212=÷。

分析:由于乘除是同一级运算,应按照从左到右的顺序进行。

正解:原式=23332=⨯⨯。

四、对最简二次根式判断不准如:下列各式中,是最简二次根式的是( )A.23B .36C.2.1D.49易错点:选C 。

分析:最简二次根式的被开方数中既不含开得尽方的因式或因数,也不含分母,满足条件的只有B 。

错解只看表面形式,不求甚解,C 中被开方数是小数形式,化为分数后,可继续化简。

正解:选B 。

(答题时间:30分钟)1. 在式子21-x ,31-x ,2-x ,3-x 中,x 可以取2和3的是( ) A. 21-x B. 31-x C. 2-x D. 3-x2. 设n 为正整数,且n <65<n+1,则n 的值为( )C. 7D. 83. y=5x -+153x -+3,则xy=( )A. -15B. -9C. 9D. 154. 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长,则2()a b c --+|a+b -c|的值为( ) A. 2aB. 2bC. 2cD. 2(a 一c )5.(德州)若y=244xx -+--2,则(x+y )y = 。

6. 把(2-x )12x -根号外的因式移到根号内,得 。

7. 计算:(5-1)(5+1)-(-13)-2+|1-2|-(π-2)0+8。

8. 阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+22=(1+2)2。

善于思考的小明进行了以下探索:设a+b 2=(m+n 2)2(其中a 、b 、m 、n 均为整数),则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2。

∴a=m 2+2n 2,b=2mn 。

这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法。

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时,若a+b 3=(m+n 3)2,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ,得:a=__________,b=___________;(2)利用所探索的结论,找一组正整数a 、b 、m 、n 填空:____+____3=(__+__3)2;(3)若a+43=(m+n 3)2,且a 、m 、n 均为正整数,求a 的值。

1. C 解析:A. 21-x 的分母不可以为0,即x -2≠0,解得:x≠2,故A 错误; B.31-x 的分母不可以为0,即x -3≠0,解得:x≠3,故B 错误; C. 被开方数大于等于0,即x -2≥0,解得:x≥2,则x 可以取2和3,故C 正确; D. 被开方数大于等于0,即x -3≥0,解得:x≥3,x 不能取2,故D 错误。

故选C 。

2. D 解析:∵64<65<81,∴8<65<9, ∵n <65<n+1,∴n=8,故选D 。

3. D 解析:∵5x -153x -,∴x -5≥且15-3x≥0,∴x=5, ∴y=0+0+3=3,∴xy=5×3=15。

故选D 。

4. B 解析:∵三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边, ∴a -b -c <0,a+b -c >02()a b c ---c|=b+c -a+a+b -c=2b 。

故选B 。

5.41解析:由题意得,x -4≥0且4-x≥0,解得x≥4且x≤4, ∴x=4,y=-2,∴(x+y )y =(4-2)-2=41。

故答案为41。

6. 2x - 12x -x -2>0,即x >2,∴2-x <0,∴原式=21(2)2x x •--2x - 7. 解:原式=5-1-2-1-2=-2。

8. 解:(1)∵332,∴32+3n 23a=m 2+3n 2,b=2mn 。

故答案为m 2+3n 2,2mn 。

(2)设m=1,n=1,∴a=m 2+3n 2=4,b=2mn=2。

故答案为4、2、1、1。

(3)由题意得:a=m 2+3n 2,b=2mn ∵4=2mn ,且m 、n 为正整数, ∴m=2,n=1或者m=1,n=2, ∴a=22+3×12=7,或a=12+3×22=13。

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