八年级上册数学《全等三角形》全等三角形的判定知识点整理

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湘教版八年级数学上册《三角形全等的判定 》知识全解

湘教版八年级数学上册《三角形全等的判定 》知识全解

《三角形全等的判定》知识全解课标要求1.探索几何的基本图形——三角形,探索全等三角形的基本性质、三角形全等的判定条件和其相互关系,及角平分线性质,进一步丰富对空间图形的认识和感受.2.在探索全等三角形的性质、与他人合作交流等活动过程中,发展合情合理,进一步学习有条理地思考与表达;在积累了三角形的性质的基础上,探索全等三角形的判定条件和角平分线性质及其逆运用.知识结构内容解析在一个三角形的三条边,三个角中任取三个元素,可以有下列组合;SAS、SSA、ASA、AAS、SSS、AAA,但其中SSA和AAA不能判定三角形全等。

◆如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等。

(2)可以从已知条件出发,看已知条件确定哪两个三角形可证它们全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,可采用添加辅助线的方法,构造三角形全等。

重点难点本节的重点是:掌握三角形全等的判定定理,并灵活运用。

本节的难点是:在较复杂的图形中,找出证明两个三角形全等的条件,恰当的选择判定定理,正确地书写演绎推理过程。

教法导引1.注重培养探索归纳能力经历探究三角形全等条件的过程:由全等三角形的定义可以知道,由三条边对应相等、三个角对应相等能判定三角形全等,那么减少条件能否判定三角形全等呢?于是,依次探究:满足一个条件、两个条件、三个条件、……能否判定三角形全等.通过探究得到:满足一个条件、两个条件不能判定三角形全等;满足三个条件不一定能判定三角形全等,即“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”能判定三角形全等,“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等.将三角形全等的判定方法运用于直角三角形,可以判定直角三角形全等;但对于满足斜边和直角边对应相等的两个直角三角形,就无法运用三角形全等的判定方法来进行判断了,因此应探究“斜边、直角边”能否判定直角三角形全等.2.注重培养推理能力本章要求学生有理有据地推理论证,精炼准确地表达推理过程,这对于学生比较困难,因此我们在教学中应采取以下措施突破难点:(1)注意减缓坡度,循序渐进.精心选择全等三角形的证明问题,开始阶段的例题,证明方向明确、过程简单,容易规范书写格式,主要让学生体会证明思路及格式.然后逐步增加题目的复杂程度,每一步都为下一步做准备,下一步又要注意复习前一步训练过的内容.(2)在不同的阶段,安排不同的内容,突出一个重点.先安排证明两个三角形全等,进而安排通过证明三角形全等证明两条线段或两个角相等,重点使学生熟悉证明的步骤和方法.最后安排的问题涉及前面学过的内容,重点培养学生分析问题,选择推理途径的证明能力.(3)注重分析思路注重分析思路,让学生学会思考问题.(4)注重规范书写格式注重规范书写格式,让学生学会清楚地表达思考的过程.3.注重联系实际从实际例子引入全等形的概念,易于学生理解概念,易于调动学生学习的积极性.从分析平分角仪器的原理引入角平分线的画法,通过确定集贸市场位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论,使学生感受理论来源于实际的需要.运用全等三角形可以解决实际中许多测量边、角的问题.学法建议学生在初一学习过三角形的相关知识,会作一个三角形等于已知三角形,本节是使学生在原有知识的基础上探索怎样判定三角形全等的判定条件及恰当地选择判定定理来判别两个三角形全等,并能灵活运用全等三角形的判定方法解决线段或者角相等的问题。

人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

BPAa【变式1】如图,在t R ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=︒,过点A 的任一直线AN ,BD AN ⊥于D ,BD AN ⊥于E求证:DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图,在ABC △中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E ,求证:DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型:① 已知两边及夹角作三角形: 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形: 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形: 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知:如图,线段a . 求作:线段AB ,使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知:如图,∠AOB 。

求作:∠A’O’B’,使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知:如图,线段a,b,c.求作:△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a.作法:【例4】已知两边及夹角作三角形已知:如图,线段m,n, ∠α.求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知:如图,∠α,∠β,线段c .求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.随堂练习1.根据已知条件作符合条件的三角形,在作图过程中主要依据是()A.用尺规作一条线段等于已知线段;B.用尺规作一个角等于已知角C.用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角;D.不能确定2.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形时,第一步骤应为()A.作一条线段等于已知线段B.作一个角等于已知角C.作两条线段等于已知三角形的边,并使其夹角等于已知角D.先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3.用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段时,实际上就是已知的条件是()A.三角形的两条边和它们的夹角B.三角形的三条边C.三角形的两个角和它们的夹边;D.三角形的三个角4.已知三边作三角形时,用到所学知识是()A.作一个角等于已知角B.作一个角使它等于已知角的一半C.在射线上取一线段等于已知线段D.作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的:变不可测距离为可测距离。

全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

第二课时——全等三角形的判定知识点一:全等三角形的判定:判定方法内容数学语言 图形表示 注意点边边边(SSS )三边分别相等的两个三角形全等。

可简写为“边边边”或“SSS ”在△ABC 与△DEF中:⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF边角边(SAS )两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。

可简写为“边角边”或“SAS ”在△ABC 与△DEF中:⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AC D A DEAB ∴△ABC ≌△DEF用“边角边(SAS )判定全等时,角一定是两边的夹角,否则不能判定全等。

在写条件的时候角必须写在中间。

角边角(ASA )两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。

可简写为“角边角”或“ASA ”在△ABC 与△DEF中:⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB DA ∴△ABC ≌△DEF用“角边角(ASA )判定全等时,边是两角的夹边,在书写的过程中需把边写在中间特别提示:在写全等三角形的数学语言时,等号左边写“≌”左边三角形的条件,等号右边写“≌”右边三角形的条件。

并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。

方法总结:【类型一:补充证全等条件】1.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DE B.AE=DBC.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D2.如图,在△ABC和△BAD中,AC=BD,要使△ABC≌△BAD,则需要添加的条件是()第2题第3题A.∠BAD=∠ABC B.∠BAC=∠ABD C.∠DAC=∠CBD D.∠C=∠D3.如图,BC=BD,添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ABD的是()A.AC=AD B.∠ABC=∠ABD C.∠CAB=∠DAB D.∠C=∠D=90°4.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,AD=CF,要使△ABC≌△DEF,则下列条件可以添加的是()第4题第5题第7题A.∠B=∠E B.∠A=∠EDF C.AC=DF D.BC∥EF5.如图,已知AB=AE,∠EAB=∠DAC,添加一个条件后,仍无法判定△AED≌△ABC的是()A.AD=AC B.∠E=∠B C.ED=BC D.∠D=∠C6.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()A.两个锐角对应相等B.一个锐角和斜边对应相等C.两条直角边对应相等D.一条直角边和斜边对应相等7.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,添加一个条件,不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是()A.AB=DC B.AC=DB C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD8.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是()A.AD=CB B.∠A=∠CC.BD=DB D.AB=CD【类型二:证明三角形全等】9.请将以下推导过程补充完整.如图,点C在线段AB上,AD∥BE,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE.求证:△DCF ≌△ECF 证明:∵AD ∥BE ∴∠A =∠B在△ACD 和△BEC 中()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠BC AD B A ∴△ACD ≌△BEC ( )∴CD =CE ( ) ∵CF 平分∠DCE ∴ 在△DCF 和△ECF 中()⎪⎩⎪⎨⎧==CE CD CF CF ∴△DCF ≌△ECF (SAS )10.如图,点C 在BD 上,AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,AC ⊥CE ,AB =CD .求证:△ABC ≌△CDE .11.如图,点A、D、B、E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF,求证:△ABC≌△DEF.12.如图,点D在线段BC上,AB=AD,∠1=∠2,DA平分∠BDE:求证:△ABC≌△ADE.13.天使是美好的象征,她的翅膀就像一对全等三角形.如图AD与BC相交于点O,且AB=CD,AD=BC.求证:△ABO≌△CDO.14.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,DE∥AC,且DE=BC,AC=BD.求证:△ABC≌△BED.15.如图,CA=CD,∠BCE=∠ACD,BC=EC.求证:△ABC≌△DEC.16.如图,D、C、F、B四点在一条直线上,AC=EF,AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为点C、点F,BF=CD.试说明:△ABC≌△EDF.17.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:∠1=∠2.18.如图,点C、E、B、F在一条直线上,AB⊥CF于B,DE⊥CF于E,AC=DF,AB=DE.求证:CE =BF.19.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.【类型三:全等三角形的判定与性质】20.如图,在△ABC与△AEF中,点F在BC上,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于点D,∠F AC =40°,则∠BFE=()第20题第21题A.35°B.40°C.45°D.50°21.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,∠C=2∠CDB,AB=12,CD=3,则△ABC的周长为()A.21B.24C.27D.3022.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则AD的长为()第22题第23题A.3B.5C.6D.723.已知:如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.424.如图,CB为∠ACE的平分线,F是线段CB上一点,CA=CF,∠B=∠E,延长EF与线段AC相交于点D.(1)求证:AB=FE;(2)若ED⊥AC,AB∥CE,求∠A的度数.25.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结BE并延长交AD的延长线于点F.(1)求证:△BCE≌△FDE;(2)连结AE,当AE⊥BF,BC=2,AD=1时,求AB的长.26.如图,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E.(1)求证:BC=DC;(2)若∠A=25°,∠D=15°,求∠ACB的度数.【类型四:全等三角形的应用】27.如图,要测池塘两端A,B的距离,小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.那么判定△ABC和△DEC全等的依据是()第27题第28题A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS28.打碎的一块三角形玻璃如图所示,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,最省事的方法是()A.带①②去B.带②③去C.带③④去D.带②④去29.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离为cm.第29题第30题30.在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB =OC,测得AB=a,EF=b,圆形容器的壁厚是()A .aB .bC .b ﹣aD .21(b ﹣a )一、选择题(10题)1.如图为正方形网格,则∠1+∠2+∠3=( )第1题 第2题 第3题A .105°B .120°C .115°D .135°2.如图,已知∠C =∠D =90°,添加一个条件,可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等.以下给出的条件适合的是( )A .∠ABC =∠ABDB .∠BAC =∠BAD C .AC =AD D .AC =BC3.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去.A .①B .②C .③D .①和②4.根据下列已知条件,能唯一画出△ABC 的是( )A.∠C=90°,AB=6B.AB=4,BC=3,∠A=30°C.AB=5,BC=3D.∠A=60°,∠B=45°,BC=45.如图,测河两岸A,B两点的距离时,先在AB的垂线BF上取C,D两点,使CD=BC,再过点D画出BF的垂线DE,当点A,C,E在同一直线上时,可证明△EDC≌△ABC,从而得到ED=AB,测得ED的长就是A,B的距离,判定△EDC≌△ABC的依据是()A.ASA B.SSS C.AAS D.SAS6.如图,已知∠EAC=∠BAD,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠D.其中能使△ABC≌△AED的条件有()A.4个B.3个C.2个D.1个7.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是()第7题第8题A.BD>CD B.BD<CD C.BD=CD D.不能确定8.如图,AB=12m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4m,点P从B向A运动,每分钟走1m,点Q从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动()分钟后,△CAP与△PQB全等.A.2B.3C.4D.89.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为()第9题第10题A.4cm B.6cm C.8cm D.求不出来10.如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD(OA<OC),∠AOB=∠COD=α,直线AC,BD 交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD,②∠OAM=∠OBM,③∠AMB=α,④OM平分∠BOC,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1二、填空题(6题)11.如图,线段AB,CD相交于点O,AO=BO,添加一个条件,能使△AOC≌△BOD,所添加的条件的是.12.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=.第12题第14题13.在△ABC中,AB=3cm,AC=4cm,则BC边上的中线AD的取值范围是.14.在直角三角形中,存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)(1)

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)(1)

一、选择题1.如图,在ABC 中,8AB AC ==厘米,6BC =厘米,点D 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上,由C 点向A 点运动,为了使BPD CPQ △≌△,点Q 的运动速度应为( )A .1厘米/秒B .2厘米/秒C .3厘米/秒D .4厘米/秒D解析:D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解.【详解】解:设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ,点Q 的运动速度为v ,则由题意得:BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩, 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩, 解之得:14t v =⎧⎨=⎩, ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒,故选D .【点睛】本题考查三角形全等的综合应用,熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键.2.如图,在ABC 中,AB AC =,点D ,E 在BC 上,连接AD ,AE ,若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠,则添加的条件不能为( )A .BD CE =B .AD AE =C .BE CD = D .DA DE = D解析:D【分析】根据全等三角形的判定与性质,等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:A 、添加BD =CE ,可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB =∠EAC ,故本选项不符合题意;B 、添加AD =AE ,根据等边对等角可得∠ADE =∠AED ,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB =∠EAC ,故本选项不符合题意;C 、添加BE =CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ,可得∠DAB =∠EAC ,故本选项不符合题意;D 、添加DA =DE 无法求出∠DAB =∠EAC ,故本选项符合题意.故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.3.如图,,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥,垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===,则AE 的长为( )A .2B .5C .3D .7C解析:C【分析】 先证明△ACD ≌△BED ,得到CD=ED=2,即可求出AE 的长度.【详解】解:∵AD BC ⊥,BF AC ⊥,∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒,∵AEF BED ∠=∠,∴EAF EBD ∠=∠,∵5AD BD ==,∴△ACD ≌△BED ,∴CD=ED=2,∴523AE AD ED =-=-=;故选:C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,余角的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质,从而进行解题.4.工人师傅常用直角尺平分一个角,做法如下:如图所示,在∠AOB 的边OA ,OB 上分别取OM =ON ,移动直角尺,使直角尺两边相同的刻度分别与M ,N 重合(即CM =CN ).此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线.这种做法的道理是( )A .HLB .SASC .SSSD .ASA C解析:C【分析】 根据题中的已知条件确定有三组边对应相等,由此证明△OMC ≌△ONC(SSS),即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中,OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS),∴∠MOC=∠NOC ,∴射线OC 即是∠AOB 的平分线,故选:C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质,比较简单,注意利用了三边对应相等,熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5.如图所示的正方形ABCD 中,点E 在边CD 上,把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ,20FAB ∠=︒.旋转角的度数是( )A .110°B .90°C .70°D .20°B解析:B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD ,∠BAD=90︒,由旋转的性质推出ADE ≌ABF ,求出∠FAE=∠BAD=90︒,即可得到答案.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD ,∠BAD=90︒,由旋转得ADE ≌ABF ,∴∠FAB=∠EAD ,∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ,∴∠FAE=∠BAD=90︒,∴旋转角的度数是90︒,故选:B .【点睛】 此题考查旋转的性质,全等三角形的性质,熟记全等三角形的性质是解题的关键. 6.点Р在AOB ∠的角平分线上,点Р到OA 边的距离等于5,点Q 是OB 边上的任意一点,则下列选项正确的是( )A .5PQ >B .5PO ≥C . 5PQ <D .5PO ≤ B 解析:B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5,再根据垂线段最短解答.【详解】∵点P 在∠AOB 的平分线上,点P 到OA 边的距离等于5,∴点P 到OB 的距离为5,∵点Q 是OB 边上的任意一点,∴PQ≥5.故选:B .【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质是解题的关键.7.如图,在ABC 和△FED 中,AD FC =,AB FE =,下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是( )A .BC ED =B .A F ∠=∠C .B E ∠=∠D .//AB EF C解析:C【分析】 由AD FC =推出AC=FD ,根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定.【详解】∵AD FC =,∴AC=FD ,∵AB FE =,∴当A F ∠=∠(//AB EF 也可得到)或BC ED =时,即可判定F ABC ED ≌△△, 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△,故选:C .【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等,熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键.8.下列命题,真命题是( )A .全等三角形的面积相等B .面积相等的两个三角形全等C .两个角对应相等的两个三角形全等D .两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析:A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可.【详解】解:A 、全等三角形的面积相等,本选项说法是真命题;B 、面积相等的两个三角形不一定全等,本选项说法是假命题;C 、两个角对应相等的两个三角形相似,但不一定全等,本选项说法是假命题;D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,本选项说法是假命题; 故选:A .【点睛】本题考查全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键. 9.如图,C 是∠AOB 的平分线上一点,添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是( )A .OA =OBB .AC =BC C .∠A =∠BD .∠1=∠2B解析:B【分析】根据题意可以得到∠AOC=∠BOC,OC=OC,然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC,从而可以解答本题.【详解】解:由已知可得,∠AOC=∠BOC,OC=OC,∴若添加条件OA=OB,则△AOC≌△BOC(SAS),故选项A不符合题意;若添加条件AC=BC,则无法判断△AOC≌△BOC,故选项B符合题意;若添加条件∠A=∠B,则△AOC≌△BOC(AAS),故选项C不符合题意;若添加条件∠1=∠2,则∠ACO=∠BCO,则△AOC≌△BOC(ASA),故选项D不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查全等三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.10.如图,△ACB≌△A'CB',∠BCB'=25°,则∠ACA'的度数为()A.35°B.30°C.25°D.20°C解析:C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB,再利用等式的性质可得答案.【详解】解:∵△ACB≌△A′CB′,∴∠A′CB′=∠ACB,∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB,∴∠ACA′=∠BCB′=25°,故选:C.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质,关键是掌握全等三角形对应角相等.二、填空题11.如图,AC=BC,请你添加一个条件,使AE=BD.你添加的条件是:________.∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解:因为AC=BC∠C=∠C所以添加∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC可得△ADC与△解析:∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可.【详解】解:因为AC=BC,∠C=∠C,所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC,可得△ADC与△BEC全等,利用全等三角形的性质得出AD=BE,故答案为:∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.0,3,另12.如图,把等腰直角三角板放平面直角坐标系内,已知直角顶点C的坐标为()8,8,则点A的坐标为____________一个顶点B的坐标为()(5-5)【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ根据线段的和差可得OQ可得答案【详解】解:作BP⊥y轴AQ⊥y轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析:(5,-5)【分析】根据余角的性质,可得∠BCP=∠CAQ,根据全等三角形的判定与性质,可得AQ,CQ,根据线段的和差,可得OQ,可得答案.【详解】解:作BP⊥y轴,AQ⊥y轴,如图,∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC,∠BCA=90°,∴∠BCP+∠ACQ=90°.又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ .在△BPC 和△CQA 中,BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== Rt △BPC ≌Rt △ACQ (AAS ),AQ=PC=8-3=5;CQ=BP=8.∵QO=QC-CO=8-3=5,∴A (5,-5),故答案为:(5,-5).【点睛】本题考查了坐标与图形,全等三角形的判定与性质,利用全等三角形的判定与性质得出AQ ,CQ 是解题关键.13.如图,在ABC 中,=6AB ,=4AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,2BD AE CE ===,//CE AB 交DE 的延长线于点F ,则CF 的长为_____________.4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解:∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴解析:4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ,再求出AD 的长即可.【详解】解:∵AB=6,BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵//CE AB∴∠BAC=∠FCE ,在△ADE 和△CFE 中BAC FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴CF=AD=4.故答案为:4.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质,证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键.14.如图,在Rt ABC △中,90B ∠=︒,12AB =,5BC =,射线AP AB ⊥于点A ,点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动,并始终保持DE AC =,要使ABC 和DAE △全等,则AE 的长为______.5或12【分析】本题要分情况讨论:①Rt △ABC ≌Rt △DAE此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解:①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析:5或12【分析】本题要分情况讨论:①Rt △ABC ≌Rt △DAE ,此时AE=BC=5,可据此求出E 点的位置.②Rt △CBA ≌Rt △DAE ,此时AE=AB=12,E 、B 重合.【详解】解:①当AE=CB 时,∵∠B=∠EAP=90°,在Rt △ABC 与Rt △DAE 中,AE CB DE AC =⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE (HL ),即AE=BC=5;②当E 运动到与B 点重合时,AE=AB ,在Rt △CBA 与Rt △DAE 中,AE AB DE AC =⎧⎨=⎩, ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE (HL ),即AE=AB=12,∴当点E 与点B 重合时,△CBA 才能和△DAE 全等.综上所述,AE=5或12.故答案为:5或12.【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.15.已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上,点B 、D 在直线l 的异侧,若AB=CD ,AE=CF ,BF=DE ,则AB 与CD 的位置关系是_______.AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解:∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析:AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ,然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ,最后根据内错角相等、两直线平行即可解答.【详解】解:∵AE=CF ,∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中,,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE (SSS ),∴∠DCE=∠BAF .∴AB//CD .故答案为:AB//CD .【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定,运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键.16.如图所示,己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥,于,且3OD =,则ABC ∆的面积是__________.【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等(即OE =OD =OF )从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析:33【分析】连接OA ,过O 作OE ⊥AB 于E ,OF ⊥AC 于F ,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等(即OE =OD =OF ),从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3,代入求出即可.【详解】解:如图,连接OA,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D∴OE=OF=OD=3,∵△ABC的周长是22,∴S△ABC=12×AB×OE+12×BC×OD+12×AC×OF=12×(AB+BC+AC)×3=12×22×3=33.故答案为:33.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法,熟知角平分线的性质,并根据题意合理添加辅助线是解题关键.17.如图,△ABC的面积为1cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于P,则△PBC的面积为___.cm2【分析】如图延长AP交BC于T利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题【详解】解:如图延长AP交BC于T∵BP⊥AT∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP∠PBA=∠PBT∴△BPA≌解析:12cm2【分析】如图,延长AP交BC于T.利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题.【详解】解:如图,延长AP交BC于T.∵BP ⊥AT ,∴∠BPA=∠BPT=90°,∵BP=BP ,∠PBA=∠PBT ,∴△BPA ≌△BPT (ASA ),∴PA=PT ,∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==, 1122PBC ABC S S ∴==, 故答案为12cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质,三角形的面积,等高模型等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线吗,构造全等三角形解决问题.18.如图,△ACB 和△DCE 中,AC =BC ,∠ACB =∠DCE =90°,∠ADC =∠BEC ,若AB =17,BD =5,则S △BDE =_______.30【分析】根据∠ACB =∠DCE =90°可得∠ACD =∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE =AD ∠DAC =∠EBC 再证明∠DBE =90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析:30【分析】根据∠ACB =∠DCE =90°,可得∠ACD =∠BCE ,利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE ,则BE =AD ,∠DAC =∠EBC ,再证明∠DBE =90°,根据三角形面积计算公式便可求得结果.【详解】解:∵∠ACB =∠DCE =90°,∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB .即∠ACD =∠BCE .∵AC =BC ,∠ADC =∠BEC ,∴△ACD ≌△BCE .∴BE =AD ,∠DAC =∠EBC .∵∠DAC +∠ABC =90°,∴∠EBC +∠ABC =90°.∴△BDE 为直角三角形.∵AB =17,BD =5,∴AD =AB -BD =12.∴S △BDE =12BD ⋅BE =30. 故答案为:30.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键.19.ABC 中,4AB =,6AC =, 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______.【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题【详解】解:延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC解析:15a <<【分析】如图延长AD 至点E ,使得DE=AD ,可证△ABD ≌△CDE ,可得AB=CE ,AD=DE ,在△ACE 中,根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围,即可解题.【详解】解:延长AD 至点E ,使得DE=AD ,∵点D 是BC 的中点,∴BD=CD在△ABD 和△CDE 中,AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ABD ≌△CDE (SAS ),∴AB=CE ,∵△ACE 中,AC-CE <AE <AC+CE ,即:AC-AB <AE <AC+AB ,∴2<AE <10,∴1<AD <5.故答案为:1<AD <5.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键.20.如图,ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ,已知6EH EB ==,8AE =,则ACH ∆的面积为______.8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为:【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键解析:8【分析】由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒,进而证明EAH HCD ∠=∠,结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆,故8EC EA == ,根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可.【详解】AD BC ⊥,CE AB ⊥,90ADC CEA ∴∠=∠=︒,AHE CHD ∠=∠,EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠,EAH HCD ∴∠=∠,在BEC △和HEA △中,90BEC HEA HCD EAHEB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()BEC HEA AAS ∴≅,EC EA ∴=,8EA =,8EC ∴=,6EH =,11862422AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=, 11883222AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=,32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=.故答案为:8.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定定理是解题关键.三、解答题21.如图,点E ,F 在线段BD 上,已知AF BD ⊥,CE BD ⊥,//AD CB ,DE BF =,求证:AF CE =.解析:见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等,从而利用全等三角形的性质求解.【详解】证明:∵DE=BF ,∴DE+EF=BF+EF ;∴DF=BE ;∵AF BD ⊥,CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质;由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到,应注意掌握应用.22.如图,AD CB =,AB CD =.求证:ABC CDA ∠=∠.解析:见解析【分析】根据SSS 可证明△ABD ≌△CDB ,即可得∠ABD =∠CDB ,∠ADB =∠CBD ,进而可证明结论.【详解】在ABD ∆和CDB ∆中AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD CDB SSS ∴∆≅∆ABD CDB ∴∠=∠ADB CBD ∠=∠ABC ABD CBD ∠=∠-∠CDA CDB ADB ∠=∠-∠ABC CDA ∴∠=∠【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定,利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键. 23.已知:如图,BAD CAE ∠=∠,AB AD =,AC AE =.(1)求证:ABC ADE △≌△.(2)若42,86B C ∠=︒∠=︒,求DAE ∠的度数.解析:(1)详见解析;(2)52︒【分析】(1)先证明∠BAC=∠DAE ,即可根据SAS 证得结论;(2)根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数,再根据全等三角形的性质得到答案.【详解】(1)∵∠BAD=∠CAE ,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC .即∠BAC=∠DAE .在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC ADE △≌△;(2)∵42,86B C ∠=︒∠=︒,∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒.∵ABC ADE △≌△,∴52DAE BAC ∠=∠=︒.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质,三角形内角和定理,熟记三角形全等的判定定理是解题的关键.24.阅读下面材料:学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后,小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中,AC DF =,BC EF =,B E ∠=∠.小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.第一种情况:当B 是直角时,如图1,在ABC 和DEF 中,AC DF =,BC EF =,90B E ∠=∠=︒,根据“HL ”定理,可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△. 第二种情况:当B 是锐角时,如图2,90B E ∠=∠<︒,BC EF =.(1)在射线EM 上是否存在点D ,使DF AC =?若存在,请在图中作出这个点,并连接DF ;若不存在,请说明理由;(2)这种情形下,ABC 和DEF 的关系是 (选填“全等”“不全等”或“不一定全等”);第三种情况:当B 是钝角时,如图3,在ABC 和DEF 中,AC DF =,BC EF =,90B E ∠=∠>︒.(3)请判断这种情形下,ABC 和DEF 是否全等,并说明理由.解析:(1)存在,见解析;(2)不一定全等;(3)全等,见解析【分析】(1)根据尺规作图的方法画出图形即可.(2)根据题(1)所得两种情况及全等三角形的判定即可求解;(3)第三种情况:如图所示,过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ,过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ,推出AM =DN ,推出AB =DE ,再证明△ABC ≌△DEF 即可.【详解】解:(1)存在,如图所示.射线EM 上有两个点满足要求.(2)不一定全等.如题(1)所示:由于满足条件的D 有两个,故△ABC 和△DEF 不一定全等,故答案为:不一定全等;(3)△ABC 和△DEF 全等.理由如下:如图所示,过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ,过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N .∵ABC DEF ∠=∠,∴CBM FEN ∠=∠.∵CM AB ⊥,FN DE ⊥,∴90CMB FNE ∠=∠=︒.在△CBM 和△FEN 中,∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBM ≌△FEN (AAS ).∴BM EN =,∴CM FN =.在Rt △ACM 和Rt △DFN 中,∵,,AC DF CM FN =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △DFN (HL ).∴AM DN =,∴AM BM DN EN -=-,即AB DE =.又∵BC EF =,∴△ABC 和△DEF (SSS ).【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,学会作辅助线,难度适中.25.OAB 和ODE 均为等腰三角形,且AOB DOE β∠=∠=,OA OB =,OD OE =,连接AD 、BE ,它们所在的直线交于点F .(1)观察发现:如图1,当60β︒=时,线段AD 与BE 的数量关系是______,AFB ∠的度数是______;(2)探究证明:如图2,当90β︒=时,线段AD 与BE 的数量关系是______,AFB ∠的度数是______,根据图2证明你的猜想;(3)拓展推广:当β为任意角时,线段AD 与BE 的数量关系是______,AFB ∠的度数是______.(用含β的式子表示)解析:(1)AD BE =,60°;(2)AD BE =,90°,理由见解析;(3)AD BE =,β【分析】(1)设AF 交BD 于G ,证明AOD BOE ≌△△,推出AD BE =,OAD OBE ∠=∠,得到60AFB AOB ∠=∠=︒;(2)证明AOD BOE ≌△△,推出AD BE =,OAD OBE ∠=∠,根据OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒;(3)根据(1)与(2)直接得到结论.【详解】(1)证明:设AF 交BO 于G ,∵60AOB DOE ∠=∠=︒,∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠,即AOD BOE ∠=∠,∵OA OB =,OD OE =,∴AOD BOE ≌△△,∴AD BE =,OAD OBE ∠=∠,∵OGA FGB ∠=∠,∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒,∴60AFB AOB ∠=∠=︒, 故答案为:AD BE =,60°;(2)AD BE =,90°证明:设AF 交BO 于G ,∵90AOB DOE ︒∠=∠=,∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠,即AOD BOE ∠=∠,∵OA OB =,OD OE =,∴AOD BOE ≌△△,∴AD BE =,OAD OBE ∠=∠,∵OGA DGB ∠=∠,∴90AFB AOB ∠=∠=︒;故答案为:AD BE =,90°;(3)证明:由(1)与(2)可得AD BE =,AFB AOB β∠=∠=故答案为:AD BE =,β.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.26.已知在ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线l 绕点C 旋转,过点A 作AD l ⊥于D ,过点B 作BE l ⊥于E ,若6AD =,3BE =,画图并直接写出DE 的长. 解析:图见解析,9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图,证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长.【详解】解:如图1∵AD l ⊥于D , BE l ⊥于E ,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠DAC+∠DCA=90°,∵90ACB ∠=︒,∴∠BCE+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中,===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6,DC=EB=3,∴DE=DC+CE=9;如图2,∵AD l ⊥于D , BE l ⊥于E ,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠DAC+∠DCA=90°,∵90ACB ∠=︒,∴∠BCE+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中,===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6,DC=EB=3,∴DE=CE-CD=3;∴9DE =或3DE =.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键. 27.如图,BC ⊥AD 于C ,EF ⊥AD 于F ,AB ∥DE ,分别交BC 于B ,交EF 于E ,且BC =EF .求证:AF =CD .解析:证明见解析.【分析】由BC ⊥AD ,EF ⊥AD 得∠EFD =∠BCA =90°,由AB ∥DE ,得∠D =∠A ,又BC =EF ,从而△ABC ≌△DEF ,则AC =FD , AF =CD .【详解】证明:∵BC ⊥AD ,EF ⊥AD ,∴∠EFD =∠BCA =90°∵AB ∥DE ,∴∠D =∠A∵BC =EF ,∴△ABC ≌△DEF ,∴AC =FD ,∴AF =CD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 28.已知:如图,AC =BD ,BD ⊥AD 于点D ,AC ⊥BC 于点C .求证:∠ABC =∠BAD .解析:详见解析【分析】利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ,即可得到结论.【详解】∵BD ⊥AD ,AC ⊥BC ,∴∠D=∠C=90︒,在Rt △ABD 和Rt △BAC 中,AB BA BD AC =⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC (HL ),∴∠ABC =∠BAD .【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质,根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件,根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键.。

八年级上册数学第十一章知识点

八年级上册数学第十一章知识点

八年级上册数学第十一章知识点无志者常立志,有志者立常志,咬定学习八年级数学知识目标的人最容易成功。

学会改变生活,学会品味沧桑,方可无悔青春,无憾岁月的消逝。

以下是店铺为大家整理的八年级上册数学知识点,希望你们喜欢。

八年级上册数学知识点:第十一章全等三角形1.全等三角形的性质:全等三角形对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定:三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等(SAS)、两角和它们的夹边(ASA)、两角和其中一角的对边对应相等(AAS)、斜边和直角边相等的两直角三角形(HL).3.角平分线的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角两边的距离相等4.角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上.5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).八年级上册数学知识点(一)轴对称1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴.2.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3.角平分线上的点到角两边距离相等.4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等.5.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点.8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y)9.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,(等边对等角)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”.10.等腰三角形的判定:等角对等边.11.等边三角形的三个内角相等,等于60°,12.等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等腰三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形.13.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半八年级上册数学知识点(二)一次函数1.画函数图象的一般步骤:一、列表(一次函数只用列出两个点即可,其他函数一般需要列出5个以上的点,所列点是自变量与其对应的函数值),二、描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数的值为纵坐标,描出表格中的个点,一般画一次函数只用两点),三、连线(依次用平滑曲线连接各点).2.根据题意写出函数解析式:关键找到函数与自变量之间的等量关系,列出等式,既函数解析式.3.若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.4.正比列函数一般式:y=kx(k≠0),其图象是经过原点(0,0)的一条直线.5.正比列函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大,当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小,在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小.6.已知两点坐标求函数解析式(待定系数法求函数解析式):把两点带入函数一般式列出方程组求出待定系数把待定系数值再带入函数一般式,得到函数解析式7.会从函数图象上找到一元一次方程的解(既与x轴的交点坐标横坐标值),一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解(既两函数直线交点坐标值)。

八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理

八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理

千里之行,始于足下。

八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
1. 什么是全等三角形?
- 全等三角形指的是两个三角形的对应边长相等,对应角度也相等的三角形。

2. 全等三角形的性质和判定方法有哪些?
- 全等三角形的性质包括:对应边长相等,对应角度相等,对应线段相等,对应角平分线相等。

- 判定两个三角形全等的方法有:SSS 判定法(边边边)、SAS 判定法
(边角边)、ASA 判定法(角边角)和 HL 判定法(斜边直角边)。

3. 全等三角形的基本性质有哪些?
- 对应的边相等:若两个三角形全等,则它们的对应边长相等。

- 对应的角度相等:若两个三角形全等,则它们的对应角度相等。

- 对应的线段相等:若两个三角形的对应边相等,它们的对应线段(如中线、高线、角平分线等)也相等。

4. 如何应用全等三角形解题?
- 利用全等三角形的性质可以在图形中推导出其他线段和角度的长度或关系,从而解决各种三角形的问题。

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锲而不舍,金石可镂。

- 典型的应用包括求角度的大小、线段长度的关系、面积的比较等。

5. 如何证明两个三角形全等?
- 根据要证明的条件选择合适的判定方法(SSS、SAS、ASA 或 HL)。

- 使用已知条件和全等三角形的性质,逐步推导出两个三角形的对应边长和对应角度相等。

- 利用已知条件的等式和全等三角形的性质,一步一步证明两个三角形全等。

注意:以上为八年级数学上册《全等三角形》的知识点梳理,具体内容可能与教材有所差异,建议参考教材进行学习。

八年级上册数学第二单元:全等三角形知识点与练习

八年级上册数学第二单元:全等三角形知识点与练习

第二单元全等三角形本单元的学习目标①重点:全等三角形的性质;三角形全等的判定;角平分线的性质及应用②难点:三角形全等的判断方法及应用;角平分线的性质及应用在中考中的重要性:①中考热点,初中数学中的重点内容②考察内容多样化,有的独立考三角形全等,有的考全等三角形结合其他知识点综合,有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目③题型以选择题、填空题、解答题为主【知识归纳】1.全等三角形的基本概念:(1)全等图形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

(2)全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

(3)全等三角形的表示方法:△ABC≌△A’B’C’(如图1)A’B C ’图12.全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等(2)全等三角形的对应角相等3.全等三角形的判定方法(1)三边相等(SSS);(2)两边和它们的夹角相等(SAS);(3)两角和其中一角的对应边相等(AAS);(4)两角和它们的夹边相等(ASA);(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL).(该判定只适合直角三角形)注意:没有“AAA”和“SSA”的判定方法,这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。

如图2,△ABC和△ADE中,∠A=∠A,∠1=∠3,∠2=∠4,即三个角对应相等,但它们只是形状相同而大小并不相等,故它们不全等;如图3,△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,即两边及其中一边的对角对应相等,但它们并不全等。

4.角平分线的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角两边的距离相等。

5.角平分线推论:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

判定三角形全等常用思路公理及定理练笔1、一般三角形全等的判定(如图)(1) 边角边(SSS) AAB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____∴△ABC≌△A′B′C′(2)边角边(SAS)AB=A′B′∠B=∠B′ _______=_____ B C∴△ABC≌△A′B′C′A′(3) 角边角(ASA)∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′B ′ C′(4) 角角边(AAS)∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____∴△ABC≌△A′B′C′2、直角三角形全等的判定:斜边直角边定理(HL)AB=AB _____=_____∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′B C B′ C′二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应角_____2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线_______注意:1、斜边、直角边公理(HL)只能用于证明直角三角形的全等,对于其它三角形不适用。

数学人教版八年级上册全等三角形的判定边边边公理

数学人教版八年级上册全等三角形的判定边边边公理

A
解:要证明△ABC ≌△ FDE, 还应该有AB=DF这个条件
D
∵AD=FB ∴ AD+DB=FB+DB
即 AB=FD
E
C B
F
思考
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、 B、 F在一条直线上,AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以 外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?
A
E
B D FC
补充练习:
如图,已知AB=CD,AD=CB,E、F分别是AB,CD 的中点,且DE=BF,说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C
解: ①∵E、F分别是AB,CD的中点( 已知 )
∴AE= 12AB CF= 12CD( 线段中点的定义)
又∵AB=CD ∴AE=CF
∵AB=AC,BH=CH,AH=AH,
∴△ABH≌△ACH(SSS);
A
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS);
在△DBH和△DCH中 ∵BD=CD,BH=CH,DH=DH, B
∴△DBH≌△DCH(SSS).
D
H
C
练习2
(2)如图,D、F是线段BC上的两点, AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD , 还需要条件 BF=DC 或 BD.=FC
证明:Q AD FB,
AD DB FB DB,
即AB FD.
在ABC和 FDB 中,
AB=FD(已证),
BC=DB(已知),
AC=FB (已知),
ABC≌ FDB(SSS).
A D
E

八年级(上册)数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理

八年级(上册)数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理

三角形三条中线的交于一点,这一点叫做“三角形的重心〞。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D,那么线段AD叫做三角形的角平分线。

∠1=∠2=∠BAC.要区分三角形的“角平分线〞与“角的平分线〞,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心〞。

要求会的题型:①三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度,求其中未知的高或者底边的长度“等积法〞,将三角形的面积用两种方式表达,求出未知量。

三角形的稳定性1. 三角形具有稳定性2. 四边形及多边形不具有稳定性三角形的内角1. 三角形的内角和定理三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。

2. 直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余〔相加为90°〕。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

三角形的外角1. 三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

2. 三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

多边形1. 多边形的概念在平面中,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形,多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n-3〕条,其所有的对角线条数为.3. 正多边形各角相等,各边相等的多边形叫做正多边形。

〔两个条件缺一不可,除了三角形以外,因为假设三角形的三内角相等,那么必有三边相等,反过来也成立〕要求会的题型:①告诉多边形的边数,求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n-3〕条,其所有的对角线条数为.将边数带入公式即可。

多边形的内角和1. n边形的内角和定理n边形的内角和为2. n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°,与多边形的形状和边数无关。

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习

A. ①④
B.①②
C.②③
D.③④
2.如图,ABD ≌ CDB ,且 AB 和 CD 是对应边,下面四个结论中不正确的是( )
A. ABD和CDB 的面积相等
A
D
B. ABD和CDB 的周长相等 C. A + ABD = C + CBD
B
C
D.DAD//BC 且 AD=BC
3.如图, ABC ≌ BAD ,A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点,如果
4.全等三角形的判定(一):三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边边边”或“SSS”.
AB = DE 如图,在 ABC 和 DEF 中 BC = EF
AC =
【典型例题】
例1.如图, ABC ≌ ADC ,点 B 与点 D 是对应点, BAC = 26 ,且 B = 20 , SABC = 1,求 CAD , D, ACD 的度数及 ACD 的面积.
数及 BC 的长.
E
F
A
BC
D
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11.如图,在 ABC与ABD 中,AC=BD,AD=BC,求证: ABC ≌ ABD
D A
C B
全等三角形(一)作业
1.如图, ABC ≌ CDA ,AC=7cm,AB=5cm.,则 AD 的长是( )
求证:(1) DE ⊥ AB ; (2)BD 平分 ABC (角平分线的相关证明及性质)
B
A E
D
C
【巩固练习】 1.下面给出四个结论:①若两个图形是全等图形,则它们形状一定相同;②若两个图形的
形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等,则它们一定是全等图形; ④若两个图形是全等图形,则它们的大小一定相同,其中正确的是( )

人教版八年级上册数学 12.2 全等三角形全等判定知识点和对应练习(无答案)

人教版八年级上册数学  12.2 全等三角形全等判定知识点和对应练习(无答案)

全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

(1)表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,记作ABC∆≌DEF∆2、性质:(1)对应边相等(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等1.下列各组的两个图形属于全等图形的是( )2.如图,△ABD≌△ACE,则∠B与________,∠AEC与________,∠A与________是对应角;则AB与________,AE与________,EC与________是对应边.第2题图第3题图3.如图,△ABC≌△CDA,∠ACB=30°,则∠CAD的度数为________.4.如图,若△ABO≌△ACD,且AB=7cm,BO=5cm,则AC=________cm.第4题图第5题图5.如图,△ACB≌△DEB,∠CBE=35°,则∠ABD的度数是________.6.如图,△ABC≌△DCB,∠ABC与∠DCB是对应角.(1)写出其他的对应边和对应角;(2)若AC=7,DE=2,求BE的长.二、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法:(SAS),(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA) 角角边AAS 直角边和斜边(HL)三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)专题一:“边边边”全等三角形(SSS)三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”,几何表示如图,在ABC∆和DEF∆中,ABCEFBCEBDEAB∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SASDEF∆【典型例题】AC=DF (SSS)例1找第三边(减公共部分)如图,已知点B,C,D,E 在同一直线上,且A B=AE,AC=AD,BD=CE.求证:△ABC≌△AED.例2找第三边(加公共部分)如图,点B,E,C,F 在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BF=CE,求证:△ABC≌△DEF;例3找第三边(公共边)如图,AD=CB,AB=CD,求证:△ACB≌△CAD.巩固练习1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )A.① B.② C.③ D.④2.如图,已知AB=AD,CB=CD,∠B=30°,则∠D的度数是( ) A.30° B.60° C.20° D.50°第2题图第3题图3.如图,AB=DC,请补充一个条件:________,使其能由“SSS”判定△ABC≌△DCB.4.如图,A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.5.如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:∠ADE=∠AED.6.如图,在ABC ∆中,M 在BC 上,D 在AM 上,AB=AC , DB=DC 求证:AM 是ABC ∆的角平分线7.如图:在△ABC 中,BA=BC ,D 是AC 的中点。

人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解(1)

人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解(1)

全等三角形判定一(SSS ,SAS )(基础)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”,和判定方法2——“边角边”; 2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS ”).要点诠释:如图,如果''A B =AB ,''A C =AC ,''B C =BC ,则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”).要点诠释:如图,如果AB = ''A B ,∠A =∠'A ,AC = ''A C ,则△ABC ≌△'''A B C . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.如图,△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知:如图,△RPQ 中,RP =RQ ,M 为PQ 的中点.求证:RM 平分∠PRQ .【思路点拨】由中点的定义得PM =QM ,RM 为公共边,则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明:∵M 为PQ 的中点(已知), ∴PM =QM在△RPM 和△RQM 中,()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM (SSS ).∴ ∠PRM =∠QRM (全等三角形对应角相等). 即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到,如:公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等,综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三:【变式】已知:如图,AD =BC ,AC =BD.试证明:∠CAD =∠DBC.【答案】证明:连接DC ,在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC(SSS )∴∠CAD =∠DBC (全等三角形对应角相等) 类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知:如图,AB =AD ,AC =AE ,∠1=∠2.求证:BC =DE .【思路点拨】由条件AB =AD ,AC =AE ,需要找夹角∠BAC 与∠DAE ,夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明: ∵∠1=∠2∴∠1+∠CAD =∠2+∠CAD ,即∠BAC =∠DAE 在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE (SAS )∴BC =DE (全等三角形对应边相等)【总结升华】证明角等的方法之一:利用等式的性质,等量加等量,还是等量.3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A 、B 、D 三点共线,AB =CB ,EB =DB ,∠ABC =∠EBD =90°),连接AE 、CD ,试确定AE 与CD 的位置与数量关系,并证明你的结论.【答案】AE =CD ,并且AE ⊥CD 证明:延长AE 交CD 于F ,∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB =BC ,BD =BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD (SAS ) ∴AE =CD ,∠1=∠2又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等) ∴∠2+∠4=90°,即∠AFC =90° ∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察,我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三:【变式】已知:如图,AP 平分∠BAC ,且AB =AC ,点Q 在PA 上,求证:QC =QB【答案】证明:∵ AP 平分∠BAC ∴∠BAP =∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS) ∴ QC =QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三,放风筝”.下图是小明制作的风筝,他根据DE =DF ,EH =FH ,不用度量,就知道∠DEH =∠DFH .请你用所学的知识证明.【答案与解析】证明:在△DEH 和△DFH 中,DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩==∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH =∠DFH .【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ,就可以得到∠DEH =∠DFH ,我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型,这道题用“SSS ”定理就能解决问题. 举一反三: 【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角,如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边OA ,边OB 上分别取OD =OE ,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合,这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线,你能先说明△OPE 与△OPD 全等,再说明OP 平分∠AOB 吗?【答案】证明: 在△OPE 与△OPD 中∵OE OD OP OP PE PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △OPE ≌△OPD (SSS )∴ ∠EOP =∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP 平分∠AOB.【巩固练习】 一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中,若AB =''A B ,BC =''B C ,AC =''A C .则( ) A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A2. 如图,已知AB =CD ,AD =BC ,则下列结论中错误的是( ) A.AB ∥DC B.∠B =∠D C.∠A =∠C D.AB =BC3. 下列判断正确的是( ) A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4. 如图,AB 、CD 、EF 相交于O ,且被O 点平分,DF =CE ,BF =AE ,则图中全等三角形的对数共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图,将两根钢条'AA ,'BB 的中点O 连在一起,使'AA ,'BB 可以绕着点O 自由转动,就做成了一个测量工件,则''A B 的长等于内槽宽AB ,那么判定△OAB ≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6. 如图,已知AB ⊥BD 于B ,ED ⊥BD 于D ,AB =CD ,BC =ED ,以下结论不正确的是( ) A.EC ⊥AC B.EC =AC C.ED +AB =DB D.DC =CB二、填空题7. 如图,AB =CD ,AC =DB ,∠ABD =25°,∠AOB =82°,则∠DCB =_________.8. 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 互相平分,则图中全等三角形共有_____对.9. 如图,在△ABC 和△EFD 中,AD =FC ,AB =FE ,当添加条件_______时,就可得△ABC ≌△EFD (SSS )10. 如图,AC =AD ,CB =DB ,∠2=30°,∠3=26°,则∠CBE =_______.11. 如图,点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC,若∠B =20°,则∠C=_______.12. 已知,如图,AB=CD,AC=BD,则△ABC≌,△ADC≌ .三、解答题13. 已知:如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,∠ADC=∠BCD,AD=BC,求证:CO=DO.14. 已知:如图,AB∥CD,AB=CD.求证:AD∥BC.分析:要证AD∥BC,只要证∠______=∠______,又需证______≌______.证明:∵ AB∥CD (),∴∠______=∠______ (),在△______和△______中,⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ ( ). ∴ ∠______=∠______ ( ). ∴ ______∥______( ).15. 如图,已知AB =DC ,AC =DB ,BE =CE 求证:AE =DE.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ;【解析】注意对应顶点写在相应的位置. 2. 【答案】D ;【解析】连接AC 或BD 证全等. 3. 【答案】D ; 4. 【答案】C ;【解析】△DOF ≌△COE ,△BOF ≌△AOE ,△DOB ≌△COA. 5. 【答案】A ;【解析】将两根钢条'AA ,'BB 的中点O 连在一起,说明OA ='OA ,OB ='OB ,再由对顶角相等可证.6. 【答案】D ; 【解析】△ABC ≌△EDC ,∠ECD +∠ACB =∠CAB +∠ACB =90°,所以EC ⊥AC ,ED +AB =BC +CD =DB.二.填空题7. 【答案】66°;【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ,∠OBC =∠OCB =82412︒=︒, 所以∠DCB = ∠ABC =25°+41°=66°8. 【答案】4;【解析】△AOD ≌△COB ,△AOB ≌△COD ,△ABD ≌△CDB ,△ABC ≌△CDA. 9. 【答案】BC =ED ; 10.【答案】56°;【解析】∠CBE =26°+30°=56°. 11.【答案】20°;【解析】△ABE ≌△ACD (SAS ) 12.【答案】△DCB ,△DAB ;【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题13.【解析】证明:在△ADC 与△BCD 中,,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴ 14. 【解析】3,4; ABD ,CDB ; 已知;1,2;两直线平行,内错角相等; ABD ,CDB ; AB ,CD ,已知; ∠1=∠2,已证; BD =DB ,公共边; ABD ,CDB ,SAS ;3,4,全等三角形对应角相等; AD ,BC ,内错角相等,两直线平行.15.【解析】证明:在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩==∴△ABC ≌△DCB (SSS ) ∴∠ABC =∠DCB , 在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE (SAS ) ∴AE =DE.DBA。

最新人教版八年级上册数学第十二章全等三角形第8课时 《全等三角形》单元复习

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15.【例7】如图,AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC 交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF. (1)求证:点D为EF的中点; (2)求证:AD⊥BC.
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证明:(1)如图,过点D作DH⊥AB于H, ∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DH⊥AB,∴DE=DH, ∵BF∥AC,DE⊥AC, ∴BF⊥DF, ∵BC平分∠ABF,DH⊥AB,DF⊥BF, ∴DH=DF,∴DE=DF,∴点D为EF的中点.
答案图
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(2)∵BF∥AC,∴∠C=∠DBF,且∠CDE=∠BDF,DE=DF, ∴△DCE≌△DBF(AAS),∴CD=BD, ∵BC平分∠ABF,∴∠ABD=∠DBF,∴∠C=∠ABD, ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB, 又AD=AD,∴△DCA≌△DBA, ∴∠CDA=∠BDA, ∵∠CDA+∠BDA=180°, ∴∠CDA=∠BDA=90°,∴AD⊥BC.
第十二章 全等三角形
第8课时 《全等三角形》单元复习
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目录
01 知识要点 02 对点训练 03 精典范例 04 变式练习
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知识要点
知识点一:全等三角形的性质 (1)性质1:全等三角形的对应边 相等 . 性质2:全等三角形的对应角 相等 . 说明:①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分 线 相等 . ②全等三角形的周长相等、面积相等. ③平移、翻折、旋转前后的图形 全等 .
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证明: (1)∵DE⊥A B,DF ⊥A C,
∴△BDE,△CDF 是直角三角形.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中, = , =
∴R t △ B DE≌R t △ CDF(H L ),∴DE =DF .

(完整版)八年级数学上册全等三角形知识点总结

(完整版)八年级数学上册全等三角形知识点总结

第十二章《全等三角形 》 知识点归纳一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等.SSS(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

ASA(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.AAS(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

SAS(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.HL4、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(二)灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等,可找:①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等,可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:1。

确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么;3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。

新人教版八年级上册数学[全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)知识点整理及重点题型梳理]

新人教版八年级上册数学[全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)知识点整理及重点题型梳理]

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料全等三角形判定二(ASA ,AAS )(基础)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”,判定方法4——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】【379110 全等三角形判定二,知识点讲解】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 要点诠释:如图,如果∠A =∠'A ,AB =''A B ,∠B =∠'B ,则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC 和△ADE 中,如果DE ∥BC ,那么∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,又∠A =∠A ,但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:2.如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形. 【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”【379110 全等三角形判定二,例5】1、已知:如图,E ,F 在AC 上,AD ∥CB 且AD =CB ,∠D =∠B .求证:AE =CF .【答案与解析】证明:∵AD ∥CB∴∠A =∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE (ASA )∴AF =CE ,AF +EF =CE +EF故得:AE =CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.举一反三:【变式】(2014•青山区模拟)如图,已知AE=CF ,∠AFD=∠CEB,AD∥BC,求证:△ADF≌△CBE.【答案】证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE;∵AD∥BC,∴∠A=∠C;在△ADF与△C BE中,,∴△ADF≌△CBE(ASA).类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、(2015•长乐市一模)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E.求证:△ACD≌△CBE.【思路点拨】根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°,然后根据同角的余角相等求出∠B=∠ACD,再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE.【答案与解析】证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠E=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∵∠B+∠BCE=90°,∴∠B=∠ACD,在△BEC 和△CDA 中,,∴△ACD ≌△CBE (AAS ).【总结升华】本题考查了全等三角形的判定,求出∠B=∠ACD 是证明三角形全等的关键. 举一反三:【变式】如图,AD 是△ABC 的中线,过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证:BE =CF.【答案】证明:∵AD 为△ABC 的中线∴BD =CD∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD =90°,在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(对顶角相等) ∴△BED ≌△CFD (AAS )∴BE =CF3、已知:如图,AC 与BD 交于O 点,AB ∥DC ,AB =DC .(1)求证:AC 与BD 互相平分;(2)若过O 点作直线l ,分别交AB 、DC 于E 、F 两点,求证:OE =OF.【思路点拨】(1)证△ABO ≌△CDO ,得AO =OC ,BO =DO (2)证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明:∵AB ∥DC∴∠A=∠C在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==对顶角相等) AB=CD∴△ABO ≌△CDO (AAS )∴AO =CO ,BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=AO=CO=对顶角相等) ∴△AEO ≌△CFO (ASA )∴OE =OF.【总结升华】证明线段相等,就是证明它们所在的两个三角形全等.利用平行线找角等是本题的关键.类型三、全等三角形判定的实际应用4、(2014春•通川区校级期末)要测量河两岸相对两点A ,B 间的距离,先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ,使CD=BC ,再在过点D 的l 的垂线上取点E ,使A 、C 、E 三点在一条直线上,这时ED 的长就是A ,B 两点间的距离.你知道为什么吗?说说你的理由.【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ,从而得解.【答案与解析】解:∵AB⊥l,CD⊥l,∴∠ABC=∠EDC=90°,在△ABC 和△EDC 中,,∴△ABC≌△EDC(ASA ),∴AB=DE,即ED 的长就是A ,B 两点间的距离.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,解答本题的关键是借助两个三角形全等,寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。

缺个角的条件:缺条边的条件:04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质:①角平分线具有对称性;②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法:(1)截取构全等如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例:如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破(题型清单)一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等,面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.要点诠释:全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础,这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具,是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形,可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1.证明线段相等的方法:(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2.证明角相等的方法:(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角(等角)的余角(补角)相等.(5) 对顶角相等.3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法;可通过证明两个三角形全等,得到对应角相等,再利用平行线的判定或垂直定义证明.4.辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形;(2)倍长中线法;(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形;(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等,需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时,则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系,此时应添置辅助线,使之出现全等三角形,通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、 角平分线概念:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定重难点 (新版)新人教版

八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定重难点 (新版)新人教版

全等三角形的判定1. 三角形全等的判定(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS ”。

表示方法:如图所示,在△ABC 和△DEF 中,,∴△ABC ≌△DEF (SSS )。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA ”。

表示方法:如图所示,在△ABC 和△DEF 中,,∴△ABC ≌△DEF (ASA )。

(3)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS ”。

表示方法:如图所示,在△ABC 和△DEF 中,,∴△ABC ≌△DEF (AAS )。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS ”。

表示方法:如图所示,在△ABC 和△DEF 中,,∴△ABC ≌△DEF (SAS )。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL ”。

表示方法:如图所示,在R t △ABC 和R t △DEF 中,∵AB =DE ,BC =EF ,∴R t △ABC ≌R t △DEF (HL )。

注意:①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是:有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况,可以画图实验,如下图,在△ABC 和△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,显然它们不全等。

③三个角对应相等的两个三角形不一定全等,如两个大小一样的等边三角形。

2. 全等三角形的基本图形在平面几何中,有很多问题都可以借助于三角形全等来解决,比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。

在运用三角形全等这一工具时,主要是找两个三角形,并找出它们满足全等的条件来;解题时经常需要通过观察图形的运动状况,把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的,这需要对常见的全等三角形做到心中有数,如下图列举了几个常见的基本图形。

掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系,对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了八年级上册数学中的全等三角形知识点,包括全等三角形的概念和性质,三角形全等的判定方法,角的平分线的性质以及全等三角形证明方法。

要点一介绍了全等三角形的判定与性质,其中包括边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边、直角边定理(HL)、边边边(SSS)等判定方法,并说明了对应元素相等的性质。

要点二介绍了全等三角形的证明思路,包括找夹角、找直角、找另一边、边为角的对边等方法。

要点三介绍了角平分线的性质和判定定理,以及与角平分线有关的辅助线。

要点四介绍了全等三角形证明方法,包括证明线段相等的方法、证明角相等的方法等。

XXX∠FAE。

又∠EAG+∠XXX∠BAG=180°。

AEF≌△AGF(AAS)。

XXX.结论:BE=FD,EF=FD/2.2、(2014•北京市海淀区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,且AD=AC.连接CD,交AB于E点.证明:AE=DE.思路点拨】1)延长AD交CE于点F;2)证明△AFE≌△CFD,得到∠AFE=∠CFD,再证明△AED≌△CED,得到AE=DE.答案与解析】证明:(1)连接AF,CF,DF,因为AB=AC,AD=AC,∴∠BAD=∠CAD,∠AFD=∠CFD。

又∠AFE=∠XXX,∴△AFE≌△CFD(AAS)。

AE=DE.证明:作角平分线AD,连接BD,CD.AB=AC。

BAD=∠CAD。

又∠ABD=∠ACD。

ABD≌△ACD(AAS)。

BD=CD。

又∠BDA=∠CDA。

BDA≌△CDA(SAS)。

B=∠C.总结升华】本题考查了角平分线的性质,以及全等三角形的判定方法,即AAS和SAS定理。

证明:过点A作AD⊥BC,则在Rt△ABD与Rt△ACD 中,由于AB=AC,AD=AD,根据HL(斜边-直角边-斜边)可得Rt△ABD≌Rt△ACD,因此∠B=∠C。

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十二章三角形知识点导学案
1. 三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形按边分类
3.
三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

(这两个条件满足其中一个即可)
用数学表达式表达就是:记三角形三边长分别是a,b,c,则a+b>c或c-b<a。

已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b
要求会的题型:
①数三角形的个数
方法:分类,不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值,要求判断这三条线段能否组成三角形
方法:最小边+较小边>最大边不用比较三遍,只需比较一遍即可③给出多条线段的长度,要求从中选择三条线段能够组成三角形
方法:从所给线段的最大边入手,依次寻找较小边和最小边;直到找完为止,注意不要找重,也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围
方法:第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b
⑤给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长
方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。

三角形的高、中线与角平分线
1. 三角形的高
从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线,垂足为D,那么线段AD叫做△ABC 的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点,这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线
连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D,所得的线段AD叫做△ABC的边BC 上的中线。

三角形三条中线的交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线
∠A的平分线与对边BC交于点D,那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。

要求会的题型:
①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度,求其中未知的高或者底边的长度
方法:利用“等积法”,将三角形的面积用两种方式表达,求出未知量。

三角形的稳定性
1. 三角形具有稳定性
2. 四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。

三角形的内角
1. 三角形的内角和定理
三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。

2. 直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余(相加为90°)。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

三角形的外角
1. 三角形外角的意义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

2. 三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

3.
(1
2=∠3
+∠4

∠BOC =∠A +∠B +∠C
多边形
1. 多边形的概念
在平面中,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形,多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

一个n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为(n -3)条,其所有的对角线条数为. 3. 正多边形
各角相等,各边相等的多边形叫做正多边形。

(两个条件缺一不可,除了三角形以外,因为若三角形的三内角相等,则必有三边相等,反过来也成立)
要求会的题型:
①告诉多边形的边数,求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数 方法:一个n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为(n -3)条,其所有的对角线条数为
.将边数带入公式即可。

多边形的内角和
1. n 边形的内角和定理
n 边形的内角和为 2. n 边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°,与多边形的形状和边数无关。

全等三角形的判定
一、本节学习指导
本节较难,考试题目千变万化,更是容易和其他几何联合起来出题,同学们要牢牢的掌握好。

二、知识要点
1、两个三角形全等的条件【重点】
(1)判定1——边边边公理
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”。

“边边边”公理的实质:三角形的稳定性(用三根木条钉三角形木架)。

注意:边边边是三条边都相等,并且在书写时边与边要对应书写。

在已知两边相等的情况下优先考虑。

(2)判定2——边角边公理
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。

注意:边角边中,角是指两对应边的夹角,如上图中,同样在书写时对应边角对准。

比如上图中正确的写法是:△ABC≌△A'B'C'
(3)判定3——角边角公理
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

简写为“角边角”或“ASA”。

注意:角边角中,边是两个角中间时,才能描述为角边角,否则就是下面的角角边。

(4)判定4——角角边推论
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

简称“角角边”或“AAS”。

(5)直角三角形全等的判定——斜边直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

简写成“斜边直角边”或“HL”。

判定直角三角形全等的方法:
①一般三角形全等的判定方法都适用;
②斜边-直角边公理
2、证明三角形全等一般有以下步骤:
(1)读题:明确题中的已知和求证;
(2)要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中
(3)、分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件。

有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角 (4)、先证明缺少的条件 (5)、再证明两个三角形全等
三、经验之谈:
对于常见的四种判定三角形全等的方法我们都要掌握,并且知道“边”是什么边,“角”是什么角,上面中并没有“边边角”这点要记牢了。

本节是非常重要的一章节,同学们一定要多做练习题,不会的要向老师及时请教 全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

∵△ABC ≌△A 'B 'C '
∴AB=A 'B ',BC=B 'C ',AC=A 'C '; ∠A=∠A ', ∠B=∠B ', ∠C=∠C '
二、知识要点
1、角平分线的定义:从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

如右图:OC 平分∠AOB ∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等。

【重点】
如上图:
∵OC 平分∠AOB (或∠1=∠2),PE ⊥OA ,PD ⊥OB
∴PD=PE ,此时我们知道△OPE ≌△OPD (直角三角形 斜边是OP 即公共边,直角边斜边)
3、角的平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如上图:
∵PE ⊥OA ,PD ⊥OB ,PD=PE ∴OC 平分∠AOB (或∠1=∠2)
4、线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。

如右图:
∵C 是AB 的中点 ∴AC=BC
5、垂直的定义:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直。

如右图:【重点】
∵AB ⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°
或∵∠AOC=90° ∴AB ⊥CD
注意:要判断两条直线垂直,只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。

反过来,两条直线互相垂直,它们的四个交角都是直角。

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