《公式法》基础练习1(北师大版 八年级数学下册)
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
北师大版八下数学《公式法》基础练习1(含答案)
4.3 公式法 巩固练习一、选择题1、多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是( )A.10B.20C.－20D.±202、在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 23、如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( )A.42B.－42C.13D.－134、从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小 正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是( )A ．a 2 – b 2 =(a +b )(a -b )B ．(a – b )2 = a 2 –2ab + b 2C ．(a + b )2 = a 2 +2ab + b 2D ．a 2 + ab = a (a +b) 二、填空题1、请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－2a 2b ,这个三项式可以是________.2、用简便方法计算，并写出运算过程：（753）2－2.42=_____________.9.92+9.9×0.2+0.01=_____________.3、如果把多项式x 2－8x +m 分解因式得(x －10)(x +n ),那么m =________,n =_______.4、若x =61,y =81,则代数式(2x +3y )2－(2x －3y )2的值是________.三、解答题1、计算与求值(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.(2)已知S=πrl+πRl，当r=45，R=55，l=25，π=3.14时，求S的值.2、32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？3、求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.4、一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度求横断面面积的代数式，并计算当a=1.5,b=0.5时的面积.5、如图，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用S表示，通过这条道路正中的圆周长用l表示.①写出用a,r表示S的代数式.②找出l与S之间的关系式.6、已知公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。
4.3公式法素养集训1因式分解的常见方法练习课件+2023-2024学年北师大版数学八年级下册
（a2＋5b2－4b2）＝（a2＋9b2）（a2＋b2）.
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添项法
9.分解因式：
（1）【2023·北京东城区期末】x4＋4y4；
解：（1）x4＋4y4＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝（x2＋
2y2）2－4x2y2＝（x2＋2y2＋2xy）（x2＋2y2－2xy）.
＋3b（x－y）＝（x－y）（2a＋3b）；
（3）（2x－y）（x＋3y）－（x＋y）（y－2x）.
解：（3）原式＝（2x－y）（x＋3y）＋（x＋
y）（2x－y）＝（2x－y）·（x＋3y＋x＋y）＝
（2x－y）（2x＋4y）＝2（2x－y）（x＋2y）.
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公式法
直接用公式法
＋（mx－nx）＝m（m－n）＋x（m－n）＝
（m－n）（m＋x）；
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（2）x2－2xy＋y2－9.
解：（2）x2－2xy＋y2－9＝（x－y）2－9
＝（x－y＋3）（x－y－3）.
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拆项法
8.分解因式：
（1）x2－4x＋3；
解：（1）方法一：原式＝x2－4x＋3＋1－1＝x2－
数学北师大版八年级下册公式法(1)
公式法（1）教学设计一、学生起点分析学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
三、教学目标分析（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）会用平方差公式进行因式分解；四、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——例题赏析——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．第一环节 复习回顾活动内容：填空：（1）（x+5）（x –5） = ；（2）（3x+y ）（3x –y ）= ；（3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ．它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．.____________________49_;____________________9__;____________________2522222=-=-=-n m y x x注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节 探究新知活动内容：结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。
这种分解因式的方法称为运用公式法。
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。
2021-2022学年度初中数学北师大版八年级下册第四章第三节 公式法 同步练习
初中数学北师大版八年级下册第四章第三节公式法同步练习一、单选题1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是()A．4x2+y2B．-4x2-y2C．-4x2+y2D．-4x+y22．因式分解：x3−4x=（）A．x(x2−4x)B．x(x+4)(x−4)C．x(x+2)(x−2)D．x(x2−4)3．下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．16a2+8a+1B．a2−3a+9C．4a2+4a−1D．a2−8a−164．若a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足a2﹣2ab+b2＝0，b2﹣c2＝0，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．a4b－6a3b+9a2b分解因式的正确结果是（）A．a²b（a²－6a+9）B．a²b（a+3）（a－3）C．b（a²－3）D．a²b（a－3）²6．若一个三角形的三边长为a,b,c,且满足a2-2ab+b2+ac-bc =0,则这个三角形是() A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．2560B．490C．70D．498．如图，在长方形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG，边EF 交CD 于点H，在边BE 上取点M 使BM=BC，作MN∥BG 交CD 于点L，交FG 于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a−b)=a2−b2，连结AC，记△ABC的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若a=3b，则S1S2的值为（）A．32B．718C．34D．54二、填空题9．分解因式：7a2﹣63＝10．4x2-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为11．已知x+y＝2，则12（x2+2xy+y2）的值为.12．下列因式分解正确的是（填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+ 1=(2x+1)213．由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝．14．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为．15．在实数范围内因式分解：x2﹣3＝，3x2﹣5x+2＝．16．观察下列各式：(x−1)(x+1)=x²−1(x−1)(x²+x+1)=x³−1(x−1)(x³+x²+x+1)=x 4−1…根据以上规律，求1+2+2²+…+ 22016+22017=.三、计算题17．因式分解（1）a3b−ab（2）(x2+4)2−16x218．计算题：（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）. 19．利用因式分解进行计算（1）(1−122)×(1−132)×⋯×(1−1102)（2）(22+42+62+82+102)−(12+32+52+72+92)四、解答题20．分解因式（1）9(m+n)2−(m−n)2（2）(x2−6x)2+18(x2−6x)+81（3）−4m3+16m2−26m（4）（a2+4）2﹣16a221．第一环节：自主阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2+2x-4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：x2-4y2+2x-4y=(x2-4y2)+(2x-4y) ……分组=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式=(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法。
北师大版八年级下册数学课件公式法第1课时平方差公式
课堂导练
*12.若 xn－1＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)，则 n 等于( D )
A．16
B．4 C．6 D．8
【点拨】∵(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)＝ (x4－1)(x4＋1)＝x8－1＝xn－1，∴n＝8.
课堂导练
13．(中考·凉山州)多项式 3x2y－6y 在实数范围内分解因式正确
精彩一题 19．分解因式：x2－4y2－2x＋4y.细心观察这个式子就会发现，
前两项满足平方差公式的应用条件，后两项可提取公因式， 前、后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因 式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程：x2－4y2－2x ＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种 分解因式的方法叫做分组分解法．请利用这种方法解决下列 问题：
解：原式＝25×(1012－992) ＝25×(101＋99)×(101－99) ＝25×200×2＝10 000；
课后训练 (2)251202－0020482；
解：原式＝（252＋248）10×00（0 252－248）＝510000×004＝5；
1 (3)5011
2－4911102.
原式＝50111＋491110×50111－491110＝100×121＝21010.
课堂导练
3．下列多项式中，不能用平方差公式分解的是( A ) A．－m4－n4 B．－16x2＋y2 C．1.96－x2 D．a2－14b2
课堂导练
4．(2019·贺州)把多项式 4a2－1 分解因式，结果正确的是( B ) A．(4a＋1)(4a－1) B．(2a＋1)(2a－1) C．(2a－1)2 D．(2a＋1)2
北师大版八下数学《公式法》同步练习1(含答案)
4.3 公式法一、选择题1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（）A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n22.下列各式中能用完全平方公式分解的是（）①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③ 4x2-4x+1; ④ x2+4xy+2y2 ; ⑤9x2-20xy+16y2A.①②B.①③C.②③D.①⑤3.在多项式:①16x5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（）A.①②B.③④C.①④D.②③4.分解因式3x2-3x4的结果是（）A.3(x+y2)(x-y2)B.3(x+y2)(x+y)(x-y)C.3(x-y2)2D.3(x-y)2(x+y) 25.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）A.2B.4C.2y2D.4y26.若x2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m应为（）A.-5B.3C.7D.7或-17.若n 为正整数，（n+11）2-n2的值总可以被k整除，则k等于（）A.11B.22C.11或22D.11的倍数.二、填空题8.（）2+20pq+25q2= （）29.分解因式x2-4y2= ___________ ;10.分解因式ma2+2ma+m= _______ ;11.分解因式2x3y+8x2y2+8xy3__________ .12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被_____ 整除。
三、解答题：13.分解多项式:（1）16x2y2z2-9; （2）81(a+b)2-4(a-b)214.试用简便方法计算：1982-396202+2022 15.已知x=40,y=50,试求x4-2x2y2+y4的值。
参考答案1.B2.B3.C4.A5.D6.D7.A8.2p 2p+5q 9.(x+2y)(x-2y)10.m(a+1)211. 2xy(x+2y)212. 413. （1）(4xyz+3)(4xyz-3)（2）原式=[][])7ba+ab+ab+-++⋅a--=b()(211711)(b)ba(9(9a))(214. 原式=1982-2×198×202+2022=（198-202）2=(-4)2=1615.由x4-2x2y2+y4=(x2-y2)2=(1600-2500)=(-900)2=810000.。
北师大版八下数学《公式法》基础练习1(含答案)
4.3 公式法 巩固练习一、选择题1、多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是( )A.10B.20C.－20D.±202、在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 23、如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( )A.42B.－42C.13D.－134、从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小 正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是( )A ．a 2 – b 2 =(a +b )(a -b )B ．(a – b )2 = a 2 –2ab + b 2C ．(a + b )2 = a 2 +2ab + b 2D ．a 2 + ab = a (a +b) 二、填空题1、请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－2a 2b ,这个三项式可以是________.2、用简便方法计算，并写出运算过程：（753）2－2.42=_____________.9.92+9.9×0.2+0.01=_____________.3、如果把多项式x 2－8x +m 分解因式得(x －10)(x +n ),那么m =________,n =_______.4、若x =61,y =81,则代数式(2x +3y )2－(2x －3y )2的值是________.三、解答题1、计算与求值(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.(2)已知S=πrl+πRl，当r=45，R=55，l=25，π=3.14时，求S的值.2、32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？3、求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.4、一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度求横断面面积的代数式，并计算当a=1.5,b=0.5时的面积.5、如图，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用S表示，通过这条道路正中的圆周长用l表示.①写出用a,r表示S的代数式.②找出l与S之间的关系式.6、已知公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。
八年级数学下册《运用公式法》同步练习1 北师大版
2.3 运用公式法同步练习A卷：基础题一、选择题1．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x－y） B．x2－y2=（x+y）（x－y） C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）22．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+1 4 n23．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．m2－mn+n2 B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+14D．x2+2x－14．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，85．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A．8 B．16 C．2 D．4二、填空题6．分解因式：a3－4a=______．7．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．8．把a2b+b3－2ab2分解因式的结果是______．9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果．___________．三、计算题10．分解因式：（x2+4）2－16x2．11．已知a，b，c为△ABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．12．在边长为179m的正方形农田里，修建一个边长为21m的正方形建筑，问所剩农田为多少平方米？B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解）若a+b=1，ab=－1，求a2+b2的值．2．（巧题妙解题）若9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=0，求m+n+p的值．二、知识交叉题3．（科内交叉题）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n，求n．4．（科外交叉题）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）·（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是x－y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时，•用上述方法产生的密码是_________．（写出一个即可）三、实际应用题5．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5 cm2，请你求出大小两个圆盘的半径．四、经典中考题6．（2007，某某，3分）一个长方形的面积是（x2－9）2米，其长为（x+3）米，用含有x的整式表示它的宽为_______米．7．（2008，，4分）分解因式：a3－ab2=______．C卷：课标新型题1．（结论开放题）多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可）2．（存在探究题）是否存在这样一个满足下列条件的正整数，当它加上98•时是一个完全平方数，当它加上121时是另一个完全平方数，若存在，请求出该数；若不存在，请说明理由．3．（阅读理解题）观察下面计算过程：（1－212）（1－213）=（1－12）（1+12）（1－13）（1+13）=12×32×23×43=12×43； （1－212）（1－213）（1－214）=12×32×23×43×34×54=12×54； （1－212）（1－213）（1－214）（1－215）=12×32×23×43×34×54×45×65=12×65；… 你发现了什么规律？用含n 的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出（1－）（1－）（1－212）（1－213）（1－214）…（1－212007）的值．3.已知a －b=12，ab=18，求－2a 2b 2+ab 3+a 3b 的值．参考答案A 卷一、1．B 点拨：x 2+y 2不能在实数X 围内因式分解，（x －y ）2=x 2－2xy+y 2．2．A 点拨：x 2－2xy+y 2=（x －y ）2；x 2y 2+2xy+1=（xy ）2+2xy+1=（xy+1）2；m2－mn+14n2=m2－2·m·12n+（12n）2=（m－12n）2．3．B 点拨：（a+b）2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2=（a－b）2．4．B 点拨：x4－16=（x2）2－42=（x2+4）（x2－4）=（x2+4）（x+2）（x－2）． 5．B 点拨：因为a+b=4，所以a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．二、6．a（a+2）（a－2）点拨：a3－4a=a（a2－4）=a（a+2）（a－2）．7．23 点拨：因为x2－y2=69，所以（x+y）（x－y）=69，因为x+y=3，所以3（x－y）=69，所以x－y=23．8．b（a－b）2点拨：a2b+b3－2ab2=b（a2+b2－2ab）=b（a－b）2．9．am2+2am+a=a（m+1）2点拨：答案不唯一，符合题意即可．三、10．解：（x2+4）2－16x2=（x2+4）2－（4x）2=（x2+4+4x）（x2+4－4x）=（x+2）2（x－2）2．11．解法一：因为b2+2ab=c2+2ac，所以b2－c2+2ab－2ac=0，所以（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0，（b－c）（b+c+2a）=0．因为a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a>0，所以b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．解法二：因为b2+2ab=c2+2ac，所以b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，所以（a+b）2=（a+c）2．因为a，b，c为三角形三边，所以a+b=a+c．所以b=c．所以△ABC为等腰三角形．12．解：1792－212=（179+21）×（179－21）=200×158=31600（m2）．点拨：本题是分解因式在实际问题中的应用，利用分解因式可使运算简化．B卷一、1．解法一：a2+b2=（a+b）2－2ab．因为a+b=1，ab=－1，所以a2+b2=12－2×（－1）=3．解法二：因为a+b=1，所以（a+b）2=1，即a2+b2+2ab=1，因为ab=－1，所以a2+b2=1－2ab=1－2×（－1）=3．点拨：本题综合考查完全平方公式．2．解：因为9m 2－12mn+8n 2－4np+2p 2－4p+4=（9m 2－12mn+4n 2）+（4n 2－4np+p 2）+（p 2－4p+4）•=•（3m －2n ）2+（2n －p ）2+（p －2）2=0． 所以320,20,20.m n n p p -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩所以2,31,2.m n p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以m+n+p=23+1+2=113． 点拨：此题的巧妙之处是把8n 2分成4n 2+4n 2，把2p 2分成p 2+p 2，•从而把原式左边化成几个完全平方式和的形式，根据非负数和为零，各数均为零的性质可求m ，n ，p 的值． 二、3．解：（1012+25）2－（1012－25）2 =（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n．所以n=14． 点拨：若底数相等，幂相等，则指数必相等．4．103010或301010或101030点拨：4x 3－xy 2=x （4x 2－y 2）=x （2x+y ）（2x －y ）．当x=10，y=10时，2x+y=30，2x －y=10．所以x （2x+y ）（2x －y ）⇒103010，（2x+y ）（2x －y ）⇒301010（2x －y ）x （2x+y ）⇒101030． 答案不唯一，写出一个即可．三、5．解：设大圆盘的半径为Rcm ，一个小圆盘的半径为rcm ，根据题意，得：πR 2－4πr 2=5π，即（R+2r ）（R －2r ）=5． 因为R ，r 均为正整数，所以R+2r ，R －2r 也为正整数，所以：25,21R r R r +=⎧⎨-=⎩ 解得3,1R r =⎧⎨=⎩ 答：大圆盘的半径为3cm ，一个小圆盘的半径为1cm ．点拨：本题利用因式分解法求不定方程的整数解，注意要把5分解质因数．四、6．（x －3） 点拨：x 2－9=x 2－32=（x+3）（x －3）．因为长为（x+3）米，所以宽为（x －3）米．7．a （a+b ）（a －b ） 点拨：多项式a 3－ab 2只有两项，可以考虑两种方法，提公因式法和平方差公式，观察题目可知此题这两种方法均要用到，即首先提取公因式，•然后再用平方差公式．所以a 3－ab 2=a （a 2－b 2）=a （a+b ）（a －b ）．C 卷1．±4x 或4x 4或－1或－4x 2点拨：若添加±4x 和4x 4成为一个多项式的平方；若添加－1或－4x 2，其结果成为一个单项式的平方．2．解：假设存在这样的正整数m ，由题意得m+98=x 2，①m+121=y 2，②．②－①得y 2－x 2=23．所以（y+x ）（y －x ）=23×1． 只有当x+y=23，y －x=1时，•成立，即23,1.x y y x +=⎧⎨-=⎩ 解得1112.x y =⎧⎨=⎩所以m=x 2－98=112－98=121－98=23．点拨：本题仍然是利用分解因式求不定方程的整数解，再求m 的值．3．解：（1－212）（1－213）…（1－21n）=12×32×23×…×1n n -×1n n +=12×1n n +=12n n+． 当n=2007时，上式=200711004220072007+=⨯． 3.解：－2a 2b 2+ab 3+a 3b=－ab （2ab －b 2－a 2）=ab （b 2－2ab+a 2）=ab （a －b ）2．当a －b=12，ab=18时，原式=ab （a －b ）2=18×（12）2=18×11432=． 点拨：多项式求值时可根据已知条件，将多项式先分解因式，变为含ab 或a －b 的形式，然后整体代入即可．。
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4.3 公式法 巩固练习
一、选择题
1、多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是( )
A.10
B.20
C.－20
D.±20
2、在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )
A.100 cm 2
B.105 cm 2
C.108 cm 2
D.110 cm 2
3、如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( )
A.42
B.－42
C.13
D.－13
4、从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小 正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是( )
A ．a 2 – b 2 =(a +b )(a -b )
B ．(a – b )2 = a 2 –2ab + b 2
C ．(a + b )2 = a 2 +2ab + b 2
D ．a 2 + ab = a (a +b) 二、填空题
1、请你任意写出一个．．
三项式，使它们的公因式是－2a 2
b ,这个三项式可以是________.
2、用简便方法计算，并写出运算过程：
（753
）2－2.42=_____________.
9.92+9.9×0.2+0.01=_____________.
3、如果把多项式x 2－8x +m 分解因式得(x －10)(x +n ),那么m =________,n =_______.
4、若x =
61,y =8
1
,则代数式(2x +3y )2－(2x －3y )2的值是________.
三、解答题
1、计算与求值
(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.
(2)已知S=πrl+πRl，当r=45，R=55，l=25，π=3.14时，求S的值.
2、32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？
3、求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
4、一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度求横断面面积的代数式，并计算当a=1.5,b=0.5时的面积.
5、如图，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用S表示，通过这条道路正中的圆周长用l表示.
①写出用a,r表示S的代数式.
②找出l与S之间的关系式.
6、已知公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。
参考答案：
一、1、D ；2、D ；3、A ；4、A ；
二、1、－2a 3b +2a 2b 2－2a 2b （任意写出一个合题的即可）
2、(75
3
)2－2.42=7.62－2.42=(7.6+2.4)·(7.6－2.4)=52
9.92+9.9×0.2+0.01=9.9(9.9+0.2)+0.01=9.9×10.1+0.01=（10－0.1）(10+0.1)+0.01=102－0.12+0.01=100；3、－20，2；4、2
1
； 三、1、(1)2003 (2)7850
2、32003－4×32002+10×32001=32001(32－4×3+10)=32001×7.能被7整除.
3、证明：当n 是正整数时，2n －1与2n +1是两个连续奇数
则(2n +1)2－(2n －1)2=(2n +1+2n －1)(2n +1－2n +1)=4n ×2=8n ，8n 能被8整除 ∴这两个连续奇数的平方差是8的倍数.
4、解：设横断面面积为S ，则S =21
(a +a +2b )·(a －b )=(a +b )(a －b )
当a =1.5,b =0.5时S =(1.5+0.5)(1.5－0.5)=2
5、解：①S =π(r +a )2－πr 2=π(r +a +r )(r +a －r )=πa (2r +a ) ②l=2π(r +
2a )=π(2r +a )，则2r +a =π1，∴S =πa (2r +a )=πa ·π
1=al 6、U=IR 1+IR 2+IR 3=I （R 1+R 2+R 3），将条件R 1=12.9, R 2=18.5 R 3=18.6, I=2代入上式得：原式= 100。