高中数学必修三第三章概率古典概型中的一个易错问题知识素材 [北师大版]

合集下载

2019高二年级数学必修3第三章知识点：概率题型与知识点梳理精品教育.doc

高二年级数学必修3第三章知识点：概率题型与知识点梳理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。

小编准备了高二年级数学必修3第三章知识点，希望你喜欢。

知识点梳理之术语概率：又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。

表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。

概率的计算方式一：概率往往与排列组合结合在一起考查，此时这个公式适用。

即用排列组合将满足条件的情况数和总的情况数分别求出来，再做除法即可。

概率的计算方式二：若是计算分类事件的总体概率，只需求出每种情形的概率，然后将所有概率值相加。

概率的计算方式三：若是计算分步事件的总体概率，只需求出每个步骤的概率，然后将所有概率值相乘。

当然，在一些题目中，直接计算正面概率相当复杂，那么此时可逆向思考：正面概率=1反面概率。

典型例题分析【2019年424联考】小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1、0.2、0.25、0.4，则他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是( )。

A.0.899B.0.988C.0.989D.0.998【解析】D。

先分析此事件，至少有一处遇到绿灯意思包含遇到一处、两处、三处和四处，显然，若分类考虑，这道题将会非常复杂(如遇到一处时还将分为第一个路口、第二个路口、第三个路口和第四个路口)。

那么逆向思考，至少有一处遇到绿灯的反面为每一处都遇到红灯，每一处都遇到红灯为一个分步事件，其概率为四数相乘。

因此结果为10.10.20.250.4=0.998。

本题答案选D。

【2019年917联考】某高校从E、F和G三家公司购买同一设备的比例分别为20%、40%和40%，E、F和G三家公司所生产设备的合格率分别为98%、98%和99%，现随机购买到一台次品设备的概率是( )。

A. 0.013B. 0.015C. 0.016D. 0.01【解析】C。

(完整word)古典概型知识点总结,推荐文档

知识点：古典概型目录知识点总结常见考法误区提醒知识点难易度 (中)知识点总结本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。

其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。

1、古典概型（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。

（2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性（3）古典概型的解题步骤；①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。

常见考法本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。

在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。

误区提醒在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。

基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。

【典型例题】例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率．解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．。

高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式2.2建立概率模型学案含解析北师大版必修3

2 古典概型2．1古典概型的特征和概率计算公式2．2建立概率模型考纲定位重难突破1.通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义.2.掌握古典概型的概率计算公式.3.理解概率模型的特点及应用.重点：古典概型的概念及其概率公式的应用条件.难点：古典概型的概率的计算.授课提示：对应学生用书第43页[自主梳理]1．古典概型2．古典概型的概率计算公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝事件A包含的所有可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.3．建立古典概率模型的要求(1)在建立概率模型时，如果每次试验有且只有一个基本事件出现．(2)基本事件的个数是有限的．(3)并且它们的发生是等可能的．满足上述三个条件的概率模型就是一个古典概型．4．古典概率模型的解决方案从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．[双基自测]1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列事件不是基本事件的是()A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}解析：至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球．答案：D2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件的个数共有()A．7个B．8个C．9个D．10个解析：符合要求的基本事件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．答案：C3．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．答案：③授课提示：对应学生用书第44页探究一基本事件的计数问题[典例1]做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件．[解析](1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．基本事件的两个探求方法：(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地看出基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面：(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)记A＝“恰有两枚正面向上”这一事件，则事件A包含哪几个基本事件？解析：(1)作树状图如图．故所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)． (2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．探究二古典概型概率问题的求法[典例2] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．[解析] 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以取出的两球都是白球的概率为P (A )＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8种．所以取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P (B )＝815.求古典概型概率的计算步骤： (1)求出基本事件的总个数n .(2)求出事件A 包含的基本事件的个数m . (3)求出事件A 的概率P (A )＝事件A 所包含的基本事件数试验的基本事件总数＝m n .2．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取出1只，求连续2只取出的都是正品的概率； (2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．解析：(1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2，1只次品记为b 1，画出树状图如图．基本事件总数为9，连续2次取得正品的基本事件数是4，9(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1(a 1a 2表示一次取出正品a 1，a 2)，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率是P ＝13.探究三与古典概型有关的综合问题[典例3] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． [解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的条件为a ≥b .基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(1)注意放回与不放回的区别．(2)在古典概型下，当基本事件总数为n 时，每个基本事件发生的概率均为1n ，要求事件A 的概率，关键是求出基本事件总数n 和事件A 所包含的基本事件数m ，再由古典概型概率公式P (A )＝mn 求事件A 的概率．3．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间 10～20 20～30 30～40 人数(2)从得分在20～30①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．解析：(1)由得分记录表，从左到右应填4，6，6.(2)①得分在20～30内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 10)，(A 3，A 11)，(A 3，A 13)，(A 4，A 5)，(A 4，A 10)，(A 4，A 11)，(A 4，A 13)，(A 5，A 10)，(A 5，A 11)，(A 5，A 13)，(A 10，A 11)，(A 10，A 13)，(A 11，A 13)，共15种．②从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，将“这2人得分之和大于50”记为事件B ，则事件B 的所有可能结果有：(A 4，A 5)，(A 4，A 10)，(A 4，A 11)，(A 5，A 10)，(A 10，A 11)，共5种，153树形图的应用[典例]某盒子中有红、黄、蓝、黑色彩笔各1支，这4支笔除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从盒中抽出1支，求基本事件总数．[解析]把这4支笔分别编号为1，2，3，4，则4个人按顺序依次从盒中抽取1支彩笔的所有可能结果用树状图直观地表示如图所示．由树状图知共有24个基本事件．[感悟提高]利用树形图(表格)寻找基本事件的个数形象直观且不易出错.[随堂训练]对应学生用书第45页1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④已知基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)＝kn. 其中所有正确说法的序号是()A．①②④B．①③C．③④D．①③④解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D. 答案：D2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) A.12 B.13 C.23D ．1 解析：列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共2种，所以P (“甲被选中”)＝23.答案：C3．从集合A ＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为________．解析：依题意k 和b 的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3，－3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共9种，当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时，应有k >0，b <0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，所以所求概率为49.答案：494．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个球． (1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？ (2)摸出的两个球都是黑球记为事件A ，问事件A 包含几个基本事件？ (3)计算事件A 的概率．解析：(1)任意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑球2和黑球3}，6个基本事件．因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件．由古典概型定义知，这个试验是古典概型．(2)摸出2个黑球包含3个基本事件．故事件A 包含3个基本事件． (3)因为试验中基本事件总数n ＝6，而事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P (A )＝m n ＝36＝12.。

求解古典概型常见错误剖析

求解古典概型常见错误剖析古典概型是概率论的基础之一，常被用于解决问题，但是在求解的过程中常常出现一些错误或者不严谨的地方，下面就对这些常见错误进行剖析和说明。

1.未考虑概率的加法原理在使用古典概型解决问题的时候，有时我们需要计算事件的概率，此时会出现一些容易犯的错误。

最常见的错误就是未考虑概率的加法原理。

概率的加法原理指的是：当两个事件没有交集时，它们同时发生的概率等于这两个事件发生的概率之和。

例如，一张扑克牌从52张扑克牌中任选一张牌，这个事件的概率是1/52。

如果现在想要求在两次抽牌中至少有一次抽到黑桃A的概率，应该用“1-不出黑桃A的概率”计算。

此时，不出黑桃A的概率为51/52，因此，至少有一次抽到黑桃A的概率为1-（51/52）×（51/52）=0.039，而不能简单地将1/52相加，得出0.038。

2.过度依赖对称性在一些有对称性的问题中，过度地依赖于对称性，容易导致错误的结果。

古典概型中常有对称性问题，如“在一张扑克牌中抽取两张牌，求两张牌的花色不同的概率”。

这个问题中，我们可能会觉得花色不同的情况只有两种：黑红、黑梅，因此概率为2/52。

但实际上，这个问题有更多种花色不同的情况，如红黑、红梅、红方、黑方、梅方等等，总共有C(4,2)×C(13,1)×C(13,1)=1326种情况，因此概率为1326/2,652=0.5。

3.未考虑再次选取的影响在一些问题中，一次选取后必须再次选取，其结果会对后续的选取有影响，但是我们常常会忽略这个因素。

例如，在一副52张扑克牌中，抽取4张牌，求其中3张牌是红桃的概率。

我们可能会认为，红桃共有13张，所以3张牌是红桃的概率为C(13,3)/C(52,4)=0.003，但实际上这个结果是不正确的。

因为要求3张牌是红桃，意味着第四张牌不能是红桃，而4张牌中第四张牌出现的概率为39/48。

因此，正确的计算方法是：C(13,3)×C(39,1)/C(52,4)=0.042。

2015-2016学年高中数学第三章概率本章归纳总结课件北师大版必修3

说明：G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
专题探究
随机事件的频率与概率解决这类问题的关键是应理清频率与概率的关系，频率是
概率的估计值，是随机的，随着试验的不同而变化，而概率是
多次的试验中频率的稳定值，是一个常数．不要以一次或少数次试验中的频率来估计概率．
一个不透明的袋中有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表：
3．古典概型 (1)古典概型的特征：①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只能出现其中的一个结果；②每一个试验结果出现的可能性相同． (2)基本事件：试验的每一个可能结果称为基本事件． (3)对于古典概型，通常试验中的某一事件是由几个基本事件组成．如果试验的可能结果(基本事件)数为 n，随机事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 的概率规定为 P(A)＝事件A包含的可能结果数 m ＝ . 试验的所有可能结果数 n
几何概型及其应用
几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情况，且每种结果的出现是等可能的．试验的结果发生在一个确定的区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子区域占总区域的比例．依这种比例求解，类似古典
概型的思路，即事件A的概率由“构成事件A的基本事件所占的
图形面积(长度、体积)”与“试验的全部结果所占的总面积(长度、体积)”之比来表示．
(2)如右图所示上述 10 个基本事件发生的可能性相同，且只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球(记为事件 A)，即(1,2)， (1,3)， 3 (2,3)，故 P(A)＝ . 10 3 答：共有 10 个基本事件，摸出 2 只球都是白球的概率为 . 10

高二数学第三章古典概型知识点

高二数学第三章古典概型知识点
高二数学第三章古典概型知识点
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
(1)每个基本事件的发生都是等可能的.
(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
2.古典概型的定义：
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m;
(2)计算基本事件的总数n;
(3)应用公式P(A)?m计算概率.n
4.古典概型的概率公式：
P(A)?A包含的.基本事件的个数
基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和
基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题;若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题;“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.。

高中数学必修3(北师版)第三章3.2 古典概型(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

名，各年级男、女生人数如下表：0.18例题：一般地，如果事件，，，两两互斥（彼此互斥），那么事件“ ”发生（是指事件，，，中至少有一个发生）的概率，等于这个事件发生的概率和，即（3）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

A 1A 2⋯A n ∪∪⋯∪A 1A 2A n A 1A 2⋯A n n P (∪∪⋯∪)=P ()+P ()+⋯+P ().A 1A 2A n A 1A 2A n AB A ∪B P (A ∪B )=1 盒子里有个红球，个白球，现从中任取个球，设事件，事件，事件，事件．（1）事件与、是什么样的运算关系？（2）事件与的交事件是什么事件？解：（1）对于事件，可能的结果为个红球个白球，或个红球个白球，故．（2）对于事件，可能的结果为个红球个白球，个红球个白球，个均为红球，故．643A ={3个球中有1个红球，2个白球}B ={3个球中有2个红球，1个白球}C ={3个球中至少有1个红球}D ={3个球中既有红球又有白球}D A B C A D 1221D =A ∪B C 12213C ∩A =A 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从到）中任意抽取张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌的牌面数字为的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 ”．解：（1）是互斥事件，不是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽出的牌的牌面数字为的倍数”与“抽出的牌的数字大于 ”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．401101594014014015910某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为，，，．（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）请问他可能乘何种交通工具去的概率为？解：（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．所以（2）设他不乘轮船去的概率为，则（3）由于故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．0.30.20.10.40.5A 1A 2A 3A 4P (∪)=P ()+P ()=0.3+0.4=0.7．A 1A 4A 1A 4P P =1−P ()=1−0.2=0.8.A 20.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,。

北师大版高中数学必修3第三章概率小结与复习

7
1 a 1 的概率P= （3）使四棱锥M-ACBD的体积小于 = 3 a 3 1 1 1 3
（2）点M距离ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于
a 3
6
a
的概率P=
3 2 1 aaa 3
a
aa
1 2
（三）、课堂练习：1、某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
20
205109 Nhomakorabea（四）、课堂小结：1．初步理解必然现象和随机现象的概念；2．理解不可能事件、必然世间、随机事件，基本事件以及基本事件空间，并能够写出基本事件空间；3．初步理解概率和频率的概念，能理解概率的统计定义；4．了解互斥事件和互为对立事件的概念，能熟练使用概率的加法公式；5．理解古典概型的定义，理解古典概型的两个特征；6．概率的一般加法公式；7．理解几何概型的条件，会应用几何概型的定义解答相应问题。（五）、作业布置：复习题三中A组4、5、7 B 组3 五、教学反思：
4
（二）、知识运用探析例1、下列说法正确的是（） A 不可能事件的概率为0 B 概率为0 的事件一定是不可能事件 C 事件A、B的和事件的概率等于事件A、B的概率的和 D 如果A与B是互斥事件，那么 A 与 B 也是互斥事件简析：[A] 例2、在一次数学考试中，小明的成绩在80分以上的概率是 0.18，在70～79分的概率是0.45，在60～69分的概率是0.09，则小明此次考试几个的概率是多少？解析：设小明的成绩在80分以上，70～79分，60～69分分别为事件A，B，C，由公式可知，即小明此次考试及格的概率是0.82

北师大版高中数学必修3《三章概率 2 古典概型 2.1古典概型的特征和概率计算公式》培优课课件_13

26
（4）这张牌牌面是5的倍数且是红色；1
13
（5）这张牌不是方块 3
4
1．古典概型特征：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等. （等可能性）
这样两个特征的随机试验的数学模型称为
古典概率模型，简称古典概型.
2．古典概型计算事件的概率计算公式为：
变式探究一
若从一个箱子中按顺序，有放回的取两个质量盘
（取两次，一次一个）求：
（1）质量和超过10 kg的概率；43
（2）质量和为整数的概率 5
变式探究二
8
在一个箱子中有放回的取两次等同于在两个相同箱子中各取一个
一个袋子中装有红、黄、蓝、白四种颜色的小
球各一个，这四个球除颜色外完全相同，有放回的
和试验中基本事件的总数.
如图，转动转盘计算下列事件的概率：
（1）箭头指向8； 1
（2）箭头指向3或88；1 4
（3）箭头不指向8；7
（4）箭头指向奇数；8 1
（5）箭头指向偶数；12
2 （6）箭头指向3的倍数
1
4
自学课本132页例1
古典概型中求事件A概率的步骤：1设2列3算
【规律方法】在这个例子中，我们用列表的方法列出了所有可能的结果.在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是很多，列举法就是我们常用的一种方法.
“发哥”，相信同学们都不陌生．他在电视和电影中塑造了无数让人难以忘怀的经典形象，尤其是电影《赌神》中的一角．在电影中他曾连掷十次骰子都出现6点，那么如果是你来掷骰子，掷一次出现6 点的概率有多大？你需要做大量重复的试验通古典概型的特征和概率计算公式

高中数学第三章概率随机事件的概率和古典概型易错点分析例题训练北师大版必修

随机事件的概率易错点分析随机事件的概率概念多、且不易弄清它们之间的关系，学生在学习中经常遇到困难，下面就学生在解题时出现的错误分析如下，供大家参考.一、不理解频率的意义例1 若在同等条件下进行n 次重复试验，得到某个事件A 发生的频率为()f n ，则随着n 的逐渐增大，有（）A ()f n 与某个常数越来越接近B ()f n 与某个常数的差逐渐减小C ()f n 与某个常数的差的绝对值差逐渐减小D ()f n 的图象趋于稳定错解 A 、B 、C分析由频率与概率的关系知：对于给定的事件A ，由于事件A 发生的频率()n f A 随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率()n f A 来估计概率()P A .故A 、B 、C 都是错误的.正解 D二、应用能力差例2 有下列事件：（1）足球运动员点球命中；（2）在自然数集合中任取一个数为偶数；（3）在标准大气压下，水在100C 时沸腾；（4）已知A ＝{1,2,3},B={3,4},则B ØA ；（5）当α≠β时，sin α≠sin β；（6）光线在均匀媒质中发生折射现象；（7）任意两个奇数之和为奇数.问：上述事件中为随机事件的有______________________,为必然事件的有______________,不可能事件的有_________________.错解随机事件有（1）、（2）、（6）；必然事件有（3）、（5）；不可能事件有（4）、（7）. 分析（1）足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；（2）在自然数集合中任取一个数可能为奇数也可能为偶数；（3）在标准大气压下，水在100C 时一定沸腾；（4）已知A ＝{1,2,3},B={3,4},则B ØA 是不可能的；（5）当α≠β时，如果α＝60，β＝30，则sinα≠sinβ；如果α＝150，β＝30，则sinα＝sinβ；（6）光线在均匀媒质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；（7）任意两个奇数之和为偶数正解随机事件有（1）、（2）、（5）；必然事件有（3）；不可能事件有（4）、（6）、（7）.三、未弄清互斥事件与对立事件的关系例3 判断下列命题的真假：（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”.则事件A与B是对立事件；（2）在5件产品中有2件是次品，从中任取2件.事件A：“所取2件中最多有1件是次品”，事件B：“所取2件中至少有1件是次品”.则事件A与B是互斥事件；（3）若事件A与B是互斥事件，则P(A+B)＝P(A)＋P(B).错解命题（1）、（2）、（3）都是真命题.分析（1）错因是概念不清，将互斥事件与对立事件不加区别.因为事件A与B是对立事件还要满足A∪B是必然事件，显然这是错误的；（2）错因是未弄清“最多”、“至少”的意义，因为它们都包括“所取2件中有1件是次品”，当然事件A与B就不是互斥事件了；（3）是概率的加法公式，当然是正确的.正解（1）是假命题；（2）是假命题；（3）是真命题.四、未弄清对立事件的性质例4 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“P(A)＋P(B)＝1”.则甲是乙的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件错解 C.分析若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A、B不是对立事件.正解 A.五、主观臆断例5 同时掷两枚骰子，问：(1)“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，哪一个发生的机会多?(2)最容易出现的和的点数是多少？并求出它的概率.错解（1）∵每次掷骰子的可能结果有6种，∴“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，发生的机会相同；（2）出现的和的点数相同，概率为61 366=.分析错因是将掷一个骰子出现的6种结果与掷二个骰子出现两点和的事件当做一回事处理.正解设掷二个骰子，一个出现x点，另一个出现y点，和x+y,如下表：（1）从表中可得出：“两点的和等于7”的事件有6个，“两点的和等于8”的事件有5个，∴前者比后者容易出现.（2）从表中比较得，最容易出现的和是7，它的概率是61 366=.（3）。

北师大版数学高一必修3素材知识必备 3.1随机事件的概率

§1 随机事件的概率知识梳理1.随机事件的概念(1)我们把在条件S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S 的必然事件,简称必然事件.(2)在条件S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于S 的不可能事件,简称不可能事件.(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件,简称确定事件.(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S 的随机事件,简称随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A 、B 、C 、…表示.2.随机试验对于随机事件,知道它发生的可能性大小是非常重要的,要了解随机事件发生的可能性大小,最直接的方法就是试验.一个试验如果满足下述条件:(1)试验可以在相同的情形下重复进行;(2)试验的结果是明确可知的,但不止一个;(3)每次试验总是出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.像这样的试验是一个随机试验.3.随机事件的概率(1)在相同条件下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n a 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例f n (A )=nn A 为事件A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率,简称为A 的概率.知识导学概率是研究随机事件发生的可能性大小的问题,这里既有随机性,又有随机性中表现出的规律性,这是我们学习的难点.突破难点最好的方法是尽量自己动手操作.在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出来的规律性的直接感知.教材利用我们熟悉的掷硬币试验,通过自己亲自动手试验,体会随机发生的随机性和随机性中的规律性.观察随机事件发生的频率,可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法,通过试验模拟等方法,可以澄清日常生活中对概率的错误认识,也加深了我们对概率意义的理解.概率是中学数学的新内容之一,它为我们认识客观世界提供了重要的思维模式和理论依据,提出了行之有效的解决问题的方法.它在数学的学习中起着承前启后的作用:一方面它是集合及算法的拓展延续;另一方面它又是学习统计等知识的理论基础.当然,它也是我们今后学习大学知识的基础之一,而且它还可以帮助我们指导生产实践,做出合理的决策.疑难突破1.“频率”与“概率”之间的关系剖析:随机事件的频率,指此事发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,这个常数我们叫做随机事件的概率,概率可看作频率在理论上的期望值,它在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量的重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.2.“必然事件”“不可能事件”“随机事件”及其概率剖析:一个随机事件的发生,既有随机性(对单次试验来说),又存在着统计规律性(对大量重复试验来说),这是偶然性和必然性的统一.就概率的统计定义而言,必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0;而任意事件A的概率0≤P(A)≤1,从这个意义上讲必然事件和不可能事件可看作随机事件的两个极端情况,由此看来,它们虽然是两类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,这正说明了二者既对立又统一的辩证关系.3.随机试验的特点剖析:随机试验的特点是我们区别它与其他试验的重要依据.随机试验具有以下特点:首先,试验在同样条件下可以重复进行,试验结果事先无法确定.其次,试验的结果不止一个,每次试验只能出现其中的一个结果,并且事先不能判断必然要出现哪一个结果.再次,事先能够明确指出这种试验可能出现的一切结果.典题精讲例112件同类产品中,有10件正品,2件次品,从中任意抽出3件,下列事件中,随机事件有_______;必然事件有_______;不可能事件有_______(填上相应的序号).(1)3件都是正品(2)至少有1件是次品(3)3件都是次品(4)至少有1件是正品思路解析:可以对照三种事件的含义,联系课本中的有关例子,考查每个事件的发生是不是确定的,如果是确定不发生的就是不可能事件,如果是确定要发生的就是必然事件,如果可能发生也可能不发生的就是随机事件.答案:(1),(2)(4)(3)黑色陷阱:常见错误是不注意所给条件中正品和次品的数量,误把(3)(4)也当成随机事件,或者把三个概念混淆.变式训练(1)在10件同类产品中,有8件正品,2件次品,从中任意抽出3件产品的必然事件是()A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品思路解析:因为有2件次品,共抽3件,所以至少抽到1件正品,即至少有1件正品是必然事件.应选D.答案:D(2)下列随机事件中,一次试验各指什么?它们各有几次试验?①一天中,从北京到上海有6个航班起飞,全部准时到达;②抛掷一枚骰子10次,有2次6点向上.思路分析:要解决本题首先要明白什么是一次试验,一次试验就是条件实现一次.①中的航班起飞一次就是一次试验,至于是否准时到达那是试验结果的问题;抛掷骰子也是一样,把骰子抛出再落地就是实现了一次试验的过程.解:①一次航班起飞就是一次试验,共有6次试验;②抛掷一枚骰子就是一次试验,所以共有10次试验.例2下列叙述中事件的概率是0.5的是… ()A.抛掷一枚骰子10次,其中数字6向上的出现了5次,抛掷一枚骰子数字6向上的概率B.某地在8天内下雨4天,某地每天下雨的概率C.进行10 000次抛掷硬币试验,出现5 001次正面向上,那么抛掷一枚硬币正面向上的概率D.某人买了2张体育彩票,其中一张中500万大奖,那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率思路解析:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,频率会稳定于概率;概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性大小.答案:C绿色通道:在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以确切得到,因此我们常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率来估计它的概率.这里只有选项C 进行了大量重复试验,其余三个选项都是事件的频率.变式训练某乒乓球产品检查结果如下表所示:抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率n m(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)解:(1)依据公式可以计算出表中乒乓球优等品的概率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知,抽取的球数n 不同,计算得到的频率值虽然不同,但却都在常数0.950的附近摆动,所以抽取一个乒乓球检测时,质量检查为优等品的概率为0.950.例3 (2006福建高考卷,18）每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).(1)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率;(2)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率.解:(1)设A 表示事件“抛掷2次,向上的数不同”,则P (A )=.656656=⨯⨯ ∴抛掷2次,向上的数不同的概率为65. (2)设B 表示事件“抛掷2次,向上的数之和为6”.Q 向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,3)、(5,1)共5种,∴P (B )=.3656656=⨯⨯ 即抛掷2次,向上的数之和为6的概率为365. 绿色通道:通过本节知识我们应该理解概率是实际生活不可缺少的一部分,我们要从最基本的概念出发打好基础,还要熟记几个概念的区别与联系,掌握解决问题的方法,还要能灵活应用.我们也可以在实际中多总结,从实际例子来理解抽象的概率理论,还可以借助计算机来辅助各种试验,研究某些事件发生的规律,从而加深对理论的理解.变式训练一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?思路分析:从9张票中任取2张,要弄清楚取法种数为21×9×8=36,“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”,用对立事件的性质求解将变得非常简单.解:从9张票中任取2张,取第一张时有9种取法,取第二张时有8种取法,但(x ,y )和(y ,x )是同一基本事件,故总取法种数为21×9×8=36. 记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数“为事件C ,则事件C 为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张,有21×4×3=6种取法. ∴P (C )=61366=.由对立事件的性质,得P (B )=1-P (C )=1-6561=.问题探究问题1 现实中有很多事情都有自己发生的频率,比如一个人打篮球投球进篮的频率,并且这个频率有一定的规律,它是因这个人的技术而有所不同的,但是对于个人总是稳定在某个数值附近的.试结合一个例子具体说明频率的稳定性.导思:某些随机事件发生的次数往往具有一定的规律性,也就是其发生的频率具有相对的稳定性.可借助于发生在我们周围的现象或试验进行探究.比如投掷硬币、图钉、骰子等. 探究:以“投掷硬币”试验为例.先做n 次试验(相当于投篮),可得到一个出现“正面朝上”的频率n k 1(相当于进球个数与投球次数的比值);再做n 次试验(相当于再次投篮),可得到一个出现“正面朝上”的频率n k 2(相当于再次计算进球个数和投球次数的比值);……首先根据数据可以看出, n k 1,nk 2,…是变化的量,但是当n 很大时,出现“正面朝上”的频率具有“稳定性”一一在上述“常数”附近摆动,并且随着试验次数的增加,摆动的幅度具有越来越小的趋势.其次,通过增加试验的次数可以发现,有时n k 1,nk 2,…中也可能出现频率偏离“常数”较大的情形,但是随着n 的增大,频率偏离“常数”大的可能性会减小.由此我们不难看出,投掷硬币试验中,虽然频率在变化,但是在大量试验的条件下,仍然具有稳定性,就像投篮球一样,好的投球手不一定百投百中,但是通过多次比较就会发现技术的差距.问题2 某中学高一年级有12个班,要从中选出2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,1班必须参加,另外再从2至12班中选出1个班.有人提议用如下方法:掷两个骰子,得到的点数的和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?两个骰子的点数和1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 2 3 4 5 6 7 2点 3 4 5 6 7 8 3点 4 5 6 7 8 9 4点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点 7 8 9 10 11 12导思:考查这种方法选出代表班是否公平,关键是看从2到12班每个班被选出的概率(即可能性)是否相同,也就是看从2到12这11个数出现的机会是否均等.探究:任意抛掷一枚骰子,有6种可能的结果,因此当第一枚骰子出现一种结果时,第二枚骰子仍然随机地出现6种可能的结果,故投掷两枚骰子共出现6×6=36种可能结果,由于是随机的,故这36种结果是等可能出现的.在这36种结果中,从上表可以看出,点数和为2的只有一种可能,即出现“点数为2”的频率为361.也就是说,选2班的可能性只有361.点数和为3的有两种可能,即出现“点数和为3”的频率为362,也就是说,选3班的可能性有362.逐一分析可知,每个班被选中的可能性都不同.7班被选中的可能性最大,是366=61,其次是6班和8班,约为365.可能性最小的是2班和12班,可能性只有361.经过以上分析可以发现,这种方法是不公平的.。