人教版九年级数学上册22.3几何图形的最大面积学案
人教版九上数学第二十二章22.3第1课时几何图形的最大面积
因此，当 l b 30 15 100 2a 2 (1)
时，有
S最大值
=
302 4 (1)
225，
O
l/m 5 10 15 20 25 30
也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大.
变式 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边 靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大？最大面积是多少？
引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． h/m h= 30t − 5t 2(0≤t≤6)
追问3 根据观察，小球的最高 40 点对应函数图象的哪个点呢？
20 顶点.
O 1 2 3 4 5 6 t/s 追问4 小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？
顶点的纵坐标.
追问5 如何求出小球的最大高度？
鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解
决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩
形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答
下列问题：
BA
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
直接写出 x 的取值范围；
15m
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大?
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大？最大面积是多少？
想一想：当墙长发生改变时，根据问题
(1)，什么会发什么改变，什么不变？
x
x
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
60 - 2x
由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x)
x＞0 = −2(x − 15)2 + 450. 60 − 2x＞0 ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18，
人教版九年级数学上册 22.3.1 实际问题与二次函数--最大面积教案
23.3.1实际问题与二次函数——图形面积的最值问题一、教学目标：能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。
二、教学重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。
三、教学过程：课前准备：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1）5-4-y 2x x = (配方法) (2) 43-y 2+-=x x （公式法）问题1 二次函数 c bx x ++=2a y 的最值由什么决定？归纳：实数范围内二次函数c y 2++=bx ax 的最值在 顶点 取得， 即当a 2b-x =时，a b ac 44y 2最值-=求下列函数的最大值和最小值()()1323y 12≤≤--+=x x x ()()13108y 22≤≤----=x x x求函数最值的方法归纳（1）当自变量的范围没有限制时，二次函数c y 2++=bx ax 的最值在顶点取得（2）当自变量的范围有限制时，二次函数c y 2++=bx ax 的最值可以根据以下步骤来确定1. 转化为顶点式求出顶点坐标及对称轴2. 判断x 的取值范围与对称轴的位置关系.3. 根据二次函数的性质，确定当x 取何值时函数有最大或最小值.4. 然后根据x 的值，求出函数的最值.例1：用总长为20m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长x 的变化而变化。
当x 是多少时，场地的面积S 最大？A BD变式：1、如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长14米，设菜园垂直于墙的一边为x 米，面积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？2、如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长8米，设菜园垂直于墙的一边为x 米，面积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？课堂小结（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？拓展练习1：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从A 始向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始向C 以2cm/s 的速度移动。
九年级数学人教版(上册)22.3第1课时二次函数与图形面积
Q
A P 图1 B
侵权必究
当堂练习
4、如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+ BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面 积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
y 1 x(10 x) 1 ( x 5)2 25 .
2
2
2
当x＝5时, y有最大值 25 . 2
S 60 x • x 1 x2 30x 1 (x 30)2 450
2
2
2
侵权必究
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
不正确.
问题5 如何求自变量的取值范围？
0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.
侵权必究
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
侵权必究
讲授新课
1
合作探究
求二次函数得最大（或最小）值
问题1
二次函数 y ax2 bx c 的最值由什么决定？
y
x b
2a
y 最大值
x b 2a
O
x
最小值
O
x
二次函数 y ax2 bx c 的最值由a及自变量的取值范围决定.
侵权必究
讲授新课
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？ 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与
桐城市第三中学九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的最大面积教
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标． 解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y＝－16x 2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.8 圆内接正多边形1．掌握正多边形和圆的关系．2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．4．能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形．重点掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．难点正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．一、复习导入1．什么叫正多边形？2．正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？3．以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？引导学生得出：①正多边形的顶点都在圆上；②圆经过正多边形的所有顶点．二、探究新知1．圆内接正多边形的概念定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．(1)把一个圆n等分(n≥3 )，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．(2)如图，五边形 ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为 M，OM 是这个正五边形的边心距.2．尺规作一个已知圆的内接正多边形(1)用尺规作一个已知圆的内接正六边形．作法：①作⊙O的任意一条直径FC；②分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.(2)用尺规作一个已知圆的内接正四边形． (3)思考：作正多边形有哪些方法？ 三、举例分析例 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为 G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．(1)正六边形的中心角是多少度？(2)正六边形的中心角的一半是多少度？ (3)如何作出正六边形的边心距？(4)你能利用已知条件构造直角三角形吗？ (5)你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？ 解：连接OD.∵六边形ABCDEF 为正六边形． ∴ ∠COD ＝360°6＝60°.∴ △COD 为等边三角形． ∴ CD ＝OC ＝4.在 Rt △COG 中，OC ＝4，CG ＝12BC ＝2，∴OG ＝2 3.∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为 2 3.总结：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．四、练习巩固1．正三角形的边心距、半径和高的比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶ 2 ∶ 3C ．1∶ 2 ∶3D ．1∶2∶ 32．已知正六边形的外接圆半径为3 cm ，那么它的周长为________cm .3．已知：如图，正三角形ABC ，求作：正三角形ABC 的外接圆和内切圆．(要求：保留作图痕迹，不写作法)五、课堂小结1．易错点：(1)求正多边形的中心角、边长和边心距；(2)用尺规作圆内接正多边形．2．归纳小结：(1)正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；(2)顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆；(3)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3．方法规律：(1)把一个圆分成几等分，连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°；边数(2)正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．六、课外作业1．教材第98页“随堂练习”．2．教材第99页习题3.10第1、2、3、4、5题．本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表达有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.22.1 比例线段第1课时相似图形1.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .2.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在如图所示的4×4的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由).4.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.5.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE是多大?。
人教版初中数学九年级上册第22章22.3(1)面积最值问题 导学案
22.3.1 《面积最值问题》班级： 组名： 姓名：____________【学习目标】能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.【学习重点】利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.【学习难点】利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案【学习过程】（一）创设情景，引入新课1.在一次函数的实际应用中，我们可以利用哪些知识点求出实际问题的最大值或最小值？2.一般的，抛物线在何处取得最值？（二）自主学习，探究新知（自学教材 49---50页，完成下列问题）1.问题中画函数图象时要注意什么问题？2..探究1中，求S 的最大值先要写出S 与l 的函数关系式为 其中l 的取值范围是当l= 时，S 有最大值，且最大值S= ,课本是通过求抛物线的顶点纵坐标来求S 的最大值，你还有别的方法吗？【想一想】面积最值问题应该设图形一边长为______，所求面积为因变量，建立______的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的______.（三）应用新知，展示交流1.用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.2564 m 2B.34 m 2C.38m 2 D.4 m 22.（成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC 两边)，设AB=x m.(1)若花园的面积为192 m 2,求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD,AD 的距离分别是15 m 和6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值.（四）课堂小结，盘点收获本节课你学到了什么知识？（五）当堂检测，巩固拓展1.(淮安中考)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.2.(朝阳中考)如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N=30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点重合为止.设BM=x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.下列结论：①当0≤x ≤332时，y 与x 之间的函数关系式为y=321x 2； ②当332<x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式为y=2x-332； ③当MN 经过AB 的中点时，y=321(cm 2)； ④存在x 的值，使y=21S 正方形ABCD(S 正方形ABCD 表示正方形ABCD 的面积). 其中正确的是______(写出所有正确结论的序号)（六）整理学案，布置作业1. 整理学案2. 布置作业课本52页4，5，6，7，9。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数 实际问题与二次函数第1课时教案
22.3实际问题与二次函数（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件3：排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？（二）探索新知探究二次函数与几何图形面积的最值出示课件5：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师分析：可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.教师问：如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6）学生答：由于抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，当2b x a=-时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小（大）值244ac b y a -=．师生共同解答：（出示课件7）解：303225ba -=-=⨯-（），2243045445ac b h a --===⨯-（）．小球运动的时间是3s 时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m．师生共同总结：一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当2b x a =-时，二次函数有最小（大）值244ac b y a-=．出示课件8：例用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时，场地的面积S 最大？问题1矩形面积公式是什么？问题2如何用l 表示另一边？问题3面积S 的函数关系式是什么？学生思考后，师生共同解答.解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm,所以另一边长为（60l 2-）m.场地的面积S=l(30-l)，即S=-l 2+30l(0<l<30).因此，当301522(1)b l a =-=-=⨯-时，S有最大值22 430225. 44(1)ac ba--==⨯-即当l是15m时，场地的面积S最大.教师点拨：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：（出示课件10）1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.变式1如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（出示课件11）教师问：变式1与例题有什么不同？学生答：一边靠墙.教师问：我们可以设面积为S，如何设自变量？学生答：设垂直于墙的边长为x米.教师问：面积S的函数关系式是什么？学生答：S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.教师问：如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12）学生答：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.教师问：如何求最值？学生答：最值在其顶点处，即当x=15m 时，S=450m 2.变式2如图，用一段长为60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（出示课件13）教师问：变式2与变式1有什么异同？学生答：墙长不一样.教师问：可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？学生答：设垂直于墙的边长为x 米.S＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.教师问：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边与面积？学生答：设矩形面积为Sm 2,与墙平行的一边为x 米，则22601130(30)450.222x S x x x x ∙-==-+=--+教师问：当x=30时，S 取最大值，此结论是否正确？（出示课件14）学生答：不正确.教师问：如何求自变量的取值范围？学生答：0＜x≤18.教师问：如何求最值？学生答：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S 有最大值是378.教师总结：（出示课件15）实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.出示课件16：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？师生共同分析后，生独立解决.解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2,即：214.2S x x =-+当x=2b a-=4,另一边为4时,S 有最大值244ac b a-＝8，∴当两直角边都是4时，直角三角形面积最大，最大值为8.（三）课堂练习（出示课件17-25）1.如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.3.如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s 的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.参考答案：1.解：⑴设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45.当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10.答：AD的长为10m；⑵设AD=xm，∴S=12x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a 时，S 随x 的增大而增大；当x=a 时，S 的最大值为50a﹣12a 2，综上所述，当a≥50时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50时，S 的最大值为50a﹣12a 2．2.2225m 83.34.解：令AB 长为1，设DH=x，正方形EFGH 的面积为y，则DG=1-x.2211114(1)2(01).222y x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯-=-+<<当x=12时，y 有最小值12.即当E 位于AB 中点时，正方形EFGH 面积最小.5.解：40(1)(2x y x -=2240120,22x x x x -==-+即2120(025).2y x x x =-+<≤x x y 202122+-=）（)40(212x x --=)202040(21222-+--=x x200)20(212+--=x ∵0＜x＜25，∴当x=20时，满足条件的绿化带面积y 最大=200.6.解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x 2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x 2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m 时，矩形面积最大，为9m 2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.（四）课堂小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.（五）课前预习预习下节课（22.3第2课时）的相关内容.七、课后作业1教材习题22.3第4、5、6、7题.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
最新人教版九年级数学上册《几何图形的最大面积》优质教案
第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系.一、知识链接写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.(1) y=x 2－4x －5；(配方法) (2) y=－x 2－3x+4.(公式法)二、要点探究探究点1：求二次函数的最大(或最小)值引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 h= 30t －5t 2(0≤t ≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？问题1 二次函数2y ax bx c =++的最值由什么决定？问题2 当自变量x 为全体实数时，二次函数2y ax bx c =++的最值是多少？问题3 当自变量x 有限制时，二次函数2y ax bx c =++的最值如何确定？试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：例1 求下列函数的最大值与最小值.(1) 232(31)y x x x =+--≤≤ (2) 2121(31)5y x x x =--+-≤≤方法归纳：当自变量的范围有限制时，二次函数2y ax bx c =++的最值可以根据以下步骤来确定：1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x 的取值范围.3.判断，判断x 的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x 取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.探究点2：二次函数与几何图形面积的最值例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？(1) 矩形面积公式是什么？(2) 如何用l表示其邻边的长？(3) 面积S的函数关系式是什么？(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？变式题如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m.矩形菜园的面积S=____________.想一想如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？解决问题：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 与(1)有什么区别？试一试在(2)中，求自变量的取值范围.问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.三、课堂小结A ．-2B ．-1C ．1D ．22.二次函数y=-2x 2-4x+3（x ≤-2）的最大值为________.3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.4.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m 的栅栏围住．设绿化带的边长BC 为xm ，绿化带的面积为ym 2．(1) 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(2) 当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？5.某广告公司设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m 2).(1) 写出S 与x 之间的关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.能力提升如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cm/s 的速度移动)不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始BC 以4cm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过 秒，四边形APQC 的面积最小.参考答案自主学习知识链接解：（1）y=x 2-4x-5=(x-2)2-9,开口方向：向上；对称轴：直线x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；(2)y=－x 2－3x+4,开口方向：向上；对称轴：直线x=322b a -=-;顶点坐标：24325,,2424b ac b aa ⎛⎫-⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；最大值为242544acb a -=. 课堂探究二、要点探究探究点1：求二次函数的最大(或最小)值问题1 二次函数2y ax bx c =++的最值由a 及自变量的取值范围决定.问题2 当a ＞0时，y 最小值=244ac b a -，此时x=2b a -.当a ＜0时，y 最大值=244ac b a -，此时x=2b a-. 问题3 先判断x=2b a -是否在限定范围内，若在，则二次函数在x=2b a-时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.试一试 解： t=303,22(5)b a -=-=⨯-∵0≤3≤6，∴h=2243045.44(5)ac b a --==⨯-则小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m ．例1 解：（1）y=239224x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭,即y=2314.24x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∵3312-<-<， 所以当x=32-时，y 最小值=14.4-当x=1时，y 最大值=1+3-2=2. （2）y=()2156,5x -++∵53-<-，即x 在对称轴的右侧.函数的值随着x 的增大而减小.所以当x=-3时，y 最大值=26.5当x=1时，y 最小值=6.5- 探究点2：二次函数与几何图形面积的最值例2 解：（1）矩形面积=长×宽；（2）邻边长为(30-l)米；（3）S=(30-l)l=-l 2+30l.（4）解：根据题意得S=-l 2+30l (0<l<30).因此，当l=301522(1)b a -=-=⨯-时，S 有最大值22430225.44(1)ac b a --==⨯-也就是说，当l 是15m 时，场地的面积S 最大. 变式 （1）分析：(60-2x) x(60－2x)＝－2x 2＋60x想一想 0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.解决问题 解：设垂直于墙的边长为x m ，则平行于墙的边长为(60-2x)m.∴矩形菜园的面积S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.由题意得0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.∵S ＝－2x 2＋60x=-2(x 2－30x)=-2(x －15)2+450，∴当x=15m 时，S 取最大值，此时S=450m 2.(2) 问题1 可利用的墙的长度不一样试一试 21≤ x ＜30.问题2 解：设垂直于墙的边长为x m ，由（1）知S ＝－2x 2＋60x=-2(x 2－30x)=-2(x －15)2+450，当21≤ x ＜30时，S 随x 的增大而减小，当 x =21时，S 取得最大值，此时S=-2×(21－15)2+450=378（m 2）.例3 解：设矩形窗框的宽为x m ，则高为63m 2x -，这里应有x ＞0，630,2x ->故0＜x ＜2.矩形窗框的透光面积y 与x 之间的函数关系式是632x y x-=，即233.2y x x =-+配方得233(1).22y x =--+所以当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.x=1满足0＜x ＜2，这时63 1.5.2x -=因此，所做矩形窗框的宽为1 m 、高为1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m 2.当堂检测 1.A 2.3 3.84.解：（1）∵BC=xm ，40m 2x AB -∴=.240120(025).22x y x x x x -⎛⎫∴==-+<≤ ⎪⎝⎭（2）22211120(40)(20)200.222y x x x x x =-+=--=--+∵0＜x ≤25，∴当x=20时，绿化带的面积取得最大值，最大值为200 m 2.5.解：(1)设矩形一边长为x ，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x 2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x 2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m 时，矩形面积最大，为9m 2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.能力提升 3教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十二章22.3《最大面积是多少》教案
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相当热烈。他们积极参与，互相交流，共同探索最大面积问题。从成果展示来看，大部分小组能够成功解决问题，并将所学知识应用到实际情境中。但也有少数小组在讨论中偏离了主题，今后我需要在这些小组中加强引导和关注。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最大面积在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解最大面积的基本概念。最大面积是指在给定条件下，所能得到的面积的最大值。它在工程设计、资源优化等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何在给定底或高的情况下，求三角形的最大面积，以及这个原理如何帮助我们解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了最大面积的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最大面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版九年级上册数学 22.3 第1课时 几何图形的最大面积 学案
2.4 二次函数与一元二次方程第1课时图形面积的最大值学习目标:掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．学习重点:本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．学习难点:由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．学习过程:一、例题及练习：例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?练习1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．4.练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？二、课后练习：1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？2．在一块长为30m ，宽为20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm ，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym 2，则y 与x 之间的函数表达式是，自变量x 的取值范围是 ．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是，最小值是 ，这个函数图象有何特点？ 3．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？4．把3根长度均为100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？5．周长为16cm 的矩形的最大面积为，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ． 6．当n= 时，抛物线y=－5x 2＋（n 2－25）x －1的对称轴是y 轴．7．已知二次函数y=x 2－6x ＋m 的最小值为1，则m 的值是 ．8．如果一条抛物线与抛物线y=－31x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ． 9．若抛物线y=3x 2＋mx ＋3的顶点在x 轴的负半轴上，则m 的值为． 10．将抛物线y=3x 2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）A ．y=3（x ＋2）2＋1B ．y=3（x －2）2－1C ．y=3（x ＋2）2－5D ．y=3（x －2）2－2 11．二次函数y=x 2＋mx ＋n ，若m ＋n=0，则它的图象必经过点（ ）A ．（－1，1）B ．（1，－1）C ．（－1，－1）D ．（1，1） 12．如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知：如图1，D 是边长为4的正△ABC 的边BC 上一点，ED ∥AC 交AB 于E ，DF ⊥AC 交A C 于F ，设DF=x ．（1）求△EDF 的面积y 与x 的函数表达式和自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，△EDF 的面积最大？最大面积是多少；（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD 上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？。
人教版九年级上册数学 22.3 第1课时 几何图形的最大面积 教案
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究 探究点：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。
人教版九年级上册数学同步教学课件-第22章-22.3 第1课时 几何图形的最大面积
随堂即练
1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,
那么最大的透光面积是
8 m2 3
.
C
Q
图1
A P 图2 B
2.如图2，在△ABC中，∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点
A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点
B开始沿 BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别
（1）y=x2-4x-5; (配方法)
(2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标： （2，-9）；最小值：-9；
（2）开口方向：向下；对称轴：x= （ - 3 ， 25 ）；最大值： 25 .
-
3 2
；顶点坐标：
24
4
数学课堂教学课件设计
二次函数与几何图形面积的最值
解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x). 根据题意，得S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9， ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.
数学课堂教学课件设计
几何面积 最值问题
线的顶点是这个函数的图象的最 20
高点，也就是说，当t取顶点的
横坐标时，这个函数有最大值. O 1 2 3 4 5 6
t/s
数学课堂教学课件设计
新课讲解
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值
新人教部编版初中九年级数学上册22.3 第1课时 几何图形的最大面积
大值为 7 .
长冲中学-“四学一测”活力课堂
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3．求出下列二次函数的最值： (1)y＝x2＋6x－6； 解：y＝(x＋3)2－15. 当x＝－3时，y取最小值，最小值为－15. (2)y＝3＋8x－2x2. 解：y＝－2(x－2)2＋11. 当x＝2时，y取最大值，最大值为11.
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(3)当x为何值时，改造后的矩形苗圃AEFG有最大面 积？并求出最大面积． (3)解析式变形为y＝－2(x－2)2＋72. ∵a＝－2<0， ∴当x＝2时，改造后的矩形苗圃AEFG有最大面积， 最大面积为72平方米．
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5．(2019－2020·松滋期中)如图，四边形ABCD的两
条对角线互相垂直，AC＋BD＝16，则四边形ABCD
的面积最大值是( B )
A．16
B．32
C．36
D．64
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6．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的 一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－x2＋ 24x(0＜x＜24)，那么当矩形面积最大时，矩形的一 条对角线长为 12 2 m .
∴当x＝ 21 时，菜地的面积最大，最大值为 441 平
2
4
方米．
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13．如图，四边形ABCD是一块边长为8米的正方形 苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状， 其中点E在AB边上，点G在AD的 延长线上，DG＝2BE.设BE的长 为x米，改造后苗圃AEFG的面积 为y平方米．
人教版九年级数学上第二十二章 二次函数22.3第三课时最大面积是多少教学设计.doc
第二十二章二次函数22.3第三课时最大面积是多少陕西省旬邑县张洪镇原底社区初级中学李建成一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：通过第七节的学习，学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了处理经验。
二、教学任务分析教学目标：(一)知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．(二)过程与方法1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．(三)情感态度与价值观1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题．三、教学过程分析第一环节 创设问题情境，引入新课上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。
初中九年级上册数学教案：22.3实践与探索---面积问题教学设计
1在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境-建立方程模型-解决问题”这一数学化的过程，而且学生已经学会了解一元二次方程。
初三学生的思维应该说已经具有了一定的水平，对于简单的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决。
学生对于面积问题的分析，图形的转化，根的取舍等需要教师的适时点拨、提升、总结，提高学生学习的兴趣。
教学目标要求学生掌握列一元二次方程应用题的一般步骤九年级数学学科教学设计授课教师：刘秀芝1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．平行四边形的面积公式是什么5．圆的面积公式是什么（一）、问题1．在长32米，宽20米的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的“十”字形道路（如图），余下的部分做绿地，要使绿地面积为540平方米，路宽为多少？解法一: 将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决设道路的宽为xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使图形转化为右图，直接表示草地的面积，则可列方程：（20-x）（32-x）=540整理，得：x2-52x+100=0解得：x1=2,x2=50（不合题意，舍去）答：（略）解法二:（表示道路的面积）32X+20X-X2=32×20-540注意：在求得解之后要进行实际题意的检验练一练如图，用一块长80㎝，宽60㎝的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为1500㎝2的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为xcm那么长方体盒子底面的长为------，底面的宽为------，为了求出x的值，教师启发、引导、学生回答出可列的方程程----- 学生根据自己已有的经验先自主探究再小组交流然后问题2：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m，则上口宽为（x+2），•渠底为（x+0.4）m，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为x m 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：（x+2+x+0.4）x = 1.6整理，得：5x2+6x-8=0 师生共同解决教师启发、引导、学生回答1.列一元二次方程解应用题的一般步骤，审、设、列、解、验、答。
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2.4 二次函数与一元二次方程
第1课时图形面积的最大值
学习目标:
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习重点:
本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．
学习难点:
由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
学习过程:
一、例题及练习：
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
练习
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
4.练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
二、课后练习：
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
2．在一块长为30m ，宽为20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm ，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym 2
，则y 与x 之间的函数表达式是
，自变量x 的取值范围是
．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是
，最小值是
，这个函数图象有何特点？
3．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4．把3根长度均为100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5．周长为16cm 的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实
际上此时矩形是
．
6．当n=
时，抛物线y=－5x 2
＋（n 2
－25）x －1的对称轴是y 轴．
7．已知二次函数y=x 2
－6x ＋m 的最小值为1，则m 的值是 ．
8．如果一条抛物线与抛物线y=－3
1x 2
＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它
的表达式是
．
9．若抛物线y=3x 2
＋mx ＋3的顶点在x 轴的负半轴上，则m 的值为
．
10．将抛物线y=3x 2
－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A ．y=3（x ＋2）2
＋1 B ．y=3（x －2）2
－1 C ．y=3（x ＋2）2－5
D ．y=3（x －2）2
－2
11．二次函数y=x 2＋mx ＋n ，若m ＋n=0，则它的图象必经过点（ ） A ．（－1，1） B ．（1，－1）
C ．（－1，－1）
D ．（1，1）
12．如图是二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则
点P 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD 上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？。