一种无约束最优化问题的ε—算法
第三章 无约束最优化方法
f x f x
*
所以函数f(x)在 x * 处取得局部极小值，称x *为
局部极小点。 而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。 函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？
5
第三章 无约束最优化方法
下凸的一元函数
可以证明凸规划问题的局部最小点就是其全局最小点。
6
第三章 无约束最优化方法
f x 0
x Rn
的问题。一般地，这是一个非线性方程组， 17 可对其采用迭代法求解之。
第三章 无约束最优化方法
下降迭代算法
算法：给定目标函数 f x 的极小点的一个初始估计点 x0 ， 然后按一定的规则产生一个序列 xk ，这种规则通常称 为算法。如果这个序列的极限恰好是问题（3-1）的极 小点 x* ，即
正定矩阵 设 Q是n×n 阶对称矩阵。
若 x Rn 且 x 0 都有 x T Q x 0 ，则称矩阵Q 是正定的 若 x R
n n
T x 都有 Q x 0 ，则称矩阵Q 是半正定的
若 x R 且 x 0 都有 xT Q x 0 ，则称矩阵Q 是负定的 若 x Rn 都有 x T Q x 0 ，则称矩阵Q 是半负定的
为正定的定义是：若对任何向量d (d!=0)，有
d T 2 f x* d 0
对称正定方阵 2 f x* 的检验方法是所有主子式均大于零。 二、迭代方法 求解 无约束最优化问题 T f x min x x1, x2 , , xn 的问题可以转变为求解n 元方程组
26
3-2
一维搜索（0.618法）
设给定一个较小的步长δ，从α=0开始，先计算φ(0)，然 后计算在 (1.618)0 的函数值φ(δ)；如果φ(δ)<φ(0)， 则讲步长δ增大1.618倍，得到一个新点 1.618 2.618 , 计算φ(2.618δ)；如果φ(2.618δ)仍小于φ(δ)，再继续增加 步长为原步长的1.618倍，如下图所示，从而得到一系列 j 点的αj的值为 '
无约束问题的最优化条件
f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
k 满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk )gdk 0
ห้องสมุดไป่ตู้
d
T k 1
gd
k
0
14
a
5.3 牛顿法
自动化学院
15
a
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
16
a
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
5.1 无约束问题的 最优性条件
自动化学院
1
a
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点，一般求全局极小点极为困难，仅 当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。
2
a
二、无约束问题最优性条件
的极小值,0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
ε约束算法
ε约束算法简介ε约束算法是一种用于解决多目标优化问题的算法。
在多目标优化问题中，存在多个冲突的目标函数需要同时优化，而无法找到一个全局最优解。
ε约束算法通过引入一个参数ε来实现目标函数之间的权衡，并找到一组非劣解（Pareto最优解）。
基本原理ε约束算法的基本原理是将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过引入一个约束条件来限制解空间。
具体步骤如下：1.初始化种群：随机生成一组初始解作为种群。
2.计算适应度：根据目标函数计算每个个体的适应度值。
3.确定ε值：选择一个合适的ε值作为初始阈值。
4.进行交叉和变异操作：使用交叉和变异操作生成新的个体，并计算其适应度值。
5.检查是否满足约束条件：对于每个新生成的个体，检查其是否满足约束条件。
若满足，则加入非劣解集合；若不满足，则丢弃。
6.更新ε值：根据非劣解集合中最差个体的适应度值，更新ε值。
7.终止条件判断：如果满足终止条件，则算法结束；否则，返回步骤4。
算法流程ε约束算法的流程如下：1. 初始化种群2. 计算适应度3. 确定ε值4. 进行交叉和变异操作5. 检查是否满足约束条件6. 更新ε值7. 终止条件判断优缺点优点•ε约束算法能够找到一组非劣解，提供了多样化的解决方案。
•算法简单易懂，实现较为容易。
•可以处理具有多个目标函数和约束条件的问题。
缺点•ε约束算法在处理高维问题时可能会遇到维度灾难。
•需要调整合适的ε值，对结果有一定影响。
•算法的收敛性和全局最优性无法保证。
应用领域ε约束算法在许多领域都有广泛应用，包括工程设计、经济学、环境科学等。
例如，在工程设计中，需要同时考虑成本、质量、可靠性等多个指标，而这些指标之间往往存在冲突。
使用ε约束算法可以找到一组平衡的解决方案，帮助工程师进行决策。
总结ε约束算法是一种用于解决多目标优化问题的算法，通过引入一个参数ε来实现目标函数之间的权衡。
它能够找到一组非劣解，提供了多样化的解决方案。
尽管存在一些缺点，但在许多领域都有广泛应用。
无约束常用优化方法
步长 ，作前进（或后退）试探．如试探成功（目
标函数值有所减小），则按步长序列
，加
大步长（注意每次加大步长都是由初始点算起），直
至试探失败（目标函数值比前一次的有所增加）时，
则取其前一次的步长作为沿这个坐标轴方向搜索的最
优步长，并计算出该方向上的终止点，而后以这个终
止点为始点再进行下一坐标轴方向的搜索，并重复上
处
显然 是二次函数，并且还是正定二次函数，所以 是凸函数且存在唯一全局极小点．为求此极小点，令
即可解得
即
（5.9）
对照基本迭代公式,易知，式（5.9）中的搜索方向
步长因子
方向
是直指点 处近似二次函数
的极小点的方向．此时称此方向为从点 出发的
Newton方向．从初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，
沿Newton方向并取步长 的算法称为Newton法．
另外，共轭梯度法不要求精确的直线搜 索．但是，不精确的直线搜索可能导致迭代 出来的向量不再共轭，从而降低方法的效 能．克服的办法是，重设初始点，即把经过 n次迭代得到的Xn作为初始点重新迭代．
五、坐标轮换法
在坐标轮换法中，沿各个坐标轴方向进行一维搜索
时，常选用最优步长法或加速步长法．加速步长法从
初始点出发，沿搜索（坐标轴）方向先取一个较小的
三、共轭方向法
1、概念
通常，我们把从任意点
出发，依次沿某组共轭
方向进行一维搜索的求解最优化问题的方法，叫做共
轭方向法．
2、特点
• 一般地，在n维空间中可以找出n个互相共轭的方向，对于n元正 定二次函数，从任意初始点出发，顺次沿这n个共轭方向最多作n 次直线搜索就可以求得目标函数的极小点．这就是共轭方向法的 算法形成的基本思想．
多目标优化ε指标-概述说明以及解释
多目标优化ε指标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述多目标优化是一种在优化过程中同时考虑多个冲突目标的方法。
在现实生活中，我们经常面临诸如时间与成本、质量与效率等多个相互制约的目标。
传统的优化方法往往只能处理单一目标的问题，无法充分考虑多样化的需求。
因此，多目标优化成为解决这类问题的有效手段。
多目标优化中的一个重要概念是ε指标（epsilon indicator），它通过量化解决方案的效果，衡量解空间中的平衡性和多样性。
ε指标可以用于评估多个解的质量，并帮助寻找最优解的近似集合。
本文将对多目标优化的概念进行介绍，并重点探讨ε指标的应用。
首先，我们将阐述多目标优化的基本概念和研究背景。
然后，我们将详细介绍ε指标的原理和计算方法。
最后，我们将总结ε指标在多目标优化中的优势与局限性，以及可能的改进方向。
通过本文的研究，我们希望能够深入理解多目标优化和ε指标的相关概念，并为实际问题的求解提供一种有力的方法。
多目标优化的应用广泛，涉及到许多领域，如工程设计、交通规划、金融投资等。
因此，对于ε指标的深入研究和应用将具有重要的实际意义。
1.2 文章结构本文将按照如下结构进行论述：第一部分为引言部分，介绍了整篇文章的背景和意义。
在引言部分中，首先概述了多目标优化问题的主要特点和应用场景，强调了多目标优化对于实际问题求解的重要性。
随后，简要介绍了文章的结构，明确了文章的目的和主要内容。
第二部分为正文部分，详细论述了多目标优化的概念和ε指标的介绍。
在这一部分中，首先对多目标优化的概念进行了阐述，介绍了多目标优化问题与单目标优化问题的区别，并讨论了多目标优化问题中的一些常见挑战和困难。
随后，重点介绍了ε指标作为一种常用的多目标优化评价指标，详细解释了ε指标的原理和应用方法，以及与其他评价指标的对比。
第三部分为结论部分，总结了ε指标在多目标优化中的应用，并对其优势与局限性进行了讨论。
在这一部分中，分析了ε指标在多目标优化问题求解中的实际效果，并探讨了其优势和局限性。
matlab实验黄金分割法
matlab实验黄金分割法黄金分割法（Golden Section Method）是一种用于解决最优化问题的数值计算方法。
在数学上，最优化问题可以表述为寻找某个函数的最小值或最大值。
而黄金分割法是一种无约束优化算法，常被用于一维函数的最优化问题。
在本文中，我们将介绍黄金分割法的原理，并通过Matlab实验来演示其应用。
黄金分割法的原理基于黄金分割比，即1：0.618。
黄金分割法通过将搜索区间不断缩小，直到满足指定的精度要求，最终找到函数的极值点。
下面我们将逐步介绍黄金分割法的步骤：1. 初始化：给定初始搜索区间[a, b]，以及所需的精度要求ε。
2. 计算区间长度：计算区间长度L = b - a。
3. 计算划分点：计算第一个划分点x1 = a + 0.382L，以及第二个划分点x2 = a + 0.618L。
4. 计算函数值：计算在划分点x1和x2处的函数值f(x1)和f(x2)。
5. 更新搜索区间：比较f(x1)和f(x2)的大小关系，若f(x1) < f(x2)，则新的搜索区间为[a, x2]，否则为[x1, b]。
6. 判断收敛：如果L < ε，算法收敛，停止迭代；否则，返回步骤2。
接下来，我们将通过一个实例来演示黄金分割法在Matlab中的应用。
假设我们要优化以下函数：```matlabf(x) = x^2 + 5*sin(x)```首先，我们需要在Matlab中定义这个函数。
在命令窗口中输入以下代码：```matlabf = @(x) x^2 + 5*sin(x);```接下来，我们可以采用黄金分割法来最小化这个函数。
以下是Matlab代码的大致框架：```matlaba = 0;b = 10;epsilon = 0.001;L = b - a;x1 = a + 0.382*L;x2 = a + 0.618*L;while L >= epsilonf1 = f(x1);f2 = f(x2);if f1 < f2b = x2;elsea = x1;endL = b - a;x1 = a + 0.382*L;x2 = a + 0.618*L;end```以上代码中，我们使用了一个while循环来不断更新搜索区间和划分点，直到满足指定的精度要求。
无约束最优化问题的求解算法和应用
无约束最优化问题的求解算法和应用随着科技的发展和应用领域的扩大，无约束最优化问题已经越来越成为一种关注的研究领域。
在现实生活中，无约束最优化问题的求解可以应用在多个方面，比如金融、医学、机械工程等等。
然而，在实际应用中，我们往往需要利用已经发展的优秀算法进行求解。
本文将会介绍无约束最优化问题的求解算法及其应用。
一、无约束最优化问题的概念无约束最优化问题指的是在一定的条件下，通过调整某些变量来最大或最小化指定的目标函数。
这些变量的调整需遵守一定的限制条件，并且通过各种数值分析方法，比如数值解析和计算机数值算法等技术来求解这样的问题。
无约束最优化问题的数学形式一般为：$$ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) $$其中，$x \in \mathbb{R}^n$ 是 $n$ 维空间中的一个向量，$f(x)$ 则是目标函数，该函数需要满足一定的条件，比如连续、可微、凸等等。
当函数连续、可微的情况下，就能有效地应用求导法来求解这个问题。
二、基于梯度下降的算法在求解无约束最优化问题时，最常用的算法就是基于梯度下降的算法。
该算法通过沿着负梯度的方向一步步得逼近全局极小值。
算法的主要流程如下：1、初始化变量$x$，比如$x=0$;2、计算目标函数$ f(x)$ 的梯度 $\nabla f(x)$;3、计算下降方向 $p$，$p=-\nabla f(x)$;4、选择步长 $\alpha$，更新$x$ $x_{k+1} = x_{k} + \alpha p$;5、重复执行步骤2-4 进行更新，直到满足一定的终止条件为止。
这种方法的收敛性非常好，同时也比较容易实现。
在实际应用中，通常会将其与其他迭代方法组合使用，比如牛顿、拟牛顿等方法来提升其求解精度。
三、基于共轭梯度的算法基于梯度下降的算法虽然求解精度较好，但是当求解目标函数具有高度弱凸性质时，算法的收敛速度会相对较慢。
为了克服这类问题，研究人员往往会采用共轭梯度法。
第三章无约束问题的最优化方法
赋以0.618。
2 ,
；并计算其对应
的函数值。 3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的 坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间 中计算一个新的试验点及其函数值。
如果
令 b , , f f 记N0=0； 2 2 1 2 1 如果 ，则新区间＝ ，
2
2
图2-5 黄金分割法
• 黄金分割法要求插入两点： a1 a (1 )(b a), f1 f (a1 )
a2 a (b a), f 2 f (a2 )
黄金分割法的搜索过程：
1）给出初始搜索区间及收敛精度 2）按坐标点计算公式计算 1
，将
在搜索区间内[a,b] 任取两点a1、b1，令f1＝f（a1）， f2＝f（b1） • (1)如f1<f2, 则缩小的新区间为[a,b1]; • (2)如f1>f2, 则缩小的新区间为[a1,b]; • (3)如f1=f2, 则缩小的新区间为[a1,b1]
f(b1) f(a1) f(a1) f(b1) f(a1) f(b1)
a
a1
b
a
a1
b1 b
a
a1
b1
b
§3.2 一维搜索方法
黄金分割法： • 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对 函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种 方法的适应面相当广。 • 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。 • 在搜索区间内[a,b]适当插入两点，将区间分成三段；利用区间消 去法，使搜索区间缩小，通过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而 得到极小点的数值近似解。 •
ε约束算法
ε约束算法1. 简介ε约束算法是一种多目标优化算法，用于解决具有多个决策变量和多个目标函数的优化问题。
它基于约束优化的思想，通过引入一个参数ε来控制目标函数的权重，从而在保证满足约束条件的前提下，寻找到最优解的近似解集。
ε约束算法最早由Deb等人在2002年提出，是一种非支配排序遗传算法（NSGA）的改进版本。
它通过在遗传算法的基础上引入一个额外的步骤来处理约束条件，并且使用了新的非支配排序和拥挤度距离来确定适应度值。
2. 算法流程ε约束算法主要包括初始化、生成初始种群、计算适应度值、选择、交叉和变异等几个步骤。
2.1 初始化首先，需要确定问题中每个决策变量的取值范围，并设定种群大小、迭代次数和ε值等参数。
然后，随机生成初始种群。
2.2 生成初始种群根据初始化阶段得到的取值范围，随机生成初始种群。
每个个体都由一组决策变量值表示。
2.3 计算适应度值对于每个个体，根据问题的目标函数计算其适应度值。
在ε约束算法中，适应度值由两部分组成：目标函数值和约束违反程度。
2.4 选择根据非支配排序和拥挤度距离的原则，从当前种群中选择出一部分个体作为下一代种群的父代。
2.5 交叉和变异使用交叉和变异操作对父代个体进行操作，生成子代个体。
交叉操作可以通过交换两个个体的决策变量值来产生新的解。
变异操作则是对某个个体的某一个决策变量进行微小的随机扰动。
2.6 更新种群将父代和子代合并，得到新一代种群，并通过非支配排序和拥挤度距离进行筛选，保留一部分优秀的个体作为下一代种群。
2.7 终止条件判断重复执行步骤2.3到2.6，直到达到预定迭代次数或满足终止条件为止。
3. 算法特点ε约束算法具有以下几个特点：•能够处理多目标优化问题：ε约束算法可以同时优化多个目标函数，得到一组近似最优解集。
•考虑约束条件：ε约束算法在目标函数优化的同时，还考虑了约束条件的满足程度，保证了解的可行性。
•适应度值计算：ε约束算法通过引入目标函数值和约束违反程度两部分来计算适应度值，使得个体的选择更加全面。
求解无约束优化问题及非线性方程组的共轭梯度法
求解无约束优化问题及非线性方程组的共轭梯度法求解无约束优化问题及非线性方程组的共轭梯度法一、引言无约束优化问题和非线性方程组是数学和工程领域中常见的问题。
它们的解决对于优化模型的求解以及工程实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍一种常用的求解无约束优化问题和非线性方程组的方法——共轭梯度法，包括算法原理、步骤和性能分析等。
二、共轭梯度法的算法原理共轭梯度法是一种迭代法，它通过计算一系列共轭方向，逐步接近于最优解。
具体而言，共轭梯度法的算法原理如下：（1）初始化。
选择一个起始值x0，设置迭代精度ε，取初始共轭方向d0=g0=-∇f(x0)，其中g0为梯度的初始值。
（2）迭代过程。
从k=1开始，根据共轭方向的性质，可以得到更新公式xk=xk-1+αkdk，其中αk为步长，dk为共轭方向。
通过下面的迭代公式可以计算共轭方向dk：di=(-gi)+βidi-1βi=(gi，gi)/(gi-1，gi-1)其中gi为第i次迭代的梯度。
（3）收敛判断。
如果满足||gk||<ε，则停止迭代计算，得到近似解。
否则，继续迭代。
三、共轭梯度法的步骤根据共轭梯度法的算法原理，可以得到具体的步骤如下：（1）初始化。
选择起始点x0，设置迭代精度ε，取初始共轭方向d0=g0=-∇f(x0)，其中g0为梯度的初始值。
（2）循环迭代。
从k=1开始，计算步长αk，更新公式xk=xk-1+αkdk，计算新的梯度gk，计算共轭方向dk。
（3）收敛判断。
如果满足||gk||<ε，则停止迭代。
（4）输出结果。
输出近似解xk。
四、共轭梯度法的性能分析共轭梯度法在求解无约束优化问题和非线性方程组时具有一些优良的性能特点：（1）收敛性。
共轭梯度法在理想情况下可以在n步内达到最优解，其中n为问题的维度。
（2）存储要求小。
共轭梯度法只需要存储上一次迭代的结果，存储量较小。
（3）不需要二阶导数信息。
与牛顿法等方法相比，共轭梯度法不需要二阶导数信息，计算速度更快。
无约束最优化问题
引言
约束最优化问题：具有辅助函数和形态约束条件的优 化问题。 无约束最优化问题：没有任何限制条件的优化问题。 工程实践中大多数问题都是具有约束的优化问题。
但在优化方法的处理上可以将有约束优化问题 转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行 处理。或者是将有约束优化部分转化为无约束优化 问题，即在远离极值点和约束边界处按无约束来处 理，当接近极值点和约束边界时，在按有约束的优 化问题来处理。 因此无约束优化方法是优化方法的基本组成部 分，也是优化设计中较常用的方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
解题一般步骤
例
多元函数的梯度和对应矩阵
迭代法主要解决两个问题： 如何选择一个最有利的搜索方向 S( k ) 使目标函数沿此方向快速下降，且计算简便。
在搜索方向既定的前提下，如何确定沿此方向 迭代的最优步长 ( k )
无约束最优化方法可以分为两类：直接法和间接法。 直接法又称数值方法，它只需计算目标函数诸点的函 数数值，而不需求其导数，如坐标轮换法，单纯性法 等。 间接法又称解析法，是应用数学极值理论和解析方法， 首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后 根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造各种算法，从 而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速 下降法、共轭梯度法及变尺度法。
第三章非线性规划无约束问题的最优化方法
x0
0p 0
1.919877 还需要经过10次迭代才
能满足精度要求
0.003070
第三节 牛顿法
3. 牛顿法的缺点： 牛顿法要求初始解离最优解不远，若初始点选得离最优解太
远时，牛顿法并不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此， 常将牛顿法与最速下降法结合起来使用。前期使用最速下降法， 当迭代到一定程度后，改用牛顿法，可得到较好的效果。 4. 修正牛顿法 基本思想： 保留了从牛顿法中选取牛顿方向作为搜索方向，摒弃其步长恒 为1的做法，而用一维搜索确定最优步长来构造算法。
2
2
0
2e2 2 3
00 21 0
03
f x3 9
第二节 最速下降法
再从x(3)点 出发，沿x3轴方向e3进行一维搜索：
0 x 3 e3 0
3
00 00 13
f x 3 e3
32
f' 0 x4 x3
3
3
0
3e3 0 0
f x4 0
第二节 最速下降法
因为 x 1
x 4 ，0故.0以1 x(4)点作为新的x(1) ，进行新一轮迭代。
0
1 33 22
f x0
p0
52 5
42
f' x0
p0 5 5 0
22
01
第三节 牛顿法
x1 x0
1 p0 3
2
3
f x1
14
12 2
0
30
12 1 2
2
f x1
所以选取 x* x 1
1 3 作为极小点。 2
第三节 牛顿法
6. 修正牛顿法的缺点： 修正牛顿法虽然比牛顿法有所改进，但也有不足之处：
matlab最优化算法
matlab最优化算法Matlab最优化算法最优化算法是一种通过数学模型和计算方法来寻找最佳解的技术。
在工程和科学领域中，我们经常需要解决各种问题，如寻找最小化误差的参数、最大化效益或最小化成本的决策等。
Matlab是一款强大的数值计算软件，其中包含了许多用于解决最优化问题的算法。
Matlab提供了多种最优化算法，可以根据具体问题的特点选择最适合的算法。
下面将介绍几种常用的Matlab最优化算法。
1. 无约束优化算法：无约束优化算法用于在没有约束条件的情况下寻找最优解。
其中，最常用的算法是“fminunc”。
该算法使用了牛顿法或拟牛顿法，通过逐步迭代来寻找最小值。
在使用该算法时，我们需要提供一个初始点，并指定优化目标函数。
2. 线性规划算法：线性规划算法是一类特殊的最优化算法，用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解。
Matlab中提供了“linprog”函数来实现线性规划算法。
该函数使用了单纯形法或内点法来求解最优解。
3. 二次规划算法：二次规划算法用于求解二次目标函数在线性约束条件下的最优解。
Matlab中的“quadprog”函数可以实现二次规划算法。
该函数使用了内点法或信赖域反射法来求解最优解。
4. 非线性规划算法：非线性规划算法用于求解非线性目标函数在约束条件下的最优解。
Matlab中的“fmincon”函数可以实现非线性规划算法。
该函数使用了积极集法或内点法来求解最优解。
5. 全局优化算法：全局优化算法用于在多个局部最优解中寻找全局最优解。
Matlab中的“fminsearch”函数可以实现全局优化算法。
该函数使用了模拟退火法或遗传算法来求解最优解。
以上只是介绍了几种常用的Matlab最优化算法，实际上Matlab 还提供了许多其他算法，如遗传算法、模拟退火法、粒子群优化等。
在选择最优化算法时，我们需要考虑问题的特点、约束条件以及算法的求解效率等因素。
Matlab最优化算法是一种强大的工具，可以帮助我们解决各种优化问题。
数学优化问题的求解方法
数学优化问题的求解方法数学优化问题是数学中的一个重要分支，它在各个领域都有广泛的应用。
解决数学优化问题的方法多种多样，下面将介绍几种常见的求解方法。
一、暴力搜索法暴力搜索法也称为穷举法，是最简单直接的求解数学优化问题的方法之一。
它通过枚举问题的所有可能解，并计算得出每个解对应的目标函数值，最后找到最优解。
但此方法在问题规模较大时无法满足实际需求，因为其时间复杂度过高。
二、单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划求解算法，主要用于求解线性优化问题。
它通过在顶点集合内移动，不断寻找更优解的方法。
单纯形法具有高效性和可靠性，并且可以处理大规模的线性规划问题，成为了一种常用的求解方法。
三、梯度下降法梯度下降法是一种常见的非线性优化求解算法，主要用于求解无约束的最优化问题。
它通过迭代的方式逐步接近最优解，通过计算目标函数的梯度方向来确定搜索方向。
梯度下降法易于理解和实现，但在复杂的非凸问题中可能会陷入局部最优解。
四、遗传算法遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法，主要应用于复杂的非线性优化问题。
它通过模拟进化过程，利用选择、交叉和变异等操作，生成新的解，并根据适应度评估函数筛选出最优解。
遗传算法适用于多模态和多目标优化问题，但其计算量较大。
五、模拟退火算法模拟退火算法是一种随机搜索算法，主要应用于组合优化和全局优化问题。
它通过模拟固体物质退火过程中的晶格结构演化，寻找出合适的解。
模拟退火算法能够跳出局部最优解，找到全局最优解，但其收敛速度较慢。
六、动态规划法动态规划法适用于具有最优子结构的问题，通过将原问题划分为多个子问题，利用子问题的最优解推导出原问题的最优解。
动态规划法通常需要建立状态转移方程和选择最优策略，通过填表法来计算最优解。
动态规划法的时间复杂度通常较低，适用于一些具有递推性质的优化问题。
总结而言，数学优化问题的求解方法有很多种，每种方法都有其适用范围和特点。
选择合适的求解方法需要根据问题的具体情况来决定，包括约束条件、问题规模、目标函数形式等。
无约束优化方法
三. 内容：
一维搜索： 求最优步长因子α(k)
多维（变量）优化：确定搜索方向 S (k)
黄金分割 切线法 平分法 插值法 格点法
坐标轮换法 最速下降法 共轭方向法 鲍威尔法 梯度法 共轭梯度法 牛顿法 单形替换法 变尺度法
比较两试点函数值，由于 作前进搜索
此时，三个试点 函数值已经出现“高－低－高”特征， 得搜索区间为
3.2 一维搜索方法
α3(2)
黄金分割法 (0.618) ：
序列消去原理：
f (α)
α
α3(1)
α12
α*
α1(1)
0
α11
α21 α22
α1(2)
α1(3)
α3(3)
1.解析法：
定义:
在第K次迭代时，从已知点 X(k)出发，沿给定方向求最优步长因子α(k)，使 f (X(k) + α S(k) )达到最小值的过程，称为一维搜索。
பைடு நூலகம்
对α求导，令其为零。
01
直接法——应用序列消去原理：
02
分数法、黄金分割法
03
近似法——利用多项式函数逼近（曲线拟合）原理：
总结：将优化问题转化为一系列的一维搜索问题
沿方向S的一维搜索
3.2 一维搜索方法
单峰区间解析概念：
在区间 [α1，α3 ]内，函数只有一个峰值，则此区间为单峰区间。单峰区间内，一定存在一点α*，当任意一点α2＞α*时，f(α2)＞f(α*)，
说明： 单峰区间内，函数可以有不可微点，也可以是不连续函数；
3.1 引言
无约束优化方法计算步骤：
若已经取得某设计点x(k)，并且该点不是近似极小点，则在x(k)点根据函数f(x)的性质，选择一个方向S(k)，并且沿此方向搜索函数值是下降的，称下降方向。 当搜索方向S(k)确定后，由x(k)点出发，沿S(k)方向进行搜索， 定出步长因子 (k)，得到新的设计点：
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ｆ ｚ 一ｆ ｘ ） （ ｏ ， ｏ ＋ ７ ｌ ｏ＿ 三 Ｂ（ ， ∈ Ｒ’ （） （ ｏ ≥ （ ） ｚ— ） ７ ＿ ２ ｚ— ＿ ） Ｖ
由此 可见 当 Ａ （ ≤ Ｂ（ ｚ） ｚ）即
ｍ ｌ ｏｌ ≥ （．ｚ— ｏ ｌ ｚ— Ｉ ， ， ）一 ￡ Ｖｚ ∈ Ｒ” ，
收 稿 日 期 ：２ ０ ０ １—１ —２ １ ８
作者简 介 ：王雪峰 （ ９ ３ ． ． １６ 一） 男 陕西 合 阳人 ． 安科 技学 院讲 师 ． 士 ． 从事 数学 教学 与研 究 西 硕 现
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西
安
科
技
学 院
学
报
２０ ０ ２生
成 立 。 中 其
０ 使 ，
ｉ厂 － ）一 ＿ － ）ｉ Ｌ Ｉ ２ － ｚ ， ２∈ Ｎ（７ ＿ ｚ （１ 厂 ｚ ≤ Ｉ １一 ｚ ＩＶ－１－ （２ ３ ２Ｉ ｚ ，） ２
＞ ０ 使 ，
成 立 ， 称 函数 厂 － 在 点 － 带 有 常 数 Ｌ 的李 普 希 兹 函数 。 则 （ ｚ） ｚ为 定 义 ３ 设 厂 －）为 定 义 在 Ｓ （ ｚ 尺”上 的 函 数 ， 如果 存 在
一
算 法 ， 且 证 明 了算பைடு நூலகம்法 的 收 敛 性 。 并
文献标识码 ： Ａ
关 键 词 ：凸 函数 ；￡一算 法 ；￡一次梯 度
中图 分 类 号 ： ２ ４ Ｏ ２
０ 引 言
要 计 算 一 个 函 数 的 次 梯 度 集 是 非 常 困难 的 ， ￡一次 微 分集 计 算 起 来 要 比次 微 分 集 容 易 得 多 。 且 对 而 而
．
厂盯 １ （ ［ 十 １一ａ） ２ ≤ （２） １一ａ ＿（ ２ 一ａ １一ａ Ｉ２ 一－ ｌ， ２ ，７∈ Ｓ， －］ ｚ ３１ ＋（ ） －） （ 厂ｚ ） Ｉ １ ｚ 。 Ｖ，１， ３ ：ｌ ７ ２ ： Ｖａ∈ ［ ０，
１
则称 函 数 ， ）为 Ｓ 上 的强 凸 函 数 。 （ ｒ
．
为 函 数 厂 ） 点 － 沿 方 向 ｇ 的 ￡一导 数 。 （’ 在 ｚ ｎ 可 以 证 明 ａ （ ） ｇ ＝ 卫ｌ Ｘ０
、
（ ， ｇ）
０
定 义 ２ 设 厂 －）为 定 义 在 Ｓ 尺” 的 已 知 函 数 ， － （ ｚ 上 对 ｚ∈ Ｓ， 果 存 在 的 一个 邻 域 Ｎ（ ） 常 数 Ｌ ＞ 如 及
当 Ｘ ０为 ｆ（ － ｚ）的 ￡一驻 点 ， ０∈ ａ （ ｏ ， 时 有 ０≤ （ ｏ 即 － ）此 ｚ － ）一＿ ≤ ￡ ｆ ＝ ｍｉｆ（ ， 果 ０ ｚ 厂 ， ｎ ｒ） 如
ｊ∈ Ｒ”
刁 （ 【 ， 方 向 ｇ（ ）＝ 一口 （ ｏ 是 ｅ一最 速 下 降 方 向 ， 中 口 （７） ａ （１）下 面 就 厂 ） 强 凸 函 ．） 则 ） ｘｏ ｚ ） 其 ５ ∈ ５ 。 １ ｏ ７ ｏ （，是
一
个 非 光 滑 函数 而 言 ， 的 次 梯 度 算 法 一 般 可 以不 收敛 ， 搜 索 方 向 ｇ 它 但 能 使 ａ 厂 ｚ ） ￡ （
＜ ０ 则 算 法 具 ，
有 良好 的 收 敛 性 ， 能 保 证 函 数 在 每 一 步 都 减 少 ￡ 它 。
针 对 问题 ： ｎ －） 其 中 ｆ（ ） 强 凸 函数 ， 先 讨 论 了计 算 ｆ（７ 的 ￡一次 梯 度 的方 法 ， 次 给 出 ｒ ｍｉ ｚ ， ｆ（ － 是 ｚ 首 ，） ２ 其
Ｔ∈ Ｒ
一
种 计 算 该 问 题 的 ￡一算 法 ， 后 证 明 了算 法 的收 敛 性 。 最
１ 基 本 概 念 与 基 本 结 果
定 义 １ 设 ｆ －）是 尺” 有 限 凸 函数 ， 定 ￡＞ ０， 值 （ ｚ 上 取 称
ａ （ ｏ ／ ｇ ＝ ｉ 一［ （ － ）Ｓ ｚ ｎ如 ＿ ｚｏ＋ ａ 厂 ｇ）一ｆ（ ｏ － ）＋ ￡ ｚ ］
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第 ２卷 第 ３期
２（ 年 ９月 ０） ２
西
安
科
技
学 院 学
报
＼ Ｊ （ ２２ ｊ
（ ３ ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＡＮ ＮＩ ’ Ｕ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＣＩ Ｓ ＥＮＣＥ ＡＮＤ Ｉ ＣＨ ＮＯ Ｉ Ｘ Ｙ ＇ Ｅ （
ｐｔ ：（（ ）） ！
文 章 编 号 ：１ ７ —１ １ （ ０ ２ ０ ６ １ ９ ２ ２ ０ ） ３—０ ５ —０ ３９ ３
一
种 无 约 束 最 优 化 问 题 的 ｅ一算 法
王 雪 峰
（ 安科 技 学院 基 础课 部 ， 西 西 安 西 陕 ７０ ５ ） １ ０ ４
摘 要 ：针 对 凸 函数 的 特 性 ， 出 了一种 计 算 凸 函 数 的 ￡一次 梯 度 的 方 法 ， 而 构 造 出 了一 种 ￡ 给 从
ｓ （ ）＝ ｛ ∈ Ｒ”Ｉ ＿ ｌ ０ ｌ ＿≤ ｝ ≥ ０ ＝ ２ｖ 鲫２ ， ， ／ ［ ｏ （ ）＋ ， ． ］∈ ａ厂 ｏ Ｌ（ ） （） １
（） ２
证明 ： 设 （ ）∈ ａ厂 ｚ ） ， ∈ 尺 满 足 ０ ＿（ ｏ ，． ，
来 求 ，应 满 足 的条 件 。 据 ａ （ ）的定 义 ， 式 成 立 的 充 要 条 件 是 根 ｏ 上 ｆ（ ）一ｆ（ Ｏ ≥ （ ｏ ， ｏ ｚ Ｘ） （ ） ｚ— ）＋ （．ｚ— ｏ ， ， ）一 ￡三 Ａ（ ） Ｖ２∈ Ｒ” ｚ， 因 为 函数 ｆ（ ）是 尺”上 的 强 凸 函数 ， 故
数 的情 形 ， 出 计算 （１ ）的数 值 方 法 。 给 ５ ７
引 理 １ 设 函 数 ｆ（１ ５）是 尺”上 具 有 强 凸 常 数 Ｉ 的 强 凸 函数 ， 设 ￡＞ ０， 包 含 关 系 ７ Ｔ ／ 并 则 ａ ５）＋ Ｓ （ ） ＝ ａ （７ ｆ（７ １ ａ ０ （ ５） ＝ １