3第二章中学数学思维
数学教学论(4-7章)
4.1.1 确定中学数学教学目的的依据
基础教育的培养目标： “使学生热爱社会主义，具有爱国主义精神、良好的道德行为 规范，立志为人民服务。要使学生学好文化科学基础知识和 基本技能，培养能力，发展智力；要使学生身心得到正常的 发展，具有健康的体质；还要使学生有一定的审美能力，并 初步掌握一些劳动技能、职业技术技能。”
提高理论水平的关键在于对理论的理解，只有加深 理解，才能更有效地将理论用于实际，并牢固掌握 有关数学知识. • 2．注重联系实际，既要注意用实例说明数学应用， 更要重视通过实例培养学生运用数学知识的能力， 在实际应用中去发现、探索数学问题. • 3．在教学实践中，遵循实践——认识——再实 践——再认识的规律，充分注意数学理论来源于实 践又应用于实践，防止实用主义和理论至上两种不 良倾向.
3.中学数学教学的基本原则
（1）严谨性与量力性相结合的原则； （2）抽象性与具体性相结合的原则； （3）理论与实际相结合的原则； （4）巩固与发展相结合的原则。
Ⅰ.严谨性与量力性相结合的原则
• 一、严谨性与量力性 数学严谨性的表现： 1.数学结论准确、精练； 2.数学推理严密、合乎逻辑。 数学严谨性的特点： (1)具有相对性；(2)严谨程度可以逐步达到，逐步满足.
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学习内容
• • • • • • • • 绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
数学课程的基本理论 数学学习的基本理论 数学思维与数学学习 数学教学的基本理论 中学数学教学方法 中学数学基础知识教学、基本能力培养 中学数学教学工作
第四章 数学教学的基本理论
[主要内容] • 1.中学数学教学目的。 • 2.中学数学教学原则。 [关键词] 目标，目的，数学教学目的，教学规律，教学原则， 数学教学原则
总结版：中学数学教学概论
中学数学教学概论第一章中学数学教学的目的与任务1.1 确定中学数学教学目的的依据* 一、确定中学数学教学目的的依据①教育方针②普通中学的性质和任务③数学学科的特点④学生的年龄特征* 二、普通中学的性质和任务性质：普通中学进行的是基础教育而不是职业（专业）教育任务：要交给学生为继续升学或参加生产劳动所必需的、较系统的科学文化知识；必须联系生产、生活实际，注意培养学生的实践能力和生产劳动的技能技巧，培养学生进入社会后的必要的生存和发展能力。
二、数学学科的特点①数学的抽象性与严谨性②数学的广泛应用性③数学的思辨性和结论的确定性1.2 中学数学教学目的一、“标准”中规定的教学目的1.2011年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》总目标：①获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能②初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识③体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心④具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展新课程标准的四个方面：①知识技能②数学思考③解决问题④情感态度* 2. 2003年《普通高中课程标准（实验）》总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要具体目标：①获得必要的数学基础知识和基本技能②提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力③提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力④发展数学应用意识和创新意识⑤提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成契而不舍的钻研精神和科研态度⑥具有一定的数学视野三维目标：①知识与技能②过程与方法③情感、态度与价值观二、关于基础知识和基本技能基础知识：指“大纲”或“标准”中规定的代数、几何、统计与概率、微积分初步等的概念、法则、性质、公式、定理、公理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法基本技能：指按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器、计算机等信息技术工具）、简单的推理、画图以及绘制图表等基础知识教学中要注意的问题：①要有整体观念②要过程与结论并重③要注意循序渐进、螺旋上升④要注意训练的适度性第二章中学数学教学改革2.1 20世纪中学数学教育改革综述一、克莱因——贝利运动1.克莱因（F.Klein）——主张“以函数为中心”2. 贝利——主张“数学教育应该面向大众”二、新数运动20世纪50年代后期，“数学教育现代化运动”开始（“新数”——新的数学课程）1.新数运动产生的重要原因①社会发展对人的数学素养提出高要求②数学教育中存在着一些亟待解决的问题③20世纪数学的飞速发展④心理学理论的发展⑤高等学校数学教育的发展2.对“新数”的反对意见的体现①升学和就业②具体和抽象③归纳与演绎④理论与实际⑤传统与现代3.新数运动受到挫折的根本原因脱离实际，急于求成。
数学教学论课程标准
数学教学论课程标准一、课程概述《数学教学论》是高等师范院校数学与应用数学（师范）专业的一门重要的专业基础课。
它是在学生掌握了一定的高等数学知识，继心理学、教育学之后开设的，是从事中学数学教育必须掌握的基础理论课程。
通过本课程的教学，使学生掌握数学教育教学的基本理论、原理和方法，为毕业后从事中学数学教育教学工作打下基础。
二、课程目标1.了解本课程的地位、作用、研究对象和特点。
2.理解中学数学教学原则、原理和方法。
3.掌握中学数学教学的基本方法和技能。
4.应用所学的知识、方法、技能等进行模拟训练，锻炼数学教学的能力。
三、课程内容和教学要求这门课程的知识与技能要求分为了解、理解、掌握、应用四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：了解----是指对学习对象知其然，即知道它的内容。
理解----是指对学习对象不仅知其然，且知其所以然。
掌握----是指在理解的基础上，形成自己的知识、方法、能力。
应用----是指运用自己的知识、方法、能力于实践中。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“＊”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定不同要求。
四、课程实施（一）课时安排与教学建议中学数学教学教程是数学教育专业的专业基础课程。
一般情况下在第六学期开设。
安排课堂教学38时，微格实验16时.具体课时安排如下:（二）、教学组织形式与教学方法要求⒈教学班是主要的教学组织，班级授课制是目前教学的主要组织形式。
2.采取启发式、问题式教学。
组织学生围绕所要解决的问题，进行课堂教学，师生一起分析、研讨，充分发挥学生的主动性，提高学生学习数学的积极性。
3.适当使用“指导读书法”。
4.加强实践性环节的教学，每位学生均有10－15分钟的微格试验教学。
五、教材编写与选用教材要在课程标准的统一要求下，实行多样化。
可以选用普通高校重点教材，也可以选用公认的水平较高的教材（含教育部推荐教材）。
选用教材：曾峥，李劲主编. 《中学数学教育学概论》. 郑州大学出版社. 2007年9月第一版.阅读参考书：曹才翰，章建跃著.《中学数学教学概论》.北京师范大学出版社.2008年4月第2版.张景斌等.《中学数学教学教程》.科学出版社. 2000年12月第一版.六、课程评价1．这门学科的评价依据是本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求，该门课程采用平时考核（含作业）（30%）、微格实验（20%）和集中考试（50%）相结合的形式进行。
中学数学教育中学生创新思维能力的培养
中学数学教育中学生创新思维能力的培养【摘要】本文在对创新教育与创新思维界定的基础上，阐述了创新思维能力的重要性，并提出了如何在中学数学教育中培养学生的创新思维能力。
【关键词】中学学生中学数学创新思维能力创新是一个时代发展的需求，是国家兴旺发达的不竭动力，也是一个民族进步的希望，是我国深化教育改革,全面推进素质教学的根本宗旨,也是新课程改革的培养目标之一。
创新的关键在人才，人才靠教育，中学是基础教育，培养学生的创新精神和创新能力，是时代的要求，是历史赋予教育的神圣使命。
在数学教学中通过对学生施以教育和影响，促使他们去认识数学领域的新发现、新思想、新方法等，掌握其一般规律，培养他们具有一定的数学能力和创新意识，为将来成为创新型人才奠定数学素质基础和创新能力基础。
这就要求我们在全面实施数学素质教育的过程中，着重研究和解决如何培养中学生对数学的创新意识、创新思维、创新技能以及创新个性的问题；研究如何从数学的角度去发现和提出问题,并用数学方法加以探索、研究和解决。
一、创新思维与创新教育的涵义1、创新思维创新思维，是指带有创见性的思维。
通过对学生进行创新思维的培养，能够提高学生发现性和开拓性的思维的能力，使学生积极地进行思考，主动地去获取新知。
2、创新教育创新教育，就是指依据创造学的理论、方法并将其运用于教育实践，开发学生的创造力，培养和造就大批创新型人才的新型教育。
所以从广义上来说，凡是有利于受教育者树立创新志向、培养创新精神、激发创新思维、增长创新才干、开展创新活动而进行的教育，都可称为创新教育。
创新教育要教学生去掌握已知、探索未知；要教学生去开拓进取、除旧创新。
二、创新思维能力的重要性1、创新思维是创新实践，是创造力发挥的前提。
思路决定出路，格局决定结局，思维、思路，思路决定出路。
2、创新思维是企业竞争的法宝。
今天的社会是竞争的社会，主要是靠特色、靠创新、靠点子、靠思路竞争。
所以说，企业的竞争也好，其他竞争也好，创新思维是个法宝。
中学数学培养思维能力问题和对策论文
中学数学培养思维能力的问题和对策摘要：培养思维能力的关键是要引导学生建立科学的思维方式。
关键词：中学数学思维能力问题对策中学数学教学的根本目的是培养学生的四大能力，即：正确迅速的运算能力，一定的逻辑思维能力和空间想象能力，分析问题和解决问题的能力，使学生的思维能力得到充分的发展。
中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养；另一方面，要通过数学知识的传授，培养学生能力，发展智力，这是数学教学中一个非常重要的方面，应引起高度重视，在诸多能力中，思维能力是核心。
我们知道，人类的活动离不开思维，钱学森教授曾指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程”。
数学教学与思维的关系十分密切，数学教学就是指数学思维活动的教学，对数学思维的研究，是数学教学研究的核心，数学思维的发展规律，对数学教学的实践活动具有根本性的指导意义，因此，在数学教学中如何发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力是一个广泛而值得探讨的课题。
一、当前普遍存在的思维障碍及产生原因在实际的数学教学过程中，我们经常听到学生反映，上课时听老师讲课，听得“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从下手；等老师把某一问题分析完时，又常常看到学生拍脑袋：“哎，我怎么会想不到这样做呢？”。
事实上，有很多学生完成当天的作业不困难，但是在综合测试时成绩往往不理想，包括平时解决过的题型也不一定都会解。
一些综合题他们一听就懂，但自己却不知道从何入手，更不用谈创造性地运用所学知识。
这些都是学生思维形式结果与具体问题解决的差异，即学生的数学思维存在着障碍。
究其原因不外乎以下两方面。
学生方面：听课时只是被动地接受知识，只知其然，未思考其所以然，满足于一知半解，没有认真地参与思维活动，更谈不上理解；平时为完成任务而做作业，解题过程中模仿思维成分较多，分析、创新思维成分较少，迁移思维能力较弱；知识点杂乱无章地堆积在头脑中，没有形成正确、合理、有序的认知结构，故不可能灵活运用。
中学数学教学原则
第二章中学数学的教学原则教学目的：通过本章的学习，使学生掌握数学思维、数学学习的一般理论、非智力因素在数学学习中的重要作用以及数学学习的原则和方法，了解数学学习理论的发展情况以及对当今数学教育改革的启示。
掌握数学教学的四大基本原则，为将来的教学实践服务。
教学内容：1、数学思维；2、数学学习的一般理论；3、数学学习的记忆和迁移；4、数学学习中的非智力因素；5、数学学习原则和学习方法；6、数学学习心理研究的发展及启示；7、四大教学基本原则：抽象与具体相结合原则；严谨性与量力性相结合原则；理论与实际相结合原则；巩固与发展相结合原则。
教学重、难点：数学学习的一般理论、数学学习原则和教学基本原则为本章教学的重点；数学思维及数学学习中的非智力因素、如何在教学中贯彻教学原则为本章的难点。
教学方法：讲授法教学过程：数学教育心理学的核心内容是数学学习心理学．数学学习心理学又可称之为数学活动的心理学或数学学习论．数学学习过程是数学学习论的重要内容．它研究的内容丰富多彩，涉及范围广泛．本章仅对数学学习过程的一般理论作探讨．数学学习对学生来说是一个特殊的认知过程，思维是认知的核心．因此，本章从数学思维开始，继而研究数学学习的一般理论等，最后对数学学习理论的发展作了简单介绍．§2．1 数学思维数学学习，不仅要求学生深刻而又牢固地掌握系统的数学学科的基础知识和形成一定的基本技能，更重要的是通过数学学习发展学生的数学思维和提高他们的数学思维能力，所以，在学生的数学学习过程中，强化数学思维、培养数学思维能力具有非常重要的意义．2．1．1 思维思维是指客观世界中事物的本质和事物之间规律性的关系在人的头脑中的反映过程，是人类在感性直观的基础上，凭借已有的知识为中介，进行推断和解决问题的过程，是通过分析综合而在人的头脑中对客观现实全面、本质的反映．因此，思维是对客观现实的概括的、间接的反映，它反映的是一类事物的共同的本质特征的人的最本质的特征在于思维．人的全部认识活动的重心在于他的思维活动，人的认识能力的发展主要也在于思维能力的发展．因此，作为智育教育方面的数学教育，应以思维教育为主，并以思维教育带动其它方面的教育，如知识教育、技能教育、数学美育、数学应用教育等等．而数学学科本身的特点恰好在于学习它也许能有效地促进学生思维的发展．因此，现代课程的基本理念之一就是‚注重提高学生的数学思维能力‛．思维不是一个自发的过程，它和有机体的其它行为一样，是一个有规律的过程．认识、掌握思维规律并能在教学过程中加以应用，对提高教育质量有着十分重要的意义．知识是在思维活动中获得的，知识只有成为思维的组成部分时，才有价值，只有当知识水平与思维水平相适应时，才能获得较好的教学效果，教学工作只有在认清了中学生思维发展规律和特点的情况下，才能做到有的放矢．2．1．2 数学思维的定义数学是一门研究空间形式和数量关系的以极度抽象形式出现的学科，它完全脱离了现实世界的物质内容和具体形式．各门纯数学研究的对象都是纯粹的量，因此，所谓数学思维，是指数学对象‚纯粹的量‛的本质和数学对象之间‚纯粹的量‛的规律性的关系在人的头脑的反映．数学思维既是思维的一种，就不仅具有思维的一般特性，而且具有自身的特性，这种特性是由数学本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法决定的．所以又可以简单地说，数学思维是数学活动中的思维，是人脑和数学对象交互作用，并借助数学语言，以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映．也就是说，数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动．120数学思维是以高度概括和极度抽象的形式出现的，它的这种特点，恰恰反映了人类一般抽象思维的典型特征，从而保证了数学思维存在的普遍性和广泛的适应性．现代科学技术发展的一个明显特征是，数学思维正在到处渗透，生活在当代社会的每一个公民，如果不具备一定的数学思维能力是难以在当代社会得以生存和发展的．2．1．3 数学思维的品质苏联教育家巴班斯基，通过实验研究，证实了中学生学习是否顺利与他们的思维是否具备下列品质密切相关．这些思维品质是：思维的独立性（相关系数0．89），分清实质性（0．87），思维的合理性（0．85），思维的灵活性（0．85），语言的逻辑性（0．85），思维的批判性（0．84），而与记忆力和注意力的发展水平关系并不十分密切．一般说来，思维品质都为一般科学思维所需要，当然也为数学思维所需要．结合数学本身的特点，我们把思维的灵活性、独创性、深刻性、概括性、批判性、敏捷性、逻辑性和合理性等称为数学思维品质．数学思维的品质在数学思维中处于彼此相互关联的有机统一体中，发展任何一个思维品质对数学思维都非常重要．为此，我们对数学思维的这些品质逐一阐述：1、数学思维的广阔性与深刻性思维的广阔性是指思路开阔，善于全面地考虑问题．表现为在思考问题时，能全面地从多方面看问题，着眼于事物之间的联系和关系，照顾到问题各方面的条件．思维的广阔性是以丰富的多方面的知识经验为前提的，只有具备大量的丰富的知识经验，才能从事物的不同角度、不同方面全面地去考虑问题，避免狭隘性和片面性．思维的深刻性是指善于深入地思考问题，善于从纷繁复杂的表面现象中发现最本质最核心的问题．它表现为思维活动的深刻程度和抽象程度，善于概括归纳，逻辑抽象性强，善于分清事物的实质，洞察事物的本质，系统地展开理性活动，善于深入理解现象和现象发生的原因，发现他人没有发现过的问题，并能预见事物的发展过程，善于系统地深入地揭示事物的本质和内在规律性关系．具有思维深刻性品质的学生，善于从简单的、普通的、司空见惯的现象中，看出问题，从中揭示出事物重要的规律来，与此相反，思维肤浅的人，常被一121些表面现象所迷惑，看不出问题的本质，不善于深思熟虑，常凭一知半解就下结论．2、数学思维的独立性与批判性思维的独立性是指善于独立思考、善于独立发现问题和解决问题．思维独立性是人们进行创造活动的前提，也是创新人才必备的思维品质．思维的独立性突出地表现为三个特点：独特性、发散性和新颖性．思维的独立性是以思维的批判性为前提的．思维的批判性是指有分析地估价思维材料和严密审慎地检查思维过程的品质．在解题过程中，思维的批判性特征在于有能力评价解题思路选择得是否正确以及评价这种思路可能导致的结果如何．在教学过程中，学生思维的批判性，表现为一种趋向，愿意进行各种各样的检验，检验已得到的粗略结果以及对归纳、分析和直觉的推理过程进行检验等．数学思维的批判性品质常表现为分析性、策略性、全面性、独立性、正确性五方面的特点，这些特点在学生解题过程中表现得尤为突出．具体地，（1）分析性，即在数学思维活动中不断地分析解决问题所依据的条件，反复验证业已拟定的假设、计划和方案；（2）策略性，即能够根据当前任务的需要，调动自己已有的知识经验，将它们组织为相应的解题策略或手段，并使它们在解题中发挥作用；（3）全面性，即在数学思维活动中能够客观地从各个方面考虑问题，把握问题的进展情况，善于进行自我评价，坚持正确计划，随时修改错误方案；（4）独立性，即不为情景性暗示所左右，不迷信权威，敢于对权威的观点提出疑问，不人云亦云、盲目附和；（5）正确性，即思维过程严谨，条理清晰，思维结果正确，结论实事求是．总之，在数学教育中，我们既要遵循思维独创性、批判性的一般规律，又要积极鼓励创新思维，不失时机地培养和发展学生的创新意识．3、数学思维的逻辑性和论证性思维的逻辑性，是指善于在思考问题时严格遵循逻辑规律与法则．数学思维的逻辑性充分表现为思维的论证性．思维的论证性主要是指根据给定条件，合乎逻辑地开展论证，逐步推理到结论．思维的逻辑性和论证性具体表现为：提出和回答问题时明确而不含混；推理时遵守逻辑顺序，合乎逻辑规则；论证时层次明晰，有理有据，结论准确．如中学生证明数学题时论题明确，论据充122分，论证得法，思路清楚，层次分明，就是具有思维的逻辑性和论证性的具体体现．在教学中，教师应有计划、有步骤地帮助学生掌握各种思维方法和培养发展逻辑思维能力．教学不仅重视知识的传授，更要重视各种思维能力的培养，不仅重视结果，更要重视产生这一结果的推理过程．为此，要求教师讲解要合乎逻辑，以身示范，同时要注意引导学生运用思维方法和逻辑规律去获得新知识．如引导学生掌握一个新概念时，要经过分析、综合、比较、抽象、概括等过程；学习一条新定理或新法则时要应用归纳法得出初步结论，再用演绎法进行推导；解答一道应用题应经过明确问题、分析题意、明确问题性质、解题定向以及验算、验证等步骤．4、数学思维的灵活性与敏捷性数学思维灵活性主要是指摆脱旧的思维序列的束缚影响，机动灵活地从一种思维过程转向另一种思维过程．这种思维的灵活性表现为能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法．也就是说，数学思维的灵活性主要是学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强．数学学习中思维灵活性往往表现在根据具体条件而确定解题方向，并能随着条件的变化而有的放矢地转化解题方法；表现在从新的高度、新的角度看待已知知识；还表现在从已知的数学关系中看出新的数学关系．思维的灵活性与思维的发散性有一致的地方，因此，有人提出培养数学思维的灵活性从培养学生的发散思维开始，有一定的道理．发散思维具有多端性、灵活性和新颖性．这些基本特征正是思维的灵活性所要求的．例如，能够给出一个数学问题的多种不同解答，就是思维具有发散性或灵活性的表现，因此，‚一题多解‛常作为训练发散思维和数学思维灵活性的有效方法．思维的灵活来自于求异思维，而求异思维又来自于迁移．因为灵活性越大，思维的发散性越好，越能多解，说明迁移的效果越显著．‚举一反三‛是高水平的发散，正是因为有知识的迁移，而迁移又来自于概括．成语有‚触类旁通‛，‚旁通‛是灵活迁移，而‚旁通‛的得来需要‚触类‛，这个‚类‛又需要通过概括才能获得．思维的敏捷性是指思维过程中正确前提下思维的迅速和简捷．有了思维的敏捷性，在处理和解决问题的过程中就能根据具体情况进行积极思考，正确做123出判断并迅速做出选择．这就要求人的认知结构系统化、结构化，具有清晰性、稳定性和可利用性，一旦需要便能迅速而正确地进行检索和提取．在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又有赖于在正确前提下的速度训练．经过练习，从中总结经验，进而概括出规律，并通过应用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷性．因此，敏捷性又与概括性紧密相联，推理的缩短取决于概括，‚能‘立即’进行概括的学生，也能‘立即’进行推理的缩短．‛上述的数学思维品质，广阔性与深刻性、独立性与批判性、逻辑性与论证性、灵活性与敏捷性构成一个相互联系的综合体．它们之间既互相联系，又密不可分．思维的深刻性是一切思维品质的基础，思维的灵活性和独立性首先是在深刻性的基础上引申发展起来的；而就灵活性和独立性这两种品质而言，它们又具有交叉关系，二者互为条件，不过前者更具有广度和富有应顺性，后者则更具有深度和新颖的生产性，从而获得创造力．前者是后者的基础，后者是前者的发展．思维的批判性、逻辑性是在深刻性的基础上发展起来的，只有深刻的认识，周密的思考，才能全面而准确地做出判断，进行合理的论证，同时只有不断自我批判，调节思维过程，才能使主体更深刻地揭示事物的本质和规律．思维的敏捷性是以其它几个思维品质为前提，同时又是其它思维品质的具体体现．2．1．4 数学思维能力的培养提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，也是数学新课程标准特别指出的基本理念．学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断．数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用．因此，本节的最后特别谈一谈数学思维能力的培养．1、找准数学思维能力培养的突破口心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口．思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反124映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段．数学思维的深刻性品质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性．数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下思维的速度问题．因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度．为了培养学生思维的灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”．创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯．在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问．能够提出高质量的问题是创新的开始．数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别．新的课程标准和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间．批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上．2、教会学生思维的方法现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学．如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题．孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”．在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式．要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的．3、善于调动学生内在的思维能力一要培养兴趣，让学生迸发思维．教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设臵诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题．二要分散难点，让学生乐于思维．对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维．125三要鼓励创新，让学生独立思维．鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展．§2．2 中学数学的学习本节主要阐述数学学习的特点和分类、数学学习的一般过程理论、数学学习与数学思维发展的关系等方面．同时给出了一些新课程理念下学生学习数学的特点及数学学习过程，供读者研究、讨论．2．2．1 数学学习的特点和分类在新的教育理念下，数学教师已不再是单一数学知识的传授者，而是逐步转向数学学习的组织者、引导者和合作者，教师教给学生的不只是‚学会‛，更重要的是‚会学‛．一方面，随着学习化社会的到来，学生的终身学习已成为一种必然趋势，学生在数学学习过程中的主体地位也将表现得越来越明显；另一方面，随着数学的应用日益广泛，科学数学化已成为必然趋势，数学方法作为一种认识事物和研究问题的有力工具，正愈来愈深入地向着自然科学和社会科学等各个领域渗透，许多重大的科学发现，都是科学理论与数学方法结合的结果，因此，数学学习将会越来越重要，潜力越来越大．所以，数学教师就更应该深入探索、掌握学习与数学学习的全部意义，以引导学生更好地进行数学学习．1、关于学习对于学习，国外许多心理学家和学者给出过各种各样的解释，出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，对学习的理解就不同，从而所形成的理论也不同．桑代克的联结说认为‚学习就是刺激和反应之间形成的联结‛；布鲁纳的认知说则认为‚学习是学习者认知结构的组织与重新组织‛．联结主义学习理论与认知学习理论是较有影响的两大学派．中国古代的教育史中，‚学‛和‚习‛是分开的．《说文》中讲到：‚习，数飞也‛，意思是鸟反复地练习飞．孔子的‚学而时习之，不亦乐乎？‛，就是把‚学‛与‚习‛看成是获取知识、技能的两种不同方式，‚学‛是知识、技能的获得，‚习‛是对已学的知识、技能的练习与巩固，强调‚学习‛是一个反复实126践并获得真知的过程．这一点从‚学‛与‚习‛的象形文字就可以看出．甲骨文‚学‛上半部为两个手把着的算筹（或占卜用的蓍草茎），下半部为一个专门的场所．引申为；从书本上，从教师口头上获取间接知识．篆体字‚习‛上面为‚羽‛，代表雏鹰，雏鹰离开巢臼试着飞行称之为羽．比喻为：从经验中，从个体实践中获得知识．我们一般所说的学习是从心理学的角度来阐述的，也就是说，学习是指动物和人类所共有的一种心理活动．对人类来说，学习是‚知识经验的获得及行为变化的过程‛．这里需要说明的是：（1）并非所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化，才是学习．（2）学习的结果产生行为变化，但有的行为变化是外显的，有的行为变化是内隐的．例如，技能学习，所导致的行为变化就是外显的，就称为‚外显学习‛，思想意识的学习大多是内隐的，叫做‚内隐学习‛．（3）学习是一个渐进的过程．（4）行为的变化有时表现为行为的矫正或调整．（5）学习后的行为变化不仅包括体现在实际操作上的行为变化，而且还包括体现在态度、情绪、智力上的行为变化．2、学生数学学习的特点（1）学生学习的特点学生的学习是在教育情境中进行的，是凭借知识经验产生的、按照教育目标有计划、有组织地进行的比较持久的行为变化．学生的学习特点主要表现在以下几方面．①学生的学习是在人类发现基础上的再发现②学生的学习是在教师的指导下有目的进行的③学生的学习是依据一定的课程和教材进行的127④学生的学习主要目的是为终生学习奠定基础中学阶段是基础教育阶段，学生的学习目的主要不在于创造社会价值，而在于为终生学习和将来参加社会劳动奠定基础．所以，除了让学生学会一定的基础知识和基本技能外，还应该让学生学会学习．（2）新课程理念下学生数学学习的特点①数学知识的特点作为学生学习的数学知识，不应当是独立于学生生活的‚外来物‛，不应当是封闭的‚知识体系‛，更不应当只是由抽象的符号所构成的一系列客观数学事实（概念、公式、法则等）．它大体上有这样四个特点：Ⅰ）数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型．现实的背景常常为数学知识的发生提供情景和源泉，这使得同一个知识对象可以有多样化的载体予以呈现．另一方面，数学知识的形成过程有时可以在教师的引导下，通过学生的自主活动来体验和把握．Ⅱ）数学知识具有一定的结构，这种结构形成了数学知识所特有的逻辑顺序，而这种结构特征又不只是体现为形式化的处理，它还可以表现为多样化的问题以及问题与问题之间的自然联结和转换，这样，数学知识系统就成为一个互相关联的、动态的活动系统．Ⅲ）多数知识都具有两种属性，即它们既表现为一种算法、操作过程，又表现为一种对象、结构．．Ⅳ）知识的抽象程度、概括程度表现出层次性 低抽象度的元素是高抽象元素的具体模型．②学生数学学习的情感因素有效的数学学习来自学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关．如学习数学的动机与数学学习价值的认可，对学习对象的喜好，成功的学习经历体验，适度的学习焦虑，成就感、自信心与意志等．③学生数学学习中认知、情感发展阶段特点虽然不同的个体，其认知发展、情感和意志要素不完全相同，但相同年龄段的学生却有着整体上的一致性，而不同年龄段的学生在整体上有比较明显的128。
中学数学方法论课本主要内容
绪论数学思想方法的对象和意义第一节中学数学思想方法的研究对象第二节学习中学数学思想方法的意义第三节中学数学思想方法的学习方法第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评介第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括‘第五节特殊与一般第四章数学的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析第五章几种重要的数学方法第一节模型方法第二节化归方法第三节公理化方法第六章数学思维方法第一节思维及数学思维第二节数学逻辑思维方法第三节数学形象思维方法第四节创造性思维及其培养第七章数学思想方法的教学第一节数学思想方法教学的原理第二节符号化意识的培养第三节化归意识的培养第四节整体化意识的培养第五节帮助学生形成正确的数学观1、方法：就是人们处理某种事物的策略、思路、途径和步骤，解决不同学科的不同问题，需要用不同的方法。
2、方法论：研究各种方法共同规律和原则的学问3、数学方法论：狭义：解决数学问题的方法和手段，包括：数学概念的定义方法、数学的推理和证明方法、数学的计算和解决问题的思想方法等。
广义：还应包括对数学概念、数学理论的概念、数学理论的概念认识，包括对各种数学方法进行分类、整理和总结，从中寻找某些共同的规律，从而使我们能更好地学习数学和运用数学。
更广义：研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学的发现、发明和创新的学科。
4、正确的数学观应该包含如下成分：数学的整体观；数学的价值观；数学的问题观；数学的审美观；数学教学和数学学习观。
第一章数学的起源与发展一、数学发展史1、数学萌芽时期（公元前600年以前）（1）数学的对象：社会生活的农业生产上的实际计算和测量的问题。
教材教法
教材教法今天和大家交流的是教材教法，我们知道教材教法是师范专业大学生的一门课程，对于我来说虽然毕业27年了，但在这个领域还只是个学生，只是在实践中去探索尝试了一些内容，积累了一点经验，不足以拿出来与大家分享。
所以通过今天的交流，不能给大家带来很多，只是告诉大家去看什么、准备什么、积淀什么而已。
谈起教材教法，我们知道不同专业的内容都不一样，例如数学专业叫做数学教材教法、语文专业叫做语文教材教法、英语专业叫做英语教材教法。
所以不知从哪谈起，就从两本书说起吧。
一、介绍两本书。
1.《语文教材教法》一书绪论语文新课程概论第一节语文课程性质第二节语文基本理念第三节语文教学目标第一章语文新教材解读第一节语文新教材的内涵第二节语文新教材的开发第三节语文新教材的使用第二章语文教学方式第一节基于接受学习的教学方式第二节基于自主学习的教学方式第三节基于合作学习的教学方式第四节基于探究学习的教学方式第三章汉字教学第一节汉字教学的基本内涵第二节汉字教学的基本方式第三节汉字教学的常用策略第四章阅读教学第一节阅读教学的基本内涵第二节阅读教学的基本方式第三节阅读教学的常用策略第五章写作教学第一节写作教学的基本内涵第二节写作教学的常用策略第三节快速写作的主要技法第六章口语交际教学第一节口语交际教学的基本内涵第二节口语交际教学的基本方式第三节口语交际教学的常用策略第七章语文综合性学习教学第一节语文综合性学习教学的基本内涵第二节语文综合性学习教学的基本模式第三节语文综合性学习教学的常用策略第八章语文选修课教学第一节语文选修课教学的基本内涵第二节语文选修课教学的基本方式第三节语文选修课教学的常用策略第四节语文校本选修课的开设策略第九章语文教研方法第一节语文研究的内涵与特点第二节语文研究的方式与过程第三节语文研究的文体与撰写第十章语文说课艺术第一节语文说课的基本内涵第二节语文说课的基本方式第三节语文说课的基本技巧第十一章语文命题策略第一节语文考试的常见方式第二节语文考试的基本内容第三节语文考试的命题方法第十二章语文媒体运用第一节语文媒体的基本类型第二节语文媒体的常用方式第三节语文媒体的运用技巧后记2.《数学教材教法》第一分册总论绪言§1 中学数学教材教法的研究内容§2 中学数学教材教法的学科特点§3 中学数学教材教法的重要意义§4 中学数学教材教法的研究方法第一章中学数学的教学目的和内容§1 数学的对象和特点§2 中学数学的教学目的§3 中学数学的教学内容§4 国内外中学数学教学改革的概况第二章中学数学的教学原则§1 中学数学的学习§2 中学数学教学的基本原则第三章中学数学中的科学方法§1 观察与试验§2 分析与综合§3 比较与分类§4 抽象、概括和具体化§5 系统化§6 数学模型方法§7 关系映射反演方法第四章中学数学的逻辑基础§1 数学概念§2 数学命题§3 逻辑思维的基本规律§4 数学推理§5 数学证明§6 逻辑思维与非逻辑思维第五章数学基础知识的教学与基本能力的培养§1 数学概念的教学§2 数学命题的教学§3 解题的教学§4 能力的培养第六章中学数学的教学方法§1 启发式教学法§2 中学数学传统的教学方法§3 中学数学新的教学方法§4 中学数学教学方法的选择第七章中学数学的教学工作§1 数学课的基本知识§2 课堂教学的基本功§3 中学数学的备课§4 中学数学的上课§5 中学数学的课外工作§6 中学数学的教学研究§7 教育实习§8 中学数学教学论文的撰写第八章中学数学教育测量和评价§1 教育测量和评价的一般概念§2 中学数学的命题§3 数学标准化考试§4 评价试题质量的主要指标§5 中学数学教育的评价第二分册初等代数研究第九章数第十章式第十一章初等函数第十二章方程和方程组第十三章不等式第三分册初等几何研究第十四章几何题的证明第十五章几何量的计算第十六章初等几何变换第十七章轨迹第十八章作图第十九章平面几何教法研究从上面两本书的目录，大家就能看出教材教法包括的内容很多，即有理论内涵，又有操作方法，还有学科知识及分析，涵盖的范围之广。
中学数学六大核心素养3篇
中学数学六大核心素养第一篇：数学思维素养数学思维素养是指通过数学学习和实践的过程中，逐步形成并不断完善的思维和认知能力，使人能够理性思考、独立创新、解决问题的能力。
数学思维素养是中学数学核心素养之一，是构建数学能力体系的基石。
一、数学思维的特点数学思维是一种独特的思考方式，它具有以下特点：1.逻辑性强：数学思维具有极强的逻辑性，能够按照严密的推理方式来解决问题。
2.抽象性强：数学思维能够把具体问题抽象成符号系统，并用数学语言来描述和处理。
3.形象化能力强：数学思维通过图示、模型等形式将抽象概念可视化，使思考更加具体和直观。
4.创造性强：数学思维能够在有限的知识和规则的基础上自由创造，产生新的数学知识和方法。
二、培养数学思维的方法要培养良好的数学思维素养，需要进行针对性的培养和训练。
以下是一些方法：1.多注重基础知识的掌握。
2.注重数学思维的演练。
3.注重数学思维的启发和引导。
4.注重数学思维与生活实际的联系。
三、数学思维与日常生活的联系日常生活中有许多问题需要运用数学思维来解决，例如：计算时间、算账、估算几何距离等等。
因此，数学思维不仅仅只是在学校里学习时需要用到，日常生活中也有很多机会能够运用数学思维。
总之，数学思维素养是中学数学核心素养之一，除了有助于提高学业成绩，更是一种重要的思维能力，有助于学生在日常生活中解决各种问题。
第二篇：数学方法素养数学方法素养是指通过数学学习和实践的过程中，掌握和运用数学方法的能力，达到适当使用数学工具解决实际问题的目的。
数学方法素养是中学数学核心素养之一，是提高学生数学应用能力的重要保障。
一、数学方法的表现形式数学方法在不同的领域和问题中有不同的表现形式，一般来说有以下几种：1.形象表达法：好像初中的拼图游戏，把自己所知的要素拼凑成一个整体的过程是一个形象化的表达。
2.符号表达法：数学的基础符号共有运算符、数字、变量、括号和等号等五种，其它各导入更具体的运算中。
中学数学创新思维
中学数学与创新思维学生的思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。
因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
一、高中数学思维障碍的具体表现由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。
由此而产生的后果：（1）学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。
（2）缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。
这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。
另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。
对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做(主要反映写不清楚)，我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。
3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。
谈中学数学创新思维品质的培养
０ １３ ） ５４ ０
对待 ，绝不 因为学生提出了没有意义的问题或不好回答 的问题 而不耐烦 。教学中 ， 应把学生 的质疑 、 提问作为必不可少 的教学 环 节 ， 捉 每 一次 学 生进 发 的火 花 ， 养 创造 性 思维 。 捕 培
二 、 密 叙述 推 理 。 养 思 维 的正 确 性 严 培
于朋 学 术研 究 书 而
创 新 课 堂
谈中学数学刨新思维 品质的培养
张 九 英 （ 北 省 栾 城 县 栾 城 镇 第 二 中 学 河
数 学教 学 大 纲提 出“ 学 教学 中 ， 展 思维 能 力 是 培养 能 力 数 发 的核 心 。” 就 是 说数 学 的课 堂教 学 不 仅是 数 学 知识 的传 授 ， 这 更 重 要 的是 利 用数 学 知 识这 个 载 体来 发 展 学 生 的思 维 能力 。数 学 思 维 的创 新是 思 维 品 质 的最 高层 次 ，只 有 多种 品 质 协调 一 致 发 生 作用 才 能 有助 于创 新 思 维 能 力 的培 养 。本 文 就 结合 自己的 实 践 和认 识对 以下 四个 问题 进 行初 步 探 索 。
、
注 重 思 维诱 导 。 养 思维 探 索 性 培
形的剪拼 ，最终利用 面积这一不变 因素得到二者之间的关系。 四 ห้องสมุดไป่ตู้ 导 一题 多解 、 题 多 变 。 养思 维 的 广 阔性 和 创新 性 引 一 培 在 日常 的生 活 中 ， 当孩 子遇 到 困 难 时 ， 应 该 培 养他 们 独 立 解 决 也 在教学 中， 教师应结合教学 内容 ， 从新知与 旧知 、 本类与它 问题 的 能力 ， 培养 他 们具 有 百 折 不挠 的精 神 。 类 、 向与 横 向 等方 面展 开联 想 ， 清 知 识 之 问 的 联 系 ， 纵 弄 以拓 宽 ４充分发挥学生的主体作用 ， ． 培养学生创造性思维 。 学生学 学 生 的知 识 面 ， 拓 学 生 的思 维 。在 教 学 中有 意 识 地 引 导 学 生 开 习的 主 动性 和 创 造 性 与 教 师 思 维 的 灵 活 性 和 丰 富性 密 切相 关 ， 题多解 ， 让学生用不 同的思路 、 方法 来解 题 ， 这样有利于培养 因此 ， 教师 自身的思维也应该具有创造性 ， 并以创造者的身份为 学生思维的广 阔性。另外 ， 有意通过一题 多变 、 一题多解等具有 学生创建 良好 的创造性氛 围，为学生提供敢想善思的创建性的 发 散性 的题 形 进行 训 练 ， 养 学 生思 维 的创 新性 。在 教学 中 ， 培 让 良好 环 境 。 比如 ： 学 生 的 质 疑 ， 师 的态 度 应 该 是 鼓 励 引 导 ， 学生结合实际问题 自编题 目，也有助于创新思维的培养。模仿 对 老 通过 鼓 励 学生 从 “ 敢 ” 问 到 “ 欢 ” 问 ， 不 提 喜 提 通过 引 导 ， 学 生逐 只能跟着走 ， 使 创新才会 出人才。对于学生思维能力， 特别是创新 步 做 到 “ 于 ” 问 。要 学 生 “ 问 ”关 键 在 于 教 师 要 爱 护 扶 持 性思维能力的培养 ， 善 提 敢 ， 是一个很复杂而系统的领域 ， 还需要我们在 他 们 的热 情 ， 于 学 生提 的每 一个 问题 ， 努力 做 到 认 真 善意 的 教学 中不 断探 索 、 对 要 总结 ， 探 索 、 研 究 才 能取 得 很好 的效 果 。 再 再
探究中学数学创新思维的培养途径
探究中学数学创新思维的培养途径摘要在数学教学中教师要着重引导学生一题多解、举一反三，努力培养学生的创造性思维能力、探索性创新思维能力、选择性创新思维能力、综合性创新思维能力、构建性创新思维能力。
关键词数学教学；创新思维创新思维本质的特性是求异性，而求异性思维又包括逆向思维和发散思维两种。
下面笔者结合多年来对数学的教学经验谈谈如何培养以逆向思维和发散思维为核心的创新思维。
一、不断引发学生的好奇心好奇心是培养学生创新意识的起点，是学生的天性。
在好奇心的驱使下学生会对知识探究产生浓厚的兴趣和强大的动力；接连不断的好奇会一次又一次地点燃学生创新的思维火花。
例如在上“三角形全等判定”的时候导入新课的教学中创设这样的问题：1.有一块三角形玻璃打碎成两块，一块成三角形，一块是四边形，要想得到一块和原来一模一样的三角形玻璃，你是不是两块都要带去店里配呢?2.如果只是带一块去，要带哪一块?这种图文并茂的教学情境能使学生的探索欲望油然而生。
二、鼓励学生冲破思维定势，大胆争论质疑，勇于面对失败，敢于探索创新就是要提出别人没有想到的问题。
在数学教学中人们比较重视基础知识和技能。
抓住重点，培养解题技巧，解答学生质疑，强调教师为主导、学生为主体的教学模式造成了学生求同思维多、求异思维少的现状，使得学生只会按照老师的思路去想去做，肯定的多、否定的少，更谈不上去探索问题、寻找新的思维了。
如果学生通过质疑向老师提出问题、争议问题，老师及时为学生解决质疑问题；通过质疑启发学生去探索，在探索中寻找规律，从而找出问题所在，便可达到培养学生创新意识的目的。
三、培养学生的逆向思维1.设计互逆式问题，培养学生逆向思维的意识。
在课堂教学中除了正面讲授外还要有意识地挖掘数学教材中蕴含着的丰富的互逆因素，精心设计互逆式问题，打破学生思维中的定势，逐步增加逆向思维的意识。
2.引导学生会用逆向思维解题，激发逆向思维的兴趣。
教师在数学教学中应精心设计教案，启发引导学生从知识的正面转向知识的逆向，教会学生从正反两方面去思考问题，培养学生思维的灵活性和变通性，从而激发学生逆向思维的兴趣。
中学数学课堂教学中的思维训练
中学数学课堂教学中的思维训练摘要：在当今大力推广素质教育与创新教育的前提下，数学的课堂教学注重了更多的思维；在课堂教学中要注重对学生创造性思维的培养，启发学生思考更是课堂教学的精髓。
关键词：中学数学；课堂教学；思维训练；操作性实验一、中学数学思维训练的几种形式1.整体性思维方式的训练。
整体性思维方式是对对象的整体理解，放过个别细节，产生合理的思维跳跃，直接把经验因素同问题的本质联系起来，或是凭借观察、联想去领悟事物的本质，揭示事物之间的内在联系。
在数学教学中，引导学生将问题看成一个整体，作整体观察思考，往往会收到事半功倍之效。
2.连动性思维方式的训练。
连动性是一种由此思彼的思维能力，它以两种形式表现出来：一是“纵向连动”，即发现一种现象后，立即纵深一步，探究现象的原因；二是“横向连动”，即发现一种现象后，便联想出特点与之相似的和相关的现象。
3.多向性思维方式的训练。
多向性，也称多维性，是指在思考问题时从多种角度、方向进行探索，适时地、灵活地变换可能影响事物质和量的诸因素中的某种或某些因素，形成多种设想，经过充分研讨和可行性论证，筛选出最佳方案，以最小的代价获取最大的成果。
教学中可通过“一题多变”、“一题多解”、“一律(理)多用”的训练来培养学生的多维性机智。
4.逆向性思维方式的训练。
逆向性是多向性的具体表现，是指当看到一种现象后，立即想到其反面：“如果倒过来会怎么样?”这是一种从已知发现未知的重要方法。
它使思维在一个方向受阻后能马上随机应变转到相反方向，可以有效避免单向性认识过程的机械性，克服线性因果律的简单化，开阔思路和视野。
如探索一些定理的逆命题是否正确，不仅可以巩固所学的知识，而且能激发学生探求新知识的兴趣。
二、如何在中学数学课堂教学中实施思维训练在注重教学结构的同时，中学数学课堂应从诸多方面培养学生的思维。
(一)注重在课堂教学中对学生创造性思维的培养要创造，必须有创造的欲望。
心理学的研究表明，创造欲望与创造效果成正比。
对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读
对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础， 而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方 法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。
因此，对本章内容力求学习得更 好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：函数， 主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图 象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础。
第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 函数 关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。
甚至函数图象处 处不连续，也可看作分段函数。
如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时， 应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。
例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数， 如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。
最全中考数理化知识点思维导图PPT课件
第二十四章 圆
第二十五章 概率
九年级—下册 第二十六章 二次函数
第二十七章 相似
第二十八章 锐角三角形
第二十九章 投影与视图
物理科目
第一章 物体的运动Fra bibliotek第二章 声现象
第三章 光现象
第四章 透镜及其应用
第五章 质量与密度
第六章 力和运动
第七章 压强与浮力
第八章 功和机械能
第九章 简单机械
原理：CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑
装置：发生装置 固-液常温型
制法
收集装置 向上排空气法
验满：将燃烧的木条放在集气瓶口，熄灭，则满
检验：若能使澄清石灰水变浑浊，则是CO2
九年级—全一册 第一章 常见的酸和碱
酸和碱
酸：盐酸、稀硝酸、稀硫酸等；酸碱指示剂，与金属特 殊反应，氧化性等；酸性氧化物CO2、SO2、NO2等 碱：氢氧化钠、氢氧化钾、氢氧化钙等：酸碱指示剂， 与酸性氧化物反应；碱性氧化物Na2O、K2O、CaO等 溶液酸碱性：酸碱指示剂，酸碱性强弱
无理数 负 正有 有理 理数 数(无限不循环 ) 小数
第十四章 一次函数
第十五章 整式的乘除与因式分解
八年级—下册 第十六章 分式
第十七章 反比例函数
第十八章 勾股定理
第十九章 四边形
第二十章 数据分析
九年级—上册 第二十一章 二次根式
第二十二章 一元二次方程
第二十三章 旋转
二氧化碳
性质
物理性质：无色无味气体，能溶于水，密度比空气大， 固态的CO2称为干冰，干冰易升华，同时吸收大量的热
1、不燃烧不支持燃烧不供给呼吸 化学性质： 2、与水反应 CO2+H2O=H2CO3
浅析中学数学创造性思维的培养
浅析中学数学创造性思维的培养作者：王秋红来源：《新课程·教研版》2011年第03期摘要：创造性思维是人类思维和智力活动的高级形态。
数学教学是培养创造性思维的重要途径，同时创造性思维的培养又是数学教学的重要任务。
本文阐述了中学数学教学中创造性思维的培养方式。
关键词：初中数学；创造性思维；培养一、数学创造性思维的内涵与特点数学创造性思维是自觉的能动思维，是一种十分复杂的心理和智能活动，需要有创见的设想和理智的判断。
数学创造性思维从属于创造性思维，它应是创造性思维在数学中的体现；它也直接从属于数学思维，它是数学思维中最积极、最有价值的一种形式。
创造性思维具有独创性、巧妙性、流畅性、突发性、连续性、整体性等特点。
当然数学创造性思维也应具备这些特点。
数学教育心理学家对数学思维品质也进行了概括，即思维的深刻性，思维的广泛性、思维的灵活性、思维的独创性、思维的敏捷性、思维的批判性。
当然数学创造性思维应具备上述六条品质。
总之，数学创造性思维是创造性思维的一种，它是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是数学中发散思维与收敛思维的辩证统一，它是各种思维形式高度统一协调的综合性思维。
它不同于一般的数学思维之处在于它发挥了人脑的整体工作和意识活动能力，发挥了数学中的形象思维、灵感思维、审美的作用，因而能按最优化的数学方法与思路，不拘泥于原有理论的限制和具体内容的细节，完整地把握数与形有关知识之间的联系。
实现认识过程的飞跃，从而达到数学创造的完成。
二、初中数学教学中学生创造性思维的培养策略1.通过一题多解，培养发散思维能力发散思维能力强的人，对熟悉的事物能够采用新的方法或从新的角度加以研究，在相同或相似之中看出不同，见人所未见。
在数学教学中，采用“一题多解”的教学方法，并引导学生评价各种解法的特点和优劣，不但能提高学生的学习兴趣、提高解题能力、优化解题思路，而且能增强发散思维能力。
一题多解是培养学生发散性思维的传统方法，非常有效，在教学中教师绝对不能简单地使用讲授法，把学生当做记录工具，一讲了事，而要宁愿少讲几道题，也要留给学生思考的时间，当学生遇到困难时，只能适当启发。
探索中学数学数学思维的六个层次
探索中学数学数学思维的六个层次数学是一门智慧的艺术，它有着独特的思维方式和层次结构。
在中学数学教育中，培养学生的数学思维是非常重要的。
本文将探索中学数学数学思维的六个层次，以帮助学生更好地理解和运用数学知识。
第一层次：数学运算思维数学运算是数学学习的基础，它涉及到数的加减乘除、算式的计算等基本运算。
在这一层次，学生主要是通过机械记忆和模仿来完成各种运算，培养学生的计算能力和基础技巧。
第二层次：数学逻辑思维数学逻辑思维是在数学运算基础上的延伸和拓展，它涉及到数学问题的解决过程和推理方法。
在这一层次，学生需要学会分析问题、提炼关键信息、建立数学模型以及运用逻辑推理来解决问题。
第三层次：数学探究思维数学探究思维是引导学生主动探索和发现数学问题的思维方式。
在这一层次，学生通过探索性学习、提出问题、进行实验和观察等方式来探究数学的规律和性质，培养学生的好奇心和探索精神。
第四层次：数学抽象思维数学抽象思维是将具体问题转化为抽象概念、符号或公式的过程。
在这一层次，学生需要学会抽象思维方法，将实际问题进行抽象，找到问题的本质，并用数学语言和符号进行表达和推理。
第五层次：数学应用思维数学应用思维是将数学知识和方法应用于实际问题的思维方式。
在这一层次，学生需要学会将数学知识与实际情境相联系，分析和解决实际问题，培养学生的实际应用能力和创新思维。
第六层次：数学创造思维数学创造思维是在掌握数学基础知识和方法的基础上，运用创造性思维来解决复杂的数学问题。
在这一层次，学生需要具备创新意识和创造能力，提出新的问题，发现新的规律，并通过创造性的方法来解决问题。
通过探索中学数学数学思维的六个层次，我们可以看到，数学思维是逐渐发展和提升的过程。
同时，这些层次之间也相互联系和互相渗透，没有严格的分界线。
培养学生的数学思维需要从基础知识的巩固开始，并注重培养学生的探究精神、创新意识和实际应用能力。
数学思维的培养不仅需要学校和教师的指导，也需要学生自身的积极参与和努力。
北师大数学八年级上册各章单元教材分析
北师大数学八年级上册各章单元教材分析第一章勾股定理教材的地位和作用直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余、本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，勾股定理把几何图形与代数计算紧密地联系起来，充分体现了数形结合的思想方法，为后面的学习圆，解直角三形等知识的掌握，奠定了计算基础。
我古代的数学家对勾股定理的研究有许多重要的成就，不仅在很久以前独立发现了勾股定理，已使用许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定量的应用方面，对其它国家的影响很大，这些都是古人对人类的重要贡献。
通过勾股定理背景知识的了解，让学生感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情。
单元学情分析勾股定理的探索、证明过程较为抽象、复杂，如果只是简单地介绍定理过程，学生会觉得这个知识点枯燥无味，并且被动地接收知识，也使得学生对勾股定理的理解不深刻。
因此，教学逐步设计了通过数格子的方法得到边长的特殊的等腰直角三解形，已知边长的一直角三角形，一直到不通过数格子得到边长的一般直角三角形，让学生动手操作、实验，经历小组合作探索，由易渐难，从特殊到一般，利用割补面积法来发现、得到勾股定理，这样的过程符合学生学习新知识的心理特点，能激发学生的学习兴趣。
勾股定理以及直角三角形判定条件的应用是本章的重点，因此，在课后应该督促学生进行适量的练习，来巩固本章的知识点。
单元目标导向知识技能1. 了解勾股定理的历史，体验勾股定理的探索过程，感受它的多种证明法。
2. 会运用直角三角形的判定条件，即勾股定理的逆定理来判定直角三角形。
3. 会用勾股定理及其逆定理解决简单的问题。
数学思考1. 通过观察一些以直角三角形两直角边为长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，利用图形之间的割补，得到图形面积之间的相等关系，从而发现勾股定理，发展合情推理探索数学结论的能力。
2. 通过画图、实验发现特殊关系的边长能构造出直角三角形，体会数学的实验操作。
中学数学求异思维的五种基本形式
西藏山南市第二高级中学刘冬喜中学数学是具有较严密的逻辑系统的基础学科，偏向定向式的思维模式，为了使学生的思维不陷入僵化，加强求异思维的训练是很有必要的.对学生求异思维能力的训练可以通过具体的一空多填、一题多变、一题多解等方式来进行，这也是心理学所倡导且为大多数人所接受的训练方法.但是要想更自觉、更有效地对学生进行求异思维的训练，就必须首先弄清楚求异思维的基本形式.数学对象是丰富多样的，因此研究这些对象的求异思维也并非千篇一律，下面就求异思维的五种表现形式与大家探讨.1.放射求异放射求异是从同一条件出发，进行大幅度、多方位的联想判断，追求尽可能多的答案的思维过程和方法.数学知识间存在着广泛的纵横联系，而且同一知识又有多种不同的表现形式，这就决定了由同一刺激引起的联想的多向性.例如，求数列1，３２，1，５４，1，７６，···的通项公式a n =f n ，经过放射求异可得到答案①a n =1（n 为奇数）n +1n（n 为偶数）{②a n =2n +1+(-1)n2n③a n =1+1n│cos nπ2│④a n =（n +1n）⑤a n =（n +1n）放射求异具有流畅开阔的特点，通过放射求异可以建立数学知识之间的纵横联系，使学生对数学知识产生网状结构感.2.反向求异给出问题的结论，并列地从多个方向追索使结论成立的条件，这就是反向求异思维。
从形式上看，这是一种逆向思维，但却不把某一已知条件作为唯一目标，表现出了思维的深刻性品质.例如，在通常情况下，都是由给定条件求出直线的某种特殊形式，再将其化为一般形式Ax+By+C =0，现在给出直线方程3x-y+3=0，求确定直线的条件，可沿下列四个方向进行：①化为斜截式y =3x+3，故直线由斜率k =3，截距b =3确定；②化为截距式x -1+y 3=1，故直线由横、纵截距a =-1，b =3确定；③化为点斜式y -0=3（x -1），故直线由斜率k =3，定点（-1，0）确定；④化为两点式y +30+3=x +2-1+2，故直线由两点（-1，0）、（-2，-3）确定.其中③、④两种情况都有无穷多种表达式.经过如上的反向求异，学生会对“两个独立条件确定一条直线”产生更具体、更强烈的认识.长期的单向思维使学生的思维呆板，要使学生由顺向转逆向，教师应经常提出相反思路，对学生进行反向求异思维的训练.3.对比求异利用问题之间的正反对比和相似对比揭示知识之间的联系和区别，从而获得问题的准确答案的思维过程和方法就是对比求异.通过对比求异训练，可以帮助学生克服思维的盲目和片面，克服知识和技能的负迁移.例如，通过对以下问题的正反对比，揭露问题2的错误，有利于学生形成正确的空间概念.问题1：“平面内过一已知点垂直于一已知直线的直线有且只有一条.”问题2：“空间中过一已知点垂直于一已知直线的直线有且只有一条.”通过以下问题3、4、5的相似对比，有助于加深学生对椭圆切线方程的本质理解.问题3：过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点P （x 0，y 0）的椭圆切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1.问题4：过椭圆外一点p （x 0，y 0）所引椭圆的两条切研究YANJIU12+(-1)n12│sin （n -12π）│. All Rights Reserved.依兰县高级中学王美玲刘海英将研究性学习引入数学课堂教学不但可以改变传统课堂上教师一言堂的局面，使课堂氛围活跃，而且能有效拉近师生间的距离.从应用效果来看，研究性学习的应用可以充分激发学生的创新思维与学习潜能，使学生对数学知识充满好奇，从而积极主动地参与课堂学习.在研究性学习活动中，学生难免会遇到一些问题，历经重重困难后彻底解决问题的过程不但有助于学生树立并增强自信心，而且能培养学生不畏困难积极向上的学习品质.在研究性学习活动中，教师充当学生自主学习的指导者与协助者，与学生共同探讨、研究、解决问题，构建了新型的良好的师生关系，有助于高效课堂的形成.一、在拓展教学中应用研究性学习高中数学教师应将研究性学习贯穿于学科教学的始终，使学生感受到数学的独特魅力，自发地学习数学课程、研究数学问题.在数学课堂中经常会出现学生过度依赖教师的现象，教师传授什么，学生就记什么，数学教学变得十分零散，学生无法感受到数学知识的内在联系，知识结构无法形成，学习效果可想而知.教师可以在区分重难点知识后，借助研究性学习引导学生梳理知识间的关联性，借助多种途径对现有学习内容进行填充与拓展.以“随机事件的概率”为例，为了保证教学效果，教师在正式教学前公布研究任务，要求学生独立或小组共同研究本课的重难点.以研究性学习任务为主线，使用多种不同的统计方式对收集到的数据资料对比分析，以此明确分层抽样、随机抽样及系统抽样三者的差别.教师利用多媒体出示多个启发性问题，引导学生使用多种统计方法进行方案设计，以深化学习印象，激发学生的求知欲，例题如下：线的切点的直线（切点弦）方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1.问题5：通过椭圆内一点的直线与椭圆有两个交点，求过这两个交点的两条切线交点的轨迹方程为x 0x a 2+y 0y b 2=14.分析求异对欲证命题进行执果索因的分析，捕捉促成问题转化的各种信息，沿着各个转化方向寻找解决问题的多种途径的思维过程就是分析求异.例如，三角恒等式tan 2α-sin 2α=tan 2αsin 2α的证明思路可通过如下分析获得①tan 2α-sin 2α=tan 2αsin 2α⇐tan 2α（1-sin 2α）=sin 2α⇐tan 2αcos 2α=sin 2α⇐sin 2α=sin 2α②tan 2α-sin 2α=tan 2αsin 2α⇐tan 2α=sin 2α（1+tan 2α）⇐tan 2α=sin 2α·1cos 2α⇐tan 2α=tan 2α③tan 2α-sin 2α=tan 2αsin 2α⇐sin 2α-sin 2αcos 2αcos 2α=sin 2α·sin 2αcos 2α⇐sin 2α（1-cos 2α）cos 2α=sin 2α·sin 2αcos 2α⇐1-cos 2αcos 2α=sin 2αcos 2α分析求异是数学解题的传统的成功方法，对综合能力水平不高的中学生更有不可取代的作用.5.反馈求异所谓反馈求异就是对理论上证明了的命题，通过列举正面例子说明其合理性，列举反面例子说明其不合理性.例如，对于“若a 、b 、c ∈R +，则a 3+b 3+c 3≥3abc ”可以从三个方面举例进行反馈求异：①令a =1，b =2，c =3；②令a =1，b =2，c =-4；③令a =-1，b =-2，c =4.由①知命题为真，由②知不满足题设条件则不等式可能不成立，由③知不等式的条件可放宽为a+b+c ≥0.通过反馈求异可以加深学生对定理条件的认识，从而从本质上把握定理，避免应用定理解题可能犯的错误.从求异思维的形式和特点可以看出，求异思维是一种不依常规、勇于开拓的创造性思维，对于培养创新型人才有着积极的作用，应该予以重视.编辑/王一鸣E-mail：***************. All Rights Reserved.。
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二、分析与综合 分析与综合是两种科学研究方法。在数学教学中， 既是研究数学概念的方法，又是解答数学问题、证明 数学定理的方法。 分析是在思想中分解一个数学对象，将其个别的部 分、特征与性质分辨出来； 综合是在思想中把对象的各个组成部分、特征联合 起来成为一个整体，融成一个结论。
分析与综合是两个彼此密切联系着的互逆的逻辑方 法。对象不经过分析，就不可能综合。
1、感知；
2、描述；
3、初步解释。
观察要注意的三条： 1、要有意识、有目的，处处留心； 2、要有基础，有必要的相关知识； 3、要有方法。
例1、观察自然数 1、2、3、4、5、……、17、18、 19、20、……、99、100、101、……的规律性，由此 你发现了什么？
（1）奇数和偶数相间排列； （2）一位数有9个，二位数有90个，……； （3）连续3个数中，正好有一个是3的倍数。 我们研究奇素数的运算： 3+3=6 ； 3+5=8 ； 3+7=10 ； 3+11=14 ；…… 5+5=10； 5+7=12； 5+11=16； 5+13=18 ；…… 结论：任意两个奇素数的和都是偶数。 把上面的等式反过来写： 6=3+3 ； 8=3+5 ； 10=3+7=5+5； 12=5+7； 14=3+11=7+7；16=3+13=5+11……
五、思维的组织性 所谓思维的组织性，就是善于将所学的知识归 纳整理，使之有条理、有层次、系统化的一种思 维品质。 培养思维的组织性，一是要引导学生从纵的 方面整理知识结构，弄清教材单元之间、章节之 间的内在联系；二是引导学生从横的方面整理知 识结构，使分散在各单元的解决同一类问题的各 种知识、方法系统的串联起来，在整理过程中， 锻炼学生的思维，使学生思维条理化，从而提高 学生思维的组织性。
为了能有效地提高观察能力，根据中学数学研究的对 象，可以侧重于观察客观事物的空间形式和数量关系， 在发掘数学对象的概念特征、事物的数量指标、算式的 外形结构、图形的位置关系等方面多下功夫
（二）试验 试验（实验）是人们根据一定的研究目的，运用一定的 物质手段，在人为地控制或模拟自然条件下，使自然过程 或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来。暴露它们在 天然条件下无法暴露的特征，以便进行观察、研究、探索 自然界的本质及其规律的一种研究方法。
四、思维的灵活性 所谓思维的灵活性，就是能根据事物的变化，不 局限于过时或不妥的假设之中，运用已有的知识和 经验及时改变原定的方案，寻求解决问题的的途径 和方法的一种思维品质。 培养思维的灵活性，就要培养学生善于进行分析、 类比、联想，同时根据具体情况善于进行自我调节， 具有思维的应变能力。 在教学中要教会学生善于捕捉有用信息，迅速的 引起联想，从而建立起自己的思路；同时又能根据 情况的变化，善于进行自我调节，及时的和准确的 调整原有的思路。
（1）按其结构划分有平面思维、立体思维； （2）按其探求方向划分有求同思维、求异思维； （3）按其性质或层次划分有形象思维、抽象思维、直 觉思维、辩证思维。
§2.2 中学数学思维的方法 一、观察与试验 （一）观察
所谓观察，就是人们为了认识事物的本质和规律， 通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器，有目 的、有计划地感知和描述各种自然现象的一种方法。 观察的三个阶段：
三、思维的批判性 所谓思维的批判性，就是善于发现问题，提出质 疑，辨别是非，评价优劣的一种思维品质。 教学中可有意提出一些容易混淆的概念引导学生 进行分析辨认；也可以给出一些似是而非的判断， 启发学生辨别真假；还可以故意给出某些问题的错 误解答，组织讨论，让学生找出错误之所在和原因。 培养学生善于探讨现象的根本原因和得到论断的 正确方法，不致采取轻率盲从的态度，从而发现问 题，提出怀疑，进行争辩，通过正反两方面的例子 思考，分清什么是正确的，错误的，从而提高思维 批判的能力。
在中学数学中，实验是一种基本的研究方法，它可以用 来引导数学发现，启迪解题思路，说明所研究的对象的某 些数学性质，判断数学性质或结果的真实性。
用实验法处理数学问题，必须从问题的实际情形出发， 结合有关的数学知识，恰当选择实验的对象和范围。在制 定实验方案时，不能有所遗漏；在实施实验方案时，要讲 究实验技巧 。
对分析与综合理解的三个阶段： 1、分析被形式地理解为由整体到它的各部分的 过程，而综合则是由局部到整体的过程； 2、分析被看成是从结果追溯到产生这一结果的 原因的一种思维方法，而综合被看成是由原因产生 结果的另一种思维方法； 3、分析被看成是以借助数和变量的概念，从数 量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法，而 综合是以从质量方面研究客观事物的性质为基础的 研究方法。
三、比较与分类 （一）比较 比较是确定事物同异关系的思维方式。 比较是以分析和综合为基础的。 1、在数学学习中，常用的比较法有以下四种： （1）纵比法； （2）横比法； （3）类比法； （4）综合比较法。 2、比较的具体形式： （1）对立比较；（2）差异比较；（3）对照比较 。 3、运用比较时要注意以下几点： （1）要注意把能够比较的东西加以对照; （2）可把陌生的对象和已知的对象比较; （3）要经常总结归纳，不断提高掌握知识的深度 ; （4）比较不能只停留在现象上，要识破其本质。
（3）问题性。
3、数学思维 数学思维是人脑和数学对象（数和形等）相互作用 并按照一般思维规律认识数学规律（对象的本质特征） 的过程。概念、判断、推理是数学思维的基本形式。 4、数学思维的常用方法 数学思维的常用方法有：观察、实验、分析、综合、 比较、分类、抽象、概括、具体化、特殊化、系统化、 类比、归纳、演绎、想象和直觉等。 5、数学思维的常见类型
3、系统化 系统化就是将各种有关材料编成顺序，纳入一定体 系之中进行研究的一种思维方法。
六、类比、归纳、演绎 1、类比 类比是利用两种不同事物间的某些相似特征进行比 较、对照的一种思维方法。它是一种从特殊到特殊的 思维形式。 2、归纳 归纳是将研究对象分为若干部分，通过对每一部分 的研究，进行综合达到对整体研究的一种思维方法。 是一种从特殊到一般的思维方式。
第二章 中学数学思维 §2.1 数学思维的意义 1、思维的概念 人们在认识过程中，除感觉、知觉和记忆外，还必须 在经验的基础上，通过迂回、间接地途径去寻找问题的 答案。即通过丰富的感性认识材料，进行“去粗取精， 去伪存真，由此及彼，由表及里”的改造制作过程，以 实现问题的解决。这种通过迂回、间接地方式去解决问 题的过程，就是思维活动。 2、思维的特点 （1）间接性； （2）概括性；
作业：P63 1、2、3、12
§2.4 中学数学思维能力的培养 一、发散思维及其基本培养途径 （一）发散思维的概念 所谓发散思维是不依常规，寻求变异，对给出的材 料、信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途 径进行分析和解决问题的一种思维方式。 发散思维的主要特征是：多向性、变通性、独特性。 （二）培养发散思维的一般方法 1、同中求异； 2、正向求反； 3、多向辐射。
四、抽象和概括 所谓抽象，是在感性认识的基础上，离开研究事物 的具体形象，从中单纯提取某一特性加以认识的思维 活动。
所谓概括，是把抽象出来的事物的本质属性联合起 来加以考察的思维方法。
抽象是概括的基础，概括是抽象的发展。
例：哥尼斯堡七桥问题。欧洲有座 美丽的城市哥尼斯堡，普里格尔河蜿 蜒其间，形成小岛，河岸与岛屿间有 七座桥相连，市民和学生们都喜欢去 那里散步，欣赏风光。不知何时，有 人提出：能否不重复地一次接连通过 每一座桥？
六、思维的创造性 所谓思维的创造性，就是指主动地、独创地发现新 事物、提出新见解，解决新问题的一种思维品质。 教学中应遵循学生力所能及的事，引导学生自己去 做的原则，采取探究的方法进行：提供素材、设置意 境、提出探索要求，引导学生身临其境，通过观察、 实验、分析、比较，从中找出规律，再加以综合整理， 提出“猜想”，最后完成理论证明。 思维的创造性是思维的高级状态，它是以上诸种思 维品质的相互渗透，相互影响，高度协调，合理构成 的结果。
§2.3 中学数学思维的品质 一、思维的广阔性
思维的广阔性，又称为思维的发散性，是一种不依 常规，寻求变异，从多角度、多方位去思考问题，寻 求解答的思维品质。
数学教学中，加强基础知识和基本技能的教学，是 学生形成完整的认知结构和熟练的技能，这是发展思 维广阔性的基础。 引导学生养成从多角度多方位思考问题的习惯，加 强一题多解与一题多变的练习与实际应用，对培养学 生思维的广阔性无疑是十分有益的。
二、思维的深刻性 所谓思维的深刻性，就是指在分析问题的过程中， 探求所研究问题的实质以及问题之间相互联系的一种 思维品质。 要引导学生能自觉地思考事物的本质方面，学会从 事物之间的联系来理解事物的本质，学会全面地认识 事物。 可以通过辨析对比的教学，使学生不纠缠于事物的 表面现在，而能够自觉的从本质上看问题，比较全面 的看问题，在练习中看问题，从而加深对有关概念的 理解，使思维层层深入，认识不断深化。
3、演绎 演绎是利用一个全称判断或特称判断，得出一个特 殊的全称判断或特称判断的思维方法。是一种从一般 到特殊的思维形式。
七、想象和直觉 1、想象 想象又称为科学的猜想，或科学的联想。它是推测事 物现象的原因与规律性的创造性思维活动。 想象有以下类型： （1）类比想象；（2）跳跃想象； （3）复合想象。 2、直觉 直觉又称为顿悟（灵感），这也是一种创造性的思维 活动。 直觉的表现，往往是不通过分析步骤而达到真实的 结论，有人认为它是非逻辑的思维活动。
例：设 x Î R, 且 x2 - 3x + 1 = 0, 试确定
x +x
2n
- 2n
(n ? N+ ) 的个位数字。
思考方法：本题实际上是要确定对于不同的正整 2n - 2n 数 n， x + x 的个位数字。为了便于观察，可以 先就 n 1、2、3、4 的情形安排试验，由试验结果 可以猜想个位数字可能是 7，从而考虑用数学归纳法 证明所得的猜想。 从本例题可以看出，试验法是不完全归纳法的一 种补充，为成功地利用不完全归纳法提供推理依据。 因此，把学知识的内在联系。