高三数学回顾练习5

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江苏省淮阴中学2013届高三上学期期末练习(5)数学试题

江苏省淮阴中学2013届高三（上）期末复习五一、填空题1、{}{}002A=sin90cos180B=x|x +x=0A B=⋂————已知集合，，,则2、已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a =3、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为4、函数)(log1321-=x y 的定义域为5、一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是6、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有辆7、巳知函数))2,0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根43,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为___8、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于____9、在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，则这两条平行直线间的距离为 10、已知,31)75cos(=+︒α则)230cos(α-︒的值为11、数列{}n a 的通项222(cossin)33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为12、已知()3,3A ，O 是原点，点P 的坐标为（x ，y ）满足条件303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则||O A O P z O P ⋅=的取值范围是 13、给出下列四个命题：①“k =1”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；② 函数()πs i n 26y x =-的图像沿x 轴向右平移π6个单位所得的图像的函数表达式是cos 2y x =；③ 函数()2lg 21y ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（0，1）； ④ 设O 是△ABC 内部一点，且2OA OB OC ++=0，则△AOB 和△AOC 的面积之比为1：2；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号） 14、如图，用一块形状为半椭圆1422=+yx )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则S 的最大值是二、解答题15、如图：在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．（1）若A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求()cos βα-的值；（2）已知点()1,3C -，求函数()f O A O Cα=⋅ 的值域．16、如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2. (1)求证:A 1C⊥平面BCDE;(2)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.OxyBAAB CDxy o17、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为36平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）要最小．（１）求外周长的最小值，并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米？（２）如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内，外周长最小为多少米？18、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22， P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断线段PQ 的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．19、设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：ADB C60h①212n n n a a a +++<；② 存在实数M ，使n a M ≤（n 为正整数）．（1）在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====；123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；（2）设{}n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，314c =，374S =，证明：数列{}n S W∈；并写出M 的取值范围；（3）设数列{}n d W ∈，且对满足条件的M 的最小值0M ，都有()*0n d M n ≠∈N ．求证：数列{}n d 单调递增．20、已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（I ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（II ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（O 为坐标原点），且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．江苏省淮阴中学2013届高三（上）期末复习五附加题21、(本小题满分10分)设点P （1,0），Q （0,1）在矩阵01aA b⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换的作用下得到点()'1,1P ，()'0,1Q ；（1）求实数,a b 的值；（2）求2A 的逆矩阵。

2013高三数学三轮回顾课本专用必修5综合练习题1

2011年高考数学三轮回顾课本专用必修五综合练习考号班级姓名一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分） 1．不在 3x + 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是A （0，0）B （1，1）C （0，2）D （2，0）2．如果a 、x 1、x 2、b 成等差数列，a 、y 1、y 2、b 成等比数列，那么1212xx y y +等于A a b ab+ B b a ab- C ab a b+ D a b a b+-3．若0,0b a d c <<<<，则A bd ac <Bdb c a > C a c b d +>+ D a c b d ->-4,…则A 第6项B 第7项C 第10项D 第11项5．抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(, 0)，则ax 2＋bx ＋c >0的解的情况是A <x <2B x >2或x< C x ≠±2 D 不确定，与a 的符号有关 6．若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是Ａ12Ｂb Ｃ 2ab Ｄ22a b + 7．如图，为了测量隧道两口之间AB 的长度，对给出的四组数据，计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是A ．,,a b γB ．,,a b αC ．,,a b βD ． ,,a αβ8．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为A 8B 6C 22D 23 9．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 A32B 1C 4D 23 10．下列函数中，最小值为4的有多少个？①4y x x=+② 4sin sin y x x=+(0)x π<< ③ e 4e x x y -=+ ④3log 4log 3x y x =+A ．4B ．3C ．2D ．1二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卷中相应的空格中）11．不等式2320x x --≤的解集是， 12．在ABC ∆中，45,60,6B C c ===，则最短边的长是，13．约束条件22324x y x y π⎧≤⎪-≤≤⎨⎪+≥⎩构成的区域的面积是平方单位，14．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则 ①比数列的公差d ＜0 ②S 9一定小于S 6③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值其中正确的是（填入你认为正确的所有序号）三．解答题（满分80分）15．（本小题12分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．16．（本小题13分）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集.17．（本小题13分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m ，最大装水量为723m ，池底和池壁的造价分别为2a 元2/m 、a 元2/m ，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？18．（本小题14分）某工厂要制造A 种电子装置41台，B 种电子装置66台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A 、B 的外壳分别为2个和7个，乙种薄钢板每张面积5㎡，可做A 、B 的外壳分别为7个和9个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？19．（本小题14分）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件24,1,2,nnS n S ==，（1）求数列{}n a 的通项公式和n S ；（2）记12n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T510152010533YX20．（本小题14分）如图所示，L 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在L 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A ，20 s 后监测点C 相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s.（1）设A 到P 的距离为x km ，用x 分别表示B 、C 到P 的距离，并求x 值；（2）求静止目标P 到海防警戒线L 的距离（结果精确到0.01 km ）。

高三数学五月模拟试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】A解析：由题意知，函数的定义域为R，且当x<0时，f(x)=x+2，当x≥0时，f(x)=x-2。

因此，f(x)在x=0处不连续。

2. 【答案】C解析：由三角函数的性质知，sin(π/6) = 1/2，cos(π/6) = √3/2，tan(π/6) = √3/3。

代入选项计算，只有C选项满足条件。

3. 【答案】B解析：由二次函数的性质知，当a>0时，函数开口向上，且顶点为函数的最小值点。

计算得a=1，b=-4，c=4，顶点坐标为(2, 0)。

4. 【答案】D解析：由复数的性质知，若z是复数，则|z|^2 = z·z，其中z是z的共轭复数。

计算得|z|^2 = 4，即|z| = 2。

5. 【答案】C解析：由数列的性质知，若数列{an}是等差数列，则an = a1 + (n-1)d，其中d是公差。

计算得d = 2，a6 = a1 + 5d = 3 + 10 = 13。

6. 【答案】B解析：由排列组合的性质知，从n个不同元素中取出m个元素的组合数C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

计算得C(10, 3) = 10! / [3!(10-3)!] = 120。

7. 【答案】A解析：由向量的性质知，若向量a和向量b垂直，则a·b = 0。

计算得a·b = 3×(-1) + 4×2 = 5 ≠ 0，因此a和b不垂直。

8. 【答案】C解析：由函数的性质知，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上一定存在最大值和最小值。

计算得f(x)在区间[0, 2π]上连续，因此一定存在最大值和最小值。

解析：由概率的性质知，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。

计算得P(A∪B) = 1/4 + 1/6 = 5/12。

10. 【答案】B解析：由数列的性质知，若数列{an}是等比数列，则an = a1·r^(n-1)，其中r是公比。

2022高三总复习人教A版数学(理)配套练习：第5章第1讲

(金榜教程)2022高三总复习人教A版数学（理）配套练习：第5章第1讲(时刻：45分钟分值：100分)一、选择题1. 下列四个关于数列的说法：①数列能够看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2，…，n})上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看差不多上一群孤立的点；④数列的通项公式是唯独的．其中正确说法的序号是()A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ①②③④答案：C解析：∵②中数列项数能够有无限项，故②错．④中数列的通项公式不一定唯独，有的有多个，故④错．①③正确．故选C.2. [2021·陕西五校模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于()A. 4B. 2C. 1D. －2答案：A解析：∵Sn＝2an－2，∴S1＝a1＝2a1－2.即a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2a2－2，∴a2＝4.3. [2021·西安模拟]已知数列2，5，22，11，…，则25在那个数列中的项数为()A. 6B. 7C. 19D. 11答案：B解析：设2，5，8，11，…形成的数列为{an}，被开方数形成的数列为{bn}，从形式上讲，每一项都有二次根号，被开方数为2,5,8,11，…，易归纳出数列{bn}的一个通项公式为bn ＝3n －1，因此an ＝3n －1，25＝20＝3n －1，解得n ＝7，因此25是那个数列的第7项．4. [2021·金版原创]已知数列{an}满足an ＋1＝11－an，若a1＝12，则a 2021＝( )A. 12B. 2C. －1D. 1答案：B解析：由a1＝12，an ＋1＝11－an 得a2＝11－a1＝2，a3＝11－a2＝－1，a4＝11－a3＝12，a5＝11－a4＝2，…，因此a3n ＋1＝12，a3n ＋2＝2，a3n ＋3＝－1，因此a2021＝a3×670＋2＝2，故选B.5. [2021·济宁质检]已知Sn 是数列{an}的前n 项和，Sn ＋Sn ＋1＝an ＋1(n ∈N*)，则此数列是( )A. 递增数列 B . 递减数列C. 常数列D. 摆动数列答案：C解析：∵Sn ＋Sn ＋1＝an ＋1，∴当n ≥2时，Sn －1＋Sn ＝an.两式相减得an ＋an ＋1＝an ＋1－an ，∴an ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴an ＝0(n ∈N*)，故选C.6. [2021·赤峰模拟]已知数列{an}的通项公式为an ＝(n ＋2)(78)n ，则当an 取得最大值时，n 等于( )A. 5B. 6C. 5或6 D . 7答案：C 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ an ≥an －1，an ≥an ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋278n ≥n ＋178n －1，n ＋278n ≥n ＋378n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.二、填空题7. 在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝2nan(n ∈N*)，则数列{an}的通项公式为an ＝________.答案：2n n －12 解析：由题意知，an ＋1an ＝2n ，an an －1＝2n －1，an －1an －2＝2n －2，…，a2a1＝2，又a1＝1，因此an ＝an an －1·an －1an －2·…·a2a1·a1＝2n －1·…·2·1＝2n n －12. 8. [2021·唐山模拟]在数列{an}中，a1＝1，an ＋1－an ＝2n ＋1，则数列的通项an ＝________.答案：n2解析：∵an ＋1－an ＝2n ＋1.∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用an ＝n2.9. [2021·海口质检]如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．答案：100解析：用an 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a1＝12，a2＝16，a3＝20，…，由此可得{an}是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a23＝a1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100.三、解答题10. 已知下列数列{an}的前n 项和Sn ，求{an}的通项公式：(1)Sn ＝2n2－3n ；(2)Sn ＝3n ＋2.解：(1)当n ＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(2n2－3n)－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a1也适合此等式，∴an ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a1＝S1＝5，当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2)＝2·3n －1.∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5， n ＝1，2·3n －1 n ≥2. 11. [2021·宜春月考]数列{an}的通项公式是an ＝n2－7n ＋6.(1)那个数列的第4项是多少？(2)150是不是那个数列的项？若是那个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项差不多上正数？解：(1)当n ＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an ＝150，即n2－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是那个数列的第16项．(3)令an ＝n2－7n ＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴从第7项起各项差不多上正数．12. [2021·金版原创]已知数列{an}满足a1＝1，an ＝a1＋12a2＋13a3＋…＋1n －1an －1(n>1)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)若an ＝2021，求n.解：(1)∵a1＝1，且an ＝a1＋12a2＋13a3＋…＋1n －1an －1(n>1)． ∴a2＝a1＝1，an ＋1＝a1＋12a2＋13a3＋…＋1n －1an －1＋1n an(n ≥1)． ∴an ＋1－an ＝1n an(n ≥2)． ∴an ＋1＝n ＋1n an ， ∴an ＋1n ＋1＝an n (n ≥2)． ∴an n ＝an －1n －1＝…＝a22＝12， ∴an ＝n 2(n ≥2)． ∴an ＝⎩⎨⎧ 1n ＝1n 2 n ≥2. (2)∵an ＝n 2＝2021，∴n ＝4026.。

江苏省张家港市崇真中学2015届高三上学期数学练习五 Word版含答案

江苏张家港市崇真中学2014-2015第一学期高三数学练习52014.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2．命题“2,220x R x x ∃∈++≤”的否定是3．=++5lg 5lg 2lg 2lg 24．已知集合}2,1,1{-=M ，集合{}20<<=x x N ，则N M =5．若7.07.06.02.1,6.0,6.0===c b a ，试比较c b a ,,大小6．设函数)(x f 是奇函数且周期为3，)2014(1)1(f f -=-= ．7．已知ab c b a c b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，则C ∠=89．已知函数a x x x x f ++-=96)(23在R x ∈上有三个零点，则实数a 的取值范围是10．已知函数]5,1[)(∈x f ，则函数)(1)()(x f x f x g +=的值域为 11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在[)+∞,2上为减函数，则实数a 的取值范围是．12．函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<=383103130|log |)(23x x x x x x f 若存在,,,,d c b a 满足)()()()(d f c f b f a f ===，其中0>>>>a b c d ，则abcd 的取值范围是14．若关于x 的方程032222122=+-⋅+-a a x x 有唯一解，则实数a 的值是13*．已知),(11)(2424R x k x x kx x x f ∈++++=，则)(x f 的最大值与最小值的乘积为14*．设函数()x f x m π=，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本小题满分14分）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值；（2）求cos β的值．16．（本小题满分14分）（1）解不等式：3)61(log 2≤++x x ；（2）已知集合2{|320}A x x x =-+=，{|013}B x ax =≤+≤．若A B B =，求实数a 的取值组成的集合．17．(本小题满分15分) （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值．18．(本小题满分15分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.18、（本小题满分15分）已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).(1) 若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+．∞)上是增函数；(2) 求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；20．（本小题满分16分）设函数,1)(223+-+=x a ax x x f 12)(2+-=x ax x g 其中实数0≠a ．（1）若0>a ，求函数)(x f 的单调区间；（2）当函数)(x f y =与)(x g y =的图象只有一个公共点且)(x g 存在最小值时，记)(x g 的最小值为)(a h ，求)(a h 的值域；（3）* 若)(x f 与)(x g 在区间)2,(+a a 内均为增函数，求a 的取值范围．5答案：1、 π2、2,220.x R x x ∀∈++>3、14、{}1 5.、b a c >> 6、17、60︒ 80 10、294,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、(]4,4- 12. (,)3ππ 13、（21,24） 14、 23 13* 32+k ．解析：,1)1(111)(2422424++-+=++++=x x x k x x kx x x f 而2421x x ≥+，所以.3110242≤++≤x x x 当1≥k 时，,32)(max +=k x f ;1)(min =x f 当1<k 时，,32)(min +=k x f .1)(max =x f 因此min )(x f .32)(max +=k x f 14* (－∞，－2)∪(2，＋∞)15．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． ∴sin()αβ-=．（2）由（1）可得，cos()αβ-=α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-=43(55+⨯． 16、解：（1）211log (6)3068x x x x++≤⇔<++≤ ()2220168101816033x x x x x x x x x ><++≤⇒-≤⇒=<≤++<⇒--<<-+当x 0时,当x 0时, …………6分综上：{}331x x x --<<-+= …………………………7分（2）A B B =，A B ∴⊆， …………………………………9分120131,,110213212a a a a a -≤≤⎧≤+≤⎧⎪∴∴∴-≤≤⎨⎨≤+≤-≤≤⎩⎪⎩， ……………13分所以实数a 的取值组成的集合为1[,1]2-． …………………14分 17()f x 的单调递减区间1a =，2b =．18．解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N t w t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩…………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯+= 当且仅当25t t=，即5t =时取等号………………………………………10分 ②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小 (14033)由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元……………14分 19、1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='x x x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………6分（2）)0(2)(2>+='x xa x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ………………………………………10分若222-<<-a e ，当2a x -=时，0)(='x f ；当21a x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(a f -2)2ln(2a a a --=．若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f 的最小值为2)2ln(2a a a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．20 解：（1）))(3(323)(22'a x a x a ax x x f +-=-+=，又0>a ， ∴ 当a x -<或3a x >时，0)('>x f ；当3a x a <<-时，0)('<x f ， ∴)(x f 在()a -∞-,和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,3a 内是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,a a 内是减函数．……………4分（Ⅱ）由题意知=+-+1223x a ax x 122+-x ax ，即()[]0222=--a x x 恰有一根（含重根）．∴022≤-a ，即22≤≤-a ，又0a ≠，∴ [)(]2,00,2⋃-∈a ．当0>a 时，)(x g 才存在最小值， ∴(]2,0∈a ． a a a x a x g 11)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，∴a a x h 1)(-=，(]2,0∈a ． ∴)(a h 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-221,． ………………………10 （3）当0>a 时，)(x f 在()a -∞-,和⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 内是增函数，)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a 内是增函数．由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥>,1,3,0a a a a a ，解得1≥a ；当0<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a 和()+∞-,a 内是增函数，)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-a 1,内是增函数．由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤+<,12,32,0a a a a a 解得3-≤a ；综上可知，实数a 的取值范围为(][)+∞⋃-∞-,13,．。

高三数学练习题集

高三数学练习题集一、函数与方程1. 已知函数f(x)=3x+5，求f(2)的值。

2. 如果函数g(x)满足g(x+3)=2x+7，求函数g(x)的表达式。

3. 解方程2x+3=7，并判断方程的解是否唯一。

4. 求方程组 { 2x+y=5 { x-2y=3 的解。

5. 已知函数h(x)=(x-1)(x+2)，求h(x)的零点。

二、三角函数1. 求直角三角形中的一个角度θ，其中sinθ=0.6。

2. 已知角A的正弦值为0.8，求角A的余弦值。

3. 计算tan(45°)的值。

4. 已知三角形ABC，角A=30°，角B=60°，求角C的度数。

5. 转化下列角度为弧度制：a) 45°，b) 120°，c) -60°。

三、概率与统计1. 掷一枚骰子，求得到奇数的概率。

2. 从一副52张扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。

3. 有一个装有5个红球和3个蓝球的盒子，从盒子中不放回地抽取两个球，求抽到两个红球的概率。

4. 一组数据为：5, 7, 3, 8, 4，求这组数据的平均值。

5. 对于一组数据：2, 3, 5, 4, 6，求数据的中位数。

四、数列与级数1. 已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。

2. 求等差数列1, 3, 5, ...的前n项和Sn。

3. 求等比数列2, 4, 8, ...的前n项和S_n。

4. 求级数1+0.5+0.25+0.125+...的和。

5. 求级数1+2+4+8+...+128的和。

五、立体几何1. 一个正方体的棱长为a，求它的表面积和体积。

2. 在平面直角坐标系中，已知四个点A(2, 3)，B(5, 7)，C(-1, 4)，D(3, -2)，判断四边形ABCD是否为矩形。

3. 已知一个圆的半径为r，求它的周长和面积。

4. 已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，求它的斜边长c。

5. 一个椎体的底面是一个半径为r的圆，高为h，求它的体积。

高三数学题型练习题

高三数学题型练习题题一：函数的定义与性质1. 已知函数$f(x)=2x+3$，求函数$f(5)$的值。

解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得$f(5)=2(5)+3=13$。

2. 函数$f(x)$的图像在直线$y=x$上方，$f(0)=-1$，求函数$f(x)$的解析式。

解析：由函数图像在直线$y=x$上方可知，对于任意$x$，都有$f(x)>x$。

又已知$f(0)=-1$，代入函数得$-1>f(0)=2(0)+3=3$，矛盾。

因此，不存在满足条件的解析式。

题二：函数的图像与性质1. 函数$f(x)=(x-2)^2+1$的图像在平面直角坐标系中的形状是什么？解析：函数$f(x)$是二次函数，图像为抛物线。

由$(x-2)^2$的形式可以知道顶点坐标为$(2,1)$，开口方向向上。

2. 函数$f(x)=\sqrt{x^2-3x}$的定义域是什么？解析：由于根号下的表达式必须大于等于0，即$x^2-3x\geq 0$。

对不等式进行因式分解得$x(x-3)\geq 0$，解得$x\leq 0$或$x\geq 3$。

因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0]\cup [3,+\infty)$。

题三：函数的求导与应用1. 已知函数$f(x)=3x^2+2x+1$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

解析：对多项式函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=6x+2$；再对$f'(x)$求导，得到$f''(x)=6$。

2. 函数$y=x^3-4x^2+2$在$x=2$处的切线方程是什么？解析：在$x=2$处，函数$y=x^3-4x^2+2$的导数为$y'=3x^2-8x$。

代入$x=2$得$y'=3(2)^2-8(2)=-10$，即切线的斜率为$-10$。

又因为切线经过点$(2,f(2))=(2,2)$，所以切线方程为$y-2=-10(x-2)$。

高三数学复习练习题

高三数学复习练习题一、选择题1. 若函数 f(x) = 2x + 5，则 f(3) 的值为：A) 6B) 9C) 11D) 132. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点（1, 3），（-2, 2），（0, 1），则 a, b, c 的值分别为：A) a = 2, b = -3, c = 2B) a = 2, b = -2, c = 3C) a = -2, b = 3, c = -2D) a = -2, b = 2, c = -33. 设直线 L1 的方程为 y = 2x + 1，直线 L2 过点（2, 3）且与直线L1 垂直，则直线 L2 的方程为：A) y = -2x - 1B) y = -2x + 7C) y = 1/2x + 4D) y = 1/2x - 14. 已知等差数列 {an} 的公差为 3，若 a1 = 2，an = 20，则该等差数列的项数是：A) 5B) 6C) 7D) 85. 设函数 f(x) = x^2 + bx + c 与 x 轴有两个交点，则 f(x) = 0 的根是：A) 无解B) 一个解C) 两个相等的解D) 两个不等的解二、填空题6. 若 f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + k 与 y 轴交于点（0, 4），则 k 的值为______。

7. 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an = 2n - 5，则 a5 = ______。

8. 在平面直角坐标系中，点 A（4，2）和点 B（k，-2）关于 y 轴对称，求 k 的值为______。

9. 若 log2(x^2 - 1) = 3，则 x 的值为______。

10. 函数 f(x) = ax^2 + bx + c 在点（1, 3）处的导数为 2，求 c 的值为______。

11. 已知函数 f(x) = log(2x + a)，当 x = 3 时，f(x) = 2，则 a 的值为______。

2013高三数学总复习同步练习：5-3平面向量的数量积

5-3平面向量的数量积基础巩固强化1.(文)(2013·浙江省北仑中学上学期12月月考)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a 与a ＋2b 垂直，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－12 D.12[答案] B[解析] ∵a ＋2b ＝(－3,2m ＋3)，a 与a ＋2b 垂直， ∴a ·(a ＋2b )＝－3＋3(2m ＋3)＝6m ＋6＝0， ∴m ＝－1.(理)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( )A ．－3B ．－32C.23 D ．5[答案] D[解析] ∵AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)， ∴BC →＝AC →－AB →＝(2－k,2)， ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝2(2－k )＋6＝10－2k ＝0， ∴k ＝5，故选D.2．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．120°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.3．(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A (1,0)为，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →，(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，OC →＝(λ－2，3λ)， ∵∠AOC ＝120°，cos ∠AOC ＝OA →·OC→|OA →|·|OC →|＝λ－2(λ－2)2＋3λ2， ∴λ－2(λ－2)2＋3λ2＝－12，解之得λ＝1，故选C. 4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →等于( )A ．0 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r (r >0)， ∵OA →＋OB →＝OC →，∴AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝|OB →|2－|OA →|2＝0，故选A.5．若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( )A ．c ⊥aB ．c ⊥bC ．c ∥bD ．c ∥a[答案] A[解析] c ·a ＝|a |2＋a ·b ＝1＋1×2×cos120°＝0. 故c ⊥a .6．(文)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －λb |的最小值为( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D. 3[答案] D[解析] ∵a ·(b －a )＝a ·b －|a |2＝a ·b －4＝2，∴a ·b ＝6，|a －λb |2＝|a |2＋λ2|b |2－2λa ·b ＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－162＋3≥3，∴|a －λb |≥3，故选D.(理)(2011·郑州六校质量检测)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4(t ＋cos θ2)2＋1－cos 2θ.又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.7．已知向量a 、b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是____________．[答案] 1[解析] 向量b 在a 上的投影为l ＝b·a|a|＝|b|·cos60°＝1.8．已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．(2)若△ABC 为Rt △，且∠A 为直角，则m ＝______. [答案] m ∈R 且m ≠12；74[解析] (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线． ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，∴m ≠12.即实数m ≠12，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.9．(文)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝________.[答案] 1[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60° ＝2×1×12＝1.(理)(2011·江西理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．[答案] π3[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝－2，即|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，∴22＋a ·b －2×22＝－2，a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.10．(2012·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b＝b －a c ，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知， cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6，∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]，∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]. 能力拓展提升11.已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，有两个点：A (－1，1)，B (3,3)，那么使向量PA →与PB →夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是( )A ．－1<a <2B ．0<a <1C ．－22<a <22D ．0<a <2[答案] B[解析] 由题意设P (a,2a )，由数量积的性质知，两向量的夹角为钝角的充要条件为：PA →·PB →＝(－1－a,1－2a )·(3－a,3－2a )＝5a 2－10a <0，且除去P 、A 、B 三点共线这种特殊情况，解得0<a <2且a ≠1.分析四个选项中a 的取值范围使得满足条件a 的取值构成的集合只需真包含在集合{a |0<a <2且a ≠1}中即可，只有B 选项符合．12．(2012·天津理，7)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P 、Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222[答案] A[解析] 本小题考查向量的加法、减法法则、向量的数量积以及运算能力．∵△ABC 为正三角形，∴AB ＝AC ＝2且∠BAC ＝60°， ∴AB →·AC →＝2×2×cos60°＝2.又BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝CA →＋AP → ＝－AC →＋λAB →，∴BQ →·CP →＝[(1－λ)AC →－AB →]·(－AC →＋λAB →)＝(λ－1)|AC →|2＋(λ－λ2＋1)AB →·AC →－λ|AB →|2＝(λ－1)×22＋(λ－λ2＋1)×2－λ×22＝－2λ2＋2λ－2，∴－2λ2＋2λ－2＝－32，即4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12.13．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0.内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a 的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域内的任意两个点，故当M 、N 分别为A 、B 点时，MN →·a 取最大值，求得A (0，－6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN →·a ＝40.14．(文)(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.[答案] 18[解析] 过C 作BD 的平行线，与AP 的延长线交于Q 点，则AQ ＝2AP ＝6，则AP →·AC →＝|AP →|·|AC →|cos 〈AP →，AC →〉＝|AP →||AQ →|＝3×6＝18.(理)(2012·安徽理，14)若平面向量a 、b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．[答案] －98[解析] 本题考查了平面向量数量积的性质的应用．解法1：由|2a －b |≤3得，4a 2＋b 2≤9＋4a ·b ，又4a 2＋b 2≥4|a ||b |≥－4a ·b ，所以9＋4a ·b ≥－4a ·b ⇔a ·b ≥－98.解法2：由向量减法的三角形法则知，当a 与b 方向相反时，|2a －b |取到最大值，此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λ－1||b |＝3，∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|，当a 与b 共线反向时，a ·b ＝|a |·|b |·cosπ＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ(2λ－1)2＝9－(－4λ－1λ)－4≥－98，(当且仅当λ＝－12时取等号)，∴a ·b 的最小值为－98.[点评] 在高考中对平面向量的考查，数量积的性质的应用是考查的重点内容，应在复习中加以重视．15．(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A2，cos(B＋C ))，A 、B 、C 为△ABC 的内角，其所对的边分别为a 、b 、c .(1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小；(2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． [解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－12)2＋32，∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴当sin A 2＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值．(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∵C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6)，∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6，∴－12<sin(2B －π6)≤1，∴3<b 2＋c 2≤6，∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]．16．(文)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小． [解析] (1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则(－12)×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.(理)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)由a 与b －2c 垂直．a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .1．已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a 、b 的夹角为( )A.3π2－θ B ．θ－π2C.π2＋θ D ．θ[答案] A[解析] 解法一：∵π2<θ<π，∴由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ，∴a 与b 的夹角为3π2θ.解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ.2．(2012·湖南理，7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )A. 3B.7C ．2 2 D.23[答案] A[解析] 本题考查向量的运算及解三角形中余弦定理应用．由题意知，AB →·BC →＝1，即AB →·(BA →＋AC →)＝1，－AB →2＋AB →·AC →＝1，∴AB →·AC →＝5，设〈AB →，AC →〉＝θ，则2×3×cos θ＝5，∴cos θ＝56，在△ABC 中，由余弦定理，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝4＋9－2×2×3×56＝3，∴BC ＝ 3.3．(2012·浙江理，5)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则b 与a 的方向相反，或b ＝0，∴存在实数λ(λ≤0)，使b ＝λa ，因此C 正确．[点评] |a ＋b |＝|a |－|b |⇔a ·b ＝－|a |·|b |⇔a 与b 反向共线或b ＝0；|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a ·b ＝|a |·|b |⇔a 与b 同向共线或至少一个为0.4．(2012·大纲全国理，6)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13b B.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b [答案] D [解析]∵a ·b ＝0， ∴∠ACB ＝90°，又|a |＝1，|b |＝2 ∴AB ＝5，∴CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455. 即AD BD ＝4 1.∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45(a －b )．故选D.本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D 的位置． 5．(2012·黄冈市期末)若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．6．(2012·天津五县区期末)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.7．(2012·北京东城区期末)如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8B.π4 C ．4 D ．8[答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2π＝8，∴ω＝π4.。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 5 一元二次不等式的解法

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结5 一元二次不等式的解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 答案 A解析不等式可化为⎩⎨⎧4x （x －1）≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( )A ．－81B ．81C ．－64D ．64答案 B解析不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集为{x |1<x <3}，所以1，3是方程x 2－ax －b ＝0的根，所以⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81. 3．不等式5x －102x －3≤0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2或x <32 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32 答案 C解析不等式5x －102x －3≤0等价于(5x －10)(2x －3)≤0，且2x －3≠0，解得32<x ≤2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6，2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．{k |0＜k ≤1}B ．{k |k ＜0或k ＞1}C ．{k |0≤k ≤1}D ．{k |k ＞1}答案 C解析当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎨⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧k ＞0，36k 2－4k （k ＋8）≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B ．(－7，24)C ．(－24，7)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)答案 B解析由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B.7．关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为( )A ．(5，6]B ．(5，6)C ．(2，3]D ．(2，3)答案 A解析关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5，6].故选A.8．对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1>k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x 2＋2x ＋2>kx 2＋kx ＋k 对x ∈R 恒成立，即(k －3)x 2＋(k －2)x ＋k －2<0恒成立，∵当k ＝3时，x ＋1＜0不恒成立，∴⎩⎨⎧k －3<0，Δ<0，Δ＝(k －2)2－4(k －3)(k －2)＝(k －2)(k －2－4k ＋12)＝(k －2)(10－3k ).由Δ<0，得k <2或k >103.又k <3，∴k <2，∵k 为正整数，∴k ＝1.9．(多选)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则关于x 的不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为( )A ．10B ．3C ．－4.5D ．－5答案 BC解析不等式[x ]2＋[x ]－12≤0可化为([x ]＋4)([x ]－3)≤0，解得－4≤[x ]≤3.又[x ]表示不小于实数x 的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.10．(多选)关于下列四个不等式的说法，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1答案 BCD解析对于A ，由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)·(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，故错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23，故正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，故a ＝3，故正确；对于D ，依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，∴q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故正确．故选BCD.11．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a ).12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.则同时满足①②的x 的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 (2，3) (－∞，9]解析由①得1<x <3，由②得2<x <4，故同时满足①②的x 的取值范围为2<x <3.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2，3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上大于9，所以实数m 的取值范围为m ≤9.二、高考小题13．(2022·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示).答案 (－4，1)解析不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.三、模拟小题16．(2022·山东枣庄八中月考)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 B解析令f (x )＝x 2－4x －2－a ，则函数的图象为开口向上且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f (x )<f (4)＝－2－a ，若不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则－2－a >0，解得a <－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2).故选B.17．(2022·北京房山区月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2，即⎩⎨⎧x ≤0，x ＋2≥x 2①或⎩⎨⎧x >0，－x ＋2≥x2②.解①可得－1≤x ≤0，解②可得0<x ≤1.综上可得，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1].故选A.18．(2022·湖南湘潭高三模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]答案 D解析因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为1<x <a ，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，即1<a ≤4；当a ＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a <1时，不等式的解集为a <x <1，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≥－2，即－2≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－2，4].故选D.19．(2022·山西运城模拟)某电商新售A 产品，售价每件50元，年销售量为11.8万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x %的营业税(即每销售100元征税x 元).第二年，电商决定将A 产品的售价提高50·x %1－x %元，预计年销售量减少x 万件．要使第二年A 产品上交的营业税不少于10万元，则x 的最大值是( )A ．2B ．5C ．8D ．10答案 D解析由题意，第二年A 产品年销售量为(11.8－x )万件，A 产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %元，所以第二年A 产品年销售额为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )万元，则第二年A 产品上交的营业税为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %万元．由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %≥10，化简得x 2－12x ＋20≤0，即(x －2)(x －10)≤0，所以2≤x ≤10，所以x 的最大值是10.故选D.20．(多选)(2022·湖北宜昌模拟)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥66答案 ACD解析因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25，故A 正确；因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66，故B 错误；由题意，得⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66，故C 正确；由题意，得⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66，故D 正确．故选ACD.21．(多选)(2022·江苏省淮安市清江浦区校级期末)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法中正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m ＞－14C ．当m ＞0时，2＜x 1＜x 2＜3D ．当m ＞0时，x 1＜2＜3＜x 2答案 ABD解析当m ＝0时，方程为(x －2)(x －3)＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，所以A 正确；方程整理可得x 2－5x ＋6－m ＝0，有不同的两实数根的条件为Δ＝25－4(6－m )＞0，可得m ＞－14，所以B 正确；当m ＞0时，即(x －2)(x －3)＞0，函数f (x )＝(x －2)(x －3)－m 的图象与x 轴交于点(x 1，0)，(x 2，0)，可得x 1＜2＜3＜x 2，所以C 不正确，D 正确．故选ABD.22．(2022·广西柳州模拟)若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意的实数a ，b 均成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8，4]解析由已知可得a 2－λab ＋(8－λ)b 2≥0，若b ＝0，则a 2≥0恒成立；若b ≠0，对不等式两边同除以b 2可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－λ·a b ＋8－λ≥0恒成立，故Δ＝λ2－4(8－λ)≤0，解得－8≤λ≤4，故实数λ的取值范围为[－8，4].一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·河南信阳高三模拟)已知关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a <1时，解上述关于x 的不等式．解 (1)当a ＝2时，代入可得(2x －1)(x －1)<0，解不等式可得12<x <1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.若a <1，当a ＝0时，代入不等式可得－x ＋1<0，解得x >1；当0<a <1时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，由1a >1，可得1<x <1a ；当a <0时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，解不等式可得x ＞1或x <1a . 综上可知，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1a . 2．(2022·湖北襄阳模拟)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1，1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1，1]恒成立，设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1，1]，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1；③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0恒成立．综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞).(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0，因为1－⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <－a ＋1a ；当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a ＋1a <x <1. 3．(2022·陕西咸阳高三阶段检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小.解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n ).当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .4．(2022·上海松江区高三检测)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意x ∈[－1，1]，不等式tf (x )≤2恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎨⎧b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2－10x .(2)不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0，即⎩⎨⎧2x 2－10x >0，2（x 2＋2kx ＋k 2）－10（x ＋k ）<0，解得⎩⎨⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以实数k 的取值范围是[－2，－1).(3)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立；当t >0时，有⎩⎨⎧t ·1－5t ·（－1）－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎨⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1，1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0.综上，实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，16.。

高三数学专题练习题

高三数学专题练习题【题目一】已知集合$A=\{x|x^2-2x>5\}$，集合$B=\{y|y^2+y-12>0\}$，求集合$(A\cup B)\cap B^C$。

【解答一】首先，我们来求解集合$A$和$B$。

给定不等式$x^2-2x>5$，我们可以将其转化为$x^2-2x-5>0$，进一步因式分解为$(x-5)(x+1)>0$。

然后，我们可以通过建立数表或绘制数轴进行分析，最终得到$x<-1$或$x>5$。

类似地，我们可以解得集合$B$为$y<-4$或$y>3$。

接下来，我们来求解$(A\cup B)\cap B^C$，其中$B^C$表示集合$B$的补集，即$B^C=\{y|y\leq-4\text{或}y\geq3\}$。

首先，求解$A\cup B$，即找出同时属于集合$A$或属于集合$B$的元素。

由于$A$中的元素范围是$x<-1$或$x>5$，而$B$中的元素范围是$y<-4$或$y>3$，因此$A\cup B$的元素范围是$x<-1$或$x>5$，$y<-4$或$y>3$。

然后，我们在$B^C$的基础上再求解$(A\cup B)\cap B^C$，即找出同时属于$(A\cup B)$和$B^C$的元素。

根据前面的分析，我们可以得到$(A\cup B)\cap B^C$的元素范围是$x<-1$或$x>5$，$-4\leq y\leq3$。

综上所述，集合$(A\cup B)\cap B^C$的元素范围是$x<-1$或$x>5$，$-4\leq y\leq3$。

【题目二】已知函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$，求函数$f(x)$的反函数。

【解答二】要求一个函数的反函数，首先需要让函数是双射的，即函数是一一对应的。

我们来分析函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$的定义域。

高三数学练习题及答案

高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。

A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。

A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。

A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。

2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。

3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。

4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。

5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。

三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。

2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。

4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。

5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。

6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。

7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

数学高三综合练习题

数学高三综合练习题1. 已知函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，请计算 f(2) 的值。

解答：将 x = 2 带入函数 f(x)，得到f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 1= 8 - 8 + 6 - 1= 5因此，f(2) = 5。

2. 已知函数 g(x) = 2x + 1，求 g(4) 的值。

解答：将 x = 4 带入函数 g(x)，得到g(4) = 2(4) + 1= 8 + 1= 9因此，g(4) = 9。

3. 已知直线 Ax - By = C，其中 A = 3，B = 2，C = 6，请将此直线的斜率表示为分数的形式。

解答：根据直线的一般方程形式，斜率可以表示为 -A/B。

将 A = 3，B = 2 带入，得到斜率 = -A/B = -3/2因此，直线的斜率表示为 -3/2。

4. 求解方程组：2x + 3y = 73x - 4y = 14解答：可以使用消元法来求解方程组。

首先，将第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，得到：6x + 9y = 216x - 8y = 28然后，两个方程相减，消去 x，得到：6x - 6x + 9y + 8y = 21 - 2817y = -7解方程，得到 y = -7/17。

将 y 的值带入第一个方程，得到：2x + 3(-7/17) = 72x - 21/17 = 72x = 7 + 21/17解方程，得到 x = 79/34。

因此，方程组的解为 x = 79/34，y = -7/17。

5. 求解不等式组：x + y ≥ 52x - 3y ≤ 6解答：首先，我们将第一个不等式转化为y ≤ 5 - x。

然后，将第二个不等式乘以 -1，使不等号方向翻转，得到 -2x + 3y ≥ -6。

接下来，我们需要找到两个不等式的交集部分。

绘制图形来表示不等式，发现两个不等式的交集部分为一个封闭的区域。

因此，不等式组的解为x + y ≥ 5 且 2x - 3y ≤ 6。

盐城中学2014届高三数学练习5

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1．已知集合{}{}{}20,2,,1,,0,1,2,4A a B a A B ==⋃=若，则实数a 的值为 .2．若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为．3．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是偶数的概率为． 4．在等比数列{}n a 中，若12a =，98a =，则5a =____.5．若变量,x y 满足条件30380x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为_____．6．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是． 7．执行下边的程序框图,若15p =，则输出的n = ．8．数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S = _ ． 9．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为．10．在直角坐标系xoy 中，已知点A (0, 1)和点B (–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||= 2，则= ．11．当钝角ABC ∆的三边,,a b c 是三个连续整数时，则ABC ∆外接圆的半径为____．12．已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M 的最小值为．13．关于x 的方程3210ax x x -++=在(0,)+∞上有且仅有一个实数解，则a 的取值范围第6题为_ ．14．设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1si n )(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a ,满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根,则数列}{n a 的通项公式为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且C B A ,,成等差数列．（1）若AB BC ⋅ ＝32-，,3=b 求a ＋c 的值；（2）求2sin sin A C -的取值范围．16．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥B 1C ；（2）求证：AC 1∥平面B 1CD ；（3）求三棱锥CD B B 1-的体积．17．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.第7题AA 1BC DB 1C 118．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。

2013高三数学总复习同步练习：5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题

5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(文)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8.(理)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1， MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135°＝22×1×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－12，∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B.2．已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定[答案] A[解析] 解法1：p ·q ＝sin A －cos B ，若p 与q 夹角为直角，则p ·q ＝0，∴sin A ＝cos B ，∵A 、B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，则C ＝π2，与条件矛盾；若p 与q 夹角为钝角，则p ·q <0，∴sin A <cos B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∵sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴A <π2－B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角．解法2：由题意可知A ＋B >π2⇒A >π2－B ⇒sin A >sin(π2－B )＝cos B ⇒p ·q ＝sin A －cos B >0，又显然p 、q 不同向，故p 与q 夹角为锐角．3．(2012·河北郑口中学模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 如图，PB →＋PC →＝PE →＝2PD →，∵PB →＋PC →＋2P A →＝0，∴P A →＋PD →＝0，∴P 为AD 的中点，∴所求概率为P ＝S △PBC S △ABC ＝12.4．(文)(2011·成都市玉林中学期末)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．(理)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.5．(2012·吉林实验中学模拟)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →[答案] D[解析] EF →＝AF →－AE →＝(AB →＋12BC →)－(AD →＋12DC →) ＝AB →＋12AD →－AD →－12AB →＝12AB →－12AD →.6．(2012·浙江宁波市期末)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12 B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.7.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92.8．(2012·会昌月考)已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.9.(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] －32[解析] AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2－12AD →·AB →＝1－2－12×1×2·cos60°＝－32.10．(文)(2012·豫南九校联考)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数f (x )最小正周期T ＝2π. (2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4)取到最大值 2. (理)(2012·龙岩月考、河北衡水中学调研)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．[解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0，即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14，方案二：选择①③，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14. (注意：选择②③不能确定三角形)能力拓展提升11.(文)(2012·浙江省样本学校测试)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析]取BC 的中点M ，连接AM 、OM ， AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →＝AM →·BC →＝AC →＋AB →2·(AC →－AB →)＝|AC →|2－|AB →|22＝8，故选D. (理)(2011·福建理，8)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析] OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.12．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2[答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.13．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy 中，i 、j 分别是与x轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.14．(2012·苏北四市统考)已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] AP →＝(x －1，y )，OA →＝(1,0)， BP →＝(x ，y －2)，OB →＝(0,2)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2(y －2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥2， ∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋2×2＝3，∴OP →·AB →的最小值为3.15．(文)已知向量a ＝1sin x ，－1sin x ，b ＝(2，cos2x )，其中x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(1)试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？ (2)求函数f (x )＝a ·b 的最小值．[解析] (1)若a ∥b ，则有1sin x ·cos2x ＋1sin x ·2＝0. ∵x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1矛盾，∴a 与b 不能平行． (2)∵f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2xsin x＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x ， ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴sin x ∈(0,1]，∴f (x )＝2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝2 2.当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号，故函数f (x )的最小值为2 2.(理)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23AB →)＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13AB →·CB →＝－|AC →|2＋12|CB →||CA →|cos90°＋223|AC →|2cos45°＋23|AC →|2cos45°＝－|AC →|2＋|AC →|2＝0，∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .1．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A ．(0，π6)B ．(π6，π] C ．(π3，π] D ．(π3，2π3][答案] C[解析] 设a 与b 的夹角为θ，f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a ·b >0⇒cos θ<12，又θ∈[0，π]，所以θ∈(π3，π]，故选C.2．设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝3，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝8x [答案] A[解析] ∵F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0得，(x 1－p 2)＋(x 2－p 2)＋(x 3－p2)＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3＝32p . 又由抛物线定义知，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p 2)＋(x 3＋p2)＝3p ＝3，∴p ＝1，因此，所求抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.3．不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案] A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ.消去λ得x ＋y ＝2，故选A. 4．已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at )， ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.5．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC 、△MCA 和△MAB 的面积分别为12、x 、y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝23，∴bc cos A ＝23， ∵∠BAC ＝30°，∴bc ＝4， ∴S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，1x ＋4y ＝2(x ＋y )x ＋8(x ＋y )y ＝(2y x ＋8xy )＋10≥18. 等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝8x y ，x ＋y ＝12.∴x ＝16，y ＝13，∴在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝13.时，1x ＋4y 取得最小值18.6．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．[答案]102[解析] ∵PF 与圆x 2＋y 2＝a 24相切，∴OE ⊥PF ，且OE ＝a2，∵OE→＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，又O 为FF 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF |＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PFF 2中，|PF |2＋|PF 2|2＝|FF 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2＝52，∵e >1，∴e ＝102.7．(2012·广东惠州二调)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)与b ＝(3，1)，其中θ∈(0，π2)．(1)若a ∥b ，求sin θ和cos θ的值； (2)若f (θ)＝(a ＋b )2，求f (θ)的值域． [解析] (1)∵a ∥b ，∴sin θ·1－3cos θ＝0，求得tan θ＝ 3.又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.∴sin θ＝32，cos θ＝12.(注：本问也可以结合sin 2θ＋cos 2θ＝1或化为2sin(θ－π3)＝0来求解)(2)f (θ)＝(sin θ＋3)2＋(cos θ＋1)2 ＝23sin θ＋2cos θ＋5＝4sin(θ＋π6)＋5，又∵θ∈(0，π2)，θ＋π6∈(π6，2π3)， 12<sin(θ＋π6)≤1，∴7<f (θ)≤9，即函数f (θ)的值域为(7,9]．。

高三数学复习题含详细答案

高三数学复习题含详细答案高三数学复习题含详细答案在高三的数学复习中，做题是非常重要的一部分。

通过做题，不仅可以巩固知识点，还可以提高解题能力和应试技巧。

本文将为大家提供一些高三数学复习题，并附上详细的解答，希望对大家的复习有所帮助。

1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，求 f(-2) 的值。

解答：将 x = -2 代入函数 f(x) 中，得到 f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。

所以 f(-2) 的值为 0。

2. 某商品原价为 200 元，现在打 8 折出售，求打折后的价格。

解答：打 8 折相当于打 80% 的折扣，所以打折后的价格为200 × 80% = 160 元。

3. 已知直角三角形的两条直角边分别为 3cm 和 4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。

4. 解方程 2x + 5 = 3x - 1。

解答：将方程中的 x 都移到一边，得到 2x - 3x = -1 - 5，即 -x = -6。

两边同时乘以 -1，得到 x = 6。

所以方程的解为 x = 6。

5. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A 与 B 的交集和并集。

解答：A 与 B 的交集为 {3, 4, 5}，并集为 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。

6. 某数学竞赛共有 80 人参加，其中男生占总人数的 60%，女生占总人数的百分之几？解答：男生占总人数的 60%，那么女生占总人数的比例为 100% - 60% = 40%。

所以女生占总人数的百分之几为 40%。

7. 某数列的前两项为 1 和 2，从第三项开始，每一项都是前两项的和，求第 10项的值。

解答：根据数列的定义，第三项为 1 + 2 = 3，第四项为 2 + 3 = 5，依次类推可以得到数列的前十项为：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。

连云港市田家炳中学高三数学练习(5)

7983456739 （第6题）YN 输出a开始04i a ←←，22a a a +←-1i i ←+3i <结束（第7题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}11A =-，，{}10B =，，那么A B ＝．2．已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ．3．若抛物线()220y px p =>上的点()2A m ，到焦点的距离为6，则p = ． 4．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若445ij a =，则i j += ．5．若直线()2210a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是． 6．某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）7．若执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为．8．已知单位向量a ，b 的夹角为120°，那么()2x x -∈R a b 的最小值是．9．已知角ϕ的终边经过点()12P -，，函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭= ． 10．各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，，若函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x '，则1()2f '= ．11．若动点P 在直线l 1：20x y --=上，动点Q 在直线l 2：60x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范围是． 12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为．13 5 7 9 11…… （第4题）13．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为．14．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅ 的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数()sin 2cos f x m x x =+ ()0m >的最大值为2．（1）求函数()f x 在[]0π，上的单调递减区间；（2）△ABC 中，ππ()()46sin sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C =60°，3c =，求△ABC 的面积．15．（本题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证：（1）PA ⊥平面EBO ；（2）FG ∥平面EBO ．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，PABCOEFG已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m 元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18．已知椭圆22221x y a b += ()0a b >>的右焦点为1(20)F ，，离心率为e . （1）若22e =，求椭圆的方程；（2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，若3k ≥，求e 的取值范围．。

导数答题专题5大题型练习题高三数学一轮复习

1导数大题专题训练一、导数恒成立（存在）问题类型一分离参数1.已知函数()ln (0)f x x x x =>.(分离参数,恒成立2问)(1) 求()f x 的单调区间和极值.(2) 若对任意23(0,),()2x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.2.已知函数ln()(),().xxf x ax e a Rg xx=-∈=（分离参数，存在2问）（1）求函数()f x的单调区间.（2）o (0,),()()xx f x g x e∃∈+∞≤-使不等式成立，恒成立，求实数a的取值范围.233. 已知函数()ln f x x =（1）求函数()(1)g x f x x =+-的最大值.（2）若对任意0x >时，不等式2()1f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围.4. 已知函数2()ln +(0)f x x x a ax=+≠ （1）当1()a f x =时，求的极值.（2）若对任意1()2,x e e f x x -∈<+（,）,时求实数a 的取值范围.4类型二最值定位法解双参不等式恒成立问题1.设函数()2cos ,()ln (0)k f x x x g x x k x =--=-->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意11[0,]2x ∈，总存在21[,1]2x ∈，使得12()()f x g x ≤，求实数k 的取值范围.52. 已知函数1()ln ,()(0)2a f x x mx g x x a x =-=->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若21221,,[2,2]2m x x e e=∀∈，都有12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围.63. 已知函数32333(),()(1)31,.x+12x f x g x x a x ax a -==-++--其中为常数（1）当=1a 时，求曲线()y g x =在0x =处的切线方程；（2）若0a <，对与任意1[1,2]x ∈，总存在2[12]x ∈，，使得12()=()f x g x ，求实数a 的取值范围.7类型三做差法构造函数（讨论参数成立时的范围）1. 已知函数22()ln f x a x x ax =-+（1）当1a =-时，求()f x 的极值;（2）若()0+f x <∞在（0，）上恒成立，求实数a 的取值范围.82. 已知函数21()1,(),.2x f x x a e g x x ax a =+-=+（）其中为常数（1）当2a =时，求函数()f x 在点(0)f （0，）处的切线方程; （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.93. 函数2()2ln ,().f x x ax x a R =-+∈（1）若曲线()y f x =在点(1)f （1，）处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值;（2）若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-在区间0]e （，上恒成立，求实数a 的取值范围.10 二．导数与函数零点问题类型一、讨论函数零点的个数1. 已知函数()cos .x f x e x =-（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点.11 2. 已知函数()cos 2x f x e x x =--（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求()f x 在(,)2π-+∞上的零点个数.123. 已知函数()cos 1f x ax x =-在[0,]6π31π- （1）求a 的值;（2）求证：()f x 在(0)2π，上有且仅有2个零点.13类型二、由函数的零点个数确定参数取值范围4. 已知函数2()+ln 1()f x ax x a R =+∈（1）若函数()f x 在(1)+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间1(,)e e 上有且只有两个零点，求实数a 的取值范围.145. 已知函数()(2)x f x e a x =-+（1）若1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6. 已知函数2=-+-∈f x a x x a x a R()ln(21)()f x的单调区间；（1）若1a=时，讨论()f x的极值；（2）求函数()f x有两个不同的零点，求a的取值范围. （3）若函数()1516三、导数与不等式证明类型一构造函数证明不等式（()()()h x f x g x =-）1. 已知函数()2ln 1f x x x =+（1）求()f x 的最小值；（2）证明：21()2ln f x x x x x ≤-++.172. 已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1,(1,),a x =∈+∞证明：32()3f x x <3. 已知函数()=x-的图象在点（0,1）处的切线斜率为1-.f x e axf x的极值；（1）求a的值及()（2）证明：2当时，.0x><x x e1819类型二将不等式转化为两个函数的最值进行比较（隔离分析最值法）4. 已知函数()ln ,().x x f x x x x g x e=+= （1）若不等式2()()f x g x ax ≤对[1,+x ∈∞）恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()+1().f x x g x ->5. 已知函数2()lnf x ex x x=-.求证：当1 0()xx f x xee ><+时，20216. 已知函数()ln ()f x e x ax a R =-∈（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20.x xf x e ex -+≤22类型三适当放缩证明不等式（1,ln 1x e x x x ≥+≤-）1. 已知函数2()ln(1),.1f x a x a x =-+-其中为实数（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当2x >时，()(1)2.x f x e a x a <+--232. 已知函数()ln 1f x ax x =--（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.（2）求证：ln 10xe x x x ++-≥.24四．极值点偏移类型一利用1212,x x x x +问题转化，构造函数1. 已知函数21()ln 2f x x x a x =-+（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12ln 23()()24f x f x +>--25类型二比值换元1. 已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>262. 设函数()=(),x x x f x g x ae x a e=-，其中的实数.，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()g x 有两个零点1212,x x x （<x ），证明：1201x x << .273. 已知函数2()22ln ,f x ax x x a R =-∈（1）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围.（2）若函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，证明：122ln ln 1x x +>-.284. 已知函数()ln (,)mx n f x x m n R x-=-∈ （1）求函数()f x 在(1)f （1，）处的切线与直线0x y -=平行，求实数m 的值;（2）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,x x x （0<<x ），证明：122x x +>.29类型三对称构造()()(2)F x f x f a x =--1.已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>五．隐零点问题30。