广西南宁市宾阳中学2016-2017学年高二(下)开学数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°4．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x5．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．6．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．57．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．若双曲线﹣=1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=09．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．10．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x11．已知椭圆方程为=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F 的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（）A．=1 B．=1C． +=1 D．=112．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2二．填空题（每题5分，共20分）13．设实数x，y满足，则的最大值是．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．15．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a 的取值范围是．三．解答题17．设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求a的值．19．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．22．已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°【考点】解三角形．【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D4．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程．【解答】解析由双曲线方程﹣=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，∴该双曲线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0）．设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x．故选A．5．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，6．已知a ＞0，b ＞0，a +b=2，则的最小值是（ ）A ．B ．4C ．D ．5 【考点】基本不等式．【分析】利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．【解答】解：∵a +b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立） 故选C7．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极大值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．【解答】解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4． 由导函数的图象可知：当x ∈（a ，x 1）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 1，x 2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，x 3）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 3，x 4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 4，b ）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．故选B．8．若双曲线﹣=1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，9+b2=25，b＞0，从而可求得b，于是可求该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），∴9+b2=25，又b＞0，∴b=4，∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，整理得：4x±3y=0．故选：B．9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．10．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故选A．11．已知椭圆方程为=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F 的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（）A．=1 B．=1C． +=1 D．=1【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，．两式相减可得： +=0．把x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==，代入上式可得：a2=3b2．又c=4，c2=a2﹣b2，联立解得即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，．两式相减可得： +=0．由x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==，代入上式可得：=0，化为a2=3b2．又c=4，c2=a2﹣b2，联立解得a2=24，b2=8．∴椭圆的方程为：．故选：C．12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．二．填空题（每题5分，共20分）13．设实数x，y满足，则的最大值是．【考点】基本不等式．【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．【解答】解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率当过点A（1，）时斜率最大，最大值为故答案为：14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．15．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为﹣1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，由题意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a﹣c，|F1F2|=2c，利用勾股定理可得c2+（2a﹣c）2=4c2，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a﹣c，|F1F2|=2c，∴c2+（2a﹣c）2=4c2，化为c2+2ac﹣2a2=0，即e2+2e﹣2=0，e∈（0，1）．解得e=﹣1．故答案为：．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先求函数的导数，因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．【解答】解：f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣≤a≤∴实数a的取值范围是故答案为三．解答题17．设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集．（2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax﹣1实数a的取值范围即可．【解答】解（1），由图象可得f（x）≤2的解集为﹣（2）函数y=ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线，由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求a的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合bccosA=3，可求bc=5，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（Ⅱ）由bc=5，又b+c=，由余弦定理即可解得a的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵cos=，∴cos A=2cos2﹣1=，sin A=，又bccosA=3，∴bc=5，=bcsinA=2．…∴S△ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c=，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16，∴a=4．…19．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意先求出a，由离心率求出c、b，代入椭圆方程即可；（2）联立直线方程和椭圆方程消去y求出交点A、B的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|．【解答】解：（1）因为短轴一个端点到右焦点的距离为，则，由得，则b2=a2﹣c2=1，所以椭圆的方程为；（2）由消去y得，2x2+3x=0，解得x1=0或x2=，所以y1=1、y2=，所以两个交点为：A（0，1）、B（，），则．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．21．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可．（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x （x﹣4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．【解答】解：（1）f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得． … （2）由（1）可知，f'（x ）=x 2﹣4x=x （x ﹣4），f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：∴当x ＜0或x ＞4，f （x ）为增函数，0≤x ≤4，f （x ）为减函数； … ∴极大值为，极小值为．…22．已知函数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （2）令g （x ）=f （x ）﹣（ax ﹣1），求函数g （x ）的极值； （3）若a=﹣2，正实数x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0，证明：．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f （x ）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可； （2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性； （3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（1）当a=0时，f （x ）=lnx +x ，则f （1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x ）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2， 故切线方程为：y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0；（2）g （x ）=f （x ）﹣（ax ﹣1）=lnx ﹣ax 2+（1﹣a ）x +1， 所以g′（x ）=﹣ax +（1﹣a ）=，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；（3）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，φ′（t）=，t＞0，可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．2017年4月7日。