立体几何知识点归纳

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立体几何的知识点总结

立体几何的知识点总结立体几何的知识点总结立体几何的考察是高中的重要知识点，也是几何数学的重要考点，想要学好这部分内容，离不开对知识的总结和归纳，下面是小编为大家整理分享的立体几何的知识点总结，希望能帮助大家更好的进行这部分的学习，一起来看看吧！立体几何的知识点总结(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的.圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结一、点、线、面的基本概念在立体几何中，点是最基本的元素，没有长度、宽度和高度；线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度；面是由无数个线段连成的，具有长度和宽度但没有高度。

二、立体图形的分类1. 点、线、面组成的立体图形称为多面体，如正方体、长方体、正六面体等。

2. 圆柱体是由一个平面上的圆沿着一条与该平面不重合的直线滚动形成的，如圆柱、圆台等。

3. 圆锥体是由一个平面上的射线围绕一个与该平面不重合的点旋转形成的，如圆锥、圆台等。

4. 球体是由一个平面上的圆围绕其直径旋转形成的。

三、立体图形的性质1. 多面体的面数、边数和顶点数之间满足欧拉公式：面数+顶点数=边数+2。

2. 多面体的表面积可以通过计算各面的面积之和得到。

3. 多面体的体积可以通过计算底面积乘以高得到。

4. 圆柱体的侧面积可以通过计算侧面的长度乘以高得到。

5. 圆柱体的体积可以通过计算底面积乘以高得到。

6. 圆锥体的侧面积可以通过计算锥侧的长度乘以高得到。

7. 圆锥体的体积可以通过计算底面积乘以高再除以3得到。

8. 球体的表面积可以通过计算球的半径乘以4π得到。

9. 球体的体积可以通过计算球的半径的立方乘以4/3π得到。

四、立体图形的投影1. 平行投影是指物体与投影面平行，投影线平行于视线的投影方式。

2. 中心投影是指物体与投影面垂直，投影线经过视点的投影方式。

3. 斜投影是指物体与投影面不平行，投影线不垂直于视线的投影方式。

五、立体图形的相交关系1. 相交是指两个或多个立体图形的内部部分有重叠的部分。

2. 相切是指两个立体图形的边或面部分有公共点但没有内部有重叠的部分。

3. 相离是指两个立体图形的边和面之间没有公共点。

六、立体图形的旋转、平移和对称1. 旋转是指将一个立体图形绕着某个轴进行旋转，可以得到一个新的立体图形。

2. 平移是指将一个立体图形沿着某个方向进行平行移动，保持形状不变。

3. 对称是指将一个立体图形围绕某个中心进行对称，得到与原图形相似但位置对称的图形。

立体几何知识点

立体几何知识点一、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ）（直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.12方向相同12方向不相同空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上P OA a四、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于21,ll，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OBPMOAPM,,,则OBPMOAPM⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos2222mndnml+++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21coscoscosθθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：ChS=（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：lCS1=（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：图1θθ1θ2图2PαβθM ABO①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附：以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --. c则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,, 得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()(),0=-⋅=-⋅c a b b c a 0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：F E HG B C DA O'O r①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立]④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α平行，记作a ∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC O R四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证. 3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n A D CB②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB一、四面体.：1、①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，该点叫此四面体内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理： S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； ②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=；④h = 4r.二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC OABC D上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ； 4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S 底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S 直棱柱侧= c (c 表示底面周长，表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧14．棱锥的体积:V 棱锥=Sh 31，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。

立体几何的全部知识点

立体几何的全部知识点立体几何是九年级数学中常见的概念，属于几何学知识，包括三维空间中各种形状和投影，以及它们之间的关系，有助于我们研究物体的结构和代数运算，为物体的准确表达提供帮助。

立体几何的知识点包括：一、定义和符号：（1）体积：体积V是在某一时刻，某一物体的容积所表示的实际大小。

（2）表面积：Surface Area S 是在某一时刻，某一物体的整个表面的面积总和。

（3）立体角：立体角也称为穹顶角，它由三条相交的边组成，表示物体上某一点到其他三面所角度的总和。

（4）体积和表面积的符号分别为V和S。

二、投影：（1）正投影：正投影是指沿着平面对物体进行投影，显示物体的各面的立体效果，物体被投影到平面上，形成新的三维形体。

（2）侧投影：侧投影是把物体投影到平面上，只显示物体上与投影面垂直的一部分，不会显示其上斜角或斜面。

三、变换：（1）平移：平移是把物体移动到新位置，沿着一个给定的方向进行移动。

（2）旋转：旋转是把物体局部或整体移动到新位置，沿着一定角度和指定的锥形旋转。

（1）水平投影：水平投影指通过把物体置于水平平面上来进行投影，表达投影物作为物体的一部分的立体视觉效果。

（3）正交投影：正交投影是将物体的正面以一个给定的垂线作为视轴，把物体投影到一个直角坐标系上，以呈现其真实模样。

(4) 仿射投影：仿射投影是把物体投射到平面上，同时保留物体形状和位置的相对关系，物体经过一个仿射变换，可以在平面上表示一种实体的完整的立体形状。

五、三角形几何：（1）三角形的周长：三角形的周长是指给定三角形的三条边之和。

（3）余弦定理：余弦定理是指在一个三角形中，要么是给定三条边，要么是两条边和夹角之间存在性质，充分表示相应之间关系。

（4）余切定理：余切定理是指在一个三角形中，无论如何，两条边的余切值都是一定的。

（5）三角函数：三角函数是以这三个角的正弦、余弦和正切为变量表示的函数，三角函数可以用来求解复杂的三角形。

高中数学—立体几何知识点总结(精华版)

立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

高中数学立体几何知识点总结(全)

高中数学立体几何知识点总结(全)垂直直线：两条直线的夹角为90度。

XXX.三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：需要指定一个方向向量，点在平面的哪一侧就取决于该方向向量与平面法向量的夹角。

四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一点都在平面上；直线在平面内部：直线与平面没有交点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个交点；直线平行于平面：直线与平面没有交点，且方向向量与平面法向量垂直。

改写后：一、空间几何体的三视图空间几何体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。

其中，正视图是指从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度；侧视图是指从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度；俯视图是指从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。

在三视图中，长对正，高平齐，宽相等是反映长、宽、高特点的简洁表述。

二、空间几何体的直观图斜二测画法是一种用于绘制空间几何体直观图的方法。

基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy，建立斜坐标系x'O'y'，并画出对应图形。

在直观图中，已知图形平行于X轴的线段画成平行于X'轴，长度不变；已知图形平行于Y轴的线段画成平行于Y'轴，长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系是直观图面积为原图形面积的四分之一。

三、空间几何体的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别为2πrl、πrl和πr(l+R)，其中r表示底面半径，l表示母线长度，R表示上底面半径。

圆柱、圆锥、圆台的体积分别为Sh、S/3h和S(h/3)，其中S为底面积，h为高度。

球的表面积和体积分别为4πR²和(4/3)πR³。

四、点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质包括三条公理，分别是公理1、公理2和公理3.直线与直线的位置关系有相交、平行和垂直；点与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、在平面外部、在平面上方或下方；直线与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、相交和平行。

立体几何知识点归纳

一、空间几何体（一）空间几何体的结构：1、几何体：2、多面体：3、旋转体：4、棱柱：5、棱锥：6、棱台：7、圆柱：8、圆锥：9、圆台：10、球：（二）简单几何体的构成：1、2、（三）三视图：1、投影：2、投影类型：3、三视图：（1）正视图（2）侧视图：（3）俯视图：（三）直观图：（1）直观图：（2）斜二测画法规则：（四）体积面积公式：1、柱体体积：2、锥体体积：3、台体体积：4、球体体积：球体表面积：5、祖暅原理：二、平面的性质与直线的位置关系1、平面意义：（1）空间图形是由点、线、面组成的（2）平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形（3）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分 2 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A aαα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2如果两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭ 如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈ 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1：推论2：推论3：3、空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不同在任何．．一个平面内，没有公共点； 4、平线直线：（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线的传递性）推理模式：//,////a b b c a c ⇒．（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD 叫空间四边形的对角线（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.5、异面直线：不同在任何．．一个平面内，没有公共点（1）.空间两条异面直线的画法a b1A CA（2）异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线（3）异面直线判定方法：判定定理、反证法。

立体几何知识点归纳(复习资料)

立体几何知识点归纳(复习资料)高考总复习主干知识三：立体几何主干知识三：立体几何知识点归纳一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l方法一：用线线平行实现。

l//m??m????l//? l????方法二：用面面平行实现。

α符号表示：αlAβl2. 线面相交?//????l//? l???方法三：用平面法向量实现。

符号表示：若n为平面?的一个法向量，n?l且lαnl3. 线在面内ααl??,则l//?。

符号表示：3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。

二．平行关系： 1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。

l?l//l’??l????l//m ????m?? l//???m//m’????//?l,m??且相交?αl’,m’??且相交?? 方法二：用线面平行实现。

βl’m’ml?ml//?方法二：用面面平行实现。

lβγαm?//???????l??l//m ????m??? ?m//???/ /??l,m??且相交?? 方法三：用向量方法：两个平面的法向量共线三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

βml α方法三：用线面垂直实现。

若l??,m??，则l//m。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。

2. 线面平行： 1 / 8 l?AC?l?AB??lAC?AB?A??l?? ?CAC,AB? ???αAB方法二：用面面垂直实现。

????βl????m???l?? l?m,l???m?α方法三：用向量方法：直线与平面的法向量共线 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

l???βll???????? α方法二：计算所成二面角为直角。

方法三：用向量方法：两平面的法向量垂直 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

ll???m?????l?m mα 方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO???Pl?OA???l?PA l????αAlO方法三：用向量方法：若向量l和向量m 的数量积为0，则l?m。

高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结高中立体几何知识点总结立体几何是几何学的一个分支，研究物体的三维空间结构和性质，其重点是探讨物体的表面积、体积、形状、投影、相交等问题。

作为高中数学的重要组成部分，立体几何的知识点包含几何体、空间向量、空间位置关系和空间几何解析四大方面。

一、几何体1.球与球的关系：两球相离、相切、相交。

2.立体角：定义、立体角对立面的定义及对应角相等、立体角的典型问题及其解法。

3.圆锥面积与圆锥体积：圆锥旋转成体的概念与性质，及圆锥面积和圆锥体积的计算公式。

4.棱锥与棱柱：棱锥的特征和体积公式、棱柱的特征和体积公式、棱柱剖面的面积公式。

5.四面体、六面体：四面体特征和体积公式、六面体特征和体积公式。

二、空间向量1.向量的概念和性质：向量的定义、运算律、数量积、向量积。

2.向量的表示方法：坐标表示、参数表示和模、方向角、方向余弦。

3.线性运算：向量表示为线性组合形式，解决向量的线性方程组。

三、空间位置关系1.点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系：点与直线的位置关系、点与平面的位置关系、直线和平面的位置关系。

2.平行、垂直的判定及相关问题：平行、垂直判定公式，两直线距离及交点的坐标求解。

3.点到直线、点到平面的距离：点到直线的距离公式和推导、点到面的距离公式和推导。

4.三角形的性质：三角形重心、垂心、辅助线问题，海伦公式与三角形面积公式。

5.四边形的性质：四边形同种类四边形的性质、对角线互相垂直的条件、美索不达米亚定理。

四、空间几何解析1.空间坐标系的建立：矩形坐标系、极坐标系、柱面坐标系与球长坐标系。

2.空间中的方位角、高度角等概念：距离角度、方位角、高度角的定义及计算。

3.两点之间的距离公式：平面坐标系中求直线距离、空间坐标系中求空间线段的距离。

4.空间直线和平面的方程及相关问题：直线和平面方程求解，直线和平面的交线、交点问题。

(完整版)立体几何知识点总结完整版

立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。

4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。

5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。

高中数学立体几何知识点归纳

高中数学立体几何知识点归纳
点：没有长度、宽度和高度的几何基本元素。

线：由一组点组成，具有长度但没有宽度和高度。

面：由一组线组成，具有长度和宽度但没有高度。

三棱柱：底面为三角形，侧面为三个矩形。

四棱柱：底面为四边形，侧面为四个矩形。

圆柱：底面为圆形，侧面为矩形。

锥：底面为任意多边形，侧面为三角形。

圆锥：底面为圆形，侧面为三角形。

球：所有点到球心的距离相等。

圆球：球的表面。

体积：立体几何体所占的空间大小。

表面积：立体几何体表面的总面积。

基本公式：
三棱柱体积公式：V = 底面积 * 高
四棱柱体积公式：V = 底面积 * 高
圆柱体积公式：V = 底面积 * 高
锥体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高
圆锥体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高
球体积公式：V = 4/3 * π * 半径³
圆球表面积公式：A = 4 * π * 半径²
正投影：由平行光线投射而成，可得到等比例的图形。

斜投影：由斜光线投射而成，图形会产生放大或缩小的效果。

直线与平面的关系：
相交：直线与平面交于一点。

平行：直线不与平面相交。

共面：直线在平面上。

线面垂直：直线与平面相交，且相交点在平面上。

同位角：以同一边为边的两个角。

对顶角：两个相对角。

互补角：两个角的和为90度。

相邻补角：两个角的和为180度。

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结
1、多面体（棱柱、棱锥）的结构特征
（1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面
侧棱垂直于底面
棱柱
斜棱柱
底面是正多边形
直棱柱
正棱柱；
底面是平行四边形
侧棱垂直于底面
底面是矩形
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。（6）异面直线的判定： ①反证法； ②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是正方形
棱长都相等
长方体
正四棱柱
正方体。
②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；
Ⅱ、两底面是全等多边形；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；
Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
（2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；
二面角的平面角的范围： 0o 180o ；
五、距离的求法：

高中数学立体几何知识点

高中数学立体几何知识点（大全）一、【空间几何体结构】1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。

棱柱(1)：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。

底面是几边形就叫做几棱柱。

(2)：棱柱中除底面的各个面。

(3)：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

(4)：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。

如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱(1)：旋转轴叫做圆柱的轴。

(2)：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。

(3)：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

(4)：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O（注：棱柱与圆柱统称为柱体）5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

圆锥(1)：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。

(2)：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。

(3)：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

(4)：作为旋转轴的直角边与斜边的交点。

(5)：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。

圆锥可以用它的轴来表示。

如：圆锥SO（注：棱锥与圆锥统称为锥体）二、【棱台和圆台的结构特征】1.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。

棱台(1)：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结一、立体几何的概念立体几何也叫三位几何，是一门关于无限的空间内的形体的概念的数学研究。

其中形体是关于空间和大小、形状等特征的实体对象，它们是由若干抽象线段、平面、曲面等等的部分的集合构成的。

立体几何不仅考虑各个物体的大小，位置和形状，还考虑它们之间的相互关系。

二、立体几何中的基本概念1. 在立体几何中，线是由两点组成的，表示在空间中点之间的相互联系。

2. 平面是立体几何中最基本的对象，它能够容纳多种元素，如点、线、多边形等。

3. 立体几何中的空间是容纳多种形状的体积，它由多个面和边构成，其中面指的是空间中的平面，而边则指的是空间中连接不同面的线段。

4. 网格是立体几何中表示空间中面之间关系的一种结构，它由若干平行的网格线构成，网格线交点构成多边形，多边形就可以定义一个体积。

5. 角是立体几何中形状体由边和面所组成的几何形体中的微小体积，它由三条线段所构成，三条线段之间的角的最小单位为度，一个角的弧度R可用度D表示：D=180°/π，即1弧度=180°/π。

三、立体几何的基本概念1. 向量是一阶矢量，其定义为从点A到点B的有向线段。

2. 点是立体几何中的基本概念，它代表空间中的微小单位，它可以用在空间中的任何位置，其坐标只有x,y,z三个维度，用符号(x, y, z)来表示。

3. 距离是立体几何中表示空间两点之间距离的概念，它用以描述两点之间的距离（线段长度），距离由充分条件表示出来，平面上的距离可以用勾股定理表示出来，三维空间的距离可以用直线长度公式表示出来，即d=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2。

4. 法向量是代表空间运动物体移动方向的一个单位变化量，一般用法向量积来表示空间变换，用叉乘来表示空间变向。

5. 随机变换是立体几何中表示体经旋转、平移、缩放等运动而发生的空间变换手法，一般用3×3的阵列来表示，一般用其表示的变换指数和变换矩阵来表征随机变换。

数学立体几何知识点归纳

数学立体几何知识点归纳
1.空间几何基本概念：点、直线、平面、直角、垂直、平行。

2.空间几何基本性质：平行线的性质、平面与直线的关系。

3.空间几何中的角：对顶角、内错角、内分角、外角、内切、外切、全等角、顶平面角、底平面角等。

4.空间几何中的三角形：三角形的性质、中位线、角平分线、高、垂心、内心、外心、9点圆、费马点、内切、外接、等腰、等边、相似、全等、割线等。

5.空间几何中的四边形：平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形、同底角、等腰梯形、等腰三角形、对称轴等。

6.空间几何中的圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线、焦点、准线、纵轴、横轴等。

7.空间几何中的立体几何体：正多面体、棱柱、棱锥、棱台、矩体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体等。

8.空间几何中的空间导数几何体：圆柱、圆锥、圆台等。

9.空间几何中的投影问题：点在直线上的投影、矢量、仿射变换、镜像等。

10.空间几何中的相交问题：平面与平面相交、直线与直线相交、直线与平面相交、后射性、正射性等。

这些知识点覆盖了空间几何的基本概念、基本性质以及立体几何体的组成和相交问题。

能够对空间中的几何关系有更深入的理解，进一步培养空间想象力和解决问题的能力。

立体几何知识点归纳

一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体〔一〕空间几何体的构造特征〔1〕多面体——由假设干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

〔2〕柱，锥，台，球的构造特征——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

〔棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱〕的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为平行四边形侧棱垂直于底面底面为矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方与；【如图】222211AC AB AD AA =++②〔了解〕长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③〔了解〕长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. ：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长与侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V 〔其中c 为底面周长，h 为棱柱的高〕圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底侧面母线面的截面都是等圆；过轴的截面〔轴截面〕是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长与母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱底2r h π〔其中r 为底面半径，h 为圆柱高〕棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

立体几何的全部知识点

第二讲空间图形的基本关系与公理一、知识梳理1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

3、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’∥a,b ’∥b,把a ’与b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）②范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，6、平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）7、定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

二、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定与性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；2、平面与平面平行的判定与性质（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

立体几何知识点梳理

考点梳理一、空间几何体（一）空间几何体的类型1．多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2．旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二）空间几何体的表面积与体积1．空间几何体的表面积圆柱的表面积：222Srl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+ 圆台的表面积：22Srl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积：24S R π=2．空间几何体的体积柱体的体积：VS h =⨯底锥体的体积：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =+⨯下上（球体的体积：343V R π= （三）空间几何体的三视图和直观图1．三视图：正视图，侧视图，俯视图．2．直观图：斜二测画法二、直线与平面的位置关系（一）线面平行1．判定定理：////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭2．性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（二）线面垂直1．判定定理：,a b a b O l a l a l b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭2．性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：,l a l a αα⊥⊂⇒⊥（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：,//ab a b αα⊥⊥⇒（三）面面平行1．判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．2．性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行．（四）面面垂直 1．判定定理：a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭2．性质定理：AB l l l ABαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭。