9几何图形的归纳、猜想问题(含答案)

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【猜想归纳】图案规律中的猜想归纳思想(学生版)

图案规律中的猜想归纳思想知识方法精讲1．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．认识图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．（3）重点和难点突破：结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．3.猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。

考查学生的归纳、概括、类比能力。

有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。

4.归纳猜想类问题可以分成四大类：（1）数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。

找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。

（2）图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。

其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。

（3）结论归纳猜想题结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。

最新九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题含答案

12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，点D是BC的中点，作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
问题探究：
（1）如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至，使AB与AD重合，则 ______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若、都不是直角，但满足，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝；
②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为；
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为．
11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．

2023年九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题专题训练(含答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是（用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

专题09 新定义型几何图形问题(学生版) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题09新定义型几何图形问题【专题训练】一、解答题1．(2020·河南信阳市·八年级期末)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是_____________．(2)性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC=4，AB=5，求GE的长．2．(2020·洪泽外国语中学八年级月考)如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC 是“准互余三角形”，△A ＞90°，△B ＝20°，求△C 的度数；(2)如图①，在Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝4，BC ＝5，点D 是BC 延长线上一点．若△ABD 是“准互余三角形”，求CD 的长；(3)如图②，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，AC ＝4，CD ＝5，△BAC ＝90°，△ACD ＝2△ABC ，且△BCD 是“准互余三角形”，求BD 的长．3．(2020·湖南怀化市·中考真题)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．(1)下面四边形是垂等四边形的是____________(填序号)①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形(2)图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD △BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于△O 中，60BCD ∠=︒．求△O 的半径．4．(2020·内蒙古通辽市·九年级学业考试)如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，问四边形ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，AC BD ⊥.试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结,,CE BG GE .已知30,1CAB CB ∠=︒=，求GE 的长.5．(2019·河南九年级其他模拟)若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．(1)知识理解：如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．①若α＝25°，△D＝100°，△C＝28°，则△BAE＝；②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝(2)知识运用：如图2，在四边形ABCD中，△ADC＝90°，AE△BD于点E，△DAC＝△DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．(3)拓展提高：如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求DECE的值．6．(2020·常州市第二十四中学九年级期中)若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．(1)如图②，在△ABC中．△B＝60°，△C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；(2)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作AE，交BC于点E，点F是AE上一点，连结CF．且CF与AE有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．(3)已知△ABC 是“弱等腰三角形”，AD 是“弱线”，且AB ＝3BD ，求AC ：BC 的值．7．(2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模)定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．(概念感知)(1)如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．(问题探究)(2)如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值．(拓展提升)(3)如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求ADCD的值．8．(2020·江苏南通市·八年级月考)定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．(1)如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135AEB 180<∠<︒︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；(2)如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”，AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG 的形状，并证明；(3)如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”，4=AD ，6BC =，试求边AB 长的最小值．9．(2020·江西九年级一模)定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直的线段，我们称其互为“等垂线段”．知识应用：在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，△ACB=△AED=90°，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．(1)如图1，当AE在线段AC上时，线段PC与线段PE是否互为“等垂线段”？请说明理由．(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转90°，点D落在AB边上，请说明线段PC与线段PE互为“等垂线段”．拓展延伸：(3)将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转150°，若BC=3，DE=1，求PC的值．10．(2020·沈阳市第一二六中学九年级月考)如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为P A、PB、PC，若有P A2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．(1)如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC 关于点的勾股点；在点E、F、G三点中只有点是△ABC关于点A的勾股点．(2)如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，①求证：CE ＝CD ；②若DA ＝DE ，△AEC ＝120°，求△ADE 的度数．(3)矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，E 是矩形ABCD 内一点，且点C 是△ABE 关于点A 的勾股点，若△ADE 是等腰三角形，直接写出AE 的长．11．(2020·浙江宁波市·九年级零模)当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角． (1)如图1，墙角O ∠=30°，如果AB =3，长度不变，在角内滑动，当OA =6时，则求出此时OB 的长度．(2)如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB =3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．(3)如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．12．(2019·江西南昌市·八年级期中)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．观察发现：如图1，对垂四边形ABCD四边存在数量为：AD2+BC2＝AB2+CD2．应用发现：如图2，若AE，BD是△ABC的中线，AE△BD，垂足为O，AC=4，BC=6，求AB=应用知识：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝3，求GE长．拓展应用：如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE△EG，AD=4，AB=3，求AF的长13．(2019·浙江杭州市·九年级期中)定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”．(1)如图1，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BCAC =，点P 在AB 上，PD AC ⊥于点D ，PE BC ⊥于点E ，连接BD ，DE 求证： BDE ∆是“半高”三角形；(2)如图2，ABC ∆是“半高”三角形，且BC 边上的高是“半高”，点P 在AB 上，//PQ BC 交AC 于点Q ，PM BC ⊥于点M ，QN BC ⊥于点N ．①请探究BM ，PM ，CN 之间的等量关系，并说明理由；②若ABC ∆的面积等于16，求MQ 的最小值．14．(2020·江苏扬州市·八年级期中)阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．① ；② ．(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，△AEC=△AFC．求证：四边形AECF是筝形．(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．15．(2020·四川麓山师大一中八年级月考)我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；(2)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．(2020·浙江绍兴市·九年级期中)我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，△ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的△M交于点E，DE平分△ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE 是半直角三角形．(1)求证：△ABC是半直角三角形；(2)求证：△DEC =△DEA ；(3)若点D 的坐标为(0，8)，求AE 的长．17．(2020·江西南昌市·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH ”．(1)①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；(2)正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．18．(2019·湖南师大附中博才实验中学) 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”(1)在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．(2)如图1，在△ABC 中，AB =2，BC =52，AC =3，D 为平面内一点，以A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA ，DC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(m +3)x +14(5m 2-2m +13)=0(其中m 为常数)的两个根，求线段BD 的长度．(3)如图2，在“完美四边形”EFGH 中，△F =90°，EF =6，FG =8，求“完美四边形”EFGH 面积的最大值．19．(2020·江苏苏州市·九年级期中)如图(1)，在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC 上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图(2)，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM△BC于点M，NP△NM交AB于点P，PQ△BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题：(1)四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论；(2)若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长；(3)如图(3)，若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当34MNBM时，猜想△QEM的度数，并说明你的理由．20．(2020·广州市育才中学九年级期中)若点P为△ABC所在平面上一点，且△APB＝△BPC＝△CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即P A+PB+PC最小．(1)如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．①证明：点P就是△ABC费马点；②证明：P A+PB+PC＝BE＝DC；(2)如图2，在△MNG中，MN＝，△M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．21．(2020·湖南长沙市·九年级月考)定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形ABCD 中，若,A C B D ∠=∠∠≠∠，则称四边形ABCD 为准平行四边形.(1)如图①，,,,A P B C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒，延长BP 到Q ，使AQ AP =.求证:四边形AQBC 是准平行四边形；(2)如图②，准平行四边形ABCD 内接于O ，,AB AD BC DC +=，若O 的半径为5,6AB =，求AC 的长；(3)如图③，在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=︒∠=︒=，若四边形ABCD 是准平行四边形，且BCD BAD ∠≠∠，请直接写出BD 长的最大值.22．(2020·广东深圳市·九年级二模)我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．(1)①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD 中，AB =AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．(填“是”或“不是”)(2)如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的△O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，△ADB ﹣△CDB =△ABD ﹣△CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；(3)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0)与x 轴交于A ，C 两点(点A 在点C 的左侧)，B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为(0，﹣ac )，记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S =3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．23．(2020·浙江省临海市临海中学九年级期中)定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.(1)如图1，损矩形ABCD ，△ABC =△ADC =90°，则该损矩形的直径是线段 .(2)在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．(3)如图2，△ABC中，△ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分△ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.。

归纳猜想的找规律题型

一、数字排列规律题
①、观察下列一组数的排列： 1、2、3、4、3、2、
1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是
（）.
A
A．1 B．2
C．3
D．4
②、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0” 的个数为 _________个． 33
形瓷砖按一定规律铺设的图形．
（1）2张桌子拼在一起可坐 1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
2．观察下列各式:
2×2+4人，3张桌
子可坐 2×3+4 人，n张桌子可坐 2n+4人。根据各式前面的规律，猜测：
3、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： (1)第一行数按什么规律排列?
③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；由
此规律知，第⑤个等式
是
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 ． 125
6、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面10式00子0的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=

巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组

智汇好题目小学生的思维具有直观性和形象性等特点，借助现实可见的实物学具、模型、几何图形等可为学生提供丰富的学材，将抽象的推理内容变得具体形象，为复杂推理问题提供解决的路径和方法。

在数与代数领域中如何借助几何直观，开展数学观察、对比、分析、推理等活动，是发展学生逻辑思维的关键切入口。

我们尝试设计一组图形推理题目，运用几何直观打通数与形之间的关联，引导学生在逐步深入的观察、思考和探究中，发现变与不变的规律，建构数量关系的模型，并在此过程中发展推理意识。

【题目】第1题静态转化中的推理数学课上，李老师让同学们探索一类特殊分数之和的计算方法。

爱思考的轩轩总有不同的想法，借助图形（如图1）巧算它们的和。

1 2+14+18+116=22-116=151613+16+112+124=23-124=152414+18+116+132=24-1=…… (1)2141818116116131611212414132图1（1）仔细观察轩轩的做法，把第三道算式的计算过程补充完整。

（2）轩轩的想法让大家眼前一亮，不禁跃跃欲试。

请你填一填：15+110+120+140=-；17+114+128+…+1224=-。

第2题动态关联中的推理聪聪用1cm2的正方形纸片摆出不同的图形（如图2）并进行研究，你能帮帮他吗？图2（1）观察图2，填写表1。

表1 层数与面积关系统计表层数1234…8…n 面积/cm2149……（2）利用发现的规律，佳佳制作了图3所示“方阵”。

照这样排下去，排在（5，1）位置的数是（），排在（8，2）位置的数是（），当n大于2时，排在（n，3）位置的数是（）。

……………10111213…56714…23815…14916…5432112345图3巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组华松陈维花76智慧教学 2024年2月第3题联想操作中的推理数学中有些证明和推理是不需要文字的，仅凭图形就能清楚解释数学公式或道理，这种以图代字、不证自明的“无字证明”比严谨的文字证明更为优雅和有条理。

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G（1）求证：BD ∥EF ；（2）若=，BE=4，求EC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .(1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值；(3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．8、如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。

中考数学压轴题9种题型

中考数学压轴题9种题型中考数学频道为大家提供中考数学压轴题9种题型，一起来复习一下这9种题型吧，这样在考试中碰到的话就心有成竹了！中考数学压轴题9种题型1、线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2、图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3、动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

4、一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合5、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

两年中考模拟2020年中考数学：变式猜想问题(学生版)

第七篇专题复习篇专题39变式猜想题知识点名师点晴变式猜想问题特殊的四边形的变式题理解并掌握特殊的四边形的性质,并能解决四边形的有关变式问题三角形有关的变式题利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题图形的旋转与对称变式利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题归纳1：几何图形的有关变式猜想问题基础知识归纳：几何图形的变式猜想问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、矩形、菱形、正方形等几何载体．基本方法归纳：对于几何变式猜想问题主要有以下的解题思路：其一是弄清在变式过程中,存在哪些变量与不变的关系；其二是建立起不变关系与变化的量之间存在的位置关系和数量关系,其基本工具是全等三角形和相似三角形、锐角三角函数等．注意问题归纳：解决几何变式问题时,要注意特殊情况下的已知条件和结论之间的逻辑关系,从特殊到一般、类比归纳是解决此类问题的重要方法．【例1】（2019湖南省岳阳市,第23题,10分）操作体验：如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合）,过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1,求证：B E=BF；（2）特例感知：如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE=a,CF=b．①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明；②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）【例2】（2019内蒙古鄂尔多斯市,第23题,11分）（1）【探究发现】如图1,∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠EOF=90°,将∠EOF绕点O旋转,旋转过程中,∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C,D不重合）．则CE,CF,BC 之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2,若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”,其他条件不变,当∠EOF=60°时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3,∠BOD=120°,OD34=,OB=4,OA平分∠BOD,AB13=,且OB＞2OA,点C是OB上一点,∠CAD=60°,求OC的长．【2019年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1．（2019吉林省,第24题,8分）性质探究如图①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+43,则它的面积为；（2）如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH．①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH；②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN．若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．2．（2019四川省乐山市,第25题,12分）在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1,当EF∥BC时,求证：BE CFAE AF+=1；（2）如图2,当EF和BC不平行,且点E、F分别在线段AB、AC上时,（1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由．（3）如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,（1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由．3．（2019四川省达州市,第24题,11分）箭头四角形模型规律如图1,延长CO交AB于点D,则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头,其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．②如图3,∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F,已知∠BEC=120°,∠BAC=50°,则∠BFC= ．③如图4,BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i=1,2,3,…,2017,2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC=m°,∠BAC=n°,则∠BO1000C= 度．（2）拓展应用：如图5,在四边形ABCD中,BC=CD,∠BCD=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD．求证：四边形OBCD是菱形．4．（2019山东省威海市,第25题,12分）（1）方法选择如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,AB=BC=AC．求证：B D=AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM=AD,连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N,使得DN=AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,BC是⊙O的直径,AB=AC．试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系,并证明你的结论．【探究2】如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD．若BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,则线段AD,BD,CD 之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD．若BC是⊙O的直径,BC：A C：A B=a：b：c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是．5．（2019德州,第24题,12分）（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD：A B=AH：A E=1：2,此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化,直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化,请说明理由．6．（2019山东省淄博市,第23题,9分）如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC,取EF的中点M,连接MD,MG,MB．（1）试证明DM⊥MG,并求MBMG的值．（2）如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α（0＜α＜90°）,其它条件不变,问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化,求出该值（用含α的式子表示）；若无变化,说明理由．7．（2019青岛,第23题,10分）问题提出：如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a,b的矩形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数）．把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图③,对于2×2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2 2×方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有2×4=8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图⑥,在a×3的方格纸中,共可以找到个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图．）问题拓展：如图,图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c（a≥2,b≥2,c ≥2,且a,b,c是正整数）的长方体,被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．8．（2019河南省,第22题,10分）在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α．点P是平面内不与点A,C重合的任意一点．连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP．（1）观察猜想如图1,当α=60°时,BDCP的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2,当α=90°时,请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时AD CP的值．9．（2019湖北省襄阳市,第24题,10分）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB 上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：D Q=AE；②推断：GFAE的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,BCAB=k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k23=时,若tan∠CGP34=,GF=210,求CP的长．10．（2019甘肃省白银市,第27题,10分）阅读下面的例题及点拨,并解决问题：例题：如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点（不含端点B,C）,N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM．易证：△ABM≌△EBM （SAS）,可得AM=EM,∠1=∠2；又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即：∠AMN=60°．问题：如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点（不含端点B1,C1）,N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．11．（2019贵州省安顺市,第24题,12分）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE 是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断．A B,AD,DC之间的等量关系；（2）问题探究：如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE 是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论．12．（2019辽宁省抚顺市,第25题,12分）如图,点E,F分别在正方形ABCD的边CD,BC上,且DE=CF,点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,过点E作GD的垂线QH,垂足为点H,交射线BC于点Q．（1）如图1,若点E是CD的中点,点P在线段BF上,线段BP,QC,EC的数量关系为．（2）如图2,若点E不是CD的中点,点P在线段BF上,判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6,AB=3DE,QC=1,请直接写出线段BP的长．13．（2019黑龙江省鸡西市,第26题,8分）如图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示,若∠ABC=30°,求证：D F+BH3；（2）如图②所示,若∠ABC=45°,如图③所示,若∠ABC=60°（点M与点D重合）,猜想线段DF、BH与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,不需证明．【2018年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1．（2018江苏省盐城市,第26题,12分）【发现】如图①,已知等边△ABC,将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合）,使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB=6,AE=4,BD=2,则CF=；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】（3）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示,问：点D是否存在某一位置,使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在,求出BDBC的值；若不存在,请说明理由．【探索】（4）如图③,在等腰△ABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B）,使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合）,连接EF．设∠B=α,则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．2．（2018江苏省苏州市,第27题,10分）问题1：如图①．在△ABC中,AB=4,D是AB上一点（不与A,B重合）,DE ∥BC,交AC于点E,连接CD．设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S'．（1）当AD=3时,'SS=；（2）设AD=m,请你用含字母m的代数式表示'SS．问题2：如图②,在四边形ABCD中,AB=4,AD∥BC,AD=12BC,E是AB上一点（不与A,B重合）,EF∥BC,交CD于点F,连接CE．设AE=n,四边形ABCD的面积为S,△EFC的面积为S'．请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示'SS．3．（2018江西省,第22题,9分）在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时,（1）中的结论是否还成立？若成立,请予以证明；若不成立,请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB3BE19,求四边形ADPE的面积．4．（2018河南省,第22题,10分）（1）问题发现如图1．在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2．在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长．5．（2018湖北省天门市,第24题,10分）问题：（1）如图①．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点（不与点B,C重合）,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为；探索：（2）如图②．在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论；应用：（3）如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9,CD=3,求AD的长．6．（2018湖北省黄石市,第24题,9分）在△ABC中,E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1,若EF∥BC,求证：AEFABCS AE AFS AB AC⋅=⋅VV（2）如图2,若EF不与BC平行,（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3,若EF上一点G恰为△ABC的重心,34AEAB,求AEFABCSSVV的值．7．（2018湖南省常德市,第26题,10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N．（1）如图1,当M在线段BO上时,求证：MO=NO；（2）如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证：B M=AB；（3）在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证：A N2=NC•AC．8．（2018辽宁省盘锦市,第25题,14分）如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段CD上,如图2,其他条件不变,（1）中的结论是否成立,请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,（1）中的结论是否成立,请说明理由．9．（2018辽宁省营口市,第25题,14分）已知：在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AC边上一点,连接BD,点E 是线段BD延长线上一点,连接AE,CE,使∠CAE=∠CBE,过点C作CF⊥CE,交BD于点F．（1）①如图1,当∠ABC=45°时,线段AE与BF之间的数量关系是．②如图2,当∠ABC=60°时,线段AE与BF之间的数量关系是．（2）如图3,当∠ABC=30°时,线段AE与BF之间具有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图4,当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时,直接写出线段AE与BF之间的数量关系．（用含α的式子表示）10．（2018辽宁省葫芦岛市,第25题,12分）在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点（点P不与点A,O,C重合）．过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF．（1）如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长．11．（2018青海省,第27题,11分）请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题：（1）探究1：如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．求证：△BCD的面积为12a2．（提示：过点D作BC边上的高DE,可证△ABC≌△BDE）（2）探究2：如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由．（3）探究3：如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程．12．（2018黑龙江,第26题,8分）如图,在Rt△BCD中,∠CBD=90°,BC=BD,点A在CB的延长线上,且BA=BC,点E在直线BD上移动,过点E作射线EF⊥EA,交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时,如图（1）所示,求证：A E=EF；（2）当点E在直线BD上移动时,如图（2）、图（3）所示,线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,不需证明．13．（2018鄂尔多斯,第24题,12分）（1）【操作发现】如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△ADE,连接BD,则∠ABD=度．（2）【类比探究】如图2,在等边三角形ABC内任取一点P,连接P A,PB,PC,求证：以P A,PB,PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】如图3,在边长为7的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积．（4）【拓展应用】如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接P A,PB,PC．求P A+PB+PC的最小值．14．（2018吉林省长春市,第22题,9分）在正方形ABCD中,E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）,连结BE．【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G．（1）求证：B E=FG．（2）连结CM,若CM=1,则FG的长为．【应用】如图③,取BE的中点M,连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG．若CM=3,则四边形GMCE的面积为．15．（2018四川省乐山市,第25题,12分）已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数：（1）如图1,若k=1,则∠APE的度数为；=,试问（1）中的结论是否成立？若成立,请说明理由；若不成立,求出∠APE的度数．（2）如图2,若k3=,且D、E分别在CB、CA的延长线上,（2）中的结论是否成立,请说明理由．（3）如图3,若k316．（2018四川省自贡市,第25题,12分）如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立？请在图3中画出图形,若成立,请给于证明；若不成立,线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明．17．（2018四川省达州市,第24题,11分）阅读下列材料：已知：如图1,等边△A 1A 2A 3内接于⊙O ,点P 是·12A A 上的任意一点,连接P A 1,P A 2,P A 3,可证：P A 1+P A 2=P A 3,从而得到：1212312PA PA PA PA PA +=++是定值．（1）以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整；证明：如图1,作∠P A 1M =60°,A 1M 交A 2P 的延长线于点M ．∵△A 1A 2A 3是等边三角形,∴∠A 3A 1A 2=60°,∴∠A 3A 1P =∠A 2A 1M又A 3A 1=A 2A 1,∠A 1A 3P =∠A 1A 2P ,∴△A 1A 3P ≌△A 1A 2M∴P A 3=MA 2=P A 2+PM =P A 2+P A 1,∴1212312PA PA PA PA PA +=++,是定值．（2）延伸：如图2,把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问：121234PA PAPA PA PA PA++++还是定值吗？为什么？（3）拓展：如图3,把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则1212345PA PAPA PA PA PA PA+=++++（只写出结果）．18．（2018山东省济南市,第26题,12分）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE．（1）如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,直接写出∠ADE的度数；（2）如图2,当点D落在线段BC（不含边界）上时,AC与DE交于点F,请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由；（3）在（2）的条件下,若AB=6,求CF的最大值．19．（2018山东省青岛市,第23题,10分）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照如图1方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律．问题探究：我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法．探究一用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架（m、n是正整数）,需要木棒的条数．如图①,当m=1,n=1时,横放木棒为1×（1+1）条,纵放木棒为（1+1）×1条,共需4条；如图②,当m=2,n=1时,横放木棒为2×（1+1）条,纵放木棒为（2+1）×1条,共需7条；如图③,当m=2,n=2时,横放木棒为2×（2+1）条,纵放木棒为（2+1）×2条,共需12条；如图④,当m=3,n=1时,横放木棒为3×（1+1）条,纵放木棒为（3+1）×1条,共需10条；如图⑤,当m=3,n=2时,横放木棒为3×（2+1）条,纵放木棒为（3+1）×2条,共需17条．问题（一）：当m=4,n=2时,共需木棒条．问题（二）：当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为条,纵放的木棒为条．探究二用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架（m、n、s是正整数）,需要木棒的条数．如图⑥,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条,共需46条；如图⑦,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条,共需75条；如图⑧,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条,共需104条．问题（三）：当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为条,竖放木棒条数为条．实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是．拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒条．一、选择题二、填空题三、解答题1．（2019渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连结DF,CF．（1）如图1,点D在AC上,请你判断此时线段DF,CF的关系,并证明你的判断；（2）如图2,在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时,若AD=DE=2,AB=6,求此时线段CF的长．2．（2019合肥二模）如图,点C为线段AB上一点,分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形,顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧,点D在另一侧）．（1）如图1,若点C是AB的中点,则∠CED= °；（2）如图2．若点C不是AB的中点．①求证：△DEF为等边三角形；,请求出DE的长．②连接CD,若∠ADC=90°,AD33．（2019南关区一模）在△ABC中,CA=CB,0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC,点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合）,且BM=AN,连结BN并延长交AP于点D,连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E,连结ED．[猜想]如图①,当∠C=45°时,可证△BCN≌△ACM,从而得出∠CBN=∠CAM,进而得出∠BDE的大小为度．[探究]如图②,若∠C=α．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为度（用含a的代数式表示）．[应用]如图③,当∠C=90°时,连结BE．若BC=3,∠BAM=15°,则△BDE的面积为．4．（2019武昌区模拟）如图,在△CDE中,A为DE边上的点,B为射线EC上的点,∠EAB+∠DCE=180°,AD=2AE,CD=nAB．（1）当点B在边EC上时,①若∠C=90°,求证：△EAB∽△ECD；②若tan∠C92,n=2,求EBCB的值；（2）当点B在EC的延长线上时,若∠E=60°,n=1,直接写出CDDE的值．5．（2019商丘二模）如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点．（1）问题提出：如图1,若AD=AE,AB=AC．①∠ABD与∠ACE的数量关系为；②∠BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2,若∠ADE=∠ABC=30°,则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中,若AB=2,AD=1,若把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,直接写出PB 的长．6．（2019邓州市二模）阅读材料如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连接BF、CD、CO,显然,点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,所以BF=CD．解决问题：（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转到图②的位置,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论；（2）如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立,请说明理由；如果不成立,请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α,BF与CD之间的数量关系如何（用含α的式子表示出来）？请直接写出结果．7．（2019海淀区校级三模）如图1．在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C重合）,点E关于直线BC的对称点为F,连接AE并延长交CB延长线于点H,连接FB并延长交直线AH于点G．（1）求证：A E=BF．（2）用等式表示线段FG,EG与CE的数量关系,并证明．（3）连接GC,用等式表示线段GE,GC与GF的数量关系是．8．（2019成都一模,第22题,10分）如图1．在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC、BE,点P为DC的中点．（1）观察猜想：图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想（1）中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP的取值范围．。

专题复习归纳与猜想(含答案)-

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

人教版(五四制)六年级数学下册第九章几何图形初步综合测评试题(含答案及详细解析)

六年级数学下册第九章几何图形初步综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若40α∠=︒，则α∠的余角的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．140°2、如图，在观测站O 发现客轮A ，货轮B 分别在它北偏西50°，西南方向，则∠AOB 的度数是（）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°3、下列说法错误的是（）A ．直线AB 和直线BA 是同一条直线B ．若线段AM ＝2，BM ＝2，则M 为线段AB 的中点C ．画一条5厘米长的线段D ．若线段AB ＝5，AC ＝3，则BC 不可能是14、如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5、如图，已知线段a ，b ．按如下步骤完成尺规作图，则AC 的长是（）①作射线AM ；②在射线AM 上截取2AB a =；③在线段AB 上截取BC b =．A ．a b +B ．b a -C ．2a b +D ．2a b -6、如图，下列说法正确的是（）A ．线段AB 与线段BA 是不同的两条线段B ．射线BC 与射线BA 是同一条射线C ．射线AB 与射线AC 是两条不同的射线D ．直线AB 与直线BC 是同一条直线7、下列几何图形与相应语言描述不相符的有（）A ．如图1所示，直线a 和直线b 相交于点AB ．如图2所示，延长线段BA 到点CC ．如图3所示，射线BC 不经过点AD ．如图4所示，射线CD 和线段AB 有交点8、用一个平面去截正方体，截面可能是下列图形中的（）①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形．A ．①②③④B ．①②③⑤C ．③④⑤D ．②④⑤9、如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，则图中α∠与β∠互余的是（） A ． B ．C ．D ．10、如图所示，由A 到B 有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（）A ．两点之间，线段最短B ．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离C ．两点确定一条直线D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）︒，则∠α的余角度数是___________．1、若∠α=2512'2、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若∠AOC＝120°，则∠BOD等于_____．3、如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的余角的度数是_____．4、在同一平面内，三条直线两两相交，最多有_____个交点．5、2021年5月29日20时55分，中国在文昌航天发射场用长征七号遥三火箭成功发射天舟二号货运飞船，首次实现货运飞船与空间站天和核心舱的交会对接，20：55时，时针与分针夹角是_________度．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）；A．B．C．D．(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）（填序号）；(3)下图是题(2)中长方体的一种表面展开图，它的外围周长为52，事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，请聪明的你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为．2、将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．(1)如图，若∠BON＝60°，求∠COM的度数；(2)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：①当∠BON＝140°时，求∠COM的度数；②当∠BON＝140°时，直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系．3、已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，若∠AOC =48°，求∠DOE 的度数；(2)如图1，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)；(3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE 和∠AOC 度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．(4)将图1中的∠DOC 绕顶点O 逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．4、将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．(1)如图1，若CE 恰好是ACD ∠的角平分线，请说明此时CD 也是ECB ∠的角平分线；(2)如图2，固定三角尺BCE ，将三角尺AC D 绕点C 任意旋转，使CD 落在BCE ∠的内部，试猜想ECD ∠与ACB ∠之间具有什么关系？并说明理由．5、将直角三角板OMN 的直角顶点O 放在直线AB 上，射线OC 平分∠AON ．(1)如图，若∠BON ＝60°，求∠COM 的度数；(2)将直角三角板OMN 绕顶点O 按逆时针方向旋转，在旋转过程中：①当∠BON ＝140°时，求∠COM 的度数；②当∠BON ＝140°时，直接写出∠BON 和∠COM 之间的数量关系．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】解：∵∠α=40° ，∴它的余角=90°－40°=50°．故选：B ．【点睛】本题考查了余角的知识，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据西南方向即为南偏西45︒，然后用180︒减去两个角度的和即可．【详解】由题意得：180(4550)85AOB ∠=︒-︒+︒=︒，【点睛】本题考查有关方位角的计算，理解方位角的概念，利用数形结合的思想是解题关键．3、B【解析】【分析】根据直线、线段以及线段中点的性质进行判定即可得出答案．【详解】解：A．因为直线AB和直线BA是同一条直线，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．如图1，AM=BM，但点M不是线段AB的中点．故B选项说法错误，故B选项符合题意．C．因为画一条5cm的线段，如图2所以C选项说法正确，故C选项不符合题意；D．因为如图3AB=5，AC=3，所以2≤BC≤8，BC不可能是1，故D选项说法正确，故D选项不符合题意．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，直线、射线、线段，熟练掌握两点的距离计算的方法及直线、射线、线段的性质进行判定是解决本题的关键．4、B【解析】【分析】根据余角与补角的概念：如果两个角的度数和为180度，则这两个角互补，如果两个角的度数和为90度，则这两个角互余，进行求解即可．【详解】解：α∠和β∠互补，180αβ∴∠+∠=︒，∵9090ββ︒-∠+∠=︒，故①正确；又90901809090αβαβ∠-︒+∠=∠+∠-︒=︒-︒=︒，②也正确；()11180909022αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒，故③错误； ()()11118090222αββαβ∠-∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，所以④正确．综上可知，①②④均正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了余角与补角的定义，熟知二者的定义是解题的关键．5、D【解析】根据题意作出图形，根据线段的和差进行求解即可【详解】解：如图，根据作图可知，AC AB BC =-2a b =-故选D【点睛】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．6、D【解析】【分析】根据直线、线段、射线的区别进行判断即可．【详解】解：A 、线段AB 与线段BA 端点相同，顺序不同，属于一条线段，故错误；B 、射线BC 与射线BA 端点与方向均不同，不是同一射线，故错误；C 、射线AB 与射线AC 端点相同，方向相同，属于同一射线，故错误；D 、直线AB 与直线BC 属于同一直线，故正确．故选：D ．【点睛】本题考查的是直线、线段、射线的定义，熟练掌握之间的区别即可进行解题．7、B【解析】【分析】根据直线、射线、线段的相关概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、如图1所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符，故不符合题意；B、如图2所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符，故符合题意；C、如图3所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述相符，故不符合题意；D、如图4所示，射线CD和线段AB有交点，几何图形与相应语言描述相符，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查直线、射线与线段，熟练掌握直线、射线与线段的相关概念是解题的关键．8、A【解析】【分析】根据正方体的截面形状判断即可．【详解】解：正方体的截面可能是三角形，四边形，五边形，六边形，不可能是七边形，则用一个平面去截正方体，截面可能是下列图形中的三角形，四边形，五边形，六边形，故选：A．【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体的截面形状是解题的关键．9、A【解析】【分析】A项根据平角的意义即可判断；B根据同角的余角相等即可判断；C根据等角的补角相等即可判断；D 根据角度的关系求出两角的角度再进一步判断即可．【详解】解：A、图中∠α+∠β=180︒-90︒=90︒，∠α与∠β互余，故本选项符合题意；B、图中∠α=∠β，不一定互余，故本选项不符合题意；C、图中∠α=∠β=135︒，不是互余关系，故本选不符合题意；D、图中∠α=45︒，∠β=60︒，不是互余关系，故本选不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记余角的概念是解题的关键．10、A【解析】【分析】根据线段的性质进行解答即可．【详解】解：最短的路线选①的理由是两点之间，线段最短，故选：A．【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．二、填空题1、6448'︒【解析】【分析】根据互余的两个角的和等于90︒列式计算即可得解．【详解】解：9025126448''︒-︒=︒故答案为：6448'︒【点睛】本题考查了余角的知识，掌握互余的两个角的和为90︒是解题的关键．2、60°【解析】【分析】由图可知∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∠BOC +∠BOD =∠COD ，依此角之间的和差关系，即可求解．【详解】∠AOC +∠DOB=∠AOB +∠BOC +∠DOB=∠AOB +∠COD=90°+90°=180°，∵∠AOC =120°，∴∠BOD =60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题意列出式子是解题关键．3、10°##10度【解析】【分析】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数，再根据余角的定义即可求解．【详解】解：∵OA是表示北偏东62°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线，∴∠AOB＝180°﹣62°﹣38°＝80°，∴∠AOB的余角的度数是90°﹣80°＝10°．故答案是：10°【点睛】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，如果两个角的和等于90°那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．4、3【解析】【分析】根据两直线相交的特点列出在同一平面内，两两相交的三条直线会出现的两种情况，即可求出最多有多少个交点．【详解】解：如图，在同一平面内，两两相交的三条直线的只有这两种情况，交点有1或3个，所以三条直线两两相交交点最多有3个故答案为：3．【点睛】此题考查的是相交线的问题，熟知两直线相交的特点是解题的关键．5、62.5【解析】【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°进行计算即可．【详解】解：由题意得：90°-55×0.5°=90°-27.5°=62.5°，∴20：55时，时针与分针夹角是62.5度，故答案为：62.5．【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时针1分钟转0.5°是解题的关键．三、解答题1、 (1)B(2)①②③(3)70【解析】【分析】（1）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，正方体的展开图共有11种，只要对比选项，选出属于这11种的图的选项即可．（2）由平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点解题，选出属于长方体展开图的项即可．（3）画出图形，依据外围周长的定义计算即可．(1)正方体的所有展开图，如下图所示：只有B属于这11种中的一个，故选：B．(2)可能是该长方体表面展开图的有①②③，故答案为：①②③．(3)外围周长最大的表面展开图，如下图：观察展开图可知，外围周长为68443270⨯+⨯+⨯=，故答案为：70．【点睛】本题考察了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关键．2、(1)30°(2)①70°或110°；②∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义可得∠AON的度数，根据角平分线的定义可得∠CON的度数，根据角的和差关系即可得答案；（2）①分ON在直线AB上方和ON在直线AB下方两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系分别求出∠COM的度数即可得答案；②根据①中所求度数即可得答案．(1)∵∠BON＝60°，∴∠AON＝180°-∠BON＝120°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝12AON∠＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠MON-∠CON＝90°－60°＝30°．(2)①当ON在直线AB上方时，∵∠BON＝140°，∴∠AON＝40°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝20°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝70°，当ON在直线AB下方时，∵∠BON＝140°，∴∠AON＝40°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝20°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝110°，综上所述：∠COM的度数为70°或110°．②当∠COM＝70°时，∠BON=2∠COM，当∠COM＝110°时，∠BON+2∠COM=360°．∴∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°．【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义及邻补角的定义，正确理解题意，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．3、(1)24°(2)1 2α(3)∠DOE=12∠AOC，理由见解析(4)180 °-1 2α【解析】【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=180°-48° = 132°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC 求出∠DOE的度数；（2）由（1）得，12DOE AOC∠=∠，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数；（3）由∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°可得∠BOC=180°-∠AOC，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可；（4）根据角的和差关系，角平分线的定义解答即可．(1)(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-48° = 132°∵OE 平分∠BOC∴∠COE =12∠BOC = 66°又∵∠COD 是直角∴∠COD = 90°∴∠DOE =∠COD -∠COE = 90°- 66°= 24°(2)由（1）得，12DOE COD BOC ∠=∠-∠ 190(180),2DOE AOC ︒︒∴∠=--∠ 11.22DOE AOC α∴∠=∠= 故答案为：12α (3)答：∠DOE =12∠AOC ．理由如下: ∵∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∴∠BOC =180°-∠AOC ∵OE 平分∠BOC∴∠COE =12∠BOC =12 (180°-∠AOC )= 90°-12∠AOC 又∵∠COD 是直角∴∠COD = 90°∴∠DOE =∠COD -∠COE = 90°-(90°-12∠AOC )= 12∠AOC∴∠DOE =12∠AOC (4) OE 平分BOC ∠1180180222AOC COE BOC α︒︒-∠-∴∠=∠== COD ∠是直角90,COD ︒∴∠=180********DOE COD COE αα︒︒︒-∴∠=∠+∠=+=- 故答案为：11802α︒-；【点睛】此题考查的是角平分线的性质、旋转性质以及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差关系．4、 (1)见解析(2)ECD ∠与ACB ∠互补，见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可知1452ACE ECD ACD ∠=∠=∠=︒，由90BCE ∠=︒，计算出45BCD ∠=︒进而可证明；（2）由C C A B A E C B E =+∠∠∠和ECD ACD ACE ∠=∠-∠，可知180ACB ECD ∠+∠︒=，进而可证明ACB ∠与ECD ∠互补．(1)∵CE 平分ACD ∠，∴1452ACE ECD ACD ∠=∠=∠=︒，又∵90BCE ∠=︒，∴45BCD BCE ECD ∠=∠-∠=︒，即ECD BCD ∠=∠，∴CD 平分ECB ∠.(2)（2）猜想：ECD ∠与ACB ∠互补.证明：∵C C A B A E C B E =+∠∠∠，ECD ACD ACE ∠=∠-∠，∴9090180ACB ECD BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴ACB ∠与ECD ∠互补.【点睛】本题考查角平分线的定义，补角的概念以及判定，能够熟练应用角平分线的定义是解决本题的关键．5、 (1)30°(2)①70°或110°；②∠BON ＝2∠COM 或∠BON ＋2∠COM ＝360°【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义可得∠AON 的度数，根据角平分线的定义可得∠CON 的度数，根据角的和差关系即可得答案；（2）①分ON 在直线AB 上方和ON 在直线AB 下方两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系分别求出∠COM 的度数即可得答案；②根据①中所求度数即可得答案．(1)∵∠BON ＝60°，∴∠AON ＝180°-∠BON ＝120°，∴∠CON＝12AON＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠MON-∠CON＝90°－60°＝30°．(2)①当ON在直线AB上方时，∵∠BON＝140°，∴∠AON＝40°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝20°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝70°，当ON在直线AB下方时，∵∠BON＝140°，∴∠AON＝40°，∵OC平分∠AON，∴∠CON＝20°，∴∠COM＝110°，综上所述：∠COM的度数为70°或110°．②当∠COM＝70°时，∠BON=2∠COM，当∠COM＝110°时，∠BON+2∠COM=360°．∴∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°．【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义及邻补角的定义，正确理解题意，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．。

初中数学最全答题模板+177道易错题(附答案),中考必考!

01九种题型答题模板1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。

5.多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。

专题复习-中考数学归纳与猜想(含答案)-

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

★ 例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

2022年中考训练专题九图形的初步认识与三角形(含答案)

专题九图形的初步认识与三角形一、单选题1.（2022最新·衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A. B. C. D.2.（2022最新·衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）A. B. C.D.3.（2022最新·台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位:cm）为（）A. 7+3B. 7+4C. 8+3D. 8+44.（2022最新·绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是( )A. B. C. D.5.（2022最新·绍兴）如图，等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP 交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小6.（2022最新·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB 至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（）D. 47.（2022最新·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长 D. 四边形ADEC的周长8.（2022最新·金华·丽水）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9.（2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

九年级思维拓展：几何作图(讲义及参考答案).pdf

九年级思维拓展：几何作图【知识点睛】➢尺规作图1.基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．2.应用作图：①，设计作图方案；②调用完成图形．※会利用基本作图完成：①过不在同一直线上的三点作圆；②作三角形的外接圆、内切圆；③作圆的内接正方形和正六边形．➢几何问题无图或图形不完整时，往往需要作图．作图常考虑以下几点：1.从确定的点、线、角出发，依据特征作图．2.实际操作过程中，有时也会先画出大致图形，边分析特征，边尝试作精确图形．3.当研究的问题有多种情况，需要分类讨论时，往往先画出一种符合题意的图形，分析研究后，再考虑其他情形的画图．※作图既是理解题意的体现，也是辅助思考、分析问题的一种手段．作图过程中，往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征尝试精准作图．往往需要辨识特征，然后依．据．不．变．特．征．分．析．运．动．轨．迹．，设计作图方案，动态变换过程中的几何图形需要注意边作图边计算，尤其是端点的验证．常见作图特征（1）与作圆相关①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上；②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为90°，则动点在圆上；③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上．（2）与折叠相关①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；②对应点确定，折痕所在的直线为对应点连线的垂直平分线．（3）与旋转相关①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度；②旋转作图时往往只需保留研究目标即可．（4）与平移相关根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．【精讲精练】1. （2011 版课程标准）尺规作图：过一点作已知直线 l 的垂线，保留痕迹，不写作法.（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A 为直线 MN 上一点．已知：A 为直线 MN 外一点．求作：直线 AB ，使 AB ⊥MN ．求作：直线 AB ，使AB ⊥MN ． AM NM N2. （2016·北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线 l 和 l 外一点 P .P求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P .作法：如图，（1）在直线 l 上任意两点 A 、B ；ll（2）分别以点 A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q ；（3）作直线 PQ ．所以直线 PQ 就是所求作的垂线. 请回答：该作图的依据是.3. （2016·河北）如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点 D ；步骤 3：连接 AD ，交 BC 延长线于点 H ．下列叙述正确的是（）A ．BH 垂直平分线段 ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AHD ．AB =ADABC H① D ②第 3 题O B第 4 题4. （2018·北京模拟）嘉琪同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB ，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P ，嘉琪说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”你认为嘉琪的想法正确吗？她这样做的理论依据是.A10 6 7 8 9 234 5 0 P0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1AMDNEAAAPC B P C B P CBP C B 5. （2015·深圳）如图所示，已知△ABC （AC ＜AB ＜BC ），用尺规在线段 BC 上确定一点 P ，使得 PA ＋PC ＝BC ，则符合要求的作图痕迹是（）AA.B ．C ．D ．6. （2018·鄂尔多斯）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点 C 和点 D 为圆心，大于 1CD 为半径作弧，两弧交于点 M ，N ；②作直线 MN ，且 MN 恰好经过点 A ，与 CD 交于点 E ， 2 连接 BE ，则下列说法错误的是（）A. ∠ABC =60°B ．S △ABE =2S △ADEC ．若 AB =4，则 BE = 4D ．sin ∠CBE = 14ADMENBC第 6 题第 7 题7. （2018·河南）如图，已知□AOBC 的顶点 O (0，0)，A (-1，2)，点 B 在 x 轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA ，OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于 1DE 的长为半径作弧，两弧在∠AO B 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 AC 于点 G ．则2点 G 的坐标为（） A. ( -1，2)B ． ( 5，2)C ．(3 - 5，2)D ． ( - 2，2)8. （2018·郑州二检）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，分别以点 A ，B 为圆心，大于 1 AB 的长为 2半径作弧，两弧交于点 M ，N ，作直线 MN 分别交 AB ，AC 于点 D ，E ，连接 CD ，BE ，则下列结论中不．一．定．正确的是（）A ．AD =BDB ．BE ＞CDC ．∠BEC =∠BDCD ．BE 平分∠CBDC B721yAF CGDOEB x 5 59. （2019·呼伦贝尔、兴安盟）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是 AC ，AB 上的中线，BD 与 CE 相交于点 O ．（1）利用尺规作图作线段 CO 的中点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）猜想 CO 与 OE 的长度有什么关系，并说明理由．AB10. （2018·自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°．（1）作出经过点 B ，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O ；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交异于点 B 的另外一点 D ，若⊙O 的直径为 5，BC =4，求 DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）CCABAB11. 如图，菱形 ABCD 和菱形 AEFG 开始时互相重合，现将菱形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转，设旋转角∠BAE =α（0°＜α＜360°），则当 α= 时，菱形的顶点 F 会落在菱形的对角线 AC 和 BD 所在的直线上．FEDODCGA B EMA′3PO A′12.（2019·通辽）如图，在边长为3 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边上的一点，且AM=13AD，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．D C AE DA NB B C第12 题第13 题13.如图，长方形ABCD 中，AB=5，AD=8，E 是射线AD 上一动点，把△ABC 沿BE 折叠，当点A的对应点A′落在长方形ABCD 的对称轴上时，则AE 的长为．︵14.（2014·河北）图1 和图2 中，优弧AB 所在⊙O 的半径为2，AB= 2 ．︵点P 为优弧AB 上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A'．（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA'= ；（2）当BA'与⊙O 相切时，如图2，求折痕的长；︵（3）若线段BA'与优弧AB 只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．P A'OEDD'F C'15.（2017·焦作一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E 分别在边AC、AB上，AD=DE= 1AB，连接DE．将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转，记旋转角为θ，2(1)问题发现①当θ=0°时，BE =CD ；②当θ=180°，BE= ．CD(2)拓展研究试判断：当0°≤θ＜360°时，BE 的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明．CD(3)问题解决①在旋转过程中，BE 的最大值为；②当△ADE 旋转至B、D、E 三点共线时，线段CD 的长为．A A ADC B C B图1 图2 C备用图16.（2017·濮阳二模）在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 在边BC 上，且BE=2CE，将矩形沿过点E 的直线翻折，点C，D 的对应点分别是C'，D'，折痕与边AD 交于点F，当点B，C'，D'恰好在同一直线上时，AF 的长为．A D DB C CEDNM【思考题】（2015·河南）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点 D ，E 分别是边 BC ， AC 的中点，连接 DE ．将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α．（1）问题发现①当 α=0°时，AE=BD；②当 α=180°时，AE= ．BD（2）拓展探究试判断：当 0°≤α<360°时，AE 的大小有无变化？仅就图 2 的情形给出证明．BD（3）问题解决当△EDC 旋转至 A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．AAEABC BC BC图1图2备用图【思考题】（2017·河北）已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；……在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B ，M 间的距离的取值范围是．E DFC7E5 3 2 2【知识点睛】2. 应用作图：①画出草图；②基本作图；【精讲精练】 1. 略；2. 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练(附答案)

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练（附答案）1．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE 于F，过B点作BG⊥DE于G．（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是．（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．2．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，（提示：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E）（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝，CB ＝．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E 在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．4．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B 顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．5．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）如图，若AC＝12，BC＝5，AB＝13，求CD的长；（2）如图，E是AC上一点，且CE＝CB；①作EF⊥AB于点F，试探究线段EF、CD、BD三者的数量关系；②连ED，将ED绕E点逆时针旋转90°到EF，连BF交CD于点G，求证：FG＝BG．6．已知：如图，在△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，按图所示的方法将△ACD 沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处．（1）求折痕AD的长；（2）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），设AP＝x，△APD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），当△APD为等腰三角形时，求AP的长．7．（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在间一直线上，连接BE 求证：AD＝BE．（2）如图②△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE＝AE；②若将图②中的△DCE绕点C旋转至图③所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．8．如图1，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），线段AB绕着点A顺时针旋转90°得到线段AC，点C第三象限，连接BC得△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）求△ABC的面积；（Ⅲ）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以点P 为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过点D作DE⊥x轴于E点，请判断OP与DE的差是否是一个定值，并说明理由．9．如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）10．在△ABC中点P是△ABC内一点，且∠APC＝90°+∠ABC，连接PB，试探究P A，PB，PC满足的等量关系．下面我们按照从特殊到一般的顺序来研究．（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，请补充图形，并由此得到P A，PB，PC满足的等量关系为；（2）如图2，当△ABC为含30°角的直角三角形时，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．请补全图形，写出P A，PB，PC满足的等量关系式，并给出证明；（3）如图3，当△ABC三边长分别为AB＝4，AC＝5，BC＝6时，直接写出P A，PB，PC满足的等量关系式（不需证明）．11．点A（﹣4，0）、点B（0，n）为y轴负半轴上一动点，过点B作BC⊥AB，且BC＝AB．（1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）；（2）如图2，点C关于y轴的对称点为C′，连AC′并延长，交y轴于点D．在点B 移动的过程中，OD的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点D的坐标；（3）如图3，点F（3，0）在x轴上，过点B作BG⊥BF，且BG＝BF，连接CG交y 轴于H．若点H恰好为CG的中点，求BH的长．12．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD．（1）求证：△COD是等边三角形．（2）当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．（3）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数．13．在△ABC中AC＝BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：△ABD是等边三角形．②求证：BE垂直平分AD；（2）若AB＝12，AC＝BC＝10，将其他条件保持不变，①如图2，当α＝60°时，求BE的长；②在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE的值．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P为AB边上一点，Q为BC边上一点，且∠BPQ＝∠APC，过点A作AD⊥PC，交BC于点D，直线AD分别交直线PC、PQ于E、F．（1）求证：∠FDQ＝∠FQD；（2）把△DFQ沿DQ边翻折，点F刚好落在AB边上点G，设PC分别交GQ、GD于M、N，试判定MN与EN的数量关系，并给予证明．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD 折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（I）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD＝2CP，求点A的坐标．（Ⅱ）若图①中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．（Ⅲ）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN＝PM，连接MN 交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可）16．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．在边AB，AC分别取点D，E．连接DE．将△ADE沿DE翻折得△A′DE，且点A给好落在△ABC的边上．（1）如图1，点A在边AB上，若BA′＝2，求AD的长；（2）如图2，点A在边AC上，连接BA′，若BA′平分∠ABC，求折痕DE的长；（3）如图3，点A在边BC上，当△ADE为等腰三角形时，求其腰长．17．（1）如图1，等腰三角形纸片ABC，∠BAC＝30°，按图2将纸片沿DE折叠，使得点A与点B重合，此时∠DBC．（2）在（1）的条件下，将△DEB沿直线BD折叠，点E恰好落在线段DC上的点E′处，如图3，此时∠E′BC＝．（3）若另取一张等腰三角形纸片ABC，沿直线DE折叠（点D、E分别为折痕与直线AC、AB的交点），使得点A与点B重合，再将所得图形沿直线BD折叠，使得点E落在点E′的位置，直线BE′与直线AC交于点M．设∠BAC＝m°（m＜90），画出折叠后的图形，并直接写出对应的∠MBC的大小．（用含m的代数式表示）18．将两块全等的含30°角的三角尺按如图1所示的方式摆放在一起，它们较短的直角边BC＝EC＝3．（1）将△ECD沿直线l向左平移到图2的位置，使点E′落在AB上，则CC′＝；（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图3的位置，使点E′落在AB上，则△ECD绕点C 旋转的度数为；（3）将△ECD沿直线AC翻折到图4的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF＝FD′．19．已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为．（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝．20．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，△BPE和△CQE的形状有什么关系，请证明；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，△BPE和△CQE有什么关系，说明理由；（3）当BP＝1，CQ＝时，求P、Q两点间的距离．参考答案1．解：（1）发现问题：如图1，过点B作BH⊥CF于点H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∵AG＝AF+FG，∴AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；故答案为：AG＝2CF﹣BG，（2）类比探究：数量关系发生改变，AG＝2CF+BG理由如下：如图2，过点B作BH⊥CF于H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∴AG＝AF+FG＝CH+BH＝CF+FH+CF＝2CF+BG；（3）拓展延伸：如图3，过点C作CH⊥BG于H，∵CH⊥BG，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形CHGF是矩形，∴CH＝FG，CF＝GH，∠FCH＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠FCH，∴∠ACF＝∠BCH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△BCH（AAS），∴CH＝CF＝GF＝1，∴AF＝AG+GF＝3，∴AC＝CB＝＝＝，∴S△ABC＝×AC×BC＝5．2．解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣BD，∴AB﹣BD＝CB．如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE﹣AB，∴BE＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝CB．（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴综合了第一个图和第二个图两种情况，若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°＝∠CBD，过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．BD＝BH，∴BH＝DH＝1，直角△CDH中，∠DCH＝30°，∴CD＝2DH＝2，CH＝，∴CB＝+1；若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1；故答案为：2，+1或﹣1．3．解：（1）∵将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，且∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点F是BE的中点，AF＝5，∠BAC＝90°，∴BE＝10，∴AB＝＝＝8，∴AC＝8，∴EC＝2，∵BD＝CD，BF＝EF，∴DF＝EC＝1，（2）如图②，过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠BEA+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，∴∠H＝∠BEA，且AB＝AC，∠AFB＝∠ACH＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH，AE＝CH，∠CAH＝∠ABE，∵AE＝CE，∴CE＝CH，∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠GCH，且CE＝CH，CG＝CG，∴△CEG≌△CHG（SAS）∴EG＝GH，∵BE＝AH＝AG+GH，∴AG+EG＝BE；（3）如图②，连接NG，∵∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠BAN＝∠ACG＝45°，AB＝AC，∠ABE＝∠CAH，∴△ABN≌△CAG（ASA）∴AN＝CG，∴AD﹣AN＝CD﹣CG，∴DN＝DG，∴∠DNG＝45°∵∠NDG＝∠NFG＝90°，∴点N，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠DNG＝45°．4．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝AC÷tan30°＝2，∵BD＝2，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．（2）如图2中，当A、D、E共线时，易证四边形ACBD是矩形，∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．如图3中，当A、E、D共线时，作CH⊥AD于H．在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝1，∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH＝＝＝，∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，AG的最大值＝AH+GH＝+1．5．（1）解：如图1中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝＝．（2）解：①结论：CD﹣EF＝BD．理由：如图2中，作EH⊥CD于H．∵∠EFD＝∠FDH＝∠EHD＝90°，∴四边形EFDH是矩形，∴EF＝DH，∵∠EHC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ECH+∠CEH＝90°，∠ECH+∠BCD＝90°，∴∠CEH＝∠BCD，∵CE＝BC，∴△EHC≌△CDB（AAS），∴CH＝BD，∴CD﹣EF＝CD﹣DH＝CH＝BD．②证明：如图3中，作EH⊥CD于H．FM⊥DC交DC的延长线于M，ET⊥MF交MF 的延长线于T，连接CT．∵∠EHC＝∠M＝∠ETM＝90°，∴四边形EHMT是矩形，∴∠TEH＝90°，EH＝TM，∵∠DEF＝∠TEH＝90°，∴∠TEF＝∠HED，∵∠ETF＝∠EHD＝90°，EF＝ED，∴△ETF≌△DHD（AAS），∴ET＝EH＝TM，DH＝TF，∵△EHC≌△CDB，∴CH＝BD，EH＝CD＝TM，∴FM＝CH＝BD，∵∠FMG＝∠BDG＝90°，∠FGM＝∠BGD，FM＝BD，∴△FMG≌△BDG（AAS），∴FG＝BG．6．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝6，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴AD＝＝＝3．（2）如图2中，由题意：y＝•P A•DC′＝×x×3x（0＜x＜10）．（3）如图3中，①当P A＝PD时，设P A＝PD＝m，在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，∴m2＝32+（6﹣m）2，解得m＝，∴P A＝．②当AD＝AP′＝3时，△ADP′是等腰三角形，③当PD＝AD时，点P在AB的延长线上不符合题意．综上所述，满足条件的P A的值为或3．7．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM；②结论不成立，AE＝2CM﹣BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝DE﹣AD＝2CM﹣BE；8．解：（Ⅰ）如图1，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，过点C作CF⊥x轴于F，∴∠AFC＝90°＝∠AOB，∴∠ACF+∠CAF＝90°，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△BAO中，，∴△ACF≌△BAO（AAS），∴CF＝AO＝1，AF＝BO＝2，∴OF＝OA+AF＝3，∵点C在第三象限，∴C（3，﹣1）；（Ⅱ）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝12+22＝5，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC＝AC•AB＝AB2＝；（Ⅲ）OP与DE的差不是一个定值，理由：∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵△APD是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∠APD＝90°，∴∠APO+∠DPG＝90°，过点D作DG⊥y轴于G，∴∠DGP＝90°＝∠POA，∴∠PDG+∠DPG＝90°，∴∠APO＝∠PDG，∴△AOP≌△PGD（AAS），∴PG＝OA＝1，∵DE⊥x轴，∴∠OED＝90°＝∠EOG＝∠DGO，∴四边形OGDE是矩形，∴DE＝OG，当点D在第四象限时，如图2，PG＝OP﹣OG＝OP﹣DE，∴OP﹣DE＝1，当点D在第一象限时，如图3，PG＝OP+OG＝OP+DE，∴OP+DE＝1．9．解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1与AC的交点记作点G，如图（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋转角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案为135°；（3）如图3，∵AC＝AB＝4，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE＝2，由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1═＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝+．∴△P AB的面积最大值为AB×PH＝4+4，故答案为4+4．10．解：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，∴△ABP≌△ACP′，∴AP＝AP′，由旋转变换的性质可知，∠P AP′＝60°，P′C＝PB，∴△P AP′为等边三角形，∴∠APP′＝60°，∠APC＝90°+∠ABC，∴∠APC＝150°，∴∠P′PC＝90°，∴PP′2+PC2＝P′C2，∴P A2+PC2＝PB2，故答案为：P A2+PC2＝PB2；（2）结论：PB2＝4P A2+3PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ＝90°，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ＝30°，∵∠APC＝90°+∠ABC＝120°，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴PB2＝4P A2+3PC2．（3）如图3中，结论：25PB2＝36P A2+16PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转使得∠P AP′＝∠BAC，得到AP'．在AP'上截取AQ ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ，∵∠APC＝90°+∠ABC，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴25PB2＝36P A2+16PC2．11．解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴，∵CE⊥BE，BC⊥AB，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠C+∠EBC＝90°，且∠ABO+∠OBC＝90°，∴∠ABO＝∠C，且AB＝BC，∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△AOB≌△BEC（AAS）∴BE＝AO＝4，EC＝OB＝﹣n，∴OE＝4﹣（﹣n）＝4+n，∴点C（﹣n，4+n）；（2）OD的长没有发生变化，理由如下：如图2，连接BC'，CC'，∵点C关于y轴的对称点为C′，∴∠DBC＝∠DBC'，BC＝BC'，且BE＝BE，∴△BEC'≌△BEC（SAS）∴BC＝BC'，∵△AOB≌△BEC，∴BC＝AB，∠EBC＝∠BAO，∴AB＝BC'，∠C'BD＝∠BAO，∴∠BAC'＝∠BC'A，∴∠BAO+∠DAO＝∠ADO+∠DBC'，∴∠DAO＝∠ADO，且∠AOD＝90°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO＝4，∴点D（0，4）（3）如图3，在y轴上取点E，使HE＝HB，连接CE，∵点F（3，0），点A（﹣4，0）∴AF＝7，∵点H恰好为CG的中点，∴CH＝GH，且∠GHB＝∠EHC，EH＝BH，∴△BHG≌△EHC（SAS）∴BG＝EC＝BF，∠CEH＝∠GBH，∴GB∥EC，∴∠ECB+∠GBC＝180°，∵∠ABC＝∠GBF，∴∠ABF+∠GBC＝180°，∴∠ABF＝∠ECB，且EC＝BG＝BF，AB＝BC，∴△ABF≌△BCE（SAS）∴AF＝BE＝7，∴BH＝BE＝．12．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，由旋转，得OC＝OD，OC＝∠BCO＝∠ACD，∴∠BCO+∠OCA＝∠ACD+∠OCA，∴∠OCD＝∠ACB＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形，理由：由旋转，得∠ADC＝∠BOC＝150°，由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）解：由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠CDO＝∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°，∵△AOD是等腰三角形，①当∠ADO＝∠AOD时，即α﹣60°＝190°﹣α，解得：α＝125°；②当∠ADO＝∠OAD时，则α﹣60°＝50°，解得：α＝110°；③当∠OAD＝∠AOD时，即50°＝190°﹣α，解得：α＝140°；即α的度数为110°或125°或140°．13．（1）①证明：如图1中，∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．②证明：如图1中，∵△ABD是等边三角形，∴BA＝BD，∵EA＝ED，∴点B，点E在线段AD的垂直平分线上，∴BE垂直平分线段AD．（2）①解：如图2中，延长BE交AD于F．由②知BF⊥AD，AF＝DF，∴AF＝DF＝6，∵AE＝AC＝10，∴EF＝＝＝8，在等边三角形ABD中，BF＝AB•sin∠BAF＝12×＝6，∴BE＝BF﹣EF＝6﹣8．②如图所示，连接EC交AB于H．∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∴BE＝BC＝10．14．（1）证明：如图1，，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，由三角形的外角的性质，可得∠FDQ＝∠F AB+∠ABC＝∠F AB+45°，∵AD⊥PC，∴∠AEP＝90°，∴∠F AB+∠APC＝90°，∴∠APC＝90°﹣∠F AB，又∵∠BPQ＝∠APC，∴∠BPQ＝90°﹣∠F AB，∴∠FQD＝∠BQP＝180°﹣∠BPQ﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣∠F AB）﹣45°＝∠F AB+45°∴∠FDQ＝∠FQD．（2）解：MN与EN的数量关系是：MN＝3EN．如图2，延长DC至H，使HC＝CD，连接AH，过点B作BI∥GQ，交CP延长线于点I，，∵HC＝CD，AC⊥HD，∴△ADH是等腰三角形，∴AD＝AH，∴∠H＝∠ADH＝∠FDQ＝∠FQD＝∠BQP，∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴△GDQ≌△FDQ，∴∠FDQ＝∠GDQ，又∵∠H＝∠FDQ＝∠BQP，∴∠H＝∠BQP＝∠GDQ，∴AH∥DG∥PQ，∴，∠GQP＝∠DGQ，在△APC和△BPQ中，∴△APC∽△BPQ，∴，又∵，∴，∴BC＝QH，∴BQ＝HC，又∵HC＝CD，∴BQ＝HC＝CD．∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴∠DFQ＝∠DGQ，又∵∠GQP＝∠DGQ，∴∠GQP＝∠DFQ，∴AD∥GQ，四边形DFQG是平行四边形，∴，FD＝GQ，∵AH∥PF，∴＝，又∵DH＝2CD，BQ＝CD，∴，∴，∴（DQ+2CD）（DQ﹣CD）＝0，解得DQ＝CD，或DQ＝﹣2CD（舍去），∵＝1，∴BP＝PG，∵BI∥GQ，∴＝1，∴BI＝GM，∵BI∥GQ，AD∥GQ，∴AD∥BI，∴，∴，∴，∴MN＝3EN．15．解：（1）∵D（0，8），∴OD＝BC＝8，∵OD＝2CP，∴CP＝4，设OB＝OP＝DC＝x，则DP＝x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：4＝（x﹣4）：AC，则AC＝＝3，∴AB＝5，∴点A（10，5）；（2）∵点P恰好是CD边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝OB＝OP＝2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：y＝y：AC，则AC＝＝，∴AB＝8﹣＝，∵OB＝2y＝，∴tan∠AOB＝＝＝，∴∠AOB＝30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵OP＝OB，MQ∥AN∴∠OPB＝∠OBP＝∠MQP，∴MP＝MQ，∵BN＝PM，∴BN＝QM．∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF＝QB，∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．16．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝8，∴AB＝8，∵BA′＝2，∴AA′＝AB﹣BA′＝6，∵AD＝DA′，∴AD＝3（2）如图2中，∵BA′平分∠ABC，A′C⊥BC，A′D⊥AB，∴A′C＝A′D，∵AD＝DA′，∴A′C＝A′D＝AD，设A′C＝A′D＝AD＝x，则AA′＝x，∴x+x＝8，∴x＝8（﹣1），∴DE＝AA′＝8﹣4．（3）如图3中，①当AD＝AE时，设AD＝AE＝a，则CE＝CA′＝a，∴a+a＝8，∴a＝16﹣8，∴AD＝AE＝16﹣8．②当DE＝DA时，ED⊥AB，此时点A′与B重合，AD＝DE＝AB＝4．③当ED＝EA时，DE⊥AC，此时点A′与C重合，DE＝AE＝AC＝4．17．解：（1）如图2中，∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，∵△ADE折叠至△BDE，∴DBE＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝45°．故答案为45°（2）如图3中，∵△DBE折叠至△DBE′，∴∠DBE′＝∠DBE＝30°，∴∠DBE′＝∠DBC﹣∠CBE′＝45°﹣30°＝15°．故答案为15°．（3）如图4，0°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；（其中：图5，m＝30°时，点M与点E′重合；图6，30°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；图7，m＝36°时，点M与点C重合；）如图8，36°＜m＜60°时，∠MBC＝m°﹣90°；如图9，m＝60°时，点D与点C重合，BE′≠AC，不存在点M；如图10，60°＜m＜90°时，∠MBC＝270°﹣m°．18．（1）解：CC′＝3﹣．理由如下：由平移知，C'E'∥AC，C'E'＝CE＝3，∴∠BE'C'＝∠A＝30°，∵BC＝EC＝3，在Rt△BC'E'中，∠BE'C'＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，得BE'＝2BC'∴BE'2﹣BC'2＝C'E'2，即：4BC'2﹣BC'2＝9，∴BC'＝，∴CC′＝BC﹣BC'＝3﹣；故答案为：3﹣；（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；∵∠ABC＝60°，BC＝CE′＝3，AB＝6，∴△E′BC是等边三角形，∴BC＝E′C＝E′B＝3，∴AE′＝E′C＝3，∴∠E′AC＝∠E′CA，∴∠ECE′＝∠BAC＝30°；故答案为：30°；（3）证明：在△AEF和△D′BF中，∵AE＝AC﹣EC，D′B＝D′C﹣BC，又∵AC＝D′C，EC＝BC，∴AE＝D′B，又∵∠AEF＝∠D′BF＝180°﹣60°＝120°，∠A＝∠CD′E＝30°，∴△AEF≌△D′BF，∴AF＝FD'19．解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，∴∠BAC+∠D＝180°，∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE+AB＝DB+AB，∴BD+AB＝CB；故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，∴BD﹣AB＝CB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，∴AB﹣DB＝CB；∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD＝BH＝2，∴BH＝DH＝，在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，∴CH＝DH＝×＝，∴BC＝CH﹣BH＝﹣；故答案为：﹣．20．解：（1）△BPE≌△CQE．理由∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）△BPE∽△CEQ．理由：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，∴∠BEP＝∠EQC，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（3）如图②，连结PQ，∵△BPE∽△CEQ，∴＝，∵BP＝1，CQ＝，BE＝CE，∴＝，∴BE＝CE＝，∴BC＝3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴AB＝AC＝3，∴AQ＝CQ﹣AC＝，P A＝AB﹣BP＝2，在Rt△APQ中，PQ＝＝．。

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九、几何图形的归纳,猜想,证明问题【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。

09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n 等分点总结问题。

于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。

而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分真题精讲【例1】2010，海淀，一模如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．C 5C 4C 3C 2C 1B B B 2B A【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。

本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。

但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是22B AC ∆,33B AC ∆这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先2S 所代表的三角形的底边2C 2D 是三角形2AC 2D 的底边,而这个三角形和△3AC 3B 是相似的.所以边长的比例就是2AC 与3AC 的比值.于是212223S = 接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,B 点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。

那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。

我们发现所有的B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出n D 自然是所在边上的n+1等分点.例如2D 就是2B 2C 的一个三等分点.于是1121n n n D C n +-=⋅+(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)11122n n n B D C n n S D C +∆=【例2】2010，西城，一模在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ，(0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数），则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n 的式子表示）．【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。

这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。

因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。

比如我们来看第二象限那个三角形。

第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为12y x n =+,斜率12意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT 三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是12?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB 的面积自然就是122n n ⋅⋅,所有n个空白小三角形的面积之和为1212n ⋅⋅⋅,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2n n -,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是244n n -.【例3】2010，平谷，一模如图，45AOB ∠=︒，过OA 上到点O 的距离分别为1357911...，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积1S = ；观察图中的规律，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积n S = ．A...1311975310【思路分析】本题方法也比较多样。

所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为45AOB ∠=︒，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。

第一个梯形上底是1，下底是3，所以()1113242S =⋅+⋅=.第二个梯形面积()21572122S =⋅+⋅=,第三个是()319112202S =⋅+⋅=,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。

于是第n 个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是n S 就是8n-4.【例4】2010，丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有个．【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。

对于n n n n A B C D 来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是10101010A B C D 就是80个.【例5】2010，宣武，一模如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。

关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。

这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。

绕一圈是360度，包涵了8个45°。

于是绕到第八次就可以和BC 重叠了，此时边长为△ABC 的81，故而得解。

【例6】2010，门头沟，一模如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积nS = ________（n 为正整数）.B 2B 1A 1BOA【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。

还是一样慢慢找小三角形面积的规律。

由题可得123124...222S S S ===，，，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。

于是22n n S =【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。

对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。

最后根据这些联系列出通项去求解。

在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。

这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。

第二部分发散思考【思考1】2009，西城，二模如图，在平面直角坐标系xOy 中，1B (0,1)，2B (0,3)，3B (0,6)，4B (0,10)，…，以12B B 为对角线作第一个正方形1112A B C B ，以23B B 为对角线作第二个正方形2223A B C B ，以34B B 为对角线作第三个正方形3334A B C B ，…，如果所作正方形的对角线1n n B B +都在y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数）．那么1A 的纵坐标为；用n的代数式表示nA 的纵坐标：．【思考2】2009，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始跳动，第一次跳到点P 关于x 轴的对称点1P 处，接着跳到点1P 关于y 轴的对称点 2P 处，第三次再跳到点2P 关于原点的对称点处，…，如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是．【思考3】2009，昌平,一模对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是，自然数n 2的分裂数中最大的数是 .【思考4】2009，延庆，一模1 31 3 5一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______【思考5】2009，海淀，二模如图，将边长为),,,( 32121=+n n的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A 1, A 2, A 3, ….①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为；②若摆放前n （n 为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .第三部分思考题解析【思考1答案】2；2(1)2n +【思考2答案】（3，－2）【思考3答案】13；2n-1 【思考4答案】（5，0）【思考5答案】10，))((1241-+n n123xy12 3 …A 4A 2A 3A 1。