人教版高中数学必修三 教学案：第三章 第1节 第1课时 随机事件的概率

第1课时 随机事件的概率
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P 108～P 112，回答下列问题．
(1)客观世界中，有些事件的发生是偶然的，有些事件的发生是必然的，有些事件可能发生也可能不发生，若把这些事件分类，可分为哪几类？
提示：根据这些事件可能发生与否，可将事件分为必然事件、不可能事件、随机事件． (2)教材所做的抛掷一枚硬币的试验中，每个同学所得试验结果是否一致？ 提示：不一致，因为正面朝上这个事件是随机事件，可能发生也可能不发生． (3)事件A 发生的频率f n (A )是不是不变的？事件A 的概率P (A )是不是不变的？它们之间有什么区别与联系？
提示：频率是变化的，而概率是不变的，频率因试验的不同而不同，概率则不然，概率是频率的稳定值，是不随着频率的变化而变化的．
2．归纳总结，核心必记 (1)事件的概念与分类
事件⎩⎪⎨⎪⎧
确定事件⎩⎪⎨⎪⎧
不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的
事件，叫做相对于条件S 的不可能事件
必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件， 叫做相对于条件S 的必然事件
随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，
叫做相对于条件S 的随机事件
(2)频数与频率
在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A
n
为事件A 出现的频率．
(3)概率
①含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
②与频率联系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．
[问题思考]
(1)事件的分类是确定的吗？
提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．
(2)频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等．但因为每次实验的频率是多少是不固定，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
(3)频率与概率有什么区别与联系？ 提示：
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)事件的分类： ； (2)概率的含义：
； (3)概率与频率的联系： .
观察下列几幅图片：
事件一：常温下石头在一天内能被风化．
事件二：木柴燃烧产生热量．
事件三：射击运动员射击一次中十环．
[思考]以上三个事件一定发生吗？
名师指津：事件一在常温下不可能发生，是不可能事件；事件二一定发生，是必然事件；事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件．
讲一讲
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)掷一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
[尝试解答]由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
判断事件类型的步骤
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
练一练
1．(2016·西南师大附中检测)下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件.
小明抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．
[思考1]你能计算出正面朝上的频率吗？
提示：正面朝上的频率为0.48.
[思考2]抛掷一枚硬币一次出现正面朝上的概率是多少？
提示：正面朝上的概率为0.5.
[思考3]随机事件的频率与概率之间有什么关系？
名师指津：辨析频率与概率：
(1)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率可能会不同．比如，全班每个人都做了10次抛掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．
(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．比如，如果一枚硬币是质地均匀的，则抛掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值．
讲一讲
2．某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
(1)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
[尝试解答] (1)计算n A
n 得各次击中飞碟的频率依次约为
0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
利用频率估计概率的步骤
(1)依次计算各个频率值；
(2)观察各个频率值的稳定值即为概率的估计值，有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值．
练一练
2．国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
(1)(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？ 解：(1)如下表
(2)
品的概率约是0.95.
讲一讲
3．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
[思路点拨]根据日常生活的经验按一定的顺序逐个列出全部结果．
[尝试解答](1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.
因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
列举试验所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树形图、列表等方法解决．
练一练
3．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑) 6种．
——————————————[课堂归纳·感悟提
升]———————————————
1．本节课的重点是了解概率的含义，了解频率与概率的区别与联系，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，难点是能列出一些简单试验的所有可能结果．2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)会判断事件的类型，见讲1.
(2)掌握利用频率估计概率的步骤，见讲2.
(3)会列举试验所有结果的方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)混淆频率与概率概念，如讲2.
(2)列举试验结果时易出现重复或遗漏，如讲3.
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1事件的分类
1．下列事件中，是随机事件的有()
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选C当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个为随机事件．2．从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是() A．3个都是正品B．至少有1个是次品
C．3个都是次品D．至少有1个是正品
解析：选D任意抽取3件的可能情况是：3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3 种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，即必然事件应该是“至少有1个是正品”．3．在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
③没有水分，种子发芽；
④某电话总机在60秒内接到15次传呼；
⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
⑥同性电荷，相互排斥．
解：由实数运算性质知①恒成立，是必然事件；⑥由物理知识知同性电荷相斥是必然事
件，①⑥是必然事件．没有水分，种子不会发芽；标准大气压下，水的温度达到50 ℃时不沸腾，③⑤是不可能事件．从1～6中取一张可能取出4，也可能取不到4；电话总机在60秒内可能接到15次传呼也可能不是15次．②④是随机事件．
题组2随机事件的频率与概率
4．(2016·洛阳检测)下列说法正确的是()
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C由概率与频率的有关概念知，C正确．
5．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②作
7次抛掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是n
m＝3
7；③随机事件发生
的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．
6．从存放号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
解析：取到奇数号码的次数为58，故取到号码为奇数的频率为58
100＝0.58.
答案：0.58
7．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
(1)
(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？
解：(1)男婴出生的频率依次约为：0.520 0,0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)各个频率均稳定在常数0.517 3上．
8．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：
用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.
修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上，
60分～69分，60分以下的频率分别为：
43 645≈0.067，
90
645
≈0.140，
62＋8
645
≈0.109.
∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况：
(1)“得90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)“得60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以下”记为事件C，则P(C)＝0.109.
题组3试验结果分析
9．从含有两个正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有可能结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A对应的结果．
解：(1)试验所有结果：a1，a2；a1，b1；a2，b1；a2，a1；b1，a1；b1，a2.共6种．
(2)事件A对应的结果为：a1，b1；a2，b1；b1，a1；b1，a2.
10．指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
解：(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：1－3＝－2,3－1＝2,1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9,3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7,6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的结果为：－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4，4.
[能力提升综合练]
1．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A ．374副
B ．224.4副
C ．不少于225副
D ．不多于225副
解析：选C 根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副，选C.
2．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的( )
A ．概率为35
B ．频率为3
5
C ．频率为6
D ．概率接近0.6
解析：选B 事件A ＝{正面朝上}的概率为1
2，因为试验的次数较少，所以事件的频率
为3
5
，与概率值相差太大，并不接近．故选B. 3．(2016·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( ) A ．不可能事件 B ．必然事件
C ．可能性较大的随机事件
D ．可能性较小的随机事件
解析：选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小． 4．“连续掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有( ) A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种
解析：选D 试验的全部结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种．
5．(2016·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是910，估计其概率约是9
10，那么取出
黑球的概率约是1
10，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白
球．
答案：白球
6．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
(1)(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？ 解：(1)频率分布表如下表.
(2)纤度落在[1.38,1.50)中的频数是30＋29＋10＝69， 则纤度落在[1.38,1.50)中的频率是69
100＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率为0.69. 纤度小于1.40的频数是4＋25＋1
2×30＝44，
则纤度小于1.40的频率是44
100＝0.44，
所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.。