[推荐学习]2017_2018学年高中物理第一章碰撞与动量守恒第五节自然界中的守恒定律同步备课教学案

第五节 自然界中的守恒定律[学习目标] 1.加深对动量守恒定律和能量守恒定律的理解，能运用这两个守恒定律解决一些简单的与生产、生活相关的实际问题.2.通过物理学中的守恒定律，体会自然界的和谐与统一．[导学探究] 如图1所示，质量为2 kg 的物体静止在与其之间动摩擦因数μ＝0.5的粗糙水平面上，现加一F ＝20 N 的水平恒力使之开始向右加速运动，求物体速度达到20 m/s 时，需要的时间t 和经过的位移s .(请分别利用牛顿运动定律、动量定理和动能定理计算，重力加速度g ＝10 m/s 2)图1答案 对物体受力分析如图所示： 方法一：根据牛顿第二定律F －μmg ＝ma v ＝at s ＝12at 2解得t ＝4 s ，s ＝40 m.方法二：根据动量定理可得：(F －μmg )t ＝mv －0 解得：t ＝4 s.根据动能定理可得：Fs －μmgs ＝12mv 2－0解得s ＝40 m.[知识梳理] 解决力学问题的三个基本观点1．力的观点：主要是牛顿运动定律和运动学公式相结合，常涉及物体的受力、加速度或匀变速运动的问题．2．动量的观点：主要应用动量定理或动量守恒定律求解，常涉及物体的受力和时间问题，以及相互作用物体的问题．3．能量的观点：在涉及单个物体的受力和位移问题时，常用动能定理分析；在涉及系统内能量的转化问题时，常用能量守恒定律．一、滑块—木板模型1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，应由能量守恒求解问题． 3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多． 例1如图2所示，C 是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m ，在木板的上表面有两块质量均为m 的小木块A 和B ，它们与木板间的动摩擦因数均为μ.最初木板静止，A 、B 两木块同时以相向的水平初速度v 0和2v 0滑上长木板，木板足够长，A 、B 始终未滑离木板也未发生碰撞．求：图2(1)木块B 的最小速度是多少？(2)木块A 从刚开始运动到A 、B 、C 速度刚好相等的过程中，木块A 所发生的位移是多少？ 答案 (1)v 05 (2)21v 250μg，向左解析 (1)由题知，B 向右减速，A 向左减速，此时C 静止不动；A 先减速到零后与C 一起反向向右加速，B 向右继续减速，三者共速时，B 的速度最小． 取向右为正方向，根据动量守恒定律：m ·2v 0－mv 0＝5mv解得B 的最小速度v ＝v 05(2)A 向左减速的过程，根据动能定理有 －μmgs 1＝0－12mv 02向左的位移为s 1＝v 202μgA 、C 一起向右加速的过程，根据动能定理有μmgs 2＝12×4m (v 05)2向右的位移为s 2＝2v 225μg取向左为正方向，整个过程A 发生的位移为 s ＝s 1－s 2＝21v2050μg即此过程中A 发生的位移向左，大小为21v 250μg .二、子弹打木块模型1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒． 2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化． 3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．例2 如图3所示，在水平地面上放置一质量为M 的木块，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：图3(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能； (3)子弹在木块中打入的深度．答案 (1)m 2v 22(M ＋m )2μg (2)Mmv 22(M ＋m ) (3)Mv 22μg (M ＋m )解析 因子弹未射出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．(1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v ′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得：mv ＝(M ＋m )v ′ ①二者一起沿地面滑动，前进的距离为s ，由动能定理得：－μ(M ＋m )gs ＝0－12(M ＋m )v ′2②由①②两式解得：s ＝m 2v 22(M ＋m )2μg. (2)射入过程中损失的机械能 ΔE ＝12mv 2－12(M ＋m )v ′2③解得：ΔE ＝Mmv 22(M ＋m ).(3)设子弹在木块中打入的深度，即子弹相对于木块的位移为s 相对，则ΔE ＝μmgs 相对 得：s 相对＝ΔE μmg ＝Mv22μg (M ＋m ).三、弹簧类模型1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒．2．整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短时，或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大．例3 两物块A 、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg ，初始时弹簧处于原长，A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，如图4所示．B与C 碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中：图4(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大？ (2)系统中弹性势能的最大值是多少？ 答案 (1)3 m/s (2)12 J解析 (1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒得：(m A ＋m B )v ＝(m A ＋m B ＋m C )v ABC ， 解得v ABC ＝(2＋2)×62＋2＋4m/s ＝3 m/s.(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v BC ，则m B v ＝(m B ＋m C )v BC 得： v BC ＝2×62＋4m/s ＝2 m/s ， 物块A 、B 、C 速度相同时弹簧的弹性势能最大为E p ，根据能量守恒定律，则E p ＝12(m B ＋m C )v BC 2＋12m A v 2－12(m A ＋m B ＋m C )v ABC 2＝12×(2＋4)×22J ＋12×2×62 J －12×(2＋2＋4)×32J ＝12 J.针对训练 如图5所示，A 、B 两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A 和B 的质量分别是99m 和100m ，一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块A 内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( )图5A.mv20400B.mv 2200C.99mv 2200D.199mv 20400答案 A解析 子弹射入木块A 的过程中，动量守恒，有mv 0＝100mv 1，子弹、A 、B 三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，100mv 1＝200mv 2，弹性势能的最大值E p ＝12×100mv 12－12×200mv 22＝mv 20400.处理动量和能量结合问题时应注意：(1)守恒条件：动量守恒条件是系统所受合外力为零，而机械能守恒条件是合外力做的功为零． (2)分析重点：判断动量是否守恒研究系统的受力情况，而判断机械能是否守恒及能量的转化情况研究系统的做功情况．(3)表达式：动量为矢量式，能量为标量式．(4)注意：某一过程中系统动量守恒，但机械能不一定守恒，反之，机械能守恒的过程动量不一定守恒．1．(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图6所示，上述两种情况相比较( )图6A ．子弹对滑块做功一样多B ．子弹对滑块做的功不一样多C ．系统产生的热量一样多D ．系统产生的热量不一样多 答案 AC解析 两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v共，由动量守恒定律可得：mv ＝(M ＋m )v 共，得v 共＝mM ＋mv ；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A 正确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C 正确．2.如图7所示，木块A 、B 的质量均为2 kg ，置于光滑水平面上，B 与一轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，当A 以4 m/s 的速度向B 撞击时，由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能大小为( )图7A ．4 JB ．8 JC ．16 JD ．32 J 答案 B解析 A 、B 在碰撞过程中动量守恒，碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中机械能守恒．由碰撞过程中动量守恒得：m A v A ＝(m A ＋m B )v ，代入数据解得v ＝m A v Am A ＋m B＝2 m/s ，所以碰后A 、B 及弹簧组成的系统的机械能为12(m A ＋m B )v 2＝8 J ，当弹簧被压缩至最短时，系统的动能为0，只有弹性势能，由机械能守恒得此时弹簧的弹性势能为8 J.3．如图8所示，质量为M 、长为L 的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M 的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在木板上最多能滑行的距离为( )图8A ．L B.3L 4 C.L 4 D.L 2答案 D解析 长木板固定时，由动能定理得：μMgL ＝12Mv 02，若长木板不固定有Mv 0＝2Mv ，μMgs ＝12Mv 02－12×2Mv 2，得s ＝L2，D 项正确，A 、B 、C 三项错误． 4．如图9所示，固定的光滑圆弧面与质量为6 kg 的小车C 的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2 kg 的滑块A ，在小车C 的左端有一个质量为2 kg 的滑块B ，滑块A 与B 均可看做质点．现使滑块A 从距小车的上表面高h ＝1.25 m 处由静止下滑，与B 碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C 上滑出．已知滑块A 、B 与小车C 的动摩擦因数均为μ＝0.5，小车C 与水平地面的摩擦忽略不计，取g ＝10 m/s 2.求：图9(1)滑块A 与B 碰撞后瞬间的共同速度的大小； (2)小车C 上表面的最短长度． 答案 (1)2.5 m/s (2)0.375 m解析 (1)设滑块A 滑到圆弧末端时的速度大小为v 1，由机械能守恒定律得：m A gh ＝12m A v 12①代入数据解得v 1＝2gh ＝5 m/s②设A 、B 碰后瞬间的共同速度为v 2，滑块A 与B 碰撞瞬间与车C 无关，滑块A 与B 组成的系统动量守恒，m A v 1＝(m A ＋m B )v 2③代入数据解得v 2＝2.5 m/s④(2)设小车C 上表面的最短长度为L ，滑块A 与B 最终没有从小车C 上滑出，三者最终速度相同设为v 3，根据动量守恒定律有： (m A ＋m B )v 2＝(m A ＋m B ＋m C )v 3⑤根据能量守恒定律有：μ(m A ＋m B )gL ＝12(m A ＋m B )v 22－12(m A ＋m B ＋m C )v 23⑥ 联立⑤⑥式代入数据解得L ＝0.375 m ．⑦一、选择题(1～2题为单选题，3～4题为多选题)1．如图1所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 质量相等，都可视作质点．Q 与轻质弹簧相连．设Q 静止，P 以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )图1A ．P 的初动能B ．P 的初动能的12C ．P 的初动能的13D ．P 的初动能的14答案 B解析 把小滑块P 和Q 以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P 和Q 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P 的初速度为v 0，两滑块的质量均为m ，则mv 0＝2mv ，v ＝v 02所以弹簧具有的最大弹性势能E p ＝12mv 02－12×2mv 2＝14mv 02＝12E k0，故B 正确．2．如图2所示，在光滑水平面上，有一质量M ＝3 kg 的薄板和质量m ＝1 kg 的物块都以v ＝4 m/s 的初速度相向运动，它们之间有摩擦，薄板足够长，当薄板的速度为2.7 m/s 时，物块的运动情况是( )图2A ．做减速运动B ．做加速运动C ．做匀速运动D ．以上运动都有可能答案 A解析 开始阶段，物块向左减速，薄板向右减速，当物块的速度为零时，设此时薄板的速度为v 1，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得：(M －m )v ＝Mv 1代入数据解得：v 1≈2.67 m/s＜2.7 m/s ，所以物块处于向左减速的过程中．3．如图3所示，轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m 的物体A 相连，A 放在光滑水平面上，有一质量与A 相同的物体B ，从离水平面高h 处由静止开始沿光滑曲面滑下，与A 相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B 与A 分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是( )图3A ．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mghB ．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh2C ．B 与A 分开后能达到的最大高度为h4D ．B 与A 分开后能达到的最大高度不能计算 答案 BC解析 根据机械能守恒定律可得B 刚到达水平面的速度v 0＝2gh ，根据动量守恒定律可得A 与B 碰撞后的速度为v ＝12v 0，所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为E pm ＝12·2mv 2＝12mgh ，即A 错误，B 正确；当弹簧再次恢复原长时，A 与B 分开，B 以大小为v 的速度向左沿曲面上滑，根据机械能守恒定律可得mgh ′＝12mv 2，B 能达到的最大高度为h ′＝14h ，即C 正确，D 错误．4．如图4所示，用轻绳将两个弹性小球紧紧束缚在一起并发生微小的形变，现正在光滑水平面上以速度v 0＝0.1 m/s 向右做直线运动，已知两弹性小球质量分别为m 1＝1 kg 和m 2＝2 kg.一段时间后轻绳突然自动断开，断开后两球仍沿原直线运动．经过t ＝5.0 s 两球的间距为s ＝4.5 m ，则下列说法正确的是( )图4A ．刚分离时，a 、b 两球的速度方向相同B ．刚分离时，b 球的速度大小为0.4 m/sC ．刚分离时，a 球的速度大小为0.7 m/sD ．两球分开过程中释放的弹性势能为0.27 J 答案 CD解析 在轻绳突然自动断开过程中，两球组成的系统动量守恒．设水平向右为正方向，断开后两球仍沿原直线运动，速度分别为v 1和v 2，设刚分离时，a 、b 两球的速度方向相同，由动量守恒定律，(m 1＋m 2)v 0＝m 1v 1＋m 2v 2，根据题述，经过t ＝5.0 s 两球的间距为s ＝4.5 m ，有v 1t －v 2t ＝s ，联立解得：v 1＝0.7 m/s ，v 2＝－0.2 m/s ，负号说明b 球的速度方向向左，选项A 、B 错误，C 正确．由机械能守恒定律，两球分开过程中释放的弹性势能为E p ＝12m 1v 21＋12m 2v 22－12(m 1＋m 2)v 20＝0.27 J ，选项D 正确．二、非选择题5．如图5所示，在光滑水平地面上的木块M 紧挨轻弹簧靠墙放置．子弹m 以速度v 0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知弹簧至弹簧最短．已知子弹质量为m ，木块质量M ＝9m ，弹簧最短时弹簧被压缩了Δx .劲度系数为k 、形变量为x 的弹簧的弹性势能可表示为E p ＝12kx 2.求：图5(1)从子弹射入木块到刚相对于木块静止的过程中损失的机械能； (2)弹簧的劲度系数． 答案 (1)920mv 02(2)mv 2010(Δx )2解析 (1)设子弹刚相对于木块静止时的速度为v ，由动量守恒定律mv 0＝(m ＋M )v ，解得v ＝v 010.设从子弹射入木块到刚好相对于木块静止的过程中损失的机械能为ΔE ，由能量守恒定律 ΔE ＝12mv 02－12(m ＋M )v 2代入数据得ΔE ＝9mv 220.(2)设弹簧的劲度系数为k ′，根据题述，弹簧最短时弹簧被压缩了Δx ，其弹性势能可表示为E p ′＝12k ′(Δx )2，木块压缩轻弹簧过程，由机械能守恒定律 12(m ＋M )v 2＝E p ′， 解得弹簧的劲度系数k ′＝mv2010(Δx )2.6．如图6所示，在光滑水平面上有一辆质量M ＝8 kg 的平板小车，车上有一个质量m ＝1.9 kg 的木块(木块可视为质点)，车与木块均处于静止状态．一颗质量m 0＝0.1 kg 的子弹以v 0＝200 m/s 的初速度水平向左飞，瞬间击中木块并留在其中．已知木块与小车平板之间的动摩擦因数μ＝0.5，g ＝10 m/s 2.求：图6(1)子弹射入木块后瞬间子弹和木块的共同速度大小； (2)若木块不会从小车上落下，求三者的共同速度大小；(3)若是木块刚好不会从车上掉下，则小车的平板至少多长？答案 (1)10 m/s (2)2 m/s (3)8 m解析 (1)子弹射入木块过程系统动量守恒，以水平向左为正，则由动量守恒有：m 0v 0＝(m 0＋m )v 1，解得：v 1＝m 0v 0m 0＋m ＝0.1×2000.1＋1.9m/s ＝10 m/s (2)子弹、木块、小车组成的系统动量守恒，以水平向左为正方向，由动量守恒定律得： (m 0＋m )v 1＝(m 0＋m ＋M )v ，解得v ＝(m 0＋m )v 1m 0＋m ＋M ＝(0.1＋1.9)×100.1＋1.9＋8m/s ＝2 m/s (3)子弹击中木块到木块相对小车静止过程，由能量守恒定律得：12(m 0＋m )v 12＝μ(m 0＋m )gL ＋12(m 0＋m ＋M )v 2， 解得L ＝8 m.7．如图7所示，物体A 置于静止在光滑水平面上的平板小车B 的左端，在A 的上方O 点用细线悬挂一小球C (可视为质点)，线长L ＝0.8 m ．现将小球C 拉至水平无初速度释放，并在最低点与A 物体发生水平正碰，碰撞后小球C 反弹的最大高度为h ＝0.2 m ．已知A 、B 、C 的质量分别为m A ＝4 kg 、m B ＝8 kg 和m C ＝1 kg ，A 、B 间的动摩擦因数μ＝0.2，A 、C 碰撞时间极短，且只碰一次，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图7(1)小球C 与物体A 碰撞前瞬间受到细线的拉力大小；(2)A 、C 碰撞后瞬间A 的速度大小；(3)若物体A 未从小车B 上掉落，小车B 的最小长度为多少？答案 (1)30 N (2)1.5 m/s (3)0.375 m(或38m) 解析 (1)小球碰撞前在竖直平面内做圆周运动根据机械能守恒定律，得m C gL ＝12m C v 02 由牛顿第二定律，得F －m C g ＝m C v 20L解得v 0＝4 m/s ，F ＝30 N(2)设水平向右为正方向，A 、C 碰撞后的速度大小分别为v A 、v C ，由能量守恒和动量守恒，得12m C v C 2＝m C gh m C v 0＝m A v A －m C v C解得v C ＝2 m/s ，v A ＝1.5 m/s(3)设A 在B 上相对滑动的最终速度为v ，相对位移为s ，由动量守恒和能量守恒，得 m A v A ＝(m A ＋m B )vμm A gs ＝12m A v A 2－12(m A ＋m B )v 2 解得s ＝0.375 m要使A 不从B 车上滑下，小车的最小长度为0.375 m(或38m) 8.如图8所示，一对杂技演员(都可视为质点)乘秋千从A 点由静止出发绕O 点下摆，演员处于A 点时秋千绳处于水平位置，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到A 点．求男演员落地点C 与O 点的水平距离x .(已知男演员的质量m 1和女演员的质量m 2的关系为m 1m 2＝2，秋千的质量不计，秋千的绳长为R ，C 点比O 点低5R ，不计空气阻力)图8答案 8R解析 设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v 0，由机械能守恒定律有(m 1＋m 2)gR ＝12(m 1＋m 2)v 02设刚分离时男演员速度的大小为v 1，方向与v 0相同，女演员速度的大小为v 2，方向与v 0相反，由动量守恒定律有(m 1＋m 2)v 0＝m 1v 1－m 2v 2分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落到C 点所需的时间为t ，根据题中所给条件，由运动学规律得4R ＝12gt 2，x ＝v 1t 女演员刚好能回到A 点，由机械能守恒定律得 m 2gR ＝12m 2v 22，已知m 1＝2m 2，解得x ＝8R .。