2018-2019学年人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 单元测试 (7)
高中数学选修第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试
不合要求；综上， 为所求。
20．<1）解法1：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．
解法2：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 <舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
<A） <B） <C） <D）
5．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为< ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是< ）
8．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为< ）A． B． C． D． b5E2RGbCAP
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11．
12．32
13．
14. (1>
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x<m），则长为2x(m>，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x）＝0，解得x=0<舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′<x）＞0；当1＜x＜ 时，V′<x）＜0，
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求(Ⅰ>求点 的坐标； (Ⅱ>求动点 的轨迹方程. RTCrpUDGiT
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx
第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评17 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．【答案】 C2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)【解析】因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．【答案】 B3．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 【解析】 ∵f (x )＝x e x ， ∴f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )． ∴当f ′(x )≥0时，即e x (1＋x )≥0，即x ≥－1， ∴x ≥－1时，函数f (x )为增函数． 同理可求，x <－1时，函数f (x )为减函数． ∴x ＝－1时，函数f (x )取得极小值． 【答案】 D4．(2016·邢台期末)函数f (x )＝13ax 3＋ax 2＋x ＋3有极值的充要条件是( )A ．a ＞1或a ≤0B ．a ＞1C ．0＜a ＜1D ．a ＞1或a ＜0【解析】 f (x )有极值的充要条件是f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋1＝0有两个不相等的实根，即4a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.故选D.【答案】 D5．已知a ∈R ，且函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e【解析】 因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a .令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，即x ＝ln(－a )，又因为x >0，所以－a >1，即a <－1.【答案】 A 二、填空题6．(2016·临沂高二检测)若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于__________．【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 由y ′＝0，得x ＝0或4.且x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y ′<0；x ∈(0,4)时，y ′>0. ∴x ＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19. 【答案】 －197．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________.【导学号：26160089】【解析】 f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x ， ∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋ax ＝0的两根，也即2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根．∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.【答案】 －2 －128．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．图3－3－7【解析】 由图象可知， 当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故x ＝0时，函数f (x )取到极小值f (0)＝c . 【答案】 c 三、解答题9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值．【解】 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln 2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．所以f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．10.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图3－3－8所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．图3－3－8【解】∵函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.又图象与x轴相切于(0,0)点，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(0)＝0，即0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0.∴f(x)＝x3＋ax2.令f(x)＝x3＋ax2＝0，得x＝0或x＝－a，由图象知a<0.令f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0，∴当0<x<－23a时，f′(x)<0；当x >－23a 时，f ′(x )>0.∴当x ＝－23a 时，函数有极小值－4.即⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 3＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 2＝－4，解得a ＝－3. ∴a ＝－3，b ＝0，c ＝0.[能力提升]1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点【解析】 不妨取函数为f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)，易判断x 0＝－1为f (x )的极大值点，但显然f (x 0)不是最大值，故排除A ；因为f (－x )＝－x 3＋3x ，f ′(－x )＝－3(x ＋1)(x －1)，易知－x 0＝1为f (－x )的极大值点，故排除B ；又－f (x )＝－x 3＋3x ，[－f (x )]′＝－3(x ＋1)(x －1)，易知－x 0＝1为－f (x )的极大值点，故排除C ；∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点．故D 正确．【答案】 D2．如图3－3－9所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－9A.23 B.43 C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________.【导学号：26160090】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎨⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0.∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.【答案】 44．若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．【解】f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，即k＜－4或k＞4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．。
2018-2019年高中数学新课标人教A版《选修一》《选修1-1》《第三章 导数及其应用》课后练习试
2018-2019年高中数学新课标人教A版《选修一》《选修1-1》《第三章导数及其应用》课后练习试卷【8】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题，1.命题“”的否定是（）A．，B．， C．，D．，【答案】D 【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，故选D.考点：含有一个量词的命题的否定，容易题. 2.有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②“且”是“”的必要不充分条件；对任意的，都有，则“是：存在，使得”；③已知命题，则角等于或。
④在中，若其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4 【答案】A 【解析】试题分析：对于①求出函数，相邻两个对称中心的距离为，①错；对于②：a≠5且b≠5，推不出a+b≠0，例如a=2,b=-2时，a+b=0；a+b≠0推不出a≠5且b≠5，例如a=5，b=-6,故“a≠5且b≠5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故②错；对于③，很明显是对的；对于④，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1得（两式平方和）：sin（A+B）= ，3sinA+4cosB=6，则A+B=或，而3sinA+4cosB=6≤4+3sinA，故，∴，故，故④错，故选A考点：本题考查判断命题的真假点评：解决本题的关键是掌握三角函数的性质及函数的性质，以及命题的否定3.若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或同是偶函数”是“是偶函数”的（）A．充分非必要条件.B．必要非充分条件.C．充要条件.D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】试题分析：若与同是定义在上的奇函数或同是偶函数，则或，即是偶函数，充分性成，满足是偶函数，但与立；必要性不成立，如都不是奇函数或偶函数，选A.考点：函数奇偶性【名师点睛】1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断． 2. 充分、必要条件的三种判断方法．(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与非q⇒非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A 是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．24.（2014秋•龙口市校级期末）“m=1”是“函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】2试题分析：根据二次函数的图象和性质，求出函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数的m的取值，进而根据充要条件的定义，得到答案．2 解：若函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3m≥3，解得：m≥1，2 故“m=1”是“函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 5.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线焦点在轴上，且，又渐近线方程为，可得，所以，故选A．考点：1．双曲线的性质与方程．6.设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2} A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．7.命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是（）A．有些相互垂直的两直线相交B．有些不相互垂直的两直线不相交C．任意相互垂直的两直线相交D．任意相互垂直的两直线不相交【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据命题否定的概念可知，命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是“任意相互垂直的两直线相交”，故选C.考点：命题的否定.8.已知为等差数列数列的前n项和.给出下列两个命题：命题：若大于11.都大于9，则中至少有1个不小于9.命题：若不小于12，则那么，下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由等差数列的性质知，则，命题为真，若、都小于9，则，因此命题为真，所以为真，故选C．考点：等差数列的性质，复合命题的真假．9.设，，则“”是“”的（）C．必要而不充分条D．既不充分也不必B．充分而不必要条A．充要条件件要条件件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.10.“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件评卷人得分二、填空题11.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】（﹣∞，2ln2）【解析】2xx 试题分析：∵函数f（x）=x﹣e﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e﹣a，2xxx∵函数f（x）=x﹣e﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e﹣a＞0，即a＜2x﹣e有解，xxxx令g′（x）=2﹣e，g′（x）=2﹣e=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．max 考点：利用导数研究函数的单调性．12.如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的 切线斜率为 f′(x0)． 3． 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数， 熟记 基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会 给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时， 在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－ 在 a＋ 在
a2－8 a＋ a2－8 ， 上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件．
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
2017-2018学年人教A版数学选修1-1阶段质量检测第三章 导数及其应用 含解析 精品
阶段质量检测（三）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列各式正确的是()A．(sin α)′＝cos α(α为常数)B．(cos x)′＝sin xC．(sin x)′＝cos xD．(x－5)′＝－15x－6解析：选C由导数运算法则易得，注意A选项中的α为常数，所以(sin α)′＝0. 2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x解析：选B只有B中y′＝e2＞0在(0，＋∞)内恒成立．3．一质点的运动方程为s＝20＋12gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3 s时的瞬时速度为()A．20 m/s B．29.4 m/sC．49.4 m/s D．64.1 m/s解析：选B v＝s′(t)＝gt，∴当t＝3时，v＝3g＝29.4.4．若函数y＝f(x)的导函数在[a，b]上是减函数，则y＝f(x)在[a，b]上的图象可能是()解析：选A由导数的几何意义可知，当导函数单调递减时，原函数随自变量的增加，切线的斜率逐渐变小．5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A∵y′＝2x＋a，∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.6．对于R上的可导函数f(x)，若(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)＞2f(2)C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)解析：选D①若f′(x)不恒为0，当x＞1时，f′(x)≥0，当x＜1时，f′(x)≤0，∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数，(－∞，1)上为减函数，∴f(2)＞f(1)，f(1)＜f(0)，即f(2)＋f(0)＞2f(1)．②当f′(x)＝0恒成立时，f(2)＝f(0)＝f(1)，∴f(2)＋f(0)＝2f(1)．综合①②可知，f(2)＋f(0)≥2f(1)．7．函数y＝2x3－2x2在[－1,2]上的最大值为()A．－5 B．0C．－1 D．8解析：选D y′＝6x2－4x＝2x(3x－2)，列表：单调递增单调递减单调递增max8．已知f(x)＝12x＋sin x，x∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则导函数f′(x)是()A．仅有极小值的奇函数B．仅有极小值的偶函数C．仅有极大值的偶函数D．既有极小值也有极大值的奇函数解析：选C∵f′(x)＝12＋cos x，x∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴f′(x)是偶函数．令h(x)＝12＋cos x，则h ′(x )＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2. 由h ′(x )＝0，得x ＝0.又x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时h ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时h ′(x )<0，∴x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时h (x )即f ′(x )仅有极大值． 9．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0 得xf ′(x )＋f (x )x>0， 即[xf (x )]′x>0，即[xf (x )]′x >0. ∵x >0，∴[xf (x )]′>0， 即函数y ＝xf (x )为增函数， 由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ， 得af (a )>bf (b )，故选B.10．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：选A 令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ＝0，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．11．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V解析：选C 设底面边长为x ，侧棱长为l ， 则V ＝12x 2·sin 60°·l ，所以l ＝4V3x 2， 所以S 表＝2S 底＋S 侧＝x 2·sin 60°＋3·x ·l＝32x 2＋43V x . 令S 表′＝3x －43Vx 2＝0， 即x 3＝4V ， 解得x ＝34V .当0＜x ＜34V 时，S 表′＜0； x ＞34V 时，S 表′＞0.所以当x ＝34V 时，表面积最小．12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．不存在解析：选A ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴由题意知f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－3－2a ，①又f (1)＝1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，② 将①代入②整理得a 2＋8a ＋12＝0， 解得a ＝－2或a ＝－6. 当a ＝－2时，b ＝1； 当a ＝－6时，b ＝9.经检验得，a ＝－2，b ＝1不符合题意，舍去． ∴a b ＝－23.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间为________． 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＞0，得x ＞12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 14．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________.解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 当a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0恒成立，故舍去． 答案：415．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －bx 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 答案：－316．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a 2＝0，∴x ＝±a ， 当f ′(x )＞0时，x ＞a 或x ＜－a ； 当f ′(x )＜0时，－a ＜x ＜a . 所以f (x )极大值＝f (－a )＝2a 3＋a ， f (x )极小值＝f (a )＝a －2a 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＋a ＞0，a －2a 3＜0，a ＞0，解得a ＞22. 答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线y ＝－3x －2，试求函数的极大值与极小值的差．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (x )在x ＝2处有极值， 所以f ′(2)＝0，即12＋4a ＋b ＝0.①因为f ′(1)＝－3，所以2a ＋b ＋3＝－3.② 由①②，得a ＝－3，b ＝0. 所以f (x )＝x 3－3x 2＋c .令f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x 1＝0，x 2＝2. 当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0.所以f (0)是极大值，f (2)是极小值， 所以f (0)－f (2)＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a＝5 4.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.无极大值．20．(本小题满分12分)已知f(x)＝e x－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f(x)＝e x－ax－1，∴f′(x)＝e x－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝e x－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤e x，x∈R恒成立．∵x∈R时，e x∈(0，＋∞)，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．(2)f′(x)＝e x－a.若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]上恒成立⇒a≥(e x)max，当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1.①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立⇒a≤(e x)min，当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．21.(本小题满分12分)为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价． 解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m ，200xm ， 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤16，200x ≤16，解得252≤x ≤16.y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000，252≤x ≤16. (2)y ′＝800－259 200x 2， 当252≤x ≤16时，y ′＜0，函数在⎣⎡⎦⎤252，16上为减函数， 所以当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数．(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋(a ＋1)． 由于函数f (x )在x ＝1时取得极值， ∴f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1.(2)法一：由题设知ax 2－3x ＋(a ＋1)＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即a (x 2＋2)－x 2－2x ＞0对任意a ∈(0，＋∞)都成立． 设g (a )＝a (x 2＋2)－x 2－2x (a ∈R)，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R)．∴对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )＞0恒成立的充要条件是g (0)≥0，即－x 2－2x ≥0， ∴－2≤x ≤0，于是x 的取值范围是[－2,0]．法二：由题设知ax 2－3x ＋(a ＋1)＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即a (x 2＋2)－x 2－2x ＞0对任意a ∈(0，＋∞)都成立． 于是a ＞x 2＋2xx 2＋2对任意a ∈(0，＋∞)都成立．即x 2＋2x x 2＋2≤0，∴－2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是[－2,0]．(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B A 中⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；B 正确；C 中(3x )′＝3x ln 3；D 中(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．函数f (x )＝4x －13x 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)和(2，＋∞)D ．(－2,2)解析：选D f ′(x )＝4－x 2，令f ′(x )>0得－2<x <2，即f (x )的单调递增区间是(－2,2)． 3．若函数f (x )＝log a x 的图象与直线y ＝13x 相切，则a 的值为( )A ．e e2B ．e 3eC.5ee D ．e e 4解析：选B 设切点(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝1x 0ln a，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝13x 0，y 0＝log a x 0，13＝1x 0ln a ，解得x 0＝e ，a ＝e 3e.4．若a ＞0，b ＞0，且函数ƒ(x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选D 函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x ) 在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．5.如图所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.54解析：选C 函数f (x )＝(x ＋1)·x ·(x －2)＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2.而x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两根．x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫232－2×⎝⎛⎭⎫－23＝169.6．定义在R 上的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为( )A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C 由图知xf ′(x )<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f ′(x )<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f ′(x )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，0<x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1，即0<x <1或x <－1. 7．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 解析：选A f ′(x )＝1－2sin x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin x ∈[－1,0]，∴－2sin x ∈[0,2]． ∴f ′(x )＝1－2sin x >0在⎣⎡⎦⎤－π2，0上恒成立， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递增． ∴f (x )min ＝－π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝－π2. 8．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C 令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0，利用数轴标根法可解得－1<x <0或x >2，又x >0，所以x >2.故选C.9．函数f (x )＝x 2＋2m ln x (m <0)的单调递减区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，－m ) C ．(－m ，＋∞)D ．(0，－m )∪(－m ，＋∞)解析：选B 由条件知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为m <0，则f ′(x )＝2(x ＋－m )(x －－m )x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∞)． 10.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3] D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞.故选D.11．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，因为f (x )<－xf ′(x )，所以g ′(x )<0，即函数g (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)得(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，即g (x ＋1)>g (x 2－1)，所以x ＋1<x 2－1，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以解得x >2.12．已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝－ax ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选D 设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax －2ln x ，则h ′(x )＝a －2x .若a ≤0，h (x )在[1，e]上的最大值为h (1)＝a ≤0，∴不存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)>0，即f (x 0)>g (x 0)成立；若a >0，则由h (1)＝a >0知，总存在x 0＝1使得f (x 0)>g (x 0)成立．故实数a 的范围为(0，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝x (e x ＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x ＋1)＋12x 2，所以f ′(x )＝e x ＋1＋x e x ＋x ＝(e x ＋1)(x ＋1)． 令f ′(x )>0，即(e x ＋1)(x ＋1)>0，解得x >－1. 所以函数f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 14．若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意有y ′＝－e －x ，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e－(－ln 2)＝2.答案：(－ln 2,2)15．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x >0)，若曲线存在垂直于y 轴的切线，则方程3ax 2＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解．所以a ≠0，且a ＝－13x3，此时a <0，即a 的取值范围为(－∞，0)．答案：(－∞，0)16．(全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝0三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知：－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， 即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝2x －6x 2＋3. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x .(1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x ，则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝32－e ，f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫32－e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋12. (2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ，∴f ′(x )＝－x ＋2－a e x ，于是有不等式－x ＋2－a e x ≥0在R 上恒成立，即a ≤2－xe x在R 上恒成立， 令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3e x，令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下： 单调递减单调递增故函数即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1e 3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e 3. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ax －32x 2－3ln x ，其中a ∈R ，为常数．(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值．解：f ′(x )＝2a －3x －3x ＝－3x 2＋2ax －3x.(1)由题意知f ′(x )≤0对x ∈[1，＋∞)恒成立， 即－3x 2＋2ax －3x≤0， 又x >0，所以－3x 2＋2ax －3≤0恒成立， 即3⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2a 恒成立，6≥2a ， 所以a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]． (2)依题意f ′(3)＝0， 即－3×32＋2a ×3－33＝0，解得a ＝5，此时f ′(x )＝－3x 2＋10x －3x＝－(x －3)(3x －1)x，易知x ∈[1,3]时f ′(x )≥0，原函数递增，x ∈[3,5]时，f ′(x )≤0，原函数递减， 所以最大值为f (3)＝332－3ln 3. 20．(本小题满分12分)两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k .当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由．解：(1)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ， BC ＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k 400－x 2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065， 则有4(102＋102)2＋k 400－(102＋102)2＝0.065，解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)因为y ′＝－8x 3＋18x (400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1 600)x 2(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或＝－410(舍去)， 易知410∈(0,20)．y ，y ′随x 的变化情况如下表：由表可知，函数在(0,410)内单调递减，在(410，20)内单调递增，y 最小值＝y |x ＝410＝116. ∴当x ＝410时，y 最小，故在AB 上存在C 点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小，该点与城A 的距离x ＝410 km.21．(本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点． 解：(1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1， e ]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(1， e ]上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点． 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝(x －1)2＋b ln x ，其中b 为常数．(1)当b >12时，判断函数f (x )在定义域上的单调性；(2)若函数f (x )有极值点，求b 的取值范围及f (x )的极值点． 解：(1)由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2＋b x ＝2x 2－2x ＋b x ＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋b －12x(x >0)， ∴当b >12时，f ′(x )>0，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)①由(1)得，当b ≥12时，f ′(x )≥0，函数f (x )无极值点．②当b <12时，f ′(x )＝0有两个不同解，x 1＝12－1－2b 2，x 2＝12＋1－2b 2，所以(ⅰ)b ≤0时，x 1＝12－1－2b 2≤0∉(0，＋∞)，舍去，而x 2＝12＋1－2b 2≥1∈(0，＋∞)，此时f ′(x )，f (x )随x 在定义域上的变化情况如下表：单调递减单调递增(ⅱ)当0<b <12时，0<x 1<x 2<1，此时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增1－2b2. 综上所述：当b ≤0时，f (x )有惟一极小值点x ＝12＋1－2b 2；当0<b <12时，f (x )有一个极大值点x ＝12－1－2b 2和一个极小值点x ＝12＋1－2b 2.。
2019高中数学 章末综合测评3 导数及其应用 新人教A版选修1-1
章末综合测评(三) 导数及其应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f (x )＝α2－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin α B ．cos α C ．2α＋sin αD ．2α－sin αA [f ′(x )＝(α2－cos x )′＝sin x ，当x ＝α时，f ′(α)＝sin α.] 2．若曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 B [y ′＝－1x 2，由－1x 2＝－4，得x 2＝14，从而x ＝±12，分别代入y ＝1x ，得P 点的坐标为12，2或－12，－2.] 3．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )【导学号：97792179】A ．－4B ．－2C ．4D ．2D [f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数递增，所以a ＝2.]4．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)D [f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x. 由f ′(x )>0，得x >2，故选D.] 5．过点(0,1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x －y ＋1＝0 D [y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x －1－x ＋x －2＝－2x －2，∴y ′|x ＝3＝－12，故与切线垂直的直线斜率为2，所求直线方程为y －1＝2x ， 即2x －y ＋1＝0.故选D.]6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)>2f (1) C ．f (0)＋f (2)≤2f (1) D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D [①若f ′(x )不恒为0，则当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在(1，＋∞)内单调递增， 在(－∞，1)内单调递减．所以f (2)>f (1)，f (1)<f (0)，即f (0)＋f (2)>2f (1)． ②若f ′(x )＝0恒成立，则f (2)＝f (0)＝f (1)， 综合①②，知f (0)＋f (2)≥2f (1)．] 7．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103A [y ′＝xx －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2，令y ′＝0，得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0.故y 极大值＝f (e)＝e －1.因为在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.]8．如图1，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为( )图1A.13 B ．－13C.73D ．－13或53B [f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是图①，图②中，a ＝0，f ′(x )＝x 2－1，与已知矛盾；故f ′(x )的图象为图③，∴f ′(0)＝0，a ＝±1，又其对称轴在y 轴右边，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13.]9．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25D ．50C [设内接矩形的长为x ， 则宽为25－x 24，∴S 2＝x 2·⎝⎛⎭⎪⎫25－x 24＝y ， ∴y ′＝50x －x 3.令y ′＝0，得x 2＝50或x ＝0(舍去)， ∴S 2max ＝625，即S max ＝25.]10．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21A [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．]11．已知函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图2所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集为 ( )【导学号：97792180】图2A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－13∪[0,1]∪[2,3)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3A [对于不等式xf ′(x )≤0，当－32<x <0时，f ′(x )≥0，则结合图象，知原不等式的解集为－32，－13；当0≤x <3时，f ′(x )≤0，则结合图象，知原不等式的解集为[0,1]∪[2,3)．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－13∪[0,1]∪[2,3)．]12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (b )<f (b )D ．bf (b )<f (a )A [由xf ′(x )－f (x )<0得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＝xfx －f xx 2<0，则函数y ＝f x x 在(0，＋∞)上是减函数，由0<a <b 得f a a >f bb即af (b )<bf (a )．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．9 [f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.]14．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 12 [y ′＝2ax －1x ，由题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0， 解得a ＝12.]15．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调减区间是(0,4)，则k 的值是__________．13[f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－k －k，由题意知－k －k ＝4，解得k ＝13.]16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．[3，＋∞) [f ′(x )＝－3x 2＋a ，由题意知f ′(x )≥0在x ∈(－1,1)时恒成立， 即a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立，又x ∈(－1,1)时，3x 2<3，则a ≥3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．(2)直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求实数a 的值.【导学号：97792181】[解] (1)f ′(x )＝－a x－12x，由题意知f ′(4)＝－a 16－14＝－516，解得a ＝1，∴f (x )＝1x －x ，f (4)＝14－4＝－74.即切点为⎝⎛⎭⎪⎫4，－74.∵⎝⎛⎭⎪⎫4，－74在切线5x ＋16y ＋b ＝0上， ∴5×4＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.(2)设直线l 和曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， 由y ′＝3x 2－2x 得y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0， 由题意知3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1，于是切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，即a ＝3227. 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，即a ＝0(舍去)． ∴实数a 的值为3227.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)可知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．19．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在x ＝32与x ＝－1处有极值．(1)写出函数的解析式． (2)指出函数的单调区间． (3)求f (x )在[－1,2]上的最值．[解] (1)y ′＝12x 2＋2ax ＋b ，由题设知当x ＝32与x ＝－1时函数有极值，则x ＝32与x＝－1满足y ′＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2a ·32＋b ＝0，－2＋2a －＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－18，所以y ＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)y ′＝12x 2－6x －18＝6(x ＋1)(2x －3)，列表如下：由上表可知(－∞，－1)和⎝ ⎛⎭⎪2，＋∞为函数的单调递增区间，⎝ ⎭⎪⎫－1，2为函数的单调递减区间．(3)因为f (－1)＝16，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－614，f (2)＝－11， 所以f (x )在[－1,2]上的最小值是－614，最大值为16.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0.又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增． 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .(3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]．21．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝08a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4 ＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－3，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2或x ＝1为f (x )的极值点.【导学号：97792182】(1)求a 和b 的值；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝2x ex －1＋x 2ex －1＋3ax 2＋2bx ＝x ex －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )． 由x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点，得⎩⎪⎨⎪⎧f－＝0f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝03＋3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2， 故f (x )－g (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2－23x 3＋x 2＝x 2(e x －1－x )． 令h (x )＝ex －1－x ，则h ′(x )＝e x －1－1.令h ′(x )＝0，得x ＝1.h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：由上表，可知当R 时，h (x )≥h (1)，也就是恒有h (x )≥0.又x 2≥0，所以f (x )－g (x )≥0， 故对任意x ∈R ，恒有f (x )≥g (x )．。
2019年人教A版选修1-1高中数学第三章导数及其应用达标习题15及答案
达标习题(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 【解析】 ∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．故选D. 【答案】 D2．函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A ．1 B ．－12xC.12xD ．－14x【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1.【答案】 A 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2【解析】 ∵y ′＝x ′ x ＋2 －x x ＋2 ′ x ＋2 2＝2 x ＋2 2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2 2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.故选A. 【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12【解析】 因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)． 【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，39和点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.【导学号：26160079】【解析】 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】 －13或27．若曲线y ＝x －12 在点(a ，a －12 )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】 ∵y ＝x －12 ，∴y ′＝－12x －32 ，∴曲线在点(a ，a －12 )处的切线斜率k ＝－12a －32 ，∴切线方程为y －a －12 ＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12 ；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32 a －12 ＝94a 12 ＝18，∴a ＝64. 【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝ e x ＋1 ′ e x －1 － e x ＋1 e x －1 ′e x －1 2＝e x e x －1 － e x ＋1 e x e x －1 2＝－2e x e x －1 2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．【解】 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ， 所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A. 1eB ．－1eC ．－eD ．e【解析】y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.故选D. 【答案】 D2．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 A3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.【解析】 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6， 所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：26160080】【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评18 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f (x )在[a ，b ]上的图象，则f (x )在(a ，b )上无最大值的是( )【解析】 在开区间(a ，b )上，只有D 选项中的函数f (x )无最大值． 【答案】 D2．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12【解析】 由f ′(x )＝1x －1x 2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1]时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 【答案】 B3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值为( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 因为f (0)＝2，f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以M ＝2，m ＝－2. 所以M －m ＝4. 【答案】 C4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . ∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．0【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2， ∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝3x ＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x ln 3＋cos x .∵x ∈[0，π]时，3x ln 3＞1，－1≤cos x ≤1， ∴f ′(x )＞0.∴f (x )递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1. 【答案】 17．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a ＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a . ∵a ＞1，∴当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－3a 2，f (1)＝2－3a2， f (－1)＜f (1)， ∴－3a 2＝－1，∴a ＝23. 【答案】 23 18．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________. 【导学号：26160094】【解析】 ∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4. 令g ′(x )＝0，得x ＝12. 当 0<x <12时，g ′(x )>0； 当12<x ≤1时，g ′(x )<0.∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 [4，＋∞) 三、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]； (2)y ＝5－36x ＋3x 2＋4x 3，x ∈(－2,2)．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令y ′＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝32，x 2＝－2(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，f ′(x )＞0，函数单调递增． ∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－2834，无最大值．10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．【解】 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19.所以，当a >－19时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a 2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为 f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.[能力提升]1．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 【答案】 A2．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－1【解析】 由题意知，|MN |＝|x 3－ln x |.设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知，当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 13>0，故|MN |min ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 13＝13(1＋ln 3)．【答案】 A3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：26160095】【解析】 由f (x )≥2，得a ≥2x 2－2x 2ln x . 设g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 12或x ＝0(舍去)，因为当0<x <e 12 时，g ′(x )>0；当x >e 12 时，g ′(x )<0. 所以当x ＝e 12时，g (x )取得最大值g (e 12)＝e ，故a ≥e.【答案】 a ≥e4．设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b 的值．【解】 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 由题意可知当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (0)＞f (a )，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小． 因为f (0)－f (1)＝32a －1＞0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1， 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)＜0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ， 所以－32a ＝－62，所以a ＝63. 综上，a ＝63，b ＝1.。
人教a版数学【选修1-1】作业：第三章《导数及其应用》章末总结(含答案)
第三章章末总结知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①又y1＝f(x1) ②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)f(x)＝x(x－a)2.知识点三导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b.知识点四导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．例4已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．例5已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．章末总结 答案重点解读例1解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，∴切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切线方程为9x－y＋16＝0.例2 解 (1)函数的定义域是R ，f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0，解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，令12＋cos x <0， 解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，因此，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例3解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.例4解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝72.，f(2)＝7，又f(－1)＝112因此，f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7. 要使f(x)<m恒成立，需f(x)max<m，即m>7. 所以，所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．。
高中数学新人教A版选修1-1课堂测试 导数及其应用
阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数． 2．曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3D ．x ＝2解析：选C 因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0， 所以切线方程为y ＝－3.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0， 22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1， ∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．已知物体的运动方程是S (t )＝t 2＋1t (t 的单位：s ，S 的单位：m)，则物体在时刻t ＝2时的速度v 与加速度a 分别为( )A.154 m/s ，94 m/s 2 B.152 m/s ，92 m/s 2C.92 m/s ，154m/s 2 D.94 m/s ，154m/s 2解析：选A S ′(t )＝2t －1t 2，∴v ＝S ′(2)＝2×2－14＝154 (m/s)．令g (t )＝S ′(t )＝2t －1t 2，∴g ′(t )＝2＋2t －3，∴a ＝g ′(2)＝94(m/s 2)．8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3， y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)， f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数， ∴x ＝6时y 取得最大值．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤0，253 C.⎣⎡⎭⎫253，＋∞ D ．[9，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上是增函数， ∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上恒成立， ∵f ′(x )＝2x ＋a －1x 2在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上递增， ∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝23－9＋a ≥0，∴a ≥253.故选C. 12．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x ＜f (x )，且f (2)＝0，则 f (x )x ＞0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅解析：选A ∵⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝f ′(x )·x －f (x )x 2＜0，∴f (x )x在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (2)＝0，∴f (2)2＝0. ∴f (x )x＞0的解集为0＜x ＜2，故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2 f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x－1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：1415．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a >0)． (1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝f (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x ， 定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝x －ax 2(0<x ≤3)， 则k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立， 即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， 所以a ≥12，所以a 的最小值为12.19．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本C ＝25 000＋200x ＋140x 2 (单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x 40，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时y ′＜0，当在x ＝1 000附近右侧时y ′＞0，故当x ＝1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L ＝500x －⎝⎛⎭⎫25 000＋200x ＋x240 ＝300x －25 000－x 240.L ′＝300－x 20， 令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时L ′＞0，当在x ＝6 000附近右侧时L ′＜0， 故当x ＝6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值， 故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0， ∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，由g ′(x )<0得x <0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. ∴f (x )在R 上单调递增．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (x ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax (x ＞0)， 当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x， ∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0； 当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立，理由如下：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴g (x )＞g (1)＝16＞0.即23x 3－12x 2－ln x ＞0，∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，所以f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， 所以－43＜k ＜283.所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－43，283.。
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2018-2019
学年人教A 版选修1-1 第三章导数及其应用 单元测试 (9)
一、填空题 1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 ．
【答案】 (0,1)
【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x
，令f ′(x )<0，得0<x <1. 2．已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底数，则满足f (e x
)＜0的x 的取值范围为 ．
【答案】(0,1)
3．f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】(－∞，2]
【解析】由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x ，
因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，
所以2x －a x
≥0，
即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，
因为2x 2>2，所以a ≤2.
4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为 ．
【答案】(－1,11)
【解析】由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3 (x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．
5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是 ．
【答案】单调递增
【解析】在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．
6．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】(1,2]
【解析】因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x
≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以，a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.
二、解答题
1．已知函数f (x )＝3x a
－2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，25∪ [1，＋∞)
2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣
⎢⎡⎦⎥⎤f ′ x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′ (x )＝
a 1－x x
.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；
当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．。