四种命题及充要条件

p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件
p⇒/ q且q⇒p
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p
集合法:A={x|p(x)},B={x|q(x)} ⑨ A⊆B A⊇B A=B ⑩ A⫋B A⫌B A⊈B且A⊉B
拓展延伸
1.否命题与命题的否定的区别:
(1)否命题是对原命题的条件和结论同时否定;
词语 (=)
(>)
(<)
都是
任意的 所有的 至多有 至少有 一个 一个
否定 词语
不等于 不大于 不小于 不是
(≠)
(≤)
(≥)
不都是 某个
某些
至少有 一个也 两个 没有
方法技巧
方法 1 四种命题及其真假的判定方法
1.命题真假的判定 给出一个命题,要判定它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它 是假命题,只需举一反例即可. 2.四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当直接判断一个命 题的真假不易进行时,可以判断其逆否命题的真假. 例1 (2017广东肇庆一模,5)原命题:设a、b、c∈R,若“a>b”,则“ac2> bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
例5 设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要
不充分条件,则实数a的取值范围是 ( A )
A. 0, 12

C.(-∞,0]∪ 12 ,

解题导引
B. 0, 12

D.(-∞,0)∪ 12 ,
§1.2 四种命题及充要条件
知识清单
考点一 命题及四种命题间的关系
1.四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
表述形式 若p,则q 若q,则p 若¬p,则¬q 若¬q,则¬p
2.四种命题间的关系
3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有④ 相同 的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑤ 没有关系 .
例4 (2017江西红色七校二模,8)在△ABC中,角A、B均为锐角,则cos A>sin B是△ABC为钝角三角形的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解题导引
解析 因为cos A>sin B,所以cos A>cos 2 B ,
考点二 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q,则p是q的⑥ 充分条件 ,q是p的⑦ 必要条件 ; (2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的⑧ 充要条件 .
2.充分条件与必要条件的两种判断方法见下表:
条件
定义法
p是q的充分条件
p⇒q
p是q的必要条件
q⇒p
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
解法二:∵¬p是¬q的必要不充分条件,
∴q是p的必要不充分条件,
即p是q的充分不必要条件.
∴A⫋B,
∴
a
a
1, 2
1
或
1
a a
1, 2
1
1,
解得0≤a≤ 1 .
2
∴实数a的取值范围为 0, 12

.故选A.
点拨 在涉及参数的取值范围的充要条件问题中,常常要利用集合的包 含、相等关系,这是解决此类问题的关键.本题中要特别注意端点值的 取舍,处理不当易出现漏解或增根现象.
(2)命题的否定仅否定原命题的结论,条件不变.
因此否命题与命题的否定是两种不同的命题.
2.充分条件与必要条件的两个性质:
(1)若p是q的充分条件,则q是p的必要条件.
(2)传递性:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件.
3.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面 等于 大于 小于 是
|
x

1 2
或x
பைடு நூலகம்

1,¬q所对应的集合为∁

RB={x|x<a或x>a+1}.
由¬p是¬q的必要不充分条件,知∁RB⫋∁RA,
所以
a

1 2
,
或 a


1 2
,
a 1 1 a 1 1,
解得0≤a≤ 1 .
2
故实数a的取值范围是 0, 12

.


解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.
解|4x-3|≤1,得 1 ≤x≤1,
2
故A= x |
1 2

x

1.

解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,
故B={x|a≤x≤a+1}.
解法一:¬p所对应的集合为∁RA= x
②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件; ③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件; ④¬q是¬p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件. 例3 (2014课标Ⅱ,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f '(x0)=0;q:x=x0 是f(x)的极值点,则 ( C ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
例2 (2017河北衡水二中模拟,2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶 数”的逆否命题是 ( C ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 解题导引
解析 将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题,因此 “若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x, y不都是偶数”,所以选C.
2 方法 充分条件与必要条件的判定方法
1.定义法 (1)分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论; (2)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假; (3)下结论:根据推式及定义下结论. 2.集合法(见知识清单) 3.等价转化法 等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题或直接判断不方 便的情况,具体方法是通过判断原命题的逆否命题的真假来间接判断原 命题的真假.常用结论如下: ①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;
解题导引 若f(x)=x3,则f '(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点 充分性不成立 由极 值点的定义知q⇒p,必要性成立 p是q的必要不充分条件
解析 以f(x)=x3为例, f '(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒ / q,故p不是q的充 分条件.∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0,∴q⇒p, 故p是q的必要条件.故选C.
解题导引
解析 原命题:若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也 为假.逆命题为设a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴ 由不等式的基本性质得a>b, ∴逆命题为真.由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个. 故选C. 方法技巧 注意原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同 假.
2
2
所以cos A>cos 2 B ,即cos A>sin B.
故cos A>sin B是△ABC为钝角三角形的充要条件.故选C.
3 方法 根据充分、必要条件求解参数及取值范围
解决这类问题一般把充分、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据
集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
又因为角A,B均为锐角,所以 -B为锐角,
2
又因为余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,
所以A< -B,所以A+B< ,
2
2
△ABC中,A+B+C=π,所以C> ,
2
所以△ABC为钝角三角形.
若△ABC为钝角三角形,角A、B均为锐角,则C> ,
2
所以A+B< ,所以A< -B,