四种命题、充要条件知识梳理
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数学高考总复习:四种命题、充要条件
【考纲要求】
1、理解命题的概念.
2、了解“若p ,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。
3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】
【考点梳理】
一、命题:可以判断真假的语句。 二、四种命题
原命题:若p 则q ; 原命题的逆命题:若q 则p ;
原命题的否命题:若p ⌝,则q ⌝; 原命题的逆否命题:若q ⌝,则p ⌝ 三、四种命题的相互关系及其等价性 1、四种命题的相互关系
2、互为逆否关系的命题同真同假,即原命题与逆否命题的真假性相同,原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以,如果某些命题(特别是含有否定概念的命题)的真假性难以判断,一般可以判断它的逆否命题的真假性。
四、充分条件、必要条件和充要条件
1、判断充要条件,首先必须分清谁是条件,谁是结论,然后利用定义法、转换法和集合法来判断。 如:命题p 是命题q 成立的××条件,则命题p 是条件,命题q 是结论。 又如:命题p 成立的××条件是命题q ,则命题q 是条件,命题p 是结论。
又如:记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ⊂,则p 是q 的充分不必要条件;A B ⊃,则p 是q 的必要不充分条件。 2、“⇒”读作“推出”、“等价于”。p q ⇒,即p 成立,则q 一定成立。
3、充要条件
互逆⌝⌝否命题若p 则q
原命题若p 则q
逆命题若q 则p
⌝⌝逆否命题
若q 则p
互
逆
互
逆
否为
互逆否
为
否
否
互互
四种命题、充要条件
充要条件
四种命题及其关系
互为逆否关系的命题等价
充分、必要、充要、既不充分也不必要
已知命题p 是条件,命题q 是结论
(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.
所谓“充分”,意思是说,只要这个条件就够了,就很充分了,不要其它条件了。 如:3x <是4x <的充分条件。
(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.
所谓“必要”,意思是说,这个条件是必须的,必要的,当然,还有可能需要其它条件。
如:某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称,否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数,还必须满足
)()(x f x f =-才是偶函数,满足)()(x f x f -=-是奇函数。
(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件. 【典型例题】
类型一:四种命题及其关系
例1. 写出命题“已知,a b 是实数,若ab=0,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。
解析:逆命题:已知,a b 是实数,若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题; 否命题:已知,a b 是实数,若ab ≠0,则a ≠0且b ≠0,真命题; 逆否命题:已知,a b 是实数,若a ≠0且b ≠0,则ab ≠0,真命题。 点评:
1.“已知,a b 是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略;
2. 互为逆否命题的两个命题同真假;
3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三:
【变式】写出下列命题的否定,并判断真假. (1)∀x ∈R ,x 2
+x +1>0;
(2)∀x ∈Q , 13x 2+1
2
x +1是有理数;
(3)∃α、β∈R ,使sin(α+β)=sin α+sin β; (4)∃x ,y ∈Z ,使3x -2y ≠10.
【解析】(1)的否定是“∃x ∈R ,x 2
+x +1≤0”.假命题. (2)的否定是“∃x ∈Q ,13x 2+1
2
x +1不是有理数”.假命题.
(3)的否定是“∀α,β∈R ,使sin(α+β)≠sin α+sin β”.假命题. (4)的否定是“∀x ,y ∈Z ,使3x -2y =10”.假命题. 类型二:充要条件的判断
2.(2015 湖北高考)设a 1,a 2,…,a n ∈R ,n ≥
3.若p :a 1,a 2,…,a n 成等比数列;
22
222
2
21212312231:()()()n n n n q a a a a a a a a a a a a --++
+++
+=++
+,则( )
A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件
B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件
C .p 是q 的充分必要条件
D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A 解析:
试题分析:对命题p :a 1,a 2,…,a n 成等比数列,则公比)3(1
≥=
-n a a q n n
且a n ≠0; 对命题q ,①当a n =0时,22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++
+成立;
②当a n ≠0时,根据柯西不等式,等式22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++
+成
立, 则
n
n a a a a a a 132
21-=⋅⋅⋅==,所以a 1,a 2,…,a n 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件. 故选A
点评:
1. 处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论;
2. 正确使用判定充要条件的三种方法,要重视等价关系转换. 举一反三:
【变式】(2015 天津高考)设x R ∈ ,则“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件
(D )既不充分也不必要条件 【答案】A
解析:|2|1x -<的解集为(1,3),2
20x x +->的解集为(,2)
(1,)-∞-+∞,故|2|
1x -< 是220x x +->的充分不必要条件。
故选:A.
类型三:求参数的取值范围
例4.已知m ∈R ,设P :x 1和x 2是方程x 2
-ax -2=0的两个根,不等式|m -5|≤|x 1-
x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立;Q :函数f (x )=3x 2+2mx +m +43
有两个不同的零点.求使“P 且Q ”为真命
题的实数m 的取值范围.
解析:由题设x 1+x 2=a ,x 1x 2=-2, ∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2
-4x 1x 2=a 2
+8.