求解矩阵特征值的混合人工鱼群算法

1引言在自然科学的研究中，特征值理论及其应用已经渗透到许多学科领域内，如解决数学物理方程、差分方程、Markov过程等问题[1-2]都涉及到矩阵特征值的求解问题。

目前，关于矩阵特征值的研究主要有两方面：（1）特征值分布理论的研究；（2）特征值近似值求解问题的研究。

为了解决第一个问题，数值代数给出了一系列估计特征值分布区域的定理。

对于一般复矩阵，Gerschgorin圆盘定理、Ky Fan定理、Ostrowski定理等都可以从矩阵本身的数据出发，给出一些几何图形去覆盖特征值的分布区域，从而得到了特征值所在的区域范围[3]。

对于矩阵特征值近似值的求解问题，许多学者已经做了大量的研究工作，常用的方法有变换法和幂法等。

变换法可以直接对矩阵进行处理，但计算速度慢；幂法只能求极端特征值，且算法的稳定性依赖于特征值的分布情况[4]。

1999年华人女学者涂晓媛博士将该方法引入到计算机动画的创作中，利用动物形态、习性和行为模型成功地制作了“人工鱼”，用计算机动画实现了“人工动物”共有的基本特征—生物力学、运动、感知和行为，被学术界称为“Xiaoyuan’Fish”[5]。

在2002年李晓磊[6]等人提出了一类群智能优化算法，即人工鱼群算法（Artificial Fish School Algorithm，AFSA）。

该算法具有良好的全局搜索能力，并具有对初值、参数选择不敏感、鲁棒性强、简单、易实现等优点。

与遗传算法，粒子群算法等其他单一群智能算法一样，AFSA也具有自己的不足。

其中一个不足就是相对于AFSA的全局搜索能力，它的局部搜索能力较差，收敛速度较慢。

针对这一不足，该文把具有强局部搜索的Hooke-Jeeves模式搜索方法[7]作为AFSA的一个局部搜索算子，提出一种混合人工鱼群算法，并用此混合算法来求解矩阵特征值。

实验表明，与AFSA相比，该混合算法能在更短的时间内求出更精确的解。

2矩阵特征值的分布理论2.1关于矩阵特征值的定义设矩阵A=（aij）∈C n×n，如果存在λ∈C，且X≠0满足AX=λX，则λ称为方阵A的特征值，X为对应λ的特征向量。

定义1设矩阵A=（aij）∈C n×n，称Ri=nj=1Σj≠i|aij|为矩阵A的第i行半径，以aii为圆心，Ri为半径的圆称为矩阵的第i行圆盘si，即si={λ∈C|λ-a ii≤Ri}。

求解矩阵特征值的混合人工鱼群算法黄华娟，周永权，韦杏琼，罗德相HUANG Hua-juan，ZHOU Yong-quan，WEI Xing-qiong，LUO De-xiang广西民族大学数学与计算机科学学院，南宁530006College of Mathematics and Computer Science，Guangxi University for Nationalities，Nanning530006，ChinaE-mail：hhj-025@HUANG Hua-juan，ZHOU Yong-quan，WEI Xing-qiong，et al.Hybrid artificial fish school algorithm for solving matrix puter Engineering and Applications，2010，46（6）：56-59.Abstract：Based on the distribution about eigenvalues of matrix，the approximately distributed region of matrix eigenvalues is de－terminated，using hybrid artificial fish school algorithm to solve approximate eigenvalues of matrix.Several experimental results show that the proposed hybrid artificial fish school algorithm is efficient in solving the matrix’s eigenvalues and can reach a certain precision.Key words：matrix；eigenvalues；circular disc theorem；hybrid artificial fish school algorithm摘要：根据矩阵特征值的分布理论，通过确定矩阵特征值的分布区域，用混合人工鱼群算法来求解任意数值矩阵特征值的近似值。

实验结果表明，这种基于混合人工鱼群求解矩阵特征值的算法，可达到一定的精度，能够有效地获得任意矩阵的特征值。

关键词：矩阵；特征值；圆盘定理；混合人工鱼群算法DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.06.016文章编号：1002－8331（2010）06-0056-04文献标识码：A中图分类号：TP18基金项目：国家自然科学基金（the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60461001）；广西自然科学基金（the Natural Sci－ence Foundation of Guangxi of China under Grant No.0832082）；国家民委科研基金（No.08GX01）；广西民族大学科研项目启动基金资助项目。

作者简介：黄华娟（1984-），女，硕士，主要研究方向：计算智能及其应用；周永权（1962-），男，博士，教授，主要研究方向：计算智能、神经网络及应用；韦杏琼（1983-），女，硕士，主要研究方向：计算智能及其应用；罗德相（1980-），男，硕士，主要研究方向：计算智能及其应用。

收稿日期：2008-09-23修回日期：2008-12-22定义2设矩阵A =（a ij ）∈Cn ×n，称R i ′=nj =1Σj ≠i|a ij |为矩阵A 的第j 列半径，以a ii 为圆心，R i ′为半径的圆称为矩阵的第j 列圆盘s i ′，s i ′={λ∈C |λ-a ii ≤R i ′}。

2.2Gerschgorin 圆盘定理设矩阵A =（a ij ）∈Cn ×n，则A 的所有特征值λ1，λ2，…，λn（可相重）都落在复平面上的n 个圆盘s i （A ）={λ∈C |λ-a ii ≤R i }，i =1，2，…，n 的并集中，并且若A 的n 个圆盘中有k 个圆盘构成一个连通域G ，与其余n-k 个圆盘互不相交，则A 中有且仅有k 个特征值落在G 内。

从Gerschgorin 圆盘定理[8]可以得出以下两个推论[3]：推论1孤立的G 氏圆盘中含有且仅含有一个特征值，而k 个连通的G 氏圆盘中恰含有k 个特征值，而不保证每个圆盘都一定会含有A 的特征值；推论2如果A 的n 个圆盘两两互不相交，则A 有n 个互异的特征值，且每一特征值恰好在孤立的圆盘内。

3求解矩阵特征值的混合人工鱼群算法3.1基本人工鱼群算法人工鱼群算法其主要原理是模拟自然界中鱼的觅食、聚群和追尾行为以及鱼群之间的相互协助从而达到全局寻优的目的，其数学模型描述如下：假设在一个n 维的目标搜索空间中，有N 条组成一个群体的人工鱼，每条人工鱼个体的状态可表示为向量X =（x 1，x 2，…，x n ），其中x i （i =1，2，…，n ）为欲寻优的变量；人工鱼当前所在位置的食物浓度表示为Y =f （X ），其中Y 为目标函数；人工鱼个体之间的距离表示为d i ，j =‖X i -X j ‖；visual 表示人工鱼的感知范围，step 为人工鱼移动的步长，δ为拥挤度因子；try-number 表示人工鱼每次觅食最大的试探次数。

3.1.1行为描述在每次迭代过程中，人工鱼主要是通过觅食、聚群和追尾等行为来更新自己，从而实现寻优，具体的行为描述如下：（1）随机行为（AF-Random ）：指人工鱼会在其视野visual 内随机的移动，当发现食物时，会向食物逐渐增多的方向快速的移去。

（2）觅食行为（AF-prey ）：指鱼循着食物多的方向游动的一种行为，人工鱼X i 在其视野内随机选择一个状态X j ，分别计算它们的目标函数值进行比较，如果发现Y j 比Y i 优，则X i 向X j 的方向移动一步；否则，X i 继续在其视野范围内随机移动选择状态X j ，判断是否满足前进条件，反复尝试try-number 次之后，仍没有满足前进条件，则随机移动一步使得X i 到达一个新的状态。

（3）聚群行为（AF-swarm ）：指每条鱼在游动过程中尽量向临近伙伴的中心移动并避免过分拥挤的一种寻优行为。

人工鱼X i 搜索其视野内的伙伴数目nf 及中心位置X c ，若Y c /nf >δY i ，表明伙伴中心位置状态较优且不太拥挤，则X i 朝伙伴的中心位置移动一步，否则执行觅食行为。

（4）追尾行为（AF-follow ）：指鱼向其可视域范围内的最优方向移动的一种行为。

人工鱼X i 搜索其视野内的所有伙伴中函数值最优的伙伴X j ，如果Y j /nf >δY i ，表明最优伙伴的周围不太拥挤，则X i 朝此伙伴移动一步，否则执行觅食行为。

3.1.2行为选择根据所要解决的问题性质，每条人工鱼对当前所处的环境进行评价，从而选择一种合适的行为来执行。

如对于求最大值问题，最简单的就是先模拟执行聚群、追尾等行为，然后评价行动后的值，选择其中的最大者来实际执行，缺省的行为方式为觅食行为。

最终，大量人工鱼会聚集在几个局部极值的周围，这有助于获取全局极值域，而值较优的极值区域周围一般会聚集大量的人工鱼，这有助于获取全局极值，从而达到了寻优的目的。

3.2Hooke-Jeeves 方法Hooke-Jeeves（HJ ）方法[7]是Hooke 和Jeeves 在1961年提出的一种直接搜索方法。

该方法收敛速度快，具有很强的局部收敛性，但收敛结果的优劣依赖于初值的选取。

HJ 直接搜索法的具体步骤如下：（1）设初始点和初始步长分别为x （1）和d ，e 1，e 2，…，e n 为坐标向量，加速因子和计算精度分别为α>0和ε>0。

令y （1）=x （1），k =j =1；（2）若f （y （j ）+de j ）<f （y （j ）），则称为实验成功，令y （j +1）=y （j ）+de j ，转（3）；否则，若f （y （j ）+de j ）≥f （y （j ）），成为实验失败，此时，若f （y （j ）-de j ）<f （y （j ）），令y （j +1）=y （j ）-de j ，转（3）；若f （y （j ）-de j ）≥f （y （j ）），y（j +1）=y （j ），转（3）；（3）若j<n ，令j =j +1，返回（2）；否则j=n ，若f （y （n +1））≥f （x （k ）），转（5）；若f （y（n +1））<f （x （k ）），则转（4）；（4）令x （k +1）=y（n +1），y （1）=x （k +1）+α（x （k +1）-x （k ）），k =k +1，再令j =1，返回（2）；（5）若d ≤ε，则计算结束，取x *≈x （k ）；否则，令d=d /2，y （1）=x （k ），x（k +1）=x （k ），k =k +1，再令j =1，返回（2）。