2014届高三数学最后一课试题拆解：排列组合、二项式定理

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2014年全国高考理科数学试题分类汇编七、排列组合和二项式定理(逐题详解)

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A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种
【答案】C
【解析】根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法，则不同的选法共有 15×5=75 种；故选 C
(2x 7.【2014 年湖北卷（理 02）】若二项式
而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，
4.【2014
D.210 =20．f（3，0）=20；
含 x2y1 的系数是
=60，f（2，1）=60；
含 x1y2 的系数是
=36，f（1，2）=36；
含 x0y3 的系数是
=4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C
11.【2014 年浙江卷（理 14）】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
不同的摆法有_______种.
【答案】36 【解析】根据题意，分 3 步进行分析： ①、产品 A 与产品 B 相邻，将 AB 看成一个整体，考虑 AB 之间的顺序，有 A22=2 种情况， ②、将 AB 与剩余的 2 件产品全排列，有 A33=6 种情况， ③、产品 A 与产品 C 不相邻，C 有 3 个空位可选，即有 3 种情况，故不同的摆法有 12×3=36 种

(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编专题11排列组合、二项式定理(含解析)理

专题11 排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】122. 【2010全国2，理14】若(x －a x)9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案]：13. 【2006全国2，理13】在(x 4+x1)10的展开式中常数项是 .(用数字作答)【答案】:45二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【答案】：D2. 【2011新课标，理8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】3. 【2010全国2，理6】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【答案】：B4. 【2005全国3，理3】在8)1x的展开式中5x的系数是（）-x(+)(1A．－14 B．14 C．－28 D．28【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【2012全国，理11】将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】A【解析】如图由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．2. 【2005全国3，理11】不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【解析】3. 【2012全国，理15】若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________．【答案】：564. 【2005全国2，理15】在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．【答案】192 【解析】首先由这6个数构成的四位数个数为(千位不为0)：P(5,1)×P(5,3)=300，能被5整除的尾数为0或5，尾数为0的一共有：P(5,3)=60，尾数为5的千位不能为0，一共有：P(4,1)*P(4,2)＝4×4×3＝48，所以不能被5整除的数共有：300－60－48＝192个.5. 【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．。

高三数学知识点精析精练24 排列、组合与二项式定理

2014高三数学知识点精析精练24：排列、组合与二项式定理【复习要点】排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. 【例题】【例1】四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.解法一：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A 33种.依乘法原理，共有N =C 2433A =36(种).解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有N =21A 34·3=36(种). 答案：36【例2】有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C 35·23·A 33(个)，其中0在百位的有C 24·22·A 22 (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 22=432(个).【例3】在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C nm n m n m mn nm m n n m m n n m +++++++++解法一：第一类办法：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个；第二类办法：从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法：从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个.由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.解法二：从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个.所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.答案：C【例4】函数为实数并且是常数a x xax f ()()(9+=)（1）已知)(x f 的展开式中3x 的系数为49，求常数.a （2）是否存在a 的值，使x 在定义域中取任意值时，27)(≥x f 恒成立？如存在，求出a 的值，如不存在，说明理由.解（1）T r+1=C 9239999)()(---=rrr r r r xa C x xa 由3923=-r解得8=r498989=-a C 41=∴a（2）),0()()(9+∞∈∴+=x x xax f 要使（27)9≥+x xa只需313≥+x xa10当0>a 时，设x xa x g +=)(32212)2(021)(a x x axx g ==+-='--∴20当0=a 时，不成立 30当1-<a 时，不成立故当27)(94≥≥x f a 时另解法 34322)(a x x x a x x a x g ≥++=+= 只需94,343313≥≥⋅a a即【例5】五人站成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，有多少种站法？解：设原来站在第i 个位置的人是i a （i=1，2，3，4，5）。

专题11 排列组合、二项式定理-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编无答案

一．基础题组1.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】101x ⎫⎪⎭的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）（A ） 0 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 6 2.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（） A. 1 B. ±1C. 2D. ±23.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】6的展开式中常数项是（）(A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 160 4.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】在二项式25()ax x-的展开式中，含x项的系数是80-，则实数a 的值为．5.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】若n xx )13(-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为6.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】设二项式6的展开式中常数项为A ,则=A ．7.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】921()x x-的展开式中的常数项是 .（用数字作答）二．能力题组8.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（）A. 600B. 288C. 480D. 5049.【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试理】现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（） A ．420B ．560C ．840D ．2016010.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含,x y 正半轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。

三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析—— 专题11 排列组合、二项式定理

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十一章排列、组合、二项式定理一、选择题1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有24C条路，再从F处到G处最短共有13C条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C⋅=条，故选B.考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则6()x i+的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130 【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理，属于难题．解题时一定要注意选出的元素是否与顺序有关，否则很容易出现错误．利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要做到不重不漏，防止出现错误．4. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（） A.20- B.5- C.5 D.20 【答案】A【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nnn C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时,()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以23x y 的系数为20-,故选A.【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题，解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()n a b +的展开式的通项是1C k n k kk n ab -+T =，然后令n 选取恰当的值得到结果.5. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.6. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．7. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．8.【2014四川，理2】在6+的展开式中，含3x项的系数为（）x x(1)A．30B．20C．15D．10【答案】C【解析】试题分析：623456+=++++++，所以含3x项的x x x x x x x x x(1)(161520156)系数为15.选C【考点定位】二项式定理.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.10.【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【答案】B【解析】试题分析：最左端排甲，有5!120⨯=种=种排法；最左端排乙，有44!96排法，共有12096216+=种排法.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．11.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.12.【2015高考新课标1，理10】25x y的系数++的展开式中，52x x y()为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60 【答案】C【解析】在25++的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式()x x y中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.14. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 210 答案：C 解析：由题意可得()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C考点：二项式系数.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．求二项展开式中的项的方法：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1k n k k k n T C a b －＋＝的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n)．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．15.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B考点：1、分类加法计数原理；2、排列.【名师点睛】本题考查了综合应用排列与组合知识解决实际的计数问题，属于中档题目，根据条件将分类，然后用分类计数原获得结果. 16. 【2014湖北卷2】若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （）A.2B. 54C. 1D. 42 【答案】C 【解析】试题分析：因为r r r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得1=a ，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.【名师点睛】本题考查了二项式定理的运用，其解题的关键是根据已知建立方程关系，属容易题.充分体现了方程思想在数学解题中的应用，能较好的考查学生对教材中的基本概念、基本规律和基本操作的识记能力和运算能力.17. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（） A.122 B ．112 C．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n nn n nn C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n nC C C . 18. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A ．144B ．120C ．72D ．24 【答案】C考点：排列组合.【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.19. 【2015湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rrrr xa C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握n b a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为r r n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 二、填空题1. 【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60. 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=，故填：60.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项r r n r n r b a C T -+=1，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析.2. 【2016高考新课标1卷】5(2)x +的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10考点:二项式定理3. 【2016高考天津理数】281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．4. 【2016高考山东理数】若（a x 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2 【解析】试题分析：因为5102552155()r rrr r rr T Cax C a x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=- 考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.5.【2015高考天津，理12】在614xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，2x的系数为 .【答案】1516【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r=时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.6. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【答案】96【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A＝96(种)．考点：排列组合.名师点睛：本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，本题为先选后排问题，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，而得连号有四种可能情况发生，解决这样的问题需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.7. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有种. 【答案】36考点：排列组合，容易题.【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.8. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.9. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 【答案】16.【解析】上述十个数中比6小的数有6个，比6大的数有3个，要使得所选的七个数的中位数为6，则应该在比6大的数中选择3个，在比6大的数中也选择3个，因此所求事件的概率为336371016C C P C ==.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题. 【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型，属于中等题．解题时要抓住重要字眼“中位数是6”，否则很容易出现错误．用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏，防止出现错误．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．10. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．11. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题． 12.【2014山东.理14】若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 【答案】2【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式、基本不等式.从近几年高考对二项式定理的考查看，基本是以通项公式为解题的突破口，本题对有理指数幂的运算要求较高，容易出现计算不准而使解答陷入误区.本题是一道小综合题，重点考查二项式定理及其通项公式、基本不等式等基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.13.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】12【解析】因为10110r r rr T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式，属于基础题，利用通项公式写出特定项的系数，是二项式题目的最常见题目. 14.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．15. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.16. 【2016高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112 【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n 2，所以n 2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.17. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能力.18.【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.答案：60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A=，二是有三人各获得一张，共有3424A=，因此不同的获奖情况有60种考点：排列组合.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法；解决排列问题的主要方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．两类组合问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．19. 【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2kkkkk k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指k n C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.20. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．【答案】3考点：1．二项展开式的应用．【名师点睛】二项式常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.本题要结合图形给定的条件与二项式展开中各项的表示. 21.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.22.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于．（用数字作答）【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度． 23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C mn +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m mmm m m nm m mmm m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm CCCCCCm C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的111m m m k k k C C C ++++=、=m k m k k C C -，更有11k k n n kC nC --=，现在又有11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.。

专题11 排列组合、二项式定理-三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析(原卷版

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十一章排列、组合、二项式定理一、选择题1. 【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）92. 【2016年高考四川理数】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 43. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .1304. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（） A.20- B.5- C.5 D.20 5. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）726. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．77. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个8. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30B ．20C ．15D ．109. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种10. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6012. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 13. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 21014.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16815. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （） A.2 B. 54 C. 1 D. 42 16. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（） A.122 B ．112 C ．102 D ．9217. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A ．144B ．120C ．72D ．2418.【2015湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）B. C.6 D-6二、填空题1. 【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）2.【2016高考新课标1卷】5(2x 的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案） 3. 【2016高考天津理数】281()x x -的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)4. 【2016高考山东理数】若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 5. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 6. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有种.7. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）8. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .9. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .10. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）11.【2014山东.理14】若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 12.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．14. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答） 15. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）.16. 【2016高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 17. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 18. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.19. 【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 20. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，n a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．21.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 22.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于．（用数字作答） 23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .。

(浙江专版)高考数学分项版解析专题11排列组合、二项式定理理【含答案】.docx

【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理一．基础题组1. 【2014 年. 浙江卷. 理5】在(1 x) y 的展开式中，记6 (1 )46 (1 )4x 项的系数为 f (m, n) ，则m y nm y nf (3,0 ) f ( 2,1) f (1,2） f ( 0,3) （）A.45 B.60 C.120 D. 210答案：C解析：由题意可得3 2 1 1 2 3f 3,0 f 2,1 f 1, 2 f 0,3 C C C C C C 20 60 36 4 120，故选6 6 4 6 4 4C考点：二项式系数.2. 【2014 年. 浙江卷. 理14】在8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖. 将这8张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.513. 【2013 年. 浙江卷. 理11】设二项式x的展开式中常数项为A，则A＝__________.3x【答案】：－10【解析】：T r＋1＝r r r51r x 5 r r x 2 r x 3C ( ) C ( 1)5 3 5x5 r r 15 5r ＝r r x r r x .2 3 6( 1) C ( 1) C5 5令15－5r ＝0，得r ＝3，所以A＝( －1) 3 3C ＝52C ＝－10.54. 【2013 年. 浙江卷. 理14】将A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有__________种( 用数字作答) ．【答案】：480- 1 -【解析】：如图六个位置. 若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A55种情况；若C放在第 2 个位置，则从3,4,5,6 共4 个位置中选 2 个位置排A，B，再在余下的3 个位置排D，E，F，共2A ·43A 种排法；若C放在第 3 个位置，则可在1,2 两个位置排A，B，3其余位置排D，E，F，则共有2A ·23A 种排法或在4,5,6 共3 个位置中选 2 个位置排A，B，3再在其余 3 个位置排D，E，F，共有2A ·33A种排法；若C在第4 个位置，则有3A223A ＋3A23A33种排法；若C在第5 个位置，则有A243A 种排法；若C在第 6 个位置，则有35A 种排法．5综上，共有2(5A ＋5A243A＋3A233A＋3A223A ) ＝480( 种) 排法．35. 【2012 年. 浙江卷. 理6】若从1,2,3 ，⋯，9 这9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60 种 B ．63 种 C ．65 种 D ．66 种【答案】D【解析】1，2，3，⋯，9 这9 个整数中有 5 个奇数， 4 个偶数．要想同时取 4 个不同的数其和为偶数，则取法有：4 个都是偶数： 1 种；2 个偶数，2 个奇数： 2 2C5 C4 60 种；4 个都是奇数：4C5 5 种．∴不同的取法共有66 种，故选D．56. 【2012 年. 浙江卷. 理14】若将函数 f ( x)＝x 表示为 f ( x) ＝a0＋a1 (1 ＋x) ＋a2(1 ＋x)2＋⋯＋a5(1 ＋x)5，其中a0，a1，a2，⋯，a5 为实数，则a3＝__________．6a7. 【2011 年. 浙江卷. 理13】若二项式x ( 0) 的展开式中xax 3的系数为A，常数项为B，若B 4A，则a的值是.【答案】2【解析】：a 6r r n r r r r rT 1 ( 1) C6 x( ) ( 1) a C6 xrx32r令36 r 32- 2 -得r2则A 2 2 2a C6 15a 令36 r 0得r 42则B 4 4 4 4( 1) a C 15a ，由又B=4A得64 215a 4 15a 则a 28. 【2009 年. 浙江卷. 理4】在二项式 2 1 5(x )x的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A．10 B ．10C． 5 D ． 5答案：B【解析】对于1rr 2 5 r r r 10 3rT C ( x ) ( ) 1 C xr 1 5 5x，对于10 3r 4, r 2，则4x 的项的系数是 2 2C5 ( 1) 109. 【2009 年. 浙江卷. 理16】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336【解析】对于7 个台阶上每一个只站一人，则有3A 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，7则共有 1 2C A 种，因此共有不同的站法种数是336 种．3 710. 【2008 年. 浙江卷. 理4】在(x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 的展开式中，含4x 的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27411. 【2006 年. 浙江卷. 理8】若多项式2 10 9 10x x a0 a1(x1) a9(x1) a10 (x1) ,则a9(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10【答案】D【解析】因为2 102 10 1 1 1 1x x x x ，所以1a9 C10 1 10 , 故选 D.12. 【2005 年. 浙江卷. 理5】在(1 －x)5＋(1 －x)6＋(1 －x)7＋(1 －x)83的展开式中，含x的项- 3 -的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121【答案】D【解析】：(1 －x)5＋(1 －x)6＋(1 －x)7＋(1 －x)8=5 4 5 9(1 x) [1 (1 x) ] (1 x) (1 x)1 (1 x) x,(1-x) 5 4中x的系数为4C5 5 ,-(1-x)9 4中x的系数为- 4C9 126 ,-126+5=-121, 故选(D)二．能力题组1. 【2008 年. 浙江卷. 理16】用1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和2 相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答) 。

【备战2014】高考数学高频考点归类分析排列组合、二项式定理(真题为例)

高频考点排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。

【考点】排列组合问题。

【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。

因此总共有12 + 6 = 18 种情况。

故选B。

例2. （2012年某某省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。

【考点】排列组合。

【解析】∵261315132C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。

不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。

故选D。

例3. （2012年某某省理5分）现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X，从中任取3X，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。

【考点】排列组合的应用。

【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。

2014届高三数学最后一课试题拆解：分类讨论思想方法

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小。

【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

2014届高考数学专题汇编8：排列、组合、二项式定理

专题8：排列、组合、二项式定理1.（2012年海淀一模理6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（）A ．12B ．24C ．36D ．482.（2012年东城一模理5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A ．16B ．18C ．24D ．323．（2012年丰台一模理6）学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（）种A.2243∙AB.2324A A ∙C.2243∙CD.2324A C ∙4.（2012年朝阳一模理5）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A. 16B. 24C. 32D. 48 5.（2012年房山一模12）如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种.6．（2012年密云一模理5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A.14B.24C.28D.48 7.（2012年西城一模理10）6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）8.（2012年丰台一模理3） 62的二项展开式中，常数项是（） A.10 B.15 C.20 D.30 9.（2012年石景山一模理6）若21()n x x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A.84-B.84C.36-D.3610.（2012年丰台二模理13）从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种．11.（2012年昌平二模理6）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（）A. 60种B. 120种C. 144种D. 300种12.（2012年东城二模理3）41(2)x x-的展开式中的常数项为（）A ．24- B.6- C.6 D.2413.（2012年海淀二模理10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列k a a a a ,...,,,321),111(Z k k ∈≤≤是一个单调递增数列，则k 的最大值是 .14.（2012年朝阳二模理9）二项式25(ax展开式中的常数项为5，则实数a =_______.15．（2013届北京海滨一模理科）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A ．12种B ．15种C ．17种D ．19种16．（2013届北京市延庆县一模数学理）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A ．420B ．560C ．840D ．2016017．（2013届门头沟区一模理科）有4名优秀学生A ． B ． C ．D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲校，则不同的保送方案有（）(A) 24种 (B) 30种 (C) 36种 (D) 48种18．（2013届北京西城区一模理科）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（）A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种19．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（）A ．36B ．30C ．24D ．1220．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A ．24B ．36C ．48D ．6021.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种22．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（）A ．144B ．120C ．108D ．7223．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种24．（2013届东城区一模理科）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有种．25．（2013届房山区一模理科数学）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能在第一或最后一步实施，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有种.(用数字作答)26．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）27．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个.28．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）5)1(+x 的展开式中x 的系数是 .（用数字作答）29．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)30．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）在6)11(x +的展开式中，含1x项的系数是________.（用数字作答） 31．（2013届东城区一模理科）262()x x +的展开式中3x 的系数是． 32．（2013届北京大兴区一模理科）设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。

新课标I版02期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编专题11 排列组合、二项式定理含解析

一．基础题组
1。

【河南省豫东、豫北十所名校2014届高三阶段性测试（一）】下列选项中，为8
(1)x 的二项展开式中的一项的是( ) A. 86x B 。

285x C. 564x D 。

704x
2。

【河南中原名校2013－2014学年上学期期中联考】81(
)2x x ＋的
展开式中常数项为___________________．
二．能力题组
1. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研(月考）考试】我们把个位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”）,则“六合数"中首位为2的“六合数"共有（ )
A ．18个
B ．15个
C ．12个
D ．9个
【答案】B
【解析】
试题分析：根据六合数的定义,首位数字为2,则第二位数字最大为4，此时对应的数字只有一个
三．拔高题组。

2014届高三数学最后一课试题拆解18

配方法突破配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ； a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；…… 等等。

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。

高三数学试题分省分项汇编专题13 排列组合、二项式

（上海版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题13 排列组合、二项式定理文（含解析）一．基础题组1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】二项式291()x x -的展开式中，含3x 的项的系数是___________.2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝．1357a a a a +++，此题我们还可以用另外一种方法，设8878710(2)x b x b x b x b +=++++L ，则0128,,,,b b b b L 全为正，2121(1,2,3,4)i i a b i --=-=，22(0,1,2,3,4)i i a b i ==，所以87a a ++L +0a =870b b b +++L 83=．考点：二项展开式的系数．4. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】函数图像的对称轴方程_____________．5. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有个五位数符合“正弦规律”.6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】若n xx )2(2-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知6)1(ax +的展开式中，含3x 项的系数等于160，则实数=a ．8. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．9. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．4510. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为．11. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种.。

浙江专版高考数学分项版解析专题11排列组合、二项式定理理含

【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版分析专题11 摆列组合、二项式定理理一．基础题组1. 【2014 年. 浙江卷. 理5】在(1 x) y 的睁开式中，记6 (1 )46 (1 )4x 项的系数为 f (m, n) ，则m y nm y nf (3,0 ) f ( 2,1) f (1,2） f ( 0,3) （）A.45 B.60 C.120 D. 210答案：C分析：由题意可得3 2 1 1 2 3f 3,0 f 2,1 f 1, 2 f 0,3 C C C C C C 20 60 36 4 120，应选6 6 4 6 4 4C考点：二项式系数.2. 【2014 年. 浙江卷. 理14】在8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其他 5 张无奖. 将这8 张奖券分派给 4 个人，每人 2 张，不一样的获奖状况有_____种（用数字作答）.513. 【2013 年. 浙江卷. 理11】设二项式x的睁开式中常数项为A，则A＝__________.3x【答案】：－10【分析】：T r＋1＝r r r51r x 5 r r x 2 r x 3C ( ) C ( 1)5 3 5x5 r r 15 5r ＝r r x r r x .2 3 6( 1) C ( 1) C5 5令15－5r ＝0，得r ＝3，所以A＝( －1) 3 3C ＝52C ＝－10.54. 【2013 年. 浙江卷. 理14】将A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不一样的排法共有__________种( 用数字作答) ．【答案】：480- 1 -【分析】：如图六个地点. 若C放在第一个地点，则知足条件的排法共有 A 5 5 种状况；若C放在第 2 个地点，则从3,4,5,6 共4 个地点中选 2 个地点排A，B，再在余下的3 个地点排D，E，F，共 2A ·43A 种排法；若C放在第 3 个地点，则可在1,2 两个地点排A，B，3其他地点排D，E，F，则共有 2A ·23A 种排法或在4,5,6 共3 个地点中选 2 个地点排A，B，3再在其他 3 个地点排D，E，F，共有2A ·33A 种排法；若C在第4 个地点，则有3A 2 2 3A＋3A 2 3 A 3 3种排法；若C在第5 个地点，则有 A 2 4 3A 种排法；若C在第 6 个地点，则有35A 种排法．5综上，共有2( 5A ＋5 A 2 4 3A＋3A 2 3 3A＋3A 2 2 3A ) ＝480( 种) 排法．35. 【2012 年. 浙江卷. 理6】若从1,2,3 ，⋯，9 这9 个整数中同时取 4 个不一样的数，其和为偶数，则不一样的取法共有( )A．60 种 B ．63 种 C ．65 种 D ．66 种【答案】D【分析】1，2，3，⋯，9 这9 个整数中有 5 个奇数， 4 个偶数．要想同时取 4 个不一样的数其和为偶数，则取法有：4 个都是偶数： 1 种；2 个偶数，2 个奇数： 2 2C5 C4 60 种；4 个都是奇数： 4C5 5 种．∴不一样的取法共有66 种，应选D．56. 【2012 年. 浙江卷. 理14】若将函数 f ( x)＝x 表示为 f ( x) ＝a0＋a1 (1 ＋x) ＋a2(1 ＋x) 2＋⋯＋a5(1 ＋x) 5 ，此中a0，a1，a2，⋯，a5 为实数，则a3＝__________．6a7. 【2011 年. 浙江卷. 理13】若二项式x ( 0) 的睁开式中xax 3的系数为A，常数项为B，若B 4A，则a的值是.【答案】 2【分析】：a 6r r n r r r r rT 1 ( 1) C6 x( ) ( 1) a C6 xrx32r令36 r 32- 2 -得r2则A2 2 2a C6 15a 令36 r 0得r 42则B 4 4 4 4( 1) a C 15a ，由又B=4A得64 215a 4 15a 则a 28. 【2009 年. 浙江卷. 理4】在二项式 2 1 5(x )x 的睁开式中，含 4x 的项的系数是( )A．10 B ．10 C． 5 D ． 5 答案：B【分析】关于1rr 2 5 r r r 10 3rT C ( x ) ( ) 1 C xr 1 5 5x，关于10 3r 4, r 2，则 4x 的项的系数是 2 2C5 ( 1) 109. 【2009 年. 浙江卷. 理16】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不划分站的地点，则不一样的站法种数是（用数字作答）．答案：336【分析】关于7 个台阶上每一个只站一人，则有 3A 种；如有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，7则共有 1 2C A 种，所以共有不一样的站法种数是336种．3 710. 【2008 年. 浙江卷. 理4】在(x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 的睁开式中，含 4x 的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27411. 【2006 年. 浙江卷. 理8】若多项式2 10 9 10x x a0 a1(x1) a9(x1) a10 (x1) ,则a9(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10【答案】D【分析】由于2 102 10 1 1 1 1x x x x ，所以1a9 C10 1 10 , 应选 D.12. 【2005 年. 浙江卷. 理5】在(1 －x) 5 ＋(1 －x) 6 ＋(1 －x) 7 ＋(1 －x) 8 3的睁开式中，含x 的项- 3 -的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 【答案】D【分析】：(1 －x) 5 ＋(1 －x) 6 ＋(1 －x) 7 ＋(1 －x) 8=5 4 5 9(1 x) [1 (1 x) ] (1 x) (1 x)1 (1 x) x,(1- x) 5 4中x的系数为4C5 5 ,-(1- x)9 4中x 的系数为- 4C9 126 ,-126+5=-121, 应选(D)二．能力题组1. 【2008 年. 浙江卷. 理16】用1，2，3，4，5，6 构成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不一样，且 1 和2 相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答) 。

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排列组合、二项式定理
1. (山东省济南市2012年3月高三高考模拟)如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（）
A. 11种
B. 20种
C. 21种
D. 12种【答案】C
【解析】若前一个开关只接通一个，则后一个有
7332313=++C C C ，此时有1472=⨯种，若前一个开关接通两一个，则后一个有
73
32313=++C C C ，所以总共有21714=+，选C.
4．(河北省邯郸市2012年高三第一次模拟)在二项式8
(2的展开式中不含4
x 的所有项
的系数和为（）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
6. (2011年高考全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（） (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
填法，共有144⨯⨯种；（2）A 中填入3，则B 中填入1,2，,C D 各有四种填法，共有244
⨯⨯种；（3）A 中填入4，则B 中填入1,2,3，,C D 各有四种填法，共有344⨯⨯种. 所以共有
()4412396
⨯⨯++=种.
10. (2011年高考全国新课标卷)
5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）
（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 【答案】
D
14. (陕西省西工大附中2012届高三第三次适应性训练)在21n
x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭的展开式中，只有第4
项的二项式系数最大，则展开式中常数项是．
【答案】
15
18．（2012年浙江省第二次五校联考）在25(1)(1)x x x ++-的展开式中，含3
x 的项的系数
是．【答案】—5
【解析】
()()()()
321
332213213 555555 1
Ax C x x C x x C x C C C x =⋅-+⋅-+⋅-=-+-
故
1
5
5 A C
=-=-
．。