2016优化探究高考一轮复习资料 (8)

A 组 考点基础演练一、选择题1．(2014年青岛模拟)曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：y ′＝3x 2－2，∴y ′|x ＝1＝1，切线方程为y －(－1)＝x －1，即x －y －2＝0. 答案：A2．已知定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：令x ＝0，得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，得f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.选B.答案：B3．(2015年泉州质检)若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x a 在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则a 的值为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－12解析：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax a －1，所以在点P (1,1)处的切线斜率分别为k 1＝12，k 2＝a .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝a2＝－1，所以a ＝－2，选A.答案：A4．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：可令f (x )＝12x 2＋12，则f (x )满足条件，验证各个选项，知B 、C 、D 都不恒成立，故选A.答案：A5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x ＋1)·f ′(x )≥0，则有( ) A ．f (0)＋f (－2)<2f (－1)B ．f (0)＋f (－2)≤2f (－1)C ．f (0)＋f (－2)>2f (－1)D ．f (0)＋f (－2)≥2f (－1)解析：由题意得，当x ≥－1时，f ′(x )≥0，当x ≤－1时，f ′(x )≤0，∴f (x )的最小值为f (－1)，即对任意实数x ，都有f (x )≥f (－1)，∴f (0)≥f (－1)，f (－2)≥f (－1)，∴f (0)＋f (－2)≥2f (－1)，故选D.答案：D 二、填空题6．(2014年高考江西卷)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e.即P (e ，e)．答案：(e ，e)7．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为y ＝3x －42，则b 的值为________．解析：由f (x )为奇函数可得a ＝0.设切点(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋bx 0＝3x 0－42，又f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋b ＝3.解得x 0＝2，b ＝－3.答案：－38．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．解析：由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫14＝12x －12⎪⎪⎪x ＝14＝g ′⎝⎛⎭⎫14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案：14三、解答题9．求下列各函数的导数： (1)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(2)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (3)y ＝－sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝tan x .解析：(1)y ′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ′＝－12x －32－12x －12.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝1cos 2x . 10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程． 解析：(1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝2＝22＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′| x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2.故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)．故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1,1)．故所求切线方程为y －53＝x －1或y －1＝x ＋1.即3x －3y ＋2＝0或x －y ＋2＝0.B 组 高考题型专练1．设函数f(x)的导函数为f ′(x)，对任意x ∈R 都有f (x )>f ′(x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)>2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)<2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定解析：令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x <0，即F (x )为R 上的减函数，∴F (ln 2)＝f (ln 2)2>F (ln 3)＝f (ln 3)3，∴3f (ln 2)>2f (ln 3)．答案：A2．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)等于( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2·…·a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212. 答案：C3．(2014年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 ①.又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P 处的切线斜率为4a －b 4＝－72②.由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－34．(2015年南通一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝a ln x 的切线，则当a >0时，实数b 的最小值是________．解析：设切点坐标为(x 0，a ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ln x 0＝x 0＋b ，a x 0＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ln a －a ，x 0＝a ，a >0.对关于a 的函数b 求导得b ′＝ln a ，令b ′＝0，得a ＝1，且当0<a <1时，b ′<0，函数b ＝a ln a －a 单调递减；当a >1时，b ′>0，函数b ＝a ln a －a 单调递增，所以当a ＝1时，b 取得极小值，也是最小值，即b min ＝－1.答案：－15．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．解析：(1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516. ∴当a ＝54时，(ab )max ＝2516.。