静安区2014年高三数学一模试卷
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014年高三联合高考模拟考数学试卷(理科)--含答案
上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014学年联合高考模拟考试理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.第10题图已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S l i m . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；ADC F PB(第20题图)（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x恒成立，求实数k 的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．229．37； 10. 41 11. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴所求二面角的余弦值为5. 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32nn n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 集合(理)
上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编集合2014.01.26（普陀区2014届高三1月一模，理）1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .1. )0,3(-；（杨浦区2014届高三1月一模，理）4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .4. ()0,∞- ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）8．分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．8．43 （浦东新区2014届高三1月一模，理）13. 用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 有为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．13. 96（嘉定区2014届高三1月一模，理）12．设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ，}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ，若存在实数t ，使得∅≠B A ，则实数a 的取值范围是___________．12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 （虹口区2014届高三1月一模，理）1、已知全集{}2,1,0=U ，{}0=-=m x x A ，如果U C A ={}1,0，则=m ．（普陀区2014届高三1月一模，理）12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种.12.31；（徐汇区2014届高三1月一模，理）18. 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e ==-. 其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------（ ）(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④18.D（长宁区2014届高三1月一模，理）22、（本题满分16分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分6分）已知函数2()F x kx =-，(),)G x m k R =∈（1） 若,m k 是常数，问当,m k 满足什么条件时，函数()F x 有最大值，并求出()F x 取最大值时x 的值；（2） 是否存在实数对(,)m k 同时满足条件：（甲）()F x 取最大值时x 的值与()G x 取最小值的x 值相同，（乙）k Z ∈？（3） 把满足条件（甲）的实数对(,)m k 的集合记作A ，设{}222(,)(1),0B m k k m r r =+-≤>，求使A B ⊆的r 的取值范围。
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷(带解析)
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷（带解析）1．在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是（ ）. A.[0,2] B. [2,1)(1,0]--- C. [0,1)(1,2] D.[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：依题意()0x x a *->可得(1)0x x a -+>.由于解集为{|11}x x -≤≤，所以011a <+≤或110a -≤+<，即10a -<≤或21a -≤<-.当1a =-时，解集为空集，所以成立.故选D.考点：1.新定义问题.2.不等式的解法.3.集合间的关系.2．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的（ ）. A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因为x x x f ωω22cos sin)(-=可化为()cos 2f x x ω=-.所以可得1=ω是函数()f x 最小正周期为π的充分条件.由于函数的最小正周期为π,则2,12T ππωω==∴=±.所以必要性不成立.故选B.考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.3．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =（ ）.A.1:1B.2:1C.3:2D.4:1 【答案】C 【解析】试题分析：假设球的半径为r .则圆柱的底面半径为r .高为2r .所以圆柱的表面积为216S r π=.球的表面积为224S r π=.所以12:3:2S S =.故选C.考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.4．函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.O xyA.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m =+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得1(0,]4m ∈.故选D. 考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5．已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .【解析】试题分析：由2i j +=.考点：向量的模的含义. 6．二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）【答案】2【解析】 试题分析：由ii i ++-1101可得(1)(1)2i i -+=.考点：1.行列式的运算.2.复数的运算.7．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________. 【答案】35 【解析】试题分析：717r rr T C x -+=.依题意可得73,4r r -=∴=.所以展开式中含3x 项的系数值为35.考点：1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.8．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π) 【答案】12π 【解析】试题分析：由圆锥的母线长为5,侧面积为π15.则根据12s lr =.即可求出圆锥的底面周长6π.从而解出底面半径3r =.再求出圆锥的高4h =.根据体积公式213V r h π= 12π=.考点：1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化. 9．已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B = .【答案】{1,0,1}- 【解析】试题分析：依题意可得集合{11}A y y =-≤≤，集合{,1,0,1,}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅.所以A B ={1,0,1}-.考点：1.集合描述法表示.2.三角函数的值域.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：假设1122(,),(,)A x y B x y .AB 的中点坐标为00(,)x y .所以可得22112222(1) 4(1) 4 x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②.由①-②可得001AB x k y =-.即1AB k =-.所以:30AB l x y +-=. 考点：1.点差法的应用.2.直线与圆的位置关系.3.直线方程的表示. 11．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.【答案】【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 可得2log ()1,2xy xy =∴=.又y x +≥=.当且仅当x y =时取等号. 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.12．已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 【答案】14【解析】试题分析：首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈，设公比为q ,由各项和等于 4.即341q=-.解得14q =.考点：无穷等比数列的求和公式.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案】4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）【解析】试题分析：设点(,)P x y .由2OP OM =，可得4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩.即2C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. 考点：1.参数方程的知识.2.向量相等.14．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .【答案】138【解析】 试题分析：由程序框图可知，x=1,y=1,z=2;当x=2,y=3,z=5;当x=3,y=5,z=8;当x=5,y=8,z=13;当x=8,y=13,z=21.由21>20.所以退出循环.即可得138y x =. 考点：1.程序框图.2.数的交换运算. 15．从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 【答案】98【解析】试题分析：由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有3856C =种情况.所以3510(0)5656C P ξ===.215330(1)5656C C P ξ===.125315(2)5656C C P ξ===.03531(3)5656C C P ξ===.所以ξ的数学期望是30151639()23565656568E ξ=+⨯+⨯==. 考点：1.概率问题.2.数学期望.16．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 【答案】3【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，所以11a =.当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-.所以42912525n n b n n -=-=--.当10i i bb +<（正整数i ）时，即292702523i i i i --⋅<--.所以3522i <<或7922i <<.所以i=2,4又因为1235150bb =-⨯=-<，所以i=1.所以数列{}n b 的变号数为3.考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想. 17．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）【答案】32【解析】试题分析：依题意可得函数2222 [0,2)1(68) [2,4)3()1(1024) [4,6)9x x x x x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪-+-∈⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎪⋅⋅⋅⎩.所以11a =，213a =，319a =，…，113n n a -=.所以数列}{n a 是一个首项为1，公比为13的等比数列.所以31(1)23n n S =-.所以=∞→n n S lim 32.考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.18．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .ABCDEFS 1 αABCPNF S 2αMQ【答案】110【解析】试题分析：依题意可得4411=S ，所以21FD =，4402=S ,所以MQ =.所以21cos sin AF αα=，所以即21cos 21sin AC αα=+.AM CM α==，所以AC α=.即可得21c o s2110c o s s i n ααα+=+.即21(sin cos )cos αααα+=.令sin cos tαα+=.则22sin cos 1t αα=-.所以可得2210t -=.解得t =或t =（由于1sin 2011α=-<，所以舍去.），所以21sin 2110t α=-=. 考点：1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.ADCFPB（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）5【解析】试题分析：（1）需证明DA ⊥平面PAC ，转化为证明AD ⊥AC,AD ⊥PA.因为PA 垂直平面ABCD ，由题意可得AD ⊥AC,AD ⊥PA 显然成立，即可得结论.（2）如图建立空间直角坐标系，因为)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，所以求出平面PAF的法向量(1,2,0)m =u r，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，试题解析： 1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A C B D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.20．某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210x x θ+=+；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度.所以AD 的弧长为10θ，BC 的弧长为x θ.所以可得102(10)30x x θθ++-=.即可得结论.（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】试题分析：（1）由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，即1c =.又短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-，即可求出a ，b 的值.从而得到椭圆的方程.（2）由（1）可得假设直线AB 的方程联立椭圆方程消去y 即可得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k 的关系式.写出线段AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程.即可得到点D 的坐标.即可求得线段PD 的长，根据弦长公式可得线段MN 的长度，再通过最的求法即可得结论.试题解析：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-. 由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++.所以MN == 2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力. 22．设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++（3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2=x ；（2）参考解析；（3）2<k 【解析】试题分析：（1）由于函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，所以解方程0)1()(8)(=--h x g x h .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于3)()()(+=x g x g x p 即得到()x P x =.所以()(1)1p x p x +-=.所以两个一组的和为1，还剩中间一个21323)21()20141007(===p p .即可求得结论. （3）由bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，可求得1,3=-=b a .又由于0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数()f x 的单调性可得.函数()f x 在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.23．设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．【答案】（1）142n n b -=；（2）参考解析；（3）存在5【解析】试题分析：（1）由于数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，所以通项公式为12 (*)n n a n N -=∈.由于数列{}n a 为递增数列，所以都符合1+<n n a a .即可得到数列{}n b 的通项公式.（2）由于各项都是正整数的无穷数列{}n a ，所以利用反正法的思想，反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈即可得到证明.（3）由{}n a 各项都是正整数，所以由1n n a a +>可得到11n n a a +≥+.所以可得到1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++≥++-+.从而可得到{}n a 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．考点：1.数列的性质.2.反证法的知识.3.放缩法证明相等的数学思想.4.数列求和.5.数列与不等式的知识交汇.。
2014年上海市静安区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x+y﹣1＝0}，B＝{（x，y）|y＝x2_1}，则A∩B＝．2．（4分）（理）已知cosα＝﹣，，则tan（+α）的值是．3．（4分）当x＞0时，函数y＝（a﹣8）x的值域恒大于1，则实数a的取值范围是．4．（4分）关于未知数x的实系数方程x2﹣bx+c＝0的一个根是1+3i（期中i是虚数单位），写出一个一元二次方程为．5．（4分）（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种．（结果用数值表示）6．（4分）（理）不等式|x﹣3|＜2x﹣1的解集是．7．（4分）若（其中a、b为有理数），则a+b＝．8．（4分）（理）已知方程sin2θ+cos2θ＝1，则当θ∈（﹣π，π）时，用列举法表示方程的解的集合是．9．（4分）（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝4，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为．10．（4分）设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为．11．（4分）（理）已知cos（﹣x）＝a，且0，则的值用a表示为．12．（4分）（理）已知椭圆C：＝1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线P A、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为．13．（4分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝6与圆N：（x+1）2+（y+1）2＝5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2＝5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为．14．（4分）（理）已知不等式a x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，则b＝，且a+b的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“m＝”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y ﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知命题a：如果x＜3，那么x＜5；命题b：如果x≥3，那么x≥5；命题c：如果x≥5，那么x≥3．关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是（）①命题a是命题b的否命题，且命题c是命题b逆命题②命题a是命题b的逆命题，且命题c是命题b的否命题③命题b是命题a的否命题，且命题c是命题a的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③17．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+4x，x∈[m，5]的值域是[﹣5，4]，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．[2，5）18．（5分）（理）已知函数f（x）是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．﹣或﹣B．0C．0或﹣D．0或﹣三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于9米的弧田．（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．（14分）（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小；（2）设a，b，c为正数，且a2+b2+c2＝1，求证：++﹣≥3．21．（14分）（理）已知双曲线x2﹣y2＝a2（其中a＞0）．（1）若定点A（4，0）到双曲线上的点的最近距离为，求a的值；（2）若过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为α的直线l交双曲线于M、N两点，其中α∈（，），F2是双曲线的右焦点．求△F2MN的面积S．22．（16分）设无穷数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n（n∈N*），且点（S n﹣1，S n）（n∈N*，n≥2）在直线（2t+3）x﹣3ty+3t＝0上（t为与n无关的正实数）．（1）求证：数列{a n}（n∈N*）为等比数列；（2）记数列{a n}的公比为f（t），数列{b n}满足b1＝1，b n＝f（）（n∈N*，n ≥2），设c n＝b2nb2n﹣b2n b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n；﹣1（3）（理）若（1）中无穷等比数列{a n}（n∈N*）的各项和存在，记S（t）＝a1+a2+…+a n+…，求函数S（t）的值域．23．（18分）（理）已知函数f（x）＝log a（其中a＞0且a≠1），g（x）是f （x）的反函数．（1）已知关于x的方程log a＝f（x）在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围；（2）当o＜a＜1时，讨论函数f（x）的奇偶性和增减性；（3）设a＝，其中p≥1．记b n＝g（n），数列{b n}的前n项的和为T n（n∈N*），求证：n＜T n＜n+4．2014年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x+y﹣1＝0}，B＝{（x，y）|y＝x2_1}，则A∩B＝{（1，0），（﹣2，3）}．【解答】解：联立A与B中的方程得：，消去y得：x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，即y＝0或y＝3，则A∩B＝{（1，0），（﹣2，3）}．2．（4分）（理）已知cosα＝﹣，，则tan（+α）的值是．【解答】解：∵cosα＝﹣，α∈（，π），∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝﹣；∴tan（+α）＝＝＝．故答案为：．3．（4分）当x＞0时，函数y＝（a﹣8）x的值域恒大于1，则实数a的取值范围是a＞9．【解答】解：当0＜a﹣8＜1即8＜a＜9时，函数y＝（a﹣8）x在（0，+∞）上单调递减，则当x＞0时，（a﹣8）x＜（a﹣8）0＝1不符合题意，当a﹣8＞1即a＞9时，函数y＝（a﹣8）x在（0，+∞）上单调递增，则当x＞0时，（a﹣8）x＞（a﹣8）0＝1符合题意，∴实数a的取值范围是a＞9．故答案为：a＞9．4．（4分）关于未知数x的实系数方程x2﹣bx+c＝0的一个根是1+3i（期中i是虚数单位），写出一个一元二次方程为x2﹣2x+10＝0．【解答】解：由于关于未知数x的实系数方程x2﹣bx+c＝0的一个根是1+3i，根据实系数一元二次方程的虚根成对原理可知：1﹣3i也是此方程的一个虚根，∴，解得b＝2，c＝10．所求的方程为：x2﹣2x+10＝0．故答案为：x2﹣2x+10＝0．5．（4分）（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有58905种．（结果用数值表示）【解答】解：除了甲、乙外还有36人，故从这36人中选出4个人，再把甲选上，即可满足条件，故所有的情况共有•＝58905种，故答案为：58905．6．（4分）（理）不等式|x﹣3|＜2x﹣1的解集是（，+∞）．【解答】解：由不等式|x﹣3|＜2x﹣1可得：，解得x＞，故答案为：（，+∞）．7．（4分）若（其中a、b为有理数），则a+b＝169．【解答】解：∵＝1+•+•+…+＝a+b，∴a＝1+2+4+8＝99，b＝+2+4＝70，∴a+b＝99+70＝169，故答案为：169．8．（4分）（理）已知方程sin2θ+cos2θ＝1，则当θ∈（﹣π，π）时，用列举法表示方程的解的集合是{}．【解答】解：（理）∵sin2θ+cos2θ＝1∴2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ＝1∴2sinθcosθ＝2sin2θ∴sinθ＝0或cosθ＝sinθ又∵θ∈（﹣π，π）∴∴方程的解集为{}；故答案为{}9．（4分）（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝4，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为6．【解答】解：∵＝λ+μ，且根据已知条件∴•＝﹣2λ+4μ＝0 ①∴*＝4*2*cos30°＝12即*＝4λ﹣2μ＝12 ②由①②得，∴μ＝2，λ＝4故答案为：610．（4分）设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为y2＝8x或y2＝﹣16x．【解答】解：当m＞0时，准线方程为x＝﹣＝﹣2，∴m＝8，此时抛物线方程为y2＝8x；当m＜0时，准线方程为x＝﹣＝4，∴m＝﹣16，此时抛物线方程为y2＝﹣16x．∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝﹣16x．故答案为；y2＝8x或y2＝﹣16x．11．（4分）（理）已知cos（﹣x）＝a，且0，则的值用a表示为2a．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜﹣x＜，∵cos（﹣x）＝a，∴sin（﹣x）＝，∴cos（+x）＝cos[﹣（﹣x）]＝sin（﹣x）＝，cos x＝cos[﹣（﹣x）]＝×a+×＝（a+），即cos2x＝2cos2x﹣1＝2×（a+）2﹣1＝a2+1﹣a2+2a﹣1＝2a，则原式＝＝2a．故答案为：2a12．（4分）（理）已知椭圆C：＝1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线P A、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为．【解答】解：由题意知，两直线P A，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，（k＞0），则PB的直线方程为，由，得，设B（x B，y B），则，＝，设A（x A，y A），同理可得，则x A﹣x B＝，y A﹣y B＝k（x A﹣1）﹣k（x B﹣1）＝4，∴AB的斜率k＝＝＝．故答案为：．13．（4分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝6与圆N：（x+1）2+（y+1）2＝5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2＝5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为（a+1）2+（b+1）2＝1．【解答】解：过圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝6的圆心坐标M（a，b），圆N：（x+1）2+（y+1）2＝5的圆心（﹣1，﹣1），∴圆心距为：，∴；即：（a+1）2+（b+1）2＝1．动点M（a，b）的轨迹方程为：（a+1）2+（b+1）2＝1．故答案为：：（a+1）2+（b+1）2＝114．（4分）（理）已知不等式a x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，则b＝4，且a+b的值为4．【解答】解：画出函数f（x）＝＝的图象，可得f（x）min＝f（2）＝1，由图象可知：若a＞1，则不等式a x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件．因此a≤1．此时恒成立．又∵不等式a x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，∴a≤1＜b，f（a）＝f（b）＝b，可得，由，化为3b2﹣16b+16＝0，解得，或4．当b＝时，由，解得或，不符合题意，应舍去．∴b＝4，此时a＝0．∴a+b＝4．故答案分别为：4，4．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“m＝”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y ﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m＝时，直线（m+2）x+3my+1＝0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0的斜率是，∴满足k1•k2＝﹣1，∴“m＝”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0得：m＝或m＝﹣2．∴“m＝”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．16．（5分）已知命题a：如果x＜3，那么x＜5；命题b：如果x≥3，那么x≥5；命题c：如果x≥5，那么x≥3．关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是（）①命题a是命题b的否命题，且命题c是命题b逆命题②命题a是命题b的逆命题，且命题c是命题b的否命题③命题b是命题a的否命题，且命题c是命题a的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③【解答】解：∵命题a：如果x＜3，那么x＜5；命题b：如果x≥3，那么x≥5；命题c：如果x≥5，那么x≥3．∴命题a与命题b互为否命题，命题a与命题c互为逆否命题，命题b与命题c互为逆命题，故①正确，②错误，③正确；即说法正确的命题有：①③故选：A．17．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+4x，x∈[m，5]的值域是[﹣5，4]，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．[2，5）【解答】解：∵f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，f（2）＝4，由f（x）＝﹣x2+4x＝﹣5，得x2﹣4x﹣5＝0，即x＝5或x＝﹣1，∴要使函数在[m，5]的值域是[﹣5，4]，则﹣1≤m≤2，故选：C．18．（5分）（理）已知函数f（x）是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．﹣或﹣B．0C．0或﹣D．0或﹣【解答】解：∵f（x）是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数，∴当﹣1≤x≤0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2．即﹣1≤x≤1时，f（x）＝x2．作出函数f（x）在[0，2]上的图象如图：则当直线经过点A（1，1）时，满足条件此时1＝1+a，解得a＝0，当直线y＝x+a与y＝x2相切时，也满足条件，此时x2＝x+a，即x2﹣x﹣a＝0，则判别式△＝1+4a＝0，解得a＝，故a＝0或a═．故选：D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于9米的弧田．（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【解答】解：（1）扇形半径r＝3，…（2分）扇形面积等于＝＝9π（m2）…（5分）弧田面积＝﹣r2sin＝9π﹣（m2）…（7分）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）＝（9×+）＝（+）．…（10分）∴9π﹣﹣（+）＝1.51664798≈1.52（m2）…（12分）按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米．20．（14分）（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小；（2）设a，b，c为正数，且a2+b2+c2＝1，求证：++﹣≥3．【解答】证明：（1）证法1：∵x、y是不全为零的实数，∴2x2+y2﹣（x2+xy）＝x2+y2﹣xy＝+y2＞0，∴2x2+y2＞x2+xy．证法2：当xy＜0时，x2+xy＜2x2+y2；当xy＞0时，作差：x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy＝xy＞0；又因为x、y是不全为零的实数，∴当xy＝0时，2x2+y2＞x2+xy．综上，2x2+y2＞x2+xy．（2）证明：∵++﹣﹣3＝++﹣﹣3＝a2（+）+b2（+）+c2（+）﹣2（++）＝a2+b2+c2≥0（当且仅当a＝b＝c时，取得等号），∴++﹣≥3．21．（14分）（理）已知双曲线x2﹣y2＝a2（其中a＞0）．（1）若定点A（4，0）到双曲线上的点的最近距离为，求a的值；（2）若过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为α的直线l交双曲线于M、N两点，其中α∈（，），F2是双曲线的右焦点．求△F2MN的面积S．【解答】解：（1）设点P在双曲线上，由题意得：|AP|2＝（x﹣4）2+y2＝2（x﹣2）2+8﹣a2，由双曲线的性质，得|x|≥a．（i）若0＜a≤2，则当x＝2时，AP有最小值．最小值|AP|2＝8﹣a2＝5，∴．（ii）若a＞2，则当x＝a时，AP有最小值，此时|AP|2＝a2﹣8a+16＝5，解得．（2），，直线l与x轴垂直时，|MN|＝2a，此时，△F2MN的面积＝．直线l与x轴不垂直时，直线l方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），将代入双曲线方程，整理得：，，，＝，点F2到直线MN距离，△F2MN的面积＝．22．（16分）设无穷数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n（n∈N*），且点（S n﹣1，S n）（n∈N*，n≥2）在直线（2t+3）x﹣3ty+3t＝0上（t为与n无关的正实数）．（1）求证：数列{a n}（n∈N*）为等比数列；（2）记数列{a n}的公比为f（t），数列{b n}满足b1＝1，b n＝f（）（n∈N*，n ≥2），b2n﹣b2n b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n；设c n＝b2n﹣1（3）（理）若（1）中无穷等比数列{a n}（n∈N*）的各项和存在，记S（t）＝a1+a2+…+a n+…，求函数S（t）的值域．【解答】（1）证明：因为点（S n，S n）（n∈N*，n≥2）在直线（2t+3）x﹣3ty+3t﹣1＝0（t为与n无关的正实数）上，所以（2t+3）S n﹣3tS n+3t＝0，﹣1＝3t（n∈N*，n≥2）．即有3tS n﹣（2t+3）S n﹣1当n＝2时，3t（a1+a2）﹣（2t+3）a1＝3t．由a1＝1，解得a2＝，所以＝，当n≥2时，有3tS n+1﹣（2t+3）S n＝3t①3tS n﹣（2t+3）S n﹣1＝3t②①﹣②，得3ta n+1﹣（2t+3）a n＝0，整理得＝．所以数列{a n}是公比为的等比数列；…（4分）（2）解：由（1）知，f（t）＝＝+，则b n＝f（）＝b n+，﹣1于是数列{b n}是公差d＝的等差数列，即b n＝，…（7分）﹣b2n+1）则T n＝b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+…+b2n（b2n﹣1＝﹣2d（b2+b4+…+b2n）＝…（10分）（3）解：（理）由0＜＜1解得：t＞3．…（12分）所以S＝＝＝3+＞3所以函数S（t）的值域为（3，+∞）．…（16分）23．（18分）（理）已知函数f（x）＝log a（其中a＞0且a≠1），g（x）是f （x）的反函数．（1）已知关于x的方程log a＝f（x）在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围；（2）当o＜a＜1时，讨论函数f（x）的奇偶性和增减性；（3）设a＝，其中p≥1．记b n＝g（n），数列{b n}的前n项的和为T n（n∈N*），求证：n＜T n＜n+4．【解答】解：（1）由转化为求函数m＝（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，6]上的值域，该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，∴m的最小值5，最大值9．∴m的取值范围为[5，9]．（2）f（x）＝log a的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），定义域关于原点对称，又f（﹣x）＝log a＝，即f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数．下面讨论在（1，+∞）上函数的增减性．任取1＜x1＜x2，令t（x）＝，则t（x1）﹣t（x2）＝﹣＝，因为1＜x1＜x2，∴t（x1）﹣t（x2）＝＜0，又当0＜a＜1时，y＝log a x是减函数，∴log a t（x1）＞log a t（x2）．由定义知在（1，+∞）上函数是减函数．又因为函数f（x）是奇函数，所以在（﹣∞，﹣1）上函数也是减函数．（3）∵g（x）＝；因为a＝，p≥1，∴0＜a≤，1＜g（1）＝＝1+≤3＜5．设k≥2，k∈N*时，则b k＞1，且b k＝＝1+由二项式定理（1+p）k＝1+p1+…+p k得：b k≤1+﹣1+＝1+﹣，从而n＜T n＜b1+（n﹣1）+2﹣＜b1+n+1≤n+4．。
静安2014学年度第一学期高三数学文理参考答案及评分标准
2014学年度第一学期静安区高三数学文理科期末检测试卷参考答案及评分标准 2014.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．理：)2,0(；文：121； 2. 理：25628=；文：)2,0( 3. 理：)4,21(；文：n n +22； 4. 理：21；文：45 5. 理：)212(4nn-；文：)4,21(； 6. 理：-2，文： 25628= 7. 理：221log 2+=x ；文：π3； 8. 55arccos ；文：54-9. 理：31-；文：-2； 10. 32π-；文：10103arccos （或31arctan ）11. 理：03213=++-y x 或03213=-+--y x ； 文：31-12．理：]2,2[-； 文：03213=++-y x 或03213=-+--y x13. 理：12S <<；文：]2,2[-； 14. 理：228+=+n C nk ．7或者14；文：12S <<二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ； 16．B ； 17． D ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （1）根据正弦定理BbA a sin sin =，得b B b a A sin 23sin ==，所以23sin =B ，………（4分） 又由角B 为锐角，得3π=B ；…………………………（6分）（2）B ac S ABC sin 21=∆，又ABC S ∆=3=ac ，…………………………（8分） 根据余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得1037cos 2222=+=+=+B ac b c a ，…………………………（12分）所以ac c a c a 2)(222++=+=16，从而a c +=4．…………………………（14分）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. （1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）（2） , )10( 107c )013( 3b )30( ,⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤<-+≤<=x c b a x x b a x x a y 文21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. （1）因为点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD ，所以PM 为△1ADD 的中位线，得1=PM ， 又BD MN ⊥，所以2222===MD ND MN ………………（ 2分） 因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，………………（ 6分）在△PMN 中，∠PMN 为直角，2tan =∠PNM ，所以2arctan =∠PNM 。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编：平面向量
上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编平面向量2014.01.26（普陀区2014届高三1月一模，理）2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m -=平行，则实数=m .2.1-；（徐汇区2014届高三1月一模，理）5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a = .5.-2（徐汇区2014届高三1月一模，理）10. 在平面直角坐标系中，动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅= ，则动点P (x ,y )的轨迹方程为.（普陀区2014届高三1月一模，理）18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OA i ⋅=⋅.给出下列说法： ①||||||||21OA OA OA n ==== ； ②||i OA 的最小值一定是||；③点A 、i A 在一条直线上； ④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ） )(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.（嘉定区2014届高三1月一模，理）15．设向量)1,1(-=x a ，)1,3(+=x b ，则“a ∥b ”是“2=x ”的………………（）第18题A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件15．B（虹口区2014届高三1月一模，理）15、已知)2,0(=，)1,1(= ，则下列结论中正确的是（ ）.A ⊥-)( .B )()(+⊥- .C // .D =15．B（杨浦区2014届高三1月一模，理）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =. (1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即tt f k )(≤恒成立, ……9分 2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分。
2014届上海市高考一模汇编 数列
2014届高中数学·一模汇编（专题：数列）2014届高中数学·一模汇编 数列一、填空题：1、已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是______2、若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_________ 3、某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．4、已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ．若11a =，35a =，64n S =，则n =5、记1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x项的系数，则12111lim()n na a a →∞+++= 6、己知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则na =_____7、己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a annn ,11，则数列{}n a 的前2016项的和2016S 的值是______ 8、数列a n+1=|a n ﹣4|+2（n ∈N*），如果{a n }是一个等差数列，则a 1= ． 9、计算limn→∞2123nn ++++＝10、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 11、已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a 12、计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= 图（1）图（2）图（3）……13、计算：=++∞→712lim22n n n 14、已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S 15、已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =________16、已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f = 17、各项为实数的等比数列中7191,8a a =-=-，则13a = 18、已知lim(1)1nn q →∞-=，则实数q 的取值范围是19、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 20、若不等式()()11131n na n +--⋅++<对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是21、一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围是22、221lim 2n n n n →∞+=-______ 23、数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a 24、已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++，其中*n N ∈．当12 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞=25、设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为26、已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共 有 种.27、若公差为d 的等差数列{}n a 的项数为奇数，11=a ，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150， 则=d28、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a 29、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于____二、选择题：30、某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A ）1112121222m m a a a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++31、给出下列等式：233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，现设23333321na n =+⋅⋅⋅+++（*∈N n ，2≥n ），则=∞→nn a n 2lim （ ）A ．0B ．1C ．2D ．432、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足15160,0,S S ><则3151212315,,,,S S S S a a a a 中最大的项为 （ ） A.66S a B.77S a C.88S a D.99S a 33、用数学归纳法证明等式2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=（n ∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）（A ）2135(21)k k +++⋅⋅⋅++= （B ）2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+ （C ）2135(21)(2)k k +++⋅⋅⋅++=+ （D ）2135(21)(3)k k +++⋅⋅⋅++=+34、在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π三、解答题：35、已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．36、设二次函数)()4()(2R k kxx k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+.（1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）证明：当)21,0(∈n a 时，数列}{n a 在该区间上是递增数列； （3）已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(131n n +-+--λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.37、如图，在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A 、、、、,其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ,且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ,在射线)0(≥=x x y 上依次有点12n B B B 、、、、,点1B 的坐标为)3,3(，且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n .（1）求点n A 、n B 的坐标(用含n 的式子表示)； （2）设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ，解答下列问题： ① 求数列{}n S 的通项公式；② 问{}n S 中是否存在连续的三项n S ,1+n S ,2+n S （∙∈N n ）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由.38、已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)， 且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，nn n d d )21(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}{2n d 的序数列单 调递增，求数列}{n d 的通项公式．B n+1 B n B 2 B 1A n +1 A n A 2A 1 O yx39、已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．40、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立. （1）求12,a a 的值； （2）设10a >，数列110lgn a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.41、已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由； （3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.42、设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U . 已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b={2,4,6,,42,4}k k -.（1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ； （3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.43、在数列{}n a 中，已知12=a ，前n 项和为n S ，且2)(1a a n S n n -=.（其中*N n ∈） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求2limn S n n +∞→；（3）设nn n a b 31lg +=，问是否存在正整数p 、q （其中q p <<1），使得1b ，p b ，q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组),(q p ；否则，说明理由.44、设数列{}n a 的首项1a 为常数135a ⎛⎫≠⎪⎝⎭，且132(*)nn n a a n N +=-∈． （1）证明：35n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若132a =，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由． （3）若{}n a 是递增数列，求1a 的取值范围．45、数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．46、已知数列{a n }的各项均不为零，a 1=1，a 2=m ，且对任意n ∈N *，都有．（1）设c=1，若数列{a n }是等差数列，求m ； （2）设c=1，当n ≥2，n ∈N *时，求证：是一个常数；（3）当c=（m +1）2时，求数列{a n }的通项公式．47、数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设1+=n n S b ，n n b b b k c ++++= 21（+∈R k ）． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．48、对于数列{}n A ：123,,,,n A A A A ，若不改变1A ，仅改变23,,,n A A A 中部分项的符号，得到的新数列{}n a 称为数列{}n A 的一个生成数列．如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,2,3,4,5--． 已知数列{}n a 为数列1{}()2n n N *∈的生成数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和． ⑴写出3S 的所有可能值；⑵若生成数列{}n a 的通项公式为1,312,1,312n n nn k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩，求n S ； ⑶用数学归纳法证明：对于给定的n N *∈，n S 的所有可能值组成的集合为： 121{|,,2}2n n m x x m N m *--=∈≤．49、已知数列{}n a ，满足62=a ，n a a a a n n n n 11111=-++-++()*∈N n ， （1）已知11=b ,()()*11∈1N n n n a b n n +=++，求数列{}n b 所满足的通项公式； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）己知02lim =∞→n n n ，设n c ＝()*2N n n a n n ∈•,常数()R c c ∈≠,0,若数列{}n c 是等差数列， 记,33221n n n c c c c c c c c S ++++= 求n n S lim ∞→．。
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 数列(理)
上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编数列2014.01.26（长宁区2014届高三1月一模，理）5、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a . 5、⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n （嘉定区2014届高三1月一模，理）4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________． 4．15（普陀区2014届高三1月一模，理）8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .8.32； （长宁区2014届高三1月一模，理）11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______. 11、85（浦东新区2014届高三1月一模，理）3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.3. 32n -（普陀区2014届高三1月一模，理）22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}na 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.解：（1）将已知条件132n n n a a ++=⋅变形为()1122n n n n a a ++-=--……1分由于123210a -=-=≠，则12211-=--++nn n n a a （常数）……3分即数列{}2n n a -是以1为首项，公比为1-的等比数列……4分所以1)1(12--⋅=-n n n a 1)1(--=n ，即n n a 2=1)1(--+n （*N n ∈）。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编：函数
上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编函数 2014.01.23（浦东新区2014届高三1月一模，理）6.已知函数的反函数为，则11()24x x f x -=1()f x -___________.1(12)f -=（ 6. 2log 3（杨浦区2014届高三1月一模，理）6．若函数的反函数为，则 ．()23-=x x f ()x f 1-()=-11f 6. 1 ； （（嘉定区2014届高三1月一模，理）1．函数的定义域是_____________．)2(log 2-=x y 1． ),2(∞+（徐汇区2014届高三1月一模，理）7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点.长宁区2014届高三1月一模，理）1、设是上的奇函数，当时，，则 ()x f R 0≤x ()x x x f -=22()=1f 1、 3-（浦东新区2014届高三1月一模，理）17.已知函数则,1)(22+=x x x f （ ）()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L (A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2013 21212121 17. D （普陀区2014届高三1月一模，理）6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数 .=-)(1x f 6. （不标明定义域不给分）； =-)(1x f )0(21≤+x x（嘉定区2014届高三1月一模，理）13．已知函数是偶函数，直线⎪⎧≥++=,0,12)(2x x ax x f 与函数的图像自左t y =)(x f至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．A B C D ||||BC AB =t 13． 47（嘉定区2014届高三1月一模，理）3．已知函数存在反函数，若函数的)(x f y =)(1x f y -=)1(-=x f y 图像经过点，)1,3(则的值是___________．)1(1-f 3． 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）8. 已知函数，若，则 ()lg f x x =()1f ab =22()()f a f b +=_________.8. 2；（浦东新区2014届高三1月一模，理）14. 已知函数，对任意都有**(),,y f x x y =∈∈N N *n ∈N ，且是增函数，则 [()]3f f n n =()f x (3)f =14.6（长宁区2014届高三1月一模，理）3、已知函数的图像关于直线对称，则5()2x f x x m -=+y x =m =3、 1-（普陀区2014届高三1月一模，理）14.已知函数，若方程有且仅有两⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x 0)(=+x x f 个解，则实数的取值范围是 .a 14.；2<a （徐汇区2014届高三1月一模，理）14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b +≥--的x 构成的区间的长度之和为 .14. 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）18．定义一种新运算：，已知函数,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若函数24()(1log f x x x =+⊗ 恰有两个零点，则的取值范围为 ………（ ）.()()g x f x k =-k ． ． ． ． )(A (]1,2)(B (1,2))(C (0,2))(D (0,1)18.理B ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）18．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数)(x f D D b a ⊆],[满足：①)(x f )(x f 在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函],[b a )(x f ],[b a ]2,2[b a ],[b a 数的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ）)(x f A ．函数（）存在“和谐区间”2)(x x f =0≥x B ．函数（）不存在“和谐区间”x e x f =)(R ∈x C ．函数）存在“和谐区间”14)(2+=x x x f (0≥x D ．函数（，）不存在“和谐区间”⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f 0>a 1≠a 18．D （长宁区2014届高三1月一模，理）18、函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示的图形可2x y =[,]a b [1,16]a ()b g a =以是 （）A ．B ．C ．D ．18、B （普陀区2014届高三1月一模，理）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成()0,+∞()f x ()0,x ∈+∞()()f kx kf x =2k ≥*k N ∈立，则称为阶缩放函数.()f x k （1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；()f x (]1,2x ∈()121log f x x=+(f （2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，()f x (]1,2x ∈()f x =在上无零点；()y f x x =-()1,+∞（3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在()f x k (]1,x k ∈()f x [)0,1()f x （）上的取值范围.(10,n k +⎤⎦n N ∈23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.解：（1）由得，………………2分]2,1(2∈212log 1)2(21=+=f 由题中条件得……………………4分1212)2(2)22(=⨯==f f （2）当（）时，，依题意可得：]2,2(1+∈i i x i N ∈(]1,22i x ∈分()222222222i i x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 方程或，与均不属于……8分0)(=-x x f ⇔x =⇔0x =2i x =0i 2]2,2(1+i i 当（）时，方程无实数解。
2014高三数学一模试卷含有答案
2014高三数学质量调研卷一.填空题1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d l im . 6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种. 13. 若函数2cos 1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .第10题14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++b a b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA n ==== ； ②||i 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；④向量及i OA 在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.第18题第13题三．解答题19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分） 已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；高三数学质量调研卷 评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）； 7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11. 14--n n （*N n ∈）； 13.150；14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22=（1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||min =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. 解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编：函数
上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编函数2014.01.23（浦东新区2014届高三1月一模，理）6.已知函数11()24xx f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=___________.（ 6.2log 3（杨浦区2014届高三1月一模，理）6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f ．6. 1 ；（（嘉定区2014届高三1月一模，理）1．函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．1．),2(∞+（徐汇区2014届高三1月一模，理）7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点.长宁区2014届高三1月一模，理）1、设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f 1、3-（浦东新区2014届高三1月一模，理）17.已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132117. D（普陀区2014届高三1月一模，理）6. 函数)1(l o g )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.6. =-)(1x f)0(21≤+x x（不标明定义域不给分）；（嘉定区2014届高三1月一模，理）13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 13．47（嘉定区2014届高三1月一模，理）3．已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(， 则)1(1-f的值是___________．3．2（杨浦区2014届高三1月一模，理）8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 8. 2；（浦东新区2014届高三1月一模，理）14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =14.6（长宁区2014届高三1月一模，理）3、已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m =3、1-（普陀区2014届高三1月一模，理）14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 14.2<a ；（徐汇区2014届高三1月一模，理）14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 14. 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x=+⊗，若函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．18.理B ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）18．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间” B ．函数x e x f =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”18．D（长宁区2014届高三1月一模，理）18、函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，方程()b g a =表示的图形可 以是 （ ）A ．B ．C ．D ． 18、B（普陀区2014届高三1月一模，理）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =求证：函数()y f x x=-在()1,+∞上无零点；（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.解：（1）由]2,1(2∈得，212log 1)2(21=+=f ………………2分 由题中条件得1212)2(2)22(=⨯==f f ……………………4分 （2）当]2,2(1+∈i i x （i N ∈）时，(]1,22ix∈，依题意可得：()222222222i ix x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分方程0)(=-x x f ⇔x =⇔0x =或2i x =，0与i 2均不属于]2,2(1+i i ……8分当(12,2i i x +⎤∈⎦（i N ∈）时，方程()0f x x -=无实数解。
【数学】上海市静安区市西中学2014届高三模拟考试(文).docx
上海市市西中学高三年级高考模拟考数学（文科）试卷2014.5一、填空题（本题满分56 分）本大题共有 14 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。
m 3 7的二元线性方程组的解为x 2，则=_________．1. 若增广矩阵为y mn5 n 812.将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍 (纵坐标不变 )，所得图象的函数解析式是__________3.已知 a, b R ，且2 ai，b i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x 2px q0的两个根，那么p q 的值为．4.已知在ABC中，0点 B 、的坐标分别为(4, 2)、(2,8)，向量d(3,2), BAC 90 ,C且 d 与AC边平行，则ABC 的边AB所在直线的点法向式方程是若 x、y 满足x y0y) 的最大值为________5.x 2 y则目标函数 C log 1 ( x 2,21n 6.x 展开式中奇数项各项的二项式系数和为64，则展开式中的有理项是若3 x_______7.书架上某一层上原来有 6 本不同的书排成一排，现在要再插入 3 本不同的书，且恰有2本相邻的不同插法有_________种8.已知等差数列，的前 n 项和分别为，，若对于任意的自然数，都有则=9. 若正数，满足，则的最小值是___________________10.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且. 若的面积为9，则=____11.用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最大值为___________.12.已知正三棱—, 点都在半径的球面上 , 若两两互相垂直 , 球心到截面的距离 ___________13.已知函数 f ( x) log 1(x1a上减，数 a的取范是____ ) 在 1,2x14.已知数列 a n的通公式是a n n 212n32 ,其前n和是 S n,任意的n m（其中m, n N*）， S n S m的最大是____二.（本分 20 分）本大共有 4，每都出四个，其中有且只有一个是正确的，必把答上相序内的正确代号涂黑，得 5 分，否一律得零分。
上海市静安区高三数学上学期期末考试试题(上海静安一模) 理 沪教版
静安区2013学年高三年级第一学期期末数学理试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2014.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合，，则 . 2．（理）已知，，则的值是 .3．当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是 .4．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种. （结果用数值表示）6．（理）不等式的解集是 .7．若（其中、为有理数），则 .8．（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是 .9．（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为 .10．设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .11．（理）已知，且，则的值用表示为 .12．（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .13．（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为 .14．（理）已知不等式的解集为，则，且的值为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（理）“”是“直线与直线互相垂直”的( )A．充要条件；B．充分不必要条件；C．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.16．已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③； B．②； C．②③ D．①②③17．已知函数的值域是，则实数的取值范围是( )A．； B．； C．； D．.18．（理）已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( )A．或； B．0；C．0或； D．0或.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦 矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.21．（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数（其中且），是的反函数. （1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.2013学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准1．； 2．（理）； 3．4．； 5．（理）；6．（理）；7．169； 8．（理）； 9．（理）12；10．或. 11．（理）；12．（理）；13．（理）；14．（理）4；15．（理）B ； 16．A． 17． C 18．D19解：(1) 扇形半径，………………………2分扇形面积等于………………………5分弧田面积=（m2）………………………7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦⨯矢+矢2）=.………………………10分平方米………………………12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.20（理）（1）解法1：-==………………3分因为、是不全为零的实数，所以，即>。
2014年静安区一模 数学试卷
上海市数学散装同步试卷（静安区第一学期期末抽查考）学校___________ 班级_________ 学号__________ 姓名__________ 成绩_________一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}01),(=-+=y x y x A ，{}1),(2-==x y y x B ，则=B A . 2．（理）已知1312cos -=α ，),2(ππα∈，则)4tan(απ+的值是 . （文）函数612+--=x x y 的定义域是 .3．当0>x 时，函数xa y )8(-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是 .4．关于未知数x 的实系数一元二次方程02=+-c bx x 的一个根是i 31+（其中i 为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种. （结果用数值表示）（文）方程)9(log 1)1(log )1(log 333++=++-x x x 的解为 . 6．（理）不等式123-<-x x 的解集是 . （文）不等式0122>-+x x 的解集为 . 7．若2)21(6b a +=+（其中a 、b 为有理数），则=+b a .8．（理）已知方程12cos 2s in =+θθ，则当),(ππθ-∈时，用列举法表示方程的解的集合是 .（文）已知向量)1,1(=a ，),2(x b =.若向量b a +与b a 42+-平行，则实数x 的值是 .9．（理）如图，平面内有三个向量、OB 、OC ，其中与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝2，|OC |＝34，若＝λOA +μ（λ、μ∈R ），则λ+μ的值为 .（文）排一张4个独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是 .（结果用最简分数表示）10．设某抛物线mx y =2的准线与直线1=x 之间的距离为3，则该抛物线的方程为 . 11．（理）已知a x =-)4cos(π，且40π<<x ，则)4cos(2cos x x +π的值用a 表示为 .（文）椭圆C 的焦点在x 轴上，焦距为2，直线01:=--y x l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是左焦点且B F A F 11⊥.则椭圆C 的标准方程是 .12．（理）已知椭圆142:22=+y x C ，过椭圆C 上一点)2,1(P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ，分别交椭圆C 于A 、B 两点.则直线AB 的斜率为 .（文）已知等差数列{}n a （*N n ∈）的公差为3，从{}n a 中取出部分项（不改变顺序） ,,,1041a a a 组成等比数列，则该等比数列的公比为 .13．（理）若圆6)()(:22=-+-b y a x M 与圆5)1()1(:22=+++y x N 的两个交点始终为圆5)1()1(:22=+++y x N 的直径两个端点，则动点),(b a M 的轨迹方程为 .（文）若0>x ，0>y ，且28-=x xy ，则y x +的最小值为 . 14．（理）已知不等式b x x a ≤+-≤43432的解集为],[b a ，则=b ，且b a +的值为.第9题（文）设与圆1)1()1(22=-+-y x 相切的直线l 经过两点A （0,a ）、B （b ,0），其中2>a ，2>b ，O 为坐标原点.则△AOB 面积的最小值为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．（理）“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直”的 ( )A ．充要条件；B ．充分不必要条件；C ．必要不充分条件；D ．既不充分也不必要条件.（文）设R b a ∈,，i 是虚数单位，则“0=ab ”是“复数iba +为纯虚数”的 ( ) A ．充要条件； B ．充分不必要条件； C ．必要不充分条件； D ．既不充分也不必要条件.16．已知命题α：如果3<x ，那么5<x ；命题β：如果3≥x ，那么5≥x ；命题γ：如果5≥x ，那么3≥x .关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( )① 命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题. ② 命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题. ③ 命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题. A ．①③； B ．②； C ．②③ D ．①②③ 17．已知函数()[]24,5f x x xx m =-+∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是( )A ．)1,(--∞；B ．]2,1(-；C ．]2,1[-；D ．)5,2[.18．（理）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的以2为周期的偶函数，当10≤≤x 时，2)(x x f =.若直线a x y +=与函数)(x f y =的图像在]2,0[内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．41-或21-； B ．0；C ．0或21-； D ．0或41-. （文）已知三个正实数c b a ,,，则下列三个数b a 12+，cb 1+，a c 21+ ( )A ．都大于2；B ．都小于2；C ．至少有一个小于2；D ．至少有一个不小于2.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=21（弦⨯矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222y x +与xy x +2的大小；（2）设c b a ,,为正数，且1222=++c b a ，求证：3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a .（文）求证： （1）βαβαβαtan tan cos cos )sin(-=-；（2）020000000001sin 1cos 89cos 88cos 13cos 2cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1=++++ .21．（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线222a y x =-（其中0>a ）.（1）若定点)0,4(A 到双曲线上的点的最近距离为5，求a 的值；（2）若过双曲线的左焦点1F ，作倾斜角为α的直线l 交双曲线于M 、N 两点，其中)43,4(ππα∈，2F 是双曲线的右焦点.求△MN F 2的面积S .（文）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.已知双曲线222=-y x .（1）若直线l 的斜率为2，直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为P ，求点P 的坐标),(y x 满足的方程（不要求写出变量的取值范围）；（2）过双曲线的左焦点1F ，作倾斜角为α的直线m 交双曲线于M 、N 两点，其中)43,4(ππα∈，2F 是双曲线的右焦点.求△MN F 2的面积S 关于倾斜角α的表达式.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S （*N n ∈），且点)2,)(,(*1≥∈-n N n S S n n 在直线033)32(=+-+t ty x t 上（t 为与n 无关的正实数）． （1）求证：数列}{n a （*N n ∈）为等比数列；（2）记数列}{n a 的公比为)(t f ，数列}{n b 满足)2,(1,1*11≥∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-n N n b f b b n n ，设122212+--=n n n n n b b b b c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ；（3）（理）若（1）中无穷等比数列}{n a （*N n ∈）的各项和存在，记 ++++=n a a a t S 21)(，求函数)(t S 的值域.（3）（文）若（2）中数列}{n c 的前n 项和n T 当*N n ∈时，不等式a T n ≤恒成立，求实数a 的取值范围.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数11log )(+-=x x x f a （其中0>a 且1≠a ），)(x g 是)(x f 的反函数. （1）已知关于x 的方程)()7)(1(log x f x x ma =-+在区间]6,2[上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当10<<a 时，讨论函数)(x f 的奇偶性和增减性；（3）设pa +=11，其中1≥p .记)(n g b n =，数列{}n b 的前n 项的和为n T （*N n ∈）， 求证：4+<<n T n n .（文）已知函数11log )(--=x mxx f a 是奇函数（其中1>a ）. （1）求实数m 的值；（2）讨论函数)(x f 的增减性；（3）当)22,(-∈a n x 时，)(x f 的值域是),1(+∞，求n 与a 的值.。
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静安区2013学年高三年级第一学期期末数学理试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2014.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合，，则 .2．（理）已知，，则的值是 .3．当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是 .4．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种. （结果用数值表示）6．（理）不等式的解集是 .7．若（其中、为有理数），则 .8．（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是 . 9．（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为 . 10．设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .11．（理）已知，且，则的值用表示为 .12．（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .13．（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为 .14．（理）已知不等式的解集为，则，且的值为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（理）“”是“直线与直线互相垂直”的( )A．充要条件；B．充分不必要条件； C．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.16．已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( )①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③； B．②； C．②③ D．①②③17．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( ) A．； B．； C．； D．.18．（理）已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A．或； B．0；C．0或； D．0或.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦 矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.21．（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.2013学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准1．； 2．（理）； 3．4．； 5．（理）；6．（理）；7．169； 8．（理）； 9．（理）12；10．或. 11．（理）；12．（理）；13．（理）；14．（理）4；15．（理）B ； 16．A． 17． C 18．D19解：(1) 扇形半径，………………………2分扇形面积等于………………………5分弧田面积=（m2）………………………7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦⨯矢+矢2）=.………………………10分平方米………………………12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.20（理）（1）解法1：-==………………3分因为、是不全为零的实数，所以，即>。
………………………6分解法2：当时，；………………………2分当时，作差：；又因为、是不全为零的实数，所以当时，>。
综上，>。
………………………6分（2）证明：当时，取得等号3。
………………………7分作差比较：>0所以，………………………14分（文）证明：（1）………………………3分………………………6分（2）由（1）得（）……………………8分可得………10分………………………12分即. ………………………14分21（理）（1）设点在双曲线上，由题意得：。
由双曲线的性质，得。
……………1分（i）若，则当时，有最小值。
最小值，所以。
……………3分（ii）若，则当时，有最小值，此时，解得。
……………6分（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.………………………7分直线与轴不垂直时，直线方程为，………………………8分设，解法1：将代入双曲线方程，整理得：，即………………………10分所以，………………………11分=.……………14分解法2：将代入双曲线方程，整理得：，………………………10分，，………………………11分点到直线距离，△的面积=.……………14分21文：（1）解法1：设直线方程为，代入双曲线方程得：，…2分由得.设、两点坐标分别为、，则有；又由韦达定理知：，…4分所以，即得点的坐标所满足的方程.…………5分注：或，点的轨迹为两条不包括端点的射线.解法2：设、两点坐标分别为、，则有，，两式相减得：（*）.……2分又因为直线的斜率为2，所以，再由线段中点的坐标，得.……4分代入（*）式即得点的坐标所满足的方程.………………5分（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.………………………6分直线与轴不垂直时，直线方程为，………………………7分设，解法1：将代入双曲线，整理得：，即………………………9分所以，………………………10分=.………………………13分所以，.………………………14分解法2：参见理科解法2。
22（1）由已知，有，当时，；………………………2分当时，有，两式相减，得，即，综上，，故数列是公比为的等比数列；…………4分（2）由（1）知，，则，于是数列是公差的等差数列，即，…………………… 7分则=……………………10分（3）（理）由解得：。
………………………12分………………………14分，当时，，函数的值域为。
………………………16分（3）（文）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则．………………………14分………………………16分23（理）（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。
所以的取值范围为。
……………………… 4分（2）的定义域为，………………………5分定义域关于原点对称，又，，所以函数为奇函数。
………………………6分下面讨论在上函数的增减性.任取、，设，令，则，，所以因为，，，所以.………………………7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.………………………8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.…………………… 9分（3）；…………………… 10分因为，，所以，。
…… 11分设，时，则，……… 12分且，……… 13分由二项式定理，…………………… 14分所以，从而。
…………………… 18分23（文）：（1）……………………… 4分（2）由（1），定义域为.………………………5分讨论在上函数的单调性.任取、，设，令，则，，所以因为，，，所以，，所以.………………………7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是增函数.………………………8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是增函数.…………………… 9分（3）当时，要使的值域是，则，所以，即，………………………11分而，上式化为，又，所以当时，；当时，；………………………13分因而，欲使的值域是，必须，所以对上述不等式，当且仅当时成立，所以解得，. ……………………… 18分。