2011-达朗贝尔方程的解
达朗贝尔定理
例 题
3 mg 1 sin 2 ↑ () 4
由此可以看出，运用达朗贝尔原理，可用平衡 方程的形式建立动力学方程式，为了求解角速度， 仍需进行积分计算。 也可先用动能定理解出，再用达朗贝尔原理 解出FOx、FOy。这种做法具有一定的普遍意义。
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aC OC
例 题
1 l 6
1 n aC OC 2 l 2 6
1 2 ml 9
I O I C mOC2
虚加于转轴O处的惯性力主矢、主矩，大小为
FIτ 1 ml 6 FIn 1 ml 2 6 M IO 1 2 ml 9
它们与重力mg，轴承约束力FOx、FOy在形式上组成一平 衡力系。
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刚体惯性力系的简化 由达朗贝尔原理
1 mO F 0, M IO mg l cos 0 6 Fx 0, FOx FIτ sin FIn cos 0
Fy 0, FOy mg FIτ cos FIn sin 0
例 题
1 FI lm 2 2
2 其作用点在距A点 AB处 3
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达朗贝尔原理
由达朗贝尔原理
Fx 0
Fy 0
m A (F ) 0
例 题
FAx FI FT 0
FAy mg 0
FT l mg l 2 FI l 0 2 3
定轴转动刚体的轴承动约束力
例题
例 一电动机水平放置，转子质量m＝300 kg，对其转轴z的 回转半径＝0.2 m。质心偏离转轴e＝2 mm。已知该电动机 在起动过程中的起动力矩M＝150 kN· m，当转子转至图示的 瞬时位置，转速n＝2400r/min。试求此瞬时转子的角加速度 和轴承的动约束力。不计轴承的摩擦。
达朗贝尔公式教学课件
应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，物体 所受合力等于其质量与加 速度的乘积。
引入外力
考虑物体受到的外力，如 重力、弹性力等，将其表 示为向心力的形式。
推导公式
结合向心力公式和牛顿第 二定律，推导出达朗贝尔 公式的形式。
推导结果总结
பைடு நூலகம்
公式形式
总结达朗贝尔公式的形式，并对其进 行解释和说明。
应用范围
与其他公式的联系
要点二
探讨达朗贝尔公式的积分形式
研究达朗贝尔公式的积分形式，并探讨其在解决实际问题 中的应用。
在其他领域的应用探索
在弹性力学中的应用
探讨达朗贝尔公式在弹性力学中的运 用，分析弹性体在力作用下的运动规 律。
在流体动力学中的应用
研究达朗贝尔公式在流体动力学中的 运用，分析流体在力作用下的运动规律。
06
02
达朗贝尔公式的推导过程
推导前的准备
01
02
03
回顾相关知识
回顾牛顿第二定律、向心 力公式、角速度等基础知 识，为推导达朗贝尔公式 做准备。
引入问题
提出达朗贝尔公式要解决 的问题，即物体在有外力 作用下的运动规律。
建立模型
建立简化的物理模型，如 单摆或圆周运动模型，以 便于推导公式的应用。
推导过程详解
进阶习题2
将达朗贝尔公式应用于三维波 动方程，并求解初值问题。
进阶习题3
利用达朗贝尔公式求解波动方 程的初值问题，并考虑边界条
件的影响。
进阶习题4
利用达朗贝尔公式求解波动方 程的初值问题，并考虑非线性
效应。
思考 题
思考题1
如何理解达朗贝尔公式的物理 意义？
思考题2
第三章达朗贝尔公式
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
达朗贝尔原理公式
达朗贝尔原理公式
达朗贝尔原理是一种重要的物理原理，在科学界广受欢迎。
它有助于构建宏观力学模型，准确地计算某一系统的动力学特性。
这一原理也成为动力学最重要的理论基础。
达朗贝尔原理的主要思想是，一个力学系统的状态可以由它的瞬时分量给出，它们在瞬时变量的维度方向上可以感知系统的态势，形成了一个有序的力学系统。
换句话说，达朗贝尔原理的核心表达的就是动力学系统的演变是从宏观上从瞬时分量推导出来的。
达朗贝尔原理公式可以写成：∆X=∫TdT，其中，∆X表示力学系统物理量的变化量，T表示瞬时变量，dT表示瞬时变量的增量，这些瞬时变量具有时间依赖性，它们将随着时间不断变化，从而决定力学系统状态的变化。
由于达朗贝尔原理所提出的思想十分清晰，使得它在力学研究中发挥着重要的作用，比如用它来分析运势的变化和传递的过程，也可以用它来描述任意系统的动力学特性，以及研究发生。
拉格朗日-达朗贝尔方法-概念解析以及定义
拉格朗日-达朗贝尔方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉格朗日-达朗贝尔方法作为一种数学分析工具，被广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域。
它是以数学家约瑟夫·拉格朗日和皮埃尔-路易·达朗贝尔的名字命名的，两位数学大师通过研究力学问题而发展出了这一方法。
拉格朗日-达朗贝尔方法是一种基于最小作用原理的表达方式，它通过定义一个被称为拉格朗日量的函数，通过对该函数进行极值求解来获得系统的运动方程。
在这个方法中，系统的状态可以由一组广义坐标来描述，这些广义坐标与系统的自由度一一对应。
同时，拉格朗日-达朗贝尔方法还考虑了约束条件对系统运动的影响，通过施加拉格朗日乘子来处理这些约束。
通过这种数学工具，我们可以更加简洁地描述物体在复杂运动中的行为。
拉格朗日-达朗贝尔方法的优点之一是能够将复杂的物理问题转化为数学问题，从而简化求解过程并提供洞察力。
通过引入广义坐标和拉格朗日乘子，我们可以降低问题的复杂性，并从中提取出关键的信息。
此外，拉格朗日-达朗贝尔方法具有坐标无关性，不依赖于特定的坐标系，因此可以应用于各种不同的问题和情境中。
然而，拉格朗日-达朗贝尔方法也存在一些局限性。
首先，对于涉及非线性系统或系统的高阶导数的问题，其求解可能会变得相对复杂。
其次，在实际应用中，选择合适的广义坐标和拉格朗日乘子可能是一项具有挑战性的任务。
此外，由于该方法的推导基于最小作用原理，对于不满足最小作用原理的系统，拉格朗日-达朗贝尔方法可能不适用。
总之，拉格朗日-达朗贝尔方法作为一种重要的数学工具，在物理学和工程学领域发挥着重要的作用。
通过它，我们能够更加深入地理解自然界和工程系统中的运动行为，并从中得出有价值的结论。
虽然该方法存在一些限制，但仍然是一种强大而有用的工具，对于解决各种实际问题具有广阔的应用前景。
1.2文章结构在文章结构部分，我们将对拉格朗日-达朗贝尔方法进行详细的介绍和探讨。
文章主要分为3个部分：引言、正文和结论。
推迟势
(4)
r
c
c
向外发射的球面波
向内收敛的球面波
f 和g的具体形式由物理条件决定。 研究辐射问题时,电磁场是由原点处的电荷发出的,它必然 是向外发射的波。因此在辐射问题中应取g=0,而函数 f 的 形式应由原点处的电荷变化形式决定。
4
2. 提出试探解
在静电情形,电荷Q激发的电势 Q
所以我们猜想方程(1)的解为：
V
r
0 4
V
1 r
J ( x, t)t'Const
dV
0 4
V
1 r
J ( x, t)t'Const
dV
另外，
t
1
4 0
V
1 r
t
dV
1
4 0
V
1 r
t
t t
dV
1 1 dV
A( x, t )
c
0
4
V
J (x,t)dV r
0 4
V
(1 r
J
J
1)dV r
J ( x,t) 1 J r 1 J r
c t
c t
J
(
x,
t)
J
(
x,
t)t
'Const.
§5.2 推迟势
推迟势就是达朗贝尔方程的解。写出达朗贝尔方程：
2 A
1 c2
2A t 2
0J
2
1 c2
达朗贝尔公式
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
1.基本概念 a. 二阶偏微分方程: 若 u u ( x ,, x
1
a u
j 1 i 1 ij
n
n
xi x j
bi u xi cu f 0
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
16
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程是齐次的
2.叠加原理 当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作 几个部分的解的线性叠加.
3
7.4 达朗贝尔公式 定解问题
1.无限长的自由振动
满足达朗贝尔公式
2.端点的反射
半无限长弦的自由振动 延拓,利用达朗贝尔公式
半无限长杆的自由振动
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
1 [ ( x at ) ( x at )] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a x at u 1 [ ( x at) (at x)] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a at x
达朗贝尔原理
F
FAy
A
FAx
F
r
M IA
FIA
r
FIC
r 2
mgr
cos 300
0
C
FIC
3
1
3
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg
(1)
mg 30° B
取AB杆: mA(F ) 0 :
3
1
3
FAy
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg (1)
F
A
FAx
mA(F ) 0 : mgrcos 300 FIC r sin 300 0
FI 1
A
1
L
M I 1 C1
mg
FI 2
L
B MI2
. C2 mg
2
D
P
解: 双自由度, 初瞬时问题求加速度.
P力作用在D处时, BD杆平面运动, 圆盘定轴转动, 惯性力系简化如图示.
aC1
L FI 1 m aC1 m1 2
MI1
J A1
3 2
m(
L 2
)2 1
3 8
m L21
L
aC2
FI 2 m aC2 m( 1L 2 2 )
C FIC
mg 30° B
3
1
mg 2 maA 2 0
aA 3 g ( 2 )
α
M IA
(2) 代入(1)
F
3 2 mAaA
1 2
ma A
3 mg
2
F
A
FIA
aA
aC C
FIC
mAg mg 30° B
得:
F
33 2
mAg
达朗贝尔方程;
达朗贝尔方程；
达朗贝尔方程（Darwin-Bell Equation）在物理学中被称为一个经典的方程，它能够用最简单而清晰易懂的方式来阐述热力学中气体静稳态的分布特性——它使用简洁的数学公式描述了温度T、压力P、密度ρ及特定热容比γ的关系。
达朗贝尔方程的形式如下：
“P * V * γ = k * T，其中P为压力，V为体积，γ为特定热容比，k为常数，T为温度”
达朗贝尔方程的一个重要的特性是，压力与温度成正比，即当压力上升时，温度也将上升；另一方面，当压力下降时，温度也会下降。
这被称为压力—温度守恒定律。
达朗贝尔方程
可以用来推导这一定律，从而对气体进行物理性质分析。
此外，达朗贝尔方程也被广泛用于空气动力学模型、气象学研究中，可以用来研究一定高
度层内气体正常活动时其压力守恒差异以及压力—温度守恒。
该方程也可以用来计算大气涡流的能量转换、气体的动能等研究。
达朗贝尔方程的发现标志着热力学史上的一个转折，它所表达的规律具有非常重要的理论
意义，为热力学和气象研究打下了良好的基础，它使这些研究变得更加容易更具可操作性。
因此，达朗贝尔方程也被誉为20世纪热力学模型的经典算式之一。
达朗贝尔方程及其解
决于空间距离，也与源的变化快慢有关。因此，为了向空间辐射电磁能
量，必须使用变化很快的高频电流激励发射天线，而通常 50Hz 交流电不
可能有效地辐射电磁能量。
2024/2/2
13
特点，即场量仅为变量 r 的函数，与球坐标变量 及 无关。那么，在
除坐标原点以外整个空间，位函数满足的方程式为
2( ψm r 2
r
)
1 v2
2( ψm t 2
r
)
0
式中 v 1
0r
2024/2/2
6
上式为函数（ ψ mr）的齐次波动方程，其通解为
ψm
r
f1
t
r v
f
2
t
r v
由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍
2A t 2
ψm t
A t
ψm
ρ ε
利用矢量恒等式 A ， A上两式2 A又可写为
2
A
(
A
)
με
2A t 2
ψm t
μ
J
2ψm
t
(
A
)
ห้องสมุดไป่ตู้
ρ ε
2024/2/2
3
根据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场的散度及旋度共同给定后，
这个矢量场才被惟一地确定。已知规定了矢量场 A 的旋度，
，
2024/2/2
如能量真是通过
电荷在导线内传
输，常温下导体
中的电荷运动速 度约10-5m/s，电
荷由电源端到负
载端所需时间约
是场传播时间
（L/c）的亿万倍
11
由式 v 1 可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中，
第4节(达朗贝尔公式-定解问题).
则方程（1）变为：
2 ( )u 0
x at 即 x at
2u 0
(3)
u f ( )
对于这个方程，就很容易求解了！
先对 积分： 再对
(4)
其中f是任意函数！
积分得到通解：
u f ( )d f 2 ( ) f1 f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at) (5)
其中 f1 , f 2 是任意函数.
3
方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常微分方程
（2）函数 f1与 f 2 的确定
上述通解中的函数可以用定解条件确定。
状的确定
假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。
4
初始条件是： u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)( x ) 把初始条件代入通解得到：
1 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 1 x 2 2a 0 2 解方程得 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d 1 [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 2a x0 2
半波损失。
12
t8
t7 t6 t5 t4 t3 t2
u x x
x
x x x x x x
t1
开始反射
t=0 O
x
13
下面考察半无限长杆的自由振动，端点自由，描述如下：
utt a 2uxx 0, (0 x )
理论力学11—达朗贝尔原理2
静平衡与动平衡的概念
静平衡：
动平衡：转轴为中心惯性主轴时， 转动时不产生附加动反力。 动平衡的刚体，一定是静平衡的； 反过来，静平衡的刚体，不一定是动平 衡的。
[例8] 质量不计的转轴以角速度 匀速转动， 其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出 在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是 动平衡的？
z B
FB
由式 (1) 和 (2) 解得
b e FA (1 )P ab g
2
FIO
A
FA
O C
e
a e FB (1 )P ab g
2
aP
(b)
b
两轴承所受的力分别和 FA 、FB 的大小相等而 方向相反。
E 例10 均质杆的质量为m, 长为2l, A 一端放在光滑地面上, 并用两软 a C 绳支持 , 如图所示。求当 BD 绳 aB t 30o 切断的瞬时, B点的加速度、AE aCB B 绳的拉力及地面的约束力。 D aB 解: 以杆AB为研究对象，杆AB y FT 作平面运动。 以点 B为基点， A E 则点C 的加速度为
sin j r l r 4
2 2
MA
y FAy
C
B
x
cos j
l
2 l 2 r2 4
将已知数值代入以上三式，解之得
FAx mra
l FAy mg ma 2
1 1 2 M A W，B端与重G、半径为 r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力 偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定 l 端A的约束力。 解：先以轮和重物为研究对象 , A B 受力如图。假想地加上惯性力 M
M A (F ) 0
C
a
2011-达朗贝尔方程的解
4
工程电磁场
因此得
主讲人： 王泽忠
A J C
D t
根据矢量恒等式 a a 2 a ， 并将 D E 代入得到
A 2 A J C
再得到
E t
5
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
r r r f 1 t f 2 t v v
16
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
f 1 和 f 2 是存在二阶偏导数的任意函数。
上式表明，自由空间的标量动态位由两部分组成。 第一部分：以 t r / v 或 r vt 为变量的函数； 第二部分：以 t r / v 或 r vt 为变量的函数。 对于 f 1 ，对应于 r 的某一确定值， 随着时间 t 的推移 r 逐渐变长， 表示从源点发出的波，具有入射波的性质。 对于 f 2 ，对应于 r 的某一确定值， 随着时间 t 的推移 r 逐渐变短
整理后得
6
工程电磁场
A t
2
主讲人： 王泽忠
表示动态位 A 和 与场源 J C 和 之间的关系。 3．洛仑兹规范和达朗贝尔方程 两个方程都比较复杂，而且 A 和 相互耦合， 求解比较困难，需要加以简化。 另一方面，定义式 B A 只确定了 A 的旋度，
17
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
表示有向源点方向传播的波。 这种与入射波反方向的波， 不是直接从远处传播过来的， 而是入射波在传播过程中遇到反射物 反射回来的反射波。 在无限大均匀媒质中，无需考虑反射波， 标量动态位可表示为
r f1 t r / v
18
工程电磁场
达朗贝尔定理
F2
y d
dFg
F1
x
D A2d 4 π
2 0
F 0 : x
F cos F 0 d g 2
2 2 D π D 2 2 2 F A sin sin 0 A Av 2 4 2 4 π
1 2 M J ml gO O 3
1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 F ma gR C 2 1 2 M J ml gO O 3
2 1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 ' F ma gR C
P
B
J ml 2 由于加速度提升重物 r 而对支座 A ， B 的附加压 a J ' 力等于附加动反力分别为： F B ml 1 l1 l 2 r a l1 l 2
B
例题 如图所示，匀质圆盘的半径为
r，质量为m，可绕水平轴O转动。突 然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴
A
l1
P
B
l2
解：以整体为研究对 象，受力如图所示， 根据动静法：
惯性力为： a M g J J r F g ma
M ( F ) 0
B
M
FA
g
。
F
B
A
a
Fg
mg
P
B
F ( l l2) F A 1 gl 2 mgl 2 Pl 3 M g 0
F 0 ,
y
F F mg P F 0 A B g
2011-达朗贝尔方程的解
2 A 2 对于静态场和恒定场，由于 2 0 、 2 0 t t
2019/2/10 华北电力大学电气与电子工程学院
10
达朗贝尔方程退化为泊松方程。
2 A J C
2
在无源的自由空间， 达朗贝尔方程简化为齐次波动方程。
2 1 A 2 A 2 0 2 v t
dr v。 r 对时间 t 求导得 dt 这表明位函数是以速度 v 沿 r 方向前进的波。
2019/2/10 华北电力大学电气与电子工程学院
21
对于式右边的第二项， 维持 f 2 t r / v 为确定值也意味着 在下一时刻在另一位置出现同一函数值。 其条件是 t r / v 为常数。 令 t r / v C ， r vt vC ，
2019/2/10
华北电力大学电气与电子工程学院
14
2 1 2 2 2 v t
由于点电荷 q t 产生的场具有球对称性， 在球坐标系中，可将上式简化为
1 2 1 2 r 2 2 2 r r r v t
方程两边同时乘以 r ，可得
华北电力大学电气与电子工程学院
j 0 A
达朗贝尔方程的相量形式为
2 J C 2 A A v2 2 2 2 v
上述各式中，
、J 、 、A 均为有效值相量。 、 、B E C
2019/2/10
华北电力大学电气与电子工程学院
11
2 1 2 2 2 0 v t
4．达朗贝尔方程的相量形式 对于正弦稳态电磁场，设角频率为ω ， 则动态位的相量形式表示为
A B
达朗贝尔方程的解
达朗贝尔方程的解
达朗贝尔方程是描述波在不同介质中传播的数学模型，它可以用来解决各种物理问题，如光线的折射、声波的传播等。
达朗贝尔方程的一般形式为：
$$frac{partial^2 u}{partial x^2} + k^2 n^2(x)u = 0$$ 其中，$u$是波函数，$x$是空间坐标，$k$是波数，$n(x)$是介质的折射率。
这个方程可以用分离变量法求解，得到如下解：
$$u(x) = Asin(kint_{0}^{x}n(x')dx' + phi)$$
其中，$A$和$phi$是常数，由边界条件确定。
这个解可以解释为，波函数$u(x)$是由一系列平面波叠加而成，每个平面波都具有相同的波矢$k$，但传播方向不同，通过介质的路径也不同。
这个解还可以简化为关于传播距离的形式：
$$u(x) = Asin(kDelta x + phi)$$
其中，$Delta x$是从起点到$x$的传播距离，也可以理解为光线在介质中的路径长度。
通过达朗贝尔方程的解，我们可以计算出光线的折射、反射、衍射等现象，也可以分析声波在介质中的传播规律。
这对于理解光学和声学的基本原理，以及应用于实际问题有着重要意义。
- 1 -。
达朗贝尔方程
达朗贝尔方程
达朗贝尔方程（Darboux equation）是一个重要的运动学方程，由法国数学家让·阿尔弗雷德·达朗贝尔在1878年提出。
它可以用来描述物体在多元情况下的运动，如自由落体、旋转运动等。
对于n维空间中的某一点P，描述其在t时刻的运动，达朗贝尔方程可以表达为：
P'(t)=A(t)P(t)
其中A(t)为n×n的时变矩阵，P'(t)和P(t)分别为关于时间t的一阶和零阶导数，即向量的时变速度和位置。
当A(t)为常数矩阵时，上式可化简为：
P'(t)=A*P(t)
解上式得出：
P(t)=exp(A*t)*P0
其中P0为初始时刻的位置向量，exp(A*t)为矩阵A的指数函数，表示其随时间t的变化。
达郎贝尔判别法
达郎贝尔判别法达郎贝尔判别法（Durand-Kerner method）是一种求解代数方程的数值方法。
它是由法国数学家让·达郎（Jean-Paul Durand）和巴黎天文台的工程师阿尔贝尔·贝尔（Gaston Kerner）于1969年共同提出的。
这一方法通过在复平面上求解方程的根来实现，特别适用于解决多项式方程的问题。
多项式方程是形如f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 的方程，其中n是多项式方程的次数，a_0, a_1, ..., a_n 是系数。
多项式方程的根是满足f(x) = 0的解。
达郎贝尔判别法通过使用多项式的系数和一个初始的复数集合，来逼近多项式方程的根。
达郎贝尔判别法的原理相对简单。
首先，假设多项式方程的次数为n，那么一共会有n个根。
为了使用达郎贝尔判别法，我们需要选择n个初始的复数作为我们的初始估计值。
这些初始值应当分布在复平面上，以便涵盖多项式方程的所有根。
通常可以选择以0为中心，以1为单位长度的圆上的点作为初始的估计值。
接下来，达郎贝尔判别法使用迭代的方式逼近多项式方程的根。
迭代的过程如下：对于每一个初始估计值，使用初始估计值代入多项式方程，计算出函数f(x)的值。
然后，根据初始估计值与其他初始估计值的组合，计算出相应的迭代公式。
这个迭代公式是基于多项式方程的形式推导出来的。
通过多次迭代计算，我们可以逐渐逼近多项式方程的根。
达郎贝尔判别法的优势在于它的收敛速度很快。
通常情况下，只需要进行几次迭代，就可以获得高度精确的根。
然而，达郎贝尔判别法并不适用于所有的多项式方程。
例如，当方程的根非常接近或者为复数时，该方法可能无法达到理想的精度。
此外，多项式方程的次数和初始估计值的选择也会影响到达郎贝尔判别法的收敛性。
尽管达郎贝尔判别法是一种有效的数值方法，但在实际问题中，我们还需要考虑到更多的因素。
例如，多项式方程可能存在重根，即多个根具有相同的值。
达朗贝尔方程的解
讨论在坐标原点处变化的点电荷 q t
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华北电力大学电气与电子工程学院
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
产生时变场达朗贝尔方程的解：
在无源的自由的空间（）， 0，
得齐次波动方程
2
1 v2
2 t 2
点电荷 q t 产生的场具有球对称性
在球坐标系中，可将上式简化为
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
3．分布场源情况下
达朗贝尔方程的解
如图，体积V 中
分布着密度为 t
的时变电荷，
体积元 dV 中的
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
电荷元 t dV 可以看作点电荷。
因此，以 R 表示源点到场点的距离，
则电荷元 t dV 产生的标量动态位为
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工程电磁场 r vt vC ，
主讲人： 王泽忠
r
对时间 t
求导得
dr dt
v
。
表明位函数以速度 v 沿 r 方向前进的波。
对于反射波，
令 t r / v C ，
r vt vC ，
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工程电磁场
R
/
v dV
V 是有传导电流 J C 分布的源区
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
对于 l 中线电流的情况，
A
x,
y, z, t
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，即
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工程电磁场
2．电磁场的波动性
主讲人： 王泽忠
对于入射波，随着 t 和 r 的变化, 维持 f 1 t r / v 为确定值意味着 在下一时刻在另一位置出现同一函数值。 其条件是 t r / v 为常数。 令 t r / v C ， r vt vC ，
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f 1 的具体形式可根据定解条件确定。
静电场是时变场的一个特例， 这时达朗贝尔方程退化为泊松方程。 根据点电荷的泊松方程的解
q r ， 4 r
得
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
r r
q 4
与通解比较，可得点电荷情况下达朗贝尔方程的解为
r q t v r 4 r q t v 4 r
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工程电磁场
A B
jA E
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洛仑兹规范的相量形式为
工程电磁场
j 0 A
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达朗贝尔方程的相量形式为
2 J 2 A A C 2 v
2 2 2 v
2
工程电磁场
在上式的推导过程中，
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求时间偏导数和求梯度，独立的运算，可以交换次序。 根据矢量恒等式 0 ， 由上式可以定义标量动态位 。 满足
A E ， 得 t
A E t
表明动态位与场矢量之间的关系。
3
工程电磁场
2．动态位的方程
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为了求得动态位与场源之间的关系， 需要将动态位代入电磁场的基本方程和辅助方程。 由 B H 和 B A ，在均匀媒质中，可得
1 1 H B A
由全电流定律
D H JC t
工程电磁场
5.4 动态位
1．动态位的定义
主讲人： 王泽忠
为了便于分析计算，在静电场和恒定电流场， 引入了标量电位 ；在恒定磁场， 引入了矢量磁位 A 和标量磁位 m 。 在时变电磁场中，引入适当的位函数也能简化计算。 时变场中的位函数既是空间坐标的函数， 也是时间的函数，故称为动态位。 根据矢量恒等式 a 0 ，
r 对时间 t 求导得
dr v 。 dt
这表明是以速度 v 沿 r 方向传递的波，即反射波。 波动特性表明，时变电磁场是空间传播的电磁波。
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
由上可知，电磁波是以有限速度传播的。 这个传播速度称为波速，用 v 表示。 波速决定于媒质的性质，其表达式为
1 1 c v r r 00 rr
由洛仑兹规范来确定 A 的散度，得
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工程电磁场
A 0 t
将洛仑兹规范代入，得到
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A A 2 J C t
2 2 2 2 2 t
令v
1
，可得
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工程电磁场
2 1 A 2 A 2 J C 2 v t 2 1 2 2 2 v t
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
因此，反射波到达某点所用的时间 比入射波到达某点所用的时间要长， 即反射波比入射波推迟得更多。 3．分布场源情况下达朗贝尔方程的解 如图，体积V 中分布着密度为 t 的时变电荷， 体积元 dV 中的电荷元 t dV 可以看作点电荷。 因此，以 R 表示源点到场点的距离， 则电荷元 t dV 产生时变场的标量动态位为
用类似的方法，参照恒定磁场中矢量磁位的表示式 可写出时变电磁场中矢量动态位的解
J C x , y , z , t R / v A x , y , z , t dV 4 V R
上式中, V 是有传导电流 J C 分布的源区。 对于 l 中线电流的情况，可以写出
引入相位常数后，方程式可写为
2 A J 2 A C
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工程电磁场
2 2
主讲人： 王泽忠
在自由空间，则有
2 A 0 2 A 2 0 2
积分函数变量中的推迟量 t R / v 应在动态位相量形式的表示式中反映出来。 由于
主讲人： 王泽忠
上两式是非齐次波动方程，称为达朗贝尔方程。 表明，矢量动态位 A 可单独由电流密度 J C 确定， 标量动态位 可单独由电荷密度 确定。
2 A 2 对于静态场和恒定场，由于 2 0 、 2 0 t t
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工程电磁场
2 A J C
dr v。 r 对时间 t 求导得 dt 这表明位函数是以速度 v 沿 r 方向前进的波。
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工程电磁场
对于式右边的第二项，
主讲人： 王泽忠
维持 f 2 t r / v 为确定值也意味着 在下一时刻在另一位置出现同一函数值。 其条件是 t r / v 为常数。 令 t r / v C ， r vt vC ，
式中： c
1 0 0
3 108 m / s 。
这里ｃ是真空中的光速。 电磁波在真空中的传播速度等于真空中的光速。
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工程电磁场
电磁波的传播速度等于光速。 在空气中 r 1 ,
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实验已经证明光就是一种电磁波，
r 1，
电磁波在空气中的传播速度约等于真空中的光速。 电磁波不是以无限大的速度传播的， 电磁扰动的传递也不是瞬间完成的。 电磁波以有限速度传播， 说明场点的动态位函数较源点的作用时刻有所推迟。 在 t 时刻，场中某点的动态位
2
主讲人： 王泽忠
达朗贝尔方程退化为泊松方程。
在无源的自由空间， 达朗贝尔方程简化为齐次波动方程。
2 1 A 2 A 2 0 2 v t
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工程电磁场
2 1 2 2 2 0 v t
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4．达朗贝尔方程的相量形式 对于正弦稳态电磁场，设角频率为ω ， 则动态位的相量形式表示为
4
工程电磁场
因此得
主讲人： 王泽忠
A J C
D t
2 根据矢量恒等式 a a a ，
并将 D E 代入得到
A 2 A J C
再得到
E t
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工程电磁场
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2 A 2 A A J C 2 t t
得
2 A 2 A 2 A J C t t
又，代入 D ，得
A D E t
A 的散度尚未确定。
这样就不可避免地会出现 A 的多值性问题。
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工程电磁场
在恒定磁场中
主讲人： 王泽忠
要解决 A 的多值性问题，必须给定 A 的散度。
由库仑规范 A 0 给定 A 的散度。 在时变场中也可以使用库仑规范， 但这样得到的动态位方程仍较复杂。 这里引入洛仑兹规范
A t
整理后得
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工程电磁场
A t
2
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表示动态位 A 和 与场源 J C 和 之间的关系。 3．洛仑兹规范和达朗贝尔方程 两个方程都比较复杂，而且 A 和 相互耦合， 求解比较困难，需要加以简化。 另一方面，定义式 B A 只确定了 A 的旋度，
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
表示有向源点方向传播的波。 这种与入射波反方向的波， 不是直接从远处传播过来的， 而是入射波在传播过程中遇到反射物 反射回来的反射波。 在无限大均匀媒质中，无需考虑反射波， 标量动态位可表示为
r f1 t r / v
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工程电磁场
f 1 t r / v r
上述各式中，
、J 、 、A 均为有效值相量。 、 、B E C
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工程电磁场
5.5 达朗贝尔方程的解
主讲人： 王泽忠
1．点电荷情况下达朗贝尔方程的解 达朗贝尔方程是非齐次波动方程， 它的解应当同时具有波的特征和泊松方程解的特征。 下面以标量动态位 为例， 讨论在坐标原点处变化的点电荷 q t 产生时变场达朗贝尔方程的解： 在无源的自由的空间， 0 ，得齐次波动方程
r r r f 1 t f 2 t v v
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
f 1 和 f 2 是存在二阶偏导数的任意函数。
上式表明，自由空间的标量动态位由两部分组成。 第一部分：以 t r / v 或 r vt 为变量的函数； 第二部分：以 t r / v 或 r vt 为变量的函数。 对于 f 1 ，对应于 r 的某一确定值， 随着时间 t 的推移 r 逐渐变长， 表示从源点发出的波，具有入射波的性质。 对于 f 2 ，对应于 r 的某一确定值， 随着时间 t 的推移 r 逐渐变短
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主讲人： 王泽忠
R t v d x, y, z，t dV 4R
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工程电磁场
主讲人： 王பைடு நூலகம்忠
体积 V 中分布电荷所产生的标量动态位为
x , y , z , t R / v 1 x , y , z , t dV 4 V R
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
不决定于场源该时刻的激励值，而决定于 场源在此之前的 t t r / v 时刻的激励值。 场源在时刻 t 的作用要推迟一定时间才能到达场点。 因此，动态位也称为推迟位。 第二项所对应的反射波，似乎具有超前的性质。 但这只是一个假象。反射波是 由入射波在前进过程中遇到 媒质不均匀或分界面发生反射而形成的， 它沿 r 的方向传播。