椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述

信息与计算科学

椭圆型偏微分方程的求解及其应用

一、前言部分

微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。

有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。

许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。例如：

()(),,u u a x y f x y x y

??+=?? （1.1.1）拉普拉斯方程 22232220u u u u x y z

????=++=??? （1.1.2）

热传导方程 ()222

,,u u a f x t u t x ??=+??

（1.1.3）

波动方程 ()2222,,u a u f t x y t

?=?+? （1.1.4）

等都是偏微分方程。其中，u 为未知数，a 为常数，(),a x y 、f 为已知函数。

偏微分方程的一般形式为

()

112,,,,,,,,0n n x x F x x x u u u ?????????= （1.1.5）

其中：F 为已知函数；12,,,n x x x ???为自变量；u 是关于这些自变量的未知数。应注意F 中必须含有未知函数u 的偏导数。

偏导数方程（1.1.5）中所含有偏导数的最高阶数为该偏微分方程的阶。如（1.1.1）是一阶偏微分方程，方程（1.1.2）~（1.1.4）是二阶偏微分方程。

如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数都是线性的，则称之为线性偏微分方程，否则称为非线性方程。如（1.1.1）、（1.1.2）、（1.1.4）都是线性方程。

我们将主要研究二阶线性偏微分方程，因为它们在物理、力学和其它自然科学以及工程技术中经常出现，常称为数学物理方程。n 个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为

,,11i j i n n

i j x x i x i j i a u u b u cu f ==++=∑∑ （1.1.6）不失一般性，可以假设ij ji a a =，且ij a ，i b ，c 及f 是空间n R 中某区域Ω内的函数，如果

方程（1.1.6）中的自由项0f ≡，则称方程为齐次方程，否则称为非齐次方程。

设方程（1.1.5）的阶数为m ，函数()12,,,n u u x x x =???在区域n

R Ω?中具有m 阶连续偏导数，且代入方程（1.1.5）后成为恒等式，则称u 为区域Ω内方程(1.1.5)的一个解。容易验证函数()2

u x y =+，()sin v x y =-都是方程 222220u u u x y

???=+=?? （1.1.7）的一个解。称方程（1.1.7）为二维拉普拉斯（Laplace ）方程或二维调和方程。由复变函数理论知，任何一个解析函数()f z 的实部和虚部都是方程（1.1.7）的解。

考察两个自变量的二阶线性偏微分方程

111222122xx xy yy x y a u a u a u b u b u cu f +++++=，（1.1.8）其中ij a ，i b ，c ，f 都是x ，y 的连续可微实值函数，并且11a ，12a ，22a 不同时为零。

在你一点00(,)x y ∈Ω的一个领域内考察自变量变换

(,)x y ξξ=，(,)x y ηη=. （1.1.9）假设它的Jacobi 行列式

(,)(,)0(,)x y x x x y D J D x y ξξξηηη==≠，由隐函数存在定理知该变换是可逆的，即存在逆变换(,)x x ξη=，(,)y y ξη=。直接计算，有x x x u u u ξηξη=+，y y y u u u ξηξη=+，…将其代入方程(1.1.8)，得

*******111222122a u a u a u b u b u c f

ξξξηηηξη+++++=，

（1.2.0）

其中*c c =，*f f =，*ij a ，*i b 可以分别用ij a ，i b 以及ξ和η的各阶偏导数表示。特别地 *22111112222x y x y a a a a ξξξξ=++，*22221112222x y x y a a a a ηηηη=++.

（1.2.1）

希望选取一个变换（1.1.9），使方程（1.2.0）有比方程（1.1.8）更简单的形式。注意到（1.2.1）式中的*11a 与*22a 有相同的形式，如果我们能够解出方程

11122220x x y y a a a ????++= （1.2.2）

的两个线性无关的解1(,)x y ?，2(,)x y ?，那么取1(,)x y ξ?=，2(,)x y η?=，就能保证

**11220a a =≡。这样，（1.2.0）式就较（1.1.8）式大为化简。现在考察这种选取的可能性[7]。我们知道关于?的一阶偏微分方程（1.2.2）的求解问题可以化为求下述常微分方程在(),x y 平面上的积分曲线问题：

()()2211122220

a dy a dxdy a dx -+=.

（1.2.3）

设1(,)x y c ?=是方程（1.2.3）的一族积分曲线，则1(,)z x y ?=就是方程（1.2.2）的一个解。称方程（1.2.3）的积分曲线为方程（1.1.8）的特征线，方程（1.2.3）有时亦称为特征方程。偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的[8]

。

我们可以看到，两个自变量的二阶线性方程通过自变量的可逆变换能够化成哪种标准形，要看二次型

()22111222,2Q l m a l a lm a m =++ 的代数性质如何让来定，或者说，由于,l m 平面上的二次曲线(),1Q l m =的性质而定。由于这个曲线可以是一个椭圆、一个双曲线或者一个抛物线，故我们相应地定义方程在一点的类型如下：

若方程（1.1.8）中二阶偏导数项的系数111222,,a a a 在区域Ω中某点()00,x y 满足 12211220a a a ?=->，

则称方程在()00,x y 为双曲型的；若在点()00,x y 满足

12211220a a a ?=-=，

则称方程在点()00,x y 为抛物型；若在点()00,x y 满足

122

11220a a a ?=-<，

则称方程在点()00,x y 为椭圆型的[1]。给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。对于偏微分方程也一样。换句话说，为了完全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件，描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。一个方程配上定解条件就构成定解问题[7]

。

那么我们如何求解偏微分方程的定解问题呢？

数学物理方程中有许多是线性方程，与其对应的已经给出很多求准确解的方法，如特征线法、分离变量法、格林函数法、积分变换法及复变函数法等[1]。

求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法——分离变量法。分离变量法的

理论基础是Fourier级数展开（一个函数按照某个具体的完备正交函数系展开）。

对于包含无限区域或半无限区域的偏微分方程的定解问题，经常采用积分变换法。这种方法是通过函数变换，减少泛定方程中自变量的个数，把偏微分方程问题转化为常微分方程问题，使计算大为化简。

差分法是求解偏微分方程常用的数值解法。它的基本原理是：首先，将问题离散化，用差商代替微商，将微分方程和定解条件都用代数方程来代替；然后，解这些代数方程构成的方程组，得到定界问题的近似解[7]-[10]。

二、主题部分

众所周知，17世纪微积分创立后，常微分方程理论立刻就发展起来。即应用常微分方程于几何与力学问题的全新的计算。结果是在天体力学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程的分析的基础上作出的）。开始研究偏微分方程要晚得多。对在物理学中碰到的偏微分方程的研究在18世纪中叶导致了分析学的一个新分支——数学物理方程的建立。J.达浪贝尔（1717-1783）、L.欧拉（1707-1783）、D.伯努利（1700-1782）、J.拉格朗日（1736-1813）、P.拉普拉斯（1749-1827）、S.泊松（1781-1840）、J.傅里叶（1768-1830）等人的工作为这一科学分支奠定了基础。他们在考察具体地数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为19世纪末偏微分方程一般理论发展的基础[5]。

早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程。对于建立的数学物理方程，需要作出各种附有具体条件而构成典型问题的解，然后根据实际测量结果来检验和修正相应的物理理论。通过求解数理方程，使人们对自然现象获得更深刻的认识，并能预见新的现象。

随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经并且更多地超出了传统的物理学、力学、天文学等领域。例如，在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学各个领域，以及在资源勘探与开发、大型建筑与水利工程、金属冶炼工程、通信工程、新能源开发、大气物理、气象预报、航天工程、医疗诊断与材料无损探伤、遗传工程等广泛的工程技术各个领域都涉及到数学物理方程的理论及其重要应[4][5]。

数值天气预报、大型水坝应力分析等许多例子，说明数值求解偏微分方程在各门学科和工程中的应用，解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了

偏微分方程的历史与应用

偏微分方程的历史及应用数学与信息科学学院 09级数学与应用数学专业学号 09051140129 姓名项猛猛摘要偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。本文旨在介绍偏微分方程的起源和历史，以及偏微分方程在人口调查、传染病动力学等实际问题中的应用。了解偏微分方程曲折的发展史并了解其广阔的应用前景，从而激励读者更深入的学习和研究偏微分方程。关键字偏微分方程偏微分方程历史偏微分方程应用引言偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁.本文阐述了偏微分方程的发展历史及在实际生活中的应用，为以后更深入的研究及更广的应用提供了例证。正文一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶偏微分方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔（D’Alembert）（1717-1783）、L.欧拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisson)（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier)（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822

偏微分方程的应用

偏微分方程在生物学上的应用刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。

五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程教学文稿

用差分法解椭圆型偏微分方程 -（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0kmax) break; end if(max(max(t))

偏微分方程在人口问题中的应用

偏微分方程在人口问题中的应用 06数学系杜慧通PB06001022 在老师的带领下，经过一个学期的偏微分方程的学习，我们深刻的认识到偏微分方程不仅是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式，在许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，不难发现，课本中所主要提及的三类方程都是有一定的物理学背景的。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。面对各种复杂的现实问题，我们常常采用的方法是针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。

应用上述方法，我们一起来看一看大家都感兴趣的人口问题。对人口的发展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。例如，马尔萨斯模型［1］： ,:)()(0 0?????===p p t t t ap dt t dp 其中)(t p 表示t 时刻的人口总数，0p 为初始时刻0t 时的人口总数，a 表示人口净增长率。马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。因为当生物群体总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。而马尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项)(t ap ，没有考虑生存竞争对群体总数增长的抵消作用。因此在群体总数大了以后，马尔萨斯模型就不再能预见群体发展趋势，这时就要采用威尔霍斯特模型［2］： ,:)()()(0 02?????==-=p p t t t p a t ap dt t dp 其中，a 称为生命系数，而且a 比a 要小很多。)(2t p a 就是考虑到生存竞争而引入的竞争项。当群体总数)(t p 不太大时，由于a 比a 小很多，则可以略去上面方程中右端的第二项而回到马尔萨斯模型。但是当群体总数增大到一定程度时，上面方程中右端的第二项所产生的影响就不能忽略。不论是马尔萨斯模型还是威尔霍斯特模型，它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等地位来对待的，这个原则只适用于低等动

山路引理在二阶椭圆型方程组中的应用

4 在二阶椭圆型方程组中的应用接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程组边值问题的非平凡解的存在性。问题考虑变系数二阶椭圆型方程组 ?? ? ??Ω?∈==Ω∈-=+?-Ω∈-=+?-x v u x v u x h v x g v x b v a div x v u x h u x f u x b u a div ,0),,,(),()())x ((),,,(),()())x ((222111λλ )6( 的非平凡解的存在性。其中Ω是)3(≥N R N 中的有界区域，且具有光滑的边界Ω?。0)(),(21>x a x a ； 0)(),(21≥x b x b ；11:,R R g f →?Ω,1121:,R R h h ??Ω是Caratheodory 方程，并且存在方程11:R R H ??Ω满足 )),,(),,,(()),,(),,,((),,(21v u x h v u x h v u x H v v u x H u v u x H =?? ??=? 不失一般性，我们设 ? +=) ,() 0,0(21)),,(),,((),,(v u dv v u x h du v u x h v u x H 现在我们考虑问题(6)的非平凡解的存在性，亦即考虑求泛函 ?????Ω ΩΩ ΩΩ +-+?+ -+?= dx v u x H dx v x G dx v x b v x a dx u x F dx u x b u x a v u ),,(),(|)(||)(|21 ),(|)(||)(|21 ),(22222121λ?λ 在)()(1 010Ω?ΩH H 的临界点。其中 ??==v u ds s x g v x G ds s x f u x F 0 0),(),(),(),( 和 ? +=) ,() 0,0(21),,(),,(),,(v u dw w s x h ds w s x h v u x H

数学建模——微分方程的应用

第八节数学建模——微分方程的应用举例微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题内容要点：一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.

用五点有限差分格式求解椭圆型方程(偏微分方程) 程序2

用五点有限差分格式求解椭圆型方程（偏微分方程）程序2 2010-04-29 10:33 function varargout=liu(varargin) a=0;b=2;c=0;d=1;h1=1/16;h2=1/16; f=inline('(pi^2-1)*exp(x)*sin(pi*y)','x','y'); g1x=inline('0'); g2x=inline('0'); g1y=inline('sin(pi*y)'); g2y=inline('exp(2)*sin(pi*y)'); [X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2); mesh(X,Y,Z); shading flat; xlabel('X','FontSize',14); ylabel('Y','FontSize',14); zlabel('error','FontSize',14); title('误差图'); function [X,T,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2) %求解下问题 %-(u_xx+u_yy)=f(x,y) x,y 在区域内x in a

%h2离散y方向的步长 N=10000; x=a:h1:b; y=c:h2:d; m=length(x); n=length(y); ee=0.00001; [X,T]=meshgrid(x,y); Z=zeros(n,m); U=zeros(n,m); for i=2:m-1 U(1,i)=feval(g1x,x(i)); U(n,i)=feval(g2x,x(i)); end for j=1:n U(j,1)=feval(g1y,y(j)); U(j,m)=feval(g2y,y(j)); end %while true %下为高斯赛德尔迭代法 %---------------------------------------------------------------------- for k=1:N

双曲型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学双曲型偏微分方程的求解及其应用一、前言部分在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程. 双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解为了解不规则区域上的椭圆型偏微分方程边值问题, 首先要对区域进行剖分，这样做使得在整个解题过程中进行了两次边值问题的求解。在学习中得到启发看到了一个方法，它将区域剖分的问题及求解的问题结合起来进行, 使整个求解过程得到简化这个方法求得的是未知函数的一组等值线,这在某些物理问题中是方便的。（1）其中Ω是区域；Γ 1、 Γ 2、 Γ 3、 Γ4Ω的边界。且Γ 1、 Γ3相对，Γ 2、 Γ4相对。公式的系数分别是Ω上的连续函数。φ1φ2是单调函数但可以不连续。u 0，u n 是常数。又设d>0,c<=0,u n >u 0.特殊的，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4中至多有两个可以退化为一点。为了求解上式，引入辅助问题（2） 00:;m m v v v v <其中、是常数且 34??、是单调函数, 也可以不连续， 034m v v ??、、、可按解题方便来选取作变换 (3) 变换（3）区域Ω变为Ω`由椭圆型方程的性质可见(3)是可逆的。设（3）的逆变换是（4）变换（3）将（1）（2）中的方程变为

（5）（6）其中：，易见仍有即式（3）和（6）是一个拟线性椭圆型方程组。设曲线的几何方程分别是解下面四组联立方程并分别记它们的解为于是（3）将（1）（2）、中的边界条件变为（7）现将方程（5）（6）加上边界条件（7）称为问题（1`）向题(1`), 虽然方程复杂, 但定解区域是矩形,用差分法离散, 迭代法求解是很方便的。(1`) 的解形如(4).将u 视为常数, v是参数, (4)就是u的等值线的参数方程。参考文献 1、刘家琦。应用求解拉普拉斯方程的边值问题建立有限元网格。计算数学1988，5（1）：1~9 2、李子才。具有奇点的Laplace方程边值问题的原始能量有限元结合法。计算数学，1980，2（4）：319~328

大连理工大学高等数值分析椭圆方程差分法

椭圆方程差分法 1 矩形网上差分方程考虑二阶椭圆型偏微分方程的第一边值问题（1.1） ()()()?????=∈=+++--Γy x y x u y x F Eu Du Cu u u y x yy xx ,,,αG 其中C ,E D ,是常数；0≥E ；()()G C 0,∈=y x F F ；(,)x y α是给定的光滑函数。假设（5.1）存在光滑的唯一解。为简单起见，假设G 是矩形区域，其四个边与相应坐标轴平行。考虑矩形网格：1h 和2h 分别为x 和y 方向的步长，h G 为网格内点节点集合，h Γ为网格边界点集合，=h G h G h Γ。对于内点()j i y x ,h G ∈用如下的差分方程逼近（1.1） (1.2) 21 ,1,12h u u u j i ij j i -++---221,1,2h u u u j i ij j i -++-+1,1,12h u u C j i j i -+-+21,1,2h u u D j i j i -+-+ij Eu =ij F 其中),(j i ij y x F F =。（1.2）通常称为五点差分格式。用（1.1）的真解(,)u x y 在网点上的值(,)i j u x y 、1(,)i j u x y -等等分别替换（1.2）中的ij u 、1,i j u -等等，然后在(,)i j x y 点处作Tailor 展开，便知（1.2）逼近（1.1）的截断误差阶为() 2221h h O +。方程（1.2）可以改写为（1.3） j i a ,1-j i u ,1-+j i a ,1+j i u ,1++1,-j i a 1,-j i u +1,+j i a 1,+j i u +j i a ,j i u ,ij F = 对每一内点都可以列出这样一个方程。遇到边界点时，因为边界点u 的函数值已知，将相应的项挪到右端去。最后，得到一个以u 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当1h 和2h 足够小时是对角占优的。可以证明，五点差分格式关于右端和初值都是稳定的，收敛阶为2212()O h h +。

经济数学偏微分方程在金融中的运用

偏微分方程概述如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

二阶椭圆方程(10)

二阶椭圆方程考试试题（2010）（考试时间120分钟）一、（25分）设Ω是n R 中的有界区域, 2 >n ,ij a 在Ω上满足一致椭圆条件,)(Ω∈n L f 若)(1 Ω∈H u 是f u D a D i ij j =-)(的弱解, 则有常数C 使得 n L n f C u u ess 1 ) (sup sup Ω +≤Ω+ Ω ?Ω . 二、（25分）设)(t ?是],[10T T 上的有界非负函数, 其中100T T <≤。对于任意的t s ,，10 T s t T ≤<≤，满足 D t s B t s A s t +-+ -+ ≤β α θ??) () ()()( 其中A,B,D 与α,β是非负常数，10 <<θ. 则 ,) () ()(?? ? ? ?? +-+ -≤D R B R A C β α ρρρ? 10T R T ≤<≤?ρ。这里C 只依赖于βα,与θ。三、（25分）对)(0n R C f ∞ ∈，Nf D Tf ij = ，其中Nf 为f 的牛顿位势，则0>?α ，由) (1 )(n R L Tf f C ≤ααλ 证明T 可扩充为)(1n R L 上的线性算子，且T 是弱（1,1）型的。四、（25分）设)(1Ω∈H u 是0)(=++-=cu u D b u D a D Lu i i i ij j 的有界非负弱下解，满足Λ ≤++≥∞ ∞ ∞ L L i L ij j i ij c b a a ,2 ? λ??，0≥c 。 Λ <<λ0为常数，对2≥p ，取检验函数1 2-=p u ξ? 证明dx u D C dx u D p B B p R R ?? +≤)(()(2 2 2 2ξξ ξ，从而局部极值原理成立。

(整理)偏微分方程在实际中的应用

微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例物理化学（ physical chemistry）,它是从物质的物理现象和化学变化的联系来探讨化学反应的基本规律的学科。物理化学是在物理和化学两大基础上发展起来的。主要由化学热力学、化学动力学和结构化学三大部分组成。它以丰富的化学现象和体系为对象，大量采纳物理学的理论成就与实验技术，探索、归纳和研究化学的基本规律和理论，构成化学学科学的理论基础。物理化学的水平在相当大程度上反应了化学发展的深度。物理化学是以物理的原理和实验技术为基础，研究哈学体系的性质和行为，发现并建立化学体系中特殊规律的学科。它的主要理论支柱是热力学、统计力学和量子力学三大部分。热力学和量子力学分别适用于宏观和微观系统，统计力学则为二者的桥梁。原则上用统计力学方法能通过个别分子、原子的微观数据来推断或计算物质的宏观现象。随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透，物理化学与物理学、无机化学、有机化学在内容上存在着难以准确划分的界限，从而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物理化学、化学物理等。物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联系，例如冶金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学。一般认为，物理化学作为一门学科的正是形成，是从1877年德国化学家奥斯特瓦尔德和荷兰化学家范托夫创刊的《物理化学杂志》开始的。从这一时期到20世纪初，物理化学以化学热力学的蓬勃发

展为其特征。热力学第一定律和热力学第二定律被广泛应用于各种化学体系，特别是溶液体系的研究。吉布斯对多相平衡体系的研究好范托夫对化学平衡的研究，阿伦尼乌斯提出电离学说，能斯特发现热定理都是对化学热力学的重要贡献。当1906年路易斯提出处理非理想体系的逸度和活度概念，以及它们的测定方法之后，化学热力学的全部寄出已经具备。劳厄和布喇格对X射线晶体结构分析的创造性研究，为经典的晶体学向近代结晶化学的发展奠定了基础。阿伦尼乌斯关于化学反应活化能的概念，以及博登斯坦和能斯特关于链反应的概念，对后来化学动力学的发展也都做出了重要贡献。 20世纪20-40年代是结构化学领先发展的时期，这时的物理化学研究已深入到微观的原子和分子世界，改变了对分子内部结构的复杂性茫然无知的状况。 1926年，量子力学研究的兴起，不但在物理学中掀起了高潮，对物理化学研究也给以很大的冲击。尤其是在1927年，海特勒和伦敦对氢分子问题的量子力学处理，为1916年路易斯提出的共享电子对的共价键概念提供了理论基础。1931年鲍林和斯莱特把这种处理方法推广到其他双原子分子和多原子分子，形成了化学键的价键方法。1932年，马利肯和洪德在处理氢分子的问题时根据不同的物理模型，采用不同的试探波函数，从而发展了分子轨道方法。价键法和分子轨道法已成为近代化学键理论的基础。鲍林等提出

二阶椭圆型方程

附件5：《二阶椭圆型方程》课程纲要 Course Outline of Seconder Order Elliptic Equations 一、课程概况课程编号：课程类型：专业选修课学分： 2 学时：32 考核方式考试课程负责人沈自飞课程团队沈自飞、杨敏波二、课程简介本课程主要讲授线性椭圆型方程的2L理论，线性椭圆型方程的Schauder估计，线性椭圆型方程古典解的存在性理论，线性椭圆型方程解的p L估计和强解的存在性理论，不动点方法，拓扑度方法以及散度型拟线性椭圆方程、完全非线性一致椭圆方程的初步结果等基本理论和方法。 This course introduces the 2L theory of linear elliptic equations, Schauder estimates, the existence of classical solutions, p L estimates and the existence of strong solution, Fixed point method, topological degree methods, elliptic equations divergence form, fully nonlinear elliptic equations. 三、课程内容与教学安排

三、教学方式与考核评价 1.教学方式与方法教师讲授为主，学生讨论为辅。 2.考核与评价方式闭卷考试，百分制。四、主要参考文献 1．陈亚浙：《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》，科学出版社，1991年版。 2．Gilbarg D, Trudinger N.S., Elliptic partial differential equations of second order, Springer- Verlag, New Youk: Heidelberg, 1977. 3．Ladyzenskaja O.A., Uralceva N.N., Linear and quasilinear elliptic equations, English Transl., New York, Academic Press, 1968. 4．Evans L. C., Partial Differential Equations, 1998. 5．伍卓群、尹景学、王春朋：《椭圆与抛物型方程引论》，科学出版社，2003年版。撰写人：沈自飞审核人：

椭圆型偏微分方程实验报告

实验报告实验项目名称椭圆型偏微分方程实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值方法实验类型算法设计实验日期2014年6月6日班级学号姓名成绩实验概述：【实验目的及要求】实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题，进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代

码解决Possion问题。【实验原理】对于简单的椭圆型偏微分方程 Poission 方程: 采用正方形网格剖分正方形区域Ω ,对 x 和 y 方向采用中心差分并记则对Poission方程离散后差分格式可写成; 改写为由此得Peaceman-Rachford 迭代格式为其分量形式为将以上两步写成矩阵形式，第一步迭代为：第二步迭代为：

这里的 gij 和 gij 分别为迭代参数可取为：实际上每个迭代步相当于解N ?1个系数矩阵为三对角阵的N ?1阶线性代数方程组，可用追赶法求解。【实验环境】（使用的软硬件）软件： MATLAB 2012a 硬件：电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows 8 专业版处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容：【实验方案设计】利用Peaceman-Rachford迭代格式求解

求解域Ω : 0 ≤ x, y ≤ 1,其精确解为u = sin πx sin πy。首先利用上述原理进行分析，从而利用Matlab软件编写出相应程序。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先编写一个m文件，包含交替方向迭代法程序如下: function u=alter(a0,b0,f,h) %输入-a0为x,y方向起始端点; %-b0为x,y方向终点; %-f为方程右端函数; %-h为网格步长; %输出-u为解矩阵。 p=200; N=fix((b0-a0)/h); u=zeros(N+1); v=zeros(N+1); g=zeros(N+1); x=a0:h:b0; y=x; tau=h*h/(2*sin(pi*h)); a=-tau*ones(1,N-2); c=a; d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1); for k=1:p err=0; for i=2:N for j=2:N g(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j))); end

《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》要点

北京航空航天大学偏微分方程概述及运用matlab求解微分方程求解常见问题姓名徐敏学号57000211 班级380911班 2011年6月

偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题徐敏摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程关键词MATLAB 偏微分方程程序如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。一，偏微分方程概述偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物

理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距二，偏微分方程的内容

五点差分法解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程 -(Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0kmax) break; end if(max(max(t))

数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类

第十三章二阶线性偏微分方程的分类本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.

13.1 基本概念 (1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y ??????????????=??????其中(,,)u x y ???是未知多元函数，而,,x y ???是未知变量；,,u u x y ???????为u 的偏导数. 有时为了书

写方便，通常记 2 2,,,,x y xx u u u u u u x y x ???==???=??????(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．

(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程． (5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．

例13.1.2：方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =?的通解为 2 21(,)()()2u x y xy x y F x G y =?++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）