2015四川省高考文科数学真题及答案(标准版)

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文科）本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

第I 卷1至2页，第II 卷2至4页，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，必须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

本卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合A ＝{x |12x -<<}，集合B ＝{x |13x <<}，则AB ＝(A){ x |13x -<<} (B){ x |11x -<<} (C){ x |12x <<} (D){ x |23x <<} 2、设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x ,6)共线，则实数x ＝(A)2 (B)3 (C)4 (D)63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法4、设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(A)y ＝sin(2x ＋2π) (B)y ＝cos(2x ＋2π) (C)y ＝sin2x ＋cos2x (D)y ＝sinx ＋cosx 6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为(A)－2 (B) 2(C)－12 (D) 127、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝(C)68、某食品保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=(e ＝2.718…为自然对数的底数，,k b 为常数)。

若该食品在6℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时9、设实数x,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为(A)252(B) 492 (C)12 (D)1610、设直线l 与抛物线24y x =相较于A,B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_____________. 12、2lg0.01log 16+＝_____________.13、已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是______________.14、在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.15、已知函数()2xf x =,()2g x x ax =+ (其中a ∈R).对于不相等的实数12,x x ，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数12,x x ，都有m ＞0；(2)对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x 2，都有n ＞0； (3)对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m ＝n ； (4)对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m ＝－n 。

其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)设数列{}n a （n=1,2,3…）的前n 项和n S 满足n S =2n a -1a ，且1a ，1a +1，3a 成等差数列。

(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .17、(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号位为1,2,3,4,5，乘客12345,,,,P P P P P 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.（1）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。

下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）（2）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客1P 坐到5号座位的概率。

18、(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。

（1）请按字母F,G,H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由） （2）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系。

并说明你的结论。

（3）证明：直线DF ⊥平面BEG19、(本小题满分12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan ,A tan B 是关于方程210x p -+=（p ∈R ）两个实根.（1） 求C 的大小（2） 若AB=3，p 的值20、(本小题满分13分)如图，椭圆E 上，且1PC PD =-（1） 求椭圆E 的方程；（2） 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

21、(本小题满分14分)已知函数()f x =222ln 2x x ax a -+-+，其中a>0.(I) 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；(II)证明：存在a ∈（0,1），使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解。

参考答案1.【答案】A【解析】：{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<2.【答案】B【解析】由向量平行的性质，有2:4＝x:6，解得x ＝3，选B 3.【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样。

选C 4.【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确。

选A 【答案】A 5.【答案】B【解析】：ππ==-=+=22,2sin )22cos(:T x p x y B ，是奇函数，所以选B 6.【答案】D【解析】：当K=5时，大于4，所以S=2165sin ==πS 7.【答案】D【解析】：F （2,0），过F 与x 轴垂直的直线为x=2，渐近线方程为：0322=-y x ，将x=2代入得：32,122±==y y ，所以|AB|=348.【答案】C【解析】由题意，2219248bk bee+⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212bke e ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是当x ＝33时,y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝31()2×192＝24(小时)9.【答案】C【解析】画出可行域如图在△ABC 区域中经试验可得，在A(2,4)点处时 xy 取得最大值，为12 选C10、【答案】D 【解析】：)(4))((,4,4),,(),,(),,212121222121002211x x y y y y x y x y y x M y x B y x A -=-+∴==则（设当k 不存在时，符合条件的直线有2条 当k 存在时，2,22,021212121==--∙+≠k y x x y y y y x x 即则42,164,44,164124.3232-3,3,5,2202020000<<<<∴>+=+≤+=∴<<∴==∴-=r r y y r y x M x x k y 即又上。

必在那么由题第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【答案】2i【解析】12i i i i i-=+= 12.【答案】2【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 13.【答案】35-【解析】由已知可得tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos tan 1213sin cos tan 1415ααααααα----===-+++ 14.【答案】124【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为12 如图，三棱锥P －A 1MN 底面积是三棱锥底面积的14，高为1故三棱锥P －A 1MN 的体积为111132424⨯⨯=15.【答案】①④：【解析】三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（1）.nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a n a a a a S Sn a a a S 2.2),1(2,1,42,2)2(2,22,2n 1231321123121111==∴+=+∴+===≥=-=-=-=---故是等差，从而即有由已知（2）n n n n n T a 211211])21(1[21,2111-=--=∴=得由（1）余下两种坐标法表示如下：（2）若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐， 则所以的可能性如下坐标表示于是，所以共8种坐法。

设“乘客P 5坐到了5号座位”为事件A ，则A 的基本事件个数为4 所以P （A ）=2184= 18.（1）、（2）、，平面平面ACH BEG //因为ABCD-EFGH 为正方体，所以BC//FG,BC=FG 又FG//EH,FG=EH,所以BC//EH,BC=EH, 于是BCHE 是平行四边形，所以BE//CH 又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH所以BE//平面ACH ，同理，BG//平面ACH 又BE ⋂BG=B ，所以平面BEG//平面ACH(3)连接FH ，因为ABCD-EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG又EG ⊥FH ，EG ⋂FH=O,所以EG ⊥平面BFHD 又DF ⊂平面BFHD,所以DF ⊥EG 同理，DF ⊥BG又EG ⋂BG=G,所以DF ⊥平面BEG19.（1）由已知，方程0132=+-+p px x 的判别式0443)1(4)3(22≥-+=+--=∆p p p p 所以322≥-≤p p 或，由韦达定理得p B A p B A -=-=+1tan tan ,3tan tan 于是0)1(1tan tan 1≠=--=-p p B A从而60,3)tan(tan 3tan tan 1tan tan )tan(==+-=-=-+=+C B A C BA BA B A 即所以（2）由正弦定理得22sin 6sin sin ===AB C AB C AC B解得B=450或者C=1350(舍去）所以A=1800-B-C=75031)tan (tan 313275tan tan 0--=+-=+==B A p A 所以则20.（1）由已知点（2，1）在椭圆E 上，12y 4x E ,2b 2,a 22,,1122222222=+====-=+的方程：所以得得a c cb a b a（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1,A,B 的坐标分别为（11,y x ），（22,y x ） 联立椭圆与直线方程得122,124,0)12(8)4(024)12(2212212222+-=+-=+>++=∆=-++k x x k k x x k k kx x k所以)]1)(1([21212121--+++=⋅+⋅y y x x y y x x λλ=212112)12()42(1)()1)(1(22221212--+--=+--+--=+++++λλλλλk k k x x k x x k所以当时，1=λ21212--+--λλk =-3此时，PB PA OB OA ⋅+⋅λ=-3为定值 当直线AB 斜率不存在时，AB=CD此时⋅+⋅λ=⋅+⋅=-2-1=-3 故存在常数1，使得PB PA OB OA ⋅+⋅λ为定值-321、（1）由题，函数)(x f 的定义域为),0(+∞ xx x x g a x x x f x g )1(222)('),ln 1(2)(')(-=-=∴---== 所以当单调递增时，单调递减。