22.3.1一元二次方程的应用
一元二次方程的应用(增长率问题)
精品资料欢迎下载22.3一元二次方程的应用（1）学习目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题学习重、难点：重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题难点：理清增长率问题中的数量关系一、课前预习：1．某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则：二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。
（填具体数字）2．某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。
（填含有X的式子）3．某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。
（填具体数字）4．某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。
（填含有X的式子）归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：起始量（1＋平均增长率）n=现在量。
（n为相距时间）起始量（1－平均减少率）n=现在量。
（n为相距时间）二、新课导学例1．某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？例2．某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?精品资料欢迎下载三、随堂检测1.（2012山东青岛）某公司2010年的产值为500万元，2012年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为_________________. 2．(2010台州中考) 某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。
设平均每次降价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（）A、100（1+x）2=120B、100（1-x）2=120C、120（1+x）2=100D、120（1-x）2=100 3．（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
22.3实际问题与一元二次方程(第1课时)-教学设计
学生独立思考问题，并发表个人意见。
教师对学生的回答给予适当评价。
教师板书甲种药品年平均下降率的求解过程。
学生独立完成乙种年平均下降率的求解过程并根据计算结果回答问题。
由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.因此，探究1、2在学生充分独立思考的基础上，进行小组讨论，分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值。
活动3：课堂巩固
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．
A．100（1+x）2=250
B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
教学重点
列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率等问题的应用，解决实际问题。
教学难点
发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系，正确地建立一元二次方程。
二、教学流程安排
序号
活动流程图
活动内容和目的
1
复习引入
通过列一元一次方程解决实际问题，回忆列方程解实际问题的一般步骤，为类比学习一元二次方程解实际问题做好铺垫。
例题分析：探究1；探究2；探究3
三、归纳小节：
探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题.这类问题在现实世界中有很多原型，例如经济增长率、人口增长率等.本节中讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系：变化前数量×（1+x）²=变化后数量。
22.3实际问题与一元二次方程(第一课时)
是同一场比赛,所以全部比赛共 即
1 x( x 1) 28 2
化简:得
1 x( x 1) 2
场.
2 x 56 0 x
?
探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有
121人患了流感,每轮传染中平均一个人 传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 X+1 人患了流感,第二轮后共有x(x+1) 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121
x
∴(1 x)2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
20％ ．
例1. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银 行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求 这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x2+2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
22.3.1实践与探索
22.3 实践与探究第1课时一元二次方程的应用（图形与数字）典案一：教学设计课题第1课时一元二次方程的应用（图形与数字）授课人教学目标知识技能1.能根据面积问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．问题解决通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重点列一元二次方程解有关面积问题的应用题．教学难点发现面积问题中的等量关系.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：1.一元二次方程有哪些解法？2.回忆一元二次方程的根的情况.3.在列方程解应用题时，一般步骤有哪些？4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的0.2倍．求这个两位数.解：设个位上的数字是x，十位上的数字是y.根据题意列出方程组为学生创设一种回忆、思考的情景，为本课的导入及探究活动做好铺垫.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，x ＋y ＝（10y ＋x ）×0.2， 解得x ＝________，y ＝________． 检验后知，这个两位数是________.教师板书课题：一元二次方程的应用(图形与数字)．活动 一： 创设 情境 导入 新课【课堂引入】要设计一本书的封面，封面长27 cm 、宽21 cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm )？图22－3－8问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ (4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 利用生活中常见的问题，激发学生的探究欲望，有利于学生主动参与，感受数学来源于生活，并服务于生活.活动 二： 实践 探究 交流新知解答课题：教师提出问题(1)，学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系；教师提出问题(2)，学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7.教师提出问题(3)，学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x 和9x 的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示.教师提出问题(4)，学生分组，分别按问题(3)中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题.1.重视培养学生读题和审题的能力；2.把实际问题符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.3.培养学生树立方程意识，渗透方程思想.在活动中，教师应注意：(1)学生对几何图形的分析能力；(2)学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；(3)在讨论中能否互相合作；(4)解答一元二次方程的能力；(5)学生回答问题时的语言表达是否准确．活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1有一块矩形的铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果要制作的无盖长方体盒子的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？师生活动：教师引导学生进行审题，确定好问题类型，然后指导学生按照图形面积公式进行解答.学生自主解设并列方程，进行解答，教师做好点评和纠错.例2两个连续奇数的积等于195，求两个奇数.师生讨论作答，设这两个连续奇数为x，x＋2，根据已知，得x(x＋2)＝195，整理，得x2＋2x－195＝0，解得x1＝13，x2＝－15，所以这两个奇数是13，15或－15，－13.应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识.【拓展提升】例3如图22－3－9，某中学为方便师生活动，准备在长30 m、宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？图22－3－9拓展提升环节，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行师生活动：教师提出问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)由这些数量关系还能得出什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？(3)有什么方法使本题易于解决？教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法，并适时点拨、提示，指导学生进行解答．适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能是()A.20B．40C．100D．1202.如图22－3－10，在宽为20米、长为30米的矩形地面四周修建同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为()A.0.5米B．1米C．1.5米D．2米图22－3－10图22－3－113.如图22－3－11是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙(墙长18 m)，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35 m，所围的面积为150 m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？4.一块长28 cm、宽20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.5.已知一个数和它的一半的平方和等于5，求这个数.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.1.课堂总结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)说一说本节课你还有哪些疑惑.教师总结：面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程.2.布置作业：课本第40页练习第1题．指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知环节中，由于问题设置较为复杂，所以教师做好必要的引导是关键，帮助学生分析图形之间的比例关系，使学生清晰认识问题．在课堂训练环节中，学生能够顺利地解答，实现了高效课堂.②[讲授效果反思]引导学生注意以下几点：(1)面积问题考虑面积公式；(2)复杂图形的面积要进行分割或填充；(3)考虑结果的正确性.③[师生互动反思]师生交流过程中，学生对于面积问题有较深的理解，基础好，列方程解答较为简便，教师对于过程中的个别问题可交给学生讨论、解答.④[习题反思]好题题号______________________________________错题题号______________________________________反思，更进一步提升.典案二：导学设计学习目标：1.使学生掌握列方程解应用题中写“关系式”及找相等关系列方程方法；2.使学生理解列方程实质在于会用含未知数的代数式表示题目里的关系式；3.采用对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用的能力．重点和难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是重点也是难点.学习过程：一、创设情境1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用．2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样．我们先来解决§22.1的问题1，然后总结一些规律或应注意事项．二、探究归纳例1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地宽为x米，不难列出方程：三、实践应用例2如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．解法1如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为______．所列的方程是不是32×20-(32x＋20x)＝540？启发学生思考，务必把这一点弄明白！解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．分析 设截去正方形的边长为x 厘米后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．解 设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得练习：1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到0.1厘米）.2.竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v 0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米?四、归纳小结 1.列方程解应用题的步骤是：2.面积问题常要用到割、补、运动等技法．例2中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略，解法2采用了运动的办法，是一种灵活解题的能力．总之：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．五、作业1.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到0.1米）.2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较适合?3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米，求原正方形广场的边长（精确到0.1米）．4.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米，求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度．。
22.3实际问题与一元二次方程(1)
解：设2002年,2003年 中考题 两年绿地面积的年平 美化城市，改善人们的居住环境已成 均增长率为x，根据题 为城市建设的一项重要内容。某城市 意，得 近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树， (1＋x)2＝72.6 ． 60 修公园等措施，使城区绿地面积不断 (1＋x)2=1.21． 增加（如图所示）。（1）根据图中 所提供的信息回答下列问题：2001年 ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, 底的绿地面积为 公顷，比 60 2000年底增加了 公顷；在1999 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 年，2000年，2001年这三年中，绿 去) 答： 2002年,2003年 地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
答：每轮传染中平均一台电脑会感染8台电脑.
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长 出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则1+x+x x=91 2 x 90 0 即 x
●
小 分 支
小 分 支
…… …… 主 干
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则5000(1-x)2=3000
解得：x1 ≈0.225=22.5%，x2 ≈1.775（舍） 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际生活 普遍存在,解决问题有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前 的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数 量关系可表示为
解：设每个商品涨价x元，则(500-10x)· [(50+x)-40]=8000， ∴ x2 40x 300 0, 解得：x1=10 ，x2=30 当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
华师版初中数学九年级上第22章 一元二次方程22.3 第1课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题
谢谢聆听
5(2x - 10)(x - 10) = 3000 解得 x1 = - 10（舍），x2 = 25. 故铁板的长为 2x = 50（cm），
所以铁板的长为 50 cm.，宽为 25 cm.
课堂小结
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答． 这里要特别注意：在列一元二次方程解应用题时， 由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是 否符合实际问题的要求．
3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握 手 21 次，求参加聚会的人数.
解：设参加聚会的人数有 x 人
x x 1
21 2
解得 x1 = - 6(舍去)，x2 = 7
答：参加聚会的人数为 7 人.
4.一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截 去边长为 5 cm 的小正方形， 然后把四边折起来，做成 一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的 长和宽．解：设铁板的宽为 x cm，则有长为 2x cm
那么列一元二次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
讲授新课
一 利用一元二次方程解决图形问题
如图所示，用一块长 80 cm，宽 60 cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相 同的小正方形，然后做成底面积为 1500 cm2 的没有盖的长方体盒子．求 截去的小正方形的边长.
80
x x
60 - 2x
60
80 - 2x
问题4：一个三位数，百位 x，十位 y，个位 z，表 示为 100x + 10y + z.
典例精析
例 两个连续奇数的积为 63，求这两个数.
解：设两个奇数为 x 和 x + 2， x(x + 2) = 63
22.3 实际问题与一元二次方程
22.3 实际问题与一元二次方程223 实际问题与一元二次方程在我们的日常生活和工作中，一元二次方程有着广泛的应用。
它不仅仅是数学课本上的一个知识点，更是解决许多实际问题的有力工具。
比如说，在农业生产中，农民伯伯需要规划田地的种植面积。
假设一块矩形田地，长比宽多 10 米，面积为 500 平方米。
我们就可以设这块田地的宽为 x 米，那么长就是 x ＋ 10 米。
根据矩形面积等于长乘宽，可列出方程 x(x ＋ 10) ＝ 500，通过求解这个一元二次方程，就能算出田地的长和宽，从而更好地进行种植规划。
再比如，在商业领域，一家商店计划销售某种商品。
已知该商品的进价为每件 30 元，售价为每件 50 元时，每天能卖出 200 件。
如果售价每提高 1 元，每天的销量就会减少 10 件。
为了获得每天 2240 元的利润，商品的售价应该定为多少呢？我们可以设售价提高了 x 元，那么单件利润就是 50 ＋ x 30 ＝ 20 ＋ x 元，每天的销量就是 200 10x 件。
根据利润等于单件利润乘以销售量，可得到方程（20 ＋ x)（200 10x)＝ 2240。
解这个方程，就能得出合适的售价，帮助商家制定最优的销售策略。
还有在建筑工程中，要建造一个靠墙的矩形花坛。
如果墙的长度为20 米，花坛的面积需要达到 100 平方米。
设花坛平行于墙的一边长为x 米，那么垂直于墙的一边长就是(100 ／x)米。
因为花坛有一边靠墙，所以花坛的周长为 x ＋ 2(100 ／ x)米。
考虑到材料成本的限制，总周长不能超过 40 米，就可以列出一元二次方程 x ＋ 2(100 ／ x) ＜＝ 40，通过求解这个方程，就能确定花坛边长的合理取值范围，从而在保证美观和实用的前提下，有效地控制成本。
在几何图形问题中，也常常会用到一元二次方程。
例如，一个直角三角形的两条直角边相差 3 厘米，面积为 6 平方厘米。
设较短的直角边为 x 厘米，那么较长的直角边就是 x ＋ 3 厘米。
22.3.1一元二次方程--实践与探索
列一元二次方程解应用题 问题1：学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理 方便，准备沿平行于两边的方向纵横各开辟一条等宽的小道，要使种植 面积为540m2，小道的宽应是多少？
解:设道路的宽为x米，根据题意得：
列一元二次方程解应用题
如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条 道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等 的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
本节课你的收获是什么？
列一元二次方程解应用题
问题2：如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条 宽度相同黑色边框,制成一幅挂画.如果要求风景画的面积是整 个面积的72%,那么黑边框的宽应是多少?
列一元二次方程解应用题
问题3：如图；是厂房鸡场平面示意图，一边靠墙（墙长16 米），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围 的面积为150m2，则此长方形鸡场的长，宽分别是多少？
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
第22章 一元二次方程
22.3.1
一元二次方程
--实践与探索
列方程解应用题
归纳：列方程解应用题的一般步骤;
第一步：审题，分析题意 （弄清题目中的已知数、未知数， 用字母表示题目中的未知数；） 第二步：寻找并明确题目中的等量关系； 第三步：根据等量关系列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用题的实际意义）； 第六图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
一元二次方程的应用(传染病问题)
通过练习进一步巩固学生对此类题型的理解，培养学生能够建立适当的数学模型解决实际问题的能力。
作业：1、书本43页13题；书本48页2、3、5题；2、预习书本46、47页；复习增长率有关的问题。
上一页
例题2
要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
学生通过探究，运用列举、类比、归纳等思想方法、找出题目中蕴含的数量关系，从而构造出适合此种题型数学模型。
练习2
（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
1
下一页
附件下载： (已下载0次)
题外话:传染病，一传十，十传百，所以我们要坚决做到隔离传染源。
练习1
在生物课上，林老师说“某种植物的主干长出若干数目的支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，这颗植物的主干、支杆、小分支的总数是91，请问每个支杆长出多少小分支？”
小组探究：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患H1N1流感的这个人在第一轮传染中传染
重点
审题，根据实际问题找出等量关系，建立数学模型。
难点
找等量关系列方程。
教学过程Байду номын сангаас
问题与情景
师生活动
设计意图
一.复习回顾：
1.（课前小测）请用两种不同的方法解一元二次方程：
小测点评：解一元二次方程都是有哪些方法？（配方法、公式法、因式分解法）
2.列一元一次方程解应用题有哪些基本步骤？
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥答
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
3.总售价=单价x总销售量
2.某农场去年种植了10亩地的 南瓜，亩产量为2000kg，根据市 场需要，今年该农场扩大了种植面 积，并且全部种植了高产的新品种 南瓜，已知南瓜种植面积的增长率 是亩产量增长率的的2倍，今年南 瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩 产量的增长率。
3.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批 西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可卖出 200kg，为了促销，该经营户决定降价销 售。经调查发现这种西瓜每降价0.1元 /kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费 用共计24元），该经营户要想赢利200元， 应将每千克的西瓜的售价降低多少元？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（销售问题）
列方程解应用题的一般步骤？
第一步：审清题意，找出等量关系。 第二步：设未知数(单位名称); 第三步：根据相等关系列出列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验求得的值是否符合实际意义； 第六步：写出答案（及单位名称）。
提示：隐含条件的挖掘，从中找等量关系。
1.利润=售价-进价 2.利润率=
2n +3
• 例1 有一个两位数，它的十位数字比个位数 字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的 3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。 • 例2 已知三个连续奇数，其中最小的数的平 方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等， 试求这三个数。
－3，－1，1或15，17，19
• 例3 有一个两位数，个位数字与十位数字的 和为14，交换数字位置后，得到新的两位数， 比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
例5.一个三角形的三边长是三个 连续奇数，这三个连续奇数的平 方和为155，这个三角形三条边 长各是多少？
问题 展示：
22.3.1一元二次方程应用(增长率、面积问题)教程
a
a43;x) 2
a
增长21%
a+21%a
a(1+x) 2 =a+21%a
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则 a(1+x) 2 =a+21%a a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1
答:平均每年增长的百分率为10% ．
32m
xm
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。 相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2 即 32 x20 x 540.
2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
5
30 x 1 9.5% 5
答：每次升价的百分率为9.5%.
练习 3. 某中学从初一开学时就参加课程改革 试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人 在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加， 到三年级结束共有 183人次在市级以上得奖 . 求这两年中得奖人次的平均年增长率.
练习4.小红的妈妈前年存了5000元一年期 的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣 除利息税（利息税为利息的20%），共取 得 5145 元 . 求这种储蓄的年利率 . （精确到 0.1%）
典型练习题
1、一件商品原价200元经过两次降价后162元，求：平均降价的 百分比 2、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人 数
3、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名 同学参加
一元二次方程及应用题
1、直角三角形问题：（勾股定理） 2、体积不变性问题： 3、数字问题： ab 10a b
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。
它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。
本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。
1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。
设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。
这就是一元二次方程的典型应用之一。
2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。
例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。
通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。
3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。
例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。
通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。
4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。
假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。
根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。
综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。
因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
一元二次次方程实际应用
一元二次次方程实际应用
一元二次方程是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一个具体的例子来说明如何使用一元二次方程来解决实际问题。
问题：一个农场主想要种植某种作物，他计划在一块长为100米，宽为80米的土地上种植这种作物。
为了最大化产量，他想知道应该种植多少棵这种作物。
假设农场主在这块土地上种植了 x 棵这种作物。
每棵作物需要一定的空间来生长，假设每棵作物需要一个长为 a 米，宽为 b 米的空间。
根据题目，我们可以建立以下方程：
1. 土地的总面积是100 × 80 = 8000 平方米。
2. 每棵作物的占地面积是a × b 平方米。
3. 所有作物的占地面积是x × a × b 平方米。
用数学方程，我们可以表示为：
x × a × b = 8000
现在我们要来解这个方程，找出 x 的值。
计算结果为：x 的可能值为 [8000/a2]
所以，为了最大化产量，农场主应该在土地上种植 8000/a2 棵这种作物。
22.3实际问题与一元二次方程(1)【超强实用版】
应用2：某种植物的主干长出若干数目的 支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干,支干和小分支的总数是91,每个支 干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支。
列方程 得1+x+x =91
2
化为一般形式 2 x 90小 分 支小来自分 支…… …… 主 干
小 分 支
小 分 支
……
……
x
新 细 胞
新 细 胞
…… ……
细胞
新 细 胞
新 细 胞
新细胞
……
……
x x
x
新细胞
4.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛1场,计划安排15场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
5.一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群 里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息， 这个QQ群中共有多少个好友？ 6.参加一次聚会的每两人都握了1次手,所有人共握 手10次,有多少人参加聚会?
谢谢！
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人
第一轮的传染源—— 1人
第一轮新增患病人数 X人
第二轮的传染源（第一轮后患病人数） (X+1)人 第二轮新增患病人数 x(X+1)人 第二轮后患病人数
=121 (X+1) +x(X+1)人
解：设平均一台电脑会感染x台电脑. 列方程 1 x x 1 x 81 2 整理，得 x+1 81 直接开平方，得 x+1 9
所以 x1 8 x2 -10（舍去）
81+81×8=729（人）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B. （ + x） = 4 1
2
C. 1+2x=2
D.（1+x）+2（1+x）=4 （ ） （ ）
4.为执行“两免一补”的政策，某 4.为执行“两免一补”的政策， 为执行 地区2006年投入教育经费 年投入教育经费2500万元 万元， 地区2006年投入教育经费2500万元，预计 2008年投入 2008年投入3600万元，求这两年教育经费的 年投入3600万元 万元， 平均增长率。 平均增长率。 5.某商品原价 元，连续两次降价 某商品原价200元 连续两次降价a%后售价 某商品原价 后售价 为148元，下列所列方程中正确的是（ C ） 元 下列所列方程中正确的是（ A. B. 2 200 1 − 2a%） 148 （ = 200 1 + a%） = 148 （ C.
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式 平均增长（降低） 平均增长
a (1 ± x) = b
2
2.注意： 注意： 注意 （1）1与x的位置不要调换 ） 与 的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 ） 用 直接开平方法
作业
课本习题22.3第4、6、7题
2001年 年 180
2002 年 180(1+x)
2
2003年 年
ห้องสมุดไป่ตู้
180(1 + x) 2
这两年的平均增长率为x,依题有 解:这两年的平均增长率为 依题有 这两年的平均增长率为
180(1 + x) = 304.2
（以下大家完成） 以下大家完成）
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
生活普遍存在,有一定的模式 生活普遍存在 有一定的模式
当堂练习 1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量 1.某厂今年一月的总产量为 某厂今年一月的总产量为500吨 为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B ) 720吨 平均每月增长率是x 列方程( A.500(1+2x A.500(1+2x)=720 C.500(1+x C.500(1+x2)=720 B.500(1+x B.500(1+x)2=720 D.720(1+x D.720(1+x)2=500
探究2 探究2
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 吨甲种药品的成本是5000 生产1 5000元 乙种药品的成本是6000 随着生产技术的进步, 6000元 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 吨甲种药品的成本是3000 生产1 3000元 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600 3600元 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均 下降率较大? 下降率较大? 分析: 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平 较大.但是, 均下降额( 年平均下降率(百分数) 均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
思考:如果按照这样的传播速度,三轮后 思考:如果按照这样的传播速度 三轮后 x+1 人患了流感. 第一轮后共有________人患了流感 第二轮的传染源 第一轮后共有 有多少人患流感? 有多少人患流感 人患了流感 第二轮的传染源 3 第二轮:这些人中的每个人都又传染了x 第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 22.5% 比较: 比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同) 相同)
经过计算，你能得出什么结论？ 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较 大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？ 大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应 怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 得到的结论就是： 得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率 相同 成本下降额较大的药品， 成本下降额较大的药品，它的成本下降率 不一定较大． 不一定较大． 不但要考虑它们的平均下降额， 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它 们的平均下降率． 们的平均下降率．
复习回顾: 复习回顾: 1.解一元二次方程有哪些方法？ 1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？ 2.列一元一次方程解应用题的步骤 列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数. 审题， 设出未知数. ③找等量关系 列方程， 解方程， ④列方程， ⑤解方程， ⑥答.
一传十, 十传百, 百传千千万
有一个人患了流感,经过两轮传染后有 人患了 有一个人患了流感 经过两轮传染后有121人患了 经过两轮传染后有 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人 每轮传染中平均一个人传染了几个人? 流感 每轮传染中平均一个人传染了几个人
分析:设每轮传染中平均一个人传染了 人 分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人 注意:1、此类问题是传播问题. 、此类问题是传播问题 开始有一人患了流感, 第一轮的传染源 开始有一人患了流感 第一轮的传染源 2、计算结果要符合问题的实际意义. 、 第一轮:他传染了 他传染了x人 第一轮后共有 第一轮后共有______人患了流感 人患了流感. 第一轮 他传染了 人,第一轮后共有 x+1 人患了流感
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今 2.某校去年对实验器材的投资为 万元, 某校去年对实验器材的投资为2 年和明年两年的投资总额为8万元, 年和明年两年的投资总额为8万元,若设该校今 年和明年两年在实验器材投资上的平均增长率 是x,则可列方程为________________. x,则可列方程为 则可列方程为________________.
第二轮后共有____________________人患了流感 第二轮后共有 1+x+x(x+1)=(x+1)2 人患了流感. 人患了流感 列方程得
(1 + x)
1+x+x(x+1)=121
x=10;x=-12 -
例
2003年我国政府工作报告指出 为解决农民负担 年我国政府工作报告指出:为解决农民负担 年我国政府工作报告指出 过重问题,在近两年的税费政策改革中 在近两年的税费政策改革中,我国政府采取 过重问题 在近两年的税费政策改革中 我国政府采取 了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革 了一系列政策措施 年中央财政用于支持这项改革 试点的资金约为180亿元 预计到 亿元,预计到 年将到达304.2亿 试点的资金约为 亿元 预计到2003年将到达 年将到达 亿 年到2003年中央财政每年投入支持这项改革 元,求2001年到 求 年到 年中央财政每年投入支持这项改革 资金的平均增长率? 资金的平均增长率 分析:设这两年的平均增长率为 设这两年的平均增长率为x 分析 设这两年的平均增长率为 ,
200 1 − a%） = 148 （
2
D. 200 1 + a 2 %） = 148 （
6.某商场将某种商品的售价从原来的每件 6.某商场将某种商品的售价从原来的每件40 某商场将某种商品的售价从原来的每件40 元经两次调价后调至每件32.4 32.4元 元经两次调价后调至每件32.4元。 若该商场两次调价的降价率相同， （1）若该商场两次调价的降价率相同，求 这个降价率。 这个降价率。 经调查，该商品每降0.2 0.2元 （2）经调查，该商品每降0.2元，即可多销 10件 若该商品原来每月可销售500 500件 售10件，若该商品原来每月可销售500件， 那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？ 那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
若平均增长(或降低 百分率为 若平均增长 或降低)百分率为 增长 或降低 百分率为x,增长 (或降低 前的是 增长 或降低 次后 或降低)前的是 增长(或降低 或降低 前的是a,增长 或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为 的量是 则它们的数量关系可表示为
a (1 ± x) = b
n
其中增长取+,降低取 其中增长取 降低取－ 降低取
当堂练习 3.党的十六大提出全面建设小康社会，加快推 党的十六大提出全面建设小康社会， 党的十六大提出全面建设小康社会 进社会主义现代化， 进社会主义现代化，力争国民生产总值到 2020年比 年比2000年翻两翻。在本世纪的头 年 年比 年翻两翻。在本世纪的头20年 （2001年~2020年）要实现这一目标，以10年 年 年 要实现这一目标， 年 为单位计算， 每个10年 为单位计算，设每个 年的国民生产总值的 增长率都是x，根据题意得方程为（ 增长率都是 ，根据题意得方程为（ B ） A. 1 + x）= 2 （
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后 设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元 甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 5000(1为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000(1 ) = 3000 −x
2
解方程, 解方程,得
合 意 去 x ≈ 0.225, x ≈1.775(不 题 ,舍 )