大一上学期高数期末考试题
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（ ）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小； 无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C)()x α是比()x β高阶的无穷小； (D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ )。
（A)函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A)22x (B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试题大一上学期高数期末考试卷一1.设$f(x)=cosx(x+sinx)$，则在$x=0$处有（。
）。
A。
$f'(0)=2$B。
$f'(0)=1$C。
$f'(0)=$不存在D。
$f(x)$不可导2.设$\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}$，$\beta(x)=3-3\sqrt{x}$，则当$x\to1$时（。
）。
A。
$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小，但不是等价无穷小；B。
$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小；C。
$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小；D。
$\beta(x)$是比$\alpha(x)$高阶的无穷小。
3.若$F(x)=\int_{0}^{2x}f(t)dt$，其中$f(x)$在区间$(-1,1)$二阶可导且$f'(x)>0$，则（）。
A。
函数$F(x)$必在$x=0$处取得极大值；B。
函数$F(x)$必在$x=0$处取得极小值；C。
函数$F(x)$在$x=0$处没有极值，但点$(0,F(0))$为曲线$y=F(x)$的拐点；D。
函数$F(x)$在$x=0$处没有极值，点$(0,F(0))$也不是曲线$y=F(x)$的拐点。
4.设$f(x)$是连续函数，且$f(x)=x+2\int_{0}^{1}f(t)dt$，则$f(x)=$（。
）。
A。
$2+x^2$B。
$2+\frac{2}{x^2}$C。
$x-1$D。
$x+2$二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2\sin x}{1+3x}=$。
（。
）。
6.已知$\cos x/x$是$f(x)$的一个原函数，则$\int f(x)\cosxdx=$（。
）。
7.$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos\frac{n}{\pi}+\cos\frac{2n }{\pi}+\cdots+\cos\frac{n^2}{\pi}\right)=$（。
大一（第一学期）高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：112330()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
(完整版)大一上学期高数期末考试题
高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.2.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .3. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.5. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.6. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
7.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高数(大一上)期末试题及答案
第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试之樊仲川亿创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x -（D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则.6.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ.7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题,每小题4分,共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不合的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(） 解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.9. 解：方程两边求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =,知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰,'()g x 在=0x 处连续.13. 解：2ln dy y x dx x +=1(1),09y C =-=,11ln 39y x x x=- 四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且2d xy y x y'=+⎰,将此方程关于x 求导得y y y '+=''2 特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为xx e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=,得31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）按照题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V1,则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V2D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本大题有2小题,每小题4分,共12分）16. 证明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕.证：机关帮助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其满足在],0[π上连续,在),0(π上可导.)()(x f x F =',且0)()0(==πF F由题设,有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ,有⎰=πsin )(xdx x F ,由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上辨别应用罗尔定理,知存在),0(1ξξ∈),(2πξξ∈0)(1='ξF 0)(2='ξF 0)()(21==ξξf f。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解
、单项选择题
1设f(x)cos x(x sin x),则在x 0处有(
).
(A)f(0)
2(B)f(0)1(C)f(0)0(D)
f(X)不可导.
c设(x)1
2.1
X，(x) 3 33x，则当x1时(
X
)
(A)(x)与
(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
(B)(X)与(X)
是等价无穷小；
(C)(X)是比(x)高阶的无穷小；(D)(X)是比(x)高阶的
无穷小.
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(X)0 (2t x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且
0，则().
函数F(x)必在x0处取得极大值；
函数F(x)必在x0处取得极小值；
函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；
17.设函数f(x)在0，上连续，且0
证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f(1)f( 2)0.(提
x
F(x) f(x)dx
示：设0
解答
一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
1、D2、A3、C4、C
、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
9.解：方程两边求导
x y
e(1y)cos(xy)(xy y) 0
四、解答题(本大题10分)
14.已知上半平面内一曲线y y(x) (x0)，过点(01)，且曲线上任一点M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xX。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
15.过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
(完整版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分) ⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令 1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222Λ =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点 故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本 大 题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高数(大一上)期末试题及答案
第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
0
V V1 V2 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积
(5e2 12e 3) 6
六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）
q
1
q
q
1
f ( x) d x q f (x)dx f ( x) d x q( f ( x) d x f (x)dx)
16. 证明： 0
0
0
0
q
q
求 1
1
f ( x )dx．
3
1
g( x )
12. 设函数 f (x) 连续，
f ( xt ) dt
f ( x) lim
0
，且 x 0 x
A ，A 为常数 . 求
g(x) 并讨论 g( x) 在 x 0 处的连续性 .
13. 求微分方程 xy 2 y x ln x 满足 y(1)
1 9 的解 .
四、 解答题（本大题 10 分）
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
5.
e6
1 (cosx ) 2 c
. 6. 2 x
.7. 2 . 8.
3
.
三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）
9. 解：方程两边求导
ex y ( 1 y ) c oxsy( xy) ( y
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.)(0),sin (cos )( =+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. 133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f （A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.=+→xx x sin 2)31(lim.6.,)(cos x f xx=⋅⎰x x x x f d cos )( .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ.8.=-+⎰21212211arcsin dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10..d )1(177x x x x ⎰+- 11. ⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17.设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.c x x +2cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10.解：767u x x dx du== 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰ 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰030()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 3214e π=--12.解：由(0)0f =，知(0)0g =。
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大一上学期高数期末考试题大一上学期高数期末考试题大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.2.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（）.（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.x3.若F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，则（）.（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。
4.设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.6.已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx.xdx7.nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).12x2arcsinx1－11x2dx8.2.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).)1x7求dx.7x(1x)10.xxe， x01设f(x) 求f(x)dx．322xx，0x111.1012.设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，q1f(x)dxqf(x)dx00.17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提F(x)示：设0f(x)dx）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1cosx2 ()c6e35..6.2x.7.2.8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导 xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux 1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dxxd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd4 12.解：由f(0)0，知g(0)0。
x1xtu2e31g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2AAA22，g(x)在x0处连续。
limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxxyexdx2(exdx2lnxdxC)11xlnxxCx293111y(1)C,0yxlnxx399，四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且，将此方程关于x求导得y2yy02特征方程：rr20y2ydxyx解出特征根：r11,r22.其通解为yC1exC2e2x代入初始条件y(0)y(0)1，得21yexe2x33故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）C121,C2331ylnx0(xx0)x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程： 1yxxe0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为：1则平面图形面积A(eyey)dy01e12（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V21V11e23V2(eey)2dy06D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）q1qqVV1V2(5e212e3)116.证明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q(1q)f(x)dxqf(x)dx0f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：q0 f(x)dxqf(x)dx00证毕。
x17.F(x)f(t)dt,0x0证：构造辅助函数：。
其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。
F(x)f(x)，且F(0)F()00由题设，有f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.F(x)sinxdx0扩展阅读：大一上学期高数期末考试题高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1..212.limnn(cosncos22ncos2nn).122xarcsinx1dx3.－11x22.二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（）.（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.5. 设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.6.若F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，则（）.（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。
f(x)是连续函数，且f(x)x217.设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求x710.1x(1x7)dx.)11.12.xxe， x0设f(x) 求22xx，0x113f(x)dx．xA10设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.g(x)f(xt)dtlimf(x)，A为常数.求13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.四、解答题（本大题10分）(x0)，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，10f(x)dxqf(x)dx0.17.设函数f(x)在0,上连续，且0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提xF(x)示：设0f(x)dx）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）e35.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导 xy)e(1y61cosx2 ()cx.6.2.7.2.8.. coxys(xy)(y)xcos(xy)x0,y0，y(0)1767xdxdu10.解：ux y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du 17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|72xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx1003)01(x1)dxxxxee302cosd (令x1sin)212.解：由f(0)0，知g(0)0。
4x1xtu2e130f(u)duxg(x)g(x)0f(xt)dtx(x0)xf(x)x02f(u)du(x0)x g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2A2xf(x)x02f(u)duAlimg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。
dy13.解：dx2x2ylnx2lnxdxC)2yexdx(exdx13xlnx19C,19xCx1xlnx19x3，四、解答题（本大题10分）y(1)0y14.解：由已知且y2ydxy0x，23,将此方程关于x求导得y2yy2特征方程：rr20解出特征根：r11,r22.2x其通解为yC1exC2eC213代入初始条件y(0)y(0)1，得3故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）y2exC1e2x131x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1ylnx0(xx0)，从而切线方程为：12e1y1exA则平面图形面积(e0yey)dyV113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则e2 曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V21V2(ee0y)dy2VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）q1qq(5e12e3)2116.证明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)(1q)f(x)dxqf(x)dx0qf(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：q0 0f(x)dxqf(x)dx0证毕。