《3.1 不等关系与不等式》 教学案 1-公开课-优质课(人教A版必修五精品)
高中数学3.1不等关系与不等式教案新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式（第一课时）【教课目的】1. 经过详细情境让学生感觉和体验现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，鼓舞学生用数学看法进行察看、概括、抽象，使学生感觉数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．成立不等看法，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．认识不等式或不等式组的实质背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实质问题。
【要点难点】要点 :１. 经过详细的问题情形，让学生领会不等量关系存在的广泛性及研究的必需性。
２.用不等式或不等式组表示实质问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组关于刻画不等关系的意义和价值。
难点 :1.用不等式或不等式组正确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实质问题。
【方法手段】1.采纳研究法，依据阅读、思虑、沟通、剖析，抽象概括出数学模型，从详细到抽象再从抽象到详细的方法进行启迪式教课。
2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和踊跃性。
【教课过程】教学教师活动学生活动设计企图环节导平时生活中，同学们发现了哪些实例 1. 某天的天气预告报导，最指引学生想生入数目关系。
你能举出一些例子高气温 35℃，最低气温 29℃。
活中的例子和新吗？实例 2. 若一个数是非负数，则这学过的数学中课个数大于或等于零。
的例子。
在老师实例 3. 两点之间线段最短。
的指引下，学生实例 4. 三角形两边之和大于第一定会迫不及三边，两边之差小于第三边。
待的能说出很多个例子来。
即活跃了讲堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
推同学们所举的这些例子联系了同学们仔细观看显示屏幕上老让学生们边看进现实生活，又考虑到数学上常有师所举的例子。
边思虑：生活中新的数目关系，特别好。
并且大家有很多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等的描绘能够采关系与不等式》，所举的实例都用不等的数目是反应不等量的关系。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.1 不等关系与不等式》优质课教案_11
不等式的基本性质.一、教学背景分析1.教学内容分析不等式是初中代数的重要内容之一，这是继方程后的又一种代数形式，继承了方程的有关思想，并实现了数形结合的思想，是初中数学教学的重点和难点.而不等式的性质是本章的重点内容之一，是在学生学习了数轴、等式的基本性质、不等式的概念的基础上进行的，是不等式变形的依据，也是学习一元二次方程、函数、高中不等式等知识的基础，是学生后继学习的重要基础和必备技能.2.学生情况分析我所任教的教学班的学生活泼好动，对学习充满兴趣，有一定的合作与探究意识，但基本功不扎实，缺乏毅力和恒心，应多给以鼓励；在知识方面已经学习了有理数大小的比较，等式的基本性质，有一定的认知基础，这些都为自主探究不等式的性质提供了条件.二、教学目标及重难点设计通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想；掌握不等式的基本性质，并会运用不等式的基本性质将不等式变形，发展符号表达能力、代数变形能力；通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力.重点：不等式的基本性质的应用.难点：不等式的基本性质的灵活应用.三、教学过程与教学资源设计1.教法分析基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容沿两条主线展开．第一条主线是探究性质，设计4组活动，分别是：自主探索性质→类比猜想性质→归纳得出性质→比较异同.第二条主线是应用性质，设计（三道例题）和3道巩固性变式训练.2.学法分析本节课在学法上突出学生的“探索发现”，通过观察、类比、猜想、验证等一系列探究活动，积累数学的探究方法和获得新知的经验.3.教学手段及媒体的选用在教学过程中，适时提出问题，引发学生思考．并借助多媒体辅助教学，增强图形的动感效应，增强教学的直观性和实效性.4.教学过程（略）四、学习效果评价设计1.学生在本节课的学习中，能够积极主动的参与学习活动，乐于与他人合作交流，尝试运用类比的方法探索不等式的基本性质，并能够用文字语言和符号语言描述性质；2.在应用性质解决问题的过程中，能够准确的运用性质进行推理；3.在畅谈收获中，能够说出收获和体会，建立学好数学的自信.五、教学设计特色总的来说，本节课呈现出以下三个特点：（1）以学生活动思索为主线——使学生主动建构.。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.1 不等关系与不等式》优质课教案_1
难点：综合利用不等式的性质进行不等式的证明及取值范围的讨论。
四、教学策略选择与设计
讲解和探究相结合，个人探索和小组讨论相结合，直观和抽象相结合。在不等式的性质教学中，学生需要在直观上理解这些不等式的性质（主要是针对正数），然后再突破正数的限制，抽象的思考不等式的建立，这时一切推理都要建立在严格的逻辑基础上。
二、学习者特征分析
1、学生在第一课时已经基本了解了什么是不等式，以及不等式的基本证明方法---作差法，具备了进一步学习不等式性质的能力。
2、学生基本具备了从直观到简单抽象的能力。
3、学生对于基本函数有着充分的理解，可以利用函数性质和图像辅助不等式问题的思考。
4、实验班的学生有着较强的探究精神，需要在教学过程中留白，给学生课堂发挥和课后思考的空间。
（教学流程图）
引入—>认识深化性质讲解辨析—>简单证明取值范围讨论—>能力提升—>小结
七、教学评价设计
八、帮助和总结
利用不等式进行取值范围的讨论（加减和乘除分别设计了两个系列的问题）
问题1和2都是比较简单的，几个变式进行升华。老师需要及时的提问，让学生注意到问题的特征。比如提问“这两个问题有什么区别”
在充分思考的基础上进行演算和答题，并且讲清楚自己的方法。
这个部分的设计可以看成是不等式性质的应用，因为有具体数字，所以会更容易处理。加减法中特别引入了一个对比性问题，引发思考，与下一个阶段的线性规划问题衔接。乘除法中特别引入了负的范围，需要学生综合利用性质和进行系统化思考。在这个过程中，学生进一步强化了对不等式性质的认识。
三、教学目标
以不等式的性质探究和应用为载体，培养学生的语言概括、数学抽象和逻辑推理能力。并且:
3.1不等关系与不等式第一课时教案-人教A版数学必修五第三章不等式
第三章不等式3.1 第一课时不等关系与不等式1 教学目标[1]会用不等式表示现实生活中的不等关系[2]会用不等式或不等式组解决实际问题[3]理解和掌握不等式的性质并能用于解答问题2教学重点/难点重点：用不等式表示不等关系难点：运用不等式的性质进行解题3专家建议针对不等式的每一个性质进行加深讲解，使学生对每一个性质都要理解透切，不仅要理解，重要的是如何运用，并通过举例计算增强学生的解题能力。
4 教学方法启发式教学，互动探究式教学5 教学过程5.1 引入【师】谁知道高速公路的速度是怎样规定的？【生】讨论回答【板演/PPT】最高速度不得超过每小时120公里，最低速度不等低于每小时60公里【师】还有，现在中国富豪榜前两位是谁，同学们知道吗？【生】讨论，思考【师】第一，王健林2200亿，第二，马云1450亿，马云被超了，但相对其他富豪，马云仍是老大，是不是？【师】同学们，速度有大小之分，财富有多少之分，生活中的众多事物都存在着不等关系，相等是相对的，不等才是一定的。
那么我们是如何表示这些不等关系的呢？【生】不等式【板演/PPT】我们用不等式来表示不等关系5.2 新知介绍[1] 不等式表示不等关系【师】同学们，先来看看几个问题【板演/PPT 】问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则有什么不等关系？问题2：某商店经营一批季节性小家电，每个成本40元，经市场预测，定价为50元，可销售200个，定价每个增加1元，销售量将减少10个，若把价格定为x 元，则怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2000元呢？【生】讨论，思考【板演/PPT 】问题1：||AB d ≤问题2：2000)40(]10)50(200[≥-⨯⨯--x x【师】通过上面两个例子，我们知道，可以用简单的一个不等式表示一个不等关系，那么同学们再看以下一个问题。
【板演/PPT 】问题3：某网站要生产A ，B 两类型的教参，每套教参需要制作和审核两道过程，已知A ，B 类型的教参每套的制作过程的时间分别需要1小时和2小时，审核时间分别需要3小时和1小时，又知制作过程和审核过程每天时间分别不得超过8小时和9小时，而网站A 类和B 类教参每套分别获利润2千元和3千元。
人教A版高中数学必修五第三章第一节《3.1不等关系与不等式》(第一课时)教学设计
教学设计:人教A版高中数学必修五第三章第一节《3.1不等关系与不等式》（第一课时）【教学目标】一知识技能1通过具体问题情境,感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.二过程与方法通过大量的现实世界和日常生活中例子,使学生感受到不等关系确实处处存在:同时也让学生去认真思考如何用不等式表示现实中的不等关系.三情感、态度与价值观1培养学生数形结合的思想:2培养学生严谨科学的态度:3培育学生的爱国情感和创新意识:4在参与观察、实验、猜想、证明等活动中发展演绎推理能力,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的科学探究能力.【教学重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系.【教学方法】通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.【教学手段】多媒体辅助教学．【教学过程】一创设情境,导入课题课前循环播放一组庐山照片,启发学生想到了苏轼的诗:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.二新授过程,形成认识（一）不等关系:1 诗人苏轼有两句著名的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从正面看庐山,它是一道横长的山岭:从侧面看庐山,它是一座高耸的山峰.你再从不同距离、不同高度去看吧,呈现在你眼前的庐山,都是各种互不相同的形象.标注:相对于庐山优美的风景,四川西部山区却是经常有洪灾发生,都江堰就是水利工程的一个典型代表.公元前256年,秦国人李冰作为蜀首,奉命治理岷江,李冰先用了3年的时间勘察水情、调查地形,制订了一整套凝聚着人类智慧与科学的治水方案.）标注:利用ppt播放《都江堰》的视频.让学生通过视频找出里面存在的不等关系,并随时记录在练习本上.（学生回答后出示答案:山区地势高低不同,内江、外江地势高低不同、水量不同、沙石不同（80%外江）,水只有高出飞沙堰时,通过飞沙堰流出,有分洪和排沙的作用……）德育教育:都江堰建成后,成都平原的粮食产量成倍增长,这也为秦国统一中国奠定了物质基础.都江堰的设计和改造,最大程度的尊重和保护了自然,即使是2000多年后的今天,仍是水利专家追求的生态水利建设的最高境界.李冰用了3年时间攀登了700多里山路勘察水情、调查地形,他的坚韧不拔的毅力,科学严谨的治学精神, 我们就要应用到学习和生活中.2 （过渡:古代科学家凭借他们坚韧不拔的毅力充分利用了各种不等关系,创造了一个又一个的人类奇迹,在刚刚过去的奥运会上,我国奥运健儿摘金夺银,也取得了巨大的成绩,叶诗文就是其中的一个典型代表.）标注:2012年,伦敦奥运会上16岁的叶诗文以4分28秒43的成绩破世界纪录获得400米女子混合泳冠军,为中国摘得伦敦奥运会第四枚金牌. 随后,在200米女子混合泳的半决赛、决赛中,两次打破奥运会纪录,以2分07秒57夺冠,成为奥运会双冠王,创造中国泳坛历史.德育教育:叶诗文只有16岁,比我们同学都还小,就取得了如此大的成绩,不过同学们也不要不好意思,你们在很多方面比叶诗文还要强.练习1:观察图中存在的不等关系.叶诗文叶诗文与罗切特成绩比较标注:主要看红框中的两个数字和两人的总成绩.德育教育:通过两人成绩的比较,叶诗文在最后50m甚至超过了男子世界冠军的成绩,尽管西方媒体对此提出质疑,但最终的结论证明,她的成绩就是她努力训练的结果,如果要进一步改变西方媒体对中国人的看法,还需要同学们的拼搏努力.（过渡:我们再次回到我国古代）3 材料1:中国最早的一部数学著作——《周髀算经》中记载着在公元前1100年左右,我国古代数学家就已经发现了勾股定理.这比古希腊数学家毕达哥拉斯发现的时间早了500多年.德育教育:这足以说明我们的祖先早已经具有了超人的智慧.世界上最早对勾股定理进行证明的,是我国三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅弦图,用形数结合的方法证明了勾股定理.德育教育:中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.当代中国数学家吴文俊曾经说过“在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”请同学们在赵爽的弦图中寻找一些不等关系.学生口答:直角三角形的三边不等,三个角不等,大小正方形的边长不等……,更重要的是要总结出222+≥.老师要说明这个公式非常重a b ab要,我们以后还要继续学习.练习2:请同学们自己举出现实世界和日常生活中存在的一些不等关系.（二）用不等式表示不等关系（过渡:通过刚才大量的图表和事实,我们可以感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,其中有很多是可以用不等式表示的.）材料2: 观察下表,请同学们说出x、y、z的范围.德育教育:这个表格隐含着的信息很多,2011年GDP是2006年的2倍还多,说明我国经济发展速度很快；另外,据统计我国1978年国民生产总值为3600亿元,而2011年国民生产总值为47.2万亿元,是1978年的130倍左右,这不仅仅是一个不等关系,更是一个巨大的增长,同时这也是改革开放的重大成就,所以我们只有坚持改革开放,才有可能取得如此大的成就.假设以后我国每年的经济增长率按8%计算,那么多少年后GDP总量将超过130万亿元？答案: 47.21.08130x >,解得14x ≥,所以到2025年,我国的GDP 将超过130万亿元.德育教育:如果按照现在美国的经济总量和发展速度计算,到2025年我国将超过美国,成为世界第一经济大国.到那时同学们已经是而立之年,各个事业有成!有的已经是著名的企业家,有的成了科学家,有的成了党政岗位上的重要领导人……但是这一切美好的前景都是建立在同学们努力拼搏的基础之上的.练习3:观察以下图形,写出图片中蕴含的不等关系:（过渡:食品中有不等关系,那么市场中有没有不等关系.）例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？（总收入＝单价×销售量）答案: 2.58*0.2200.1x x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭例2 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种.按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解:设截得500mm 钢管x 根,截得600mm 钢管y 根,则:三 检测反馈,巩固知识1用不等式表示右图的不等关系:德育教育:我们在过马路的时候,一定要注意安全,要走人行横道,要走斑马线；如果我们以后开车,也一定按照要求行驶,看看图中,车多人乱,确实很危险!我们应该切实注意自己和他人的安全.（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的脂肪含量 f 应不少于2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于2.3%． 答案: 2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩ （3）如图,在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 大于宽W 的4倍.500600400030x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩【归纳小结】（过渡:请同学自己总结本节课所学内容,先小组讨论,再请一个同学典型发言.）1通过同学们的总结,我们可以发现古今中外日常生活时时、事事、处处都存在着各种不等关系,通过我们的慧眼要发现并利用这些关系,就会取得超出前人的更大的成就.2 我们要善于利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.【作业】1．P75习题3.1A 组 第4、5题:2．课外探究:（1）有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大2.试用不等关系表示上述关系,并求出这个两位数（用a 和b 分别表示两位数的个位数字和十位数字）.（2）一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么8天内它的行程就超过2200 km,写出不等式为_______________:如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为_______________.(10)(10)3504L W L W++=⎧⎨≥⎩。
(高中数学教案)高二人教a版必修5系列教案：3.1不等关系与不等式1
3.1 不等关系与不等式（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.2、通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；二、本节重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、本节难点用不等式（组）正确表示出不等关系.四、知识储备“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0等. ② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.③常用的不等式的基本性质 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 五、通过预习掌握的知识点实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式.例如：a>b,c>d,是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b,c<d,是异向不等式2．不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 六、知识运用①.比较233x x +与的大小,其中x R ∈.②.比较当0a ∉时,2222(1)(1)(1)(1)a a a a a a +++++-+与的大小.③.设实数,,a b c 满足22643,44,,,b c a a c b a a a b c +=-+-=-+则的大小关系是_____________.④.配制,A B 两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂A 种药需甲料3毫克,乙料5毫克,配一剂B 药需甲料5毫克,乙料4毫克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若,A B 两种药至少各配一剂,则,A B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.七、重点概念总结1．两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)a b 1a b (5)a b=1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔ (2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔ a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性) a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒ (6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ (7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ (8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒ (9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c (10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ (11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b。
高中数学 3.1.1 不等关系与不等式(一)优秀教案 新人教A版必修5
用心 爱心 专心 1 备课资料 备用习题
1.已知x ＞y ＞z ＞0，求证：z x z y x y --
＞
分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较
证明：∵x＞y,∴x -y ＞0.∴01＞y
x
- 又y ＞z,∴y x z y x y --
＞
∵y＞z,∴-y ＜-z.∴x -y ＜
x-
∴0＜x-y ＜x-z.∴z
x y x --11
＞ 又z ＞0,∴z
x z y x z --
＞ 由①②得z
x z y x z --
＞ 小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下
2.试判断下列各对整式的大小：(1)m 2-2m+5和－2m+5；(2)a 2-4a +3和－4
a
点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法： 若A －B ＞0，则A ＞B ；若A －B =0，则A =B ；若A －B ＜0，则A ＜
B
这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.
解：(1)∵（m 2-2m+5）-(-
=m 2
-2m+5+2m-
=m 2，
∵m 2≥0，∴(m 2-2m+5)-(-
∴m 2-2m+5≥-2m+5.
(2)∵(a 2-4a +3)-(-4a +1)
=a 2-4a +3+4a -1
=a 2+2,
∵a 2≥0，∴a 2+2≥2＞0.
∴a 2-4a +3＞-4a。
高中数学人教A版必修5教案-3.1_不等关系与不等式_教学设计_教案_1
教学准备
1. 教学目标
不等式性质
2. 教学重点/难点
不等式性质
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
知识提要
一、不等式性质
3、同向不等式可相加，不可相减
二、不等式证明
比较法(作差法、作商法)、分析法、综合法(综合法—由因导果，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用综合法写出证明过程)、反证法、换元法(三角换元)、放缩法、函数法(利用函数单调性)等
三、不等式解法
1、含绝对值不等式的解法
2、含多个绝对值的不等式：零点区间讨论法
3、高次不等式：数轴标根法
4、分式不等式：整式不等式
5.“a＞0且b＞0”是“”成立的( )
(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件
6.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半
时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地
(C)同时到达(D)不能判定。
高中数学 3.1 不等关系与不等式(1)教案 新人教A版必修5
3.1不等关系与不等式（1）教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．教学过程：一、不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负．由以上不等关系，可得不等式组：5006004000 3x yx yxy+≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩二、数运算性质与大小顺序之间的关系baba>⇔>-0；baba=⇔=-0；baba<⇔<-0．三、不等式的性质定理1：（对称性）如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b；即 a>b⇔b<a．证明：说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向．定理2：（传递性）如果a>b，b>c，那么a>c．即 a>b，b>c⇒a>c．证明：说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：a c a b b c <⇒<<,．定理3：（加法保序性）若a>b ，则a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c ．证明：推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．推论2：（加法法则）a>b ，c>d ⇒a+c>b+d ．证明：推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．定理4：（乘法保序性）若a>b ，c>0，则ac>bc ；若a>b ，c<0，则ac<bc ．即a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bd ．证明：推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0⇒ac>bc ．证明：推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向． 推论2：（乘方法则）a>b>0⇒n n b a >(n ∈N,且n>1)定理5：（开方法则）若,0>>b a 则n n b a >()1,>∈n N n 且． 即 .0n n b a b a >⇒>>证明：练习：课本：P74．小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．四、应用举例例1．已知,a b c d ><，求证a c b d ->-．证明：例2．已知0,0a b c >><，求证：c c a d>． 证明： 例3．已知0>≥d c b a ，求证0>+≥+dc c b a a ． 证明：cd a b d c b a ≤∴>≥,0 ．c d a b +≤+∴11，c d c a b a +≤+<∴0 故 0>+≥+dc c b a a ． 例4．设3612,208<<<<b a ，求ba b a b a ,2,-+的取值范围． 解：由56203612208<+<⇒⎩⎨⎧<<<<b a b a ；242723612-<-<-⇒<<b b ，且128<<a ，4264-<-<-∴b a ．由35921211361208<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<b a b a ． 例5．设bx ax x f +=2)(，2)1(1≤-≤-f 且4)1(2≤≤f ．求(2)f 的取值范围．解：(1),(1),(2)42f a b f a b f a b -=-=+=+．设)1()1()2(nf mf f +-=-，即42()()()()a b m a b n a b m n a n m b +=-++=++-．4123m n m n m n =+=⎧⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩．(2)(1)3(1)f f f ∴=-+． 由2)1(1≤-≤-f 得，63(1)12f ≤≤．5(2)(1)3(1)14f f f ∴≤=-+≤．小结：1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．2．根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用相加或相乘来进行．3．同号两数的顺序关系与其倒数的顺序相反．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的，如果是有等号的还应注意两端能否取得等号．五、课堂练习：六、作业：七、补充题：1．设a<b<0，下列命题：①b a 11>；②ab a 11>-；③b a >；④22b a >中，假命题的个数是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 答：选 (C)．2．若a,b 是任意实数，且a>b ，四个不等式22b a >，,1<a b ba b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛>-2121,0)lg(中，能成立的不等式的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答：选（A ）．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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《3.1 不等关系与不等式》教学案 1
教学要求
了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.
教学重点
从实际问题中找出不等关系.
教学难点
正确理解现实生活中存在的不等关系.
教学过程
一、复习准备：
1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？
2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？
3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；
二、讲授新课：
1、教学用不等式表示不等关系
①在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.
②举例：例如：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是v≤40.
③文字语言与数学符号之间的转换.
④实数的运算性质与大小顺序之间的关系
对于任意两个实数a，b，如果a>b，那么a-b是正数；如a<b，那么a-b是负数；如果a-b等于0.它们的逆命题也正确.即
(1)0;(2)0;
(3)0
a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<
2、教学例题：
①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。
(浓度＝溶质溶液
)
②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？
(教师示范 → 学生板演 → 小结)
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、
70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。